1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

Átírás

1 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás: A logritmus értelmezése mitt 0 A logritmus zonosságink lklmzásávl kiinduló egyenlet más lkb is írhtó: (log log ) log (log log ) + log, illetve () ( log ) log ( log ) + log A műveletek elvégzése és rendezés után: () log + log log 0 () bl oldl szorzttá lkíthtó: () log ( + log ) 0 Ez kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezője 0 H log 0, kkor H pedig + log 0, kkor log, innen 8 Mind 0, mind 0, és behelyettesítve látjuk, hogy kielégítik z egyenletet Tehát mindkettő megoldás feldtnk Összesen: 8 pont

2 feldt Melyek zok z, y rcionális számokból álló számpárok, melyekre teljesül, hogy 65 4 y 65 4y? y és Megoldás: A kiinduló egyenletekből következik, hogy sem, sem y nem lehet 0, továbbá z is, hogy () 4y y 65 és 4y 65 Az () összefüggések mitt () 4y + 4 y ( + y ) 0 () bl oldlát szorzttá lkítjuk: () ( + y) (5y y ) 0 Ez kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezője 0 H + y 0, kkor y, innen pedig vlmelyik eredeti egyenletbe helyettesítve z 65 5, mjd z (4) 5 egyenlethez jutunk (4) megoldás ezért következik 5, y 5 Ellenőrizve látjuk, hogy z 5 és y 5 rcionális számok, és mindkét kiinduló egyenletet kielégítik, ezért megoldási feldtnk H ()-ból 5y y 0, kkor y nem egyenlő 0-vl osztv

3 (5) 5 0 y y egyenletre jutunk Az jelöléssel z (5) egyenlet y (6) (6) megoldási: 5 + és 5 A kpott, számok irrcionálisk, de h, y rcionális, kkor hánydosuk is rcionális lenne Ezért és feldtnk nem megoldási Tehát rcionális számokból álló számpárok hlmzán z egyenletrendszernek csk z 5, y 5 számpár megoldás Összesen: 8 pont feldt Egy körbe beírtunk egy szbályos háromszöget Egyik oldlávl párhuzmosn olyn szelőt húztunk, mely metszi háromszög másik két oldlát és kpott húr 7 5 -ed része vn háromszögön belül Tudjuk még zt is, hogy mind háromszög oldl, mind húr háromszögön belüli és zon kívüli drbjink mérőszám egész szám ) Mekkor legkisebb ilyen háromszög oldl? b) Milyen távol vn ez húr kör középpontjától? Megoldás: Jelöléseink z ábrán láthtók C - G E O K L D F A H B

4 Jelöljük GF húr hosszúságát h -vl! A feltétel mitt 5 () ED h 7 A GE és DF szkszok CH egyenesre nézve szimmetrikusn helyezkednek el, tehát ()-ből következően: () GE DF h 7 A D ponton átmenő húrok drbjink szorzt állndó, ezért () és () felhsználásávl: 6 () ( ) h h 7 7 Ugynkkor CED háromszög szbályos háromszög, miből 5 (4) h 7 következik Ezt beírv ()-b: 6 (5) h 5 (4)-ből és (5)-ből (6) h 5 A feltétel szerint háromszög -vl jelölt oldl egész szám (6)-ból láthtón legkisebb ilyen egész számot kkor kpjuk, h h 5 legkisebb egész számú többszöröse, zz h 5 Ekkor, és ED 5, vlmint DF6 is egészek, tehát feldtnk megfelelnek Ezután kiszámítjuk z OK d távolságot Tudjuk, hogy O z ABC háromszög súlypontj, ezért Az OLC és HBC háromszögek hsonlók, így Mivel AB, ezért HB OC HC OC HC OL HB

5 Az utóbbik mitt OL Az ABC háromszög körülírt körének sugrát R -rel jelölve és felírv z egymáshoz hsonló KDC, vlmint OLC háromszögek oldlink rányát: R + OK R KD OL Ebbe behelyettesítve z ismert KD és OL értékeket kpjuk, hogy: R + OK R Ebből következik, hogy innen pedig Mivel ezért zz OK R 6 OK R 6 R, R, OK, 6, honnn középpont és húr távolság d OK 6 Összesen: 0 pont

6 4 feldt Az ( n ) soroztbn n+ 4 n n Milyen egész szám esetén lesz sorozt egy bizonyos tgtól kezdve állndó? Megoldás: A sorozt tgjir vontkozó feltétel mitt tudjuk, hogy h sorozt első tgj egész szám, kkor minden további tgj is egész szám H vn olyn n melyre n negtív egész szám, kkor n+ is negtív egész szám, és z is nyilvánvló, hogy n+ n Ezekből következően negtív egész esetén sorozt monoton csökkenő, ezért nem állndó H vlmilyen n -re n 4 -nél ngyobb egész szám, kkor feltétel mitt n+ ismét negtív egész, vgyis 4-nél ngyobb egész számr sorozt ismét monoton csökkenő, zz nem állndó A fentiek mitt z csk 0,,, és 4 számok vlmelyike lehet Ezek számok mind megfelelnek feldt követelményeinek, mert: 0 esetén nyilvánvló, hogy sorozt minden tgj 0; esetén második tgtól kezdve sorozt minden tgj -ml egyenlő; esetén hrmdik tgtól kezdve sorozt minden tgj 0-vl egyenlő (z első két tg illetve 4); esetén sorozt minden tgj -ml egyenlő; 4 esetén második tgtól kezdve sorozt minden tgj 0 Összesen: pont

7 5 feldt Az ABC derékszögű háromszögben C csúcsból z AB átfogór rjzolt mgsságvonl z AB átfogót D pontbn metszi A CD szksz felezőpontj O, z A pontot z O-vl összekötő egyenesnek BC-vel vló közös pontj M CM Mutss meg, hogy cos α, hol α háromszög A MB csúcsánál levő belső szöget jelenti! Megoldás: Jelöléseink z ábrán láthtók D A K O B M C Az ábrán párhuzmost húztunk C ponton keresztül z AM szksszl, ez z egyenes z AB egyenesét K pontbn metszette A DO és CO szkszok hosszánk egyenlőségéből, és AM, illetve CK párhuzmosságából következik, hogy AD KA, mivel OA középvonl DCK háromszögnek Írjuk föl párhuzmos szelők tételét z ABC háromszög B csúcsánál levő belső szögre: CM KA () MB AB Mivel () AD KA, ezért () helyett írhtó, hogy: CM AD MB AB A () összefüggés jobb oldlát bővítjük AB-vel: CM AD AB () MB AB Az ABC háromszög AC befogójár felírt befogótétel szerint: (4) AC AD AB

8 A () és (4) összefüggések együttesen zt jelentik, hogy: CM AC AC (5) MB AB AB Viszont z ABC háromszögből ezért (5) szerint és ez z mit bizonyítni krtunk AC AB CM MB cosα, cos α, Összesen: pont