4. Hatványozás, gyökvonás

Átírás

1 I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) y z (D) 8 y z (E) Ezek egyike sem. BME 06. február 9. (6A) Törtkitevőjű htványokkl érdemes dolgozni. n n m m A htványozás zonosságit hsználjuk: ( ) =, n m n m, n m nm y z y z y z z y y z z y z y Tehát jó válsz z (A).. Gyöktelenítse nevezőt! (A) 6 (B) 6 (C) 6 6 A nevező konjugáltjávl, ( 6 + )-vel bővítjük törtet Tehát jó válsz (B). (D) (E) Ezek egyike sem. BME 0. szeptember. (6A)

2 . Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! ELTE 0. december A négyzetgyök kkor vn értelmezve, h 0 és 0. Mivel bloldl nemnegtív, jobboldlr 0 feltétel dódik. Ezek együtt kkor teljesülnek, h 9 Mivel mindkét oldl nemnegtív, így négyzetre emelhetünk: A bloldli kifejezés zérushelyeit másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kpjuk: és 7. A pozitív főegyütthtójú másodfokú függvény zérushelyek között negtív. Vessük össze kpott eredményt z értelmezési trtománnyl: Tehát megoldás: 7.. Oldj meg z egyenletrendszert vlós számok hlmzán! 7 y y ELTE 0. október

3 A htványozás zonosságit hsználjuk: y y y 6 y 7 y Vezessünk be új ismeretleneket: : ; : b. 6b 6 b 7 96 b 90 b 90b 96b 70b 0 96b 66b Visszhelyettesítve változókt kpjuk megoldást: 6, vgyis ; Ellenőrzés: y ; miből y. b 90 6 I. Egyenlet: II. Egyenlet: B: 7 7 J: A megoldás jó. 6

4 II. Ismételjünk!. Htványozás, gyökvonás értelmezése, zonossági -.oldl. Négyzetgyökös egyenletek Eponenciális egyenletek

5 III. Gykorló feldtok. Számíts ki z lábbi htványok pontos értékét! ) b) 8 c) 6 d) e) 8 7 f) 8 g) 8 6 h) 0,00. Fejezze ki z, b, c és d pozitív prméterek htványink szorztként z lábbi kifejezést! b c d b c d (A) bc d (B)c d (C)bc d (D) bc d (E) Egyik sem. Számíts ki z lábbi kifejezés pontos számértékét! BME 0. szeptember. (B) ELTE 0. szeptember (tnárszk). Melyek igzk z lábbi egyenlőségek közül, h z ismeretlenek tetszőleges pozitív számokt jelölnek? ) b) 0 7 c) d) b b b e) f). Gyöktelenítse z lábbi törtek nevezőjét! ) c) 7 b) d) 6. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! (A) (B) 6 (C) 8 (D) (E) 6 BME 06. február 9. (6A)

6 7. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) b) 8 0. Mely vlós értékekre teljesül z lábbi egyenlőtlenség: 0 ELTE 0. szeptember (fizik, földtudományi, környezettn BSc). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán!. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! 6 6 ELTE 0. szeptember (mtemtik BSc). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: 6 6 ELTE 0. december 6

7 IV. Megoldások. Számíts ki z lábbi htványok pontos értékét! ) b) 8 c) 6 d) e) 8 7 f) 8 g) 8 6 h) 0,00 ) b) c) d) e) f) g) h) 0, Fejezze ki z, b, c és d pozitív prméterek htványink szorztként z lábbi kifejezést! b c d b c d (A) bc d (B)c d (C)bc d (D) bc d (E) Egyik sem BME 0. szeptember. (B) 7

8 A htványozás zonosságit hsználjuk: ( ) = ; n m n m ; n m b c d b c d = b c d b c d = b c d = c d Tehát jó válsz (B).. Számíts ki z lábbi kifejezés pontos számértékét! nm ELTE 0. szeptember (tnárszk) Megjegyzés: A megoldás során következő zonosságokt hsználtuk: b b b. n b b b ; nk k ;. Melyek igzk z lábbi egyenlőségek közül, h z ismeretlenek tetszőleges pozitív számokt jelölnek? ) b) 0 7 c) d) b b b e) Dolgozhtunk gyökökkel vgy törtkitevőjű htványokkl. Ennek megfelelően némely részfeldtnál többféle megoldási lehetőséget is muttunk. f) ) HAMIS 6 vgy: HAMIS 8

9 b) IGAZ 0 vgy: IGAZ c) IGAZ d) b b b b b b IGAZ 8 9 vgy: e) 8 9 b b b b b b b b b 6 6 IGAZ HAMIS f) 9 0 IGAZ Összefogllv: ) HAMIS b) IGAZ c) IGAZ d) IGAZ e) HAMIS f) IGAZ. Gyöktelenítse z lábbi törtek nevezőjét! ) c) 7 b) d) 9

10 ) b) c) d) Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! (A) (B) 6 (C) 8 (D) (E) 6 BME 06. február 9. (6A) A helyes válsz (D). 7. Számíts ki z lábbi kifejezés értékét! A négyzetgyök ltti számokt igyekezzünk szorzttá bontni oly módon, hogy z egyik tényező négyzetszám legyen. Ebből tényezőből gyököt vonhtunk Oldj meg z lábbi egyenletet vlós számok hlmzán! 6 0 0

11 Vizsgáljuk meg z egyenlet értelmezési trtományát! A négyzetgyök ltt nem állht negtív szám, emitt 0, így. Mielőtt négyzetre emelnénk z egyenletet, át kell rendezni oly módon, hogy z egyik oldlon egyedül mrdjon négyzetgyök. A négyzetre emelés nem ekvivlens átlkítás, emitt vgy további vizsgáltokt kell tennünk z előjelekre vontkozón, vgy ellenőriznünk kell z egyenletet, hogy kiszűrjük z esetleges hmis gyököket. Ez utóbbi lehetőséget válsztjuk., és Mindkét gyök benne vn z értelmezési trtománybn. Még ellenőriznünk kell megoldásokt, hisz négyzetre emelés mitt hmis gyököt is kphttunk. H : , tehát ez nem megoldás. H : 6 0. Tehát z egyenlet egyetlen megoldás z. Megjegyzés: Jól látszik, hogy vlóbn hmis gyök (és nem számolási hib). H négyzetre emelés előtti egyenletbe helyettesítjük értéket, z egyik oldlr 9, másikr 9 dódik. Ezek négyzete vlóbn egyenlő. 9. Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) b) 8 ) Vizsgáljuk meg z egyenlet értelmezési trtományát! A négyzetgyök ltt nem állht negtív szám, emitt 0, vgyis,, ugynkkor 0, vgyis. A két

12 intervllumnk nincs közös része, emitt z egyenlet értelmezési trtomány üres hlmz. Az egyenletnek nincs megoldás. b) Mivel négyzetgyök értéke nemnegtív szám, emitt z egyenlet bloldl, míg jobboldl 0 A két kifejezés nem lehet egyenlő, így z egyenletnek nincs megoldás. 0. Mely vlós értékekre teljesül z lábbi egyenlőtlenség: 0 ELTE 0. szeptember (fizik, földtudományi, környezettn BSc) Mivel négyzetgyök ltt csk nemnegtív szám állht és nevező értéke nem lehet null, bloldli kifejezés csk kkor értelmes, h és, tehát z lphlmz. Hozzunk közös nevezőre, mjd közös nevezővel vló beszorzás után rendezzük z egyenletet és emeljünk négyzetre! Ezt megtehetjük, mivel z egyenlőtlenség mindkét oldlán pozitív kifejezés áll A feltétel és 0 összevetéséből megoldáshlmz 0.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! A htványozás zonosságink felhsználásávl mindkét oldlt átlkítjuk htványává

13 A -s lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt kitevők lesznek egyenlők. Rendezzük kpott egyenletet! Ellenőrzés: 9 7 B: J: A megoldás jó.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! A htványozás zonosságink segítségével lkítjuk bl oldlt. Célunk, hogy -t kiemelhessünk. Ellenőrzés: 8 6 A megoldás jó. 7 (Mivel z eponenciális függvény szigorún monoton.). Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán! 8 7 0

14 Mivel, vlójábn egy másodfokú egyenlettel vn dolgunk. Bevezetünk egy új ismeretlent: :. Behelyettesítés után megoldjuk kpott másodfokú egyenletet, mjd visszhelyettesítünk: , és 7 Visszhelyettesítünk:. H, kkor =; míg z 7 nem d megoldást. ( értéke nem lehet negtív.) Ellenőrzés: A megoldás jó.. Oldj meg következő egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! ELTE 0. szeptember (mtemtik BSc) Mivel -es lpú eponenciális függvény szigorún monoton növekedő, z egyenlőtlenség kitevőkre is igz, tehát: Oldjuk meg külön két egyenlőtlenséget! 0 6 Az 6 kifejezés zérushelyeit másodfokú egyenlet megoldóképletének segítségével kpjuk: és. Mivel másodfokú függvény főegyütthtój pozitív, így kifejezés pozitív, h vgy. Az 6 egyenlőtlenséget 0-r rendezve: 0. A másodfokú kifejezés 7 7 zérushelyei: 0, és,6. Most negtív értékeket keressük, emitt: 7 7.

15 Ábrázoljuk közös számegyenesen kpott intervllumokt: Összevetve két egyenlőtlenség megoldását, mindkettő teljesül, h 7 7 vgy.. Oldj meg következő egyenletet vlós számok hlmzán: 6 6 ELTE 0. december A htványozás tuljdonsági lpján átlkítjuk z egyenletet, mjd -nel (nem null) elosztjuk mindkét oldlt. Ellenőrzés: Az eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt. B: J: A megoldás jó.