MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! 0 a) 0 (4 pont) b) (4 pont) c) lg 6 lg d) sin lg cos, 5 cos (4 pont) (4 pont) a) A nevező nem lehet 0, ezért 0 ebből A továbbiakban a tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát 0 0, azaz és,5 Így az egyenletnek csak egy valós megoldása van:,5 b) A rendezés után kapott egyenletet mindkét oldalról négyzetre emelve, rendezés után kapjuk, hogy Innen 9 Behelyettesítéssel ellenőrizve ez jó megoldás. c) A logaritmus értelmezése szerint: 6 0 és 0 Az első egyenlet megoldásai azon valós számok, amelyekre 3 vagy a másodiké: A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása. d) A jobb oldali kifejezés az értelezési tartományán csak nem negatív lehet, így sin 0. Ez csak k k esetén teljesül De mivel cos k 0 minden k esetén és nullára a logaritmus nincs értelmezve, így nincs olyan valós szám, amelyre az egyenlet értelmezve lenne, így nincs megoldása. Összesen: 6 pont

2 ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: lg 8 0 a) b) 6 a) A logaritmus értelmezése alapján: 8 0 ( vagy ) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. azaz ha 0 lg 8 0 vagy. eset: 0 lg 8 0 lg 8 lg. eset: vagy 3 Az nem eleme az értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány 3 és 3 elemei a megoldások, mert az átalakítások ekvivalensek M 3; 3 voltak. b) Ha 0, akkor az egyenlet 0-ra redukált alakja 6 0; ha 0, akkor a megoldandó egyenlet: 6 0. eset: ( 6 0, 0). Az egyenlet gyökei: 3 ; Csak az 3 megoldása az egyenletnek az 0 feltétel miatt. eset: ( Csak az 6 0, 0). Az egyenlet gyökei: ; 3 3 megoldása az egyenletnek az 0 feltétel miatt Összesen: 0 pont 3) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! lg lg 3 + = a) b) 3 (6 pont) a) A logaritmus azonosságait és a 0-es alapú logaritmus szigorú monotonitását másodfokú egyenlet felhasználva, megoldandó a 3 Ezt megoldva:, 3 3 ( pont) 3 Mivel a bal oldal értelmezése alapján, ezért nem gyöke az 3 3 egyenletnek Az 3 kielégíti az eredeti egyenletet.

3 b) A jobb oldalon alkalmazva a hatványozás azonosságait, megoldandó a 3 9 egyenlet ( pont) 9 Ebből rendezéssel kapjuk, hogy 3 ( pont) lg Innen log lg A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet Összesen: pont 4) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 0 4 log 9 sin 6 5) ( pont) sin lg 0 log Így az 0 0 egyenletet kell megoldani, ebből 4 6 (4 pont) Ellenőrzés: jó megoldás nem jó megoldás Összesen: pont a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 6 b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg y lg (9 pont) lg lg lg y a). eset: 6 0, 6 ennek valós gyökei és 3 Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek. eset: 6 0, 6 ennek nincs valós megoldása Tehát az egyenlet megoldásai a 3 és a.

4 b) 0 és y a logaritmus értelmezése miatt A logaritmus azonosságait használva lg y lg lg lg y ( pont) Az lg függvény szigorú monoton nő y y A második egyenletből kifejezzük -et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy 4y y 6 0 Ennek valós gyökei és 0,75 Az y miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak Ezért csak y és így egyenletnek lehetséges. A ; számpár megoldása az Összesen: 4 pont 6) Oldja meg az alábbi egyenleteket! log0,5 a) 0,5 3, ahol 0 és (4 pont) b) 7 6 log log, ahol és (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 3 egyenletben a hatványozás megfelelő azonosságát alkalmazva, az 0,5 0,5 log0,5 Innen a logaritmus definíciója szerint Ebből 3 egyenlethez jutunk. 0,5 3 egyenlet adódik ( pont) log b) Mivel log log 6 Így a megoldandó egyenlet: 7 log log Mindkét oldalt log -szel szorozva, és az egyenletet nullára redukálva: log 7log 6 0 A log -re másodfokú egyenlet megoldásai: log 6 vagy log 64 vagy Mivel, a 64 nem megoldás A megadott halmazon az egyenleteknek egy megoldása van, a. Összesen: pont

5 7) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá 0, és y 0, y. log y log y sin 3y sin 4 y (3 pont) Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y log y ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ( pont) ezért log y azaz y Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5, azaz sin5 Innen 5 k 6 5 vagy 5 l 6 ahol k és l A megoldások így: y k k 30 5 és y l 6 5 l A kapott értékek kielégítik az egyenletet Összesen: 3 pont 8) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 3 3 log y log y y 9 cos y cos y 0 (6 pont) A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: 3 3 log y log y log y 3log 3 3 log y log (3 pont) y y Így az első egyenlet: log ylog A log y és a log y egymás reciprokai, és összegük y ( pont) Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy y ( pont) Beírva a második egyenletbe: cos cos 0 0, ahonnan cos ( pont) Ez akkor és csak akkor teljesül, ha k, azaz k, ahol k (3 pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, y k, k ( pont)

6 Összesen: 6 pont 9) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) cos log (3 pont) b) log cos c) log cos a) A négyzetgyök miatt 0 A logaritmus miatt 0 A keresett halmaz: 0;+ b) A logaritmus miatt cos 0 log cos 0 A négyzetgyök miatt azaz cos A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos Az értelmezési tartomány tehát k, k c) A logaritmus alapjai miatt 0 és A logaritmus miatt cos 0 Tehát cos 0 k ahol k Az értelmezési tartomány tehát \ ahol k k Összesen: 3 pont 0) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) (4 pont) b) ( )( 4) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: ;0 Négyzetre emelés után: Az 0 egyenlet gyökei: és. Közülük csak a eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maimális pontszám jár) b) Közös alapra hozva a két oldalt: ( )( 4)

7 Az eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az alapok elhagyhatóak: 4 4 Ebből vagy ( pont) 4. Ebből 3 vagy 3 5. Ellenőrzés. Összesen: pont ) Jelölje H a 5, 3 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, 6 amelyekre a logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a B \ H halmazt! ( pont) A gyökös kifejezés értelmezési tartomány vizsgálata alapján: 5,. Az egyenlőtlenség elvégzése során: 5, 9 3,8 Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melyek 3,8 -nál nagyobbak és 5,-nél kisebbek: H ;;3; 4;5 6 k 6 Ha logb k, akkor b, ami 64. ( pont) A k kitevő pozitív egész, ezért a b olyan pozitív egész szám lehet, melynek valamely pozitív egész kitevős hatványa 64-gyel egyenlő: ( pont) B ; 4; 8; 64. Ezért H B ; 4 \ 8;64 B H Összesen: pont ) a) Igazolja, hogy a, a 0 és a 3 is gyöke a egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 3 cos 5cos 3cos 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hogy a egyenletnek nincs valós gyöke! a)

8 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az 0 valóban gyök. A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: A két gyök: és 3, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent: y cos! 3 A y 5y 3y 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) feladatrészből tudhatunk is: y 0, y, y3 3. Mivel a cos kifejezés értéke - és között mozoghat csak, ezért a 3 nem jó megoldás. A cos 0 egyenlet megoldása: k, ahol k ( pont) A cos egyenlet megoldásai:,3 m, ahol m 3 ( pont) c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: vagy. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 6 pont 3) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin sin cos b) lg lg (7 pont) a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin sin sin. sin sin 0, Innen sin, k, ahol k. Ellenőrzés

9 b) A logaritmus függvény értelmezése miatt , ezért az egyenlet lg lg Mivel lg lg alakban is írható. lg Az 5 -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: lg 5 lg és 5 5. lg Mivel 5 lg 0, ezért 5 nem lehetséges. lg Ha 5 5, akkor 0. Ellenőrzés Összesen: pont 4) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel %-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! (8 pont) A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 00 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! (6 pont) a) Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel b (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg 0,7b (Ft). b 0 Ha a bevételek egyenlősége év múlva következik de, akkor,04 0,7 0,98 b, amiből (a pozitív b -vel való osztás után),04 0,7 0, 98. Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve és a logaritmus azonosságait felhasználva: lg,04 lg 0,7 lg 0,98 ( pont) lg 0,7 Ebből 6 lg 0,98 lg,04 A két forrásból származó árbevétel 6 év múlva lesz (körülbelül) egyenlő. Ellenőrzés

10 b) Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál: 80, annak a valószínűsége, hogy nem reklamál: 79 P legfeljebb reklamál P senki nem reklamál P reklamál P reklamál (3 pont) , 843 0, , 55 0, 87 Összesen: 4 pont