MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Mtemtik. évfolym TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV

2 A kidvány KHF/86-/008. engedélyszámon időponttól tnkönyvi engedélyt kpott Eductio Kht. Kompetencifejlesztő okttási progrm kerettnterv A kidvány Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Opertív Progrm... központi progrm (Pedgógusok és okttási szkértők felkészítése kompetenci lpú képzés és okttás feldtir) keretében készült, sulinov okttási progrmcsomg részeként létrejött tnulói információhordozó. A kidvány sikeres hsználtához szükséges teljes okttási progrmcsomg ismerete és hsznált. A teljes progrmcsomg elérhető: címen. Mtemtik szkmi vezető: Oláh Ver Szkmi tnácsdók: Cstár Ktlin, Árváné Dob Mári Alkotószerkesztő: Oláh Judit Grfik: Drbos Noémi Ágnes, dr. Fried Ktlin Lektor: Pálmy Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0 Szerzők: Csákvári Ágnes, Drbos Noémi Ágnes, Lövey Év, Vidr Gábor Eductio Kht Tömeg: 90 grmm Terjedelem:,8 (A/5 ív) A tnkönyvvé nyilvánítási eljárásbn közreműködő szkértők: Tntárgy-pedgógii szkértő: Kóny István Tudományos szkmi szkértő: dr.mrosváry Erik Technológii szkértő: Ábrhám Júlinn

3 trtlom. modul: Vlószínűség, sttisztik (Lövey Év) modul: Htványozás kiterjesztése, htványfüggvény (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: Eponenciális függvények és egyenletek (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: A logritmus (Csákvári Ágnes és Drbos Noémi Ágnes) modul: Vektorok (Vidr Gábor) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek tnnyg megértésében. A FELADATOK szintjét sorszám előtti házikó muttj: lpszintű feldtok: középszintű feldtok: emelt szintű feldtok: Ahol nincs ilyen jelzés, zt példát mindenkinek jánljuk.

4

5 . MODUL vlószínűség, sttisztik Készítette: Lövey Év

6 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Kombintorik (ismétlés); permutációk Mintpéld Kt héten elért osztályztokról következőképpen számolt be szüleinek: Kptm egy csillgos ötöst, egy ötöst, egy négyes lát, egy négyest és egy négyes fölét. Tudjuk, hogy osztályztit németből, történelemből, mtemtikából, informtikából és testnevelésből kpt. Számoljuk ki, hogy hányféleképpen szerezhette ezeket z osztályztokt z egyes tárgykból! Rögzítsük tntárgyk sorrendjét, és nézzük meg, hányféleképpen írhtjuk lájuk z 5 különböző osztályztot: német történelem mtemtik informtik testnevelés 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5 / \ / \ / A német osztályztot még öt különböző közül válszthtjuk. H pl. német osztályzt -es volt, történelemből már csk lehetőség mrd, h z 5*-re sikerült, kkor mtemtik jegyre már csk lehetőség mrd. H z első tárgyból z ötféle jegy közül válszthtunk, kkor másodiknál már csk közül, bármit is válsztottunk z elsőnél. Így z első és második tárgyhoz összesen 5 = 0 lehetőségünk vn. Hozzávéve hrmdik, negyedik és ötödik tárgyt, megoldást z 5 = 0 számítás dj. Az öt lehetséges osztályzt bármelyik sorrendjét z elemek permutációjánk hívjuk. Az öt elem összes lehetséges sorrendje tehát 0. Áltlábn: Helyezzünk el n különböző dolgot egy n rekeszből álló dobozb: Az első rekeszbe n különböző elem közül válszthtunk, de másodikb már csk eggyel kevesebből, és így tovább Az utolsób már csk lehetőség mrd.

7 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Mintpéld A tnárok hldási nplób csk ötöst, négyest, hármst, kettest és egyest írnk. Számítsuk ki, hogy ebben z esetben hány lehetőség vn Kt osztályztink beírásár! Az első mintpéldábn megkülönböztettük következő lehetőségeket: 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5* 5 / \ 5* 5 \ / 5* 5 \ / 5* 5 \ / Ezek szám zért! = 6, mert ennyiféleképpen rendezhetem sorb három különböző négyest, \ -t, -est és / -t. H első lépésben csk négyesek különböző jelöléseitől tekintünk el, kkor ebből 6 lehetőségből csk mrd: 5* 5 / \ Tehát z első mintpéldábn szereplő 0 5* 5 / \ 0 0 lehetőségből már csk = = 0 mrd. 5* 5 / \! 6 5* 5 \ / 5* 5 \ / H most csillg jelölést is letöröljük z 5* 5 \ / ötösről, kkor bármely két eddig különböző lehetőség csk egynek tekinthető. 5* 5 5 5* Így z eddigi 0 sorrend felére változik, 0 lesz. Összefogllv: n = 5 osztályztról vn szó, ezek közül k = zonos (négyesek) és k = szintén 5! 0 zonos (ötösök). Ezek lehetséges sorrendje tehát: = = 0.!! 6 H z n elem nem mind különböző, vgyis vn köztük k, k, k m zonos, kkor ismétléses permutációról beszélünk. n! Ezek szám:, hol k k... km n k! k!... k! m

8 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld Egy henger lkú forgó hirdetőtáblár plkátot krnk elhelyezni egymás mellé. Hány különböző elrendezés lehetséges? Jelöljük négy plkátot A, B, C és D betűkkel. Terítsük ki henger lkbn összergsztott plkátokt (természetesen kiterítéskor plkátot nem vághtunk ketté)! A négy betűt! sorrendben lehetne felsorolni, de z lábbi elrendezés ugynzt képet eredményezi: A B C D B C D A C D A B D A B C! Így megoldások szám =! = 6 lesz. Ciklikus permutációról beszélünk, h n különböző elemet úgy rendezünk sorb, hogy nincs első és utolsó elem. Két permutáció kkor számít különbözőnek, h vn olyn tgj permutációnk, melynek jobb vgy bl oldli szomszédj nem zonos. n elem ciklikus permutációink szám: (n )!. Feldtok. Műkorcsolyázó versenyen nőknél junior rövid progrmnk z lábbi előírt elemeket kell trtlmzni: (részlet z ISU MŰKORCSOLYA SZABÁLYKÖNYVéből):

9 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 ) dupl Ael Pulsen; b) egy dupl vgy tripl Lutz, melyet közvetlenül megelőz összekötő lépés vgy hsonló szbdkorcsolyázó mozdultsor; c) egy ugráskombináció két dupl, vgy egy dupl és egy tripl ugrásból; d) beugrós libelle; e) hátr vgy oldlr hjlós forgás; f) forgáskombináció, egy lábváltássl és leglább két testhelyzetváltássl (ülő, mérleg, álló helyzet vgy ezek vriációj); g) spirál lépéssorozt; h) lépéssorozt (egyenes, kör-, ill. kígyóvonl lkú). Hányféleképpen építheti fel vlki kűrjét ezeket z elemeket figyelembe véve, h mindegyikből csk egyet-egyet épít be?. Tudjuk, hogy 006 utolsó ötöslottó sorsolásán kihúzott számok emelkedő sorrendben következők voltk: 5,, 5, 6, 76. Hány különböző sorrendben történhetett meg ezeknek számoknk kihúzás?. 5 Mlév, KLM, Lufthns, Air Frnce, 5 British Airwys, AUA gép várkozik felszállásr Ferihegy II. repülőtéren. Hány különböző sorrendben engedélyezhetik z indulásukt, ) h minden jártot különbözőnek tekintünk? b) h csk gépek üzemeltetői szerint különböztetjük meg z egyes repülőket?. Az egyik metróállomáson következő információkt közli egy végtelenített fényreklám: KÉRJÜK A BIZTONSÁGI SÁVOT SZABADON HAGYNI! A METRÓN CSAK ÉRVÉNYES MENETJEGY BIRTOKÁBAN UTAZHAT. VIGYÁZZON ÉRTÉKEIRE! EGY VONALJEGY CSAK 0 PERCES UTAZÁSRA JOGOSÍT! Hány lényegesen különböző sorrendje lehet ezeknek z információknk szlgon? 5. Egy brátodnk CD-t állítsz össze 0 kedvenc dlából (5 lssú és 5 gyors). ) Hányféleképpen teheted ezt meg? b) Hányféleképpen teheted ezt meg, h zt krod, hogy z első szám mindenképpen gyors, z utolsó pedig lssú legyen?

10 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) Hányféleképpen teheted ezt meg, h zt krod, hogy gyors és lssú számok váltogssák egymást? 6. A bölcs király minden évben megjutlmz 5 tudóst. Kioszt Nemzet Bölcse, Nemzet Okos és Nemzet Tudós kitüntetést. Az öt jutlmzndó személyét már eldöntötték (köztük volt Mindentudó Jkb is), de tnácsnoki mind különböző jvsltot dtk rr, hogyn osszák meg z 5 tudós között kitüntetéseket, mi több: pontosn nnyin voltk, hogy minden lehetőségre esett egy szvzt. Ezért király úgy döntött, felvesz még egy tnácsnokot, így biztosn lesz leglább kettő, ki zonos véleményen vn. ) Hány tnácsnok lesz így királynk? b) Hányn gondolták eredetileg úgy, hogy z egyik Nemzet Okos kitüntetés Mindentudó Jkbnk jár? 7. A körtáncot tnuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnk fel. 0 próbájuk volt. Leglább hányn táncolnk?

11 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA II. Kombinációk, vriációk Mintpéld Egy vetélkedő 00 fős közönségéből véletlenszerűen kiválsztott embert egyformán krnk megjutlmzni. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Képzeljük el, hogy z elődás előtt 0 perccel z ügyelő vlmelyik három szék lá piros cédulát rgszt; ezek lesznek kiválsztottk. Mivel jutlmk egyformák, lényegtelen, hogy három cédulát milyen sorrendben helyezte el. A 00 szék közül kell tehát hármt kiválsztni, és kiválsztás sorrendje közömbös. Mivel 97 cédul nélküli és 00! cédulás hely vn, ezért z összes lehetőségek szám = = !! H n különböző elemből k drbot kell kiválsztni úgy, hogy sorrend nem számít, kombinációról beszélünk. (k n) n! Ezek szám, melyet egy szimbólumml is jelölünk: k! ( n k)! n! n = (Olvsás: n ltt k). k! ( n k)! k 00! A fenti péld esetén 97!! 00 felírhtó lkbn is. Mintpéld 5 Egy pályázt eredményhirdetésére z első 0 helyezettet hívták meg. Az első helyezett pénzjutlmt, második utzást, hrmdik elektronikus berendezést, többiek pedig oklevelet kptk. A meghívottk közül hányféleképpen kerülhettek ki zok, kik tárgyjutlmt kptk?. megoldás: Az első helyezettet 0, másodikt már csk 9, hrmdikt pedig mrdék 8 meghívottból lehet kiválsztni, tehát jutlmzottk névsor = 70 -féle lehet.

12 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. megoldás: 0 A tárgyjutlmt kpó 0 helyezett közül -féleképpen válszthtó ki. Mivel nyeremények nem egyformák, ezért ezeket!-féleképpen lehet szétosztni. Így z első helyezettet 0 0!! = = = 70 -féleképpen jutlmzhtták. 7! H n különböző elemből k-drbot krunk kiválsztni ( k n ), de sorrend is számít, kkor vriációról beszélünk. n! n Ezek szám, vgy másképpen: k!. ( n k )! k Mintpéld 6 Mgyrországon rendszámok most betűből és számjegyből állnk. A betűk ékezet nélküliek, egyjegyűek. Hány utót jelölhetünk így különböző rendszámml? Először vizsgáljuk meg, hogy hány drb betűs soroztot tudunk felírni. Egyjegyű, ékezet nélküli betűből 6 vn (bcdefghijklmnopqrstuvwyz). Ezekből rendszámot készíthetünk úgy, hogy minden helyre 6 betű közül válszthtunk. Itt lehetőségek szám rész minden krkterére 0 számjegyből válszthtunk, tehát itt 6. A számjegyekből álló 0 lehetőség lesz. Te- hát 6 0 = = utót tudnk így ellátni különböző rendszámml. (Itt nem háromjegyű számokról vn szó, tehát z első számjegy is lehet 0.) H n különböző elemből k drbot krunk kiválsztni mjd ezeket sorb rendezni, de egy elemet kár többször is válszthtunk, kkor ismétléses vriációról beszélünk. Ezek szám n k.

13 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Feldtok 8. Egy kézilbdcsptnk egyetlen kpus vn. A cspt fővel utzik egy meccsre. Hányféleképpen tudj kiválsztni z edző 6 kezdőjátékost? 9. A történelem érettségi kezdetén z első vizsgázó még mind 0 tétel közül húzht. Hány különböző húzás lehetséges? 0. H tudjuk, hogy z érettségi első npján nem volt bukás, kkor felelő eredményei hányfélék lehetnek mgyrból?. Hány olyn 6 jegyű szám vn, melyben szerepel -es számjegy?. A szinkronugrást 9 pontozóbíró figyeli. - bíró z egyes versenyzők mozgását pontozz, 5 pedig szinkronitásr ügyel. H előre ismert pontozóbírák személye, hányféleképpen oszthtó ki nekik feldt?. Nyolc fős társság hullámvsútr száll. Egymás mögötti helyekre ülnek párosávl. ) Hányféleképpen helyezkedhetnek el? b) Hányféleképpen ülhetnek le kkor, h csk z számít, ki kinek szomszédj és milyen messze ül vont elejétől?. A szlgvtó bálon.b osztály 0 lány is táncol nyitótáncbn. A ruhpróbán két fülke áll rendelkezésükre, egy két és egy személyes. Hányféleképpen juthtnk fülkébe próbálni, h ) csk z számít, hogy előbb vgy később kerülnek sorr? b) h z is számít, hogy két vgy háromszemélyes fülkében próbálnk?

14 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE III. Vlószínűségszámítás Az elmúlt években sokszor tlálkoztunk már vlószínűség foglmávl. A vlószínűségszámítás rr próbál válszt dni, hogy bizonyos véletlen események milyen eséllyel következnek be. Ahhoz, hogy ezt vizsgálhssuk, sok információr vn szükségünk. Az információk megszerzéséhez dtokt kell gyűjteni. Az dtgyűjtést vlószínűségszámításbn kísérletnek is mondjuk kkor, h z tetszőlegesen sokszor, ugynolyn feltételek mellett végezhető el, és többféle kimenetele lehet. A kísérlet lehetséges kimeneteleit eseményeknek (bizonyos esetekben elemi eseményeknek) nevezzük. Dobjunk fel egy kockát egymás után leglább 00-szor, és jegyezzük fel dobások eredményét. A táblázt egy ilyen dobássorozt kimenetelét muttj: Vizsgáljuk meg, hogyn változik z -es dobás gykoriság, hogy dobások szám nő: -es dobások reltív gykoriság 0,5 0, 0,5 0, 0, Az z érték, mi körül dobás gykoriság ingdozik és mit vártunk is, z = 0, 6 & érték. 6 Azt számot, mely körül egy A esemény reltív gykoriság ingdozik, z illető esemény vlószínűségének nevezzük; jelölése: P(A).

15 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 Tehát nnk vlószínűsége, hogy egy szbályos dobókockávl egyest dobunk: 6. Ugynezt z értéket kptuk voln kkor is, h nnk vlószínűségét keressük, hogy kettest, hármst, négyest, ötöst vgy htost dobunk. Legyen z A esemény, hogy -est dobunk; A esemény, hogy -est dobunk A esemény, hogy -st dobunk; A 5 esemény, hogy 5-öst dobunk; A esemény, hogy -est dobunk A 6 esemény, hogy 6-ost dobunk. Mivel kísérletünknek ezeken kívül más kimenetele nem lehet, és vlmelyik esemény biztosn bekövetkezik, ezeknek z elemi eseményeknek vlószínűsége egyenlő. Ekkor z A, A, A, A, A 5, A 6 események teljes eseményteret lkotnk. Ilyen események körében vizsgálódott P. S. Lplce, ki vlószínűségszámítás klsszikus modelljét lkott meg. Ő egy esemény bekövetkezésének vlószínűségét így dt meg: P ( A) = kedvező esetek szám összes eset szám Lplce, Pierre-Simon (ejtsd: lplsz) (79 87) frnci mtemtikus, fizikus és csillgász volt. Egy ktoni iskolábn tnár volt Npóleonnk, mjd rövid ideig belügyminisztere is. Nevéhez fűződik z első monográfi megírás vlószínűség témkörében 8- ből. Címe mgyrul: A vlószínűségszámítás nlitiki elmélete. Mintpéld 7 A Ctn telepesei nevű társsjátékbn z egyes mezők -től -ig számml vnnk jelölve. A játékosok két dobókockávl dobnk, mjd nnk mezőnek jövedelméből részesülnek, mely megfelel dobókockák áltl muttott számok összegének. A hetes szám rblót jelöli. Minek ngyobb vlószínűsége: nnk, hogy 0-es mező termésének jövedelméből részesül egy játékos, vgy nnk, hogy rblónk megfelelő összeget dobjuk? I. H két kockávl dobunk, dobott számok összege -féle lehet (-től -ig), ezek közül egyik 0 és másik 7. Egyik lehetséges válsz z lenne, hogy kedvező esetek szám mindkét esetben, z összes lehetséges kimenetelek szám pedig, így két esemény zonos, vlószínű- séggel fordul elő. II. Gondosbb vizsgált esetén látjuk, hogy két kockávl dobás esetén különböző összegek így lkulhtnk:

16 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE + = + 5 = = = 0 + = + = = = + = + = 6 + = = + = + 6 = = 9 + = = = 9 + = 5 + = = 0 A lehetséges összegek szám, ezek közül 0-es mezőnek kedvező esetek szám, így P(0-es mező)=. A rbló számár kedvező összegek szám, így keresett há- nydos P(rbló)=. III. Képzeljük el, hogy két különböző színű kockávl dobunk, ekkor ilyen kimenetelek lehetségesek: Láthtó, hogy most z összes esetek szám 6, kedvező eseteké pedig, illetve 6, így vlószínűségek 6 P(0-es mező)= =, illetve P(rbló)= = A három gondoltmenettel három különböző eredményt kptunk. Az első szerint zonos két esemény vlószínűsége, második szerint nnk vlószínűsége, hogy rbló léphet színre, másfélszer kkor, mint nnk, hogy 0-es mező előnyeit élvezhetnénk, hrmdik szerint pedig rbló esélye kétszer kkor. Melyiknek lehet hinni? Mi okozz különbséget? Láthtjuk, hogy vlószínűség kiszámításkor kedvező esetek szám összes eset szám képlet csk kkor lklmzhtó, h gondosn htározzuk meg kedvező esetek és összes esetek számát z dott feldtbn. Ezt z elemi események vizsgáltávl tehetjük meg. Annk vlószínűsége, hogy két kock dobásávl pontot érjünk el, nem ugynkkor, mint nnk, hogy -et, mert két pont csk +-ként, míg pont + vgy +-ként is létrejöhet. Annk vlószínűsége, hogy két kockávl +-t, vgy +-t dobunk, nem ugynkkor, mert z + kétféleképpen is létrejöhet, h piros kockávl dobunk -est, feketével -st, vgy fordítv. Tehát első két módszerünk hibás eredményt hozott, mert mindkét esetben elkövettük zt hibát, hogy számlálóbn és nevezőben olyn eseményeket számoltunk össze, melyek kimenetele nem zonos vlószínűségű.

17 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 A hrmdik megoldásbn szereplő elemi események szám 6, közülük mind zonos vlószínűséggel következik be, így P(rbló)= > P(0-es mező)=, tehát rbló színrelépésének vlószínűsége ngyobb. 6 Mintpéld 8 Egyetlen dobókockávl dobunk. Legyen z A esemény, hogy párost dobunk, B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk. Két dobókockávl dobunk, egy pirossl és egy kékkel. Legyen z A esemény, hogy párost dobunk piros kockávl, B esemény, hogy -nél kisebb számot dobunk kék kockávl. Soroljuk fel kísérletek lehetséges kimeneteleit!,,,,5,6,,,,5,6,,,,,5,6,,,,,5,6,,,,,5,6, 5,5,5,5,55,56, 6,6,6,6,65,66. Mekkor lesz P(A) és P(B) vlószínűség? Az előző tnévben már megfoglmztuk, mit jelent z A + B, A B, A B, A, A B esemény! Ebben feldtbn számítsuk ki vlószínűségüket! P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes = = 6 = = 6 Az A + B esemény, hogy párost, vgy -nél kisebbet dobunk, ennek csk z 5 5 nem felel meg, tehát P ( A + B) =. 6 Az A B esemény, hogy párost és -nél kisebbet, zz -t dobunk, tehát P ( A B) =. 6 P P ( A) ( B) kedvező = összes kedvező = összes 8 = = 6 8 = = 6 Az A + B esemény, hogy piros páros, vgy kék -nél kisebb, tehát P ( A + B) = = =. 6 6 Az A B esemény, hogy pirossl párost dobunk és ugynkkor kékkel -nél kisebbet, tehát P ( A B ) = =. 9 6

18 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az A B esemény, hogy páros számot dobunk, de ezek közül ki kell hgyni -nél kisebbeket, tehát -et, vgy 6-ot dobok, tehát P ( A B ) = =. 6 Az A esemény, hogy pártln számot P = =. 6 dobunk, tehát ( A ) Az A B esemény, hogy pártln és -nél kisebbet dobunk, tehát ( A B ) P = =. 6 Az A B esemény, hogy pirossl párost dobunk, de kékkel nem dobok -nél kisebbet, 9 tehát P ( A B ) = =. 6 Az A esemény, hogy piros kockávl pártlnt dobunk (függetlenül kék kock eredményétől) tehát ( A ) 8 P = =. 6 Az A B esemény, hogy pirossl pártlnt dobunk és kékkel -nél kisebbet, tehát ( A B ) 9 P = =. 6 Az itt tpsztlt eredmények áltlábn is igzk: Az A + B esemény vlószínűségét úgy kpjuk meg, hogy két esemény vlószínűségének összegéből levonjuk z együttes bekövetkezés vlószínűségét, zz P A + B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) Ez z eredmény szemléletünkből is következik, hiszen mind z A esemény, mind B esemény bekövetkezésének vlószínűségének meghtározáskor beszámítjuk két esemény együttes bekövetkezését. Két egymást kizáró esemény esetén nnk vlószínűsége, hogy közülük leglább z egyik bekövetkezik, két esemény vlószínűségének összege, zz h ( A B) = 0 P A + B = P A + P B. P, kkor ( ) ( ) ( )

19 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 Mintpéld 9 Egy osztálybn mindenki beszél németül vgy frnciául. Tudjuk, hogy z osztály 0%- tnul frnciául, 85%- pedig németül. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h vlkit véletlenszerűen megkérdezünk, kkor z mindkét nyelven beszél? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy egy véletlenszerűen megkérdezett tnuló csk z egyik nyelven beszél? ) Legyen z A esemény, hogy vlki beszél németül. Tudjuk, hogy P(A)=0,85. Legyen B esemény, hogy vlki beszél frnciául. Tudjuk, hogy P(B)=0,. Tudjuk, hogy P ( A + B) =, hiszen mindenki tnul két nyelv vlmelyikén. A korábbn elmondottk lpján z együttes bekövetkezés vlószínűsége: P ( A B) = P( A) + P( B) P( A + B) = 0,85 + 0, = 0, 5, tehát 5% vlószínűsége, hogy olyn diákkl tlálkozunk, ki mindkét nyelvet tnulj. b) Itt z ( A B )+( B A ) esemény vlószínűségére vgyunk kíváncsik. Mivel z osztálybn mindenki tnul vlmilyen idegen nyelvet, z A B zz csk németül tnul; B A zz csk frnciául tnul; és z A B zz mindkét nyelven tnul események közül biztosn bekövetkezik vlmelyik, és cskis z egyik következik be, vgyis ez három esemény teljes eseményrendszert lkot. Tehát P ( A B) + P( A B) + P( B A) = ( A B) + P( B A) = P( A B) = 0,5 = 0, 85 P., így Adott kísérlet kimeneteleit vizsgálv z A, A,, A k események teljes eseményrendszert (eseményteret) lkotnk kkor, h közülük két esemény soh nem következhet be egyszerre, és nincs kísérletnek olyn kimenetele, melyik nem trtozik vlmely eseményhez. A teljes eseményrendszer eseményeihez trtozó vlószínűségeket összedv -et kpunk, és z eseménytér bármely két eseményének együttes bekövetkezésének vlószínűsége 0. Másképpen: P A i A =, h A i és A j tgji z eseményrendszernek, és P ( ) 0 j + k = ( A ) P( A ) P( A )

20 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintpéld 0 Sokéves tpsztlt lpján tudjuk, hogy jnuárbn 0, nnk vlószínűsége, hogy járdák síkosk. Azt is tudjuk, hogy míg jó útviszonyok mellett csk minden tízezredik gylogost ér bleset járdán, ddig csúszós időben minden 0000 gylogos közül 8 összetöri mgát. Mi vlószínűsége nnk, hogy egy jnuári npon vlkit bleset ér járdán? Képzeljük el, hogy egy jnuári npon egymillió gylogos sétál járdákon z országbn, egyenletes eloszlásbn. Ezen npon z ország 0, részén, tehát ott, hol ember sétál, csúszós járd. A fenti sttisztik szerint közülük minden 0000-ből 8 blesetet szenved, így 0 8 = 0 -t bleset ér. Az ország mrdék 0,6 részén viszont nem csúsznk járdák, tehát z ott sétáló ember közül csk minden tízezredik esik el, tehát itt 60 ember esik el. Így emberből 80-t ér bleset ezen z átlgos jnuári npon, tehát sérülés vlószínűsége = 0, Csk vlószínűségekkel számolv: 8 Csúszós úton 0, = 0, 000, jó útviszonyok mellett 0,6 = 0, 00006, együttesen tehát 0,0008 sérülés vlószínűsége, függetlenül ttól, hogy hány ember volt znp z utcákon. Feldtok 5. Legyen z A esemény, hogy lpos mgyr kártyából ászt húzunk. Legyen B esemény, hogy csomgból mkkot húzunk. Add meg következő események vlószínűségét: ) A, B. b) A B. c) A + B. d) A + B. (A mgyr kártyábn lsó, felső, király, ász, VII, VIII, IX, X lpok vnnk tök, mkk, zöld és piros színekben.) 6. Legyen z A esemény, hogy kockávl páros számot dobunk, B esemény, hogy kockávl pártln számot dobunk, és C esemény, hogy kockávl -gyel oszthtó számot dobunk. Mi lesz z A B, B C és A + B események vlószínűsége?

21 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7. Egy ötöslottó-sorsoláson z elsőnek kihúzott szám 5 volt. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy következőnek kihúzott szám ennél kisebb lesz? b) Tudjuk, hogy ezen bizonyos héten kihúzott számok emelkedő sorrendben következők voltk: 5,, 5, 6, 76. Mi vlószínűsége nnk, hogy 5 után kihúzott szám ennél kisebb volt? Nemcsk htlpú szbályos testből lehet készíteni dobókockát, hnem többi szbályos test minden lpjár is zonos eséllyel esik le homogén nygból készült test, így belőlük is készíthető dobókock. A következő feldtok különböző lpszámú dobókockákr vontkoznk. 8. A tetréderből készített dobókockánál dobáskor egy lpot nem látok, másik három lpon - szám áll. Itt vlójábn nem is lpok, hnem csúcsok vnnk megszámozv úgy, hogy csúcsbn tlálkozó lp mindegyikén láthtó csúcs közelében szám. Azt számot tekintjük dobás eredményének, melyik mindhárom lp felső csúcsán szerepel. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két tetréderrel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyen testtel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok öszszege páros lesz? 9. A hgyományos (kock lkú) dobókockán számok -től 6-ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két ilyen kockávl dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyen kockávl dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege páros lesz?

22 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 0. Az oktéder lkú dobókockán számok -től 8-ig szerepelnek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy páros számot dobunk? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy prímszámot dobunk? c) H két ilyennel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege prím lesz? d) H két ilyennel dobunk, mi vlószínűsége nnk, hogy dobott számok összege páros lesz?. Igz-e, hogy z lábbi eseményterekben megdott események vlószínűsége megegyezik? ) Három kockávl dobv dobások összege lehet:,,,8. b) Két érmével dobv lehetséges kimenetelek: FF, FI, IF, II. c) Déli órkor lehetséges időjárási helyzet: eső+fúj szél eső+nincs szél nincs eső+nincs szél nincs eső+fúj szél. d) Három érmével dobv lehetséges kimenetelek: fej, vgy fej+ írás, vgy fej+ írás, vgy írás.. Mi vlószínűsége nnk, hogy Ann és Kti ugynúgy töltse ki totószelvényét, h mindketten véletlenszerűen töltik ki?

23 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA IV. A vlószínűség kiszámítás kombintorikus úton Mintpéld Egy vidámprkbn számítógép vezérelte félkrú rbló három oszlopábn -féle jel fut: hold, szív és mosolygó rc.. A gépet úgy állították be, hogy mindhárom jel zonos vlószínűséggel forduljon elő mindhárom helyen. Akinek gép egyform vgy különböző jelet sorsol, z nyer egy csokit. A játszm ár peták, szomszédos büfében ezt csokit petákért lehet kpni. Hosszú távon kinek nyereséges ez játék? A játék kkor lenne számunkr hosszú távon veszteség nélküli vgy nyereséges, h leglább (átlgbn) minden második esetben nyernénk, tehát h nyerési esélyünk 0,5 vgy nnál ngyobb lenne. Most kedvező esetek és z összes eset számánk rányát fogjuk meghtározni, ügyelve rr, hogy mindkét esetben zonos vlószínűségű elemi eseményekkel számoljunk. Az összes eset szám = 7, hiszen minden figur mellé bármely másik kettő válszthtó. A kedvező esetek két részre bonthtók: I. csup egyform, számuk,, II. csup különböző, számuk!=6,,,,, A nyerési esély tehát + 6 = 7 <. A játék hosszú távon z üzemeltetőnek kedvez. Feldtok. Egy 0 fős osztálybn z irodlomtnár úgy döntött, hogy három kisorsolt diák dj elő szóbn házi dolgoztát z osztály előtt. Mi vlószínűsége nnk, hogy kisorsolt három tnuló névsorbn egymás után következik?. Az lábbi táblázt Form 006-os Hungroring futmánk végeredményét muttj. ) H verseny előtt megkérünk egy mit sem tudó kívülállót (mondjuk, egy mrslkót), jósolj meg végeredményt, milyen eséllyel tlált voln el? b) Ezen versenyen konstruktőrök (istállók) versenyében. helyezett lett Hond,. McLren,. BMW Suber,. Hond stb.

24 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE H fent említett mrslkót futm sorrendjéről úgy kérdezzük, hogy csk z istállók sorrendje érdekel, milyen eséllyel tlálj el? Forrás: Hely. Versenyző Istálló Motor Idő Körök. Jenson Button Hond Hond 0:5: 70. Pedro de l Ros McLren Mercedes 0:5:5 70. Nick Heidfeld BMW Suber BMW 0:5:0 70. Rubens Brrichello Hond Hond 0:5: Dvid Coulthrd Red Bull Rcing Ferrri 00:00: Rlf Schumcher Toyot Toyot 00:00: Felipe Mss Ferrri Ferrri 00:00: Michel Schumcher Ferrri Ferrri 00:00: Tigo Monteiro Midlnd F Toyot 00:00: Christijn Albers Midlnd F Toyot 00:00: Scott Speed Scuderi Toro Rosso Cosworth 00:00: Jrno Trulli Toyot Toyot 00:00: Tkum Sto Super Aguri Hond 00:00: Fernndo Alonso Renult Renult 00:00: Kimi Räikkönen McLren Mercedes 00:00: Vitntonio Liuzzi Scuderi Toro Rosso Cosworth 00:00: Nico Rosberg Willims Cosworth 00:00: Gincrlo Fisichell Renult Renult 00:00: Christin Klien Red Bull Rcing Ferrri 00:00: Mrk Webber Willims Cosworth 00:00:00. Skon Ymmoto Super Aguri Hond 00:00:00 0. Robert Kubic BMW Suber BMW 00:00:00 69

25 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5 5. Egy urnábn 5 fehér és 5 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót második húzás előtt vissztesszük. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? 6. ) Egy urnábn 5 fehér és 5 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? b) Egy urnábn 0 fehér és 0 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? c) Egy urnábn 500 fehér és 500 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? d) Egy urnábn 5000 fehér és 5000 piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle? e) Egy urnábn n fehér és n piros golyó vn. Két golyót veszünk ki belőle egymás után úgy, hogy kihúzott golyót nem tesszük vissz. Mi vlószínűsége nnk, hogy piros golyót húzunk ki belőle?

26 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE V. Binomiális eloszlás Mintpéld A biológi témzárór Mrci tudtlnok nyuglmávl érkezik. A könyvet ugyn ki nem nyitott, z órán sem figyelt, de tudj, hogy dolgoztbn tesztkérdés szerepel lehetséges A, B, C válszokkl, és kérdések közül elég hrmdár helyesen válszolni kettes eléréséhez. Úgy gondolj, nyugodtn véletlenre és jó szerencséjére bízhtj dolgot. Mi vlószínűsége nnk, hogy pontosn kérdésre válszol helyesen? 8 ) Annk vlószínűsége, hogy z első kérdésre helyes válszt d, többi nyolcr pe- 8 dig hibást: =. Igen ám, de zt négy feldtot, melyekre helyes vá- lszt d, féleképpen lehet kiválsztni -ből, így keresett vlószínűség 8 = , 8. Az itt lklmzott gondoltmenet áltlános esetben is működik: H egy esemény bekövetkeztének vlószínűsége p, kkor nnk vlószínűsége, hogy n független kísérletből ez z esemény pontosn k-szor n p k k nk következik be: ( ) p. Mintpéld Kíváncsik lehetünk még rr is, hogy minek legngyobb vlószínűsége, hány kérdésre d helyes válszt Mrci? Térjünk most vissz z előző mintpéld dtihoz és számítsuk ki, hogy mi vlószínűsége 0,,,, helyes válsznk. Számításink eredményét rendezzük tábláztb, mjd ábrázoljuk is!

27 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Helyes válszok szám (k) Ennek vlószínűsége P(k) 0 0,008 0,06 0,7 0, 0,8 5 0,9 6 0, 7 0,08 8 0,05 9 0,00 0 0, , , A tábláztból, de grfikonból is jól láthtó, hogy nnk vlószínűsége legngyobb, hogy kérdésből -et válszol meg Mrci. Mintpéld Sok vizsgált zt muttt, hogy gyártósoron elkészülő csvrok 95%- tökéletesen hsználhtó. Mrkoljunk ki egy ngy zsákból 0 csvrt. Mi vlószínűsége nnk, hogy kezünkben -nél több hibás csvr lesz? A komplementer esemény vlószínűségét egyszerűbb kiszámítni: mi vlószínűsége nnk, hogy kezünkben 0 vgy hibás csvr lesz? Ismerjük nnk vlószínűségét, hogy egy kivett csvr hibás: 0,05. Legyen zsákbn 0000 csvr. H z ismert eloszlásbn vnnk benne jó és hibás csvrok, kkor 9500 jó, és 500 hibás csvr vn zsákbn. H kivettünk belőle 9 hibás csvrt (minek igen kicsi vlószínűsége), nnk vlószínűsége, hogy következő is hibás lesz: , 08. H kivettünk belőle 9 jó csvrt, nnk vlószínűsége, hogy követke- 500 ző hibás lesz: 0, 050, vgyis z eltérés csk két ezrelék, tehát h zok szám, 998 miből mintát vesszük, elég ngy, eltekinthetünk ttól, hogy mintvétel során nem tettük vissz z egyes elemeket.

28 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Annk vlószínűsége tehát, hogy 0 hibás csvr lesz: , 95 0, 05 = 0, 95 0, Annk vlószínűsége, hogy hibás csvr lesz: , 95 0, 05 = 0 0, 95 0, 05 0, Annk vlószínűsége tehát, hogy -nél több hibás csvr lesz kezünkben: ( 0, , 77) 0, 65. Feldtok 7. Tízszer dobunk egymás után kockávl. Mi vlószínűsége nnk, hogy 0 dobásból pontosn -szor dobunk ötöst? 8. A csillgszórók közül áltlábn minden 0. hibás, nem ég végig. Mi vlószínűsége nnk, hogy h vettünk csomg, zz 0 drb csillgszórót, bból kettő hibás lesz? vásárlót megkérdeztek cukrászdábn, melyik kedvenc fgylltjuk válsztékból. A következő válszokt kpták: vníli citrom 0 erdei gyümölcs 7 csoki puncs 5 kiwi 7 krmell 5 meggy 9 őszibrck Készíts kördigrmot z dtok lpján! Számítsd ki nnk vlószínűségét, hogy fenti vásárlók közül vlkinek éppen csoki kedvenc fgyij! Mi vlószínűsége, hogy z üzletvezető áltl megkérdezett 0 vevő közül pontosn 5-nek volt kedvence csokoládé fgyllt?

29 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 0. Egy iskoli rendezvényről felvétel készült, melyről mind 0 szereplő számár sokszorosítni szeretnénk CD-t. Nincs időnk, hogy z összes másoltot ellenőrizzük, de biztonság kedvéért készítünk belőlük -t. Mi vlószínűsége nnk, hogy minden szereplőnek tudunk dni hibátln CD-t, h másolás során áltlábn minden huszdik CD-nek lesz vlmi hibáj?. Tudjuk, hogy egy óriási rktárbn 5: ránybn vnnk összevissz rdiál és digonál gumik. Mi vlószínűsége nnk, hogy véletlenszerűen kigurítv közülük drbot, zt fel tudjuk szerelni kocsinkr? (Szbály, hogy z első két, illetve hátsó két gumi típusánk meg kell egyeznie.)

30 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. A szerencsejátékos szerencséje Ebben fejezetben megismerkedünk néhány szerencsejátékkl. Nem zzl célll tesszük ezt, hogy biztssunk titeket játékr, éppen ellenkezőleg: zt szeretnénk megmuttni, hogy ezekben játékokbn hosszú távon mindig bnk nyer. Mikor érdemes megkötni egy fogdást? Képzeljük el, bbn fogdunk vlkivel, hogy 6-ost dobunk kockávl. H elég sokszor játszottunk, zt tpsztljuk, hogy 5-ször nnyiszor veszítjük el fogdást, mint hányszor megnyerjük. Tehát hhoz, hogy számunkr fogdás ne legyen veszteséges ( igzságtln ), z kell, hogy mi nyereményünk 5-ször kkor legyen, mint z övé. Képzeljük csk el, hogy 600-szor játszunk, és bejön ppírform : 00-szor dobunk 6-ost, de 500-szor mást. Játszótársunk nyereménye így 500 forint = 500 forint lesz, de miénk is 00 5 forint = 500 forint. Hosszú távon kkor igzságos egy fogdás, h nyereményünk nnyiszoros játszótársunk nyereményének, hányszoros z ő nyerésének vlószínűsége miénkhez képest. Képzeljük el, hogy fej vgy írást játszunk egy brátunkkl, és tétünk minden esetben egy bbszem. Megkérünk egy hrmdik személyt, hogy dobáljon egy érmét. H fejet dob, megkpjuk sjátunkén kívül brátunk bbszemét is, tehát nyereményünk bbszem. H írást dob, elveszítjük bbszemünket, brátunk viszi mindkettőt. Minden dobás előtt ½ esélyünk vn nyerni két bbot, és ugynkkor esélyünk vn elveszteni tétet. Mivel nyereményünk befektetett bb = -szerese, játék igzságos. 0, 5 Nézzük hát rulettet! Az ábrán egy rulettkereket, vlmint zt táblát látjuk, melyen téteket lehet megtenni.

31 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA A rulettkeréken számok 0-tól 6-ig tlálhtók. Vn 8 fekete és 8 piros szám, null se nem fekete, se nem piros. Néhány lehetséges fogdást mutt be z ábr, ezekhez zt is megdjuk, rátett pénzünk hányszorosát kpjuk nyereményként ( rátett összegen felül). A: egyetlen számr fogdsz (itt épp -sr), nyereményed befektetett pénz 5-szöröse. B: két számr fogdsz (itt épp z 5 és 8-sr), nyereményed befektetett pénz 7-szerese. C: három számr fogdsz ( sor számi:0,,), nyereményed befektetett pénz - szerese. D: négy számr fogdsz (,5,7,8), nyereményed befektetett pénz 8-szoros. E: ht számr fogdsz (9,0,,,,), nyereményed befektetett pénz 5-szöröse. F: számr fogdsz, z oszlop számir, nyereményed befektetett pénz -szerese. F: Itt ismét számr fogdsz, pl hrmdik -re zz 5-6-ig számokr, nyereményed befektetett pénz -szerese. G: zt muttj, hogy tétedet ngyobb számokr, 9-6 tetted. Ugynígy teheted piros, fekete, illetve páros (even), pártln (odd) tégllpokb is. Minden ilyen esetben nyereményed ugynnnyi, mint téted. Mintpéld 5 Számítsuk ki, igzságos -e nyeremény z A, illetve D esetekben? A jelű fogdásnál: H eltláljuk számot, kkor zseton tét esetén 6 zsetont kpunk meg. Akkor lenne igzságos fogdás, h nyerési esélyünk lenne. De rulettben 7 6 számnk vn zonos, 7 esélye, tehát nyerési esélyünk kisebb, mint mi z igzságos játék esetén lenne. D jelű fogdásnál kedvező esetek szám, z összes eset szám 7, nyerési esélyünk tehát 7. Akkor lenne tehát igzságos fogdás, h befektetett pénzünk 7 = 9, 5-szorosát kpnánk meg, de itt zseton tét esetén +8=9 zsetont kpunk csk. Ezek látszólg pró eltérések biztosítják, hogy kszinó hosszú távon nyereséges legyen.

32 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mielőtt következő feldttl fogllkoznánk, ismerkedjünk meg egy új foglomml: Legyen z A kísérlet összes lehetséges kimenetele z A, A,, A n esemény (teljes eseményrendszer). H vlmilyen A i esemény bekövetkezésének vlószínűsége p i, kkor z A kísérlet várhtó értéke p i A i szorztok összege: E ( A) = p A + p A p n An. Egy egyszerű kockdobás esetén várhtó érték következőképpen lkul: A A A 5 -est dobok, -st dobok, 5-öst dobok, p = ; A 6 p = ; A 6 p 5 = ; A 6 6 -est dobok, -est dobok, 6-ost dobok, p = ; 6 p = ; 6 p 6 =. 6 7 A kísérletünk várhtó értéke tehát = = =, Ilyen dobás persze nem jön létre soh, hiszen ez nem egész szám. Mintpéld 6 Vn zsetonunk. Elhtározzuk h törik, h szkd, három egymást követő körben felteszünk egy-egy zsetont feketére. Számítsuk ki nyeremény várhtó értékét! A három pörgetés eredménye lehet z, hogy 0,, vgy lklomml áll meg golyó 8 feketén. Annk vlószínűsége, hogy golyó feketén áll meg:, nnk pedig, hogy 7 9 nem feketén:, hiszen megállht 8 piroson és nullán. 7 A : 0 fekete tehát - nyereség; A : fekete tehát - nyereség; p = = ; p = ; 7 7

33 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA A : fekete, tehát + nyereség ; A : fekete, tehát + nyereség ; A nyereség várhtó értéke tehát 8 9 p = ; p = = ; E ( A) = ( ) + ( ) + + 0, 08 Ismét látszik tehát, hogy várhtón kszinó lesz nyereséges.. Mintpéld 7 Egy sorsjegyről következőket tudjuk: A sorsjegy nettó nyereményeire fordítndó összeg felosztás: Nyeremény db Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft A FORGALOMBA HOZATAL IDŐPONTJA: 005. július. A SORSJEGY ÁRA: 50 Ft NYERÉSI ESÉLY: :, KIBOCSÁTOTT DARABSZÁM: 5 millió db soroztonként Igz-e megdott nyerési esély? Mekkor nyereség várhtó értéke egy sorsjegy megvásárlás esetén? A kibocsátott 5 millió szelvényből nyer, tehát nyerési esély 0,, megdott nyerési esély pedig 0,, tehát helyesen dták meg z esélyt. (A két, érték között tízezredekben vn csk eltérés.) H szelvény nyer, kkor 9995 szelvény nem nyer. A JÁTÉK LÉNYEGE: A sorsjegyen egy játékmező tlálhtó, mely fedőrétegének ledörzsölése után állpíthtó meg, hogy nyertes-e sorsjegy. Amennyiben kprófelület ltt egy pénzösszeg szerepel, játékos nyert. Nyereménye kprófelület ltt feltüntetett nyereményösszeg. Amennyiben játékos NEM NYERT felirtot tlál, kkor nyereményt nem ért el.

34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE A : nyeremény 0 Ft; 9995 p = A : nyeremény 00 Ft; p = = 0, A : nyeremény 00 Ft; p = = 0, A : nyeremény 600 Ft; p = = 0, A 5 : nyeremény 000 Ft; p 5 = = 0, A 6 : nyeremény 0000 Ft; p 6 = = 0, A 7 : nyeremény Ft; A nyeremény várhtó értéke tehát 5 6 p 7 = = , , , , Levonv ebből 50 Ft-ot ( sorsjegy ár), várhtó bevételünk 60 Ft = 90. Feldtok. Egy ismerősünkről mesélték, hogy nyert z ötöslottón. Azon héten ezt láttuk nyereményjegyzékben: ÖTÖS LOTTÓ Nyerőszámok: 5, 5, 65, 7, 88 5 tláltos 0 db, nyereménye: 0 Ft tláltos 8 db, nyereménye: 800 Ft tláltos 056 db, nyereménye: 7 65 Ft tláltos 0 9 db, nyereménye: 99 Ft Mi vlószínűsége nnk, hogy 000 Ft-nál többet nyert?

35 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 5. Vizsgáld meg, igzságos-e fogdás ruletten (l. 5. mintpéldát) ) B tét esetén? b) E tét esetén?. Mekkor lesz nyereség várhtó értéke, h kétszer egymás után - zsetonnl középső oszlopr (F eset) fogdunk? 5. Egy sorsjegyről következőket tudjuk (részlet Részvételi szbályzt -ból): A sorsjegy ár: 00 Ft; Nyerési esély: :,; Kibocsátott drbszám: 5 millió db soroztonként. A sorsjegy nettó nyereményeire fordítndó összeg felosztás: Nyeremény db Ft ) Mi vlószínűsége nnk, hogy nem veszítünk vásárláson? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy leglább 5000 Ft-ot nyerjünk? c) Számítsd ki, mekkor várhtó nyereség sorsjegy vásárlás esetén!

36 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VII. Geometrii vlószínűség Mintpéld 8 Egy 0 méter hosszú vízvezetékcső tört el vlhol fővezeték és házunk között. Mi vlószínűsége nnk, hogy földet cső fölött vlhol m hosszn felásv rátlálunk hibár? Úgy érezzük, hogy keresett vlószínűség. Vlóbn, h beszerelt cső minősége mindenütt zonos, és fölötte levő terhelés is egyenletes, törés cső bármely pontján ugynkkor 0 vlószínűséggel következhet be. Mi most itt kedvező elemi események szám? És mennyi z összes elemi esemény szám? Mindkettő végtelen sok. Mégis, keresett vlószínűséget megkphtjuk, hiszen megtlálás vlószínűsége egyenesen rányos felásott föld hosszávl, és h 0 métert ásnánk fel, kkor hibát vlószínűséggel tlálnánk meg. Jelöljünk ki képzeletben egy pontot csövön. Annk vlószínűsége, hogy ezt véletlenszerűen eltláljuk, érzésünk szerint null. Tlálkoztunk tehát zzl, hogy bár lehetetlen esemény vlószínűsége 0, 0 vlószínűségű esemény bekövetkezése nem lehetetlen. Tudjuk, hogy koordinát-rendszerben végtelen sok rácspont vn. Pontból pedig koordinátsíkon még sokkl több. Annk vlószínűsége, hogy véletlenül rábökve táblár, rácspontot tláljunk el, 0, tehát komplementer esemény, vgyis nnk vlószínűsége, hogy táblár rábökve nem rácspontot tlálok el,. Ez zonbn mégsem biztos esemény! Tehát biztos esemény vlószínűsége, de z vlószínűségű esemény bekövetkezése nem biztos!

37 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 7 Mintpéld 9 Egy kert lprjzát muttj következő ábr. A kockázott terület kövezett tersz. A kék vonl vízvezeték útját muttj, mely föld ltt méter mélységben hld. Sjnos ez vlhol, vízór (V) és kerti csp (CS) között eltörött. Megmérték, hogy kerti csp grázs srkától 6 m-re, vízór ház srkától 0,5 m-re vn. A ház mindkét kerítéstől - m-re épült, mit itt z előírásoktól eltérően kivételesen engedélyeztek. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h npont méter hosszn tudjuk kibontni vezetéket, npon belül megtláljuk hibát? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy hib megtlálásához nem kell felszedni tersz köveit? c) A vízvezetéktől m-re vn z F-fel jelölt f. H törzsétől számított m-es sugrú körön belül mélyen leásunk, f károsodásánk vlószínűsége 0,. Mi vlószínűsége nnk, hogy f megmenekül? Az eddigi feldtok megoldáskor segített, h kedvező esetek számát osztottuk z öszszes eset számávl, de itt ez megoldhttln feldt elé állítn minket. Még h vonl-

38 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE szerűnek tekintjük is vezetéket, kkor is bármely rövid szkszán végtelen sok pont vn. Ennek lpján zt kpnánk, hogy nnk vlószínűsége, hogy vezeték vízórától mondjuk m-re lyukd ki, (pont) osztv végtelen sok (pont), tehát 0. És ez vlóbn így is vn. H vezeték összes pontj zonos vlószínűséggel romlik el, minden egyes pontjánk 0 vlószínűségű hibesélye. Mégis, zt is mondhtjuk, hogy vezeték minden centiméterén ugynkkor vlószínűséggel keletkezik hib, mint szomszédos centimétereken, így hib előfordulásánk vlószínűsége egy cm-es szksz vlmely pontján kétszer kkor, mint ugynzon szksz felén, tehát vlószínűség egyenesen rányos vizsgált szksz hosszávl. A vízvezetéket ház oldlávl párhuzmosn fektették le. H csp grázs srkától 6 m-re vn, kkor z utci kerítéstől mért távolság,8 m + 6 m=0,8 m. Tehát kputól z első srokig 0,8 m vezeték vn, ebből levonv vízór kpu távolságot, 9, 8 m-t kpunk. A rá merőleges vezeték hosszát megkpjuk, h kert szélességéből (0 m) levonjuk grázs szélességét ( m), vlmint vízvezeték kerítés távolságot ( m 0,5 m = 0,5 m). Tehát vízvezeték teljes hossz vízór és csp között 9,8 m + 0 m ( m + 0,5 m) = 6, m. ) Feltételezve, hogy törés vezeték minden pontján zonos vlószínűséggel fordul elő, megtlálás vlószínűsége egyenesen rányos felbontott szksz hosszávl. 6, m-es felbontás esetén megtlálás vlószínűsége, tehát h három npon át npont m-t ásunk, kkor hib megtlálásánk vlószínűsége 0,. 9 m 6, m b) Mivel tersz csempéit nem szívesen bontnák fel, ezért, h vízórától terszig nem tlálták meg hibát, kkor keresést tersz túlsó oldlán folyttják. A kövezetet csk kkor szedik fel, h tersz túlsó fele és csp között sem tlálták meg hibát. Annk vlószínűsége, hogy törés tersz ltt vn: m 6, m 0,, tehát nnk vlószínűsége, hogy nem kell felbontni tersz köveit (komplementer esemény) 0, 0, 886. c) A f megmenekülésének vlószínűsége két esemény vlószínűségének összege lesz: nem ásunk f közelében, illetve ott ásunk, de f túléli. Ahhoz, hogy erre kérdésre válszt d-

39 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 9 junk, ki kell számítni, hogy f veszélyes környezetébe vízvezetéknek milyen hosszúság kerül. Tudjuk, hogy f törzse m-re vn vezetéktől, tehát kérdés, hogy z F középpontú m sugrú körben kör középpontjától m-re milyen hosszú húr vn. h Pitgorsz-tétellel számolv, húr hosszánk fele = = 8, innen h = 8 m 5,66 m. 6, 5, 657 Tehát nnk vlószínűsége, hogy nem ásunk f közelében 0, , Annk vlószínűsége, hogy f közelében is kell ásni, 0, 785 0, 5, de f megmenekülésének még itt is vn 0,7 esélye, tehát itt vlószínűség: 0, 7 0, 5 = 05,. Összegezve, 0, ,5 = 0,96 z esélye nnk, hogy f túléli hibkeresést. Mintpéld 0 A fürdőszob pdlóját fekete-fehér kőlpok borítják. Egy-egy kis négyzet oldl 8 cm. H elejtünk rjt egy 6 mm átmérőjű fekete gombot, gykrn nem tláljuk meg, mert rejtőszíne vn. H úgy esik le gomb, hogy teljes terjedelmével fekete négyzetre esik, szinte képtelenség meglátni. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy h leejtjük gombot, z láthttlnná válik? b) Hogyn változik ez vlószínűség, h négyzetlpok éle ngyobb: pl. 0 cm? c) Hogyn változik ez vlószínűség, h lp ugyn 8 cm oldlhosszúságú négyzet, de gomb átmérője 0 mm? ) Nézzük meg, hogy hol vn kör lkú gomb középpontj, h nem látjuk? A jobb oldli ábr szerint gomb középpontjánk fekete négyzeten belül egy kisebb (z ábrán stírozott) négyzetbe kell esnie, hogy gomb ne lógjon ki fekete kockkőből. A stírozott négyzet oldl 80 mm 8 mm = 6 mm. A stírozott terület fekete

40 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE területhez úgy ránylik, mint 6 : 80 = 6 : 5. A keresett vlószínűséget megkpjuk, h kiszámítjuk megtlálás szempontjából kedvezőtlen és z összes terület rányát. 6 Az összes terület fele fekete, fekete négyzet része stírozott, tehát gomb teljes terület részére ejtve válik láthttlnná. Így keresett vlószínűség = 0,. 5 5 b) A stírozott négyzet oldl most 00 mm 8 mm = 8 vmm lesz. A keresett terület- 8 rány és egyben vlószínűség itt = 0, 58-r módosul, tehát nő nnk z 00 esélye, hogy nem tláljuk gombot. c) A stírozott négyzet oldl most 80 mm 5 mm = 70 mm -re változik. A keresett terü- 70 letrány és egyben vlószínűség itt = 0, 885-r módosul, tehát itt is nőtt 80 nnk z esélye, hogy nem tláljuk gombot. Mintpéld Vének nevű község Szigetköz keleti csúcsábn fekszik. A tőle km-re levő Kisbjcs fluból vezetik od z ármot. Egy ngy vihr két flu között vlhol megrongált vezetéket. Mivel vezetékről két flu között is vnnk leágzások tnyákhoz és mezőgzdsági üzemekhez, ezért nem ármtlnították z egész szkszt, csk hib és Vének község közti részt ikttták ki. A vihr tovább tombolt, és egy újbb helyen is megrongált vezetéket két flu között. Mi vlószínűsége nnk, hogy z új hib további lezárásokt tesz szükségessé, tehát második szkdás z első hib és Kisbjcs község közé esik?

41 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Az első hib Kisbjcstól km-re történt. Tudjuk, hogy 0 < <. A második hib Kisbjcstól mért távolság legyen y km. y-r is érvényes z 0 < y < egyenlőtlenség. Ahhoz z eseményhez, hogy két szkdás Kisbjcstól és y távolságr történt, rendeljünk hozzá egy P ( ; y) pontot koordinát-rendszerben, tudv, hogy 0 < < és 0 < y < feltételeknek fenn kell állniuk. Ezért P pont cskis sárgávl jelzett -szor egység területű négyzetben lehet. Az új hib kkor tesz szükségessé további lezárásokt, h második hib közelebb vn Kisbjcshoz, mint z első, tehát h y <. Ez zt jelenti, hogy P pont második koordinátáj kisebb, mint z első. Az ilyen pontok négyzetünkben vonlkázott részen vnnk. A vonlkázott háromszög területe négyzet területének fele, tehát keresett vlószínűség 0,5. Feldtok 6. Az ábr egy 0 cm átmérőjű céltáblát mutt. A két kisebb kör átmérője 0, illetve 0 cm. Mi vlószínűsége nnk, hogy h vlki beletlál legngyobb körbe, kkor lövés legkisebb körbe kerül? 7. A geolád-keresés, idegen szóvl geocching (ejtsd: geokesing) egy világszerte elterjedt játék. Játékos kedvű emberek elrejtenek vlhol egy ládát, mjd helyszín GPS-szel meghtározott koordinátáit közzéteszik z Interneten. Akinek vn GPS-e, és kedveli klndokt, megpróbálj megtlálni ezt ládát, és h sikerrel jár, pontot

42 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE kp. Aki elég pontot gyűjtött, jogot szerez rr, hogy mg is elrejtsen vlhol egy ilyen ládát Egy éjszki portyázáson GPS-ünk zt muttt, hogy hol állunk, nnk méteres körzetében kell lennie ládánk. Gzos, bokros részen jártunk, négyzetméter átfésüléséhez 0 percre is szükségünk volt. Mi vlószínűsége nnk, hogy fél órán belül mielőtt szúnyogok megesznek megtláljuk ládát? 8. A metrón reggeli csúcsforglombn szerelvények 5 percenként érkeznek: egész órkor, ór 5-kor, és így tovább. A szerelvény ½ percet áll megállóbn. Vlki reggel ½7 és 7 között megállóhoz megy. Mekkor nnk vlószínűsége, hogy várkozási ideje ne legyen több percnél? 9. Egy bálterem méreteit z ábr muttj. A nézők elhelyezkedése véletlenszerű. ) Mi vlószínűsége nnk, hogy színpdot legfeljebb 8 méterről láthssm? b) Mi vlószínűsége nnk, hogy színpdot hegyesszögben láthssuk? 0. A Budpest Bmko verseny Párizs Dkr rllyhoz hsonló 76 km-es verseny, mely Mgyrországról Mlib vezet. A Cmp Roi Bedouin-Dkhl (50 km) szkszon két versenyző (egy motoros és egy UAZ) is elkdt és segítséget kértek, mely elindult értük Bedouin Dkhlából. Mi vlószínűsége nnk, hogy előbb motorosr tlálnk rá?. Péter és Pnni rndit beszélnek meg iskol után egy téren. Mivel mindketten tömegközlekedéssel utznk, csk zt rögzítik, hogy 5 és 6 között próbálnk odérni. Mégis, h Pnnink 0 percnél tovább kell várni Péterre, kkor hngult mélypontr zuhn, Péter pedig 5 percnél hosszbb várkozás esetén grntáltn tönkreteszi virágot. Mekkor vlószínűsége, hogy rndijuk tökéletesen sikerül?

43 . modul: VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA. Az egyik kábeltévé társság kciót hirdetett: Az új előfizető jelenlétében megforgttk egy színes tárcsát, és h tárcs sárg része állt meg muttónál, egy hvi előfizetése ingyenes volt, h piros része állt meg muttónál, kkor fél évi előfizetési díját elengedték. Végezd el szükséges méréseket és állpítsd meg, hogy mekkor esélye volt z előfizetőknek két kedvezmény vlmelyikére!. Kirándulásunkon zt terveztük, hogy szállásunkról zöld jelzésen hldv elmegyünk tőle 0 km-re fekvő másik turistházb. Azt tájékozttást kptuk zonbn, hogy vlhol két turistház között z útvonl járhttln lett, mert ngy esőzések mitt vízátfolyás keresztezi z utt. Ezért megváltoztttuk eredeti tervünket, és délelőttre csk egy rövid sétát terveztünk z eredeti útvonlon, meglátogtv egy km-re fekvő forrást. Mi vlószínűsége nnk, hogy tervünket meg tudjuk vlósítni, és eljutunk forrásig?