Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!"

Átírás

1 Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el a Maclaurin-polinomok deníciójából, miszerint egy függvény n-edfokú Maclaurin-polinomjának nevezzük, a 0 helyen vett n-edfokú Taylor-polinomját, mely az alábbi módon írható fel. M n fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x n! f n) 0) x n Mivel feladatunkban másodfokú polinomot kell felírnunk, így n = 2, s így a polinomban csupán három tag fog szerepelni. M 2 fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 Természetesen a konkrét Maclaurin-polinom felírásához meg kell határoznunk a képletben szerepl f0), f 0) és f 0) értékeket. Els ként helyettesítsük a függvénybe a 0-t. f0) = e 2 0 = e 0 = Ezután állítsuk el a függvény deriváltját, és határozzuk meg a derivált helyettesítési értékét is a 0 helyen. f x) = e 2x 2) = 2e 2x A deriválás során ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvényt deriválunk, így a küls függvény deriválása után szoroznunk kell még a bels függvény deriváltjával is. Hajtsuk végre a 0 behelyettesítését. f 0) = 2e 2 0 = 2e 0 = 2 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = 2e 2x 2) = e 2x Helyettesítsük ebbe is a 0-t.

2 f 0) = e 2 0 = e 0 = Utolsó lépésként helyettesítsük be a meghatározott f0), f 0) és f 0) értékeket a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után határozzuk meg a faktoriálisok értékét, és egy-egy tagban szorozva a konstansokat, hozzuk egyszer bb alakra a polinomot. M 2 fx) = +! 2) x + 2! x2 = + 2) x + 2 x2 = = 2x + 2x 2 Nézzük ezután a feladat egy másik megoldását. Ekkor arra hivatkozunk, hogy az gx) = e x függvénynek ismert a Maclaurin-sora. e x = +! x + 2! x2 +! x + x IR Ebb l megkapjuk az e x másodfokú Maclaurin-polinomját, ha a sorból elhagyjuk a másodfokúnál magasabb fokú tagokat. M 2 gx) = +! x + 2! x2 Végül az e x Maclaurin polinomjából úgy kapjuk meg az e 2x Maclaurinpolinomját, hogy az x helyére a 2x-et helyettesítjük. M 2 fx) = +! 2x) + 2! 2x)2 Az így kapott polinomban végezzük el az együtthatókon belül a m veleteket. M 2 fx) = + 2x) + 2 x2 = 2x + 2x 2 Természetesen így is ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az el bb. 2. Feladat: Írjuk fel az fx) = x + függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot most is kétféle úton oldjuk meg. Els ként itt is elindulhatunk a másodfokú Maclaurin-polinom deníciójából. M 2 fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 Most is el kell állítanunk az f0), f 0) és f 0) értékeket. Helyettesítsük be els ként a függvénybe a 0-t. f0) = 0 + = Ezután állítsuk el a függvény deriváltját. A deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök helyett írjunk törtkitev s hatványt. fx) = x + = x + ) Ebb l az alakból már egyszer a deriválás. f x) = x + ) 2 2

3 Helyettesítsük be a deriváltba a 0-t. f 0) = ) = Állítsuk el a második deriváltat is. f x) = 2 ) x + ) 5 = x + ) Határozzuk meg a második derivált 0 helyen vett helyettesítési értékét. f 0) = ) = 2 9 Végül a meghatározott f0), f 0) és f 0) értékeket helyettesítsük be a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után hozzuk egyszer bb alakra a polinomban az együtthatókat. M 2 fx) = +! x + 2! = + x 9 x2 2 9 ) x 2 = + x ) x 2 = Következzen ezután a feladat másik megoldása. Arra hivatkozunk, hogy az gx) = + x) α függvény Maclaurin-sorát ismerjük. Ezt nevezzük binomiális sornak. + x) α = + α! x <, α IR αα ) x + x 2 + 2! αα )α 2) x +! Ebb l megkapjuk a másodfokú Maclaurin-polinomot, ha elhagyjuk a másodfokúnál magasabb fokó tagokat. M 2 gx) = + α αα ) x + x 2! 2! Ezután pedig már csak annyit kell tennünk, hogy α helyére -ot helyettsítünk. ) M 2 fx) = +! x + x 2 2! Utolsó lépésként hozzuk egyszer bb alakra a polinomban az együtthatókat. 2 ) M 2 fx) = + x + x 2 = + 2 x 9 x2 Eredményünk természetesen megegyezik az el z megoldásban kapottal. helyen vett má-. Feladat: Írjuk fel az fx) = sin 2x függvény a = π sodfokú Taylor-polinomját!

4 Megoldás: A feladatot most is kétféle úton oldjuk meg. Els ként megint denícióból indulunk el. Eszerint az fx) függvény a helyen vett n-edfokú Taylor-polinomja a következ : T n fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) n! f n) a) x a) n Mivel másodfokú polinom a kérdés, így n = 2. T 2 fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 Annyiban változik tehát csak a dolgunk az el z ekhez képest, hogy nem a 0 helyen kell meghatároznunk a függvény, valamint els és második deriváltjának értékét, hanem az a = π helyen. Helyettesítsünk el ször a függvénybe. ) π f = sin 2 π ) = sin π 2 = Állítsuk el a függvény deriváltját. Figyeljünk oda, mert összetett függvényr l van szó, ne felejtsünk el szorozni a bels függvény deriváltjával. f x) = cos 2x 2 = 2 cos 2x Helyettesítsünk most a deriváltba is. ) π f = 2 cos 2 π ) = 2 cos π 2 = 0 Ezután deriváljunk még egyszer. f x) = 2 sin 2x) 2 = sin 2x A második deriváltba is helyettesítsük be az a = π értéket. ) π f = sin 2 π ) = sin π 2 = Az el z ekben meghatározott fa), f a) és f a) értékeket írjuk be a Taylor-polinom képletébe, s egyben helyettesítsünk a helyére is. T 2 fx) = +! 0 x π ) + 2! ) x π ) 2 Végül hozzuk egyszer bb alakra a polinom együtthatóit. x π ) 2 Lássuk ezután a feladat másik megoldását. Középiskolából ismert a T 2 fx) = + 2 ) x π ) 2 = 2 sin α = cos α π ) összefüggés. Ezt felhasználva kapjuk, hogy 2 sin 2x = cos 2x π ) = cos 2 x π )). 2

5 Vezessük be az u = x π jelölést. Így sin 2x = cos 2u. Mivel ha x = π, akkor u = 0, ezért a sin 2x függvény a = π helyen vett másodfokú Taylor polinomja megegyezik a cos 2u függvény u = 0 helyen vett másodfokú Taylor polinomjával, azaz a másodfokú Maclaurinpolinommal. Használjuk fel, hogy a cos x függvény Maclaurin-sora ismert. cos x = 2! x2 +! x 6! x6 + x IR Hagyjuk el a másodfokúnál magasabb fokú tagokat, és írjunk x helyett 2u-t. Így megkapjuk a gu) = cos 2u függvény másodfokú Maclaurinpolinomját. M 2 gu) = 2! 2u)2 = 2u 2 Ezután pedig már csak annyit kell tennünk, hogy u helyére x π -et helyettesítünk T 2 fx) = 2 x π ) 2 Eredményünk természetesen megegyezik az el z megoldásban kapottal.. Feladat: Írjuk fel az fx) = ln x függvény a = helyen vett másodfokú Taylor-polinomját! Megoldás: Ezt a feladatot is kétféle módon fogjuk megoldani. Az els megoldás során most is a másodfokú Taylor-polinom denícióját használjuk fel. T 2 fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 Határozzuk meg a polinomban szerepl, egyel re ismeretlen fa), f a) és f a) értékeket. Helyettesítsük els ként a függvénybe az a = -ot. f = ln ) ) = ln = 0 Deriváljuk a függvényt. f x) = x = x Helyettesítsünk be a deriváltban is a helyére -ot. ) f = = 5

6 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = x 2 Helyettesítsük a második deriváltba is az a = -ot. f x) = ) 2 = 9 Majd a Taylor-polinom képletében helyettesítsünk a, fa), f a) és f a) helyére. T 2 fx) = 0 +! x ) + 2! 9) x ) 2 Végül írjuk egyszer bb alakban a polinom együtthatóit. T 2 fx) = x ) 9 x ) 2 2 Nézzük ezután a feladat másik megoldását. Most alakítsuk át a függvényt, s írjuk a következ alakban: fx) = ln x = ln + x ) = ln Ha pedig bevezetjük az u = x alakítható. fx) = ln x = ln + u) + x )). jelölést, akkor ez még tovább Azért kedvez bb ez az alak, mert a ln + x) függvény Maclaurinsora ismert, és ha x =, akkor u = 0. Ennek következtében a ln x függvény a = helyen vett másodfokú Taylor polinomja megegyezik a ln + u) függvény u = 0 helyen vett másodfokú Taylor polinomjával, azaz a másodfokú Maclaurin-plonimmal. Induljunk el tehát a ln + x) függvény Maclaurin-sorából. ln + x) = x 2 x2 + x x + x < Hagyjuk el a másodfokúnál magasabb fokú tagokat, és írjunk x helyett u-t. Így megkapjuk a gu) ln + u) függvény másodfokú Maclaurinpolinomját. M 2 gu) = u 2 u)2 = u 9 2 u2 Ha ebben u helyére x -ot helyettesítünk, akkor pedig megkapjuk a keresett Taylor polinomot. T 2 fx) = x ) 9 2 x ) 2 6

7 Természetesen ugyanazt kaptuk eredményül, mint az els megoldásban. 5. Feladat: Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következ k igazak: p0) =, p 0) =, p 0) = 6, p 0) = 2? Megoldás: Ismert egy függvény és deriváltjainak értéke a 0 helyen, ezért a Maclaurin-sor felírásából indulhatunk ki, mely egy fx) függvény esetén a következ : f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 +! f 0) x + Mivel most egy polinomról van szó, így t el állítja a Maclaurin-sora. Mivel pedig a polinom harmadfokú, így negyedik és annál magasabb rend deriváltjai azonosan 0-val egyenl ek. Ez azt jelenti, hogy a Maclaurinsorban a haramadfokúnál magasabb fokú tagok nem szerepelnek, azaz a harmadfokú Maclaurin-polinomot felírva, megkapjuk a keresett polinomot. Ezt egyenletben a következ módon írhatjuk: px) = p0) +! p 0) x + 2! p 0) x 2 +! p 0) x. Ide már csak be kell helyettesítenünk a függvény és a deriváltak megadott értékeit. px) = +! ) x + 2! 6) x2 + 2 x! Végezzük el az együtthatókban a m veleteket. px) = x x 2 + 2x Ha pedig csökken fokszám szerint írjuk a tagokat, akkor px) = 2x x 2 x Összetett feladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = x 5x 2 + x + 20 függvény a = helyen vett Taylor-sorát! Megoldás: Induljunk ki a Taylor-sor deníciójából, mely fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 +! f a) x a) + Mivel egy polinom Taylor-sorát írjuk majd fel, így a sor biztosan el fogja állítani a függvényt, azaz fx) egyenl lesz a Taylor-sorral, s a sorban a helyére -at kell helyettesítenünk. fx) = f)+! f ) x )+ 2! f ) x ) 2 +! f ) x ) + A konkrét Taylor-sort akkor tudjuk felírni, ha meghatározzuk az f), f ), f ) értékeket. Els ként helyettsítsük a függvénybe a -at. 7

8 f) = = 5 Deriváljuk a függvényt. f x) = x 2 0x + Határozzuk meg a derivált értékét az x = helyen. f ) = = 2 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = 6x 0 Helyettesítsük ebbe is a -at. f ) = 6 0 = 8 Deriváljunk még egyszer. f x) = 6 A harmadik derivált egy konstans függvény, így nyilván a helyen is ezt a konstanst veszi fel, azaz f ) = 6. Mivel a harmadrend derivált konstans, így negyed és annál magasabb rend deriváltak már azonosan egyenl ek zérussal. Ez azt jelenti, hogy a Taylor-sor most véges sok tagból áll, hiszen csak az els négy tag különbözik 0-tól. Helyettesítsük be a meghatározott értékeket a Taylor-sor képletébe. fx) = 5 +! 2) x ) + 2! 8 x )2 + 6 x )! Az együtthatókon belül végezzük el a m veleteket. fx) = 5 2x ) + x ) 2 + x ) Amint látható, a Taylor-sor felírásával úgy alakult át a polinom, hogy x hatványai helyett x hatványai szerepelnek benne. Ha elvégeznénk a Taylor-sorban a hatványozásokat, és összevonnánk utána az azonos fokszámú tagokat, akkor visszakapnánk az eredeti polinomot. Ezzel ellen rizhetnénk megoldásunk helyességét. Megjegyzés: Minden polinom Taylor-sora véges, hisz ha a polinom n- edfokú, akkor az n+-edik és annál magasabbrend deriváltak azonosan nullával egyenl ek. Ezért egy n-edfokú polinom Taylor-sorában legfeljebb n+ nullától különböz tag lehet. A Taylor sor felírása úgy alakítja át a polinomot, hogy benne x hatványai helyett x a hatványai fognak szerepelni. Ha a = 0, azaz Maclaurin-sort írunk fel, akkor x a = x, így továbbra is x hatványai szerepelnek, azaz változatlan alakban marad a polinom. Ez azt jelenti, minden polinom Maclaurin-sora maga a polinom. 8

9 2. Feladat: Hogyan határozhatjuk meg közelít értékét, ha csak 0 e négy alapm veletes számológépünk van? Megoldás: Mivel 0 e = e 0., ezért a feladatot úgy is fogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelít leg az fx) = e x függvény x = 0. helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a 0. közel van nullához, ezért az fx) = e x függvény Maclaurin-sorából határozhatunk meg közelít értéket. Ezen függvény Maclaurin sora a következ : e x = +! x + 2! x2 +! x + Ebben kell x helyére 0.-et helyettesítenünk. Mivel a sornak végtelen sok tagja van, így nem tudunk a teljes sorba helyettesíteni, hanem csak a sor elejér l veszünk gyelembe véges sok tagot. Így tulajdonképpen valamelyik Maclaurin-polinomba helyettesítünk. Minél több tagot veszünk gyelembe, a közelít érték annál pontosabb lesz. Ha pl. másodfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor a következ t kapjuk: e 0. +! 0.) + 2! 0.)2 = Ha negyedfokú polinomba helyettesítünk, akkor pedig az alábbi értéket kapjuk: e 0. +! 0.) + 2! 0.)2 +! 0.) +! 0.) = = Ha nem csak a négy alapm veletet ismer számolódépünk van, akkor egyetlen lépésben a következ közelít értéket kapjuk: e Amint látható, a negyedfokú polinomból kapott érték már 6 tizedesjegyre pontos. Ha ennél is pontosabb értékre van szükség, további tagok gyelembe vételével tetsz leges pontosság érhet el. Felvet dik annak kérdése, hogy ha el re megadott pontossággal szeretnénk megkapni a közelít értéket, akkor hány tagot kell gyelembe vennünk. Ezt a Lagrange-féle maradéktag becslésével tudjuk meghatározni. Ha annak abszolút értéke már a megengedett pontosságnál kisebb, akkor megfelel közelít értéket kapunk. Ha pl. tizedesjegy pontosság elérése a feladat, akkor a Lagrange-féle maradéktag abszolút értékének nél kisebbnek kell lenni. Így olyan egyenl tlenséget fogunk kapni, amiben a tagok szám, azaz n lesz az ismeretlen. Ha n-edfokú polinomot írunk fel, akkor a Lagrange-féle maradéktag a következ : 9

10 R n+ f, x) = f n+) ξ) x a) n+ n + )! Írjuk fel az egyenl tlenséget a feladat adataival. R n+ e x e ξ 0.) n+, 0.) = n + )! = e ξ n + )! 0.)n+ < Az egyenl tlenségben szerepl ξ a [ 0., 0] intervallumnak eleme. Mivel ezen ξ értékét nem ismerjük, ezért e ξ értékét felülr l becsüljük. Az exponenciális függvény szigorúan monoton n, így legnagyobb értékét az intervallum jobb oldali végpontjában veszi fel. Ebb l e ξ e 0 = következik. Ezután az egyenl tlenség a következ : e ξ n + )! 0.)n+ n + )! 0.)n+ < Mivel az n + )! 0.)n+ < egyenl tlenség már n = esetén igaz, ez azt jelenti, hogy a tizedesjegy pontosság elérhet, ha harmadfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk.. Feladat: Ha ismerjük az ln közelít értéket, és van egy négy alapm veletes számológépünk, akkor hogyan határozhatjuk meg ln 8 közelít értékét? Megoldás: Ismerjük egy olyan függvény Maclaurin-sorát, amelyben logaritmus szerepel, ez az fx) = lnx + ). Tudjuk, hogy ln + x) = x 2 x2 + x x + Egyszer lenne itt x = 7-et helyettesíteni, de ezt nem tehetjük meg, mert ez a sor csak akkor konvergens, ha x <. Úgy segíthetünk magunkon, ha a ln 8-at más alakban írjuk fel. ln 8 = ln0 2) = ln 0 0.2)) = ln 0 + ln 0.2) Mivel ln 0 értékét ismerjük, így lényegében az ln 0.8 = ln 0.2) = ln + 0.2)) közelít értékét kell meghatároznunk. Ezt a ln+x) Maclaurin-sorából kaphatjuk x = 0.2 helyettesítéssel. A konkrét közelít értéket negyedfokú polinomból számoljuk ki. ln+ 0.2)) ) ) 0.2) Ezután térjünk vissza az eredeti kérdéshez. ln 8 = ln 0 + ln = Megjegyzés: Egy tudományos funkciókkal is rendelkez számológéppel a ln közelít értéket kapjuk. Bár az el z feladathoz 0

11 hasonlóan most is negyedfokú polinomból számoltunk közelít értéket, mégis azt látjuk, hogy itt csak tizedesjegy lett pontos. Ez érthet, mert a pontosságot nagy mértékben befolyásolja x nagysága, hiszen minél nagyobb az x, annál lassabban tartanak zérushoz a sor tagjai, s így annál lassabb a konvergencia. Mivel most x kétszer akkora volt, mint az el z feladatban, ezért kisebb pontosság volt várható. Természetesen a pontosságon javíthatunk, ha a sor több tagját vesszük gyelembe.. Feladat: Hogyan határozhatjuk meg 6 közelít értékét egy négy alapm veletes számológép segítségével? Megoldás: Mivel = 6 2, ezért a binomiális sorból indulhatunk 6 ki, mely szerint + x) α = + α! x + αα ) 2! x 2 + αα )α 2)! x + Nyilvánvaló, hogy most α helyére kerül majd. Egyszer nek t nne, 2 hogy az x helyére pedig kerüljön 5, azonban ez nem járható út, mert a sor csak x < esetén konvergens. Mint az el z feladatban, most is írjuk más alakban a közelítend számot. = 6 6 = = 2 2.5) = ) 2 2 Így tulajdonképpen az.5) 2 közelít értékét kell meghatároznunk, majd azt -del szorozni. Így már nincs baj a konvergenciával, hisz ha 2 + x =.5, akkor x = 0.5, s ez eleget tesz az x < feltételnek, ami konvergenciához szükséges. A közelít értéket most harmadfokú polinomból számoljuk ki..5) 2 = + 0.5) ) 0.5) 0.5 ) ) 2 +! 2! 0.5) 0.5 ) 0.5 2) 0.5) = ! Majd térjünk vissza a eredeti kérdéshez = Ha egy jobb számológép is rendelkezésünkre áll, akkor azzal az közelít értéket kapjuk. Látható, hogy az általunk számolt közelítés elég pontatlan, ami annak tudható be, hogy csak harmadfokú közelítést használtunk, és x is nagyobb volt, mint az eddigi feladatokban.

12 Megjegyezzük, hogy a feladatot némileg máshogyan is megoldhattuk volna, ha a közelítend számot másképp alakítjuk át. Tekintsük a következ átalakítást. 6 = = 9 2 = 2 ) 2 = ) 2 + )) 2 Ezután ugyanúgy járhatnánk el, mint a fenti megoldásban, csak most x helyére -ot kellene helyettesíteni. Ez bizonyos szempontból még kedvez bb is lenne, hiszen így x kisebb, ezáltal jobb közelítést várhatnánk. = 2

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon

Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon 5. lecke. A megoldás előállíthatóságának problémája. Egy közelítő módszer, hibabecsléssel Tananyag Láttuk az előzőekben, hogy az y = f(x, y) differenciálegyenlet jobb oldalának, az f = f(x, y) kétváltozós

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója.

azaz együtthatója. Összességében tehát a feladat megoldása:. azaz együtthatója. A BINOMIÁLIS TÉTEL 1 Feladat Mennyi -nél az -es tag együtthatója? A megoldás során felhasználjuk hogy Így megállapíthatjuk hogy és esetén kapjuk meg az együtthatóját a fenti képlet segítségével továbbá

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23 Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUmERIKUS módszerek 9 FÜGGVÉNYKÖZELÍTÉSEK IX. SPLINE INTERPOLÁCIÓ 1. SPLINE FÜGGVÉNYEK A Lagrange interpolációnál említettük, hogy az ún. globális interpoláció helyett gyakran célszerű

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16 Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Polinomok, Lagrange interpoláció

Polinomok, Lagrange interpoláció Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben