Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!"

Átírás

1 Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el a Maclaurin-polinomok deníciójából, miszerint egy függvény n-edfokú Maclaurin-polinomjának nevezzük, a 0 helyen vett n-edfokú Taylor-polinomját, mely az alábbi módon írható fel. M n fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x n! f n) 0) x n Mivel feladatunkban másodfokú polinomot kell felírnunk, így n = 2, s így a polinomban csupán három tag fog szerepelni. M 2 fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 Természetesen a konkrét Maclaurin-polinom felírásához meg kell határoznunk a képletben szerepl f0), f 0) és f 0) értékeket. Els ként helyettesítsük a függvénybe a 0-t. f0) = e 2 0 = e 0 = Ezután állítsuk el a függvény deriváltját, és határozzuk meg a derivált helyettesítési értékét is a 0 helyen. f x) = e 2x 2) = 2e 2x A deriválás során ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvényt deriválunk, így a küls függvény deriválása után szoroznunk kell még a bels függvény deriváltjával is. Hajtsuk végre a 0 behelyettesítését. f 0) = 2e 2 0 = 2e 0 = 2 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = 2e 2x 2) = e 2x Helyettesítsük ebbe is a 0-t.

2 f 0) = e 2 0 = e 0 = Utolsó lépésként helyettesítsük be a meghatározott f0), f 0) és f 0) értékeket a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után határozzuk meg a faktoriálisok értékét, és egy-egy tagban szorozva a konstansokat, hozzuk egyszer bb alakra a polinomot. M 2 fx) = +! 2) x + 2! x2 = + 2) x + 2 x2 = = 2x + 2x 2 Nézzük ezután a feladat egy másik megoldását. Ekkor arra hivatkozunk, hogy az gx) = e x függvénynek ismert a Maclaurin-sora. e x = +! x + 2! x2 +! x + x IR Ebb l megkapjuk az e x másodfokú Maclaurin-polinomját, ha a sorból elhagyjuk a másodfokúnál magasabb fokú tagokat. M 2 gx) = +! x + 2! x2 Végül az e x Maclaurin polinomjából úgy kapjuk meg az e 2x Maclaurinpolinomját, hogy az x helyére a 2x-et helyettesítjük. M 2 fx) = +! 2x) + 2! 2x)2 Az így kapott polinomban végezzük el az együtthatókon belül a m veleteket. M 2 fx) = + 2x) + 2 x2 = 2x + 2x 2 Természetesen így is ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az el bb. 2. Feladat: Írjuk fel az fx) = x + függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot most is kétféle úton oldjuk meg. Els ként itt is elindulhatunk a másodfokú Maclaurin-polinom deníciójából. M 2 fx) = f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 Most is el kell állítanunk az f0), f 0) és f 0) értékeket. Helyettesítsük be els ként a függvénybe a 0-t. f0) = 0 + = Ezután állítsuk el a függvény deriváltját. A deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök helyett írjunk törtkitev s hatványt. fx) = x + = x + ) Ebb l az alakból már egyszer a deriválás. f x) = x + ) 2 2

3 Helyettesítsük be a deriváltba a 0-t. f 0) = ) = Állítsuk el a második deriváltat is. f x) = 2 ) x + ) 5 = x + ) Határozzuk meg a második derivált 0 helyen vett helyettesítési értékét. f 0) = ) = 2 9 Végül a meghatározott f0), f 0) és f 0) értékeket helyettesítsük be a másodfokú Maclaurin-polinom képletébe. A behelyettesítés után hozzuk egyszer bb alakra a polinomban az együtthatókat. M 2 fx) = +! x + 2! = + x 9 x2 2 9 ) x 2 = + x ) x 2 = Következzen ezután a feladat másik megoldása. Arra hivatkozunk, hogy az gx) = + x) α függvény Maclaurin-sorát ismerjük. Ezt nevezzük binomiális sornak. + x) α = + α! x <, α IR αα ) x + x 2 + 2! αα )α 2) x +! Ebb l megkapjuk a másodfokú Maclaurin-polinomot, ha elhagyjuk a másodfokúnál magasabb fokó tagokat. M 2 gx) = + α αα ) x + x 2! 2! Ezután pedig már csak annyit kell tennünk, hogy α helyére -ot helyettsítünk. ) M 2 fx) = +! x + x 2 2! Utolsó lépésként hozzuk egyszer bb alakra a polinomban az együtthatókat. 2 ) M 2 fx) = + x + x 2 = + 2 x 9 x2 Eredményünk természetesen megegyezik az el z megoldásban kapottal. helyen vett má-. Feladat: Írjuk fel az fx) = sin 2x függvény a = π sodfokú Taylor-polinomját!

4 Megoldás: A feladatot most is kétféle úton oldjuk meg. Els ként megint denícióból indulunk el. Eszerint az fx) függvény a helyen vett n-edfokú Taylor-polinomja a következ : T n fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) n! f n) a) x a) n Mivel másodfokú polinom a kérdés, így n = 2. T 2 fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 Annyiban változik tehát csak a dolgunk az el z ekhez képest, hogy nem a 0 helyen kell meghatároznunk a függvény, valamint els és második deriváltjának értékét, hanem az a = π helyen. Helyettesítsünk el ször a függvénybe. ) π f = sin 2 π ) = sin π 2 = Állítsuk el a függvény deriváltját. Figyeljünk oda, mert összetett függvényr l van szó, ne felejtsünk el szorozni a bels függvény deriváltjával. f x) = cos 2x 2 = 2 cos 2x Helyettesítsünk most a deriváltba is. ) π f = 2 cos 2 π ) = 2 cos π 2 = 0 Ezután deriváljunk még egyszer. f x) = 2 sin 2x) 2 = sin 2x A második deriváltba is helyettesítsük be az a = π értéket. ) π f = sin 2 π ) = sin π 2 = Az el z ekben meghatározott fa), f a) és f a) értékeket írjuk be a Taylor-polinom képletébe, s egyben helyettesítsünk a helyére is. T 2 fx) = +! 0 x π ) + 2! ) x π ) 2 Végül hozzuk egyszer bb alakra a polinom együtthatóit. x π ) 2 Lássuk ezután a feladat másik megoldását. Középiskolából ismert a T 2 fx) = + 2 ) x π ) 2 = 2 sin α = cos α π ) összefüggés. Ezt felhasználva kapjuk, hogy 2 sin 2x = cos 2x π ) = cos 2 x π )). 2

5 Vezessük be az u = x π jelölést. Így sin 2x = cos 2u. Mivel ha x = π, akkor u = 0, ezért a sin 2x függvény a = π helyen vett másodfokú Taylor polinomja megegyezik a cos 2u függvény u = 0 helyen vett másodfokú Taylor polinomjával, azaz a másodfokú Maclaurinpolinommal. Használjuk fel, hogy a cos x függvény Maclaurin-sora ismert. cos x = 2! x2 +! x 6! x6 + x IR Hagyjuk el a másodfokúnál magasabb fokú tagokat, és írjunk x helyett 2u-t. Így megkapjuk a gu) = cos 2u függvény másodfokú Maclaurinpolinomját. M 2 gu) = 2! 2u)2 = 2u 2 Ezután pedig már csak annyit kell tennünk, hogy u helyére x π -et helyettesítünk T 2 fx) = 2 x π ) 2 Eredményünk természetesen megegyezik az el z megoldásban kapottal.. Feladat: Írjuk fel az fx) = ln x függvény a = helyen vett másodfokú Taylor-polinomját! Megoldás: Ezt a feladatot is kétféle módon fogjuk megoldani. Az els megoldás során most is a másodfokú Taylor-polinom denícióját használjuk fel. T 2 fx) = fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 Határozzuk meg a polinomban szerepl, egyel re ismeretlen fa), f a) és f a) értékeket. Helyettesítsük els ként a függvénybe az a = -ot. f = ln ) ) = ln = 0 Deriváljuk a függvényt. f x) = x = x Helyettesítsünk be a deriváltban is a helyére -ot. ) f = = 5

6 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = x 2 Helyettesítsük a második deriváltba is az a = -ot. f x) = ) 2 = 9 Majd a Taylor-polinom képletében helyettesítsünk a, fa), f a) és f a) helyére. T 2 fx) = 0 +! x ) + 2! 9) x ) 2 Végül írjuk egyszer bb alakban a polinom együtthatóit. T 2 fx) = x ) 9 x ) 2 2 Nézzük ezután a feladat másik megoldását. Most alakítsuk át a függvényt, s írjuk a következ alakban: fx) = ln x = ln + x ) = ln Ha pedig bevezetjük az u = x alakítható. fx) = ln x = ln + u) + x )). jelölést, akkor ez még tovább Azért kedvez bb ez az alak, mert a ln + x) függvény Maclaurinsora ismert, és ha x =, akkor u = 0. Ennek következtében a ln x függvény a = helyen vett másodfokú Taylor polinomja megegyezik a ln + u) függvény u = 0 helyen vett másodfokú Taylor polinomjával, azaz a másodfokú Maclaurin-plonimmal. Induljunk el tehát a ln + x) függvény Maclaurin-sorából. ln + x) = x 2 x2 + x x + x < Hagyjuk el a másodfokúnál magasabb fokú tagokat, és írjunk x helyett u-t. Így megkapjuk a gu) ln + u) függvény másodfokú Maclaurinpolinomját. M 2 gu) = u 2 u)2 = u 9 2 u2 Ha ebben u helyére x -ot helyettesítünk, akkor pedig megkapjuk a keresett Taylor polinomot. T 2 fx) = x ) 9 2 x ) 2 6

7 Természetesen ugyanazt kaptuk eredményül, mint az els megoldásban. 5. Feladat: Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következ k igazak: p0) =, p 0) =, p 0) = 6, p 0) = 2? Megoldás: Ismert egy függvény és deriváltjainak értéke a 0 helyen, ezért a Maclaurin-sor felírásából indulhatunk ki, mely egy fx) függvény esetén a következ : f0) +! f 0) x + 2! f 0) x 2 +! f 0) x + Mivel most egy polinomról van szó, így t el állítja a Maclaurin-sora. Mivel pedig a polinom harmadfokú, így negyedik és annál magasabb rend deriváltjai azonosan 0-val egyenl ek. Ez azt jelenti, hogy a Maclaurinsorban a haramadfokúnál magasabb fokú tagok nem szerepelnek, azaz a harmadfokú Maclaurin-polinomot felírva, megkapjuk a keresett polinomot. Ezt egyenletben a következ módon írhatjuk: px) = p0) +! p 0) x + 2! p 0) x 2 +! p 0) x. Ide már csak be kell helyettesítenünk a függvény és a deriváltak megadott értékeit. px) = +! ) x + 2! 6) x2 + 2 x! Végezzük el az együtthatókban a m veleteket. px) = x x 2 + 2x Ha pedig csökken fokszám szerint írjuk a tagokat, akkor px) = 2x x 2 x Összetett feladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = x 5x 2 + x + 20 függvény a = helyen vett Taylor-sorát! Megoldás: Induljunk ki a Taylor-sor deníciójából, mely fa) +! f a) x a) + 2! f a) x a) 2 +! f a) x a) + Mivel egy polinom Taylor-sorát írjuk majd fel, így a sor biztosan el fogja állítani a függvényt, azaz fx) egyenl lesz a Taylor-sorral, s a sorban a helyére -at kell helyettesítenünk. fx) = f)+! f ) x )+ 2! f ) x ) 2 +! f ) x ) + A konkrét Taylor-sort akkor tudjuk felírni, ha meghatározzuk az f), f ), f ) értékeket. Els ként helyettsítsük a függvénybe a -at. 7

8 f) = = 5 Deriváljuk a függvényt. f x) = x 2 0x + Határozzuk meg a derivált értékét az x = helyen. f ) = = 2 Állítsuk el a második deriváltat. f x) = 6x 0 Helyettesítsük ebbe is a -at. f ) = 6 0 = 8 Deriváljunk még egyszer. f x) = 6 A harmadik derivált egy konstans függvény, így nyilván a helyen is ezt a konstanst veszi fel, azaz f ) = 6. Mivel a harmadrend derivált konstans, így negyed és annál magasabb rend deriváltak már azonosan egyenl ek zérussal. Ez azt jelenti, hogy a Taylor-sor most véges sok tagból áll, hiszen csak az els négy tag különbözik 0-tól. Helyettesítsük be a meghatározott értékeket a Taylor-sor képletébe. fx) = 5 +! 2) x ) + 2! 8 x )2 + 6 x )! Az együtthatókon belül végezzük el a m veleteket. fx) = 5 2x ) + x ) 2 + x ) Amint látható, a Taylor-sor felírásával úgy alakult át a polinom, hogy x hatványai helyett x hatványai szerepelnek benne. Ha elvégeznénk a Taylor-sorban a hatványozásokat, és összevonnánk utána az azonos fokszámú tagokat, akkor visszakapnánk az eredeti polinomot. Ezzel ellen rizhetnénk megoldásunk helyességét. Megjegyzés: Minden polinom Taylor-sora véges, hisz ha a polinom n- edfokú, akkor az n+-edik és annál magasabbrend deriváltak azonosan nullával egyenl ek. Ezért egy n-edfokú polinom Taylor-sorában legfeljebb n+ nullától különböz tag lehet. A Taylor sor felírása úgy alakítja át a polinomot, hogy benne x hatványai helyett x a hatványai fognak szerepelni. Ha a = 0, azaz Maclaurin-sort írunk fel, akkor x a = x, így továbbra is x hatványai szerepelnek, azaz változatlan alakban marad a polinom. Ez azt jelenti, minden polinom Maclaurin-sora maga a polinom. 8

9 2. Feladat: Hogyan határozhatjuk meg közelít értékét, ha csak 0 e négy alapm veletes számológépünk van? Megoldás: Mivel 0 e = e 0., ezért a feladatot úgy is fogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelít leg az fx) = e x függvény x = 0. helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a 0. közel van nullához, ezért az fx) = e x függvény Maclaurin-sorából határozhatunk meg közelít értéket. Ezen függvény Maclaurin sora a következ : e x = +! x + 2! x2 +! x + Ebben kell x helyére 0.-et helyettesítenünk. Mivel a sornak végtelen sok tagja van, így nem tudunk a teljes sorba helyettesíteni, hanem csak a sor elejér l veszünk gyelembe véges sok tagot. Így tulajdonképpen valamelyik Maclaurin-polinomba helyettesítünk. Minél több tagot veszünk gyelembe, a közelít érték annál pontosabb lesz. Ha pl. másodfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor a következ t kapjuk: e 0. +! 0.) + 2! 0.)2 = Ha negyedfokú polinomba helyettesítünk, akkor pedig az alábbi értéket kapjuk: e 0. +! 0.) + 2! 0.)2 +! 0.) +! 0.) = = Ha nem csak a négy alapm veletet ismer számolódépünk van, akkor egyetlen lépésben a következ közelít értéket kapjuk: e Amint látható, a negyedfokú polinomból kapott érték már 6 tizedesjegyre pontos. Ha ennél is pontosabb értékre van szükség, további tagok gyelembe vételével tetsz leges pontosság érhet el. Felvet dik annak kérdése, hogy ha el re megadott pontossággal szeretnénk megkapni a közelít értéket, akkor hány tagot kell gyelembe vennünk. Ezt a Lagrange-féle maradéktag becslésével tudjuk meghatározni. Ha annak abszolút értéke már a megengedett pontosságnál kisebb, akkor megfelel közelít értéket kapunk. Ha pl. tizedesjegy pontosság elérése a feladat, akkor a Lagrange-féle maradéktag abszolút értékének nél kisebbnek kell lenni. Így olyan egyenl tlenséget fogunk kapni, amiben a tagok szám, azaz n lesz az ismeretlen. Ha n-edfokú polinomot írunk fel, akkor a Lagrange-féle maradéktag a következ : 9

10 R n+ f, x) = f n+) ξ) x a) n+ n + )! Írjuk fel az egyenl tlenséget a feladat adataival. R n+ e x e ξ 0.) n+, 0.) = n + )! = e ξ n + )! 0.)n+ < Az egyenl tlenségben szerepl ξ a [ 0., 0] intervallumnak eleme. Mivel ezen ξ értékét nem ismerjük, ezért e ξ értékét felülr l becsüljük. Az exponenciális függvény szigorúan monoton n, így legnagyobb értékét az intervallum jobb oldali végpontjában veszi fel. Ebb l e ξ e 0 = következik. Ezután az egyenl tlenség a következ : e ξ n + )! 0.)n+ n + )! 0.)n+ < Mivel az n + )! 0.)n+ < egyenl tlenség már n = esetén igaz, ez azt jelenti, hogy a tizedesjegy pontosság elérhet, ha harmadfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk.. Feladat: Ha ismerjük az ln közelít értéket, és van egy négy alapm veletes számológépünk, akkor hogyan határozhatjuk meg ln 8 közelít értékét? Megoldás: Ismerjük egy olyan függvény Maclaurin-sorát, amelyben logaritmus szerepel, ez az fx) = lnx + ). Tudjuk, hogy ln + x) = x 2 x2 + x x + Egyszer lenne itt x = 7-et helyettesíteni, de ezt nem tehetjük meg, mert ez a sor csak akkor konvergens, ha x <. Úgy segíthetünk magunkon, ha a ln 8-at más alakban írjuk fel. ln 8 = ln0 2) = ln 0 0.2)) = ln 0 + ln 0.2) Mivel ln 0 értékét ismerjük, így lényegében az ln 0.8 = ln 0.2) = ln + 0.2)) közelít értékét kell meghatároznunk. Ezt a ln+x) Maclaurin-sorából kaphatjuk x = 0.2 helyettesítéssel. A konkrét közelít értéket negyedfokú polinomból számoljuk ki. ln+ 0.2)) ) ) 0.2) Ezután térjünk vissza az eredeti kérdéshez. ln 8 = ln 0 + ln = Megjegyzés: Egy tudományos funkciókkal is rendelkez számológéppel a ln közelít értéket kapjuk. Bár az el z feladathoz 0

11 hasonlóan most is negyedfokú polinomból számoltunk közelít értéket, mégis azt látjuk, hogy itt csak tizedesjegy lett pontos. Ez érthet, mert a pontosságot nagy mértékben befolyásolja x nagysága, hiszen minél nagyobb az x, annál lassabban tartanak zérushoz a sor tagjai, s így annál lassabb a konvergencia. Mivel most x kétszer akkora volt, mint az el z feladatban, ezért kisebb pontosság volt várható. Természetesen a pontosságon javíthatunk, ha a sor több tagját vesszük gyelembe.. Feladat: Hogyan határozhatjuk meg 6 közelít értékét egy négy alapm veletes számológép segítségével? Megoldás: Mivel = 6 2, ezért a binomiális sorból indulhatunk 6 ki, mely szerint + x) α = + α! x + αα ) 2! x 2 + αα )α 2)! x + Nyilvánvaló, hogy most α helyére kerül majd. Egyszer nek t nne, 2 hogy az x helyére pedig kerüljön 5, azonban ez nem járható út, mert a sor csak x < esetén konvergens. Mint az el z feladatban, most is írjuk más alakban a közelítend számot. = 6 6 = = 2 2.5) = ) 2 2 Így tulajdonképpen az.5) 2 közelít értékét kell meghatároznunk, majd azt -del szorozni. Így már nincs baj a konvergenciával, hisz ha 2 + x =.5, akkor x = 0.5, s ez eleget tesz az x < feltételnek, ami konvergenciához szükséges. A közelít értéket most harmadfokú polinomból számoljuk ki..5) 2 = + 0.5) ) 0.5) 0.5 ) ) 2 +! 2! 0.5) 0.5 ) 0.5 2) 0.5) = ! Majd térjünk vissza a eredeti kérdéshez = Ha egy jobb számológép is rendelkezésünkre áll, akkor azzal az közelít értéket kapjuk. Látható, hogy az általunk számolt közelítés elég pontatlan, ami annak tudható be, hogy csak harmadfokú közelítést használtunk, és x is nagyobb volt, mint az eddigi feladatokban.

12 Megjegyezzük, hogy a feladatot némileg máshogyan is megoldhattuk volna, ha a közelítend számot másképp alakítjuk át. Tekintsük a következ átalakítást. 6 = = 9 2 = 2 ) 2 = ) 2 + )) 2 Ezután ugyanúgy járhatnánk el, mint a fenti megoldásban, csak most x helyére -ot kellene helyettesíteni. Ez bizonyos szempontból még kedvez bb is lenne, hiszen így x kisebb, ezáltal jobb közelítést várhatnánk. = 2

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 5. Taylor-polinom DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÉZI CSABA GÁBOR 5. Taylor-polinom 5.. Feladat. Írjuk fel az f(x) = e x függvény x 0 = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét!

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon

Tananyag. Amikor ez nem sikerül (vagy nem érdemes előállítani a megoldás képletét, mert pl. nagyon 5. lecke. A megoldás előállíthatóságának problémája. Egy közelítő módszer, hibabecsléssel Tananyag Láttuk az előzőekben, hogy az y = f(x, y) differenciálegyenlet jobb oldalának, az f = f(x, y) kétváltozós

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

II. rész. Valós függvények

II. rész. Valós függvények II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...

Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke... Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Matematika 1 mintafeladatok

Matematika 1 mintafeladatok Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben