Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek"

Átírás

1 Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) = ) = ; b) = ; c) =! ; d) =! ; e) = ; 0 6 f) = 0 60 ) =-, = ; b) = ; c) =- ; d) =- 6; e) nincs megoldás; f) = ) nincs megoldás; b) = ; c) = ; d) = ; e) = 0; f) = 0; g) =- ; h) =- 607 ) =- 7, = ; b) =-, =- 7; c) =- ; J N K 7 O d) nincs megoldás =! K O ; e) =- ; f) nincs megoldás L P 608 ) =- ; b) =- ; c) = ; d) nincs megoldás; 6 e) =- ; f) = 60 ) = ; b) = ; c) =- ; d) = ; e) = ; f) =- 60 ) = ; b) =- ; c) =- ; d) =- ; 6 e) = ; f) =- 8 6 ) = ; b) =- 7; c) = ; d) =, =- ; e) =, =- 6 ; f) =, =- 7 6 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0

2 Eponenciális egyenletrendszerek 6 ) = ; b) = ; c) = 0 6 ) = ; b) = 6; c) = 6 ) = ; b) =, =- ; c) =, =- 66 ) = 0, = ; b) = 0, = ; c) =, = log 67 ) nincs megoldás; b) = ; c) =! ; d) = 0 68 ) = ; b) = 0; c) =, =- Eponenciális egyenletrendszerek 6 ) =, y = ; b) =, y = log 8 60 ) =-, y = ; b) =, y =- ; c) d) =, y =- 6 ) = y= 0; b) =, y = =, y = ; 6 ) =, y = ; b) =-, y =, =, y = ; c) = y=, =, y =- 6 ) = ; b) = 7 6 ) = ; b) = 8 0 pqr 6 ) = ; b) = 7 rq + rp + pq Eponenciális egyenlôtlenségek 66 ) >, $ 7, #, < ; b) # -, > -, > -, $ - ; 67 ) #, >, <, > - ; b) >, # -, #, # - ; 7 c) < 0, <, $ -, $ ;

3 Eponenciális és logritmikus egyenletek, ) < - vgy >, < - vgy >, # - vgy 7 $, - # # ; b) # 0, <, > -, > 6 ) >, - # #, # < 6; b) 0< <, < vgy >, < Pihenô 60 A számjegyek szorzt 0, összege, tehát z összeg ngyobb 60 6 A keresztrejtvényben db prímszám szerepel 6 Logritmikus egyenletek 6 ) =, =, =, =! ; 8 b) = 0, =-, = 6 ) =, = 0, =! 8; b) = 0, =, =! 7 6 ) = ; b) = 8; c) = ; d) nincs megoldás

4 Logritmikus egyenletek 6 ) =-, b) = 7; c) =, = ; d) =, 66 ) = 7 ; b) nincs megoldás 67 ) = ; b) =- 68 ) = ; b) = 6 =, = 60 ) =, = 8; b) = 6, = 8 6 ) = ; b) = ; c) =- 6 ) = ; b) = 8 6 ) = ; b) = Pihenô 6 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 Tehát megoldndó egyenlet: log + log 8 =, honnn = A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 A log + log + log = egyenlet megoldás: = 7 66 ) =, = ; b) = 8, = ; c) =, = ) =, = ; b) =, = 8 68 ) =, = + ; b) = 6 nincs megoldás 8 60 ) =, = ; b) = 8 ; c) = 6 ) = 0; b) = 6 =-

5 6 Eponenciális és logritmikus egyenletek, 6 ) =- 7; b) = 6 = 6 ) = ; b) = ; c) = 0 66 ) 0 = ; b) =, = 0 67 = 68 ) =!, 0 =! ; b) = ; c) 0 =, = ; d) = 7, = 6 ) = log 7 ; b) = ; c) =, = ) =- ; b) nincs megoldás 66 ) Vezessük be log - log = új ismeretlent; = 6, =, =, = ; b) = 66 ) = ; b) = 6; c) Vezessük be log log = új ismeretlent; = 6 Pihenô 66 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66 Ezek szerint log ( ) = egyenletet kell megoldnunk Az egyenlet megoldás: =- 0, = 66 A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66

6 Logritmikus egyenletek 7 66 ) = 6, = 7, > 0; b) =, = - ; c) = 6, = 666 ) = ; b) = ; c) =, = ) = ; b)írjuk át z összes tgot -es lpr, mjd vezessük be log = új ismeretlent Ekkor - = + + egyenlethez jutunk, honnn =-, = ; ezzel z eredeti egyenlet megoldási: =, = ; 8 c)a bl oldl második tényezôjét írjuk át -es lpr = 668 )A bl oldl második tényezôjét írjuk át lpr, mjd lklmzzuk logritmus megfelelô zonosságit Kpjuk: + log 6 $ =, honnn log 6-log 6- = 0 & log 6 = 6 b) Térjünk át bl oldlon minden tgbn -ös lpr, mjd vezessük be log = új ismeretlent Kpjuk: = 0, honnn + + =-, =- Ezzel z eredeti egyenlet megoldási: =, = 6 c)a bl oldl értéke Így következô egyenlethez jutunk: log + log + = 0, honnn = 66 ) Elôször írjuk át jobb oldlt -es lpr, mjd emeljük négyzetre mindkét oldlt: log = log = log = log, innen = 6 b)járjunk el ugynúgy, mint z elôzô feldtbn = c)írjunk át bl oldlon minden tgot lpr, mjd vezessük be z log = y új ismeretlent: J N y + + y + + = 0 y K y O L P

7 8 Eponenciális és logritmikus egyenletek, H most y + = b, kkor y y b + 8b - == 0, zz + = b -, tehát kpjuk: y b= y+ = vgy b= y+ =- y y Elsô esetben nem kpunk megoldást, második esetben y =-, y =- Az eredeti egyenlet megoldási: =, = 670 )Írjunk minden tényezôt zonos (pl -es) lpr = 8 b)a bl oldl elsô két tgjábn -es lpr áttérve ezt kpjuk: ( - - ) $ log ( + - ) = 0 & =, = - c) Mindkét négyzetgyök ltt teljes négyzet szerepel Bevezetve log = új ismeretlent, ezt kpjuk: =, honnn - # #, tehát # #,! 67 ) A négyzetgyök ltt teljes négyzet szerepel Bevezetve log = új ismeretlent, ezt kpjuk: - =, honnn =, =, tehát =, = b) A bl oldl második tényezôjét írjuk át - -es lpr =- c) Hsonlón járjunk el, mint z elôzô feldtbn = 0 67 ) A bl oldl mindkét tgját írjuk át -es lpr =-, =- b)az elsô tg második tényezôjét írjuk át lpr, mjd vezessük be log = b új ismeretlent Kpjuk: b -b- = 0 Innen = 6 67 ) Vegyük észre, hogy ( + )( - ) = Így, h e + o =, kkor - =, honnn = -, = + A negtív gyök nem lehetséges, így = b)mivel ( - )( + ) =, ezért z egyenlet + = lkbn írhtó Innen = +, = -, tehát =, =-

8 Logritmikus egyenlôtlenségek 67 ) A bl oldl minden tgjábn térjünk át 0-es lpr Ezzel egyenletünk így írhtó: J N $ + K O - lg L P =, zz lg $ + = lg - log + log Innen 6 $ 6 $ + $ = $ Mindkét oldlt $ -nel elosztv 6b + 6b- = 0 lkú egyenlethez jutunk Innen b =-, b = Anegtív gyök nem jöhet számításb, így kpjuk: = b) =, = A jobb oldli négyzetgyök ltt -( $ y -) szerepel, így z egyenletnek csk kkor vn értelme, h y =- Ezt z eredeti egyenletbe visszhelyettesítve = dódik 7 Logritmikus egyenlôtlenségek 676 ) 0< <, >, 0 < # ; b) < <, > -, $ 677 ), < <, >, $ ; b) < < 7, >, - # < 0 vgy < # ) nincs megoldás, < vgy >, < < ; b) <,!, > < < 67 ) nincs megoldás, < - 6, -< < - vgy # < 6 ; + b) < <, > 680 ) # < vgy $, > ; b) < <, < ) # < vgy $, -< < - vgy > + ; b) - + < < ; c) -< log ( - )<, honnn, < < 6

9 0 Eponenciális és logritmikus egyenletek, 68 ) log ( + ) vgy log ( + ) -, honnn $ # 7 - < # - vgy $ 7; b) - # < - vgy < # 6 68 ) # #, ; b) < # 68 ) Elôször jobb oldlt írjuk át -es lpr, ezt kpjuk: log # log = log, & log # log Mivel log > 0, így < # 6 b) Az értelmezési trtomány ( < - vgy > ) mitt logritmus lpj minden szób jöhetô -re kisebb, mint Az egyenlôtlenség megoldás: - 0 # < - vgy < # ) < vgy > ; b) < # 686 Elôször hozzuk z egyenlôtlenséget z lábbi lkr: e+ log o ( - ) $ 0 & # # Eponenciális és logritmikus egyenletrendszerek 687 ) =, y = ; b) =, y = ) =, y = ; b) = 00, y = 0 68 ) = 0, y = ; 0 c) nincs megoldás 60 ) =, y = 8; b) = 7, y = 6 ) =, y = ; b) =, y = 6 ) =, y = 6; b) =, y = ; c) térjünk át mindkét egyenletben bl oldlon -es lpú logritmusr: = 6, y = 8 6 ) A második egyenletbôl = y Ezt z elsô egyenletbe helyettesítve kpjuk: =, y = b) Az elsô egyenletbôl logritmus definícióját felhsználv: + y 7 =, honnn = y Ezt felhsználv második egyenletben, - y zt kpjuk, hogy: =, y =

10 Eponenciális és logritmikus egyenletrendszerek c) Az elsô egyenletbôl: + - y+ = y+, mit így is írhtunk: - y+ + - y+ = Bevezetve - y+ = $ 0 új ismeretlent, zt kpjuk, hogy: -y- 6= 0 Ezt és második egyenletet felhsználv: =, y = 0 6 ) A második egyenletbôl: y- = - y, zz ( - y)( + y) = 0 Mivel és y pozitív, ezért csk = y lehetséges Ezt z elsô egyenletbe helyettesítve, kpjuk: = y= b)az elsô egyenletbôl = y Ezt második egyenletbe helyettesítve: =-, y =-, =, y = 8 c) Mivel log = ( log ) = log, ezért z elsô egyenlet bl oldl így írhtó: log - log y+ - log - log y+ 8 = 60 Most vezessük be log - log y+ 8 = $ 0 új ismeretlent, kkor -- 60= 0, innen pedig log -log y- 8= 0 A második egyenletben vegyük mindkét oldl -s lpú logritmusát: 8 8 log = log y Ezt felhsználv: = 8, y =, = - -, y = 6 ) Az elsô egyenletbôl: = y Ezt második egyenletben felhsználv: = 0, y = 0 b) Az elsô egyenletbôl: + = ( + y) - y, zz ( + y) -( + y) - = 0 Ebbôl z + y-bn másodfokú egyenletbôl: + y= Ezt felhsználv második egyenletben: =, y =- Pihenô 66 Vízsz : 6 + = 8 Függ : = 8, = A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 66 A megoldndó egyenlet: log( - 6) = =

11 Eponenciális és logritmikus egyenletek, 8! 67 Vízsz : $ = 67 Függ : 6 Függ :,! A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 67 A számjegyek szorzt: $ $ $ 7 A legkisebb szám, mellyel ezt meg kell szoroznunk, hogy négyzetszámot kpjunk: $ $ 7= 0 68 Vízsz : Függ :, A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 68 log 8 =8 = 6 Vízsz : Vízsz :, 6, 7 Függ : 6 $ + 0 = 86Függ 8:, A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 6 A számjegyek összege: = $ $ Tehát keresett szám: $ 8 - ( + + ) =00 Nehezebb feldtok témkörbôl 700 > A feltételek szerint log p + log ( log p p ) = log p & log p( $ log p ) = log p = log p, log p =, honnn = p

12 Nehezebb feldtok témkörbôl 70 A feltételekbôl log =, log =, log 67 = b c E három egyenlôséget összedv bc + c + b log $ $ 67 = + + =, b c bc bc honnn log00 = bc + c + b 70 >,! H >, kkor logritmus lpj -nél ngyobb, tehát + $ -, zz + - $ 0 Ez utóbbi kkor teljesül minden -re, h - $ 0, tehát < # H < <, kkor + # - Ez zonbn semmilyen -r nem teljesül minden -re 70 sin > 0, sin!, cos > 0, cos! logcos sin + = logcos sin Bevezetve logcos sin = új ismeretlent: - + = 0, & = log sin =, honnn cos = sin, cos - sin = sin & sin + sin - = 0 sin = - & 0, kr ( k! Z) 70 A megdott egyenlôség így írhtó: $ log + $ log b+ $ log c=, zz log bc = Tehát tégltest térfogt: V = 6 Mivel, b és c pozitív egészek és!, ezért vgy =, továbbá b és c egyike, másik Ekkor felszín: A = ( + + 6) = 0 A 0 0 Így keresett rány: = =, vgy pedig = 6, b= c= Ez esetben keresett rány = V V 6 A 678 6

13 Eponenciális és logritmikus egyenletek, log 70 Mivel =, ezért szükséges, hogy sin > 0, sin!, és sin > r r Mindezekbôl + kr< < r+kr és! + kr 6 6 Mivel logritmus lpj kisebb, mint, ezért zt kpjuk, hogy + log sin $, honnn sin $ r Az eredeti egyenlôtlenség megoldás: + kr # # r+ kr, r! + kr ( k! Z) 706 Az egyenlôtlenségnek csk kkor vn értelme, h sin > 0, tg > 0 és sin +! sin Mivel egy pozitív számnk és reciprokánk összege leglább, így z egyenlôtlenség értelmezési trtomány: kr < < + kr ( k! Z) r Az egyenlôtlenség így lkul: tg + < sin +, honnn cos + cos - > 0 tg sin - Innen feltételeket figyelembe véve : < cos <, mibôl -, 8 + k$ 60 < <, 8 + k$ log = ( log ) = log Ezért z eredeti egyenlet így írhtó: log - 0log + = log - log +, `log - log + j - 7= log - log + Most vezessük be log - log + =! 0 új ismeretlent, zt kpjuk, hogy 7 0 honnn = =- Az =- esetben log -re dódó másodfokú egyenlet diszkrimináns negtív, míg másik esetben zt kpjuk, hogy: log - 0log + = ( log - ) = 0, honnn =

14 Nehezebb feldtok témkörbôl 708 Az lábbi feltételeknek kell teljesülniük: ) - > 0; b) > 0; c) log ( - - ) + log( - ) + $ 0 Az ) esetben > A b) esetben másodfokú lk zérushelyei: - és, tehát - < < A c) esetben log ( - ) -ben másodfokú lk zérushelyei: -, és, tehát log # log( - ) # log 8, honnn # # 8 Az összes feltételt figyelembe véve z eredeti kifejezés értelmezési trtomány: - < # - vgy # < 70 > 0 Mindkét esetben y - 7y+ $ 0 másodfokú egyenlôtlenséget kell megoldnunk Mivel másodfokú kifejezés zérushelyei: és, ezért ) esetben log # vgy log $, honnn 0< # vgy $ A b) esetben log # vgy log $, zz - # log #, vgy log # -, vgy log $, honnn # #, vgy 0 < #, 8 vgy $ 8 Ábrázoljuk mindkét hlmzt egy számegyenesen: 70 A B-A hlmz elemei: < # vgy 8 # < 70 Az egyenlôtlenségnek kkor vn értelme, h > A négyzetgyök ltti kifejezés: log # log - # log _ log - i, tehát megoldndó egyenlôtlenségláncolt:

15 6 Eponenciális és logritmikus egyenletek, H log $, kkor log # log- # log, honnn # log #, tehát ez esetben # # H 0 < log <, kkor log # - log+ # log, honnn # log #, tehát ekkor # # Az eredeti egyenlôtlenség megoldás: # # vgy # # 7 Az ) kifejezés htványkitevôjében szereplô másodfokú kifejezésnek = -bn vn mimum, így 0< log ( ) = log 6 = 6 Tehát log 6 log( ) # log 6 6=, vgyis log 6 log 6( ) # = Az A hlmz elemei: 0< # A b) esetben J r N J r N sin K > 0 O és sin K! 0 O, L P L P honnn B hlmz elemei: + 0k< < 8 + 0k és! + 0k Ábrázoljuk egy számegyenesen kpott eredményeket: 7 Az A-B hlmz y elemei: 0< y #, y =, 8 # y #, y =

16 Nehezebb feldtok témkörbôl 7 7 Az egyenlôtlenség minden tgj így lkíthtó: log yz = + log y + log z, tehát log y+ log yz+ logz + log z+ log y + logz y> 8 De J log y N log y+ log y = + K $ $ = 6 log y O L P Így már csk zt kell belátnunk, hogy log y log y z logz = = = nem lehetséges Ugynis ellenkezô esetben rr jutnánk, hogy = y= z= 0 vgy = y= z=, mi nyilván lehetetlen 7! 0 Térjünk át bl oldlon lpr; zt kpjuk, hogy: log log log + > + +, vgyis - + > + + log Innen, h > 0, kkor + ( + ) + < 0 E másodfokú kifejezés zérushelyei: - és - Mivel feltételek szerint >, ezért ebben z esetben nem kpunk megoldást H < 0, kkor < - vgy > - Tehát z eredeti egyenlôtlenség megoldás: < - vgy - < < 0 7 Legyen log 7 = és vizsgáljuk 6 < + < egyenlôtlenségláncoltot Egyik iránybn > 0, zz ( - 6) > 0 Ez utóbbi minden -r teljesül, csk zt kell megmuttnunk, hogy log 7! 6, zz 6! 7 Ez zonbn igz, hiszen 6 < = < 7

17 8 Eponenciális és logritmikus egyenletek, Másik iránybn < 0, honnn < <, vgyis < < Mivel < log 7<, ezért ez z egyenlôtlenség is igz 7 A megdott egyenes z tengelyt ott metszi, hol y = 0, z y tengelyt, hol = 0 E metszéspontok: =, y = log - log Az egyenes és tengelyek lkott háromszög területe: 8 $ $ =, log - log 6 honnn log =!, tehát = vgy = Elsô esetben z egyenes egyenlete: - y=, tengelymetszetek: =, y =- A másik esetben z egyenes egyenlete: - + y=, tengelymetszetek: =-, y = Tehát két egybevágó derékszögû háromszögrôl vn szó Ezek átfogój: J N J N + K = $ O K O L P L P A háromszög K kerülete: K = $ b+ l 76 Vizsgáljuk z egyenlet két oldlánk lehetséges értékeit A jobb oldl: - y + 6y- =-( y- ) +, tehát jobb oldl értéke legfeljebb, és pontosn kkor, h y = A bl oldlon: sin ( + ctg ) = sin sin E tört értéke leglább, és pontosn kkor, h sin = Ezek szerint bl oldl értéke leglább log = Ezek szerint z egyenlôség csk úgy állht fenn, h r y = és sin =, honnn = + kr ( k! Z)

18 Nehezebb feldtok témkörbôl 77 Az egyenlet bl oldl: J N + log y+ + log y = + $ log y+ K $ 0 log y O L P A jobb oldl: log < -_ z - i + F # 0 Tehát z egyenlôség csk úgy teljesülhet, h log y =, zz = y, és z = Ezzel második egyenlet: = 00, vgyis = y= 0 78 Az egyenlet bl oldlán szereplô logritmusok lpji egymásnk reciproki, továbbá négyzetgyökök ltt teljes négyzetek szerepelnek Így z elsô tg: log - log - = + - Vezessük be log + - = új ismeretlent, ekkor zt kpjuk, hogy + =, honnn =, = H log + - =, kkor - = b+ l = 7+, vgy - =- b+ l =-7-, h log + - =, kkor - = +, vgy - =- + Tehát z eredeti egyenlet megoldási: = 0 +, =- -, = + +, = Az elsô egyenlet bl oldl így lkíthtó: n k n k log + log y + log y y + log y = n+ k( log y+ log y ) = nk A bl oldl leglább ( n+ k) A jobb oldl viszont számtni és mértni közép közötti egyenlôtlenség mitt legfeljebb ( n+ k) Így egyenlôség csk kkor lehet két oldl között, h log y+ log y =, zz log y =, honnn = y

19 0 Eponenciális és logritmikus egyenletek, De log z = z, így második egyenletbôl: z + z + + z- z = 00, honnn z = 00 Tehát z egyenletrendszert kielégítô számhármsok: z = 00, = y> tetszôleges Vegyes és gykorlti feldtok Érdemes elôször 7-tel, -gyel, -ml és 7-tel vló oszthtóságot vizsgálni Ez után már könnyen kitölthetô négyzetháló X = 7 7 Induljunk ki bból, hogy z elsô sor, illetve hrmdik oszlop összege páros 7 + = 8, + = 08, + = 6 Az elsô egyenlôségbôl kivonv másodikt, mjd különbséghez hozzádv hrmdikt, ezt A B B C C D kpjuk: + = = 8 A D Tehát kiskutyánk 00-ben éppen 6 éves 7 y =06, yz = 6, zq = 7 Osszuk el z elsô és hrmdik y $ zq 06 $ 7 szorztát másodikkl: = q = = 8 Tehát yz 6 kiscic 00-ben éppen 6 éves lesz

20 Vegyes és gykorlti feldtok b = 6, b c = 0, c d = 867 Az elsô és hrmdik összegébôl vonjuk ki másodikt: b + c d - b c = d = = Tehát z unok 00-ben lesz ngykorú 7 H egy egész számhoz egyet hozzádv számjegyeinek összege csökken, kkor ez szám -re végzôdik H z utolsó elôtti számjegy (tízesek) nem, kkor számjegyek 76 összege -cel csökken és -gyel növekszik, tehát összesen 8-cl csökken A gondoltsort folyttv rr jutunk, hogy egy számhoz -et hozzádv, számjegyeinek összege csk k + 8 lkú számml csökkenhet Tehát csk z e) állítás lehet igz 76 Az ábr lpján: VÉK és VTP háromszögek hsonlók, így 8 = +, honnn = 6 0, Tehát város lkóink szám: 6 $ 860 = 0 60 fô 77 A kötvények összértéke 00 dollár Olyt kell elvenni belôle, hogy megmrdók -gyel is, és -ml is, zz -vel oszthtók legyenek Ez csk 700 dollár értékû kötvényre teljesül, tehát ez lesz z sszonyé 78 H bolygók szám n, kkor 0 < nn ( - )< 60 Innen n = 7 Az összes könyvek szám 68 H vlmelyik gyerek hiányzott, kkor z elvitt könyvek szám: rendre 6,,,, vgy Ezek között két olyn tlálhtó, melynek vn 0 és 0 közé esô osztój: = $ vgy = $ Tehát z árvháznk lkój vn 70 A feltételekbôl következik, hogy négyzetekben szereplô számok összege 0 Tehát elég sok 0-nk kell lennie közöttük Rövid próbálkozás után kpjuk z egyetlen eredményt: 70 7 b b =, zz 0+ b+ + b = 7 Innen csk = 0 vgy = lehetséges H = 0, kkor b+ b = b( + b) = 7 De 7 nem bonthtó fel két szomszédos egész szorztár, tehát ekkor nincs megoldás H =, kkor b( + b) = 6, honnn b = Tehát z illetô születési éve:

21 Vegyes és gykorlti feldtok S S 7 H t = és t - =, kkor S = 60 Ezzel 0 0 t - S =, zz S S 60 - = 0, vgyis - =, honnn = Tehát biciklistánk km/h sebességgel kell hldni 7 A sárkány legyôzésének egy lehetséges módját muttj z lábbi táblázt: Vágunk Megmrdó fejek Megmrdó frkk frkt 8 fejet 8 fejet 8 frkt 6 frkt frkt frkt frkt frkt frkt 6 0 fejet 0 fejet 0 fejet A semtikus ábr lpján: H vlmely egész ór után 8 perccel indul, kkor mindegy melyik utt válsztj H egész ór és 8 perc után indul, kkor z M-T-V utt kell válsztni, h egész ór és 8 perc elôtt indul, kkor z M-V utt kell válsztni 7 Az öt gyerek összes kártyáink szám 8 A kupcbn levô kártyák számánk -tel oszthtónk kell lennie, vgyis 8-ból olyn számot kell elvenni, hogy megmrdók szám vgy -re vgy 0-r végzôdjön Ez csk Bél vgy Elemér kártyáink számár teljesül, tehát csk Bél hiányozhtott

22 Vegyes és gykorlti feldtok 76/ 76 Tekintsük 77 z ábrákt: Az ) ábr lpján kock üres részének térfogt tg 0 =, így víz térfogt: - - = A b) ábr lpján A megmrdó víz térfogt: y - = = tg, honnn, 7 77 Helyezzük el z ábrát egy koordinát-rendszerben! Az A, B és H pontokból g gerend egyenesének egyenlete: - + y=- J N Ez z egyenes z tengelyt ; 0 K O pontbn metszi Ezzel gerend hossz: L P g 7, 08 m 78 H S z út, v szokásos menetidô, kkor Sp Sp S S J p N + J p N = $ 6 v v - K v + 00 O K 00 O L P L P S Innen -vel egyszerûsítve és megfelelô átlkításokt elvégezve v p 00 p 00- p + - =, honnn 7p - 7p + 00 = 0 ; 00+ p 6 p = %, p, % 7 7 Az ábr lpján R R R OK = R -, OT =, FK = +, FT = KT = OK - OT = FK - FT, zz J RN J R N J R N ( R-) - K = + - O K O K O, honnn = R 0 L P L P L P

23 Vegyes és gykorlti feldtok 70 Legyen P T Tom, P J pedig Jerry pihenôideje és F T Tom, F J Jerry futóideje! Ekkor feltételek szerint PT+ FT= PJ+ FJ, PT= FJ és PJ= FT Ezek szerint FJ+ FT= FT+ FJ, honnn FJ= FT 8 H Jerry sebessége, kkor 8$ $ FT= $ FJ, vgyis = = 88 egység 7 7 Legyen AB gólvonl, S szögletzászló, P keresett pont, melybôl z AB gólvonl legngyobb szögben látszik, és legyen b keresett legngyobb szög A megfelelô derékszögû háromszögekbôl: b tg =, tg ( + b ) = Innen felhsználv tg ( + b) kifejtését -: + tg b b b ( - ) =, honnn tg b = + b - tg b Mivel b hegyesszög, ezért kkor mimális, h tgb legngyobb, zz reciprok legkisebb De számtni és mértni közép közötti egyenlôtlenség mitt b b ( - ) + b ( - ) $ b ( b- ) b Egyenlôség kkor, és csk kkor, h b ( - ) =, honnn b b ( - ) = 7 Legyen v Pisti sebessége, pedig vont és z állomás közötti távolság 7

24 Vegyes és gykorlti feldtok A feltételek szerint S 0S 8S =, zz = =, v 0 v v S S továbbá $ = + v 0 0 A kpott eredményeket egybevetve ezt kpjuk: v = = km/h 7 A $ bc + = cb egyenletet részletesen kiírv: $ ( 00+ 0b+ c) + = 00c+ 0b+, + 0b+ = 7c Innen csk = vgy = lehetséges H =, kkor 8 + 0b+ = 7c, zz 0b= 7c- 67 A most kpott egyenlet bl oldl oszthtó 0-zel, tehát jobb oldlnk is 0-r kell végzôdnie De jobb oldl csk kkor végzôdik 0-r, h 7c 7-re végzôdik, zz, h c = Ez esetben viszont jobb oldl negtív lenne, tehát ez esetben nem kpunk megoldást H =, kkor + 0b+ = 7c, zz 0b= 7c- 8 Ennek z egyenletnek ugynúgy, mint elôbb jobb oldlánk 0-r kell végzôdnie, zz 7c-nek 8-r kell végzôdnie Ez csk kkor teljesül, h c =, és ekkor 0b = 88-8 = 0, honnn b = A keresett szám: bc = Vlóbn: $ + = 7 A sktulyelv lpján 7 ppgáj között vn 6 zonos színû Ezeket négy korcsoportb lehet osztni (hiszen nincs különbözô korú, zonos színû), tehát - ugyncsk sktulyelv szerint - kell lennie 7 zonos színû és zonos korú ppgájnk H ezeket két részre kell osztni, kkor vlmelyik részben lesz leglább zonos korú és zonos színû ppgáj 7 A körfolyosó területe: R r- r r= r ( R -r ) A kötél hosszánk felére:, = R - r Tehát körfolyosó területe:, r = 7, 6 m Így szükséges dobozok szám: 7, 6 $, = 7,, vgyis 7 6, y 76 HC = és AH = HF = y Írjuk fel koszinusztételt z FCH háromszögre:

25 6 Vegyes és gykorlti feldtok 76 J N J y N J y N y y K y = + - O K O K O $ $ $ cos ( 80 - ) L P L P L P ( = cos ), honnn cos = De cos =, így =, zz y = y y Írjuk fel újr koszinusztételt, most z XBF háromszögre: J N K O ( - ) = + -$ $ cos, K O L P - = -, honnn = 0 Tehát hjtás másik vége háromszög AB oldlát : ránybn osztj: BX = XA 77 Tekintsük z ábrát H = b+ c, kkor z ABD és ACD háromszögek hsonlók, vgyis n AD =, zz nn ( + k) = 8 77 AD n + k Innen n =, k = 8, vgy n =, k = De n = nem lehetséges, így Bél és Csb közül vlmelyik f tövében, másik pedig z f tövében végezte mérést = 0 gerezd fokhgymát kell ültetni 6 7 A megfelelô derékszögû háromszögekbôl J R N 7 ( R-) - = + K -( R-) O, honnn = R 0 L P 7

26 Vegyes és gykorlti feldtok 7 70 Tekintsük z ábrát 70 A háromszög területe: R V y ( ) z ( y) ( z) S W T= = S W T X J y( - ) + z( -y) N = - K O L P J Ez kkor legngyobb N K O, h y vgy K O - L P és z vgy - y egyenlô 0-vl Ez zt jelenti, hogy háromszög területe kkor legngyobb, h két csúcs négyzet két szomszédos csúcsáb esik, hrmdik pedig négyzet szemközti oldlánk bármely pontj 7 A kúp lkú edény és benne levô víz (kúp) hsonlók, így térfogtuk rány hsonlóság rányánk köbe, zz J N V = vz i K = 0, O L P A henger lkú edényben levô vízoszlop térfogt egyenesen rányos benne levô vízoszlop mgsságávl, tehát m = 0, 0 =, 6 cm vz i $ 7 A nyomdi ív két oldlát z lábbi ábr szemlélteti: 7 7 A feltételek szerint z L lány L + 6 fiúvl táncolt, és ez z összes fiúk szám Ezek szerint L+ 6 = F és L+ F= Innen L = 8 és F = 7 A bnkkárty: 7

27 8 Vegyes és gykorlti feldtok 7 Nem Mindhármn üveg sört fogysztottk, így András üvegébôl Csb üveggel fogysztott, míg Bél üveg sörébôl üveggel Ezek szerint z eurót : ránybn kell elosztni András és Bél között 76 A négy repülôgép egy olyn szbályos tetréder csúcsibn vn, melynek testmgsság 00 m Az oldlú szbályos tetréder testmgsság 00 = 00, honnn z él (vgyis két repülôgép távolság) 67, m 77 A félgömb és henger térfogtánk egyenlôségébôl, vlmint félgömb és kúp térfogtánk egyenlôségébôl: $ r$ = $ r $ mhenger, honnn m henger = 8 cm; $ r$ = $ r $ $ mku p, honnn mk u p 8 = cm 78 H l lányok szám, l fiúk szám, kkor kérdéses lklomml: ( l- 8) $ = l- 8, honnn l = 6 és l = 8 7 Az lábbikbn muttunk néhány megoldást: 00 = $ ; 00 = + $ + $ $ ; 00 =- $ $ 7+ 8$ ; 00 = ( + --) $ ( ) 760 A6 literest megtöltjük, mjd átöntjük 7 literesbe Ezután 6 literest újr megtöltjük, és feltöltjük vele 7 literest, ekkor 6 literesben liter mrd A7 literest kiürítjük, mjd z litert beleöntjük 6 literesbôl Aztán 6 literest újr megtöltjük, feltöltjük vele 7 literest, így 6 literesben liter mrd Végül 7 literest kiürítjük, áttöltjük 6 literesben levô litert, mjd 6 literest ismét 76 megtöltjük, és litert átöntünk 7 literesbe, így 6 literesben éppen liter mrd 76 Jelölje A hlmz robotgéppel, B hlmz mosógéppel, C hlmz mosogtógéppel rendelkezô csládok számát A feltételek szerint + $ 0, b+ $, c+ $ 0, ezért + b+ c+ $ 00 De + b+ c# 000, így $, zz

28 Vegyes és gykorlti feldtok $ Tehát -nél több megkérdezett cslád rendelkezik mindhárom háztrtási eszközzel 76 Tekintsük z ábrát 76 A hjtogtás jellegébôl következik, hogy KBlC = BKC l = ABlD =, és BK = Bl K, vlmint BA l = BA Tehát z ADB háromszög is egyenlô szárú, ezért tégllp másik oldl AB = Mivel + =, honnn = $ ( - ), ezért z összehjtott terítô területe: [ + $ ( -)] $ T = = = 76 cm 76 A pirmis felülnézete egy 0 # 0 m-es négyzet, melynek területe 00 m, mi be vn vonv rnnyl Ezenkívül még z öt db hsáb oldllpji, melyek -esével egybevágó tégllpok E tégllpok mindegyikének egyik oldl m, másik oldlk pedig rendre m,, m, 7 m, 8, m és 0 m Tehát z rnnyl bevont terület: 00 + $ ( +, , + 0) = 0 m 76 Az ábr jelöléseivel: KGH egyenlô szárú derékszögû háromszög, így KF = Thlész tételé- b h bôl: PF = Így keresett PK távolság: PK = h - b 76 Gömb lkú hordó: grfikon; körlpján álló kúp lkú hordó: grfikon; csúcsán álló kúp lkú hordó: grfikon, henger lkú hordó: grfikon 766 A BMT és BMP háromszögek hsonlók; területeikbôl hsonlóság rány :

29 0 Vegyes és gykorlti feldtok Az APMD és BCTM trpézok területe ( + ) $ y ( + ) $ y TC= = $ y= 00, TD= = y= 800 (Ugynezt gondoltmenetet követve: h DMT háromszög területe t, BMP háromszög területe T, kkor z egyes trpézok területe: TC = t + Tt, TD = T + Tt l 767 András és Bél széke között távolság 68 - = szék Ezek szerint, h legmgsbb sorszámú szék z, kkor =, honnn = 0 $ r r A körcikk területe: Tk qrcikk= = Mivel TAO = 0, tehát BAO = 0, így OB = + AO - $ AO$ cos 0 De cos 0 =, tehát =, honnn AO AO AO = J N Azt kpjuk, hogy = + - $ $ - K O, L P b- l honnn = = + Ezzel b- l T b- l b- l negyzet = = $ = 0, 00 0 T r r r kqrcikk r =, -gyel számolv tehát négyzet területe ngyobb, mint körcikk területének fele, vgyis z építési engedélyt nem dják meg (Igen érdekes eredményre jutunk, h r-nek nem két tizedesjegy pontosságávl, hnem négy vgy több tizedesjegy pontosságávl számolunk r =, -tel számolv két terület hánydos már jóvl kedvezôbb: 0, 8, vgyis ez esetben ház megépíthetô) 76 H küllô hossz k, kkor feltételek szerint ( 0 + k) $ r= $ 0 $ r, honnn k = 80 cm

30 Vegyes és gykorlti feldtok J r N 770 A füves rét területe: r r - K O L P A kecske áltl elérhetô terület z r sugrú rét -d 770 része, vlmint negyedkör, melyek sugr r, vgyis J r N r 7 r r + $ $ = r r K O 8 L P Ezek szerint kecske lelegelheti rét r 7 r r 8 r r - 0, %-át 77 H elôször k db ppírt vágtunk ketté (k # 00), kkor 00 + k db ppírlpunk lesz Másodszor k ppírt vágtunk ketté, így ez után 00 + k ppírlpunk lesz Hrmdik lklomml k db ppírt vágtunk ketté, így 00 + n + 7k ppírlpunk lesz Beláthtó, hogy z n-edik drbolás után 00 + ( -) db ppírlpunk lesz n n 00 + ( - ) $ k = 00, zz ( - ) $ k = 0 = $ $ 7 Mivel 0 n - lkú osztói közül csk 7 jöhet szób, így n = 7 és ekkor k = Tehát legelôször db ppírlpot vágtunk ketté és z eljárást 7-szer ismételtük meg Nevezetes egyenlôtlenségek y 77 Legyen + y= 8 Ekkor = + $ y, tehát 8 $ y Az egyenlôség pontosn kkor teljesül, h = y= Ekkor szorzt értéke: 8 y 77 Legyen + y= 00 Ekkor 0 = + $ y, tehát 00 $ y Az egyenlôség pontosn kkor teljesül, h = y= 0, ekkor szorzt értéke: 00 b 77 Legyenek z oldlk: és b Mivel _ + bi = 0, 7, = + $ b = = t te gllp Tehát tégllp mimális területe: 06, cm, ekkor z oldlk: = b = 7, cm

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK.

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1 BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1Bevezetés. Biokomptbilis nygok különböző funkcionális testrészek pótlásár ill. plsztiki célokt szolgáló lkos, meghtározott méretű, nygok ill. eszközök, melyek trtósn vgy meghtározott

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

TENGELY szilárdsági ellenőrzése

TENGELY szilárdsági ellenőrzése MISKOLCI EGYETEM GÉP- ÉS TERMÉKTERVEZÉSI TASZÉK OKTATÁSI SEGÉDLET GÉPELEMEK c. tntárgyhoz TEGELY szilárdsági ellenőrzése Összeállított: Dr. Szente József egyetemi docens Miskolc, 010. A feldt megfoglmzás

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS MARADÉKANOMÁLIASZÁMÍTÁS **'* Kivont STEINER FERENC" okl középiskoli tnárnk Nehézipri Műszki Egyetem Bánymérnöki Krához benyújtott és elfogdott doktori értekezéséből Az értekezés bírálói: Dr csókás János

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT 4. C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! Okttási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC Subsemntul dr. András Szilárd, conferențir l Fcultte de Mtemtică și Informtică Universității Bbeș-Bolyi, vizez lucrre Aplicre metodelor vedice în predre mtemticii l clsele

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK. Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:

Részletesebben

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányzt Képviselőtestületének 9/ 24. (IX.7) ÖR számú rendelete helyi hulldékgzdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányztánk Képviselőtestülete z önkormányzti törvény (99. évi LXV. tv.)

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

Irány a nyár... ...felkészült már? Audi Service. Audi Eredeti MMI 3 High navigációs szoftver. 83 990 Ft. www.audiszervizek.hu. 2014-as Európa térkép.

Irány a nyár... ...felkészült már? Audi Service. Audi Eredeti MMI 3 High navigációs szoftver. 83 990 Ft. www.audiszervizek.hu. 2014-as Európa térkép. Irány nyár......felkészült már? www.udiszervizek.hu Audi Eredeti MMI 3 High nvigációs szoftver 2014-s Európ térkép. 83 990 Ft Audi Service Utzásr készen Vonzó válszték meggyőző mínőség. Válsszon

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr.

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr. Dr. Kovás Nuik ÖSZVÉRSZERKEZETEK BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnséken Dr. Kovás Nuik egyetemi doens BE, Hidk és Serkeetek Tnsék BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnsék 01. Trtlom Dr. Kovás Nuik 1. Beveetés...

Részletesebben

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Mtemtik. évfolym TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kidvány KHF/86-/008. engedélyszámon 008..7. időponttól tnkönyvi engedélyt kpott Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

A Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló feladatainak megoldása 1

A Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny I. forduló feladatainak megoldása 1 A Szkác Jenő Megyei Fizik Vereny I. forduló feldtink egoldá. 0, c 0,7 /, /, 0, /. c )? d? ) Az elő ut ebeége: c +,7 /. pont A áodik ut ebeége: c 0, /. 3 pont Az elő ut ozgáánk ideje: 0 t 30. pont,7 A áodik

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

TIMSS TERMÉSZETTUDOMÁNY. 8. évfolyam NYILVÁNOSSÁGRA HOZOTT FELADATOK

TIMSS TERMÉSZETTUDOMÁNY. 8. évfolyam NYILVÁNOSSÁGRA HOZOTT FELADATOK TIMSS NYILVÁNOSSÁGRA HOZOTT FELADATOK TERMÉSZETTUDOMÁNY 8. évfolym Az láik közül melyik közelíti meg legjon z édesvíz százlékos részrányát Földön tlálhtó víz összmennyiségéhez képest? S01_01 100% 90% c

Részletesebben

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER FÁCÁNKERT HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER PÉCSÉPTERV STÚDIÓ VÁROSRENDEZÉS ÉPÍTÉSZET BESŐ ÉPÍTÉSZET SZAKTANÁCSADÁS TERVEZÉS EBONYOÍTÁS F Á C Á N K E R T TEEPÜÉSRENDEZÉSI TERVE HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER Készítette

Részletesebben

FővárosiFóügyészség NF. 19043/2008/5-I. HATAROZAT bűntetteésmás bűncselekmények szbdságmegsértésónek Az egyesülésiés gyülekezési mitt BRFK Btinügyi Főosztály II. Gyermek- és IfjúságvédelmiosztáIyán 136.

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja.

F a 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szavazattal a rendelet-tervezet elfogadását javasolja. - 11- F 1 u s s v Sándor: A Jogi és Ügyrendi Bizottság 6 igen szvttl rendelet-tervezet elfogdását jvsolj. T ó t h István: Várplot Pétfürdői Városrész Önkormányzt 7 igen szvttl, 1 nem szvttl rendelet-módosítás

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete

3-4.elıadás: Optimális választás; A fogyasztó kereslete (C) htt://kgt.e.hu/ / 3-4.elıdás: Otiális válsztás; A fogysztó kereslete A fogysztó válsztási roléáj A fogysztó száár elérhetı (egfizethetı) jószágkosrk közül neki legjot válsztj A fogysztó költségvetési

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

TARTALOM. játékszín B É C S Y T A M Á S

TARTALOM. játékszín B É C S Y T A M Á S S Z í N H Á Z M Ű V É S Z E T I E L M É L E T I ÉS K R I T I K A I F O L Y ó I R A T X V I I. É V F O L Y A M 1 2. S Z Á M 1 9 8 4. D E C E M B E R F Ő S Z E R K E S Z TŐ : B O L D I Z S Á R I V Á N F

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. október 18. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak,

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Matematikai feladatlap Test z matematiky

Matematikai feladatlap Test z matematiky Keresztnév: Vezetéknév: Mtemtiki feldtlp Test z mtemtiky eloslovenské testovnie žikov 9. roèník ZŠ T9-01 Kedves tnulók, mtemtiki feldtlpot kptátok kézhez. teszt 0 feldtot trtlmz. Minden helyes válszt 1

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 2016. jnuár 16. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

A színpad és a nézőtér viszonya (1) Ravelszki perújrafelvétele (10) Az úrhatnám polgár avagy vallomás a színházról (14) Don Juan, a magánember (17)

A színpad és a nézőtér viszonya (1) Ravelszki perújrafelvétele (10) Az úrhatnám polgár avagy vallomás a színházról (14) Don Juan, a magánember (17) SZÍNHÁZMŰVÉSZETI E L M É L E T I ÉS K R I T I K A I F O L Y Ó I R A T X I I. É V F O L Y A M 1 2. S Z Á M 1 9 7 9. D E C E M B E R F ŐSZERKESZT Ő: B O L D I Z S Á R I V Á N F ŐSZERKESZT Ő-HELYETTES: C

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

VB NÉGYZÖG KEREZTETZET TERVEZÉE HAJLÍTÁRA Vseton keresztmetszet tervezése történet: kötött tervezéssel: keresztmetszet nygi és méretei ottk, megtervezenő mértékó nyomtékoz szükséges célmennyiség, sz tervezéssel:

Részletesebben

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei Lkások elektro ánk mértéke ezek csökkenti lehetőségei Írt: Vizi Gergely Norbert, Dr. Szász ndrás múlt százdbn tudósok rájöttek, vezetékek elektro hullámokt bocsátnk ki, miket távkommunikációr lehet hsználni,

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit

Munkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára. Makara Ágnes Bankáné Mező Katalin Argayné Magyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit Kalandtúra 7. unkafüzet megoldások 7. osztályos tanulók számára akara Ágnes Bankáné ező Katalin Argayné agyar Bernadette Vépy-Benyhe Judit BEELEGÍTŐ GONDOLKODÁS. SZÓRAKOZTATÓ FELADVÁNYOK. oldal. 6... 6.

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben