Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Átírás

1 Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál égllpon bevezetve uljdonsági Geometrii jelentése Kiszámítás Nem tégllp, de korlátos mérhető trtomány zukcesszív integrálás áltlános trtományon rtományok és integrálási htárok ::::::: Innentől hiányos :::::: Integrálás síkbeli polárkoordinátákbn 6 2. A hárms integrál 7 3. öbbszörös integrálok számítás integrál-trnszformációvl ::::::: Idáig hiányos :::::: 9 4. Integrálás vektormezőkön A első típusú vonlintengrál A második típusú vonlintengrál Zárt görbe: cirkuláció és fluxus Konzervtív terek Differenciálformák Green-formul Divergenci, rotáció 2 dimenzióbn Felületi integrálok Divergenci és rotáció 3 dimenzióbn A KEŐ INEGRÁL Legyen z fx, y) függvény értelmezett 1.1. égllpon bevezetve = {x, y) x b, c y d} 1.1) tégllpon. A trtományt osszuk fel z x- és z y-tengelyekkel párhuzmos vonlk sokságávl. Ezt hálót egy beosztásánk hívjuk, ez tégllpot n drb kisebb tégllpr vágj. Vlmilyen módon számozzuk meg ezeket z Electronic ddress: brthf@physx.u-szeged.hu

2 elemi k téglákt k = 1-től n-ig. A k-dik területe A k = x k y k. Mindegyik, téglából válsszunk ki egy tetszőleges x k, y k ) k pontot és készítsük el z 2 részletösszeget. n n = fx k, y k ) A k 1.2) k=1 étel 1 H z fx, y) függvény folytonos trtományon, kkor bárhogyn is finomítjuk beosztást és bárhogyn is válsztjuk ki z elemi téglákbn c k pontot, h x k és y k nullához trt, kkor htárérték létezik. lim n 1.3) x, y Definíció 2 Az iménti htárértéket z f függvénynek trtományr vett kettős integráljánk nevezzük, jelölése: n fx, y) da = lim fx k, y k ) A k 1.4) x, y k=1 Megjegyzés 3 A kettős integrált nemcsk folytonos függvényekre értelmezzük. H vlmely függvényre teljesül, hogy z n részletösszegek sorozt beosztások bármilyen finomításávl konvergens, kkor függvény kettős integrálj értelmes uljdonsági Az integrálok kiszámításánál hsznosk z lábbi tuljdonságok k fx, y) da = k fx, y) da k tetszőleges szám 1.5) [fx, y) ± gx, y)] da = fx, y) da ± gx, y) da 1.6) fx, y) da h fx, y) -ben 1.7) fx, y) da gx, y) da h fx, y) gx, y) -ben 1.8) fx, y) da = fx, y) da + fx, y) da hol = 1 2 és 1 1 = 1.9) Geometrii jelentése H z fx, y) függvény nem negtív trtományon, kkor kettős integrálhoz szemléletes jelentést társíthtunk. ekintsük függvénynek z = fx, y) felülettel vló ábrázolását, kettős integrál nnk z egyenes hsábszerű H testnek térfogtát dj meg, melyet lulról tégl htárol, felülről pedig z = fx, y) felület. Láthtón ugynis k területének és z k = fx k, y k ) értéknek fx k, y k ) A k 1.1) szorzt egy olyn elemi egyenes hsáb térfogtát dj melyiket lulról k tégllp, felülről pedig közelítőleg z = fx, y) felület htárol. Azt várjuk, hogy ezen elemi hsábok térfogtánk z összege beosztás finomításávl teljes trtomány fölötti szokványos térfogtot egyre jobbn közelíti. Pontosbbn kérdéses térfogtot ezzel fogjuk definiálni, zz Definíció 4 A z = fx, y) felület és trtomány közötti egyenes hsáb térfogt V = fx, y) da 1.11)

3 Kiszámítás A kettős integrál kiszámítás részletösszegek htárértékeként elvileg lehetséges, de ngyon körülményes lehet. A térfogttl vló előbbi kpcsolt elvezet bennünket egy prktikusbb számolási eljáráshoz. zeleteljük fel H hsábot z x, z) síkkl párhuzmos vékony) y = y i, i = 1, 2,.., m síkokkl. Egy ilyen szelet térfogt közelítőleg hol Ay) megfelelő szelet területe. Persze ez terület kiszámolhtó, mint függvény grfikonj ltti terület A szeletek összesített térfogt A y) = b v i = A y i ) y i 1.12) hx) = fx, y) 1.13) i=1 hx) dx = b fx, y) dx 1.14) m m V m = v i = A y i ) y i 1.15) nnál jobbn közelíti kérdéses térfogtot, minél vékonybb szelteket vágtunk, zz minél sűrűbb z y-tengelyen beosztás. Láthtón V m egy integrál közelítő összege, beosztás finomításávl tehát i=1 Od jutottunk, hogy V = V = fx, y) da = lim V m = y d c d c Ay) dy = Ay) dy 1.16) d c [ ] b fx, y) dx dy 1.17) Hsonlón, most z y, z) síkkl párhuzmos x = x i síkokkl szeletelve hsábot kpnánk, hogy [ b ] d V = fx, y) da = fx, y) dy dx 1.18) zvkb öntve z eredményt: A kettős integrál kiszámíthtó két egymás után elvégzett közönséges integrálás során. A szukcesszív egymást követő) integráláskor előbb z egyik változót rögzítettnek gondolv másik változóbn integrálunk megfelelő htárok között, mjd z eredményt integráljuk mrdék változó szerint. Az integrálás sorrendje mindegy. A módszer bevezetéséhez nemnegtív függvényekre H hsáb szemléletes térfogtánk kiszámítását hsználtuk fel. Az állítás ennél áltlánosbb esetre is bizonyíthtó: étel 5 FUBINI) H fx, y) tetszőleges folytonos függvény = {x, y) x b, c y d} tégllp lkú trtományon, kkor d b b d fx, y) da = fx, y) dx dy = fx, y) dy dx 1.19) c Az előző kijelentésben elhgytuk zárójeleket. Megállpodunk bbn, hogy z ilyen módon felírt többszörös integrálokt úgy olvssuk, hogy mindig legbelső integrálást végezzük először, és kifele hldunk z integrál jelekben blr, differenci jelekben jobbr. Péld 6 Legyen fx, y) = 1 6x 2 y és : x 2, 1 y +1 [ +1 ] x2 y) dx dy = [ ] +1 x=2 x 6 x3 1 3 y dy = +1 x= 1 [ x2 y) dy ] dx = 2 2) dx = 4., mint z előző. c c y ) dy = y) dy = 4. 1

4 Nem tégllp, de korlátos mérhető trtomány H kétdimenziós D trtomány nem tégllp, kkor is felszeletelhetjük z előbbi módon, zz behálózzuk z x- és z y-tengelyekkel párhuzmos vonlk sokságávl Az így kpott kis k téglákból csk zokt vegyük figyelembe és számozzuk be vlhogy k = 1-től n-ig, melyek teljes egészükben D-ben vnnk. Minden ilyen téglából kiválsztv egy x k, y k ) k pontot készítsük el z n = n fx k, y k ) A k 1.2) k=1 összeget. A lényeges különbség korábbi 1.2) összegünkhöz képest, hogy A k = x k y k területű elemi tégllpok együttese most nem fedi le teljesen D trtományt. Nyilvánvló, hogy beosztó háló finomításávl D egyre ngyobb részét lefedjük. H D trtomány htároló görbéi elegendően simák, kkor lim x, y n k=1 A k 1.21) létezik és D területével egyezik meg. Ilyen mérhető trtományokon folytonos fx, y) függvényekre létezik lim n ), és zt: Definíció 7 Az f függvénynek D trtományr vett kettős integráljánk nevezzük, jelölése: n fx, y) da = lim fx k, y k ) A k 1.22) D x, y k=1 Megjegyzés 8 A kettős integrál létezéséhez kevesebb feltétel is elegendő, de ezzel most nem fogllkozunk. A kettős integrál geometrii jelentése hsonló tégllp lkú trtományoknál megfoglmzottévl. H z fx, y) függvény nem negtív D-n, kkor, kettős integrál nnk z egyenes hengerszerű H testnek térfogtát dj meg, melyet lulról D, felülről z = fx, y) felület htárol. V = fx, y) da 1.23) D Legyen D trtomány olyn, hogy 1.6. zukcesszív integrálás áltlános trtományon x b és g 1 x) y g 2 x) 1.24) zz x-ben minden pontj és b közé esik, htároló görbéi pedig y = g 1 x) és y = g 2 x). Az x-tengelyre merőleges síkokkl szeletelve H testet szeletek térfogt hol A szeletek összesített térfogt htárátmenetben V = A x) = lim x i=1 v i = A x i ) x i 1.25) g2 x) g 1 x) m A x i ) x i = A kettős integrál kiszámításához tehát kpjuk, hogy b V = fx, y) da = Ax) dx = Az eredmény áltlánosítás: fx, y) dy 1.26) b b Ax) dx 1.27) [ ] g2 x) fx, y) dy dx 1.28) g 1 x)

5 étel 9 FUBINI) fx, y) tetszőleges folytonos függvény D trtományon, 1) h D olyn, hogy x b és g 1 x) y g 2 x) hol g 1 és g 2 folytonos görbék, kkor [ b ] g2 x) fx, y) da = fx, y) dy dx 1.29) D 2) h D olyn, hogy c y d és h 1 y) x h 2 y) hol h 1 és h 2 folytonos görbék, kkor [ d ] h2 y) fx, y) da = fx, y) dx dy 1.3) D c Az integrálás sorrendjét jelző belső zárójeleket megint megspórolhtjuk. A szukcesszív integrálás másik szokásos felírás, hogy előre felsoroljuk, hogy milyen htárok között és milyen változóbn kell integrálni, mjd leírjuk z integrálndó függvényt [ b ] g2x) b g2x) fx, y) dy dx = dx dy {fx, y)} 1.31) d c g 1x) [ ] h2 y) fx, y) dx dy = h 1 y) d g 1 x) h 1 y) c dy g 1x) h2 y) h 1 y) Ez esetben jobbr álló integrálást z őt blról megelőzőek) előtt kell elvégezni. dx {fx, y)} 1.32) Péld 1 Legyen fx, y) = 3 x y és D, ), 1, ) és 1, 1) csúcspontokkl dott háromszögletű trtomány. x 1 és g 1 x) : y = továbbá g 2 x) : y = x Ekkor fx, y) da = 1 [ x 3 x y) dy] dx = 1 D y 1 és h 1 y) : x = y továbbá h 2 y) : x = 1 Ekkor fx, y) da = [ 1 ] 1 y 3 x y) dx D dy = 1 ] y=x [3y xy y2 2 y= [ 3x x2 2 yx ] x=1 x=y dx = 1 3x x 2 x2 2 ) dx = 1 dy = y y2) dy = 1 Az integrálásokt mindkét sorrendben elvégezhetjük, z eredmény ugynz. Nem ugynz viszont befektetett munk, ugynis z egyik sorrendben z integrálás ngyon nehéz lehet, míg esetleg másikbn egyszerű. Péld 11 Az előbbi péld háromszög lkú trtományán integráljuk z fx, y) = sinx) x [ 1 x sinx) x ] dy [ 1 ] 1 sinx) y x dx függvényekkel felírni dx = 1 [ ] y=x sinx) x y y= dx = 1 sinx) dx = 1 cos1) dy = 1 [?????]x=1 x=y dy = 1 cos1), hol 1 sinx) y x y-bn konstns) függvényt. dx integrált nem tudjuk elemi rtományok és integrálási htárok A kettős integrál szukcesszív kiszámoláskor trtomány htáritól függő integrálási htárok megállpításár z lábbi szbály jvsolt. Példként tekintsük z x + y = 1 egyenes és z x 2 + y 2 = 1 egységsugrú kör áltl htárolt trtományt z első síknegyedben. Rjzoljuk le trtományt és állpítsuk meg vlmelyik tengelyen mximális kiterjedését. Esetünkben például x ) Egy megengedett x-nél húzzunk egy egyenest y-tengellyel párhuzmosn és olvssuk le, hogy z egyenes hol lép be trtományb, és hogy hol lép ki. Esetünkben 1 x y 1 x )

6 és ehát és D x =..1 és y = 1 x).. 1 x ) fx, y) da = 1 1 x 2 Az eljárást z y tengelyen mért mximális kiterjedéssel indítv hsonlón kpjuk, hogy D 1 x fx, y) dy dx 1.36) y =..1 és x = 1 y).. 1 y ) fx, y) da = Péld 12 Fordítsuk meg z integrálás sorrendjét z lábbi integrálbn I = 1 2 2x 1 y 2 fx, y) dx dy 1.38) 1 y x 2 fx, y) dy dx 1.39) A D trtományt felrjzoljuk, ez z y = 2x és z y = x 2 htárológörbék áltl jellemzett síkidom. Láthtó, hogy Péld 13 Megfordítndó és kiszámolndó y =..4 és x = y 2.. y zz I = I = 3 4 y y/2 fx, y) dx dy 1.4) 1 x/3 e y3 dy dx 1.41) A trtomány z első síknegyedben vn, ott z y = 1 és z y = x/3 görbék htárolják. Amúgy nézve htárgörbék x = és z x = 3y 2 és y =..1 és x =..3y 2 zz I = 1 3y 2 e y3 dx dy = 1 3y 2 e y3 dy = e ) Gykorló feldt 14 zámítsuk ki z lábbi integrálokt. Milyen trtományr vontkoznk z integrálok? y 2 ) dy dx, π x x sin y) dy dx, 1 y 2 3y 3 e xy dx dy 1.43) Gykorló feldt 15 Htározzuk meg z f = x 2 + y 2 függvény integrálját, ), 1, ) és, 1) csúcsokkl dott háromszögön. Gykorló feldt 16 Fordítsuk meg z integrálás sorrendjét z lábbi integrálokbn 2 4 y 2 y dy dx és x 2 4 x 2 6x dy dx 1.44) ::::::: Innentől hiányos :::::: 1.9. Integrálás síkbeli polárkoordinátákbn Megmuttjuk, hogy da = dx dy = r dr dϕ 1.45) és kettős integrált fx, y) da = fx r, ϕ), y r, ϕ)) r dr dϕ 1.46) D módon lkíthtjuk szukcesszív integrálásokká. Az utóbbi integrálásokt tetszőleges sorrendben elvégezhetjük, közönséges htározott integrálok htárit trtomány lkjánk megfelően válsztjuk.

7 7 2. A HÁRMA INEGRÁL Péld 17 A 3D térfogtot ρ = 3cosϕ) henger, z = és z = y síkok htárolják. mekkor térfogt? A negyedik síknegyedben levő lkztot válsztv ϕ = 3 2 π..2π, ρ =..3cosϕ) és z =.. ρ sinϕ) mitt V = 2π V = 2π 3cosϕ) 3 2 π 3 2 π 2π ρ 2 sinϕ) dρ dϕ = 9 cos 3 ϕ) sinϕ) dϕ = π Péld 18 Felülről z = 4 4x 2 + y 2 ) lulról z = x 2 + y 2) 2 1, mi térfogt? 3cosϕ) ρ sinϕ) 1 u 3 du = 9 4 ρ dz dρ dϕ 2.1) 2.2) z = 4 4x 2 + y 2 ) = x 2 + y 2) 2 1 láthtón x 2 + y 2 = 1 vetülete z x, y) síkr. ϕ =..2π, ρ =..1 és z = ρ 4 1 )..4 1 ρ 2) mitt V = 2π V = 2π ρ2 ) ρ dz dρ 2.3) 5 4ρ 2 ρ 4) 5 ρ dρ = 2π ) = π 2.4) Péld 19 zámoljuk ki gömb térfogtát Descrtes-, henger- és gömbi koordinátákbn! ρ 4 1 V = = = 2π π R 2π R R 2 ρ 2 +R + R 2 x 2 R r 2 sinϑ) dr dϑ dϕ = 2π 2 R3 3 = 4π 3 R3 2.5) + R 2 ρ 2 R ρ dz dρ dϕ = 2π 2ρ [ R 2 ρ 2 dρ = 2π 2 R 2 ρ 2) R 3/2] = 4π 3 3 R3 2.6) + R 2 x 2 y 2 +R + R 2 x 2 + R 2 x 2 y 2 dz dy dx = 8 dz dy dx = ) R 2 x 2 y 2 R 2 x 2 3. ÖBBZÖRÖ INEGRÁLOK ZÁMÍÁA INEGRÁL-RANZFORMÁIÓVAL Péld 2 Helyettesítéssel számoljuk ki Legyen I = 1 1 x x + y y 2x) 2 dy dx 3.1) u = x + y, v = y 2x x = 1 3 u v), y = 1 3 2u + v) J = 1 A htároló görbék két síkon = ) x + y = 1 u = 1 x = u = v y = 2u + v = 3.3) miből z integrál I = 1 u 2u u v2 1 3 dv du = u [ v 3 3 ] u 2u du = u u 3 + 8u 3) 1 du = u 7/2 du = )

8 Péld 21 Helyettesítéssel Legyen u = 2x y 2 A htároló felületek két térben miből z integrál I = 1 du 2 dv Péld 22 Mekkor z 1 I =, v = y 2, w = z 3 dw {u + w} 6 = y/2+1 y/2 2x y + z ) dx dy dz 3.5) x = u + v, y = 2v, z = 3w J = 2 3 = 6 3.6) x = y 2 u + v = v u = x = y u + v = v + 1 u = 1 y = 2v = v = y = 4 2v = 4 v = 2 z = 3w = w = z = 3 3w = 3 w = 1 1 du 2 dv ) 2 + y b { u + 1 } = 6 2 ) 2 + z c ) du {2u + 1} = 6 {2 12 } + 1 = ) x ) ) ellipszoid térfogt? Elliptikus koordinátákt válsztunk A trtomány u = x, v = y b, w = z c z egységsugrú gömb, tehát Péld 23 Helyettesítéssel I = Legyen A htárok miből z integrál I = 2 du D x = u, y = bv, z = cw J = b = bc 3.1) c V = u 2 + v 2 + w 2 1 = G 3.11) G bc dv u, v, w) = 4π 3 bc 3.12) xy 2 + 3xyz ) dv D : 1 x 2, xy 2, z ) u = x, v = xy, w = 3z x = u, y = v u, z = w 3 2 dv 3 dw uv + wv 3u = x 2 1 u 2 xy 2 v 2 z 1 w 3 ) 2 v dv du 3 dw 1 J =? 1/u? 1/3 = 1 3u 1 + w ) = u 2 du 3.14) 3.15) ) = 2 + ln8) 3.16) u

9 ::::::: Idáig hiányos :::::: 4. INEGRÁLÁ VEKORMEZŐKÖN 4.1. A első típusú vonlintengrál ekintsük z fx, y, z) : D R 3 R háromváltozós függvény értékeit z értelmezési trtományábn futó : r t) = x t) i + y t) j + z t) k, t b 4.1) görbe mentén. Drboljuk fel görbét n drb elemi ívdrbkár. Legyen k-dik ívdrb hossz s k és x k, y k, z k ) egy tetszőlegesen válsztott pont görbe ezen szkszán. Készítsük el z részletösszeget. n = n fx k, y k, z k ) s k 4.2) k=1 étel 24 H f folytonos és görbe ẋ t), ẏ t) és ż t) első deriváltji folytonosk, kkor n konvergens, miközben n és s k. A beosztás iménti finomítását röviden s lkbn jelölve lim n = lim s s n. fx k, y k, z k ) s k = htárértéket z f függvénynek z r t) görbe mentén vett 1. típusú vonlintegráljánk nevezzük. k=1 f ds 4.3) A vonlintegrál kiszámítás visszvezethető közönséges integrálásr. Felírhtjuk ugynis, hogy [ dx ) 2 ) 2 ) ] 2 ds) 2 = dx) 2 + dy) 2 + dy) 2 dy dz = + + dt) 2 4.4) dt dt dt zz hol ds = vt) dt = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt 4.5) vt) = r t) dt = ẋ t) i + ẏ t) j + ż t) k 4.6) prméterezett görbe sebességvektor. H vt) folytonos és sehol sem null, kkor f ds = Ez utóbbi közönséges htározott integrál független prméterezéstől. b f x t), y t), z t)) vt) dt 4.7) Péld 25 Legyen f = x 3y 2 + z és integráljuk,, ) és z 1, 1, 1) pontokt összekötő egyenes szksz mentén. A görbe egy lehetséges prméterezése honnn és : r t) = t i + t j + t k, t 1 4.8) vt) = 1 i + 1 j + 1 k vt) = = 3 4.9) f x t), y t), z t)) = x t) 3 y t)) 2 + z t) = t 3t 2 + t 4.1)

10 f ds = 1 2t 3t 2 ) 3 dt = 4.11) f ds + f ds f ds 4.12) A vonlintegrálok hsznos tuljdonság, hogy véges sok 1, 2,..., m egymáshoz kpcsolódó sim görbéből összerkott összetett görbére igz, hogy f ds = 1 2 m 1 Péld 26 Legyen függvény z mentén számoljuk ki z integrált. előbbi, de most,, ) 1, 1, ) 1, 1, 1) két egyenes szkszból álló görbe Egyszerű prméterezés: 1 : r t) = t i + t j + k, t ) 2 : r t) = 1 i + 1 j + t k, t ) honnn v 1 t) = 1 i + 1 j + k vt) = = ) v 2 t) = i + j + 1 k vt) = = ) és f ds = f ds + f ds = t 3t 2 + ) 2 dt t ) 1 dt = ) Figyeljük meg, hogy két szkszból álló görbe kezdő- és végpontj ugynz, mint z előző példábn volt, görbék zonbn különbözők és vonlintegrál értéke is más lett. A konzervtív terek vektormezők) kpcsán vissztérünk erre kérdésre. H görbe keresztmetszetéhez képest vékony drótszerű test, kkor vonlintegrál segítségével néhány fiziki jellemzőt vonlmenti tömegsűrűség segítségével számolhtunk. H görbe vlmely x, y, z) pont körüli kis ds hosszúságú drbjánk tömege dm = σ x, y, z) ds 4.18) zz σ x, y, z) vonlmenti tömegsűrűség, kkor z lábbi fontosbb jellemzőket számolhtjuk M = σ ds 4.19) M x = x σ ds, M y = y σ ds, M z = z σ ds 4.2) I x = y 2 + z 2) σ ds, I y = x 2 + z 2) σ ds, I z = x 2 + y 2) σ ds 4.21) hol M z össztömeg, z M x, M y, M z ) első momentumokkl görbe súlypontj Mx X, Y, Z) = M, M y M, M ) z M 4.22) z I x, I y és I z koordináttengelyekre vontkozttott tehetetlenségi nyomtékok. Péld 27 zámítsuk ki homogén σ x, y, z) = σ tömegeloszlású : r t) = cos4t) i + sin4t) j + t k, t 2π 4.23) spirálrugódrb össztömegét és z-tengelyre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát.

11 11 A sebességvektort kiszámolv vt) = 4 sin4t)) cos4t)) = ) Ezzel M = σ ds = σ ds = σ L = σ 2π 17 dt = σ 2π ) hol L görbe hossz. Hsonlón kpjuk, hogy I z = x 2 + y 2) 2π σ ds = σ 1) 17 dt = σ 2π ) Péld 28 Hol vn súlypontj nnk z = síkbn fekvő félkör lkú drótdrbnk, melynek tömegsűrűsége Alklms prméterezéssel : x 2 + y 2 = 1, y, z = 4.27) σ = 2 y 4.28) : r t) = cost) i + sint) j + k, t π vt) = ) A szimmetri mitt M x = M z =. Meghtározndó mrd π M = σ ds = 2 y) ds = 2 sint)) 1 dt = 2π 2 4.3) π M y = y σ ds = y 2 y) ds = sint) 2 sint)) 1 dt = 8 π 4.31) 2 tehát Y = M y M = 1 8 π ) 2 2π 2 Vektormezőnek nevezzük z 4.2. A második típusú vonlintengrál F :D R 3 R 3, Fx, y, z) = Mx, y, z) i + Nx, y, z) j + P x, y, z) k 4.33) vektor-vektor függvényt. Ilyen vektormző például z fx, y, z) : D R 3 R differenciálhtó vektor-sklár függvényhez rendelt grdiens mező mi fizikábn ngy fontossággl bír. Fx, y, z) = f x i + f j + f k = f = grdf) 4.34) z Péld 29 peciálisn, h f = xyz, kkor f = yz i + xz j + xy k H vektormező fiziki erővel kpcsoltos, kkor r ngyon kicsiny) elmozdulás során végzett munk W = F r =Mx, y, z) x + Nx, y, z) y + P x, y, z) z 4.35) Legyen z elmozdulás irányáb muttó egységvektor és s z elmozdulás ngyság, zz r = s és W = F r = F s. H mozgás térben görbe mentén történik, miközben görbe k-dik kis szkszán W k munkvégzés vn, kkor teljes mozgás során végzett munk W W k 4.36)

12 A görbén beosztást finomítv kpjuk munk-integrált W = F ds = F dr = hol x, y, z) = dr ds M dx + N dy + 12 P dz 4.37) görbe érintő egységvektor. Az integrál létezik, h z F erő folytonos függvénnyel írhtó le és szkszonként sim görbe. Vegyük észre, hogy z integrál előjele függ ttól, hogy görbét melyik iránybn járjuk végig. A munk-integrál kiszámolásához célszerű görbét prméteres lkbn felírni. H kkor 4.38) : r t) = x t) i + y t) j + z t) k, t b 4.39) W = b F dr b dt dt = M dx dt dt + b N dy dt dt + b P dz dt dt 4.4) Péld 3 Htározzuk meg munkát, h Fx, y, z) = y x 2) i+ z y 2) j+ x z 2) k és : r t) = t i+t 2 j+t 3 k, t ) A görbe prméteres egyenletéből és zz Ezekkel munk F = t 2 t 2) i + t 3 t 4) j + t t 6) k 4.42) v t) = dr dt = 1 i + 2t j + 3t2 k 4.43) F dr dt = 1 t 2 t 2) + 2t t 3 t 4) + 3t 2 t t 6) = 2t 4 2t 5 + 3t 3 3t ) W = b F v dt = 1 2t 4 2t 5 + 3t 3 3t 8) dt = 29 6 A munk integrálr hsonlító kifejezést kpunk, h vektormező nem erőtérrel, hnem vlmilyen sebességtérrel kcsoltos. H Fx, y, z) zt mondj meg, hogy z x, y, z) helyen vlmely ármló közeg sebessége milyen, kkor W = F ds = F dr 4.46) integrál görbe mentén vló eredő ármlást dj meg. 4.45) Péld 31 ekintsük z Fx, y, z) = x i + z j + y k sebességmezővel jellemzett ármlási teret. Mekkor z ármlás csvrvonl mentén? A kiszámoláshoz : r t) = cost) i + sint) j + t k, t π/2 4.47) Fx, y, z) = cost) i + t j + sint) k és v = sint) i + cost) j + 1 k 4.48) mitt W = F dr = π/2 sint) cost) + t cost) + sint)) dt = π )

13 Zárt görbe: cirkuláció és fluxus Különösen fontos jellemző zárt görbén vló ármlás mértéke, ez közeg dott görbére vett cirkulációj: R = F dr 4.5) Péld 32 Mekkor cirkulációj z Fx, y, z) = x y) i + x j + k mezőnek z egységsugrú körön? Válsz: R = 2π) r t) = cost) i + sint) j+ k, t 2π 4.51) A most következő megfontolásokt kétdimenziós mezőkre és síkgörbére végezzük el. A problém három dimenziós változtávl fejezet végén fogllkozunk. Két dimenziós ármlási terekre gondolv felvetődik kérdés: hogyn lehet kiszámolni egy zárt görbe áltl htárolt trtományból kifolyó nygmennyiség mértékét? H Fx, y) = Mx, y) i + Nx, y) j 4.52) mondj meg z ármlási sebesség irányát és ngyságát z x, y) pontbn, kkor Φ = F n ds 4.53) zárt görbe htárin kiármló mennyiségre jellemző, h nx, y) görbének trtományból kifele muttó normális egységvektor. zokásos elnevezéssel Φ szám vektormezőnek görbére vontkozó fluxus. Kiszámolásához írjuk fel z nx, y) kifele muttó normálist. A görbe normális görbe érintőjére merőleges vektor. A trtományból kifele muttó normális irányt z lábbi módon válszthtjuk ki: Válsszuk zárt görbe bejárásár z irányt, hogy bezárt trtomány mindig bl kezünk felé essen. Ezt körüljárást nevezzük pozitív bejárásnk. H bejárás irányáb muttó érintő egységvektor kkor rá merőleges, kifele jobbr) muttó egységvektor Figyelembe véve, hogy = x i + y j 4.54) nx, y) = y i x j 4.55) kpjuk, hogy Φ = F n ds = = dr ds Mn x + Nn y ) ds = x = dx ds, y = dy ds M y N x ) ds = Péld 33 Mekkor fluxus z előző példábn vett Fx, y) = x y) i + x j vontkozólg? 4.56) M dy N dx) 4.57) mezőnek z egységsugrú körre Mivel r t) = cost) i + sint) j, t 2π 4.58) írhtjuk, hogy mivel Φ = x = cost), y = sint) dx = sint) dt és dy = cost) dt 4.59) M dy N dx) = 2π cost) sint)) cost) + sint)cost)) dt = 2π cost)cost) dt = π 4.6)

14 Konzervtív terek ekintsünk két olyn tetszőleges és görbét, melyek kezdő- és végpontj ugynz. Lehetséges de nem tipikus, lásd korábbi 4.17) példát), hogy vektormező olyn, hogy két pont közötti különböző úton számolt munk-, vgy ármlási integrál értéke ugynz W = F dr = F dr 4.61) H vektormezőre számolt munkintegrál egy D trtomány bármely két pontjár független két ponot összekötő görbe lkjától, zz csk görbe végpontjitól függ, kkor mezőt D trtománybn konzervtívnk mondjuk. étel 34 A folytonos) F vektormező pontosn kkor konzervtív, h F grdiens mező. Ez zt jelenti, hogy vn olyn fx, y, z) sklár-függvény, hogy F = f zz F = M, N, P ) : M = f x, N = f, P = f z Az ilyen f függvény z F vektormező potenciálfüggvénye. A potenciál ismeretében munk-integrálr igz, hogy görbe lkjától függetlenül W = F dr = fr 2 ) fr 1 ) 4.63) hol r 1 görbe kezdő- és r 2 görbe végpontj. :1 2 A tétel közönséges integráloknál megtnult Newton-Leibniz-formulár hsonlít. Annál is inkább így vn ez, hogy előbb feltéve, hogy F = f írhtjuk, hogy és W = :1 2 F dr = F dr dt = f dr dt = df dt t2 t ) 4.64) ) df dt = f r t)) t2 t dt 1 = fr 2 ) fr 1 ) 4.65) A másik állítás, miszerint konzervtív mezőkre létezik potenciál úgy bizonyíthtó, hogy felírjuk tetszőleges D-beli r pontból kiinduló kármilyen görbe mentén számolt fr) = F dr, : r r 4.66) integrált mint felső htár függvényét). Megmutthtó, hogy ekkor vlóbn r ) fr) = F dr = F 4.67) r Legyen ugynis egy speciális görbe : r t) = r +t i t h zz r = r +h i 4.68) ekkor x fr) = d r dh fr) = h= d h dh F i dt = M r ) 4.69) h= és hsonlón másik két koordinátábn. Péld 35 Az Fx, y, z) = yz i + xz j + xy k mező nyilván konzervtív, hiszen F = xyz). Bármilyen görbével is kötjük össze z 1, 3, 9) és 1, 6, 4) pontokt: F dr = 1 6 4) 1) 3 9 = 3 4.7)

15 étel 36 Az Fx, y, z) vektormező pontosn kkor konzervtív egy D trtománybn, h trtománybn futó bármely zárt görbére F dr = 4.71) Az állítás bizonyításához zárt görbét két különböző és b pontjávl vágjuk szét két görbére z irányításokt megtrtv. Legyenek ezek 1 : b és 2 : b. Az integrál dditivitás mitt F dr = F dr + F dr 4.72) 1 2 H mező konzervtív, kkor 1 F dr = F dr = 2 15 F dr = 4.73) mert 2 megfordított irányítássl ugynúgy z -ból b-be menő görbe, mint 1. Megfordítv: F dr = = F dr + F dr = 4.74) 1 2 mitt z és b pontokt összekötő bármilyen görbére z integrál bszolút) értéke ugynz, zz z csk kezdő- és végpontoktól függ. Mármost, h konzervtív mezőkben ilyen egyszerű vonlintegrál számolás, kkor felvetődik kérdés Hogyn lehet eldönteni dott vektormezőről, hogy konzervtív-e? H konzervtív mező, kkor hogyn lehet megtlálni potenciálját? Az első kérdés megválszolásár z lábbi tétel jól hsználhtó étel 37 Egy D trtománybn folytonos első deriváltkkl rendelkező Fx, y, z) = M, N, P ) vektormező pontosn kkor konzervtív, h trtománybn rot F) =. A rot művelet rotáció rövidítése, ezzel részletesebben később fogllkozunk, most elég, h zt tudjuk, hogy rot F) = N x = M, P x = M z, N z = P 4.75) A tétel állításánk egyik részét következő úton láthtjuk be. H mező konzervtív, kkor vn potenciálj: F = f = M = f x, N = f, P = f z 4.76) Ekkor például N x = x ) f = 2 f x és M = ) f = 2 f x x 4.77) A vegyes másodrendű prciális deriváltk szimmetrikusk, zz 2 f x = 2 f x = N x = M 4.78) és hsonlón másik két egyenlőségre. A fordított állítás, hogy három egyenlőség 4.75) jobb oldlán elégséges feltétele nnk, hogy Fx, y, z) konzervtív mező legyen. Ezt most nem bizonyítjuk, később megismerendő tokes-) tételnek ez közvetlen következménye. Péld 38 Láttuk, hogy Fx, y, z) = yz i + xz j + xy k konzervtív. Ezt most zzl is igzolhtjuk, hogy közvetlen differenciálássl kiszámoljuk rotáció eltűnését jelentő 4.75) prciális deriváltk egyenlőségét H.f.). H nem tudnánk, hogy f = xyz potenciálfüggvénye ennek mezőnek, kkor hogyn keresnénk meg potenciált?

16 16 Keressük tehát z z fx, y, z) függvényt, mire teljesül, hogy f x = yz, f = xz, f z = xy 4.79) Ez egy speciális prciális differenciálegyenlet f-re, mit közvetlen integrálássl megoldhtunk. Az első egyenletet x szerint integráljuk, miközben y-t és z-t állndónk fogjuk fel. Így kpjuk, hogy fx, y, z) = xyz + cy, z) 4.8) hol c integrációs állndót y és z függvényeként írtuk fel, rr gondolv, hogy ennek értéke változht, miközben y és z változik. Az így kpott függvény kkor elégíti ki második egyenletet, h mjd hrmdik egyenlet mitt zz keresett potenciálfüggvény hol c tetszőleges állndó. f = c c xyz + cy, z)) = xz + = xz = c y, z) = c z) 4.81) c z) = c 4.82) fx, y, z) = xyz + c 4.83) Péld 39 Legyen Fx, y, z) = [e x cosy) + yz] i+[xz e x siny)] j+[xy + z] k egy ellenőrizhetően H.f.) konzervtív mező. Mi potenciálj? Az első komponensre miből f x = [ex cosy) + yz] fx, y, z) = e x cosy) + xyz + cy, z) 4.84) f = ex siny) + xz + cy, z) = [xz ex siny)] cy, z) = cy, z) = c z) 4.85) mjd hrmdik egyenlettel zz f = xy + z cz) = [xy + z] z2 cz) = z cz) = z 2 + c 4.86) fx, y, z) = e x cosy) + xyz + z2 2 + c 4.87) Péld 4 Az Fx, y, z) = y i x j + k mező nem konzervtív, hiszen például N x = 1 M Így ztán z előzőekben vázolt integrálási sém nem vezethet eredményre. második egyenlettel összevetve = ) És vlóbn f f = y f = xy + cy, z) x = x + cy, z) 4.89) cy, z) = 2x 4.9) lenne, mi képtelenség, hiszen bl oldl y, z), míg jobb oldl x függvénye, mi minden x, y, z)-re nem teljesülhet. Péld 41 Nem konzervtív z Fx, y, z) = [2x 3] i z j + cosz) k mező.

17 Differenciálformák Az munkintegrálokt felírhtjuk z W = F dr = M dx + lkbn, hol z utolsó jelölés sugllj, N dy + P dz = M dx + N dy + P dz 4.91) δf = M dx + N dy + P dz 4.92) 3 változós) differenciálform bevezetését. Korábbn M, N, P ) egy vektormező komponensei voltk, most gondolhtunk tetszőleges M, N, P függvényekre kifejezésben. Láttuk, hogy z ilyen differenciálformák görbék mentén vló integrálás különösen egyszerű, h történetesen vn olyn fx, y, z) függvény, mire M = f x, N = f, P = f z 4.93) Hiszen ekkor δf = f x dx + f dy + f z hol r 1 görbe kezdő- és r 2 görbe végpontj. dz = df δq = df = fr 2 ) fr 1 ) 4.94) Definíció 42 A δf = M dx + N dy+ P dz differenciálform egzkt D-ben, h vn olyn f függvény, hogy D minden pontjábn δf = df étel 43 A δf = M dx + N dy + P dz differenciálform pontosn kkor egzkt D-ben, h D minden pontjábn N x = M, P x = M z, N z = P 4.95) Vektormezőknél ez pontosn kkor teljesül, h mező konzervtív. Péld 44 A δf = y dx + x dy + 4 dz differenciálform egzkt, hiszen N x = x x = 1 = M = = ) P x = 4 x = = M z = z = 4.97) N z = x z = = P = 4 = 4.98) és ehát f = M = y f = xy + cy, z) 4.99) x f cy, z) = x + = N = x cy, z) = cz) 4.1) f z = cz) = P = 4 cz) = 4z + c 4.11) z f x, y, z) = xy + 4z + c 4.12) és például z 1, 1, 1) 2, 3, 1) pontokt összekötő bármilyen görbe mentén δf = df = f2, 3, 1) f1, 1, 1) = )

18 Péld 45 A termodinmik első főtétele zt mondj ki, hogy termodinmiki folymtok során nem lehet energiát nyerni. Mtemtikilg ezt úgy fejezhetjük ki, hogy belső) energi állpotfüggvény, zz bármilyen folymt segítségével is jutunk el z 1) állpotból 2) állpotb U2) U1) = L + Q 4.14) A konkrét folymttól függ, hogy közben mennyi L mechniki munkvégés és Q hőcsere, de összegük csk folymt végpontjitól. Lefordítv differenciálformák nyelvére, zz folymtok infinitezimálisn kicsiny szkszit vizsgálv du = δl + δq 4.15) mivel zt fejezzük ki, hogy δl és δq nem egzkt differenciálform, de összegük már igen, és emitt du = U2) U1) 4.16) :1 2 A kétváltozós differenciálformák izglms tuljdonság, hogy zok egzkttá tehetők. étel 46 A δf = M x, y) dx + N x, y) dy differenciálformához tlálhtó olyn µ x, y) függvény, hogy egzkt form legyen. A µ x, y) függvények) neve: integráló tényező. Nyilvánvlón z egzktság feltétele, hogy µ x, y) M x, y) = g x, y) x µ x, y) δf = dg 4.17) és µ x, y) N x, y) = g x, y) legyen. Az integráló tényező és így g x, y)) felkuttás ezek lpján következőképpen végezhető el. ekintsük egyenletet, mit felfoghtunk úgy, mint z ) g x, y) = c g g dx + dy = 4.19) x y = y x) 4.11) függvény implicit megdását. Akkor zonbn g x + g dy dx = dy dx = ) g / x ) g = M N 4.111) H megoldjuk z utóbbi közönséges differenciálegyenletet y = y x)-re, kkor megkpjuk µ és g függvényeket. Péld 47 Legyen δf = y dx + x dy, miről láthtó, hogy nem egzkt. Keressünk integráló tényezőt! Esetünkben A változók szétválsztásávl és integrálv Lehetséges válsztás dy y = dx x dy dx = y x 4.112) lny) = lnx) + c 4.113) g x, y) = lny) lnx) = c 4.114) és ekkor µ x, y) M x, y) = g x, y) x µy = 1 x µ x, y) = 1 xy 4.115)

19 19 és ellenőrzésül µ x, y) N x, y) = g x, y) µx = 1 y µ x, y) = 1 xy 4.116) Másik integráló tényezőt kpunk, h z lny) = lnx) + c y x = g x, y) = y x 4.117) utt követjük. Ekkor µy = y x 2 µ x, y) = 1 x ) Gykorló feldt 48 Keressünk integráló tényezőt következő differenciálformákhoz δf = siny) dx + sinx) dy, δf = x 2 y 2) dx x y) dy, δf = 1 y 2 dx 1 x dy 4.119) Péld 49 A termodinmik második főtétele. Az első főtételt átírv és figyelembe véve, hogy gázoknál δl = p dv δq = du + p dv = du = δl + δq δq = du δl 4.12) [ U U dp + p V dv ] + p dv = [ ] U p [ ] U dp + V + p dv 4.121) Nyilvánvló, hogy δq nem egzkt, hiszen kkor V [ ] U = [ ] U p p V + p 4.122) szükséges, zz 2 U V p = 2 U p V ) lenne, mi ellentmond z Up, V ) függvény másodrendű prciális deriváltji szimmetriájánk. differenciálform egzkttá tehető, zz vn olyn µ p, V ) függvény, hogy A kétváltozós µ p, V ) δq = d p, V ) 4.124) legyen. A második főtétel szerint µ p, V ) integráló tényező csk testek empírikus mért) hőmérsékletétől függ, zz független z zonos hőmérsékletűnek mért testek nyomásától és térfogtától. zokásos válsztássl µ p, V ) = ) hol hőmérséklet. Ezzek után főtétel lényegi állítás: Létezik olyn p, V ) entrópiánk nevezett állpotfüggvény, hogy termodinmiki folymtokr d = δq 4.126) 4.6. Green-formul Megmuttjuk, hogy folytonos prciális deriváltkkl rendelkező Ax, y) függvényre Ax, y) Ax, y) df = Ax, y) dy és df = Ax, y) dx 4.127) x

20 hol egy egyszerű zárt síkgörbe és z áltl bekerített tertomány. ekintsünk zt zárt görbét, melyet lulról z y = c 1 x) és felülről z y = c 2 x) görbék htárolnk, miközben x b. A felületi integrálr ekkor [ Ax, y) b ] y=c2 x) Ax, y) b df = dy dx = [Ax, y)] y=c2x) y=c 1 x) dx 4.128) = b y=c 1 x) Ax, c 2 x)) dx b Másrészt másodfjú vonlintegrálunk Ax, y) dx = Ax, c 1 x)) dx = b Ax, c 1 x)) dx b b Ax, c 2 x)) dx b 2 Ax, c 1 x)) dx 4.129) Ax, c 2 x)) dx 4.13) hol figyelembe vettük, hogy felületi integrál számolásánál görbék irányítás olyn, hogy c 1 : b és c 2 : b, miközben zárt görbéhez c 2 irányítását meg kell fordítnunk. Összevetve kpjuk, hogy vlóbn Ax, y) df = Ax, y) dx 4.131) Hsonlón ellenőrizhetjük másik összefüggést. A két egyenlőség kombinálásávl kpjuk, hogy Ax, y) és Bx, y) függvényekre [B x A y ] df = A dx + B dy 4.132) H ezt z eredményt egy Fx, y) = Mx, y), Nx, y)) = Mx, y) i + Nx, y) j 4.133) komponenseire lklmzzuk, kkor következő fontos Green-formulákt kpjuk A = M, B = N tokes-tétel síkbn [N x M y ] df = M dx + N dy = F ds=r cirkukáció 4.134) A = N, B = M Guss-tétel síkbn [M x + N y ] df = N dx + M dy = F n ds=φ fluxus 4.135) A Green-formulák jól hsználhtók rr, hogy cirkulációt és fluxust másodfjú vonlintegrálok helyett kettős integrálokkl számoljuk ki. A zárt síkgörbe helyett z áltl bezárt síktrtományr kell tehát integrálnunk Péld 5 zámoljuk ki z vektormező cirkulációját és fluxusát z r sugrú körre vontkozólg! Most Fx, y, z) = x y) i + x j 4.136) M x = 1, N x = 1, M y = 1, N y = 4.137) így és R = F ds = Φ = F n ds = [N x M y ] df = 2 df = 2 df = 2 r 2 π 4.138) [M x + N y ] df = 1 df = r 2 π 4.139)

21 Péld 51 Az első síknegyedben levő, ), 1, ), 1, 1),, 1) csúcsokkl dott négyzet lkú zárt görbe mentén számoljuk ki z y 2 dx + xy dy 4.14) integrált! Vehetjük úgy, hogy M = xy és N = y ) 21 mely esetben N dx + M dy = [M x + N y ] df = [y + 2y] df = 1 1 ) [3y] dx dy = 1 [3y] dy = ) Ugynezt kpjuk, h N = xy és M = y ) válsztássl módon számolunk. M dx + N dy = [N x M y ] df = [y + 2y] df = [3y] df = ) Gykorló feldt 52 Legyen Fx, y, z) = x i + y 2 j és tekintsük 1, 1), 1, 1), 1, 1), 1, 1) origó körüli négyzetet. Mutssuk meg, hogy Φ = F n ds = ) A Green-formulákt ugyn csk egyszerű görbével htárolt síktrtományr vezettük le, igzk mrdnk zonbn bonyolultbb esetre is. Arr kell vigyáznunk, hogy felületi integrálok trtományán megfelelő prciális deriváltk és felületi integrál létezzen, görbe menti integrálokt pedig z összetett htárgörbéken kell kiszámolnunk. A felületdrb htároló görbéit úgy kell irányítni, hogy trtomány belseje mindig bl kezünk felé essen. Péld 53 zámoljuk ki z mezőnek cirkulációját z origót körülvevő tetszőleges zárt görbére! Fx, y) = y i + x j x 2 + y ) A mező szinguláris, ) origóbn. Vegyük körül z origót egy ε sugrú körrel, úgy, hogy körlp teljesen belsejében legyen. Ekkor [N x M y ] df = M dx + N dy) + M dx + N dy) 4.147) ε hol körvonl és zárt görbe közötti trtomány. Helyesen belső ε körvonlt z órmuttó járásávl megegyezően negtív körüljárás) kell irányítnunk, hiszen kkor esik blkéz felől: Ekkor ε : ε cost) i ε sint) j t 2π 4.148) dx = ε sint) dt, dy = ε cost) dt 4.149) y dx + x dy = ε sint) ε sint) ε cost) ε cost) = ε )

22 22 és y dx + x dy M dx + N dy) = ε ε x 2 + y 2 = 2π ε 2 ε 2 cost)) 2 + ε 2 sint)) 2 dt = 2π 1) dt = 2π 4.151) Mivel z trtományon [N x M y ] = ) x x x 2 + y 2 ) y x 2 + y 2 = [ 1 x 2 + y 2) 2x 2] [ 1 x 2 + y 2) + 2y 2] x 2 + y 2 ) 2 = 4.152) így z R = M dx + N dy) = [N x M y ] df M dx + N dy) = 2π) = 2π ε 4.153) cirkuláció görbe lkjától függetlenül R = 2π Divergenci, rotáció 2 dimenzióbn H trtományt P = x, y ) pont körül elegendően kicsinyre válsztjuk, kkor folytonos Ux, y) függvényre Ux, y) df Ux, y ) df = Ux, y ) A 4.154) hol A z felület területe. Ennek segítségével definiálhtjuk vektormező lokális jellemzőit síkbn 1 div xy F) = M x + N y = lim F n ds divergenci fluxus-sűrűség forrásosság 4.155) A 1 rot z F) = N x M y = lim F ds rotáció cirkuláció-sűrűség örvényesség 4.156) A Péld 54 Mi síkbeli divergenci és rotáció h Most honnn Fx, y) = x 2 y) i + xy y 2 ) j 4.157) M = x 2 y) M x = 2x, M y = ) N = xy y 2 ) N x = y, N y = x 2y 4.159) div xy F) = M x + N y = 3x 2y és rot z F) = N x M y = y ) 4.8. Felületi integrálok Eleddig vektormezőnek viselkedését síkbn jellemeztük. Hsonlón vezetjük be 3 dimenziós tér tetszőleges pontjábn lokális jellemzőket. Ehhez szükségünk lesz felületi integrál foglmához, mit z lábbikbn vezetünk be. Legyen fx, y, z) egy háromváltozós folytonos függvény és egy felületdrb térben. Osszuk fel z felületet tetszés szerint k = 1, 2,.., n elemi kis felületdrbkár. Az egyes drbkák területe legyen k. Minden drbbn esetleg htárán) vegyünk fel egy ízlés szerinti x k, y k, z k ) pontot felületen és készítsük el n fx k, y k, z k ) k 4.161) k=1

23 részlet)összeget. A felület beosztását minden htáron túl finomíthtjuk, zz vizsgálhtjuk z n és k htáresetet. Vigyázzunk, hogy felületdrbok minden irányú kiterjedése is eltűnjön röviden jelöléssel élünk erre htárátmenetre). H lim k=1 n. fx k, y k, z k ) k = 23 f d 4.162) htárérték létezik, zz beosztás finomításánk módjától és köztes pont válsztásától függetlenül ugynzt számot dj, kkor zt z f függvénynek z felületre vett 1. típusú felületi integráljánk nevezzük. A felületi integrálokkl, zok kiszámolásávl most bővebben nem fogllkozunk, egy kivételtől eltekintve. ekintsük ugynis z Fx, y, z) = Mx, y, z) i + Nx, y, z) j + P x, y, z) k 4.163) vektormezőt és legyen egy felület három dimenziós térben. H ármlási mezőre gondolunk, kkor felület vlmely x, y, z) pontj körüli kis ngyságú felületdrbkáján átármló közeg mennyisége Φ Fx, y, z) n 4.164) hol n z dott felületdrbk normális egységvektor. H ezt teljes felületre felösszegezzük, kkor kpjuk z Fx, y, z) vektormező fluxusát z felületre, zz Φ = Fx, y, z) n d = Fx, y, z) d 4.165) hol bevezettük d = n d 4.166) irányított felületelemet. Egy felületre, nnk minden pontjábn normális egységvektor kétféleképpen is megválszthtó, mutht felület bármelyik oldl felé. Zárt felületnél normális irányát úgy válsztjuk meg, hogy z bezárt trtományból kifelé mutsson Divergenci és rotáció 3 dimenzióbn A felületi és térfogti integrál hsználtávl síkbeli tételhez hsonlón megmutthtó Guss-tétel, vgy divergenci-tétel. Legyen egy zárt felület és V felület áltl htárolt trtomány. Ekkor föltéve, hogy szereplő mennyiségek egyáltlán értelmesek) divf) dv = F n d = Φ 4.167) hol z F vektormező divergenciáj egy sklár mennyiség A Guss-tétel lpján divergenci szemléletes jelentése V divf) = M x + N y + P z = F 4.168) 1 divf) = lim V F n d 4.169) zz továbbr is mező lokális forrássosságát fluxus-sűrűségét) jellemzi. Az zárt felületből kiármló mennyiség, fluxus osztv felület áltl htárolt trtomány térfogtávl vlóbn vektormező fluxus-, vgy forrás-sűrűségét jellemzi. Péld 55 Mi divergenciáj z F = 2xz i xy j z k vektormezőnek. [V álsz : div F) = 2z x 1] Péld 56 div r) = 3, div r/r) = 2/r

24 24 Péld 57 zámítsuk ki z F = r vektormező esetén Guss-tétel mindkét integrálját z sugrú gömbre! Mivel div r) = 3 továbbá mitt V divf) dv = 3 divf) dv = 3 V = 3 4 V 3 3 π = 4 3 π 4.17) n = r r F n = r r r = r2 r = r 4.171) F n d = r d = r d = = 4π 2 = 4π ) A Guss-tételhez hsonlón áltlánosíthtó másik Green-formul 3 dimenziór. A vontkozó tokes-tétel szerint h egy olyn felületdrb és nnk zárt görbe htároló görbéje, kkor rotf) n d = F ds = F dr =R 4.173) A tételben felület és görbe irányítás összefügg, görbét úgy kell irányítnunk, hogy felület válsztott normálisávl jobb-csvrt lkosson. Ez például következőt jelenti: rtsuk képzeletben jobb kezünket felület htárához úgy, hogy tenyerünk trtomány belseje felé, hüvelykujjunk pedig felület külsőnek válsztott oldl irányáb válsztott normális irányáb) nézzen. Ekkor begörbült további ujjink htárgörbén megkívánt körüljárás irányáb muttnk. Másképp megfoglmzv: A válsztott normális vektor csúcsánk z irányából nézve htárgörbe legyen pozitív irányítású, vgyis z órmuttó járásávl ellentétes körüljárású. A felületi integrálbn vektormező rotációj jelenik meg. Ez egy vektoriális jellemzője mezőnek: i j k rotf) = P y N z ) i P x M z ) j + N x M y ) k = F = x y z 4.174) M N P Péld 58 rot r) =, rot r/r) = Péld 59 Legyen F = x 2 y ) i+4z j + x 2 k, számoljuk ki rotációját! [Válsz: rotf) = 4 i 2x j + k] Péld 6 zámoljuk ki tokes-tételben szereplő két integrált, h felület z : x 2 + y 2 + z 2 = 9, z félgömb és mező: F = y i x j Legyen válsztott normális növekvő z irány. A htárgörbe helyes körüljárássl Ekkor mitt : r t) = 3 cost) i + 3 sint) j, t 2π 4.175) dr t) = [ 3 sint) i + 3 cost) j] dt és F = 3 sint) i 3 cost) j 4.176) F dr = 2π Egyszerű számolássl kpjuk, hogy felület normális pedig sugárirányú [ 3 sint) 3 sint) 3 cost) 3 cost)] dt = 2π [ 9] dt = 18π 4.177) F = 2 k 4.178) n = r r = x i + y j + z k )

25 25 mikből rotf) n = 2 z 3 A felületnek legmegfelelőbb gömbi koordináták válsztás 4.18) mivel rotf) n d = d = r 2 sin ϑ) dϑ dϕ és z = r cos ϑ) 4.181) 2 z 3 = π d = π/2 2π π/2 A tokes-tétel segítségével rotáció szemléletes jelentése: 2 3 cos ϑ) 3 cos ϑ) sin ϑ) dϑ = 18 2π 1 rotf) n = lim A 3 2 sin ϑ) dϑ dϕ 4.182) 1 u du = 18π 4.183) F dr 4.184) Ez zt jelenti, hogy z n egységvektorrl jellemzett tengelyre vontkozó rotáció örvényesség) jellemzéséhez egy dott helyen válsztnunk kell egy olyn felületet, melynek normális z n irány. A htárgörbére kiszámolt cirkuláció osztv felület felszínével z dott tengely körüli cirkuláció sűrűségét dj, h görbét és így felületet) tengelyre zsugorítjuk. A tokes-tétel ismeretében most térhetünk vissz korábbi 4.75) állításr. H D trtománybn rotf) =, kkor bl oldli integrál null volt mitt F ds = minden zárt görbére 4.185) zz vektormező konzervtív. G Gykorló feldt 61 Mutssuk meg, hogy bármilyen folytonos első- és második prciális deriváltkkl rendelkező fx, y, z) függvényre rot grd f)) = f = 4.186)