II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása"

Átírás

1 Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek eseté kiküszöbölés módszerével meghtározhtjuk megoldást Ez zt jeleti, hogy redszer vlmelyik egyeletéből kifejezzük z egyik ismeretlet és visszhelyettesítjük többi egyeletbe Így oly redszerhez jutuk, mely egy ismeretleel kevesebbet trtlmz, és mely egyel kevesebb egyeletből áll Ez megoldási módszer tetszőleges lieáris redszer eseté hszálhtó és mivel z eljárás egyszerű, köyű lgoritmus formájáb meghtározi Vizsgáljuk meg éháy ilye lieáris redszert Lássuk előbb két ismeretlet trtlmzó és két egyeletből álló redszereket Feldt Tárgyljuk z és b vlós prméterek függvéyébe z x + y b x y egyeletredszert Megoldás A második egyeletből kifejezzük y -t és visszhelyettesítjük z első egyeletbe (vgy szorozzuk második egyelet midkét oldlát -vel és összedjuk z egyeleteket) Így ( + ) x b + egyelethez jutuk H + 0, kkor b + b x és ez lpjá y x + + H + 0, kkor b + 0 eseté elletmodáshoz jutuk H viszot és b, kkor meg kell vizsgáluk, hogy z y ( + ) b egyelőség em vezet-e elletmodáshoz Mivel ( ) 0, ez is teljesül, tehát megoldások lkj x t y t, t Feldt Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y b lieáris x + y b egyeletredszert Megoldás H z,,, számok midegyike 0, kkor b b eseté 0 megoldáshlmz z, míg ( b, b ) (0,0) eseté üres hlmz H z,,, számok között v 0-tól külöböző, kkor feltételezhetjük, hogy 0 (Ellekező esetbe felcseréljük z egyeleteket és/vgy változókt) b y Így x, tehát második egyelet lpjá ( ) y b b

2 6 Lieáris egyeletredszerek megoldás Tehát tárgylás következő: H 0, kkor tetszőleges b, b eseté megoldások b b b b x és y H, kkor b b b b 0 eseté megoldások 0 b α x prmetrikus lkj, α y α míg b b 0 eseté redszerek ics megoldás Láthtó, hogy z kifejezések (és hozzá hsoló b b illetve b b kifejezésekek) kulcsfotosságú szerepe v redszer megoldási- k előállításáb A redszer mátrixok segítségével következő lkb írhtó: x b y b A kifejezésmód egyszerűsítéséek céljából következő értelmezéseket djuk: Értelmezés ) A (*) redszer mátrixák evezzük z A mátrixot b) Az A mátrix determiásák evezzük z külöbséget és deta -vl jelöljük Ezt gykr de ta lkb írjuk A feldt eredméyei lpjá következő tételt jelethetjük ki: Tétel H (*) redszer mátrixák determiás em ull, kkor redszerek létezik egyértelmű megoldás b, b eseté, és megoldás b b b b x y ( számlálób szereplő determiásokt úgy kpjuk, hogy z x illetve y együtthtóik helyére szbdtgokt helyettesítjük) H 0, kkor következő két eset lehetséges: b b ) h 0 vgy 0 kkor redszerek ics megoldás b b (összeférhetetle) b b b) h 0, kkor redszerek végtele sok megoldás v b b

3 Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 Megjegyzés Láthtó, hogy megoldás sorá z x b y b egyelőségből x b deta deta z y b egyelőséghez jutuk deta deta Gykorlt Számítsuk ki z A B és B A szorztokt, h A és B deta Megoldás + det 0 0 A A B deta + deta 0 deta 0 det 0 0 A B A det A + + deta 0 deta 0 Ez tuljdoság zt muttj, hogy z A mátrixhoz trtozó lieáris leképezés bijektív és iverzéek mátrix B Az egyszerűség kedvéért B mátrixot z A iverzéek evezzük Értelmezés H A det det és, kkor z deta 0 A A mátrixot deta deta A -el jelöljük és z A iverzéek evezzük A mátrixokkl végzett tuljdoságok lpjá redszer megoldás következő lkb írhtó: A A v b A ( A v) A b x b ( A A) v A b, hol A, v y, b I v A b b v A b Az iverz mátrix oszlopi z x + y és x + y 0 x + y 0 x y + redszerek megoldásikét is felfoghtók A lieáris leképezések struktúráják x x vizsgáltához hsoló h y és y z előbbi redszerek megoldási, kkor z x + y b x x x y b redszer megoldás b b x + y b y + y x y b

4 8 Lieáris egyeletredszerek megoldás Vizsgáljuk meg, hogy -s ( ismeretlet és egyeletet trtlmzó) redszerek eseté létezek-e hsoló eredméyek Feldt Oldjuk meg következő egyeletredszert: x + y + z x + y z 5 x y z Megoldás Az első egyeletből kifejezzük x -et és behelyettesítjük második és hrmdik egyeletbe Így z x + y + z y 5z 7 egyeletredszerhez jutuk Az 5y 9z 5 utolsó két egyelet már csk y -t és z -t trtlmz, tehát megoldhtó két ismeretlees redszerkét A második egyelet lpjá y 5z 7, tehát redszer x + y + z y 5z 7 lkb is írhtó 4z 70 Az utolsó egyeletből z 5, ez lpjá második egyeletből y és végül z első egyeletből x Természetese z ismeretlet más sorredbe is kiküszöbölhetjük H első lépésbe második egyeletből fejezzük ki z -t, kkor következő lkb írhtjuk redszert: z x y 5 5x + 7y x y 7y A második egyeletből x, tehát redszer z x y 5 5x + 7y lkb is írhtó 5 4y 68 Világos, hogy legfeljebb külöböző módo juthtuk el megoldáshoz (z első lépésbe 9 lehetőség v szerit, hogy melyik változót fejezzük ki és melyik egyeletből, míg második lépésél 4 lehetőség) Érdekes módo z előbbi két megoldásb z utolsó sorb z ismeretle együtthtój 4 volt Vjo ez egy áltláos jeleség, vgy tekithető véletle egybeesések is? Vizsgáljuk meg áltláos problémát Feldt Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y + z b x + y + z b x + y + z b egyeletredszert, h, b, ij,, ij i

5 Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Megoldás H 0 i, j,, kkor ( b, b, b ) ( 0, 0, 0) eseté megoldás z ij míg ellekező esetbe üres hlmz H létezik 0-tól külöböző, i, j,, ij kkor redszer átredezhető egyeletek és ismeretleek cseréjével úgy, hogy z első egyeletbe z x együtthtój 0-tól külöböző legye Tehát feltételezhetjük, hogy 0 Fejezzük ki x -et z első egyeletből és helyettesítsük többi egyeletbe b y z x Így z b x + y + z b b y + z b b y + z redszerhez jutuk Láthtó, hogy z -gyel vló osztást elhgyhtjuk Így redszer x + y + z b ( ) y + ( ) z b b ( ) y + ( ) z b b lkú H itt kiküszöböljük y -t, kkor z együtthtój ( )( ) ( )( [ + + ] Megjegyzés Ez lpjá láthtó, hogy em véletle z, mit tpsztltuk (midkét lklomml -4 jelet meg), viszot z is hozzájárult, hogy z első lépésbe kifejezett ismeretle együtthtój ( ) volt midkét lklomml Jelöljük -vl szögletes zárójelbe megjeleő kifejezést + + A műveletek elvégzése és -el vló egyszerűsítés utá z x (*) egyelőséghez jutuk, hol b + b + b b b b Értelmezés A + + kifejezést z A mátrix determiásák evezzük és de -vl ta jelöljük Gykr írjuk )

6 40 Lieáris egyeletredszerek megoldás deta lkb is Világos, hogy ezeket z eredméyeket ebbe formáb elég ehéz megjegyezi, ezért következő memorizálási techikákt említjük meg: Srrus szbály Írjuk z A mátrix lá z első és második sort A főátlóvl párhuzmos átlók meté z elemek szorzti dják determiás első három tgját ( pozitív előjelűeket), míg mellékátló illeszkedő elemek szorzti dják z utolsó három tgot Így determiás főátlós szorztok összegéek és mellékátlós szorztok összegéek külöbsége Háromszögszbály A mellékelt ábrák muttják pozitív, illetve egtív előjelű szorztokt b A (*) összefüggésbe b, tehát h 0, kkor x b Hsoló igzolhtó, hogy y és z, hol b b és b b b b Tehát -es redszerekhez hsoló itt is megfoglmzhtjuk következő tételt x + y + z b Tétel Az x + y + z b redszerre érvéyesek következő állítások: x + y + z b H redszer mátrixák determiás em ull, kkor redszerek egyértelmű megoldás v és ezt z x, y és z képletek szolgálttják, hol redszer mátrixák determiás,, és pedig úgy kphtó meg ebből determiásból, hogy z x, y illetve z együtthtóit helyettesítjük szbdtgokkl (ezt és eek z áltláos esetét evezzük Crmer

7 Lieáris egyeletredszerek megoldás 4 szbályk és zokt redszereket, melyekre ez lklmzh tó Crmer redszerekek evezzük) H 0,, ( 0,0,0) eseté redszerek ics megoldás (, kkor ( ) redszer elletmodásos, összeférhetetle) H 0, kkor redszerek végtele sok megoldás v -es és -s determiások tuljdosági Mielőtt redszerek további tuljdoságik vizsgáltáb fogák, vizsgáljuk meg -s determiások éháy tuljdoságát eld t: Vizsgáljuk meg, hogy változik z A M ( ) mátrix determiás, h F ) felcserélük két sort (vgy oszlopot); b) beszorzuk egy sort (vgy oszlopot) egy számml; c) felcseréljük sorokt z oszlopokkl; d) mátrix mide elemét kojugáltjávl helyettesítjük Megoldás Tekitjük z A mátrixot ) Azáltl, hogy felcserélük két sort, vgy oszlopot, redszer em változik meg Elvárák, hogy z A determiás se változzo meg, vgy leglábbis e gyo változzo H A, kkor deta + + deta H A, kkor deta + + deta A második és hrmdik oszlop (vgy sor) felcserélése következőképpe végrehjthtó: kicseréljük z első oszlopot (sort) másodikkl kicseréljük z első oszlopot (sort) hrmdikkl kicseréljük z első oszlopot (sort) másodikkl A A

8 4 Lieáris egyeletredszerek megoldás Mivel mide lépésbe megváltozik determiás előjele ezért deta deta Tehát két sor (vgy oszlop) felcserélésével determiásk csk z előjele változik meg Következméy H egy determiás két sor (vgy oszlop) zoos, kkor determiás értéke 0 Bizoyítás A két sort (vgy oszlopot) felcserélve megváltozik determiás előjele Ugykkor, mivel két sor zoos, ugyzt determiást kpjuk Ez csk kkor lehetséges, h determiás 0 b) A determiás értelmezésébe szereplő szorztok téyezői úgy helyezkedek el, hogy mide sorból és mide oszlopból potos egy elem kerüljö szorztb Így, h egy sor (vgy oszlop) mide elemét szorozzuk α -vl, kkor determiás is szorzódik α -vl Következméy H egy determiás két sor (vgy oszlop) ráyos, kkor determiás 0 Bizoyítás Jelöljük A -vl mátrixot, melyek két sor ráyos α, j, egyelőségek lpjá α deta deta 0, hol -et z Az ij ij A -ból úgy kpjuk, hogy z i -edik sort szorozzuk α -vl (H α 0, kkor A -k v egy csup ullából álló sor, míg ellekező esetbe A -ek v két zoos sor) c) A háromszögszbályb szereplő két ábr szimmetrikus főátlór ézve, ezért h z elemeket főátlór ézve tükrözzük, kkor determiás értéke e m változik, zz egy mátrix determiás egyelő trszpoáltják determiásávl: t deta deta d) Mivel z z z z és z + z z + z z, z deta deta, Feldt Fejezzük ki -s determiást -es determiások segítségével Megoldás Csoportosítjuk tgokt z első oszlop elemei szerit: deta + +, írhtjuk, hogy ( ) ( ) + ( ) + Hsoló előállításokhoz jutuk, h második, hrmdik oszlop vgy vlmelyik sor elemei szerit csoportosítjuk tgokt Láthtó, hogy z elem szorzótéyezőjét úgy kpjuk, hogy z A determiásából elhgyjuk z i -edik sort és j -edik oszlopot és szorozzuk ( ) i+ j -el ij A

9 Lieáris egyeletredszerek megoldás 4 Értelmezés Az i -edik sor és j -edik oszlop elhgyásávl kpott determiást z -hez trtozó ldetermiásk evezzük és d -vel jelöljük A ( ) i j d kifejezést ij ij ij z ij elem lgebri komplemetumák evezzük és D -vel jelöljük Ezekkel jelölésekkel z előbbi feldt eredméye következőképpe foglmzhtó meg: Tétel H A M ( ), kkor deta D D i, j {,, } ij ij ij ij i j Következméyek H két -s m átrixk csk egy sor (vgy oszlop) külöbözik, kkor determiásik összege egyelő k mátrixk determiásávl, melyet úgy kpuk, hogy megegyező elemeket leírjuk és külöböző sorok megfelelő elemeit összedjuk Péld x x x + x y + y y + y z z z + z Bizoyítás Az első (áltláb külöböző sor vgy oszlop) oszlop szerit kifejtjük midhárom determiást H egy determiás vlmely sorához (vgy oszlopához) hozzádjuk egy másik sor (oszlop) α -szorosát, kkor determiás értéke em változik meg Bizoyítás Feltételezhetjük, hogy z első két oszlopról (sorról) v szó, hisz oszlopok (sorok) cseréjével csk z előjelek változk meg) α + α + α + α α + α Az előbbi feldt b) lpotják következméye lpjá bl oldl második determiás 0 Mátrixok iverze H D ij ik összeget vizsgálák meg k j i sze D úgy is felfoghtó, mit egy A mátrix i -edik sorák és j -edik oszlopák ik jk z lgebri komplemetum, hol z A m átrixot úgy kpjuk A -ból, hogy k -dik oszlop helyére is j -edik oszlopot írjuk Így jk ij eseté, kkor ullához juták, hi- ij i zoos oszlop) Például z D + D + D deta 0, mert D deta 0 (mert v két ik jk +

10 44 Lieáris egyeletredszerek megoldás A Ezeket z egyelőségeket egy egyelőség formájáb is felírhtjuk, h * megszerkesztjük z A mátrixot következő módo: felírjuk A trszpoáltját trszpoált mide elemét helyettesítjük z lgebri komplemetumávl * Következméy H A M ( ) és A D ji, kkor ij,, * * A A A A ( deta) I D D D * * Bizoyítás H A D D D, kkor A A D D D D D D D + D + D D D D + + ( deta) I * Az A mátrixot z A djugáltják evezzük Az előbbi tuljdoság lpjá * deta 0 eseté megszerkeszthetjük z A mátrix iverzét, hisz B A deta mátrixr teljesül z, hogy A B B A I (Ez zt is jeleti, hogy ebbe z esetbe z A -hoz trtozó f : lieáris leképezés bijektív és iverze B -hez trtozó leképezés) Akárcs k -es mátrixok esetébe z A mátrix itt is értelmezhető z A A A A I egyelőséggel A foglmk rögzítéséek céljából következő áltláos értelmezést fogdjuk el Értelmezés A B M ( ) mátrixot z A M ( ) mátrix iverzéek evezzük, h teljesülek z A B B A I egyelőségek Ebbe z esetbe B mátrixot A -el szokás jelöli Felmerülhet kérdés, hogy létezhet-e egy mátr ixk több iverze A szorzás tuljdosági lpjá beláthtjuk, hogy ez em lehetséges (A szorzás értelmezéséből z is következik, hogy h B z A iverze, kkor B -hez trtozó lieáris leképezés z A -hoz trtozó lieáris leképezés iverze Mivel z iverz függvéy egyértelműe meghtározott és lieáris leképezés mátrix is egyértelműe jellemzi zt egy dott bázisb, világos, hogy A is egyértelműe meghtározott, h létezik)

11 Lieáris egyeletredszerek megoldás 45 H B és C z A iverzei leéek, kkor B B I B ( A C) ( B A) C I C C, A tehá t egyértelműe meghtározott Az előbbiek lpjá h létezik A, kkor z A -hoz redelt lieáris leképezések létezik iverze, tehát z f : f( x) A x függvéy bijektív Így z A x y egyeletek mide y eseté v egyértelmű megoldás Láttuk, hogy ez csk kkor fordul el ő, h deta 0 és ebbe z esetbe meg is tudjuk szerkesztei z A iverzét Érvéyes tehát következő tétel Tétel Az A M ( ) mátrixk potos kkor létezik iverze, h deta 0 és ebbe z esetbe A * * A, hol z A mátr deta ixot úgy kpjuk, hogy z A trszpoáltják mide elemét helyettesítjük k lgebri komplemetumávl 4 ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek és determiások -es Az eddigi tuljdoságok lpjá értelmezi tudjuk -es mátrix eseté is determiást és -es lieáris egyeletredszerekre is dhtuk megoldási módszereket Értelmezés H A M ( ), kkor z A mátrix determiásák evezzük j D kifejezést, hol D j j j z elem lgebri komplemetum ( ( ) + j D d, hol d z -hez trtozó ldetermiás) Tehát j j j j j d j j Megjegyzés Mivel D egy ( ) ( ) -es determiás és -es illetve -s determiást értelmeztük, z értelmezés helyes ( mtemtiki idukció elve lpjá) Feldt Bizoyítsuk be, hogy determiás mide sor vgy oszlop szerit kifejthető, zz det A D D i, j, ij ij j i Bizoyítás és eseté már bebizoyítottuk tuljdoságot Így mtemtiki idukció elve lpjá elégséges igzoli, hogy h teljesül z állítás mide legfeljebb ( ) ( ) -es mátrix determiásár, kkor teljesül mide -es mátrix determ iásár is Legye M ( ) egy tetszőleges mátrix Az értelmezés lpjá j ij D j ij A + + j + j i+ k deta D ( ) d ( ) ( ) d j j j j j ik ik j j j k k j

12 46 Lieáris egyeletredszerek megoldás ( ) + j i+ k ( ) ( ) + j i+ k d ( ) d j k k j j ik ik j ik ik k j j k i k + + j ( ) ( ) ik k j j k j d ik De d egy ( ) ( ) -es determiás és úgy is felfoghtó, mit z eredeti ik determiásból z i -edik sor és k -dik oszlop elhgyásávl yert determiásb z -hez trtozó ldetermiás Tehát j j j k + j ( ) d j ik ik hol d z -hoz trtozó ldetermiás z -es determiásb Így ik ik Az előbbi bizoyításához hsoló deta hogy det A D i i d, i k deta ( ) + d D ik ik ik ik k k deta ij ij i D egyelőségből kiidulv igzolhtjuk, tehát elégséges i i i i D egyelőséget itt is igzoli, Mtemtiki idukciót hszáluk, tehát feltételezhetjük, hogy ( ) ( ) -es determiások z első oszlopuk szerit is kifejthetők Az értelmezés lpjá deta ( ) + j D D + ij j j D k k j j k k j +j ( ) + j k+ D + ( ) D D + j k k k ( ) D j k k j k j j k j k D + D D k k k k k k mert D tekithető D -be z ldetermiásák k k j Következméy A -s determiások tuljdosági -es determiásokr is kiterjeszthetők, hisz midig kifejthetjük oly sor (vgy oszlop) szerit, melyet em változttuk, és így midig z eggyel kisebb redű determiások megfelelő tuljdoságár vezetődik vissz bizoyítdó tuljdoság Az előbbiek lpjá felsorolhtjuk z -es determiások éháy tuljdoságát:

13 Lieáris egyeletredszerek megoldás 47 Tétel H A M ( ), kkor érvéyesek z lábbi állítások: t t ) deta det A, hol A z A trszpoáltj b) H A két oszlopát (vgy sorát) kkor determiás előjele megváltozik c) H A egy soráb (vgy oszlopáb) α -vl szorozzuk z elemeket, kkor determiás is szorzódik α -vl d) H A -k v két zoos vgy ráyos oszlop vgy sor, kkor determiás 0 e) H A és B egy oszlopb (vgy sorb) külöbözik, kkor deta+ detb detc, ho l C mátrixot úgy kpjuk A -ból, hogy B -vel megegyező oszlopokt leírjuk és B -től külöböző oszlop elemeihez hozzádjuk B megfelelő elemeit f) H A egy oszlopához (sorához) hozzádjuk egy másik oszlop (sor) α -szorosát, kkor determiás em változik meg g) H A egy oszlop (sor) többi oszlop (sor) lieáris kombiációj, kkor determiás 0 h) i) det A D D i, j, i ij ij ij ij i j D 0, h k j ij ik * * * j) A A A A ( deta) I, hol A z A djugáltj, mit úgy kpuk, hogy A trszpoáltjáb mide elemet z lgebri komplemetumávl helyettesítük Ez lpjá z -es redszerek esetébe is megszerkeszthetjük A iverzét és kijelethetjük Crmer szbályt Egy -es redszer is A x b lkb írhtó, hol A M ( ), xb, Tehát, h deta 0, kkor létezik z * A A deta (erre teljesülek z A A A A I egyelőségek) mátrix és ezzel beszorozv (blról) z egyeletet, z x A b egyelőséghez jutuk De D D D D D D D D D A D D D D D D D D D bd D i ij ij i és így x, j b j i i D A számlálób szereplő összeg éppe determiás kifejtése, hol -t úgy j j

14 48 Lieáris egyeletredszerek megoldás kpjuk -ból, hogy j -edik oszlop helyére szbdtgokt helyettesítjük A x j j * H z A x b egyelőséget csk -gl szorozzuk, kkor összefüggésekhez jutuk ( j, ), tehát tárgylás is hsolóképpe végezhető el H ugy is 0, kkor megoldhtóság feltétele 0 j, és h ezek j, feltételek teljesülek, kkor végtele sok megoldás v z egyeletredszerek Ezt tétel formájáb is kijeletjük Tétel * ) H deta 0, kkor A A deta b) Az A x b, A M ( ), xb, egyeletredszer megoldási j deta 0 eseté x j, lkb írhtók, hol deta és -t úgy j j kpjuk -ból, hogy j -edik oszlop elemeit b, b,, b számokkl hely ettesítjük (Crmer szbály) c) H deta 0, és létezik oly j,, melyre 0, kkor redszer ikomptibilis (összeférhetetle), míg 0 j j, esetbe visszvezető- dik egy kisebb redszer tárgylásár Következméy H b b b 0, kkor 0 eseté redszerek csk ( 0, 0,, 0) megoldás v, míg 0 eseté végtele sok megoldás létezik Bizoyítás Ebbe z esetbe 0 j,, mert v egy idetikus 0 j oszlop Tehát h b b b 0, kkor Crmer szbály lpjá csk egy megoldás v és ez ( 0, 0,, 0) H 0 j,, kkor éháy egyelet j elhgyásávl elérhetjük, hogy bizoyos ismeretleekre ézve ( többiek prméterek) redszerek egyértelmű megoldás legye prméterek függvéyébe Ez zt jeleti, hogy z eredeti redszerek végtele sok megoldás v Megjegyzés Az ilye redszert evezzük homogé lieáris egyeletredszerek, (0, 0,0) megoldást pedig triviális vgy bális megoldásk 5 Megoldott gykorltok Számítsuk ki következő determiásokt cos α si α ) si α cos α ; b) ; c) 0 ; d) 4 4 ; e) ; j

15 Lieáris egyeletredszerek megoldás f) ; g) Megoldás ) cos α cos α si α ( si α) cos α+ si α b) ( 5 + 7)( 5 7) ( )( + ) ( 5 7) ( ) S + S S + c) 0 ( ) O O O + O O d) e) ( ) O + O O f) O + O O O + O O S + S S S + S S ( második és hrmdik oszlop ráyos) ( ) ( ) ( 4)

16 50 Lieáris egyeletredszerek megoldás 0 ( 4) 0 ( 4) ( 8) ( ) O + O O ( ) ( ) O + O O g) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S + S S S + S S 4 4 S + S S O + O O 8O + O O ( ) 8 4 ( ) 0 0 4O + O O ( ) ( ) ( 5 66) 5 ( 6) 05 0 O + O O O + O O Számítsuk ki következő determiásokt: b b b c ) b b ; b) b + c c + + b b b b + c c + + b Megoldás ) Vojuk ki z első oszlopot második és hrmdik oszlopból és emeljük ki ( b ) -t két utolsó oszlopból ( b ) ( b )( b + ) b + b ( b)( + b) b ( b) ( b ) b ( + b) b b b ( b ) ( b) Adjuk z első sorhoz z utolsó kettőt: b b

17 Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 ( b ) b ( + b) b + + b b b 0 0 b ( + b) b ( b ) ( + b + b) b ( b ) ( + b + b) b b ( b ) ( b b ) ( b ) megoldás Adjuk z utolsó két oszlopot z elsőhöz b b b b ( b b ) b ( b b ) 0 ( b) b( b) b b + + b + b bb ( ) ( b)( + b) ( b b )( b) ( )( ) ( ) ( b) Kivojuk z első oszlopot z utolsó kettőből b c b + c b c b + c ( + b) ( + c) 0 + b + b b + b + b b b + c b c ( b )( c ) b + c + b + c ( b )( c ) b + c 0 0 b + c ( + b) ( + c) ( b )( c )( + b + c) ( b )( + b + c c )( c b)( + b + c) Oldjuk meg következő lieáris redszereket ) Crmer szbály segítségével; b) kiküszöbölés módszerével; c) z iverz mátrix kiszámításák segítségével 6x + 5y 7 x + y + z + t x + y 4z 6 I ; II x + y z 0 ; III x y + z + t x + 7y 0 x + y + 5z + t x y + 4z 4 5x y + 7z + t ) I 4 65, és )

18 5 Lieáris egyeletredszerek megoldás Tehát x 0 6 y 7 II ; 4 4 és ; ; Tehát x, y 5 és z III ( ) ( 9) 7;

19 Lieáris egyeletredszerek megoldás ( 6) 54; ; ; ; Ezek lpjá x, y, z és t 4 b) I A második egyelőség 6 szorosából kivojuk z első szorosát Í gy y 6 egyelőséghez jutuk, tehát y 7 Ebből következik, hogy 7 5y x 6 II Az első és második egyeletet felcseréljük, mjd redre következő átlkításokt végezzük: x + y z 0 x + y z 0 x + y z 0 x + y 4z y z y z x y + 4z 4 y + z 4 z Így y z 5 és x y + z 5+

20 54 Lieáris egyeletredszerek megoldás III Az első egyeletből kifejezzük x -et és visszhelyettesítjük többi egyeletbe, mjd másodikból kifejezzük y -t és visszhelyettesítjük hrmdik és egyedik egyeletbe és így tovább A következő redszerekhez jutuk: x + y + z + t x + y + z + t 5y + z 5y + z y + z 5 9z 7 7y + z t z 5t 69 A hrmdik egyeletből z Így z utolsó egyeletből t 4 és második egyeletből y Az első egyelet lpjá 5 x y z t + 4 c) I A redszer mátrixos lkj 6 5 x 7 7 y Az A t mátrix trszpoáltj 7 A 5 7 és z djugáltj 7 5 * A 7 5, tehát 6 deta A 6 Így x oldás 7 69 meg y A II A redszer 4 x y 0 4 z 4 4 lkb írhtó Az A mátrix trszpoáltj és z djugáltj, 4 4 t * A és A 4 4 4

21 Lieáris egyeletredszerek megoldás 55 4 * Mivel deta írhtjuk, hogy A A 4 deta Tehát redszer megoldás x 4 y A z 4 4 III A redszer mátrix A t 6 0 * Így A és A De deta 7 és így megoldások x y z t Megoldott feldtok I Determiások és tuljdoságik Számítsuk ki következő mátrixok determiását: b c b ) A b ; b) A b c c b Megoldás ) deta + b b) deta cb + bc + cb c b bc b c

22 Lieáris egyeletredszerek megoldás 56 Bizoyítsuk be következő egyelőségeket determiások kiszámítás élkül: ) + b b + c c + + b b + c c + b b b + b b + c c + c c c (felvételi 985); b) Bizoyítás ) bc b c bc b c bc b c b c bc b c c b + b b + c c + b + c c + b b + c c + + b b + c c + b + c c + + b b + c c + + b b + c c + b + c c + b b + c c + b c + c c + b b c + b c c + b c + + c c + + b b c + + b c c + b c + c c + b b c + b c c + b c b c b c b c + b c b c, b c b c b c mert felbotásb megjeleő további determiások értéke ull és b c b c b c b c, b c b c mert z egyikből másikt két oszlopcserével kphtjuk meg b) Az első sort -vl, másodikt b -vel és hrmdikt c -vel szorozzuk (b c 0 eseté): bc b c bc b c () bc b c bc b bc b c c bc b c bc bc Az első oszlopból kiemelük -t, másodikból b -t és hrmdikból c -t!

23 Lieáris egyeletredszerek megoldás 57 bc b c bc bc bc bc b bc b c b c b c bc bc c c b Az () és () lpjá következik kért egyelőség Számítsuk ki x x x () x x x determiást, h, és x z x x x x x x x + 5x + 0 egyelet gyökei (felvételi 987) Megoldás A Srrus szbály lpjá determiás xxx+ xxx+ xxx x x x xxx ( x+ x+ x) ( x + x + x 4 ) x + x + x xxx Így De Viéte-féle összefüggések lpjá, és xx xx xx x + x + x ( x + x + x) ( xx + xx + xx) 5 9, x + x + x ( x + x + x) ( xx + xx + xx ) ( 9) (( xx + xx + xx ) xxx ( x + x + x) ) Tehát ( ) 5 8 ( 5 ( ) ) Számítsuk ki x x x determiást! Írjuk fel z eredméyt szorzt x x x formájáb! Megoldás A Srrus szbály lpjá köyű kifejtei determiást, de em biztos, hogy észrevesszük felbotást Előyösebb ilyekor eleve rr törekedi, hogy kiemeljük vlmilye téyezőt E célból kivojuk z első oszlopot második és hrmdik oszlopból Így determiás értéke em változik, tehát x x x x x ( x x ) x x x x x x x x x x + x x x ( x x )( x x ) x 0 0 x x + x x + x

24 Lieáris egyeletredszerek megoldás 58 + ( x x )( x x ) ( ) ( x x )( x x )( x x ) x + x x + x Tehát x x x ( x x )( x x )( x x ) 5 Oldjuk meg z x x x x x x 0 egyeletet Megoldás Adjuk redre második, hrmdik és egyedik oszlopot z első oszlophoz mjd emeljük ki z első oszlopból ( x + 6) -ot és hozzuk be z első oszlopb miél több 0-t x x + 6 x x + 6 x x ( x + 6) x x + 6 x x x x + 6 x x 0 x 0 0 ( x + 6) 0 0 x 0 x x Az utolsó lépésbe mide sorból kivotuk z első sort x x 0 0 ( ) + 0 x x x x x 0 + ( x ) ( ) ( x ), 0 x tehát z egyelet ( x + 6) ( x ) 0 lkb írhtó Így gyökök x,, és x 4 6

25 Lieáris egyeletredszerek megoldás 59 6 Oldjuk meg z x b c x b c x b c 0 egyeletet, h,, bc párokét külöböző számok Megoldás Az első oszlop szerit kifejtve egy hrmdfokú poliom bloldl De x, x b és x c gyökei z egyeletek, mert ezekre z értékekre determiásk v két zoos oszlop és így 0 Egy hrmdfokú egyeletek viszot három komplex gyöke v, tehát feldtot megoldottuk Megjegyzés Az eredméy lpjá x b c ( )( )( ) Ebc (,,) x x b x c, x b c x b c hol E(,,) bc em függ x -től 0 b c b c De x 0 -r ( 0) b c 0 b c bc b c 0 b c b c b c Így bc( b )( c )( c b) E(,, b c) ( b )( c )( c b), tehát x b c x b c x b c ( x)( b x)( c x)( b )( c )( c b) Ezt z ötletet lklmzhtjuk hsoló -es determiások kiszámításár A V ( x, x,, x ) x x x x x x x x x x x x determiást Vdermode determiásk evezzük és igzolhtó, hogy

26 Lieáris egyeletredszerek megoldás 60 (,,, ) ( j i) V x x x x x i< j t 7 Bizoyítsuk be, hogy h pártl, A M ( ) és A+ A 0, kkor deta 0 t Bizoyítás deta deta det( ) A ( ) deta deta, tehát deta 0 (A ( ) A mátrixot úgy is felfoghtjuk, mith mid z oszlopát szoroztuk vol ( ) -el és ezért det( ) A ( ) deta) Megjegyzés Az ilye mátrixokt tiszimmetrikusk evezzük 8 Számítsuk ki determiást! Megoldás + +, ( + )( + ) 4+ ( + ) ( ( )) ( ) ( ) A kiszámításár hszált ötlet lpjá rekurziót tuduk bevezeti ( ) sorozt tgjir

27 Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 Így ( ) ( + ) + ( ) + 9 Bizoyítsuk be, hogy h egy -es mátrix mide eleme vgy, kkor determiás oszthtó -el Megoldás Az első sort hozzádjuk z összes többi sorhoz Így z első sor kivételével mide sorb -, 0 vgy áll Az előjeles determiás mide sorból és mide oszlopból potos egy téyezőt trtlmzó előjeles szorztok összege Így z előbbi determiás kifejtéséek mide tgj oszthtó -el (mert ( ) sorból illetve oszlopból, 0 vgy - kerül szorztb), tehát determiás is oszthtó Ugyerre z eredméyre jutuk kkor is, h kifejtjük z első sor szerit és mide ldetermiás mide sorából kiemelük -t 0 Bizoyítsuk be, hogy h egy -ed redű determiás + eleme egyelő, kkor determiás 0 Bizoyítás A feltétel lpjá legfeljebb ( ) elem külöbözik z + egyelő elemtől Így leglább két sorb ezek közül egy sics, tehát létezik két zoos sor Tehát determiás 0 * Megjegyzés Beláthtó, hogy mide eseté létezik oly -ed redű 0-tól külöböző determiás, melyek + eleme egyelő Ilye például 0 0 determiás 0 + k k

28 Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 II Egyeletredszerek megoldás és tárgylás Milye, b vlós értékekre összeférhetetle z lábbi egyeletredszer? x + y z x + y + z ( ) x + y + z b Megoldás H redszer összeférhetetle, kkor mátrixák determiás 0 A 0 egyelőség redre következőképpe lkíthtó: + ( ) 8+ ( ) 6 0és Tehát 0 csk eseté teljesül Ebbe z esetbe redszer következő lkb írhtó: x + y z x + y + z 5x + y + z b Láthtó, hogy 5x + y + z ( x + y z) + ( x + y + z), tehát b eseté redszer htároztl vol Így z összeférhetetleség feltétele és b Az m prméter milye értékeire v z x + y + z x y + z mx + m y + z egyeletredszerek egyértelmű megoldás? (Felvételi 997) Megoldás Egyértelmű megoldás potos kkor létezik, h 0, hol m m De m + 0m 9 és z m 0m egyelet gyökei m és m 9, tehát m \{,9 } eseté v redszerek egyértelmű megoldás Oldjuk meg z 4 x y + z 4 x by + b z b 4 x cy + c z c

29 Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 egyeletredszert, h b c megoldás A redszer mátrixák determiás b b ( b )( c )( c b) (Vdermode) c Tehát ki kell számíti 4 4 b b b bc b b 4 c c c c c c , b b b b és 4 b b determiásokt c c 4 c c c c 4 4 b + b + ( )( ) bc 0 b b bc b c c + c + 0 c c bc( b )( c )( c b)( + b + c), ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) b c c b b c c b + b b + c c +, 4 b + b + b ( )( ) 0 b b b c c + c + c c c ( b )( c ) c b + ( c b ) + ( c b) ( b )( c )( c b) c + cb + b + c + b + Így x bc( + b + c ), y ( + b )( + c )( c + b) és z + b + c + b + c + bc 4 megoldás Tekitjük P() t t tz+ ty x poliomot A feltételek lpjá P -ek gyöke z, b és c Tehát Pt () ( t )( t b)( t c) Qt ()(*) Mivel grp 4, Q fokszám és domiás tgják együtthtój Így Qt () t+ s lkú De ( t ) ( t b)( t c)( t + s) szorztb t együtthtój

30 Lieáris egyeletredszerek megoldás 64 s b c, tehát (*) egyelőség cskis kkor teljesülhet, h s + b + c Ebbe z esetbe Viéte összefüggések (vgy szorzás elvégzése utá z együtthtók zoosítás) lpjá kpjuk, hogy z ( + b + c) b c bc + b + c + b + c + bc, y ( + b + c)( b + c + bc) + bc ( + b)( + c) ( b +c) és x bc( + b + c) 4 Számítsuk ki z A M ( ) A mátrix iverzét, h x b x b Megoldás Felírjuk z A x b egyeletredszert, hol x és b Ez x b x + x + x + + x b x x + x + + x b x + x + x + x b lkú, tehát z S x + x + + x jelöléssel z egyeletek S x i bi lkb írhtók Így xi ( S bi) i,, tehát S b S x i ( S bi) i i i i Ebből z összefüggésből S b b i j, tehát xj b i i i b + b + + bj + bj + bj+ + +b Ez lpjá z iverz mátrix A

31 Lieáris egyeletredszerek megoldás 65 5 Oldjuk meg z x + by + cz + dt 0 bx y + dz ct 0 cx dy z + bt 0 dx + cy bz t 0 egyeletredszert, h,,, bcd em mid ull Megoldás Az első egyeletet szorozzuk -vl, másodikt b -vel, hrmdikt c - vel és egyediket d -vel, mjd djuk össze kpott egyelőségeket Az ( + b + c + d ) x 0 egyelőséghez jutuk, tehát x 0 Hsoló jutuk z y z t 0 összefüggésekhez is (A szorzótéyezők redre ( b,, d,c), ( cd,,, b) és ( d, c, b, )) 7 Elemi mátrixműveletek és mátrix rgj A redszerek megoldásáál és determiások kiszámításáál láttuk, hogy sorok (oszlopok) felcserélése, beszorzás, illetve összedás vezetett megoldáshoz Eek prgrfusk célj k vizsgált, hogy ezek műveletek milye összefüggésbe vk mátrixokkl végzett műveletekkel, és milye következméyei vk ezekek z összefüggésekek b Feldt Vizsgáljuk meg, hogy z A c d mátrixból milye mátrixművelet τ b segítségével kphtó meg C τc d mátrix! Törekedjük rr, hogy művelet másik operdus A -tól függetle legye! ( τ ) 0 Megoldás Az A+ B C egyelet megoldás B C A ( τ ) c 0 Eek elemei z A elemeitől függek Próbáljuk meghtározi oly B mátrixot, x y melyre A B C Egy ilye mátrix -es kellee legye, tehát B z t Az A B szorzás elvégzése utá következő egyelőségeket írhtjuk fel: x + bz τ cx + dz τc illetve y + bt b cy + dt d H z x -et küszöböljük ki, z ( b c d) 0, míg h z -t küszöböljük ki z ( x τ) ( d bc) 0 egyelőséghez jutuk Így x τ és z 0 midig megoldás τ 0 Hsoló godoltmeet lpjá y 0 és t, tehát B 0 Ezt mátrixot megszerkeszthetjük redszerek megoldás élkül is, z együtthtók zoosításávl

32 Lieáris egyeletredszerek megoldás 66 Hsoló módo -es mátrixok eseté is megszerkeszthető egy oly mátrix, mellyel vló szorzás z eredméyekét z eredeti mátrix vlmelyik oszlop szorzódik τ -vl Így z b c τ b c X b c τ b c τ 0 0 egyelet megoldás 0 0 mátrix 0 0 Érvéyes következő áltláos tétel: 0, i j Tétel H z A M m, ( ) mátrixot B b ij, b, i ij,, ij τ j k, i j k mátrixszl szorozzuk (jobbról), kkor z eredméyt z A -ból úgy is megkphtjuk, hogy k -dik oszlop elemeit szorozzuk τ -vl Bizoyítás Jelöljük C -vel z A B szorztot A szorzt értelmezése lpjá ij, j k cij ilb lj, l τij, j k tehát C k -dik oszlop z A k -dik oszlopák τ -szoros és többi oszlop változtl Megjegyzés H blról szorozzuk D d ij ij,, m 0, i j d τ, i ij j k, i j k mátrixszl, kkor k -dik sor elemei szorzódk τ -vl Feldt Szerkesszük meg zt B mátrixot, mellyel z A M ( ) mátrixot jobbról szorozv felcserélődik z A i -edik oszlop j -edik oszlopávl Milye mátrixszl szorozhtjuk, h két sorát szereték felcseréli? Megoldás A B mátrix -es és h B b, kkor z m, ij ij,, kb l + kb l + + kbl összeg kl kell legye, h l { i, j} és k, m Így b ll, h l { i, j} és z összes többi tgj ull H pedig l i, kkor z összeg kell legye és így b Továbbá l j eseté b ij A B mátrix összes többi kj eleme 0, tehát b kl ji, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) 0, egyébkét

33 Lieáris egyeletredszerek megoldás b c d d c b Például b c d d c b b c d d c b Érvéyes tehát következő tétel: Tétel H z A M m, ( ) mátrixot jobbról szorozzuk B [ b kl ] kl,,,, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) b kl mátrixszl, kkor z 0, egyébkét A i -edik és j -edik oszlopát cseréljük fel Hsoló módo láthtó be, hogy h D [ d kl ] kl,,, m, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) d kl 0, egyébkét mátrixszl szorzuk blról, kkor z i -edik és j -edik sort cseréljük fel A -b Láthtó, hogy z eddig megszerkesztett mátrixok mide soráb és oszlopáb egyetle ullától külöböző elem áll H több em ull elem áll szorzómátrix oszlopib kkor z eredeti mátrix oszlopik lieáris kombiációi leszek z eredméy oszlopi (ezt szorzt értelmezésél is láttuk) Így elérhetjük zt is, hogy j -edik oszlop elemeihez djuk hozzá z i -edik oszlop elemeiek τ -szorosát Feldt Milye B mátrixszl kell szorozuk jobbról z A M ( ) mátrixot, h z első oszlop τ -szorosát szereték z utolsó oszlophoz hozzádi? Megoldás b c d A b c d, tehát B mátrix 4 4 -es Az első három oszlop változtl kell mrdjo, tehát 0 0 x 0 0 y B 0 0 z t H x τ, t és y z 0 kkor z első oszlop τ -szorosát djuk hozzá z utolsó oszlophoz 0 0 τ b c d b c τ + d b c d b c τ + d 0 0 0,4

34 68 Lieáris egyeletredszerek megoldás Láthtó, hogy h z A M m, ( ) mátrixot szorozzuk B [ b kl ] kl,,,, k l b τ, ( k, l) ( ) kl i, j 0, egyébkét mátrixszl, kkor z A i -edik oszlopák τ -szorosát djuk hozzá j -edik oszlophoz Az előbbiek lpjá determiás kiszámításáál hszált átlkítások felfoghtók egy-egy égyzetes mátrixszl vló szorzáskét is Mivel ezek z átlkítások fotosk z áltláos ( m -es) lieáris egyeletredszerek megoldásáb és z iverz mátrix kiszámításáb, következő értelmezéseket djuk Értelmezés Elemi sortrszformáció (oszloptrszformáció) következőket értjük: ) h egy mátrix vlmely sorát (oszlopát) szorozzuk vgy osztjuk egy 0-tól külöböző számml; b) h egy mátrix két sorát (oszlopát) felcseréljük; c) h egy mátrix egyik sorák (oszlopák) τ -szorosát ( τ 0 ) hozzádjuk egy másik sorhoz (oszlophoz) A továbbikb két mátrixot hsolók evezük, h z egyik megkphtó másikból elemi sortrszformációk segítségével Ezt A~ B -vel jelöljük Világos, hogy z elemi trszformációk fordított trszformációi is elemi trszformációk, tehát h A megkphtó B -ből elemi trszformációk segítségével, kkor B is megkphtó z A -ból elemi trszformációk segítségével Feldt Számítsuk ki z elemi trszformációk mátrixák determiását! Megoldás ) H egy sort szorzuk τ -vl, kkor trszformáció mátrixáb főátló egy τ áll és többi egyes, tehát redre kifejtve főátló elemei szerit determiását z eredméy τ b) H két sort vgy oszlopot kicserélük, kkor trszformáció mátrixák 0 determiását főátló levő -esek szerit redre kifejtve 0 eredméyhez jutuk c) A főátló elemei szerit redre kifejtjük trszformáció mátrixák determiását Az eredméy itt midig Feldt Vizsgáljuk meg, hogy milye A M ( ) mátrixok lkíthtók át elemi sortrszformációk és esetleg oszlopcserék segítségével z I mátrixszá! Megoldás Az első sort -gyel osztjuk, mjd j -edik sorhoz hozzádjuk z első sor j -szeresét Így z első oszlop megegyezik z I első oszlopávl H ezt tovább folytthtjuk, kkor áltláb z i -edik lépésbe z i -edik sort osztjuk ii -vel és j i eseté j -edik sorhoz hozzádjuk z így megváltozttott i -edik sor ji - szeresét Problém csk kkor merülhet fel, h főátlór 0 kerül (ezzel em oszthtuk) Ekkor viszot sor- vgy oszlopcserével kicserélhetjük 0-tól külöböző elemre vgy

35 Lieáris egyeletredszerek megoldás X I X k lkú mátrixhoz jutuk Ezt továbbikb 0 -vl jelöljük Elemi trszformációk sorá mátrix determiás vgy előjelet vált, vgy em változik, vgy τ 0 -vl szorzódik Így h deta 0 kkor z előbbi mátrix em jelehet meg, mert eek determiás 0 Ugyzo ok mitt h deta 0, kkor em jelehet meg végé z egységmátrix, tehát A -ból potos kkor juthtuk el z I -hez h deta 0 Ez egy fotos tuljdoság, mert megmuttj, hogy lehet felboti A -t vgy A -t elemi trszformációk mátrixik szorztár Jelöljük E, E,, Eq -vl zokt trszformációkt, melyek segítségeivel A -ból megkpjuk I -et Ez E E E A I (*) q q ta 0 A q q E A Eq Eq E I A lkb írhtó Mivel de, létezik A és így (*)-ból (blról szorozzuk -el) következik, hogy E E Ez z egyelőség lkb is írhtó és zt fejezi ki, hogy h z I sorivl ugyzokt trszformációkt hjtjuk végre mit z A sorivl, kkor h A -ból I -et kpuk, z I -ből A jeleik meg Eszerit z iverz mátrix kiszámíthtó következő egyszerű szbályok szerit: Írjuk z A oszlopi utá redre z I oszlopit (Így egy -es mátrixhoz jutuk) A I Végezzük elemi sortrszformációkt z egész A I mátrixszl ddig, míg z első oszlopb I jeleik meg Az utolsó oszlop áltl lkotott mátrix z A Péld Számítsuk ki z A 0 mátrix iverzét!

36 70 Lieáris egyeletredszerek megoldás Megoldás A S + S S I S + S S S S 6 5 S+ S S S+ S S S S S+ S S S+ S S Tehát A A bekeretezett elemekkel osztottuk megfelelő sorokt Ezeket evezzük geeráló elemekek Megjegyzés Ez módszer (ebbe formáb) kézi számolások sorá köye eltéveszthető viszot z lgoritmus egyszerűségéél fogv egyszerűe progrmozhtó Láttuk, hogy de ta 0 eseté z A mátrix előállíthtó I -ből elemi trszformációkkl, tehát írhtjuk, hogy A E E E p H sorcserét (oszlopcserét) végeztük, kkor megfelelő mátrix determiás - és trszformáció sorá mátrix determiásák előjele változik meg H egy sor vlháyszorosát egy másik sorhoz dtuk, kkor determiás em változik meg és trszformáció mátrixák determiás, míg h szorzuk/osztuk egy sort τ -vl, kkor trszformáció mátrixák determiás τ és z eredeti mátrix szorzódik τ - vl Így trszformációk sorá determiás úgy viselkedik mith szorozák trszformáció determiásávl Eszerit deta det E dete dete p Megjegyzés Az előbbi lgoritmusb ez geeráló elemek szorzt

37 Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 Eek z előállításk egy gyo fotos következméye v: Tétel H A, B M ( ) kkor de t( A B) deta detb Bizoyítás H deta 0 és de tb 0 kkor A E E Ep és B FF Fq, hol Ei i, p és Fj j, q elemi trszformációk mátrixi Így A B EE Ep FF Fq, tehát det( AB) dete dete dete detf detf detf ( deta)( detb) p X H deta 0, kkor A H z utóbbi mátrixot D -vel jelöljük, kkor A B D B Viszot D B-be v csup 0-ból álló sor és így detdb 0, tehát de tab 0 deta detb H detb 0, kkor z előbbi godoltmeetbe A és B szerepét felcseréljük Az előbbiek lpjá de t( AB) deta detb Megjegyzés A deta 0 esetet letárgylhtjuk htárértékek segítségével is H det A 0, kkor létezik oly ( A ) mátrixsorozt, melyre lim A és 0 A deta 0 0 (ezt megszerkeszthetjük, h z előbbi D mátrixb főátlór kerülő 0-k helyett -et íruk, és így hjtjuk végre zokk trszformációkk z iverzét, melyekkel A -ból kptuk D -t) Mivel determiás mátrix elemeiből képzett szorztok előjeles összege, ezért lim A det( lim A ) és így írhtjuk, hogy detab lim det( A B ) lim ( deta detb ) deta detb A mátrixok elemi trszformációi lieáris redszerek elméletébe is fotos szerepet játszk ugyis h A B, kkor z A E E E B egyelőség lpjá z A x b p p redszer ekvivles B x E E E b redszerrel Másrészt p I X k D lkú redszerek megoldás és tárgylás egyszerű, hisz jobb oldlo 0 is 0 kell álljo D idetikus 0 sorik megfelelő sorokb (ellekező esetbe redszer összeférhetetle) és csk z első k ismeretle (D szerit) egyértelműe kifejezhető szbdtgok és többi ismeretle segítségével A foglmzás q

38 7 Lieáris egyeletredszerek megoldás egyszerűsítéséek céljából z A -ból kilkíthtó leggyobb I k mátrix redjét z A rgják evezzük (ez bl felső srokb megjeleő I k mátrix redje, zz végrehjthtó lépések (kilkíthtó oszlopok) szám) Világos, hogy A ldetermiási trszformációk sorá D ldetermiásib trszformálódk, tehát z A rgj következőképpe is értelmezhető Értelmezés Az A mátrix rgj leggyobb 0-tól külöböző ldetermiásák redje Ezt rg A-vl jelöljük Az előbbiek lpjá érvéyes következő tétel Tétel H A -ból redre I oszlopit lkítjuk ki, kkor z elvégezhető lépések (kilkíthtó oszlopok) szám z A mátrix rgj A redszerek összeférhetőségére és megoldásár votkozó észrevételük következő lkb foglmzhtó meg: Tétel Az A x b redszer potos kkor összeférhető, h rg A rg A hol A-t úgy kpjuk z A -ból, hogy b oszlopvektort hozzáírjuk H z A x b redszer összeférhető, A Mm, ( ) és r ga mx { m, }, kkor redszer htároztl és megoldások rg A prméter függvéyébe fejezhetők ki ( kifejezés potos módját Crmer szbály szolgálttj) 8 Megoldott feldtok ( ) * Bizoyítsuk be, hogy deta deta Bizoyítás eseté z állítás igz H de ta (deta), kkor + deta det( A A) deta deta ( deta) deta ( deta ) +, tehát * mtemtiki idukció elve lpjá z állítás igz bármely eseté Számítsuk ki deta * -t és deta -ot deta függvéyébe Megoldás Az A A I egyelőség lpjá A eta det d deti, tehát deta ( deta) ( ) k k * Megjegyzés Ez muttj, hogy deta det A, k, h deta 0 * * Az A A deta I egyelőségből következik, hogy de ta deta ( deta), * tehát deta ( deta) Bizoyítsuk be, hogy h A Mm, ( ) és B M p, ( ), kkor rg( A B) mi( rg A, rg B) Bizoyítás H z A mátrixot z E, E,,Eq elemi trszformáció-mátrixokkl I X k vló szorzás útjá hozzuk D 0 lkúr, kkor ugyezekkel trszformációkkl z A B-ből D B lesz EE E AB q q DB

39 Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 De D B-ek leglább yi csup 0-t trtlmzó sor v mit D -ek, tehát rg( AB) rg A () I k A B mátrixot hozzuk D 0 lkúr oszloptrszformációk segítségével Így X B FF F D, tehát AB F F F AD és z AD -be leglább yi p p oszlop trtlmz csup ullákt mit D -be Tehát r g( AB) rg B () () és () lpjá rg( AB) mi( rg A, rg B) 4 Bizoyítsuk be, hogy h z és b természetes számok előállíthtók x + y lkb ( xy, ), kkor z b természetes szám is előállíthtó x y Bizoyítás Tekitjük z M x, y y x mátrixhlmzt x y x y xx yy xy + yx y x y x ( yx xy ) yy xx + + tehát h M, M M, kkor MM De det( MM ) detm detm és így z ( x + y )( x + y ) ( M ) + ( x y + y x ) xx yy zoossághoz jutuk Ebből következik feldt állítás 5 Bizoyítsd be, hogy h AB M ( ) és AB BA, kkor det A + B 0, ( ) Bizoyítás Mivel AB BA, írhtjuk, hogy A + B ( A+ ib)( A ib) tehát ( ) ( det A + B det( A+ ib) det A ib) Másrészt h det( A+ ib) z, kkor det( A ib) z, tehát ( ) det A + B z z z 0 6 Bizoyítsuk be, hogy h A M és p 4q < 0, kkor + ( ) A pa+ qi Bizoyítás p p p A pa+ qi+ A A+ I+ + q I p p 4q + + A I I 4 Tehát h A p A qi + 0, kkor + + p p 4q A I I 4 Ebből z egyelőségből következik, hogy + +

40 74 Lieáris egyeletredszerek megoldás p p p 4q + p 4q + 0 det A I det A I deti < Mivel ez em lehetséges, z A p A+ qi + em lehet 0+ * 7 Bizoyítsuk be, hogy h A M ( ) és létezik k úgy, hogy A k 0, kkor A 0 Bizoyítás Az A k 0 egyelőségből következik, hogy ( deta ) 0, tehát deta 0 A Cyley-Hmilto tételből ( ) következik, hogy A ( + d) A k és így A ( ) k k + d A, k H ( + d) 0, kkor + d 0 és így, míg ( ) k A 0 + d 0 eseté A 0, tehát A 0 8 Tárgyljuk z x + y + z x + my + z x y + z egyeletredszer megoldását z m prméter függvéyébe (Érettségi 990) Megoldás A redszer mátrixák determiás m m 9, tehát m 9 eseté redszer összeférhető és htározott, megoldásit Crmer szbály szerit számíthtjuk ki m m 5, és m m 8 5 Tehát m 9 eseté m + x, m 9 y m 9 és ( m 4) z H m 9, kkor m 9 megvizsgáljuk z összeférhetőséget A 9 redszer mátrix és A 9 bővített mátrix de ta 0, tehát r g A De 5 0, 9 tehát rg A Ugykkor 9 k 0 0, tehát

41 Lieáris egyeletredszerek megoldás 75 rg A Mivel r g A rg A redszer összeférhetetle A rgot következő átlkítások segítségével is végezhetjük (h csk sorokkl végzük műveleteket, kkor ezt A -b végezhetjük, mert ie A rgját is kiolvshtjuk) S+ S S S S m 0 m S+ S S S S m S+ S S ( m 4) S+ S S m 4 0 m 9 ( m 4) Ie láthtó, hogy m 9 eseté rga rg A és m 9 eseté r ga, 0 rg A (mert ebbe z esetbe z utolsó oszlopb kilkíthtó 0 ) Ezekből z átlkításokból megoldás is leolvshtó: ( m 4) 5 ( m 4) z 5 m 9 m 9 ( m 4) ( m 9) + ( m 4) y + z ( m 9) 5( m 9) m 9 és x 9 7 9( m 9) 4( m 4) m z 5( m 9) m 9 m 9 Megjegyzés H még egy lépést elvégzük ( 0 geeráló elemmel), kkor 5 z utolsó oszlopb megjeleek ezek z eredméyek 9 Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y + z t 5 x + y z + t m x y + mz + mt egyeletredszert ( xy,, z, tm, ) 5 Megoldás Az A m mátrix rgját (és egybe z A rgját m m is!) htározzuk meg elemi trszformációk segítségével

42 76 Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 5 A m m 0 5 m m m 4 m m + S+ S S m 5S+ S S 0 0 m + 6 m 4 5m H m 6 kkor m + 6 em válszthtó geeráló elemek de m 0 válszthtó ( hrmdik és egyedik oszlop még A -hoz trtozik, tehát ezek felcserélése em változttj meg z A rgját sem) Így írhtjuk, hogy 0 A h m 6 és m A m h m 6 m 4 5m 0 0 m + 6 m + 6 Az első esetbe (m 6 ) r g A rg A és A Tehát megoldások t (mert hrmdik oszlopb most t együtthtói állk) y 4z és x + z, hol z prméter 5 5 A második esetbe ( S + S S, 4 S + S S ) m m m m + 6 m A 0 0 m + 6 m + 6 m 4 5m 0 0 m + 6 m m 4 m 4m

43 Lieáris egyeletredszerek megoldás 77 Tehát ebbe z esetbe is rg A rg A és megoldások 4 5m m z t m + 6 m + 6 m + 4 m m 4 y + t m + 6 m + 6 m 4 m + 49 x t m 5 m + 6 m + 6 hol t prméter Megjegyzés Ugyehhez z eredméyhez jutuk, h m 6 eseté z x + y + z 5+ t x + y z m t x y + mz mt redszert Crmer szbállyl oldjuk meg, illetve h m 6 eseté z x + y t 5 z x + y + t 6+ z x y t + 6z redszert oldjuk meg Crmer szbály segítségével (z prméter) 0 Bizoyítsuk be, hogy h A, A, A,, Ap Mm, ( ) és p A + xa + x A + + x A 0, x, kkor 0 p m, 0 A0 A A A p 0 m, ( Bizoyítás Jelöljük z elemeit k ) -vl, A k ij k 0, p, i, m és j, A bl oldlo műveletek elvégzése utá egy oly A mátrixot kpuk, melyek p p ( k) eleme x, vgyis egy legfeljebb p -ed fokú poliom Eek poliomk k 0 ij behelyettesítési értéke bármely x eseté 0, tehát poliom együtthtói mid 0- ( vl egyelők Így k ) ij 0, k 0, p, i, m, j, m, tehát A 0, k 0, p p q ij k m, ( ) k j Megjegyzés H Ak x Bjx, x eseté A, B M,, k j m k 0 j 0 k 0, p, j 0, q, kkor p q és A B, k 0,p k k

44 78 Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Gykorltok és feldtok I Számítsd ki következő determiásokt: ) d) g) x log b * ; b), b, + \{} ; c) x + log ; e) b 4 ; f) 5 4 Számítsd ki következő determiásokt: i + i i i hol ε hrmdredű egységgyök Bizoyítsd be, hogy bc c b b b b b c c c c 4 Számítsd ki i i ; ; 0 i, ε ε, ε + ε ε ε ε ε 0 b 0 0 c d 0 + ε ε ε + ε d 0 0 c b b, és ( d bc) b 0 0 c d c d 0 c d 0 0 b 0 ( + ) ( + ) b ( b + ) ( b + ) c ( c + ) ( c + ) determiást (Felvételi, 999),

45 Lieáris egyeletredszerek megoldás 79 5 Számítsd ki következő determiásokt: x x x x x x b x x 0 c b ) x ; b) x x c x ; c) b c 0 x x x x d c b 0 6 Számítsd ki következő determiásokt, h x, y,z ) x y x + y z z + y y x + z z x ; b) xy x + y x + y x + y xy x + y x + y x + y 0 ; b c c) e) x y z y z x z x y ; d) yz xz xy x xy xy y y x xy xy xy y x xy xy xy y x 7 Oldd meg z x b c b b x bc x ( y z) yz ( ) y z x zx z ( x y) xy 0 c cb c x egyeletet, h,, bc 8 Számítsd ki következő determiásokt: ) cos cosb cosc cos cos b cos c cos x 0 0 cosx 0 c) 0 cosx 0 0 cosx ; b) cos x si x si x ; ; si x cos x si + six x

46 80 Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Számítsd ki 0 b c 0 d e b d 0 f c e f determiást, h,,,,, bcd ef (Felvételi, 998) 0 Oldd meg ( x ) 0 egyeletet, h 0 x x x x x x ( ) x + x x x (Érettségi jvslt, 999) Fejezd ki r függvéyébe x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 determiást, h x, x, x, x4 egy r álldó külöbségű számti hldváy egymásutái tgji (Felvételi, 995) Számítsd ki x x x x x x x x x,,x + x determiás értékét, h x x z x x egyelet gyökei Számítsd ki x x x x x x x x x (Felvételi, 999) determiás értékét,, bc függvéyébe, h x, x, x z x + x + bx + c 0 egyelet gyökei (Felvételi, 995) 4 Számítsd ki x x x x x x determiást, h x, x,x z x + px + q 0 egyelet gyökei

47 Lieáris egyeletredszerek megoldás 8 5 Bizoyítsd be, hogy h + b + c (,, bc ), kkor z b c A c b b c mátrix determiásák bszolút értéke em gyobb mit 6 Htározd meg zokt z m értékeket, melyekre x x x x 0 x m x + m x egyeletek v egy dupl gyöke (Felvételi, 998) 7 Háyszoros gyöke z x szám P( x ) x x x poliomk (Felvételi, 998) 8 Számítsd ki -ed redű determiást (Felvételi, 995) 9 Számítsd ki következő determiásokt: 0 ) 0 0 ; b) ; 0

48 8 Lieáris egyeletredszerek megoldás!!!! k C C C!!!! k C+ C+ C c)!!!! ; d) k C C C!!!! 0 Számítsd ki k + k + k + determiást Htározd meg z m prméter értékeit, melyekre z x A x x m mátrix ivertálhtó mide x eseté (Felvételi, 998) Számítsd ki következő mátrixok iverzét (h létezik): ) A ; b) A ; c) A Számítsd ki következő mátrixok iverzét: ) 0 ; b) 0 ; c) Adottk z A 4 és B mátrixok Oldd meg z XA B egyeletet (Felvételi, 999)

49 Lieáris egyeletredszerek megoldás 8 5 Oldd meg következő egyeleteket: ) X 7 5 ; b) X Adottk z A, B és C mátrixok ) Bizoyítsd be, hogy AC CB b) Számítsd ki B -t, h (Felvételi, 998) 7 Oldd meg következő mátrixegyeletet: X Oldd meg z [ x] + [ y] + [ z] [ x] [ y] [ z] [ x] + 4[ y] + 5[ z] 8 [ x] + 5[ y] + 6[ z] 0 egyeletredszert, hol [ ] z szám egész részét jelöli (Felvételi, 998) 9 Oldd meg z x + y + z x + εy + ε z b x + ε y + εz c egyeletredszert, hol,, bc és ε hrmdredű egységgyök (Felvételi, 998) 0 Oldd meg z x + by + cz 0 bcx + cy + bz 0 x + y + z egyeletredszert, h b c Htározd meg z m prméter értékeit úgy, hogy z x + y + z x + y + mz x + 4y + mz 4 egyeletredszerek egyetle megoldás legye, és oldd is meg ebbe z esetbe redszert (Felvételi, 999)

50 84 Lieáris egyeletredszerek megoldás Tárgyld z ( + λ) x + y + z 0 x + ( + λ) y + z λ x + y + ( + λ) z λ egyeletredszert λ prméter függvéyébe (Felvételi, 999) Oldd meg és tárgyld z mx + y + z 0 x + my + z 0 x + y + mz 0 x + y + z egyeletredszert (Felvételi, 999) 4 Oldd meg z x + y + z + t x + by + cz + dt m x+ by+ cz+ dt m x+ by+ cz+ dt m egyeletredszert, h,,, bcd egymástól külöböző számok x + y + z Oldd meg z x + by + b z + b 0 egyeletredszert, h b c x + cy + c z + c 0 6 Htározd meg z x y z + + ( ) + α + α b + α x y z + + ( + β) + β b + β x y z + + ( + γ) + γ b + γ redszer megoldásit, h αβ,,γ külöböző számok és törtek létezek

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése

VB-EC2012 program rövid szakmai ismertetése VB-EC01 progrm rövid szkmi ismertetése A VB-EC01 progrmcsomg hrdver- és szoftverigénye: o Windows XP vgy újbb Windows operációs rendszer o Min. Gb memóri és 100 Mb üres lemezterület o Leglább 104*768-s

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése

Síkbeli csuklós szerkezetek kiegyensúlyozásának néhány kérdése íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée íbel culó zeezete egyeúlyozáá éáy édée DR BENKŐJÁNO gátudoáy Egyete Gödöllő Mg Gépt Itézet gyoozgáú gépzeezete tevezéée foto lépée z egyelete, ezgéete üzeet bztoító

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK we-lap : www.hild.gyor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STTIK 47. RÁCSOS TRTÓK rácsos tartók két végükön csuklókkal összekötött merev testekől állnak. z így

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)

Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél

Az alakváltozással vezérelt kisciklusú fáradás törvényszerûségei Lehofer Kornél Kisciklusú fársztás VIZSGÁLAI MÓDSZEREK Az lkváltozássl vezérelt kisciklusú fárdás törvéyszerûségei Lehofer Korél Abstrct Lws of the low cycle ftigue cotrolled by stri. hese lws re preseted kept i view

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin

Dr. Jelasity Márk. Mesterséges Intelligencia I. Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I Előadás Jegyzet (2008. október 6) Készítette: Filkus Dominik Martin Elsőrendű logika -Ítéletkalkulus : Az elsőrendű logika egy speciális esete, itt csak nullad

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

4. előadás. Vektorok

4. előadás. Vektorok 4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához

Részletesebben

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Geometria, 11 12. évfolyam

Geometria, 11 12. évfolyam Geometria, 11 1. évfolyam Dobos Sándor, Hraskó ndrás, Kiss Géza és Surányi László 014. június 8. 4 TRTLOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok 5 1. Geometriai szerkeszthetőség.......................... 5 1.1.

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István

FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK. Prof.Dr. Zobory István FESZÍTŐMŰVES VASÚTI JÁRMŰALVÁZAK Prof.Dr. Zobory István Budpest 04 Trtlomegyzék. Bevezetés... 3. A vsúti árművek teherviselő részeiről... 3. Alvázs (nem önhordó) kocsik... 3.. Kéttengelyes kocsik... 4..

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a

ÉT: x R ÉK: y R ZH: x = 0 SZÉ: - SZMN páratlan fv. n a A htváyozás iverz műveletei. (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté De.: :... Oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. : htváyl : kitevő : htváyérték A htváyozás zoossági egész

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv

Mátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése

Sűrűségmérés. 1. Szilárd test sűrűségének mérése Sűrűségérés. Szilárd test sűrűségének érése A sűrűség,, definíciój hoogén test esetén: test töege osztv test V térfogtávl: V A sűrűség SI értékegysége kg/, hsználtos ég kg/d, kg/l és g/c Ne hoogén testnél

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben