MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ"

Átírás

1 Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

2 Formi előírások: Fontos tudnivlók 1. A dolgoztot vizsgázó áltl hsznált színűtől eltérő színű tolll kell jvítni, és tnári gykorltnk megfelelően jelölni hibákt, hiányokt stb.. A feldtok mellett tlálhtó szürke tégllpok közül z elsőben feldtr dhtó mximális pontszám vn, jvító áltl dott pontszám mellette levő tégllpb kerül.. Kifogástln megoldás esetén elég mximális pontszám beírás megfelelő tégllpokb. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy z egyes részpontszámokt is írj rá dolgoztr. Trtlmi kérések: 1. Egyes feldtoknál több megoldás pontozását is megdtuk. Amennyiben zoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknk z útmuttó egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek lpján pontozzon.. A pontozási útmuttó pontji tovább bonthtók. Az dhtó pontszámok zonbn csk egész pontok lehetnek.. Nyilvánvlón helyes gondoltmenet és végeredmény esetén mximális pontszám dhtó kkor is, h leírás z útmuttóbn szereplőnél kevésbé részletezett. 4. H megoldásbn számolási hib, ponttlnság vn, kkor csk rr részre nem jár pont, hol tnuló hibát elkövette. H hibás részeredménnyel helyes gondoltmenet lpján tovább dolgozik, és megoldndó problém lényegében nem változik meg, kkor következő részpontszámokt meg kell dni. 5. Elvi hibát követően egy gondolti egységen belül (ezeket z útmuttóbn kettős vonl jelzi) formálisn helyes mtemtiki lépésekre sem jár pont. H zonbn tnuló z elvi hibávl kpott rossz eredménnyel, mint kiinduló dttl helyesen számol tovább következő gondolti egységben vgy részkérdésben, kkor erre részre kpj meg mximális pontot, h megoldndó problém lényegében nem változik meg. 6. H megoldási útmuttóbn zárójelben szerepel egy megjegyzés vgy mértékegység, kkor ennek hiány esetén is teljes értékű megoldás. 7. Egy feldtr dott többféle helyes megoldási próbálkozás közül vizsgázó áltl megjelölt változt értékelhető. 8. A megoldásokért jutlompont (z dott feldtr vgy feldtrészre előírt mximális pontszámot meghldó pont) nem dhtó. 9. Az olyn részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásk, de melyeket feldt megoldásához vizsgázó ténylegesen nem hsznál fel. 10. A vizsgfeldtsor II. részében kitűzött 5 feldt közül csk 4 feldt megoldás értékelhető. A vizsgázó z erre célr szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte nnk feldtnk sorszámát, melynek értékelése nem fog beszámítni z összpontszámáb. Ennek megfelelően megjelölt feldtr esetlegesen dott megoldást nem is kell jvítni. H mégsem derül ki egyértelműen, hogy vizsgázó melyik feldt értékelését nem kéri, kkor utomtikusn kitűzött sorrend szerinti legutolsó feldt lesz z, melyet nem kell értékelni. írásbeli vizsg 1111 / 011. május.

3 I. 1. ) első megoldás Az f függvény egy negtív főegyütthtós másodfokú függvénynek egy zárt intervllumr vett leszűkítése. Grfikonj egy lefelé nyitott prbolánk egy íve. Teljes négyzetté kiegészítéssel x x + ( x + 1) + 4. A ( 1;4) pont prbol tengelypontj, mely függvény grfikonjánk is pontj. Tehát f [ ; 1] intervllumon szigorún monoton növő, [ 1; 5] intervllumon pedig szigorún monoton fogyó. Az eddigiekből következik, hogy ( 1) mximumhelye f-nek és mximum értéke 4. A minimum zárt intervllum két htáránk vlmelyikénél lehet: f ( ) =, f ( 5) =. Az f függvény minimumhelye z 5, minimum értéke f ( 5) =. Összesen: 7 pont Megjegyzések: 1. H megoldást grfikonkészítéssel kezdi, és rról helyesen olvss le monotonitási viszonyokt és szélsőértékeket, kkor jár 7 pont, h grfikon helyességét indokolj.. H hibás grfikonról olvss le jól kért értékeket, kkor jó leolvsásért pontot kpjon (monotonitás 1 + szélsőértékek )!. A monotonitási trtományokhoz hozzászámíthtjuk z x = 1 értéket, vgy ki is zárhtjuk zt. Mindkét változtot fogdjuk el helyes válsznk! írásbeli vizsg 1111 / 011. május.

4 1. ) második megoldás A vlós számok hlmzán értelmezett x x x + függvény derivált függvénye: x x. Ahol derivált függvény pozitív, ott z eredeti függvény szigorún monoton növő, hol negtív, ott szigorún monoton fogyó. x > 0 x < 1és x < 0 x > 1. A vlós számok hlmzán értelmezett x x x + függvényből leszűkítéssel kpott f függvény tehát [ ; 1[ intervllumon szigorún monoton növő, ] 1;5] intervllumon pedig szigorún monoton fogyó. Az eddigiekből következik, hogy ( 1) mximumhelye f-nek és mximum értéke 4. A minimum zárt intervllum két htáránk vlmelyikénél lehet: f ( ) =, f ( 5) =. Az f függvény minimumhelye z 5, minimum értéke f ( 5) =. Összesen: 7 pont Megjegyzés: A monotonitási trtományokhoz hozzászámíthtjuk z x = 1 értéket, vgy ki is zárhtjuk zt. Mindkét változtot fogdjuk el helyes válsznk! 1. b) Az lg 1 ( x + x ) lg5 h x + x > 0, és ( + x ) lg5 kifejezés kkor értelmezhető, lg x. Az egyenlőtlenség megoldás vlós számok hlmzán: x < vgy x > 1, de x 5, így z 1< x 5feltételnek kell teljesülnie. A lg( x + x ) = lg5 pontosn kkor teljesül, h x + x = 5. Ennek vlós megoldási 4 és. Tehát zon x vlós számokr értelmezhető kifejezés, melyekre 1< x 5 és x teljesül. Összesen: 7 pont Bármilyen formábn megdott helyes válsz ot ér. Például: ] 1; [ ]; 5] vgy { x R 1 < x 5, x }. írásbeli vizsg / 011. május.

5 . ) A német és frnci vizsgávl rendelkező 1 hllgtó közül 1 = 9-nek vn ngol vizsgáj is. Mindhárom kérdésre 9-en válszoltk igennel. pont Összesen: pont. b) első megoldás A ngol nyelvvizsgás közül 9 = 1 főnek vn egy vgy két nyelvvizsgáj. Tehát 1 hllgtó trtozik z ngol nyelvvizsgávl rendelkezők közül német vgy frnci nyelvvizsgávl nem rendelkezők hlmzink uniójáb. Ezen hlmzok elemszám külön-külön 7 illetve 8, z unió elemszám 1. A két hlmz közös részébe tehát 15 1 = elem trtozik. A közös részbe pedig cskis ngol vizsgávl rendelkező hllgtók trtoznk. Ezek lpján beírhtjuk z lábbi hlmzábráb z egyértelműen dódó elemszámokt: pont pont A három nyelvvizsg közül leglább eggyel rendelkezők szám = 6. Mindhárom kérdésre nemmel (9 6 =) fő válszolt. Összesen: 9 pont írásbeli vizsg / 011. május.

6 . b) második megoldás Jelöljük x-szel csk ngol nyelvvizsgávl rendelkező hllgtók számát. Ezzel jelöléssel következő Venn-digrmot hozhtjuk létre: H ez gondolt csk megoldás során derül ki, ez pont jár. pont A pont z ngol hlmz helyes kitöltéséért jár. Az ngol nyelvvizsgávl rendelkezők szám, tehát 4 x =. Csk ngol nyelvvizsgávl ( x = ) hllgtó rendelkezik. Beírv x megkpott értékével megfelelő elemszámokt: A három nyelvvizsg közül leglább eggyel rendelkezők szám = 6. Egyetlen nyelvvizsgávl sem rendelkezik 9 6 = fő, tehát mindhárom kérdésre hllgtó válszolt nemmel. Összesen: 9 pont írásbeli vizsg / 011. május.

7 . első megoldás H hétfőn egy rekeszben x kg sárgbrck volt, és ebből összesen y db rekesszel vásárolt, kkor kedden egy rekeszben ( x ) kg volt, és ekkor összesen ( y + 8) db rekesszel vásárolt. Így z xy = 165 és z ( x )( y + 8) = 165 egyenleteknek kell teljesülniük. xy = 165 Tehát z ( x )( y + 8) = 165 egyenletrendszer megoldását keressük, hol x és y pozitív számot jelöl. A második egyenletben zárójel felbontásávl z xy y + 8x 16 = 165 egyenlethez jutunk. Mivel xy = 165, így 165 y + 8x 16 = 165, zz 4 x y = 8. Ebből y = 4x 8. Az xy = 165 egyenletben y helyére 4x 8 -t helyettesítve, 4x 8x 165 = 0 másodfokú egyenletet kpjuk. Ennek pozitív megoldás: x = 7, 5. (A negtív megoldás: 5,5) Innen y =. Ezekkel z értékekkel számolv: kedden 5,5 kg őszibrck volt egy rekeszben, és összesen 0 rekesszel vásárolt kiskereskedő. (Az értékek szöveg feltételeinek megfelelnek.) Tehát hétfőn egy rekeszben 7,5 kg sárgbrck volt, és ekkor összesen rekesszel vásárolt kiskereskedő. Összesen: 1 pont H ez gondolt csk megoldás során derül ki, ez pont jár. Ez pont szöveg szerinti ellenőrzésért dhtó. írásbeli vizsg / 011. május.

8 . második megoldás H hétfőn n drb rekesz sárgbrckot vásárolt 165 kiskereskedő, kkor egy rekeszben kg n sárgbrck volt. Így kedden ( n + 8) drb rekesz őszibrckot vett, és 165 ekkor egy rekeszben kg őszibrck volt. n pont pont 165 ( n + 8 ) = 165. n pont Rendezve kpjuk: n + 8n 660 = 0. pont Ennek egyetlen pozitív gyöke n = ( másik gyök n = 0). pont Hétfőn rekesz sárgbrckot vett kiskereskedő, egy rekeszben 7,5 kg gyümölcs volt. Ezek z értékek megfelelnek feldt minden feltételének (kedden 0 rekesszel vásárolt, egy rekeszben 5,5 kg őszibrck volt). Összesen: 1 pont Megjegyzés: H hétfőn minden rekeszben s kg sárgbrck volt, kkor, A felírhtó egyenlet ekkor: ( ) + 8 = 165 Gyökök: = 7, 1 5 Ez pont szöveg szerinti ellenőrzésért dhtó. 165 drb rekesszel vásárolt. s 165 s. Rendezve: 4s 8s 165 = 0. s s és s 5, 5 =. írásbeli vizsg / 011. május.

9 4. ) első megoldás Az ábrák jelöléseit hsználjuk. Legyen gúl lpéle, mgsság m. AC =, z AEC háromszög területe: m (1) 64 =. Az lplppl párhuzmos síkmetszet négyzet, = 4 cm hosszú. melynek oldl ( ) H jelölés z ábrán világos, ez pont jár. Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 négyzet (vgy két E csúcsú gúl) (középpontos) hsonlóság mitt megfelelő szkszok rány egyenlő: m =, 4 4 m =. Ezt behelyettesítve z (ACE háromszög területére felírt) (1) egyenletbe: 64 =, = 18. A gúl lplpjánk területe 18 cm. =18 = 8 (mert >0), gúl mgsság: m = 8 = (cm). Összesen: 10 pont írásbeli vizsg / 011. május.

10 4. ) második megoldás Legyen gúl lpéle, mgsság m. AC =, z AEC háromszög területe: (1) m 64 =. Az lplppl párhuzmos síkmetszet (négyzet) (középpontosn) hsonló z lplphoz. A hsonló síkidomok területéről tnultk szerint m ezért: =, 16 vgyis = m, miből (>0 és m>0 mitt) m = következik. Ezt behelyettesítve z (ACE háromszög területére felírt) (1) egyenletbe: 64 =, = 18. A gúl lplpjánk területe 18 cm. =18 = 8 (mert >0), gúl mgsság: m = 8 = (cm). H jelölés z ábrán világos, ez pont jár. Összesen: 10 pont 4. b) H z AD él felezőpontj F, z ABCD négyzet középpontj G, kkor kérdezett szög: α = EFG )<. Az EGF derékszögű háromszögből: 8 tg α = =, 4 o 54,7 α. Összesen: pont írásbeli vizsg / 011. május.

11 II. 5. ) 1 = 1+ = + = Összesen: pont 5. b) első megoldás Tetszőleges α [ 0; π ] esetén 1 = 1+ sinα, = sin α, = sinα. + + Ezek egy számtni sorozt egymást követő tgji, h 1 + =, zz 4 sinα + sinα = ( + sin α ) +. Átlkítv: sin α + sinα = sin α. α + β α β A sinα + sin β = sin cos zonosságot lklmzv bl oldlr: sin α cosα = sin α. 0-r rendezés és szorzttá lkítás után: sin α ( cosα 1) = 0. (A bl oldlon álló szorzt pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezője 0.) A vlós számok hlmzán sin α = 0 pontosn π kkor, h α = kπ, zz, h α = k (k Z). Mivel α [ 0; π ], ezért α lehetséges értékei: π π 0; ; π; ; π. cos α = 1 tekintett intervllumon pontosn kkor teljesül, h α = 0 vgy α = π, ezeket z értékeket pedig már megkptuk z előző eset vizsgáltkor. H α = 0, α = π vgy α = π, kkor 1 1 = ; π h α =, kkor 1 0 =, tehát ez négy α érték megoldást d. π α = esetén nem kpunk megfelelő megoldást, ugynis ekkor = =. 1 = Összesen: 1 pont A számtni sorozt bármelyik definíciójánk helyes lklmzásáért jár pont. Ez z csk mind z öt jó érték felsorolásáért jár. írásbeli vizsg / 011. május.

12 5. b) második megoldás Tetszőleges α [ 0; π ] esetén 1 = 1+ sinα, = sin α, = sinα. + + Ezek egy számtni sorozt egymást követő tgji, h 1 + =, 4 + sinα + sinα = + sin α. zz ( ) Átlkítv: sin α + sinα = sin α. A sinα = sinα 4sin α és sin α = sinα cosα zonosságokt lklmzv: 4sinα 4sin α = 4sinα cosα. Ebből: sinα ( 1 sin α cosα ) = 0. (A bl oldlon álló szorzt pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezője 0.) A tekintett intervllumon sin α = 0 pontosn kkor teljesül, h α = 0 vgy α = π vgy α = π. Mivel 1 sin α = cos α, ezért bl oldl másik tényezője cos α cosα = cosα ( cosα 1) lkbn írhtó, és pontosn kkor 0, h cos α = 0 vgy cos α = 1. Az α eddigi lehetséges értékeihez innen két új érték π π dódik cos α = 0 egyenletből: α = és α =. H α = 0, α = π vgy α = π, kkor = 1 1, =, = ; π h α =, kkor 1 0 =, =, = 4, tehát ez négy α érték megoldást d. π α = esetén nem kpunk megfelelő megoldást, ugynis ekkor = =. 1 = Összesen: 1 pont A számtni sorozt bármelyik definíciójánk helyes lklmzásáért jár pont. Ez z csk mind három jó érték felsorolásáért jár. írásbeli vizsg / 011. május.

13 6. ) 5 = 4 különböző húzás lehetséges, (ezek mindegyike zonos vlószínűséggel következhet be). Egyform kék és piros golyók szám, h mindkettő 0, 1 vgy. Első eset 0 piros és 0 kék, zz mind z öt fehér, ez 1-féleképpen lehetséges. Második eset: 1 piros és 1 kék, fehér, ez 5! 5 = =0-féleképpen következhet be.! pont Hrmdik eset: piros és kék, 1 fehér, ez 5! 5 4 = =0 esetben következhet be.!! 1 A kedvező esetek szám tehát = 51. A döntetlen játszm vlószínűsége: 51 ( 0,098 0,1). 4 Összesen: 8 pont Ezt pontot kkor is megkpj, h gondoltot ugyn nem írj le, de megoldásából kiderül, hogy erre épít. 6. b) első megoldás Három eset lehetséges: zonos kihúzott piros és kék pont golyók szám, vgy több kék vgy több piros. A különböző színű golyók zonos szám mitt több piros mint kék golyó húzásánk esélye zonos több kék mint piros golyó húzásánk pont esélyével. A több kék mint piros golyó húzásánk esélye tehát: = pont 4 96 ( 0,95). 4 Összesen: 8 pont Ennél kevésbé részletezett helyes indoklás esetén is járnk ezek pontok. írásbeli vizsg / 011. május.

14 6. b) második megoldás Közvetlenül megszámoljuk, hogy 4 egyenlő vlószínűségű eset közül hány végződik több kék mint piros golyó húzásávl. Legyen z első szám kék, második piros, hrmdik fehér golyók szám: (1,0,4), (,0,), (,0,), (4,0,1), (5,0,0), (,1,), (,1,1), (4,1,0), (,,0). Mivel különböző színek egyformán gykorik, ezért fenti esetek közül zonosk vlószínűség szempontjából következők: (1,0,4), (4,0,1), (4,1,0) (,0,), (,0,), (,,0) (5,0,0) (,1,1) (,1,) Az első hárms összesen 5! 5 = 15 4! = 1 -féleképpen, második hárms 5! 5 = =0 -féleképpen,!! hrmdik (5,0,0) 1-féleképpen, míg negyedik (,1,1) 5! 5 =! =0-féleképpen következhet be. Végül z ötödik (,1,) 5! 10 = = 0 -féleképpen!! 4 következhet be, zz kedvező esetek szám: = 96. A keresett vlószínűsége tehát: ( 0,95) 4 Összesen: 8 pont H vizsgázó nem zonos rendszerben számítj ki z összes és kedvező esetek számát, legfeljebb 5 pont dhtó. Megjegyzés: H vizsgázó előbb több kék mint piros golyó húzásánk vlószínűségét számítj ki, és b) első megoldásánk gondoltmenetét követve dj meg z egyenlő számú kék és piros golyó húzás vlószínűségét, kkor lklmzzuk b) első megoldásánk pontozását! írásbeli vizsg / 011. május.

15 7. ) Az n = 100 és p = 0, 05 prméterű binomiális eloszlás lpján számolhtunk. Annk vlószínűsége, hogy 100 ember között 100 nincs beteg: 0,95, nnk vlószínűsége, hogy közöttük 1 beteg vn: ,05 0,95. 1 Annk vlószínűsége, hogy 100 ember között legfeljebb egy, z újfjt betegségségben szenvedő vn: 0,95 + 0,05 0,95 1 ( 0, ,01) 0, 071. (Nekünk komplementer esemény vlószínűsége kell,) tehát nnk vlószínűsége, hogy 100 ember között leglább két z újfjt betegségségben szenvedő vn 1 0,071 0, 969 A kérdezett vlószínűség két tizedes jegyre kerekítve: 0,96. Összesen: 7 pont Ez pont kkor is jár, h megoldás erre gondoltr épít. írásbeli vizsg / 011. május.

16 7. b) első megoldás Az dtok áttekintéséhez célszerű ábrát készíteni. város lkosság (100%) nem beteg (95%) beteg (5%) 80% 0% 45% 55% nem beteg és nem dohányos nem beteg és dohányos beteg és dohányos beteg és nem dohányos (Modellt készít: szövegnek megfelelő 4 diszjunkt csoportb sorolj város lkosságát.) Kiszámítjuk, hogy város lkosságánk hány százlék trtozik négy csoportb. Nem beteg és nem dohányos: 0,95 0,8 = 0,76, zz 76%; nem beteg és dohányos: 0,95 0, = 0,19, zz 19%; beteg és dohányos: 0,05 0,45 = 0,05, zz,5%; beteg és nem dohányos: 0,05 0,55 = 0,075, zz,75%. A város lkosink (19 +,5 =) 1,5%- dohányos, közöttük város lkosink,5%- beteg,,5 tehát dohányosok között 100% betegek 1,5 rány. Egy tizedes jegyre kerekítve ez 10,6%. A város lkosink (76 +,75=) 78,75%- nem dohányos, közöttük város lkosink,75%- beteg,,75 tehát nem dohányosok között 100% 78,75 betegek rány. Egy tizedes jegyre kerekítve ez,5%. Összesen: 9 pont Ez pont kkor is jár, h megoldás erre gondoltr épít. írásbeli vizsg / 011. május.

17 7. b) második megoldás lkosr vontkozón számolunk, mert z pont rányok mint ngyságától függetlenek lkos közül betegszik meg, egészséges mrd beteg közül 50 dohányzik, 750 nem dohányzik egészséges lkos közül dohányos, nem dohányos. A 1 50 dohányos között 50 beteg vn, ez dohányosok számánk 10,6%-. A nem dohányos között 750 beteg vn, ez nem dohányosok számánk,5%-. Összesen: 9 pont 8. ) A telek felosztásánk megértése (pl. egy jó vázlt). Az EF átfogójú, 0 és 0 befogójú derékszögű háromszög (EFH) megdás. Pitgorsz tételének lklmzás: EF = EF 6,1 méter. Összesen: 4 pont írásbeli vizsg / 011. május.

18 8. b) első megoldás A feldt megértése (pl. egy jó vázlt). ( FG = x és EG = y jelölés esetén) Az EFG háromszög T területe: T = 15x (m ); Zoli telkéhez cstolt terület értéke: x (Ft). Az új kerítés hosszát z EHG derékszögű háromszögből számíthtjuk. FG = 0 x. * Alklmzv Pitgorsz tételét: y = ( 0 x) + 0 * 0 < y = x + x. * Az EG hosszú kerítés megépíttetésének költsége: x + x. Zoli jobbn járt, tehát x 40x < x, zz x 40x < 0x (hol x pozitív, és méterben dj meg kérdéses hosszt.) (Mivel mindkét oldl nemnegtív, ezek négyzete között relációjel változtln.) x 40x < 900x. Ebből 0 < 899x + 40x 100 (hol x pozitív). Az x 899x + 40x 100 (x R) másodfokú függvény egyetlen pozitív zérushelye 1, 18. (A másik zérushely 1,) Ez másodfokú függvény pozitív számok hlmzán szigorún nő. Mivel 1,18 m 1, m, így leglább 1, m (és legfeljebb 8 m) hosszú FG szksz. Összesen: 1 pont Megjegyzés: Koszinusztétel lklmzásávl is megdhtó z FG oldl ( *-gl jelölt pontokhoz): o GFE <) = α jelöléssel tg α = 1, 5, zz α 56,1 EFG háromszög EG oldlár koszinusztétel lklmzás. y o = x + 6,06 7,x cos 56, írásbeli vizsg / 011. május.

19 8. b) másik megoldás Elegendő kedvező G pontokt FH szksz pontji között keresni. Az x=fg jelöléssel: h x növekszik, kkor z EG szksz hossz szigorún monoton csökken (mert z EHG derékszögű háromszög EH befogój mindig 0 m hosszú, másik befogój pedig csökken), z EFG háromszög területe szigorún monoton nő (hiszen FG oldl nő, hozzá trtozó mgsság nem változik). Ebből következik, hogy elegendő megvizsgálni, mely esetben egyenlő kerítésre fordított költség cserébe kpott telekrész értékével. A kerítésért kpott telekrész területe (x-et méterben 0x mérve): = 15x ( m ), értéke x (Ft). A kerítés hossz (Pitgorsz- tétellel): x + x, kerítés megépíttetésének költsége: x + x x 40x = x, zz x 40x = 0x (hol x pozitív), x 40x + 100= 900x. Ebből: 899x + 40x 100= 0. Ennek pozitív megoldás x 1,18. Tehát leglább 1, m (és legfeljebb 8 m) hosszú FG szksz. Összesen: 1 pont írásbeli vizsg / 011. május.

20 8. b) hrmdik megoldás A megoldás során kihsználjuk, hogy tized méterre (egész deciméterre) kerekítve kell megdni z eredményt. A megépített kerítés hossz leglább 0 +1, m és legfeljebb EF 6,1 m. Zoli kerítésre leglább, = Ft-ot, legfeljebb 6, = Ft-ot költött. A kerítésre költött összeg leglább 16,15 m, de legfeljebb 18,05 m területű telekrész értékével egyezik meg. x 0 A FG=x jelöléssel: h > 18, 05, kkor Zoli biztosn jobbn járt. Ebből ( kerekítésre vló tekintettel) z dódik, hogy x 1, (m). A 16,15 m -hez trtozó FG távolság: 16,15 1,08 (m). 0 (A monotonitás mitt minden ennél kisebb x esetén Zoli rosszbbul jár.) Azt kell már csk megvizsgálni, hogy z 1,1 m, illetve z 1, m hosszú FG szksz esetén jól járhtott-e Zoli. pont FG (m) 1,1 1, kerítés költsége (Ft) telekrész értéke (Ft) egyenleg Zoli szempontjából (Ft) pont Láthtó, hogy FG=1, m is előnyös Zolink. Összefogllv: h FG leglább 1, m (és legfeljebb 8 m), kkor Zoli jól járt kerítés megépítésével. Összesen: 1 pont írásbeli vizsg / 011. május.

21 9. ) Az üzem npi hszn n drb készlet gyártás esetén: 1,5 h n = 18n 0, n 1n 00 ( ) = 1,5 = 0, n + 6n ,5 Az f : R R; f ( x) = 0, x + 6x 00 0,5 függvény deriválhtó és f (x) = 0, x + 6. Az f szélsőértékének létezéséhez szükséges, hogy f (x) = 0 teljesüljön. 0,5 0, x + 6 = 0 x = ,5 0,15 Mivel f (x) = 0,15 x = < 0, x ezért x = 400 esetén npi hszon mximális, hiszen f mximumhelye egyben h mximumhelye is (mert 400 eleme h értelmezési trtományánk is). Npi 400 építőkészlet gyártás esetén lesz hszon mximális. A mximális hszon: 1,5 h ( 400) = 0, = 500 (euró). Összesen: 9 pont H h függvény deriváltját képezi, ez pont nem jár. H vizsgázó mximumot zzl indokolj, hogy z első derivált z x = 400 környezetében előjelet vált (pozitívból negtívb megy át), ez pont jár. írásbeli vizsg / 011. május.

22 9. b) Az lpkock térfogt: V k = 7 cm. A gyártás során ennek kockánk minden csúcsából egy olyn (derékszögű) tetrédert vágnk le, melynek három lpj egybevágó, 1 cm befogójú pont egyenlő szárú derékszögű háromszög, és ezek lpok páronként merőlegesek egymásr. Ezen lpok közül bármelyiket lplpnk tekintve tetréder mgsság 1 cm. A 8 csúcsnál levágott tetréderek térfogtánk összege: V = 8 = ( cm ). A visszmrdó test térfogt: 77 = = V k V 5 cm. Vk V 77 Így = 95%. V 81 k Összesen: 7 pont Ez pont világos rjz esetén kkor dhtó, h rról leolvshtók z dtok is. írásbeli vizsg 1111 / 011. május.

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 14. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0815 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. október 19. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 101 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. május 4. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1512 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók. A

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 062 É RETTSÉGI VIZSGA 2006 október 25 MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Síkgeometri A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04. május 6. Fontos tudnivalók

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 101 ÉRETTSÉGI VIZSGA 010. október 19. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek

14. modul Számtani és mértani közép, nevezetes egyenlőtlenségek MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 1. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Analízis MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához!

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 081 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról

Összegezés az ajánlatok elbírálásáról 9. melléklet 92./2011. (XII.30.) NFM rendelethez Összegezés z jánltok elbírálásáról 1. Az jánltkérő neve és címe: Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzt 7621 Pécs, Széchenyi tér 1. sz. 2. A közbeszerzés tárgy

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematikai feladatlap T9-2013

Matematikai feladatlap T9-2013 Keresztnév: Vezetéknév: TESZTFORM Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ ZONOSÍTÓ SZÁM T9-57 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt feldtot trtlmz.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 10. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai Dr Gerőcs László Számdó László MTEMTIK 0 tnkönyv feldti és feldtok megoldási megoldások olvsásához crobt Reder progrm szükséges, mely ingyenesen letölthető z internetről (például: dobelhu weboldlról) feldtokt

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont 2012. január 28. 8. évfolyam TMat1 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár : ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. Minden

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. május 6. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szint Javítási-értékelési útmutató 4 MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 04 május 6 Fontos tudnivalók

Részletesebben

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Második kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 3. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben