Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok"

Átírás

1 Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál égllpon bevezetve uljdonsági Geometrii jelentése Kiszámítás Nem tégllp, de korlátos mérhető trtomány zukcesszív integrálás áltlános trtományon rtományok és integrálási htárok ::::::: Innentől hiányos :::::: Integrálás síkbeli polárkoordinátákbn 6 2. A hárms integrál 7 3. öbbszörös integrálok számítás integrál-trnszformációvl ::::::: Idáig hiányos :::::: 9 4. Integrálás vektormezőkön A első típusú vonlintengrál A második típusú vonlintengrál Zárt görbe: cirkuláció és fluxus Konzervtív terek Differenciálformák Green-formul Divergenci, rotáció 2 dimenzióbn Felületi integrálok Divergenci és rotáció 3 dimenzióbn A KEŐ INEGRÁL Legyen z fx, y) függvény értelmezett 1.1. égllpon bevezetve = {x, y) x b, c y d} 1.1) tégllpon. A trtományt osszuk fel z x- és z y-tengelyekkel párhuzmos vonlk sokságávl. Ezt hálót egy beosztásánk hívjuk, ez tégllpot n drb kisebb tégllpr vágj. Vlmilyen módon számozzuk meg ezeket z Electronic ddress:

2 elemi k téglákt k = 1-től n-ig. A k-dik területe A k = x k y k. Mindegyik, téglából válsszunk ki egy tetszőleges x k, y k ) k pontot és készítsük el z 2 részletösszeget. n n = fx k, y k ) A k 1.2) k=1 étel 1 H z fx, y) függvény folytonos trtományon, kkor bárhogyn is finomítjuk beosztást és bárhogyn is válsztjuk ki z elemi téglákbn c k pontot, h x k és y k nullához trt, kkor htárérték létezik. lim n 1.3) x, y Definíció 2 Az iménti htárértéket z f függvénynek trtományr vett kettős integráljánk nevezzük, jelölése: n fx, y) da = lim fx k, y k ) A k 1.4) x, y k=1 Megjegyzés 3 A kettős integrált nemcsk folytonos függvényekre értelmezzük. H vlmely függvényre teljesül, hogy z n részletösszegek sorozt beosztások bármilyen finomításávl konvergens, kkor függvény kettős integrálj értelmes uljdonsági Az integrálok kiszámításánál hsznosk z lábbi tuljdonságok k fx, y) da = k fx, y) da k tetszőleges szám 1.5) [fx, y) ± gx, y)] da = fx, y) da ± gx, y) da 1.6) fx, y) da h fx, y) -ben 1.7) fx, y) da gx, y) da h fx, y) gx, y) -ben 1.8) fx, y) da = fx, y) da + fx, y) da hol = 1 2 és 1 1 = 1.9) Geometrii jelentése H z fx, y) függvény nem negtív trtományon, kkor kettős integrálhoz szemléletes jelentést társíthtunk. ekintsük függvénynek z = fx, y) felülettel vló ábrázolását, kettős integrál nnk z egyenes hsábszerű H testnek térfogtát dj meg, melyet lulról tégl htárol, felülről pedig z = fx, y) felület. Láthtón ugynis k területének és z k = fx k, y k ) értéknek fx k, y k ) A k 1.1) szorzt egy olyn elemi egyenes hsáb térfogtát dj melyiket lulról k tégllp, felülről pedig közelítőleg z = fx, y) felület htárol. Azt várjuk, hogy ezen elemi hsábok térfogtánk z összege beosztás finomításávl teljes trtomány fölötti szokványos térfogtot egyre jobbn közelíti. Pontosbbn kérdéses térfogtot ezzel fogjuk definiálni, zz Definíció 4 A z = fx, y) felület és trtomány közötti egyenes hsáb térfogt V = fx, y) da 1.11)

3 Kiszámítás A kettős integrál kiszámítás részletösszegek htárértékeként elvileg lehetséges, de ngyon körülményes lehet. A térfogttl vló előbbi kpcsolt elvezet bennünket egy prktikusbb számolási eljáráshoz. zeleteljük fel H hsábot z x, z) síkkl párhuzmos vékony) y = y i, i = 1, 2,.., m síkokkl. Egy ilyen szelet térfogt közelítőleg hol Ay) megfelelő szelet területe. Persze ez terület kiszámolhtó, mint függvény grfikonj ltti terület A szeletek összesített térfogt A y) = b v i = A y i ) y i 1.12) hx) = fx, y) 1.13) i=1 hx) dx = b fx, y) dx 1.14) m m V m = v i = A y i ) y i 1.15) nnál jobbn közelíti kérdéses térfogtot, minél vékonybb szelteket vágtunk, zz minél sűrűbb z y-tengelyen beosztás. Láthtón V m egy integrál közelítő összege, beosztás finomításávl tehát i=1 Od jutottunk, hogy V = V = fx, y) da = lim V m = y d c d c Ay) dy = Ay) dy 1.16) d c [ ] b fx, y) dx dy 1.17) Hsonlón, most z y, z) síkkl párhuzmos x = x i síkokkl szeletelve hsábot kpnánk, hogy [ b ] d V = fx, y) da = fx, y) dy dx 1.18) zvkb öntve z eredményt: A kettős integrál kiszámíthtó két egymás után elvégzett közönséges integrálás során. A szukcesszív egymást követő) integráláskor előbb z egyik változót rögzítettnek gondolv másik változóbn integrálunk megfelelő htárok között, mjd z eredményt integráljuk mrdék változó szerint. Az integrálás sorrendje mindegy. A módszer bevezetéséhez nemnegtív függvényekre H hsáb szemléletes térfogtánk kiszámítását hsználtuk fel. Az állítás ennél áltlánosbb esetre is bizonyíthtó: étel 5 FUBINI) H fx, y) tetszőleges folytonos függvény = {x, y) x b, c y d} tégllp lkú trtományon, kkor d b b d fx, y) da = fx, y) dx dy = fx, y) dy dx 1.19) c Az előző kijelentésben elhgytuk zárójeleket. Megállpodunk bbn, hogy z ilyen módon felírt többszörös integrálokt úgy olvssuk, hogy mindig legbelső integrálást végezzük először, és kifele hldunk z integrál jelekben blr, differenci jelekben jobbr. Péld 6 Legyen fx, y) = 1 6x 2 y és : x 2, 1 y +1 [ +1 ] x2 y) dx dy = [ ] +1 x=2 x 6 x3 1 3 y dy = +1 x= 1 [ x2 y) dy ] dx = 2 2) dx = 4., mint z előző. c c y ) dy = y) dy = 4. 1

4 Nem tégllp, de korlátos mérhető trtomány H kétdimenziós D trtomány nem tégllp, kkor is felszeletelhetjük z előbbi módon, zz behálózzuk z x- és z y-tengelyekkel párhuzmos vonlk sokságávl Az így kpott kis k téglákból csk zokt vegyük figyelembe és számozzuk be vlhogy k = 1-től n-ig, melyek teljes egészükben D-ben vnnk. Minden ilyen téglából kiválsztv egy x k, y k ) k pontot készítsük el z n = n fx k, y k ) A k 1.2) k=1 összeget. A lényeges különbség korábbi 1.2) összegünkhöz képest, hogy A k = x k y k területű elemi tégllpok együttese most nem fedi le teljesen D trtományt. Nyilvánvló, hogy beosztó háló finomításávl D egyre ngyobb részét lefedjük. H D trtomány htároló görbéi elegendően simák, kkor lim x, y n k=1 A k 1.21) létezik és D területével egyezik meg. Ilyen mérhető trtományokon folytonos fx, y) függvényekre létezik lim n ), és zt: Definíció 7 Az f függvénynek D trtományr vett kettős integráljánk nevezzük, jelölése: n fx, y) da = lim fx k, y k ) A k 1.22) D x, y k=1 Megjegyzés 8 A kettős integrál létezéséhez kevesebb feltétel is elegendő, de ezzel most nem fogllkozunk. A kettős integrál geometrii jelentése hsonló tégllp lkú trtományoknál megfoglmzottévl. H z fx, y) függvény nem negtív D-n, kkor, kettős integrál nnk z egyenes hengerszerű H testnek térfogtát dj meg, melyet lulról D, felülről z = fx, y) felület htárol. V = fx, y) da 1.23) D Legyen D trtomány olyn, hogy 1.6. zukcesszív integrálás áltlános trtományon x b és g 1 x) y g 2 x) 1.24) zz x-ben minden pontj és b közé esik, htároló görbéi pedig y = g 1 x) és y = g 2 x). Az x-tengelyre merőleges síkokkl szeletelve H testet szeletek térfogt hol A szeletek összesített térfogt htárátmenetben V = A x) = lim x i=1 v i = A x i ) x i 1.25) g2 x) g 1 x) m A x i ) x i = A kettős integrál kiszámításához tehát kpjuk, hogy b V = fx, y) da = Ax) dx = Az eredmény áltlánosítás: fx, y) dy 1.26) b b Ax) dx 1.27) [ ] g2 x) fx, y) dy dx 1.28) g 1 x)

5 étel 9 FUBINI) fx, y) tetszőleges folytonos függvény D trtományon, 1) h D olyn, hogy x b és g 1 x) y g 2 x) hol g 1 és g 2 folytonos görbék, kkor [ b ] g2 x) fx, y) da = fx, y) dy dx 1.29) D 2) h D olyn, hogy c y d és h 1 y) x h 2 y) hol h 1 és h 2 folytonos görbék, kkor [ d ] h2 y) fx, y) da = fx, y) dx dy 1.3) D c Az integrálás sorrendjét jelző belső zárójeleket megint megspórolhtjuk. A szukcesszív integrálás másik szokásos felírás, hogy előre felsoroljuk, hogy milyen htárok között és milyen változóbn kell integrálni, mjd leírjuk z integrálndó függvényt [ b ] g2x) b g2x) fx, y) dy dx = dx dy {fx, y)} 1.31) d c g 1x) [ ] h2 y) fx, y) dx dy = h 1 y) d g 1 x) h 1 y) c dy g 1x) h2 y) h 1 y) Ez esetben jobbr álló integrálást z őt blról megelőzőek) előtt kell elvégezni. dx {fx, y)} 1.32) Péld 1 Legyen fx, y) = 3 x y és D, ), 1, ) és 1, 1) csúcspontokkl dott háromszögletű trtomány. x 1 és g 1 x) : y = továbbá g 2 x) : y = x Ekkor fx, y) da = 1 [ x 3 x y) dy] dx = 1 D y 1 és h 1 y) : x = y továbbá h 2 y) : x = 1 Ekkor fx, y) da = [ 1 ] 1 y 3 x y) dx D dy = 1 ] y=x [3y xy y2 2 y= [ 3x x2 2 yx ] x=1 x=y dx = 1 3x x 2 x2 2 ) dx = 1 dy = y y2) dy = 1 Az integrálásokt mindkét sorrendben elvégezhetjük, z eredmény ugynz. Nem ugynz viszont befektetett munk, ugynis z egyik sorrendben z integrálás ngyon nehéz lehet, míg esetleg másikbn egyszerű. Péld 11 Az előbbi péld háromszög lkú trtományán integráljuk z fx, y) = sinx) x [ 1 x sinx) x ] dy [ 1 ] 1 sinx) y x dx függvényekkel felírni dx = 1 [ ] y=x sinx) x y y= dx = 1 sinx) dx = 1 cos1) dy = 1 [?????]x=1 x=y dy = 1 cos1), hol 1 sinx) y x y-bn konstns) függvényt. dx integrált nem tudjuk elemi rtományok és integrálási htárok A kettős integrál szukcesszív kiszámoláskor trtomány htáritól függő integrálási htárok megállpításár z lábbi szbály jvsolt. Példként tekintsük z x + y = 1 egyenes és z x 2 + y 2 = 1 egységsugrú kör áltl htárolt trtományt z első síknegyedben. Rjzoljuk le trtományt és állpítsuk meg vlmelyik tengelyen mximális kiterjedését. Esetünkben például x ) Egy megengedett x-nél húzzunk egy egyenest y-tengellyel párhuzmosn és olvssuk le, hogy z egyenes hol lép be trtományb, és hogy hol lép ki. Esetünkben 1 x y 1 x )

6 és ehát és D x =..1 és y = 1 x).. 1 x ) fx, y) da = 1 1 x 2 Az eljárást z y tengelyen mért mximális kiterjedéssel indítv hsonlón kpjuk, hogy D 1 x fx, y) dy dx 1.36) y =..1 és x = 1 y).. 1 y ) fx, y) da = Péld 12 Fordítsuk meg z integrálás sorrendjét z lábbi integrálbn I = 1 2 2x 1 y 2 fx, y) dx dy 1.38) 1 y x 2 fx, y) dy dx 1.39) A D trtományt felrjzoljuk, ez z y = 2x és z y = x 2 htárológörbék áltl jellemzett síkidom. Láthtó, hogy Péld 13 Megfordítndó és kiszámolndó y =..4 és x = y 2.. y zz I = I = 3 4 y y/2 fx, y) dx dy 1.4) 1 x/3 e y3 dy dx 1.41) A trtomány z első síknegyedben vn, ott z y = 1 és z y = x/3 görbék htárolják. Amúgy nézve htárgörbék x = és z x = 3y 2 és y =..1 és x =..3y 2 zz I = 1 3y 2 e y3 dx dy = 1 3y 2 e y3 dy = e ) Gykorló feldt 14 zámítsuk ki z lábbi integrálokt. Milyen trtományr vontkoznk z integrálok? y 2 ) dy dx, π x x sin y) dy dx, 1 y 2 3y 3 e xy dx dy 1.43) Gykorló feldt 15 Htározzuk meg z f = x 2 + y 2 függvény integrálját, ), 1, ) és, 1) csúcsokkl dott háromszögön. Gykorló feldt 16 Fordítsuk meg z integrálás sorrendjét z lábbi integrálokbn 2 4 y 2 y dy dx és x 2 4 x 2 6x dy dx 1.44) ::::::: Innentől hiányos :::::: 1.9. Integrálás síkbeli polárkoordinátákbn Megmuttjuk, hogy da = dx dy = r dr dϕ 1.45) és kettős integrált fx, y) da = fx r, ϕ), y r, ϕ)) r dr dϕ 1.46) D módon lkíthtjuk szukcesszív integrálásokká. Az utóbbi integrálásokt tetszőleges sorrendben elvégezhetjük, közönséges htározott integrálok htárit trtomány lkjánk megfelően válsztjuk.

7 7 2. A HÁRMA INEGRÁL Péld 17 A 3D térfogtot ρ = 3cosϕ) henger, z = és z = y síkok htárolják. mekkor térfogt? A negyedik síknegyedben levő lkztot válsztv ϕ = 3 2 π..2π, ρ =..3cosϕ) és z =.. ρ sinϕ) mitt V = 2π V = 2π 3cosϕ) 3 2 π 3 2 π 2π ρ 2 sinϕ) dρ dϕ = 9 cos 3 ϕ) sinϕ) dϕ = π Péld 18 Felülről z = 4 4x 2 + y 2 ) lulról z = x 2 + y 2) 2 1, mi térfogt? 3cosϕ) ρ sinϕ) 1 u 3 du = 9 4 ρ dz dρ dϕ 2.1) 2.2) z = 4 4x 2 + y 2 ) = x 2 + y 2) 2 1 láthtón x 2 + y 2 = 1 vetülete z x, y) síkr. ϕ =..2π, ρ =..1 és z = ρ 4 1 )..4 1 ρ 2) mitt V = 2π V = 2π ρ2 ) ρ dz dρ 2.3) 5 4ρ 2 ρ 4) 5 ρ dρ = 2π ) = π 2.4) Péld 19 zámoljuk ki gömb térfogtát Descrtes-, henger- és gömbi koordinátákbn! ρ 4 1 V = = = 2π π R 2π R R 2 ρ 2 +R + R 2 x 2 R r 2 sinϑ) dr dϑ dϕ = 2π 2 R3 3 = 4π 3 R3 2.5) + R 2 ρ 2 R ρ dz dρ dϕ = 2π 2ρ [ R 2 ρ 2 dρ = 2π 2 R 2 ρ 2) R 3/2] = 4π 3 3 R3 2.6) + R 2 x 2 y 2 +R + R 2 x 2 + R 2 x 2 y 2 dz dy dx = 8 dz dy dx = ) R 2 x 2 y 2 R 2 x 2 3. ÖBBZÖRÖ INEGRÁLOK ZÁMÍÁA INEGRÁL-RANZFORMÁIÓVAL Péld 2 Helyettesítéssel számoljuk ki Legyen I = 1 1 x x + y y 2x) 2 dy dx 3.1) u = x + y, v = y 2x x = 1 3 u v), y = 1 3 2u + v) J = 1 A htároló görbék két síkon = ) x + y = 1 u = 1 x = u = v y = 2u + v = 3.3) miből z integrál I = 1 u 2u u v2 1 3 dv du = u [ v 3 3 ] u 2u du = u u 3 + 8u 3) 1 du = u 7/2 du = )

8 Péld 21 Helyettesítéssel Legyen u = 2x y 2 A htároló felületek két térben miből z integrál I = 1 du 2 dv Péld 22 Mekkor z 1 I =, v = y 2, w = z 3 dw {u + w} 6 = y/2+1 y/2 2x y + z ) dx dy dz 3.5) x = u + v, y = 2v, z = 3w J = 2 3 = 6 3.6) x = y 2 u + v = v u = x = y u + v = v + 1 u = 1 y = 2v = v = y = 4 2v = 4 v = 2 z = 3w = w = z = 3 3w = 3 w = 1 1 du 2 dv ) 2 + y b { u + 1 } = 6 2 ) 2 + z c ) du {2u + 1} = 6 {2 12 } + 1 = ) x ) ) ellipszoid térfogt? Elliptikus koordinátákt válsztunk A trtomány u = x, v = y b, w = z c z egységsugrú gömb, tehát Péld 23 Helyettesítéssel I = Legyen A htárok miből z integrál I = 2 du D x = u, y = bv, z = cw J = b = bc 3.1) c V = u 2 + v 2 + w 2 1 = G 3.11) G bc dv u, v, w) = 4π 3 bc 3.12) xy 2 + 3xyz ) dv D : 1 x 2, xy 2, z ) u = x, v = xy, w = 3z x = u, y = v u, z = w 3 2 dv 3 dw uv + wv 3u = x 2 1 u 2 xy 2 v 2 z 1 w 3 ) 2 v dv du 3 dw 1 J =? 1/u? 1/3 = 1 3u 1 + w ) = u 2 du 3.14) 3.15) ) = 2 + ln8) 3.16) u

9 ::::::: Idáig hiányos :::::: 4. INEGRÁLÁ VEKORMEZŐKÖN 4.1. A első típusú vonlintengrál ekintsük z fx, y, z) : D R 3 R háromváltozós függvény értékeit z értelmezési trtományábn futó : r t) = x t) i + y t) j + z t) k, t b 4.1) görbe mentén. Drboljuk fel görbét n drb elemi ívdrbkár. Legyen k-dik ívdrb hossz s k és x k, y k, z k ) egy tetszőlegesen válsztott pont görbe ezen szkszán. Készítsük el z részletösszeget. n = n fx k, y k, z k ) s k 4.2) k=1 étel 24 H f folytonos és görbe ẋ t), ẏ t) és ż t) első deriváltji folytonosk, kkor n konvergens, miközben n és s k. A beosztás iménti finomítását röviden s lkbn jelölve lim n = lim s s n. fx k, y k, z k ) s k = htárértéket z f függvénynek z r t) görbe mentén vett 1. típusú vonlintegráljánk nevezzük. k=1 f ds 4.3) A vonlintegrál kiszámítás visszvezethető közönséges integrálásr. Felírhtjuk ugynis, hogy [ dx ) 2 ) 2 ) ] 2 ds) 2 = dx) 2 + dy) 2 + dy) 2 dy dz = + + dt) 2 4.4) dt dt dt zz hol ds = vt) dt = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt 4.5) vt) = r t) dt = ẋ t) i + ẏ t) j + ż t) k 4.6) prméterezett görbe sebességvektor. H vt) folytonos és sehol sem null, kkor f ds = Ez utóbbi közönséges htározott integrál független prméterezéstől. b f x t), y t), z t)) vt) dt 4.7) Péld 25 Legyen f = x 3y 2 + z és integráljuk,, ) és z 1, 1, 1) pontokt összekötő egyenes szksz mentén. A görbe egy lehetséges prméterezése honnn és : r t) = t i + t j + t k, t 1 4.8) vt) = 1 i + 1 j + 1 k vt) = = 3 4.9) f x t), y t), z t)) = x t) 3 y t)) 2 + z t) = t 3t 2 + t 4.1)

10 f ds = 1 2t 3t 2 ) 3 dt = 4.11) f ds + f ds f ds 4.12) A vonlintegrálok hsznos tuljdonság, hogy véges sok 1, 2,..., m egymáshoz kpcsolódó sim görbéből összerkott összetett görbére igz, hogy f ds = 1 2 m 1 Péld 26 Legyen függvény z mentén számoljuk ki z integrált. előbbi, de most,, ) 1, 1, ) 1, 1, 1) két egyenes szkszból álló görbe Egyszerű prméterezés: 1 : r t) = t i + t j + k, t ) 2 : r t) = 1 i + 1 j + t k, t ) honnn v 1 t) = 1 i + 1 j + k vt) = = ) v 2 t) = i + j + 1 k vt) = = ) és f ds = f ds + f ds = t 3t 2 + ) 2 dt t ) 1 dt = ) Figyeljük meg, hogy két szkszból álló görbe kezdő- és végpontj ugynz, mint z előző példábn volt, görbék zonbn különbözők és vonlintegrál értéke is más lett. A konzervtív terek vektormezők) kpcsán vissztérünk erre kérdésre. H görbe keresztmetszetéhez képest vékony drótszerű test, kkor vonlintegrál segítségével néhány fiziki jellemzőt vonlmenti tömegsűrűség segítségével számolhtunk. H görbe vlmely x, y, z) pont körüli kis ds hosszúságú drbjánk tömege dm = σ x, y, z) ds 4.18) zz σ x, y, z) vonlmenti tömegsűrűség, kkor z lábbi fontosbb jellemzőket számolhtjuk M = σ ds 4.19) M x = x σ ds, M y = y σ ds, M z = z σ ds 4.2) I x = y 2 + z 2) σ ds, I y = x 2 + z 2) σ ds, I z = x 2 + y 2) σ ds 4.21) hol M z össztömeg, z M x, M y, M z ) első momentumokkl görbe súlypontj Mx X, Y, Z) = M, M y M, M ) z M 4.22) z I x, I y és I z koordináttengelyekre vontkozttott tehetetlenségi nyomtékok. Péld 27 zámítsuk ki homogén σ x, y, z) = σ tömegeloszlású : r t) = cos4t) i + sin4t) j + t k, t 2π 4.23) spirálrugódrb össztömegét és z-tengelyre vontkozó tehetetlenségi nyomtékát.

11 11 A sebességvektort kiszámolv vt) = 4 sin4t)) cos4t)) = ) Ezzel M = σ ds = σ ds = σ L = σ 2π 17 dt = σ 2π ) hol L görbe hossz. Hsonlón kpjuk, hogy I z = x 2 + y 2) 2π σ ds = σ 1) 17 dt = σ 2π ) Péld 28 Hol vn súlypontj nnk z = síkbn fekvő félkör lkú drótdrbnk, melynek tömegsűrűsége Alklms prméterezéssel : x 2 + y 2 = 1, y, z = 4.27) σ = 2 y 4.28) : r t) = cost) i + sint) j + k, t π vt) = ) A szimmetri mitt M x = M z =. Meghtározndó mrd π M = σ ds = 2 y) ds = 2 sint)) 1 dt = 2π 2 4.3) π M y = y σ ds = y 2 y) ds = sint) 2 sint)) 1 dt = 8 π 4.31) 2 tehát Y = M y M = 1 8 π ) 2 2π 2 Vektormezőnek nevezzük z 4.2. A második típusú vonlintengrál F :D R 3 R 3, Fx, y, z) = Mx, y, z) i + Nx, y, z) j + P x, y, z) k 4.33) vektor-vektor függvényt. Ilyen vektormző például z fx, y, z) : D R 3 R differenciálhtó vektor-sklár függvényhez rendelt grdiens mező mi fizikábn ngy fontossággl bír. Fx, y, z) = f x i + f j + f k = f = grdf) 4.34) z Péld 29 peciálisn, h f = xyz, kkor f = yz i + xz j + xy k H vektormező fiziki erővel kpcsoltos, kkor r ngyon kicsiny) elmozdulás során végzett munk W = F r =Mx, y, z) x + Nx, y, z) y + P x, y, z) z 4.35) Legyen z elmozdulás irányáb muttó egységvektor és s z elmozdulás ngyság, zz r = s és W = F r = F s. H mozgás térben görbe mentén történik, miközben görbe k-dik kis szkszán W k munkvégzés vn, kkor teljes mozgás során végzett munk W W k 4.36)

12 A görbén beosztást finomítv kpjuk munk-integrált W = F ds = F dr = hol x, y, z) = dr ds M dx + N dy + 12 P dz 4.37) görbe érintő egységvektor. Az integrál létezik, h z F erő folytonos függvénnyel írhtó le és szkszonként sim görbe. Vegyük észre, hogy z integrál előjele függ ttól, hogy görbét melyik iránybn járjuk végig. A munk-integrál kiszámolásához célszerű görbét prméteres lkbn felírni. H kkor 4.38) : r t) = x t) i + y t) j + z t) k, t b 4.39) W = b F dr b dt dt = M dx dt dt + b N dy dt dt + b P dz dt dt 4.4) Péld 3 Htározzuk meg munkát, h Fx, y, z) = y x 2) i+ z y 2) j+ x z 2) k és : r t) = t i+t 2 j+t 3 k, t ) A görbe prméteres egyenletéből és zz Ezekkel munk F = t 2 t 2) i + t 3 t 4) j + t t 6) k 4.42) v t) = dr dt = 1 i + 2t j + 3t2 k 4.43) F dr dt = 1 t 2 t 2) + 2t t 3 t 4) + 3t 2 t t 6) = 2t 4 2t 5 + 3t 3 3t ) W = b F v dt = 1 2t 4 2t 5 + 3t 3 3t 8) dt = 29 6 A munk integrálr hsonlító kifejezést kpunk, h vektormező nem erőtérrel, hnem vlmilyen sebességtérrel kcsoltos. H Fx, y, z) zt mondj meg, hogy z x, y, z) helyen vlmely ármló közeg sebessége milyen, kkor W = F ds = F dr 4.46) integrál görbe mentén vló eredő ármlást dj meg. 4.45) Péld 31 ekintsük z Fx, y, z) = x i + z j + y k sebességmezővel jellemzett ármlási teret. Mekkor z ármlás csvrvonl mentén? A kiszámoláshoz : r t) = cost) i + sint) j + t k, t π/2 4.47) Fx, y, z) = cost) i + t j + sint) k és v = sint) i + cost) j + 1 k 4.48) mitt W = F dr = π/2 sint) cost) + t cost) + sint)) dt = π )

13 Zárt görbe: cirkuláció és fluxus Különösen fontos jellemző zárt görbén vló ármlás mértéke, ez közeg dott görbére vett cirkulációj: R = F dr 4.5) Péld 32 Mekkor cirkulációj z Fx, y, z) = x y) i + x j + k mezőnek z egységsugrú körön? Válsz: R = 2π) r t) = cost) i + sint) j+ k, t 2π 4.51) A most következő megfontolásokt kétdimenziós mezőkre és síkgörbére végezzük el. A problém három dimenziós változtávl fejezet végén fogllkozunk. Két dimenziós ármlási terekre gondolv felvetődik kérdés: hogyn lehet kiszámolni egy zárt görbe áltl htárolt trtományból kifolyó nygmennyiség mértékét? H Fx, y) = Mx, y) i + Nx, y) j 4.52) mondj meg z ármlási sebesség irányát és ngyságát z x, y) pontbn, kkor Φ = F n ds 4.53) zárt görbe htárin kiármló mennyiségre jellemző, h nx, y) görbének trtományból kifele muttó normális egységvektor. zokásos elnevezéssel Φ szám vektormezőnek görbére vontkozó fluxus. Kiszámolásához írjuk fel z nx, y) kifele muttó normálist. A görbe normális görbe érintőjére merőleges vektor. A trtományból kifele muttó normális irányt z lábbi módon válszthtjuk ki: Válsszuk zárt görbe bejárásár z irányt, hogy bezárt trtomány mindig bl kezünk felé essen. Ezt körüljárást nevezzük pozitív bejárásnk. H bejárás irányáb muttó érintő egységvektor kkor rá merőleges, kifele jobbr) muttó egységvektor Figyelembe véve, hogy = x i + y j 4.54) nx, y) = y i x j 4.55) kpjuk, hogy Φ = F n ds = = dr ds Mn x + Nn y ) ds = x = dx ds, y = dy ds M y N x ) ds = Péld 33 Mekkor fluxus z előző példábn vett Fx, y) = x y) i + x j vontkozólg? 4.56) M dy N dx) 4.57) mezőnek z egységsugrú körre Mivel r t) = cost) i + sint) j, t 2π 4.58) írhtjuk, hogy mivel Φ = x = cost), y = sint) dx = sint) dt és dy = cost) dt 4.59) M dy N dx) = 2π cost) sint)) cost) + sint)cost)) dt = 2π cost)cost) dt = π 4.6)

14 Konzervtív terek ekintsünk két olyn tetszőleges és görbét, melyek kezdő- és végpontj ugynz. Lehetséges de nem tipikus, lásd korábbi 4.17) példát), hogy vektormező olyn, hogy két pont közötti különböző úton számolt munk-, vgy ármlási integrál értéke ugynz W = F dr = F dr 4.61) H vektormezőre számolt munkintegrál egy D trtomány bármely két pontjár független két ponot összekötő görbe lkjától, zz csk görbe végpontjitól függ, kkor mezőt D trtománybn konzervtívnk mondjuk. étel 34 A folytonos) F vektormező pontosn kkor konzervtív, h F grdiens mező. Ez zt jelenti, hogy vn olyn fx, y, z) sklár-függvény, hogy F = f zz F = M, N, P ) : M = f x, N = f, P = f z Az ilyen f függvény z F vektormező potenciálfüggvénye. A potenciál ismeretében munk-integrálr igz, hogy görbe lkjától függetlenül W = F dr = fr 2 ) fr 1 ) 4.63) hol r 1 görbe kezdő- és r 2 görbe végpontj. :1 2 A tétel közönséges integráloknál megtnult Newton-Leibniz-formulár hsonlít. Annál is inkább így vn ez, hogy előbb feltéve, hogy F = f írhtjuk, hogy és W = :1 2 F dr = F dr dt = f dr dt = df dt t2 t ) 4.64) ) df dt = f r t)) t2 t dt 1 = fr 2 ) fr 1 ) 4.65) A másik állítás, miszerint konzervtív mezőkre létezik potenciál úgy bizonyíthtó, hogy felírjuk tetszőleges D-beli r pontból kiinduló kármilyen görbe mentén számolt fr) = F dr, : r r 4.66) integrált mint felső htár függvényét). Megmutthtó, hogy ekkor vlóbn r ) fr) = F dr = F 4.67) r Legyen ugynis egy speciális görbe : r t) = r +t i t h zz r = r +h i 4.68) ekkor x fr) = d r dh fr) = h= d h dh F i dt = M r ) 4.69) h= és hsonlón másik két koordinátábn. Péld 35 Az Fx, y, z) = yz i + xz j + xy k mező nyilván konzervtív, hiszen F = xyz). Bármilyen görbével is kötjük össze z 1, 3, 9) és 1, 6, 4) pontokt: F dr = 1 6 4) 1) 3 9 = 3 4.7)

15 étel 36 Az Fx, y, z) vektormező pontosn kkor konzervtív egy D trtománybn, h trtománybn futó bármely zárt görbére F dr = 4.71) Az állítás bizonyításához zárt görbét két különböző és b pontjávl vágjuk szét két görbére z irányításokt megtrtv. Legyenek ezek 1 : b és 2 : b. Az integrál dditivitás mitt F dr = F dr + F dr 4.72) 1 2 H mező konzervtív, kkor 1 F dr = F dr = 2 15 F dr = 4.73) mert 2 megfordított irányítássl ugynúgy z -ból b-be menő görbe, mint 1. Megfordítv: F dr = = F dr + F dr = 4.74) 1 2 mitt z és b pontokt összekötő bármilyen görbére z integrál bszolút) értéke ugynz, zz z csk kezdő- és végpontoktól függ. Mármost, h konzervtív mezőkben ilyen egyszerű vonlintegrál számolás, kkor felvetődik kérdés Hogyn lehet eldönteni dott vektormezőről, hogy konzervtív-e? H konzervtív mező, kkor hogyn lehet megtlálni potenciálját? Az első kérdés megválszolásár z lábbi tétel jól hsználhtó étel 37 Egy D trtománybn folytonos első deriváltkkl rendelkező Fx, y, z) = M, N, P ) vektormező pontosn kkor konzervtív, h trtománybn rot F) =. A rot művelet rotáció rövidítése, ezzel részletesebben később fogllkozunk, most elég, h zt tudjuk, hogy rot F) = N x = M, P x = M z, N z = P 4.75) A tétel állításánk egyik részét következő úton láthtjuk be. H mező konzervtív, kkor vn potenciálj: F = f = M = f x, N = f, P = f z 4.76) Ekkor például N x = x ) f = 2 f x és M = ) f = 2 f x x 4.77) A vegyes másodrendű prciális deriváltk szimmetrikusk, zz 2 f x = 2 f x = N x = M 4.78) és hsonlón másik két egyenlőségre. A fordított állítás, hogy három egyenlőség 4.75) jobb oldlán elégséges feltétele nnk, hogy Fx, y, z) konzervtív mező legyen. Ezt most nem bizonyítjuk, később megismerendő tokes-) tételnek ez közvetlen következménye. Péld 38 Láttuk, hogy Fx, y, z) = yz i + xz j + xy k konzervtív. Ezt most zzl is igzolhtjuk, hogy közvetlen differenciálássl kiszámoljuk rotáció eltűnését jelentő 4.75) prciális deriváltk egyenlőségét H.f.). H nem tudnánk, hogy f = xyz potenciálfüggvénye ennek mezőnek, kkor hogyn keresnénk meg potenciált?

16 16 Keressük tehát z z fx, y, z) függvényt, mire teljesül, hogy f x = yz, f = xz, f z = xy 4.79) Ez egy speciális prciális differenciálegyenlet f-re, mit közvetlen integrálássl megoldhtunk. Az első egyenletet x szerint integráljuk, miközben y-t és z-t állndónk fogjuk fel. Így kpjuk, hogy fx, y, z) = xyz + cy, z) 4.8) hol c integrációs állndót y és z függvényeként írtuk fel, rr gondolv, hogy ennek értéke változht, miközben y és z változik. Az így kpott függvény kkor elégíti ki második egyenletet, h mjd hrmdik egyenlet mitt zz keresett potenciálfüggvény hol c tetszőleges állndó. f = c c xyz + cy, z)) = xz + = xz = c y, z) = c z) 4.81) c z) = c 4.82) fx, y, z) = xyz + c 4.83) Péld 39 Legyen Fx, y, z) = [e x cosy) + yz] i+[xz e x siny)] j+[xy + z] k egy ellenőrizhetően H.f.) konzervtív mező. Mi potenciálj? Az első komponensre miből f x = [ex cosy) + yz] fx, y, z) = e x cosy) + xyz + cy, z) 4.84) f = ex siny) + xz + cy, z) = [xz ex siny)] cy, z) = cy, z) = c z) 4.85) mjd hrmdik egyenlettel zz f = xy + z cz) = [xy + z] z2 cz) = z cz) = z 2 + c 4.86) fx, y, z) = e x cosy) + xyz + z2 2 + c 4.87) Péld 4 Az Fx, y, z) = y i x j + k mező nem konzervtív, hiszen például N x = 1 M Így ztán z előzőekben vázolt integrálási sém nem vezethet eredményre. második egyenlettel összevetve = ) És vlóbn f f = y f = xy + cy, z) x = x + cy, z) 4.89) cy, z) = 2x 4.9) lenne, mi képtelenség, hiszen bl oldl y, z), míg jobb oldl x függvénye, mi minden x, y, z)-re nem teljesülhet. Péld 41 Nem konzervtív z Fx, y, z) = [2x 3] i z j + cosz) k mező.

17 Differenciálformák Az munkintegrálokt felírhtjuk z W = F dr = M dx + lkbn, hol z utolsó jelölés sugllj, N dy + P dz = M dx + N dy + P dz 4.91) δf = M dx + N dy + P dz 4.92) 3 változós) differenciálform bevezetését. Korábbn M, N, P ) egy vektormező komponensei voltk, most gondolhtunk tetszőleges M, N, P függvényekre kifejezésben. Láttuk, hogy z ilyen differenciálformák görbék mentén vló integrálás különösen egyszerű, h történetesen vn olyn fx, y, z) függvény, mire M = f x, N = f, P = f z 4.93) Hiszen ekkor δf = f x dx + f dy + f z hol r 1 görbe kezdő- és r 2 görbe végpontj. dz = df δq = df = fr 2 ) fr 1 ) 4.94) Definíció 42 A δf = M dx + N dy+ P dz differenciálform egzkt D-ben, h vn olyn f függvény, hogy D minden pontjábn δf = df étel 43 A δf = M dx + N dy + P dz differenciálform pontosn kkor egzkt D-ben, h D minden pontjábn N x = M, P x = M z, N z = P 4.95) Vektormezőknél ez pontosn kkor teljesül, h mező konzervtív. Péld 44 A δf = y dx + x dy + 4 dz differenciálform egzkt, hiszen N x = x x = 1 = M = = ) P x = 4 x = = M z = z = 4.97) N z = x z = = P = 4 = 4.98) és ehát f = M = y f = xy + cy, z) 4.99) x f cy, z) = x + = N = x cy, z) = cz) 4.1) f z = cz) = P = 4 cz) = 4z + c 4.11) z f x, y, z) = xy + 4z + c 4.12) és például z 1, 1, 1) 2, 3, 1) pontokt összekötő bármilyen görbe mentén δf = df = f2, 3, 1) f1, 1, 1) = )

18 Péld 45 A termodinmik első főtétele zt mondj ki, hogy termodinmiki folymtok során nem lehet energiát nyerni. Mtemtikilg ezt úgy fejezhetjük ki, hogy belső) energi állpotfüggvény, zz bármilyen folymt segítségével is jutunk el z 1) állpotból 2) állpotb U2) U1) = L + Q 4.14) A konkrét folymttól függ, hogy közben mennyi L mechniki munkvégés és Q hőcsere, de összegük csk folymt végpontjitól. Lefordítv differenciálformák nyelvére, zz folymtok infinitezimálisn kicsiny szkszit vizsgálv du = δl + δq 4.15) mivel zt fejezzük ki, hogy δl és δq nem egzkt differenciálform, de összegük már igen, és emitt du = U2) U1) 4.16) :1 2 A kétváltozós differenciálformák izglms tuljdonság, hogy zok egzkttá tehetők. étel 46 A δf = M x, y) dx + N x, y) dy differenciálformához tlálhtó olyn µ x, y) függvény, hogy egzkt form legyen. A µ x, y) függvények) neve: integráló tényező. Nyilvánvlón z egzktság feltétele, hogy µ x, y) M x, y) = g x, y) x µ x, y) δf = dg 4.17) és µ x, y) N x, y) = g x, y) legyen. Az integráló tényező és így g x, y)) felkuttás ezek lpján következőképpen végezhető el. ekintsük egyenletet, mit felfoghtunk úgy, mint z ) g x, y) = c g g dx + dy = 4.19) x y = y x) 4.11) függvény implicit megdását. Akkor zonbn g x + g dy dx = dy dx = ) g / x ) g = M N 4.111) H megoldjuk z utóbbi közönséges differenciálegyenletet y = y x)-re, kkor megkpjuk µ és g függvényeket. Péld 47 Legyen δf = y dx + x dy, miről láthtó, hogy nem egzkt. Keressünk integráló tényezőt! Esetünkben A változók szétválsztásávl és integrálv Lehetséges válsztás dy y = dx x dy dx = y x 4.112) lny) = lnx) + c 4.113) g x, y) = lny) lnx) = c 4.114) és ekkor µ x, y) M x, y) = g x, y) x µy = 1 x µ x, y) = 1 xy 4.115)

19 19 és ellenőrzésül µ x, y) N x, y) = g x, y) µx = 1 y µ x, y) = 1 xy 4.116) Másik integráló tényezőt kpunk, h z lny) = lnx) + c y x = g x, y) = y x 4.117) utt követjük. Ekkor µy = y x 2 µ x, y) = 1 x ) Gykorló feldt 48 Keressünk integráló tényezőt következő differenciálformákhoz δf = siny) dx + sinx) dy, δf = x 2 y 2) dx x y) dy, δf = 1 y 2 dx 1 x dy 4.119) Péld 49 A termodinmik második főtétele. Az első főtételt átírv és figyelembe véve, hogy gázoknál δl = p dv δq = du + p dv = du = δl + δq δq = du δl 4.12) [ U U dp + p V dv ] + p dv = [ ] U p [ ] U dp + V + p dv 4.121) Nyilvánvló, hogy δq nem egzkt, hiszen kkor V [ ] U = [ ] U p p V + p 4.122) szükséges, zz 2 U V p = 2 U p V ) lenne, mi ellentmond z Up, V ) függvény másodrendű prciális deriváltji szimmetriájánk. differenciálform egzkttá tehető, zz vn olyn µ p, V ) függvény, hogy A kétváltozós µ p, V ) δq = d p, V ) 4.124) legyen. A második főtétel szerint µ p, V ) integráló tényező csk testek empírikus mért) hőmérsékletétől függ, zz független z zonos hőmérsékletűnek mért testek nyomásától és térfogtától. zokásos válsztássl µ p, V ) = ) hol hőmérséklet. Ezzek után főtétel lényegi állítás: Létezik olyn p, V ) entrópiánk nevezett állpotfüggvény, hogy termodinmiki folymtokr d = δq 4.126) 4.6. Green-formul Megmuttjuk, hogy folytonos prciális deriváltkkl rendelkező Ax, y) függvényre Ax, y) Ax, y) df = Ax, y) dy és df = Ax, y) dx 4.127) x

20 hol egy egyszerű zárt síkgörbe és z áltl bekerített tertomány. ekintsünk zt zárt görbét, melyet lulról z y = c 1 x) és felülről z y = c 2 x) görbék htárolnk, miközben x b. A felületi integrálr ekkor [ Ax, y) b ] y=c2 x) Ax, y) b df = dy dx = [Ax, y)] y=c2x) y=c 1 x) dx 4.128) = b y=c 1 x) Ax, c 2 x)) dx b Másrészt másodfjú vonlintegrálunk Ax, y) dx = Ax, c 1 x)) dx = b Ax, c 1 x)) dx b b Ax, c 2 x)) dx b 2 Ax, c 1 x)) dx 4.129) Ax, c 2 x)) dx 4.13) hol figyelembe vettük, hogy felületi integrál számolásánál görbék irányítás olyn, hogy c 1 : b és c 2 : b, miközben zárt görbéhez c 2 irányítását meg kell fordítnunk. Összevetve kpjuk, hogy vlóbn Ax, y) df = Ax, y) dx 4.131) Hsonlón ellenőrizhetjük másik összefüggést. A két egyenlőség kombinálásávl kpjuk, hogy Ax, y) és Bx, y) függvényekre [B x A y ] df = A dx + B dy 4.132) H ezt z eredményt egy Fx, y) = Mx, y), Nx, y)) = Mx, y) i + Nx, y) j 4.133) komponenseire lklmzzuk, kkor következő fontos Green-formulákt kpjuk A = M, B = N tokes-tétel síkbn [N x M y ] df = M dx + N dy = F ds=r cirkukáció 4.134) A = N, B = M Guss-tétel síkbn [M x + N y ] df = N dx + M dy = F n ds=φ fluxus 4.135) A Green-formulák jól hsználhtók rr, hogy cirkulációt és fluxust másodfjú vonlintegrálok helyett kettős integrálokkl számoljuk ki. A zárt síkgörbe helyett z áltl bezárt síktrtományr kell tehát integrálnunk Péld 5 zámoljuk ki z vektormező cirkulációját és fluxusát z r sugrú körre vontkozólg! Most Fx, y, z) = x y) i + x j 4.136) M x = 1, N x = 1, M y = 1, N y = 4.137) így és R = F ds = Φ = F n ds = [N x M y ] df = 2 df = 2 df = 2 r 2 π 4.138) [M x + N y ] df = 1 df = r 2 π 4.139)

21 Péld 51 Az első síknegyedben levő, ), 1, ), 1, 1),, 1) csúcsokkl dott négyzet lkú zárt görbe mentén számoljuk ki z y 2 dx + xy dy 4.14) integrált! Vehetjük úgy, hogy M = xy és N = y ) 21 mely esetben N dx + M dy = [M x + N y ] df = [y + 2y] df = 1 1 ) [3y] dx dy = 1 [3y] dy = ) Ugynezt kpjuk, h N = xy és M = y ) válsztássl módon számolunk. M dx + N dy = [N x M y ] df = [y + 2y] df = [3y] df = ) Gykorló feldt 52 Legyen Fx, y, z) = x i + y 2 j és tekintsük 1, 1), 1, 1), 1, 1), 1, 1) origó körüli négyzetet. Mutssuk meg, hogy Φ = F n ds = ) A Green-formulákt ugyn csk egyszerű görbével htárolt síktrtományr vezettük le, igzk mrdnk zonbn bonyolultbb esetre is. Arr kell vigyáznunk, hogy felületi integrálok trtományán megfelelő prciális deriváltk és felületi integrál létezzen, görbe menti integrálokt pedig z összetett htárgörbéken kell kiszámolnunk. A felületdrb htároló görbéit úgy kell irányítni, hogy trtomány belseje mindig bl kezünk felé essen. Péld 53 zámoljuk ki z mezőnek cirkulációját z origót körülvevő tetszőleges zárt görbére! Fx, y) = y i + x j x 2 + y ) A mező szinguláris, ) origóbn. Vegyük körül z origót egy ε sugrú körrel, úgy, hogy körlp teljesen belsejében legyen. Ekkor [N x M y ] df = M dx + N dy) + M dx + N dy) 4.147) ε hol körvonl és zárt görbe közötti trtomány. Helyesen belső ε körvonlt z órmuttó járásávl megegyezően negtív körüljárás) kell irányítnunk, hiszen kkor esik blkéz felől: Ekkor ε : ε cost) i ε sint) j t 2π 4.148) dx = ε sint) dt, dy = ε cost) dt 4.149) y dx + x dy = ε sint) ε sint) ε cost) ε cost) = ε )

22 22 és y dx + x dy M dx + N dy) = ε ε x 2 + y 2 = 2π ε 2 ε 2 cost)) 2 + ε 2 sint)) 2 dt = 2π 1) dt = 2π 4.151) Mivel z trtományon [N x M y ] = ) x x x 2 + y 2 ) y x 2 + y 2 = [ 1 x 2 + y 2) 2x 2] [ 1 x 2 + y 2) + 2y 2] x 2 + y 2 ) 2 = 4.152) így z R = M dx + N dy) = [N x M y ] df M dx + N dy) = 2π) = 2π ε 4.153) cirkuláció görbe lkjától függetlenül R = 2π Divergenci, rotáció 2 dimenzióbn H trtományt P = x, y ) pont körül elegendően kicsinyre válsztjuk, kkor folytonos Ux, y) függvényre Ux, y) df Ux, y ) df = Ux, y ) A 4.154) hol A z felület területe. Ennek segítségével definiálhtjuk vektormező lokális jellemzőit síkbn 1 div xy F) = M x + N y = lim F n ds divergenci fluxus-sűrűség forrásosság 4.155) A 1 rot z F) = N x M y = lim F ds rotáció cirkuláció-sűrűség örvényesség 4.156) A Péld 54 Mi síkbeli divergenci és rotáció h Most honnn Fx, y) = x 2 y) i + xy y 2 ) j 4.157) M = x 2 y) M x = 2x, M y = ) N = xy y 2 ) N x = y, N y = x 2y 4.159) div xy F) = M x + N y = 3x 2y és rot z F) = N x M y = y ) 4.8. Felületi integrálok Eleddig vektormezőnek viselkedését síkbn jellemeztük. Hsonlón vezetjük be 3 dimenziós tér tetszőleges pontjábn lokális jellemzőket. Ehhez szükségünk lesz felületi integrál foglmához, mit z lábbikbn vezetünk be. Legyen fx, y, z) egy háromváltozós folytonos függvény és egy felületdrb térben. Osszuk fel z felületet tetszés szerint k = 1, 2,.., n elemi kis felületdrbkár. Az egyes drbkák területe legyen k. Minden drbbn esetleg htárán) vegyünk fel egy ízlés szerinti x k, y k, z k ) pontot felületen és készítsük el n fx k, y k, z k ) k 4.161) k=1

23 részlet)összeget. A felület beosztását minden htáron túl finomíthtjuk, zz vizsgálhtjuk z n és k htáresetet. Vigyázzunk, hogy felületdrbok minden irányú kiterjedése is eltűnjön röviden jelöléssel élünk erre htárátmenetre). H lim k=1 n. fx k, y k, z k ) k = 23 f d 4.162) htárérték létezik, zz beosztás finomításánk módjától és köztes pont válsztásától függetlenül ugynzt számot dj, kkor zt z f függvénynek z felületre vett 1. típusú felületi integráljánk nevezzük. A felületi integrálokkl, zok kiszámolásávl most bővebben nem fogllkozunk, egy kivételtől eltekintve. ekintsük ugynis z Fx, y, z) = Mx, y, z) i + Nx, y, z) j + P x, y, z) k 4.163) vektormezőt és legyen egy felület három dimenziós térben. H ármlási mezőre gondolunk, kkor felület vlmely x, y, z) pontj körüli kis ngyságú felületdrbkáján átármló közeg mennyisége Φ Fx, y, z) n 4.164) hol n z dott felületdrbk normális egységvektor. H ezt teljes felületre felösszegezzük, kkor kpjuk z Fx, y, z) vektormező fluxusát z felületre, zz Φ = Fx, y, z) n d = Fx, y, z) d 4.165) hol bevezettük d = n d 4.166) irányított felületelemet. Egy felületre, nnk minden pontjábn normális egységvektor kétféleképpen is megválszthtó, mutht felület bármelyik oldl felé. Zárt felületnél normális irányát úgy válsztjuk meg, hogy z bezárt trtományból kifelé mutsson Divergenci és rotáció 3 dimenzióbn A felületi és térfogti integrál hsználtávl síkbeli tételhez hsonlón megmutthtó Guss-tétel, vgy divergenci-tétel. Legyen egy zárt felület és V felület áltl htárolt trtomány. Ekkor föltéve, hogy szereplő mennyiségek egyáltlán értelmesek) divf) dv = F n d = Φ 4.167) hol z F vektormező divergenciáj egy sklár mennyiség A Guss-tétel lpján divergenci szemléletes jelentése V divf) = M x + N y + P z = F 4.168) 1 divf) = lim V F n d 4.169) zz továbbr is mező lokális forrássosságát fluxus-sűrűségét) jellemzi. Az zárt felületből kiármló mennyiség, fluxus osztv felület áltl htárolt trtomány térfogtávl vlóbn vektormező fluxus-, vgy forrás-sűrűségét jellemzi. Péld 55 Mi divergenciáj z F = 2xz i xy j z k vektormezőnek. [V álsz : div F) = 2z x 1] Péld 56 div r) = 3, div r/r) = 2/r

24 24 Péld 57 zámítsuk ki z F = r vektormező esetén Guss-tétel mindkét integrálját z sugrú gömbre! Mivel div r) = 3 továbbá mitt V divf) dv = 3 divf) dv = 3 V = 3 4 V 3 3 π = 4 3 π 4.17) n = r r F n = r r r = r2 r = r 4.171) F n d = r d = r d = = 4π 2 = 4π ) A Guss-tételhez hsonlón áltlánosíthtó másik Green-formul 3 dimenziór. A vontkozó tokes-tétel szerint h egy olyn felületdrb és nnk zárt görbe htároló görbéje, kkor rotf) n d = F ds = F dr =R 4.173) A tételben felület és görbe irányítás összefügg, görbét úgy kell irányítnunk, hogy felület válsztott normálisávl jobb-csvrt lkosson. Ez például következőt jelenti: rtsuk képzeletben jobb kezünket felület htárához úgy, hogy tenyerünk trtomány belseje felé, hüvelykujjunk pedig felület külsőnek válsztott oldl irányáb válsztott normális irányáb) nézzen. Ekkor begörbült további ujjink htárgörbén megkívánt körüljárás irányáb muttnk. Másképp megfoglmzv: A válsztott normális vektor csúcsánk z irányából nézve htárgörbe legyen pozitív irányítású, vgyis z órmuttó járásávl ellentétes körüljárású. A felületi integrálbn vektormező rotációj jelenik meg. Ez egy vektoriális jellemzője mezőnek: i j k rotf) = P y N z ) i P x M z ) j + N x M y ) k = F = x y z 4.174) M N P Péld 58 rot r) =, rot r/r) = Péld 59 Legyen F = x 2 y ) i+4z j + x 2 k, számoljuk ki rotációját! [Válsz: rotf) = 4 i 2x j + k] Péld 6 zámoljuk ki tokes-tételben szereplő két integrált, h felület z : x 2 + y 2 + z 2 = 9, z félgömb és mező: F = y i x j Legyen válsztott normális növekvő z irány. A htárgörbe helyes körüljárássl Ekkor mitt : r t) = 3 cost) i + 3 sint) j, t 2π 4.175) dr t) = [ 3 sint) i + 3 cost) j] dt és F = 3 sint) i 3 cost) j 4.176) F dr = 2π Egyszerű számolássl kpjuk, hogy felület normális pedig sugárirányú [ 3 sint) 3 sint) 3 cost) 3 cost)] dt = 2π [ 9] dt = 18π 4.177) F = 2 k 4.178) n = r r = x i + y j + z k )

25 25 mikből rotf) n = 2 z 3 A felületnek legmegfelelőbb gömbi koordináták válsztás 4.18) mivel rotf) n d = d = r 2 sin ϑ) dϑ dϕ és z = r cos ϑ) 4.181) 2 z 3 = π d = π/2 2π π/2 A tokes-tétel segítségével rotáció szemléletes jelentése: 2 3 cos ϑ) 3 cos ϑ) sin ϑ) dϑ = 18 2π 1 rotf) n = lim A 3 2 sin ϑ) dϑ dϕ 4.182) 1 u du = 18π 4.183) F dr 4.184) Ez zt jelenti, hogy z n egységvektorrl jellemzett tengelyre vontkozó rotáció örvényesség) jellemzéséhez egy dott helyen válsztnunk kell egy olyn felületet, melynek normális z n irány. A htárgörbére kiszámolt cirkuláció osztv felület felszínével z dott tengely körüli cirkuláció sűrűségét dj, h görbét és így felületet) tengelyre zsugorítjuk. A tokes-tétel ismeretében most térhetünk vissz korábbi 4.75) állításr. H D trtománybn rotf) =, kkor bl oldli integrál null volt mitt F ds = minden zárt görbére 4.185) zz vektormező konzervtív. G Gykorló feldt 61 Mutssuk meg, hogy bármilyen folytonos első- és második prciális deriváltkkl rendelkező fx, y, z) függvényre rot grd f)) = f = 4.186)

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória

Hatvani István fizikaverseny 2015-16. 1. forduló megoldások. 1. kategória 1. ktegóri 1.1.1. Adtok: ) Cseh László átlgsebessége b) Chd le Clos átlgsebessége Ezzel z átlgsebességgel Cseh László ideje ( ) ltt megtett távolság Így -re volt céltól. Jn Switkowski átlgsebessége Ezzel

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű lterntívát nem rr, kéményt bete brikettre. 85 tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen mgánk, mozsárkályhát T ó t h bból indulnék ki, nem elvétett gondolte fűtőmű megvlósítás, mert kb. 1 milliárd

Részletesebben

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK.

BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1 BIOKOMPATIBILIS ANYAGOK. 1Bevezetés. Biokomptbilis nygok különböző funkcionális testrészek pótlásár ill. plsztiki célokt szolgáló lkos, meghtározott méretű, nygok ill. eszközök, melyek trtósn vgy meghtározott

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK.

Budapesti Műszaki Főiskola Kandó Kálmán Villamosmérnöki Főiskolai Kar Automatika Intézet. Félévi követelmények és útmutató VILLAMOS GÉPEK. Budpeti Műzki Főikol Kndó Kálmán Villmomérnöki Főikoli Kr Automtik ntézet Félévi követelmények é útmuttó VLLAMOS GÉPEK tárgyból Villmomérnök zk, Villmoenergetik zkirány, Távokttái tgozt 5. félév Özeállított:

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet.

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet. 19 finnszírozz más városnk, tehát ezt máshonnn finnszírozni lehet. Amennyiben z mortizációs költség szükségessé váló krbntrtási munkár elég, s melynek forrás csk ez, bbn z esetben z önkormányzt fizeti

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

IDEIGLENES PÉLDATÁR. A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz. Szabados Ágnes

IDEIGLENES PÉLDATÁR. A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz. Szabados Ágnes IDEIGLENES PÉLDATÁR vegyészhallgatók számára A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz kézirat gyanánt Összeállította: Surján Péter Szabados Ágnes Lázár Armand ELTE TTK Elméleti Kémia Tanszék ELŐSZÓ Ez a példatár

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb

Részletesebben

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER

FÁCÁNKERT HELYI ÉRTÉKVÉDELMI KATASZTER FÁCÁNKERT HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER PÉCSÉPTERV STÚDIÓ VÁROSRENDEZÉS ÉPÍTÉSZET BESŐ ÉPÍTÉSZET SZAKTANÁCSADÁS TERVEZÉS EBONYOÍTÁS F Á C Á N K E R T TEEPÜÉSRENDEZÉSI TERVE HEYI ÉRTÉKVÉDEMI KATASZTER Készítette

Részletesebben

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk

Az aperturaantennák és méréstechnikájuk Az aperturaantennák és méréstechnikájuk (tanulmány) Szerzők: Nagy Lajos Lénárt Ferenc Bajusz Sándor Pető Tamás Az aperturaantennák és méréstechnikájuk A vezetékmentes hírközlés, távközlés és távmérés egyik

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

"ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30.

ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30. -8 4 - (...) "ALAPÍTÓ OKIRAT... (Változtlnul 12. pontig) 12.) Az intézmény vezetőiét pályázt útján Várplot város Önkormányztánk Képviselő-testülete htározott időre nevezi k i. Az áltlános iskolábn két

Részletesebben

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar 2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor

Részletesebben

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr.

ÖSZVÉRSZERKEZETEK. Tartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés a BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszéken. Dr. Dr. Kovás Nuik ÖSZVÉRSZERKEZETEK BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnséken Dr. Kovás Nuik egyetemi doens BE, Hidk és Serkeetek Tnsék BE Silárdságtni és Trtóserkeeti Tnsék 01. Trtlom Dr. Kovás Nuik 1. Beveetés...

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták

A Szolgáltatás minőségével kapcsolatos viták I. A Szolgálttó neve, címe DITEL 2000 Kereskedelmi és Szolgálttó Korlátolt Felelősségű Társság 1051. Budpest, Nádor u 26. Adószám:11905648-2- 41cégjegyzékszám: 01-09-682492 Ügyfélszolgált: Cím: 1163 Budpest,

Részletesebben

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről

Egyházashollós Önkormányzata Képviselőtestületének 9/ 2004. (IX.17) ÖR számú rendelete a helyi hulladékgazdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányzt Képviselőtestületének 9/ 24. (IX.7) ÖR számú rendelete helyi hulldékgzdálkodási tervről Egyházshollós Önkormányztánk Képviselőtestülete z önkormányzti törvény (99. évi LXV. tv.)

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei Lkások elektro ánk mértéke ezek csökkenti lehetőségei Írt: Vizi Gergely Norbert, Dr. Szász ndrás múlt százdbn tudósok rájöttek, vezetékek elektro hullámokt bocsátnk ki, miket távkommunikációr lehet hsználni,

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK. Számítógép-vezérelte hímzőgép. Használati utasítás

ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK. Számítógép-vezérelte hímzőgép. Használati utasítás ELŐKÉSZÜLETEK HÍMZÉS FÜGGELÉK Számítógép-vezérelte hímzőgép Hsználti utsítás FONTOS BIZTONSÁGI ELŐÍRÁSOK A gép hsznált előtt, kérjük, olvss el iztonsági előírásokt. VESZÉLY - Ármütés elkerülése érdekéen:

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

1-2.GYAKORLAT. Az ideális keresztmetszet (I. feszültségi állapot)

1-2.GYAKORLAT. Az ideális keresztmetszet (I. feszültségi állapot) Bevezetés: 1-2.GYAKORLAT Az ideális keresztmetszet (I. feszültségi állpot) - vsbeton két egymástól eltérő tuljdonságú nyg, beton és z cél, egyesítése - két nyg együttes felhsználás úgy történik, hogy zok

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

TMDK-DOLGOZAT. Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével

TMDK-DOLGOZAT. Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével TMDK-DOLGOZAT Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével Írta: M.Sc. szakos villamosmérnök hallgató Konzulens: Friedl Gergely doktorandusz hallgató,

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Csordásné Marton Melinda. Fizikai példatár 2. FIZ2 modul. Fizika feladatgyűjtemény Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Fizika I, Villamosságtan Vizsga 2005-2006-1fé, 2006. jan. 12. Név:. EHA Kód:

Fizika I, Villamosságtan Vizsga 2005-2006-1fé, 2006. jan. 12. Név:. EHA Kód: E-1 oldal Név:. EHA Kód: 1. Írja fel a tölté-megmaradái (folytonoági) egyenletet. (5 %)... 2. Határozza meg a Q = 6 µc nagyágú pontzerű töltétől r = 15 cm távolágban az E elektromo térerőég értékét, (

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! 5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Elektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0)

Elektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) Elektromágneses terek 2011/12/1 félév Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) 1 1 Bevezetés... 11 2 Vázlat... 11 3 Matematikai eszköztár... 11 3.1 Vektoranalízis... 11 3.2 Jelenségek színtere... 11 3.3 Mezők...

Részletesebben

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER

MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER MAGICAR 441 E TÍPUSÚ AUTÓRIASZTÓ-RENDSZER 1. TULAJDONSÁGOK, FŐ FUNKCIÓK 1. A risztóberendezéshez 2 db ugrókódos (progrmozhtó) távirányító trtozik. 2. Fontos funkciój z utomtikus inditásgátlás, mely egy

Részletesebben

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC

AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC Subsemntul dr. András Szilárd, conferențir l Fcultte de Mtemtică și Informtică Universității Bbeș-Bolyi, vizez lucrre Aplicre metodelor vedice în predre mtemticii l clsele

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra

1. példa. 2. példa. értelemszerően. F 2.32. ábra . péld Htározzu meg z.. árán láthtó tégllp lú eresztmetszet és y tengelyre számított másodrendő nyomtéit! d dy (.) épler szerint y dy y d y 0 0 értelemszerően y. péld Steiner-tétel (.. éplet) llmzásávl

Részletesebben

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS

MARADÉKANOMÁLIA-SZÁMÍTÁS MARADÉKANOMÁLIASZÁMÍTÁS **'* Kivont STEINER FERENC" okl középiskoli tnárnk Nehézipri Műszki Egyetem Bánymérnöki Krához benyújtott és elfogdott doktori értekezéséből Az értekezés bírálói: Dr csókás János

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

FővárosiFóügyészség NF. 19043/2008/5-I. HATAROZAT bűntetteésmás bűncselekmények szbdságmegsértésónek Az egyesülésiés gyülekezési mitt BRFK Btinügyi Főosztály II. Gyermek- és IfjúságvédelmiosztáIyán 136.

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai

Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat

Részletesebben

Javaslom és kérem, hogy a következő alkalomra Várpalota

Javaslom és kérem, hogy a következő alkalomra Várpalota S o m o g y i J. Lászlóné: A Városi Televízióbn kétszer dtm nyiltkoztot, mikor módosult rendelet. 300 fő z, kinek nem is kellett kérelmet bedni, csk nyiltkoztot kitöltenie. Polgármester Űr láírásávl tájékozttó

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Bevezetés. Mi a koleszterin?

Bevezetés. Mi a koleszterin? Bevezet betegklub feldt tgji számár betegségükkel kpcsoltos szkszerű információkt megdni. Ebben füzetben koleszterin htásiról cukorbetegségről gyűjtöttünk össze hsznos információkt. Mi koleszterin? koleszterin

Részletesebben

A Szent István királyról nevezett erdélyi Ferences Rendtartomány értesítője Brassó, 2008. Március

A Szent István királyról nevezett erdélyi Ferences Rendtartomány értesítője Brassó, 2008. Március A Szent István királyról nevezett erdélyi Ferences Rendtrtomány értesítője Brssó, 2008. Március Mert megölhették hitvány zsoldosok, és megszűnhetett dobogni szíve - Hrmdnpr legyőzte hlált. Et resurrexit

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Használati utasítás. Használat előtt olvassa el. Olvassa el, ha további információkra van szüksége. Számítógép-vezérelte varrógép ELŐKÉSZÜLETEK

Használati utasítás. Használat előtt olvassa el. Olvassa el, ha további információkra van szüksége. Számítógép-vezérelte varrógép ELŐKÉSZÜLETEK Hsználti utsítás Számítógép-vezérelte vrrógép ELŐKÉSZÜLETEK Hsznált előtt olvss el. A VARRÁS ALAPJAI RÖGZÍTŐ ÖLTÉSEK Olvss el, h továi informáiókr vn szüksége. FÜGGELÉK Fontos iztonsági előírások A gép

Részletesebben

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336

Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Villamos kapcsolókészülékek BMEVIVEA336 Szigetelések feladatai, igénybevételei A villamos szigetelés feladata: Az üzemszerűen vagy időszakosan különböző potenciálon lévő vezető részek (fém alkatrészek

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása

A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3. FEJEZET A szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása 3.1. Az alapkísérletek célja Hétköznapi megfigyelés, hogy ugyanazon szilárd test alakváltozásainak mértéke függ a testet

Részletesebben