Szinusz- és koszinusztétel

Átírás

1 Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α : β : γ : :. Legyen α x, β x, γ x. Ekkor α + β + γ x + x + x 9x 80 x 0 A háromszög szögei: α x 0, β x 60, γ x 80. A háromszög oldlink rány: : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 80. Htározd meg háromszög szögeit, h : : : 5 : 6. Legyen x, 5x, 6x. Koszinusz tétel mitt: + os α os α + (5x) + (6x) (x) (5x) (6x) 5 60 α + os β os β + Ekkor szögek rány: (6x) + (x) (5x) (6x) (x) γ 80 α β α : β : γ : 58 : β 58. Egy háromszögen α β,,. Mekkor hrmdik oldl? Szinusztétel mitt: zz Így hrmdik oldl: sin β sin β sin β os β os β os β 6 β 0 α β 0 80 γ 80 α β os γ + os Számítsuk ki háromszög hiányzó oldlink, ill. szögeinek ngyságát, h

2 () 5 m, β 8, γ 07 ; () 76, 85, γ 5 ; () m 80, α 5, β 67 ; (d) 0, α 60, β 75. () 5 m, β 8, γ 07 ; α 80 β γ sin β () 76, 85, γ 5 ; sin β 5 sin 8 sin 5 7, 5 sin 07 sin 5 05, sin , 885 α β 80 α γ 80 5 sin β () m 80, α 5, β 67 ; sin β 5 sin sin 00 (d) 0, α 60, β 75 sin 90 sin 90 m m sin β m 80 sin 5 60, m sin β 80 sin 67 0, γ 80 α β , sin 6 sin 5 5, 6 γ 80 α β sin 60 sin 5 0 sin 75 sin (5 + 0 ) sin 5 os 0 + os 5 sin 0 sin β sin β 0 sin 75 sin ( ) + ( +) 0 ( + ) 6. Bizonyítsuk e, hogy prlelogrmmár, melynek oldli és, szöge α, átlói e és f, érvényes e + f ( + ).

3 A koszinusztételt lklmzv: os (80 α) os 80 os α sin 80 os α e + os (80 α) + + os α Ekkor f + os α e + f + ( + ) 7. A romusz egyik első szöge 60 -os, oldl 0 m hosszú. Számítsd ki romusz területét! A szinusztétel mitt Ekkor romusz területe: m sin 60 0 sin 90 m 0 5 T m A folyó prtján álló 0 m mgs torony tetejéől folyó szélességét 60 -os szög ltt látjuk. Milyen széles folyó? A szinusztétel mitt: l sin 60 0 sin 0 l Az ABC háromszög egyik oldl m, rjt fekvő szögek ngyság α 5, ill. β 05. Számítsuk ki háromszög hiányzó oldlink ngyságát és háromszög köré írhtó kör sugrát. sin 05 sin ( ) sin 60 os 5 + os 60 sin 5 γ 80 α β sin 5 sin 0 + ( + )

4 sin β sin β A háromszög köréírt körének sugr: r sin 05 sin 0 sin 0 ( +) ( ) + 0. Számítsd ki z ABC háromszög köré írt kör sugrát, h 7, γ 78. A háromszög köréírt körének sugr: r 7 sin , 9785, 8. Két egyenes ányfolyosó z A pontn tálkozik és z áltluk ezárt szög 7. Az egyik folyosó B pontját össze kjuk kötni másik folyosó C pontjávl. Milyen hosszú z összekötő BC folyosó, h AB 7, 8 m és AC 05, m? Koszinusztételt mitt: BC AB + AC AB AC os γ 7, , 7, 8 05, os 7 696, 987 BC 8, 9. Szögei szerint milyen z háromszög, melynek dti (oldlit és szögeit szokásos módon jelölve) (),, 8; () 7,, ; () 5, 7, 5; (d) 79, 58, 7. Mivel háromszög legngyo szöge legngyo oldlll szemközt helyekedik el, ezért mind négy eseten meghtározzuk legngyo oldlll szemközti szög koszinuszát. H negtív lesz, kkor tompszögű, null esetén derékszögű, míg h pozitív, kkor hegyesszögű lesz háromszög. (),, 8; + os γ os γ + os γ Mivel os γ < 0, ezért háromszög tompszögű. () 7,, ; + os γ os γ + os γ Mivel os γ < 0, ezért háromszög tompszögű. () 5, 7, 5; 6 5 < < 0 + os α os α + os α Mivel os α > 0, ezért háromszögünk hegyesszögű > 0

5 (d) 79, 58, 7. + os α os α + os α Mivel os α < 0, ezért háromszögünk tompszögű < 0. Az őrjárt -os menetelési szög ltt indult el, de 7 km-nyi út megtétele után menetelési szöget 75 -r módosították. Een z irányn járőr megtett továi 8 km utt. Mekkor távolságr volt kiindulási ponttól légvonn? α x os 8 80, 696, 9. Egy torony vízszintes terep A pontjáól α 9 -os szög ltt látszik. H 50 m-rel közele megyünk toronyhoz, kkor innen tornyot β 58 -os szög ltt látjuk. Milyen mgs torony? A feldt értelméen α 9, β 58. Mivel egy háromszög külső szöge nem mellette lévő első szögek összege, ezért γ β α A szinusztétel mitt: 50 Továá derészögű háromszögen: Tehát torony 8 m mgs sin 9 sin 9 96, 6 sin β h h sin β 96, 6 sin 58 8