III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK"

Átírás

1 Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar ctg ; + cos + si ar csi bijektív függvé eseté létezik f : B A függvé úg, hog B f f és A f f Az előbbi tétel alapjá a π π tg:, és ar ctg: π, π függvéekre érvées a tg( arctg ), összefüggés B R Megjegzés π π arctg ( tg ),,, de ar ctg( tg ), eseté b) Bármel t valós szám eseté co s t cos( t + t) cos t cost si t si t cos t si t cost cost si t cos t cost cos( arccos ) ( cos( arccos ) ) ( cos( arccos ) ), Megjegzés Általába a T :[,], T cos arccos függvé eg -ed fokú poliom függvé, amelek főegütthatója, és amelek egütthatóit a következő táblázat segítségével geerálhatjuk T T ( T () 8 8 T ( 8 Az előbbi táblázatba az -edik sor elemeit úg kapjuk, hog az ( )-edik sor megfelelő eleméhez hozzáadjuk az ( )-edik sorba levő jobboldali szomszédjáak kétszeresét

2 7 Függvéek és tulajdoságaik si + cos cos si c) cos si cos + cos, ahoa cos tg + cos cos Ha ismét a tg függvé bijektív leszűkítésével dolgozuk, figelembe véve, hog a tg függvé páratla, kapjuk, hog π tg, ha, [, ) π tg, π tg, ha, ( π, ),ha ( π, ) tehát a megoldás a ( π, π) itervallumo arctg tg, ha, π) kπ,ha ( ( k ) π,kπ cos ) Ebből következik, hog arctg + cos kπ, ha kπ, ( k + ) π) cos + si d) eseté, ahoa si + cos + si és cos si si + si + si π si + cos, R, vagis si + π si π π +, ha +, π π π A, itervallumo si +, π π si π, ha +, π π π, ha, π ahoa arcsi si +, tehát π π π,ha, π π π, ha kπ,kπ + + si arcsi π π π kπ, ha kπ,kπ

3 Függvéek és tulajdoságaik 7 Bizoítsd be, hog: a) arccos + arccos arccos 7 ; b) ar ctg + arctg + arctg arctg ; 9 π π c) a rccos + arcsi ; d) ar ctg + arctg + arctg 8 8 Megoldás a) Mivel cos( + ) cos cos si si,, következik, hog cos(arccos a + arccos b) ab a b, ab,,, tehát 7 9 cos arccos arccos + 7 Másrészt arccos π,, és rccos π, a 7, tehát az a rccos + arccos 7 összeg a (, π) itervallumba va Az előbbi két tulajdoság alapjá állíthatjuk, hog arccos + ar ccos arccos 7 tg + tg + tg z tg( + ) + tg z tg tg b) tg( + + z) tg( + ) tgz tg + tg tgz tg tg tg + tg + tg z tg tg tg z π, ha,, z ( k+ ) és tg tg tg tgz tg tgz + + z ( k + ) π, k,,,z a + b + c abc Ebből következik, hog tg(arctga + arctgb + arctg c), ha ab ac bc + + ab ac bc, abc,, Viszot 9, és az 9 6 arctg + arctg + arct g összeg a (, π) itervallumba va, tehát b) igaz c) < π 9, tehát arcsi < Másrészt >, tehát 8 9 π 9 π arccos < Íg ar ccos + arcsi, 8 8, tehát elégséges igazoli,

4 7 Függvéek és tulajdoságaik 9 hog arccos arcsi cos + 8 Ez a következőképpe alakítható: A égzetgökök előjeléek meghatározásakor figelembe vettük, hog 9 π π arccos, és arcsi, 8 d) A b) pothoz hasolóa, igazoli kell, hog: π tg + 6 +, π π ami teljesül Az ekvivalecia felírásakor haszáltuk, hog arctg <, ar ctg < π és ar ctg < 8 Számítsd ki az a) S arcctg( + k + k ); b) S arctg k k k összegeket + Megoldás a) módszer -re S () arcctg arcctg re S () arcctg + arcctg 7 ar cctg arcctg arcctg (a + 7 ctg ctg ctg ( + ) egelőségből következik, hog a rcctga + arcctgb ctg + ctg cctg ab ar, ha arcctg a + arcctgb (, π) ) A továbbiakba a matematikai a + b idukció módszerét haszáljuk Feltételezzük, hog arcctg + S, eg + rögzített értékre, és bebizoítjuk, hog S arcctg + π arcctg < π és arcctg( + + ) <, tehát a következő átalakításokat végezhetjük: + S S( ) + arcctg( + + ) arcctg + arcctg( + + )

5 Függvéek és tulajdoságaik 7 ( ) ( ) arcctg + ( + + ) ( ) arcctg arcctg arcctg + A matematikai idukció elve alapjá arcctg + S, eseté módszer Az arcctg k + arcctg k arcctg + k +k vag arcctg arcctg arcctg( + k + k ) k k + egelőséget k, -re összegezve ugaahhoz az egelőséghez jutuk b) módszer Ismét matematikai idukcióval próbálkozuk -re S () arctg ; eseté + () arctg arctg arctg 8 S + arctg 8 ; 6 -ra S () arctg + arctg arctg 8 Feltételezzük, hog S ( ) rctg a, ha rögzített, és bizoítjuk, hog S arctg + + S S( ) + arctg arctg + arctg arctg + ( + ) arctg arctg arctg k k módszer Az ar ctg arctg arctg, vag k + k k arctg( k + ) arctg( k ) arctg k egelőségek összegezéséből ugaahhoz az egelőséghez jutuk

6 7 Függvéek és tulajdoságaik a b Megjegzés Az a rctga arctgb arctg összefüggés érvéességéhez + ab a b π π elleőrizi kell, hog arctgb + arctg, + ab Ez a felhaszált egelőségek esetébe midig megtehető Hasolóa kell eljári az arcctg esetébe is III Gakorlatok és feladatok ( oldal) III Függvéek és valós számok ( oldal) Dötsd el, hog az alábbi állítások közül melek igazak és melek hamisak (A hamis állításokál adj ellepéldát, az igaz állításokat bizoítsd is be) a) < < b), (,) (,) c) Ha és (,,, > ), akkor d) Ha az a + b + c valós egütthatójú egelet gökei és, az + < feltétel szükséges és elégséges ahhoz, hog, e) Ha f, g : bijektívek f g : f g f g is bijektív f) f, g : ijektív függvéek f g : f g f g is ijektív g) f g ijektív f ijektív h) f, g : i) f, g : szürjektív függvéek f g is szürjektív ijektív függvéek f + g is ijektív j) f : mooto ijektív k) f : ijektív mooto l) f, g : kove f g kove m) f kokáv f kokáv ) f : o) f, g : kove és övekvő f f kove kove f g kove p) f g : övekvő f vag g övekvő q) f, g : + kove g h :, h f is kove r) Ha f és g aszimptotikusa közeledik és f és h is aszimptotikusa közeledik egmáshoz, akkor g és h is aszimptotikusa közeledik s) f kove és ijektív f mooto

7 Függvéek és tulajdoságaik 7 Megoldás a) Az állítás igaz Ha, akkor < < Ha, akkor > Ebbe az esetbe < <, és < <, ahoa következik, hog < < Ha, akkor az állítás igaz Ha, akkor < > ( ) ( + ) > Most két eset lehetséges: > és < + > + < > Ha, akkor >, vagis < < < + > < < Ha, akkor >, vagis < <, tehát < + < < b) Az állítás igaz, ( ) Viszot, ( ), + > és + >, ahoa ( + )( + ) > > (), < és <, tehát ( )( ) > + > () ()+() > > (*) Hasolóa az előző godolatmeethez,,, ( + ) ( ) < + <, ( )( + ) < + <, összegezve a két egelőtleséget < < (**) (*) és (**) (, ) Megjegzés A feladat a következőképpe is megoldható: <, < < < < c) Az állítás em igaz, például és, eseté igaz és hamis igaz d) Ha és, akkor +, tehát az + < feltétel elégséges ahhoz, hog (mert valós egütthatók eseté a gökök azoos,

8 76 Függvéek és tulajdoságaik természetűek) Másrészt az + egelet gökeire > és 6 <, tehát a gökök em valósak és a égzetösszegük mégis pozitív Az előbbi példa mutatja, hog a feltétel em szükséges, tehát az állítás hamis e) Az állítás hamis Lege például f, g : f g, Nilvá f és g bijektívek, ( f g) : ( f g) (), és f g em ijektív, mert ( f g) ( ) ( f g) (), tehát f g em bijektív f) Az előbbi pot alapjá az állítás hamis, g) Hamis Eg ellepélda a következő: az f :, f, > függvé em ijektív, mivel f() f() Ha g :,, g (), g () g (), akkor ( f g) f ( g ) +, > g (),() g >, f ( g ), tehát ( f g), f g ijektív (g +, > jobboldali iverze f-ek, mivel f g R ), de f em ijektív h) Hamis Például az f, g : R R, f g függvéek szürjekívek, de az ( f g) f g függvé em szürjektív, mert az f egeletek icse megoldása R-be i) Hamis Lege f, g :, f a+ b, g a b, ahol a és ab, f és g elsőfokú és em kostas függvéek, tehát bijektívek, íg ijektívek is Viszot az ( f + g) f + g, ijektív függvé em j) Hamis Ellepélda: az f : f [ ] függvé mooto, mivel, R, [ ] [ ], viszot em ijektív: f() f Megjegzés Ha f szigorúa mooto, akkor következik, hog f ijektív k) Hamis Az f :, f, < <,

9 Függvéek és tulajdoságaik 77 függvé ijektív, de em mooto mert < <, de sem az sem az f() f f egelőtleség em teljesül f() f f, III ábra l) Hamis Az f, g : az ( f g) () függvé kokáv m) Hamis f ( ) ) Az állítás igaz, f és g() függvéek koveek, de kokáv függvé, f kove függvé Bizoítás f : kove, és t, eseté f (( t ) + t) ( tf ) ( ) + tf ( ) () Ha, és t, tetszőleges, az ( f f)( ( t) + t ) f f (( t) + t ) egelőség, f mootoitása és () alapjá f f (( t) + t ) f ( t) f( ) + tf( ) () Továbbá f, f, tehát felírhatjuk f koveitását az f és f potokra is f (( tf ) ( ) + tf ( ) ) ( tf ) ( f ( ) ) + tf( f ( ) ) () () és () alapjá f ( f (( t) + t )) ( t) f ( f( )) + tf ( f( )) Végül és, t, eseté ( f f)( ( t) + t ) ( t) ( f f) ( ) + t( f f) ( ), vagis f f kove o) Hamis Az f, g : ( f g) kokáv függvé f és g( ) függvéek koveek, de

10 78 Függvéek és tulajdoságaik, p) Hamis Az f, g : f és g( ) függvéekre si, < f g :, ( f g) övekvő, viszot sem f, sem g em övekvő q) Hamis állítás Például az f, g :, f () és g () kove és pozitív függvéekre a h () függvé em kove r) Igaz Bizoítás f és g aszimptotikusa közeledek, tehát ε > ε úg, hog ε f g <, ε f és h aszimptotikusa közeledek, tehát ε > ε ε R úg, hog f () h () <, ε Ebből következik, hog g h g f + f h g f + h f < ε, ma { ε, ε } Vagis ε > { ε ma ε, ε } úg, hog g () h () < ε, Ez azt jeleti, hog g és h aszimptotikusa közeledik ε egmáshoz s) Az állítás igaz A bizoítása meghaladja a X osztálos taaag kereteit f kove -e, tehát I itervallumo foltoos Viszot eg foltoos és ijektív függvé szigorúa mooto Bizoítsd be, hog ha f, g : + kove függvéek, akkor a következő két állítás igaz! a) Ha f és g azoos mootoitásúak, akkor f g kove b) Ha f és g elletétes mootoitásúak, akkor f g kokáv Megoldás a) f, g kove,, t, f ( t + ( t) ) tf + ( t) f( ) ( f g)( t + ( t) ) g( t + ( t) ) tg + ( t) g t ( fg) + t( t)( f g + f g ) + ( t) ( fg) Kimutatjuk, hog az egelőtleség jobb oldala kisebb vag egelő, mit a t ( fg) ( ) + ( t)( fg) ( ) kifejezés Ez ekvivales a következő egelőtleséggel: t ( fg) + t( t)( f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) ) + ( t) ( fg) ( t( fg) + ( t)( fg) ) t( t)( fg) + t( t)( fg) t( t)( f g + g f ) t ( t)

11 Függvéek és tulajdoságaik 79 f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) f ( )( g( ) g( )) + f( )( g( ) g( )) [ f f ] [ g g ],, R, t, f és g azoos mootoitásúak b) Az előbbiekhez hasolóa igazolható, hog ha f és g elletétes mootoitásúak, akkor f g kokáv Ha az ( f f f)( ) egeletek egetle megoldása va, akkor az f ( ) egeletek is potosa eg megoldása va Megoldás Lege az a valós szám, amelre ( f f f ) ( ) Kimutatjuk, hog f ( ) f ( ) ( f f f) ( f f f) ( f f f) f De az ( f f f) egeletek csak eg megoldása va, és ez, tehát Ebből következik, hog f ( ) Még igazoljuk, hog több megoldás ics Lege úg, hog f ( ) ( f f), és ( f f f) (Kaster tétele) Bizoítsd be, hog ha f :[ a, b] [ a, b] övekvő függvé, akkor az f ( ) egeletek va legalább eg göke Értelmezd grafikusa az eredmét! Igaz-e az állítás csökkeő függvéekre? Megoldás Lege A { a, b f } A, mivel a A (() fa a), tehát sup A s (A korlátos) A szuprémum értelmezése alapjá s, A Viszot f övekvő függvé, tehát fs () f, A fs () supa s, tehát azt kaptuk, hog fs () s () (a szuprémum bee va a halmazba) Ismét kihaszálva azt, hog f övekvő, következik, hog f(( f s)) f() s fs () A fs () supa fs () s () Az előbbi két összefüggés alapjá fs () s, tehát s fipot Az előbbi tulajdoság grafikusa azt jeleti, hog a függvé grafikoja metszi az első szögfelezőt Csökkeő függvére a tulajdoság em igaz Például az f :,,,, f függvé csökkeő és ics fipotja,,

12 8 Függvéek és tulajdoságaik Megjegzés Nago sok kövbe azt állítják, hog csökkeő függvéekre is b fs () igaz a tulajdoság Az előbbi példa mutatja, hog ez ics íg Bizoítsd be, hog ha az f : függvé szigorúa övekvő és szigorúa a kove, akkor az ( f f) ( ) egeletek legtöbb két megoldása va, és ezekre a s b f Megoldás Az Feladat ) alpotja III ábra szerit f f kove, sőt szigorúa kove Ha az f(() f ) egeletek létezik legalább három megoldása,, és úg, hog < <, akkor a következő összefüggésekhez juták: ff () f f( λ + ( λ) < λff () + ( λ)(( ff)) Mivel ez elletmodás, a vizsgált egeletek em lehet kettőél több megoldása Ha az f(()) f egeletek csak eg megoldása va, akkor az megoldása az f egeletek is (lásd a feladat megoldását), tehát csak azt kell megvizsgáli, amikor az f(()) f egeletek két megoldása va Ha ez a két megoldás és, és ezek em megoldásai az f egeletek, akkor f és f Ez viszot em lehetséges, mert f szigorúa övekvő 6 Bizoítsd be, hog az f : I függvé potosa akkor kove, ha az E {(, ) f( ) } halmaz kove f Megoldás Értelmezés szerit E kove,, ( ) E és f ( ), f λ, ( λ + ( λ), λ + ( λ) ) Ef Az E f halmaz értelmezése alapjá I eseté (, f()) Ef Feltételezzük, hog E f kove halmaz és bizoítjuk, hog f kove függvé Lege, I és λ [, ] tetszőleges A feltételből következik, hog ( λ ( λ), λ f ( ) + ( λ f ) + ) Ef (mivel (, f( )),(, f( )) E f és E f kove halmaz) λf ( ) + ( λ) f ( ) f( λ + ( λ) ), tehát f kove függvé Ha f kove függvé és ( ) ( ),,, Ef, akkor f ( ) és f ( ) Ha az első egelőtleséget λ -val, a másodikat ( λ) -val szorozzuk, és összeadjuk a két egelőtleséget, a λ + ( λ ) λ f + ( λ)f egelőtleséghez

13 Függvéek és tulajdoságaik 8 jutuk De f kove, tehát λf + ( λ ) f f ( λ + ( λ) ) Az előbbi két egelőtleségből következik, hog ( λ ( λ), λ ( λ) ) f + + E, tehát E f kove halmaz 7 Bizoítsd be, hog ha az f : I függvére teljesül az + f + f f ( ) egelőtleség bármel, I eseté, akkor f + f ( ) + + f ( ) f,,,, I és Megoldás A matematikai idukció módszerét haszáljuk A matematikai idukció módszerével köe igazolható, hog k és,, k I eseté + + k f ( ) + f ( ) + + f ( k) f k k (*) k k+ < Lege N, k úg, hog Ha,,, I tetszőlegesek, (*)-ból következik, hog k ( )( ) + + f f k + k+ + + f ( ) + + f ( ) + ( f ) ( ) k + k+ + + k+ + + f ( ) f f + f( ) + f ( ) + f ( ) f Megjegzés A feti bizoítás P( ) P P ( + ) alakú idukciókét is leírható Az általuk választott leírás az első ile jellegű idukciós bizoítás vázlatát követi, amel Cauch-tól származik J L W V Jese 9-be (jauár 7-é) mutatta be ezt az egelőtleséget a dá matematikai társaságak 8 Bizoítsd be, hog ha M eg véges halmaz és f : M M, akkor a következő állítások egeértékűek! a) f ijektív; b) f szürjektív; c) f bijektív Megoldás Elégséges igazoli, hog a) b), a többi ekvivalecia ebből következik a) b) Lege M f Feltételezzük, hog M úg, hog M M eseté f M\ { } az elemek az M-ből

14 8 Függvéek és tulajdoságaik megfeleltetük elemet az M-ből A skatulaelvből következik, hog, M, úg, hog f ( ) f ( ) Ez elletmodás, tehát f szürjektív b) a) f szürjektív f ( M ) Ha az M-ből úg, hog f ( ) f ( ) f ( M) Ebből következik, hog, és ez elletmodás, tehát f ijektív 9 Határozd meg azo f :{,,,, } {,,,, } bijektív függvéek számát, amelekre az f ( ) egeletek létezik legalább eg megoldása M Megoldás Ha a bijektivitást em vesszük figelembe, az A { f M f() i i} jelöléssel i A i -t kell meghatározuk A szitaformula szerit + Ai Ai Ai A i + + i i i i i i Ha az előbbi halmazokba csak bijektív függvéeket számoluk, akkor Ai A (! i k k), tehát i A M De { } k Ai A,, i A i f M f i k j ij j k k + i A C ( ) C ( ) + + ( ) C i i + i A C (! ) C (! ) + + ( ) C ( )! +! + +!!! Ha M eg véges halmaz és f : M M teljesíti az f f egelőtleséget, M eseté, akkor az f ( f ( )) egeletek létezik legalább eg megoldása Megoldás Lege M és {,,, } M, < < < Ha va f- f > ek fipotja, akkor késze vaguk Ha f-ek ics fipotja, akkor f < f ( k) > k k f ( ) > {,, } úg, hog f ( + ) < + f ( ) + < + f ( ) + () f ( ) f( + ) + > f ( + )

15 Függvéek és tulajdoságaik 8 f ( ) f( ) (*) + + A feltételből és (*)-ból következik, hog f ( ) f( + ) + és ()-ből f ( ) o + f (( f ) fipotja f f -ek f ( + ) Megjegzés Ha f-ek ics fipotja, akkor f f -ek kettő is va és o + III Függvéek taulmáozása (6 oldal) Taulmáozd az alábbi függvéek mootoitását: ) f :[ π, π], f si ) f :, f + ; f :, f, rögzített ) f :, f ; ) * + ) f :, f 6) f :, f + Megoldás ) Ugaaz, mit a g : ππ, R, g si taulmáozása π π, - szigorúa csökke π π g :, - szigorúa övekszik, π, π - szigorúa csökke tehát [ π, π] - szigorúa mooto csökke f : ( ππ, ]- szigorúa mooto övekszik ( π,π] - szigorúa mooto csökke ),, > > és + > +, tehát f szigorúa övekvő - e ) Ha páros:, (, ], < > > a (,] itervallumo szigorúa csökkeő, (, + ), < < a (, + ) itervallumo szigorúa övekvő Ha páratla:,, < < f szigorúa övekvő

16 8 Függvéek és tulajdoságaik ) Vegük észre, hog a függvé páratla, tehát elégséges csak a [, + ) itervallumo vizsgáli Lege, > Az f függvé mootoitási, + szakaszait az > egelőtleség megoldásai adják > ( ) + + > (mert ) + + > > Mivel + >, a + > egelőtleség megoldásai az előzőek is megoldásai leszek, + > >, ami teljesül, > eseté Ha <,, akkor + + < + + f a, itervallumo csökkeő a, - is csökkeő Hasoló godolatmeet alapjá f az, + itervallumo övekvő, tehát a, - is övekvő és a mootoitás mideütt szigorú * * ) Az f függvé viselkedése azoos a g :, g függvéével * Viszot, +, > g szigorúa csökkeő a (, ) és a (, ) < itervallumoko Eek elleére g em csökkeő az értelmezési tartomáá, mert g( ), g( ) és g () Hasolóa f sem mooto az értelmezési tartomáá, mert f ( ), f ( ) és f () 6) f páratla, tehát csak a [, + ) itervallumo vizsgáljuk, [, + ), < eseté < + > ( )( + ) > + + Viszot <, tehát ( + ) > < Tehát ha,, akkor f < f és ha, <, akkor ( )( + ) > A fetiek alapjá f a következő tulajdoságú (, ] itervallumo szigorúa csökke a (,) itervallumo szigorúa övekszik [, + ) itervallumo szigorúa csökke Vizsgáld meg az alábbi függvéek koveitását! ) f :[ ππ, ], f si ; ) f : π, π, f cos ;

17 Függvéek és tulajdoságaik 8 ) f :, f ; ) f :, f + ) f :, f ; ; 6) f : \{ }, f + Megoldás ) f a [ π, ] itervallumo kove és a (, π] itervallumo kokáv ) f kokáv III ábra III ábra -π π - ) f kove π π III ábra ) Lege f és f, ahol f, f : Az f függvé kove is és kokáv is, tehát az f függvé koveitását csak az f függvé határozza meg, tehát f kokáv a (, ] itervallumo, és kove a (, + ) itervallumo Ebből következik, hog f se em kove, se em kokáv az értelmezési tartomáá

18 86 Függvéek és tulajdoságaik ) f f + f, ahol f, kove is és kokáv is, tehát f kokáv a (,) itervallumo és f kove a (, + ) itervallumo Ebből következik, hog f se em kove, se em kokáv az értelmezési tartomáá (lásd a III 7 ábrát) III 6 ábra III 7 ábra 6) f, tehát az f függvé ugaola koveitású, mit a + g : \{ }, g + függvé Ebből következik, hog f kove a (, ) itervallumo és kokáv a (, ) itervallumo Grafikus meggodolások alapjá vizsgáld meg az alábbi függvéek mootoitását, koveitását, ijektivitását és szürjektivitását! Ha a vizsgált függvé bijektív, számítsd ki az iverzét!, < ) f :, f ; ) f :, f ;,, < ) f :, f +, ; ) f :, f ;,, > + 7, +, ) f :, f ; 6) f :, f ; 7, >, > + 7) f : f < ;

19 Függvéek és tulajdoságaik 87, [, ] 8) f :[,] [,], f +, (, ] ; +, páros 9) f :, f, páratla, teljes égzet ) f :, f +, em teljes égzet Megoldás ) f szigorúa csökkeő a (, ] itervallumo, szigorúa övekvő a (, + ) III 8 ábra - - itervallumo, kove, em ijektív és em szürjektív: ) f szigorúa övekvő és kove Továbbá f ijektív is és szürjektív is, tehát f, < bijektív függvé, és f, 6 III 9 ábra - -

20 88 Függvéek és tulajdoságaik ) f szigorúa mooto övekvő a valós számok halmazá és f kokáv a (,) itervallumo, valamit f kove is és kokáv is a [, + ) itervallumo Az értelmezési tartomáá f se em kove, se em kokáv, < A függvé ijektív és szürjektív, tehát bijektív is és f, III ábra ) f szigorúa mooto övekvő a (, ] itervallumo, és szigorúa övekvő az (, + ) itervallumo, de f em mooto -e Továbbá f em ijektív, mert az III ábra -

21 Függvéek és tulajdoságaik 89 -e, viszot a (, ] és (, ) itervallumoko midkét tulajdosággal redelkezik f értéket két valós -re is felveszi f szürjektív és se em kove, se em kokáv ) f szigorúa csökkeő a (,] itervallumo és szigorúa övekvő az (, + ) itervallumo f em kove és em kokáv (az potba szakadása va, viszot a részitervallumoko, akárcsak az előző alpotba, kove is és kokáv is), f em ijektív (az 7 értéket többször is felveszi) és em szürjektív, mert például az egeletek ics megoldása (lásd III ábrát) III ábra 7 III ábra - 6-6) f szigorúa mooto csökkeő és se em kove, se em kokáv (em tárgalhatuk koveitásról az pot körül, de a (,) itervallumo kove is és kokáv is, valamit az (, ) itervallumo kokáv) f ijektív, de em szürjektív (az és közti értékeket em veszi fel, ahog ez a III ábrá látszik) 7) f szigorúa csökkeő a (, ) itervallumo és szigorúa övekvő a [, + ) itervallumo f kove és kokáv a (, ) - - III ábra o III ábra

22 9 Függvéek és tulajdoságaik itervallumo, valamit kokáv a [, + ) itervallumo A valós számok halmazá az f függvé se em kove, se em kokáv f em ijektív, mert az értéket többször is felveszi, és em szürjektív, mert f, 8) f szigorúa mooto övekvő az [, ] itervallumo Kokáv az [, ] itervallumo, valamit kove a [, ] itervallumo f bijektív és +, [, ] f (a III ábrá az f iverzéek grafikus képe +, (,] látható) 9) f em mooto, és mivel a természetes számok halmaza em itervallum, koveitásról em tárgalhatuk A függvé ijektív, mert az f : f + és : f függvéek ijektívek és a képhalmazuk diszjukt f em szürjektív, mert az f ( ) egeletek ics megoldása III ábra III 6 ábra 8 8 ) f em mooto és em ijektív, mert f () f ( 6) 8 f szürjektív, mert az : { } f k k, f ( ) függvé szürjektív Koveitásról ismét em beszélhetük a) Az előbbi feladat -es alpotjába szereplő f függvére szerkesszél ola g : függvét, amelre f g R! Igaz-e, hog g f R? b) Az előbbi feladat 6-os alpotjába szereplő függvére szerkesszél ola g : függvét, amelre g f R! Igaz-e, hog f g R? c) Ugaaz a feladat a 9-es és -es alpotokba szereplő függvéekre Megoldás a)

23 Függvéek és tulajdoságaik 9 szürjektív, akkor létezik g B ijektív úg, hog f :, +, g +, g f ( f g),, > (), g g () > és ( f g)( ), ha eg ile g függvé a g, ha > - f szürjektív és em ijektív, g ijektív és em szürjektív; - több g függvé szerkeszthető; - ha f : A B : A f g B f, ha f +, ( g f) f ( g f),, ha f >, > +, b) f : R R, f Im f R\, ), > f, <, < g(), < g (), < f, +, - ismét f ijektív és em szürjektív, g szürjektív és em ijektív; - több g függvé létezik; - ha f : A B szürjektív, akkor g : B A ijektív úg, hog g f A () g +, g (), ( f g) ( f g) (), +, < g, g >, < vagis, (, ) [, + ) ( f g) () +, [, ) +, páros c) A 9-es alpotba szereplő f :, f, páratla függvé ijektív és em szürjektív, tehát baloldali iverz függvét keresük eki

24 9 Függvéek és tulajdoságaik, ha páratla g fb, ha páros és k vag k + alakú, g(()) f, +, ha páros és k alakú g +, g páros fg (()) g, g páratla +, páratla +, párosésk vagk + alakú +, páros és k alakú, teljes égzet A feladatba az f :, f függvé +, em teljes égzet szürjektív, de em ijektív jobboldali iverz függvét keresük eki g( ), eseté megfelelő: fg) ((),, teljes égzet gf (()) ( + ), em teljes égzet Megjegzés Nem létezik h :, h f N, mivel fg (()), hf (()), hfg ( ( )) g, h ( fg (())) g (), h g,, tehát f ivertálható, és iverze a h g függvé f ijektív, ami elletmodás Az f :[, ) + f + függvére létezik-e ola másodfokú függvé, amelhez f aszimptotikusa közeledik? + 6 Megoldás f Kimutatjuk, hog f aszimptotikusa közeledik a g + 7 függvéhez: Lege ε > 6 tetszőleges f () g() < ε + < ε 6 < ε (mert pozitív valós szám) + > > A feti ekvivaleciák alapjá belátjuk, hog ha ε ε

25 Függvéek és tulajdoságaik 9 6 > ε, akkor f () g() < ε Mivel ε > eseté létezik az > ma {, 6 ε ε } szám, és > ε -ra f () g() < ε, az f aszimptotikusa közeledik g-hez 6 Bizoítsd be, hog két külöböző másodfokú függvé em közeledhet aszimptotikusa egmáshoz Megoldás A reductio ad absurdum módszert alkalmazzuk Feltételezzük, hog ε > ε > úg, hog > -ra f () g() < ε, ahol ε f a + b + c, és g( ) a + b + c f g ( a ) a + ( b b) + c c a +b + c Mivel f és g em azoosak három esetet külöböztetük meg I eset a b c, f () g() c < ε ε >, em teljesül, mivel ε c -re c < c em igaz II eset a, b : f () g() b + c ε c Ha b >, akkor mide eseté b + c ε, tehát f () g() ε, ha b ε c, ami azt jeleti, hog f és g em közeledek egmáshoz b ε + c Ha b <, akkor mide eseté, b c ε, tehát b + c ε, vagis, b mivel ε pozitív, f () g() ε Ezzel kimutattuk, hog ebbe az esetbe sem közeledhet f és g egmáshoz aszimptotikusa III eset a, a + b + c < ε Mivel az a + b + c < ε egelőtleség megoldáshalmaza korlátos bármel ε > eseté, az f és a g em közeledhet aszimptotikusa egmáshoz 7 Bizoítsd be, hog: a) ha,,, >, akkor ; b) ha,,, [, π], akkor si + si + +si si ; c) ha,,, R, akkor π d) Ha,,,,, akkor ;

26 9 Függvéek és tulajdoságaik tg + tg + + tg tg Megoldás + a), > eseté, mivel ( ) (( ) + ( ) ) + + * * Matematikai idukcióval igazolható, hog,,, k R + és k eseté k k k k () * k k+ Ha tetszőleges, akkor k úg, hog < Az,,, tetszőleges pozitív számokat kipótoljuk k + számra az j {,, k + },, +, k számokra + j egelőségek szerit, majd alkalmazzuk az () eredmét az k k + + k + ( k+ ) ( k+ ) k k+ k+ ( ) ( ) k + k+ k+ ( + + ) ( ) + + b) A si függvé a, π itervallumo kokáv, tehát t -et helettesítve, + si, -re + si si A III fejezet 7 feladata alapjá + si + si si Megjegzés Általába, ha f kove (kokáv) függvé, és,,, az f értelmezési tartomáába (itervallum) va, akkor teljesül az + f ( ) + f f ( ) Jese-féle egelőtleség c) Az f : függvé kove, tehát a III fejezet 7 feladata alapjá az egelőtleség igaz Megjegzés A feti egelőtleség eg sajátos esete a Cauch-Bujakovszkij egelőtleségek ai, bi, i, eseté ai bi ab i i i i i

27 Függvéek és tulajdoságaik 9 Az ai i, i, és b i, i, helettesítésekkel az előbbi egelőtleséghez jutuk π d) Mivel az f, g :,, f és g tg függvéek övekvők π és koveek, az f g :, függvé is kove, és íg alkalmazható a Jese egelőtleség + + fg + + fg fg π, i,, i,, vagis tg + + tg tg, ahoa következik a bizoítadó egelőtleség * f f 8 Bizoítsd be, hog ha az f : + függvére f, f + f,, akkor f ( ),,, f ( ) f ( ) f ( ) Megoldás A III fejezet 7 feladatához hasolóa járuk el A feltételből követezik, hog f és f ( zt) f ( zt ) + f f f f( zt ) f f f( z) f( t) + + f f f( z) f( t) Ahog az egelőséget bizoítottuk -re, ugaúg bizoítható a matematikai idukció módszerével k -ra Ha tetszőleges (és em kettőhatvá), akkor k k létezik ola k természetes szám, hog > > Az,,, tetszőleges és { } + j,k j számokra alkalmazzuk az adott egelőséget k k ( ( ) ) f f ( ) k k ( ) f f f k k f f f ( ) ( ), ahoa

28 96 Függvéek és tulajdoságaik és f ( ) k k f ( ) f ( ) f ( ) * i >, i,, + + f ( ) f( ) 9 Bizoítsd be, hog ha az f, f,, f : I + függvéek kokávak, akkor az f f f f függvé is kokáv Megoldás Előbb igazoljuk a Huges-féle egelőtleséget Ha a és b pozitív valós számok k {,,, } -re, akkor ( a b)( a b) ( a ) ( b aa a bb b ) Az egelőtleséget ai bb b -el elosztva és az i jelölést haszálva az b i ( + )( + ) ( + ) ( + ) egelőtleséget kell igazoluk Az + egelőtleség alakba is írható Másrészt ( + )( + )( + ) k` k, és, tehát ( )( )( ) Megjegzések ) Az egelőtleség sajátos esete az általáos Cauch féle egelőtleségek m m m m a ij aij, ahol a ij >, ha i, és j, m i j j i ) Az f : f ( ) l( +e ) függvé koveitásából is ugaehhez az egelőtleséghez jutuk ) A baloldalo elvégezve a műveleteket és az azoos számú tagokat csoportosítva, majd az eges csoportokra a számtai-mértai közepek közti egelőtleséget alkalmazva ugaehhez az egelőtleséghez jutuk A feladat megoldása Az ai tfi() és bi ( t ) fi( ) i, számokra alkalmazzuk az egelőtleséget

29 Függvéek és tulajdoságaik 97 fi ( t + ( t) ) ( tfi + ( t) fi ) t fi + ( t) fi i i i i, tehát f ( t + ( t) ) tf + ( t) f Bizoítsd be, hog ha létezik ola ω >, hog az f : \ { } f függvére teljesüljö az f ( + ω) f,, akkor f periodikus (Titu Adreescu) Megoldás Kimutatjuk, hog f ( + ω) f, f () f ( + ω) f f + f f ( + ω), f ( + ω) f () f + f f () f ( f+ ω) f () f () f ( + ω) f( ), f ( + ω) () f f () ahoa következik, hog ω periódusa az f függvéek Bizoítsd be, hog ha az f : függvé teljesíti az f ( + a) + f f egelőséget, eseté (a + rögzített), akkor f periodikus Megoldás f ( + a) + f ( + a) f( + a) f f f f + f f + f + f + f De f ( + a),, tehát f (), Íg f ( + a) f,, tehát a periódusa f-ek Megjegzés Felhaszáltuk, hog a gök alatti kifejezés pozitív, vagis f f f,

30 98 Függvéek és tulajdoságaik III Epoeciális és logaritmikus kifejezések (8 oldal) Számítsd ki: a) log 9 log ; b) log log + log log ; c) 9 log log log + log ; d) log6 log8 Megoldás a) log 9 log és log log, tehát log log log 9 log log ( log )( log ) log log log log log log b) és Az előbbiek alapjá log log log log + c) log log log log 9 log és log log, tehát log 9 log + log log d) log6, log + log és log 6 log 9 + log log8, ahoa log7 + log log log ( + log )( + log ) log ( + log ) log6 log8 Melik agobb? a) log vag log 6 ; b) log 68 vag log7 9 ; log log c) vag ; d) 6lg 6 vag lg lg ; e) log π + log π vag ; f) log + log vag log 6 Megoldás a) log 6 és log > log, ahoa log log log > log > log6 log b) 68 > -ból következik, hog log 68 > + log, 9 < 7 alapjá lo g7 9 < + log7 és log7 < log, tehát log 68 > log7 9 c) Lege log log M és M log M log M M log, M log log d) 6 lg 6 6( lg + lg ) 6 lg + 6 lg + lg lg log M M Viszot

31 Függvéek és tulajdoságaik 99 6 lg 6 lg lg 6 lg lg lg lg lg lg 6lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg >, 8 mivel 9 > és 7 8 >, ahoa 6lg 6> lg lg e) + logπ + logπ logπ, > π logπ > log π log π log π + log π > f) log, log log > log log + > log log log log + > log Megjegzés Felhaszáltuk, hog log log, mivel az log ( + ) sorozat szigorúa csökkeő Bizoítsd be, hog: a) lg 9 + lg > lg 98 ; b) lg 9 < lg 8 ; c) lg 9 < lg 6 Megoldás a) A következő ekvivales átalakításokat végezzük: lg 9 + lg > lg 98 lg ( ) + lg ( + ) > lg( ) lg lg > + lg lg lg lg lg lg > () De lg lg lg lg lg >, tehát () is igaz b) Kimutatjuk, hog lg 9 <, 9 < lg 8 I lg 8 >, 9 9 lg 8 > 7 > 8 >, ami igaz > 8 > > 9 >,96 II, 96, 88, lg 9 <, 96 lg 9 <, 96 9 < 9< < < Viszot <, tehát elégséges kimutati, hog < < 8

32 Függvéek és tulajdoságaik < > (, 9) 9 Másrészt (, 9), 8, (, 8), 66 és (, 66), <, tehát lg 9 < lg 8 c) lg 9 < lg ( + lg ) és lg 6 ( lg ) 6 lg, tehát elégséges igazoli, hog 6 lg lg lg > Az f 6 függvé övekvő a, itervallumo és f >, valamit lg < < (mert > ) Ebből következik a kívát egelőtleség Határozzuk meg a következő kifejezések értelmezési tartomáát: a) log ( + ) ; b) log ( ) ; c) log ; + d) ( log ) ; e) log 9 ; f) log ; log g) log ( log log + ) ; h) log Megoldás a) log ( + ) értelmezett, ha + >, tehát (, + ) b) > ( ) ( + ) > (, ) (, + ) c), mert a tört értelmezett kell lege Másrészt az > egelőtleség is kell teljesüljö + X Tehát (, ) (, + ) d) > > >, tehát (, + ) e) 9 log 9 log log + Tehát (,) ( log, + )

33 Függvéek és tulajdoságaik f) Mivel log értelmezett kell lege, következik, hog > Másrészt log( log ) is értelmezett kell lege, tehát log > > Az előbbiek alapjá (, + ) g) log értelmezett > () Lege log log log, tehát az + > egelőtleség kell teljesüljö, ami ekvivales az ( ) > egelőtleséggel \{± } () () és () alapjá * + \{ ± } * h) log értelmezett > () log értelmezett R\ (,) () () és () alapjá \(,) log Az alábbiakba a tault összefüggéseket alkalmaztuk kifejezésekre Melek helesek az íg kapott egelőségek közül és melek em? (A hamis egelőségek esetébe adj meg eg-eg maimális itervallumot, amele érvéesek leszek) a) log log b) log log ; c) log log, ha ; ( ( ) + ( + ) ( ) d) log ab log a + log b ; e) log log + log + ) ; f) l og log log ; + g) log log( + ) log( + ) ; + h) log log ( ) log ( + ) ; i) log ( + ) ; log j) log a ; k) log ( ) loga Megoldás * a) Hamis, mivel log értelmezett eseté, míg log csak akkor, ha > Ebből következik, hog az állítás érvées, ha > * b) Csak akkor érvées, ha c) Az állítás heles d) Hamis, mert a < és b < eseté a jobb oldal em értelmezett, míg a bal ige Igaz a kijeletés, ha a > és b > e) Hamis Érvées, ha > és + >, vagis (, + ) f) Heles g) Heles h) Heles, mivel >, tehát értelmezett i) Hamis Mivel log ( + ) értelmezett >, és + > R * + \ {} () A jobb oldalo log értelmezett kell lege és em lehet, tehát, > és (, + ) \ {} () Mivel log ( + ) Midig az egelőség bal oldalá megjeleő kifejezést alakítjuk át

34 Függvéek és tulajdoságaik midig értelmezett, ha log értelmezett, () és () alapjá a maimális érvéességi tartomá (, + ) \ { } j) Hamis Teljesül, ha a (Mivel log a értelmezett kell lege ics több feltétel) k) Hamis Teljesül, ha >, vagis (, + ) 6 Határozd meg a következő kifejezések -es alapú logaritmusát: a) 7 ; b) ( ) ; c) d) a b c ; e) a a b g) b b a z Megoldás a) 7 b), tehát lg( ) lg + lg + lg z z 9 6 lg lg lg z lg + lg lg z, ha z 6 z z> z ; f) a b a b b a b a lg 7 lg + lg 7 7 c) 9, tehát lg lg + lg lg 9 lg lg d) lga bc lg a + lg b + l g c, ha b és c azoos előjelűek és a számok közül egik sem ulla e),, a b a b ab ab 6 6 f) l g lg lga b lga lgb, ha a, b > b a b a ba ba 9 9 a a b a a b g) 7 7 lg lg lg ab lga lgb b b a, ha a, b > bba ; ;

35 Függvéek és tulajdoságaik 7 Számítsátok ki ( és -t! Mi a külöbség a és ( kifejezések közt? ) ) 6 9 Megoldás 6;, mivel, R\{,} 8 a) Ha lg 7,, számítsd ki az első hét tizedes jegét! b) Bizoítsd be, hog ha, akkor [ lg ] + az szám számjegeiek számát jeleti (a tízes számredszerbe) Fogalmazz meg más számredszerbe is hasoló tulajdoságot! Megoldás a) lg 7, 7, 7 <, de 7,, tehát -ek az első 7 tizedes jege * b) Lege N úg, hog -ek számjege va Ez alapjá <, tehát lg < lg lg < [ lg], ahoa [ lg ] + Tehát az állítás igaz k alapú számredszerbe az számjegeiek száma [ log k ] + 9 Bizoítsd be, hog lg em racioális! Vizsgáld meg a log, log, log számokat is! Megoldás Feltételezzük, hog lg racioális, q, úg, p pq, pq, p hog lg q p q p q p Viszot p, q p q és p em teljesülhet, tehát elletmodáshoz jutottuk, vagis lg \ q p Hasolóa log, log (,, prímek) log log ( ) + log, log + l og (Kroecker tétele) Jelöljük H α -val az α irracioális szám természetes többszöröseiek törtrészéből álló halmazt: Hα {{ kα} k } Bizoítsd be, hog ha [,], akkor bármel N -re létezik ola θ H α, hog θ < Megoldás Kimutatjuk, hog a halmazak végtele sok eleme va H α { α} { mα} α mα m,, m N ( m) α m és ha m m, akkor α Q Ez elletmodás, tehát m Az előbbiek m alapjá, mivel végtele, következik, hog is végtele Viszot H korlátos is ) (mert { }, ) l H α torlódási pot, vagis -re km, úg, hog { kα }, { mα}, l + l H α α

36 Függvéek és tulajdoságaik Ebből következik, hog { kα} { mα} < Viszot { kα} { mα} {( k m) α } (mert [ ] [ ] [ ] ), tehát {( k m) α} <, vagis -re θ H, amelre α θ < Képezzük a ( k θ) sorozatot Az Arkhimédész aiómából következik, hog t, tθ < ( t + ) θ tθ < θ tθ < és t θ H α, mivel tθ, (ha, akkor úg, hog tθ < ) θ, stb) t ( t + Ebből következik, hog és, eseté θ úg, hog t H α θ t < Kezdődhet-e kettőek valamile hatváa -al? Hát 9-cel? Megoldás 8, tehát -al kezdődhet Ha 9A alakú, akkor v A 9 + A, ahol A < v Ebből következik, hog 9 + 9, v v ), tehát 9 < < Ez akkor teljesül, ha v + lg9 < lg < v + lg, azaz lg v törtrésze {lg9} és {lg } közt va Mivel lg, az előbbi feladat alapjá létezik ola, amelre {l g9} < { lg } < {lg }, tehát létezik ola hatváa - ek, amel 9-cel kezdődik 8 Megjegzés , és ez az első kettőhatvá, amel 9-cel kezdődik Bizoítsd be, hog ha em hatváa -ek, és m N tetszőleges szám, akkor létezik ola természetes kitevőjű hatváa -ek, amel első éhá számjege az m számjegeivel megegezik (Például, ha és m, akkor létezik ola természetes hatváa kettőek, amel -el kezdődik) * Megoldás Azt kell bizoítauk, hog m eseté kl, úg, hog k l k l m < ( m + ) m < m + lg m k lg l < lg( m + ) l p lg irracioális A Kroecker-tétel alapjá az ( { α lg } ) α sorozat sűrű N, -e ({ αlg }) + β sűrű αβ, -o, tehát úg, hog N + αβ, { αlg } + β ( lg m, lg( m + ) ) lg m < αlg [ αlg] + β < lg( m + ) lg m < α lg l < lg( m + ), ahol l β + [ αlg ], l Tehát a fetiek α alapjá első éhá számjege pot az m számot adja

37 Függvéek és tulajdoságaik III Epoeciális és logaritmikus egeletek, egelőtleségek és redszerek ( oldal) Oldd meg az alábbi egeleteket! a) 6 ; b) 8 ; c),; d),, ; e) ; h) 7 g) ; f) 7+ Megoldás Az epoeciális függvé ijektivitását haszáljuk a) 6 7 b) ; + c) + ( ) ( ) és d) (, ), e) 8, tehát az egeletek icse valós megoldása 7 6 f) ( 7) 7 és 6 lg(7 + ) g) ( + ) 7+ lg( + ) lg(7 + ) lg( + ) Viszot ( + ) ( 7+ ), tehát h), tehát az előző feladat alapjá + ( ) ( 7+ ), vagis Oldd meg az alábbi egeleteket! a) 7 9 ; b) + ; c) 6 ; d) + ; e) ; f) Megoldás Az epoeciális függvé ijektivitását haszáljuk a) b) + c) és 666

38 6 Függvéek és tulajdoságaik d) és + + e) + ( + ) f) + em teljesülhet egetle értékre sem, mivel + > és < Oldd meg az alábbi egeleteket: a) + + ; b) ; c) ; d) 7 Megoldás a) + ( ) lg + ( + ) lg lg lg+ lg lg ( lg + lg ) lg + lg lg lg+ lg + b) ( )lg ( + )lg (lg lg ) lg + lg lg + lg <, tehát ics valós megoldás lg lg c) ( )lg + ( + )lg ( + )lg 7 + lg (lg+ lg lg7 lg) lg7 lg+ lg lg 7 lg + lg lg+ lg lg7 lg + d) 7 lg + lg 7 ( + ) lg 7 lg ± lg + lg lg ( lg ) + (lg 7 lg ) lg 7, lg 9 Oldd meg az alábbi egeleteket! a) ; b) ; + c) 6, ; d) 8 Megoldás a) Az egelet (+ + ) alakba írható, tehát b) Az egelet alakba írható, 7 + 7, tehát 7 és íg c) Az első gökkifejezés értelmezett mide eseté, a második pedig csak akkor, ha, tehát a megoldásokat az, + ) itervallumba keressük 8+ + Az egelet a következő alakba is írható: , vagis és

39 Függvéek és tulajdoságaik 7 Mid a kettő em megoldás, mivel a + egelőség em teljesül ( idege gök) Tehát az egetle megoldás 9 d) 8 Oldd meg az alábbi egeleteket! + a) + 8; b) 6 ; c) 6 ; d) e) + ; ; f) + (,) ; g) + Megoldás a) A helettesítéssel az + 8 egelethez jutuk Eek a gökei 8 és em ad megoldást, mivel a egeletek ics valós göke A 8 egeletből az eredeti egelet egedüli megoldása b) Lege, íg az 6 egelethez jutuk Eek gökei és Visszahelettesítve -t -el, kapjuk, hog, és idege gök c) 6 +, ahoa és, log d) Az egelet a következő alakra hozható: Az helettesítéssel az egelethez jutuk, amelek gökei és idege gök, míg -ből kapjuk, hog 7 e), < ahoa és, tehát icse göke az f) + (,) +, < ics valós megoldás egeletek +, ahoa

40 8 Függvéek és tulajdoságaik 6 g) 6 a ( + 6 helettesítést + 6 alkalmazzuk, amellel az + egelethez jutuk Ebből következik, hog +, tehát + 6 és Visszahelettesítve az + 6 és értékeket, kapjuk, hog az egelet megoldásai és a) ; b) ( + ); c) + + ; d) 99 ( + 9 ) ( + ) Megoldás a) Az egelet ekvivales az egelettel Ebből ( 6 ) 6( 6 ) ( 6 )( 6) 6 log6 6 log 6 b), tehát az helettesítést alkalmazzuk Ebből + + és, valamit Az egeletek egetle göke a, míg az egeletek az, tehát M {, } c) Az egelet ekvivales az ( )( ) és és ( em megfelelő, mert értelmetle) A fetiek alapjá M {,, } ) egelettel d) és az egeletet osztjuk -mal t + t, és az egelet a következőképpe alakul: ( t ) t t t t és t I + és, ahoa és II + + +, <, tehát ezek a gökök em adak megoldást Összegezve, M {, }

41 Függvéek és tulajdoságaik 9 7 a) ; b) + + ; c) ; d) Megoldás a) Az egelet ekvivales a egelettel Ha ez utóbbi midkét oldalát elosztjuk 9 -el, a következő egeletet kapjuk: 9 lg lg 9 lg lg 9 b) Elosztjuk az egelet midkét oldalát -el + 8 c) Az egelet ekvivales a egelettel Ha midkét oldalt elosztjuk 9 -el, kapjuk, hog Lege 9 +, ahoa + és d) Midkét oldalt osztjuk -el és az helettesítést haszáljuk és < + + idege gök, megoldás, tehát M { } + 8 a) 7 ; b) c) ; d) ; + + ; e) ( a + a ) + ; f) ; g) + 6 ; h) + log Megoldás a) Az adott egelet ekvivales a egelettel Az f :, f () + 7 függvé szigorúa csökkeő, a g :, 7 g () függvé pedig kostas, tehát az f () g () egeletek csak eg megoldása lehet (a függvéek grafikus képei csak eg potba metszhetik egmást) Mivel megoldás, következik, hog M {}

42 Függvéek és tulajdoságaik + b) megoldása az egeletek Az egelet + alakba írható Az előző alpothoz hasolóa, a bal oldalo szereplő függvé szigorúa csökkeő (két szigorúa csökkeő függvé összege szigorúa csökkeő), míg a jobb oldalo levő kostas, tehát icse több megoldás 9 6 c) megoldás Az egelet + + alakba írható, ahol az egelőség bal oldalá eg szigorúa csökkeő függvé áll, a jobb oldalo pedig eg kostas függvé, tehát em lehet több megoldás d) Ha egatív, akkor , vagis < 8, tehát ics megoldás Ha pozitv, akkor Egelőség akkor és csakis akkor teljesül, ha (felhaszáltuk a számtai-mértai egelőtleséget és az +, > egelőtleséget) e) Az egelet ekvivales az a + ( ) a + egelettel Viszot a > a + Ezekívül +, tehát a + ( ) a a + Egelőség potosa akkor teljesül, ha f) megoldás Több megoldás em lehet, mert az egelet alakba írható és az f :, f + + függvé szigorúa csökkeő, míg a g :, g + függvé szigorúa övekvő h) Egelőség csak akkor állhat fe, ha, vagis ha, vag * i) log értelmezett, ha > Az f :, + f () csökkeő, a g : *, g + log függvé övekvő, tehát az egeletek csak eg + megoldás lehet megoldás, tehát M { } 9 Oldd meg az alábbi egeleteket!

43 Függvéek és tulajdoságaik a) c) ; b) ; + 7 ; d) Megoldás a) módszer Az f :, () 9 f + 9 függvé kove, tehát legtöbb két megoldása lehet az egeletek Észrevehető, hog és megoldások módszer Ha, akkor >, akkor az f :, szigorúa csökke, az lehet és < , tehát ics megoldás Ha f () függvé a (, itervallumo (, + ) itervallumo szigorúa ő, tehát csak két megoldás megoldások, tehát M {,/ } b) Az előbbi feladathoz hasolóa, most is két megoldás lehet, és c) Az f : +, f ( ) + 7 függvé szigorúa kove, tehát az egeletek legtöbb két megoldása lehet (a (,) itervallumba em lehet megoldás) és log megoldások, tehát M,log d), -re + + 6, és, [, ] -re + + 6,9 és [, ] A fetiek alapjá a, itervallumba ics megoldás De -re, és { } íg pozitív megoldás em létezik Az f :,, f függvé szigorúa övekvő, míg a g :,, g függvé szigorúa csökkeő, tehát legtöbb eg egatív megoldás létezhet Ez az, tehát M { } Oldd meg az alábbi egeleteket: + a) 8 ; b) + 6 9; ( c) + )( + ) + +

44 Függvéek és tulajdoságaik Megoldás a) megoldás Az egelet + +, akkor, tehát az egik megoldás Az egelet megoldása log + megoldás 8 lg + lg / ( + ) + alakba írható Ha + lg + lg + ( lg ) + ( lg ), lg± lg + lg+ 8lg lg ( lg ) tehát és log + b) eseté + 6 9<, mivel 6 < ics megoldás c) Elosztjuk az egelet midkét oldalát -el Íg a következő egelethez jutuk: /: + + ( + + ) Lege ( + ) ( + ) ( + ) /, ahoa + és idege gök, az értéket behelettesítve az ( + ) egeletbe kapjuk, hog + ) lg( + lg( + ) lg( ±, tehát lg( + ) A valós számok halmazába oldd meg az alábbi egeleteket! + + a) ( + 7) ( + 7) ; b) ( + ) ( + ) Megoldás a) eset Ha + 7, akkor megoldás, mivel ab, ± a b, tehát, gökei az egeletek eset Ha + 7 > és + 7, akkor + +, ahoa és

45 Függvéek és tulajdoságaik Megézzük, hog ezekre a megoldásokra az alap mile előjelű lesz + 7 < és + 7 <, tehát és az esethez tartozak eset Ha + 7, akkor a kitevők em lehetek -val egelők ± 9, 6 megoldások eset Ha + 7, akkor a kitevők egész számok és azoos paritásúak 7 8 és 8 7 Csak az 8 teljesíti az egeletet eset Ha + 7 < és + 7, akkor és +, valamit + Ebből kapjuk az megoldást Összegezve, az egeletek hat megoldása va és 9 M ± ±,,,7 b) eset + megoldás ± eset + > és + +, ahoa, megoldás, mert teljesítik az + > és + feltételeket eset + 9 eset + em megoldás, mert ( ) ( ) Midkettő eset + < és + +, és + Mivel az egelet gökei em egészek, ez az eset em ad újabb megoldást M ±,, Határozd meg az alábbi egeletek összes megoldását! + a) ; b) c os + ; si c) ; d) c os Megoldás a) Mivel a bal oldal pozitív, következik, hog + >, ahoa > Továbbá + +, mivel pozitív Kimutatjuk, hog, vagis, ha > + ( ) + ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( ) ( + )( ),

46 Függvéek és tulajdoságaik ami igaz bármel > eseté, tehát + Egelőség potosa akkor teljesül, ha +, vagis ha os b) Az egelet ekvivales a c + egelettel De +, és c os, Tehát megoldás csak akkor lehet, ha +, vagis Ez valóba megoldás, tehát M { } A számtai-mértai közepek közti egelőtleséget haszáljuk egmás utá kétszer , mert Egelőség potosa akkor teljesül, ha midkét egelőtleségbe egelőség va, azaz ha Az előbbiek alapjá M { } c) si ha si si Viszot cos, tehát egelőség csak akkor lehet, { kπ } { } π k k Ugaekkor a cos egelőségek is teljesüli kell, Ebből pedig az { kπ k } eredméhez jutuk Ebből következik, hog { } { } k π k kπ k { }, mert k π lπ k π l, lk,, π \ k l, tehát M {} A természetes számok halmazába oldd meg a következő egeleteket! a) ; b)! +! +! + +! ; c) + ; d) ( + )( + 8) Megoldás a) Az em megoldás, tehát feltételezhetjük, hog Ebbe az esetbe + páros szám, tehát + + +, páros N Viszot 7 páratla, tehát ics megoldás b) Ha, akkor! k, k az S! +! + +! összeg utolsó számjegét em befolásolják az! utá következő tagok Viszot! (mod) (! -zel osztva -et ad maradékul) S (mod ) ;! (mod) S! +! (mod) ;! 6(mod) S 9(mod ) ;! (mod) S ( mod ) ; S k (mod ), k () Eg teljes égzet végződései a következők lehetek:,,,, 6, 9 () () és () alapjá csak vag lehet megoldás Ha!, tehát (,) megoldás Ha! +! +!, tehát (, ) is megoldás M {(, ), (, ) }

47 Függvéek és tulajdoságaik c) em megoldás és + * páratla, páratla szám 8l +, l alakú Továbbá sem megoldás, és > -re 8, tehát + 8-cal osztva ugaait ad maradékul, mit Megvizsgáljuk -ek a 8- cal való osztási maradékait k (mod8) + (mod8), k () k (mod8) (mod8) Mivel 8l + alakú és + (mod8), () alapjá k, tehát páros Ez azt jeleti, hog k, k és pithagorászi számhármast alkot, ebbe a sorredbe + m + k ( ) k l m k k m, N, ( m, ) és m (,), tehát az előző összefüggések alapjá k k, ahoa l, és, ahol l m l, ahoa következik, hog k m Mivel m és relatív prímek, következik, hog m vag páratla, és íg k m és k m > csak akkor teljesülhet, ha Ezek szerit k m, ahoa m k k k k Behelettesítve m-et a m összefüggésbe, kapjuk, hog, ahoa k Tehát egetle számpár elégíti ki az egeletet, és ez a (, ) számpár d) em megoldás Ha, akkor, tehát az (, ) pár megoldás Ha >, akkor, ( + ) és ( + 8) is osztható kell lege -mal, ami lehetetle, tehát ics több megoldás Tárgald a következő egeletek megoldását az a valós paraméter értékei szerit: a) ( a + ) + a ; b) ( a ) + a + Megoldás a) ( a + ) + a ( a)( ) a a ha a >, akkor loga, ha a, akkor ics megoldás ebbe az esetbe Összegezve, ha a >, akkor loga és, ha a, akkor b) ( a ) + a + (*) I eset Ha a, akkor + és log II eset Ha a a + <, akkor icse valós megoldás a a + < a + a 6> a (, ) (, + ) III eset Ha a, ± ( a + )( a) \ {} Ekkor és, a

48 6 Függvéek és tulajdoságaik Az és egeletekek csak akkor va valós megoldása, ha >, ± ( a + )( a) vag >, tehát kell vizsgáljuk a kifejezések előjelét, ha a a a, itervallumba va Ha a + ( a + )( a),), akkor <, tehát a em ad megoldást Ha a (, + a + a, akkor >, tehát a + ( a + )( a ) log Ezzel letárgaltuk az gököt a a + ( a + )( a ) Vizsgáljuk a > egelőtleséget Ha a a,, akkor a evező pozitív vag, a számláló egatív, tehát, vagis (, ) em megoldás Ha a, akkor >, tehát megoldás Ha a (, ], akkor >, tehát megoldás Ezzel mide esetet letárgaltuk Eredméeiket a következő táblázatba foglaltuk össze a A gökök (, ] Nics megoldás (,) (, ) log log log, (, ) Nics megoldás ( a + )( a) a ± ( a + )( a) a Megjegzés Ugaehhez az eredméhez jutuk, ha a (*) egelet gökeiek előjelét tárgaljuk a gökök kiszámítása élkül Oldd meg a következő egelőtleségeket! a) < 8 ; b) + ; + c) ; d) ( + ) ( ) + ; e) + ; f) < + ; g) ; h) ; + 6 > + i) + + ; j) ; + + <

49 Függvéek és tulajdoságaik 7 k) 7 > ; l) + ; m) ; ) + 7 < Megoldás a) < 8 < () < Az () (, ) átalakításál a függvé mootoitását haszáltuk b) Az egelőtleség ekvivales a következővel: (9 ) + (,) + c) + + ( ) d) ( + + ) ( + ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A feti előjeltáblázat alapjá,, + e) + ( ) (mert >, R ), f) < + < + > ( + )( ) < ( + )( ) ( + )( ) Következik, hog (, ), ahoa (,log )

50 8 Függvéek és tulajdoságaik g) Lege Az előbbi egelőtleséget beszorozhatjuk -al, mert >, tehát + +,, + + >, tehát, log Az egelőtleség jobb oldalá álló kifejezés egatív, mert + < Ez alapjá + log, (, ) + + log h) Elosztjuk az egelőtleség midkét oldalát ( > ) -el, majd az jelölést haszáljuk A következik, hog ahoa 7 egelőtleséghez jutuk Mivel >, ,, tehát, + 6, lg 9 lg 6 lg 9 lg 6, tehát, + lg lg 7 lg lg i) + 6 > > > ( 6 ) 6( 6 ) > ( 6 )( 6) > log 6 log ( 6 6)

51 Függvéek és tulajdoságaik 9 A táblázat alapjá log 6, log 6 j) + + >, tehát az egelőtleség bal oldalá levő kifejezés midig értelmezett Ha + + < + < (, ) Ebbe az esetbe az ( ) + + < egelőtleség csak akkor teljesülhet, ha a kitevő pozitív, vagis >, tehát ics megoldás Ha + +, akkor ( + +, tehát az egelőtleség em teljesül Ha + + > (, ) (, + ), akkor ( ) + + < < Ez alapjá (, ) (, + ),), tehát (, ) k), em megoldás (, ) 7 (, ), Ebbe az esetbe > 7 7 < < 7 7,, tehát ics megoldás ebbe az esetbe Ha >, vagis, (,+ ), akkor 7 7,, + ) { } ( 7 > 7 >, tehát, 7 (,+ ) l) + + A bal oldalo szereplő függvé szigorúa csökkeő, tehát elégséges megkeresi azt az (, ) potot, ahol a grafikus képe metszi az függvé grafikus képét Ha >, akkor + <, míg ha, akkor + (,] 7 m) + 7 < 7 + < Az f :, f + függvé szigorúa kove, tehát az f egeletek csak két göke lehet: (,) és A koveitásból következik, hog ha, akkor f ( ) <, vagis (,) eseté teljesül az egelőtleség Másrészt < és > eseté f >, tehát a megoldáshalmaz M (,) ) f :, f + szigorúa övekvő, g :, g + szigorúa övekvő, tehát f + g : is szigorúa övekvő Íg az

52 Függvéek és tulajdoságaik f + g 6 egeletek csak eg göke lehet Ez a gök, és mide eseté f () + g () 6, tehát a megoldáshalmaz az [, ) itervallum 6 Oldd meg az alábbi egeletredszereket! + 8 a) ; b) ; c) ; 7 d) lg ; e) ; f) + ; 6 + g) ; h) >, ; i) ; j) ; k) ; z l),, z > ; m) + z >, z Megoldás a) Az egeletredszer a következőképpe alakítható: + 8 a + b 8, 7 a b 7 ahol a és b Ebből következik, hog a és b az a egelet gökei, tehát 7 vag a Íg vag, tehát b b 7 M { (, )},, b) Az egeletredszer a következő alakba is írható: lg + lg 9 lg 68 lg lg + lg + lg, lg + lg lg lg + lg lg + lg ez eg lieáris egeletredszer, amelek megoldásai 9 9 c) 9 8

53 Függvéek és tulajdoságaik d) 6 6 ± Ha, akkor 6 6, tehát ± em gök, mert ( ) em értelmezett Ha, akkor 6 ± em megoldás, mert em értelmezett Összegezve,, M,, Megjegzés < eseté, Z, tehát { ± } Mivel ez em megoldás feltételezhetjük, hog > Ebbe az esetbe az egelőségből következik az egelőség, tehát az előbbi megoldás heles Hasoló vizsgálat szükséges a c) pot teljes megoldásához is, mert az átalakításál a két oldal létezési tartomáa em azoos lg lg lg lg e) A létezési feltétel alapjá > és > lg ( lg lg ) lg lg lg lg + lg ( lg lg )( lg és, ) + ( + ) 6 f) ( + )( + ) 6 Ha, + + tehát megoldás Ha ±, em lehet, mert ( ), tehát ± eseté ( + ) 6 + ±6 6 Ha és ( 6 ) ( 6 ) ( + ) ( ), tehát A megoldások 9 és

54 Függvéek és tulajdoságaik 6 ( 6 ) + 6 eseté 6,, tehát és íg 6 ( 6 ) { } ics több megoldás, és M,,9,,,,, g) Ha, tehát (, ) megoldás Ha k, k és m, m Másrészt k em megoldás em megoldás mert értelmetle Ha { ±, }, akkor és íg ± A fetiek alapjá {(, ), } M,,, h) Az egeletredszerből következik, hog 9 Ha, akkor Ha 9, akkor 9 ( 9) lg( 9) 9lg Mivel >, oszthatuk -al, és íg az lg( 9 ) 9 lg egelethez jutuk Ebből következik, 9 9 hog 8l g lg9 és , tehát M (, ),, t t t t t t i) t t t t t ± t (az egeletek va eg egatív göke is de abból az eredeti egeletre em kapuk megoldást) + Ezt visszahelettesítve az első egeletbe, kapjuk, hog + + és 8 8, tehát M, j) A második egeletből log ( + ) Az f : R R, f () log( + ) ( függvé szigorúa övekvő g () f ) is szigorúa övekvő A h() függvé is szigorúa övekvő, tehát g + h szigorúa övekvő, és íg a g () + h (), tehát egeletek csak eg megoldása lehet megoldás, Ebből M {(,) } k) Ha, akkor 6 Ha, akkor Ha ±, akkor +6 {(, 6 ), (, ) } M,, 8,, 7 8,, tehát 7 8 7

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA

ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W :

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

A matematikai logika alapjai

A matematikai logika alapjai A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás törvényeivel foglalkozó tudomány A matematikai logika a logikának az az ága, amely a formális logika vizsgálatára matematikai módszereket alkalmaz. Tárgya

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR 10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

A digitális számítás elmélete

A digitális számítás elmélete A digitális számítás elmélete 1. előadás szept. 19. Determinisztikus véges automaták 1. Példa: Fotocellás ajtó m m m k b s = mindkét helyen = kint = bent = sehol k k b s m csukva b nyitva csukva nyitva

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011

MÉRÉSTECHNIKA. DR. HUBA ANTAL c. egy. tanár BME Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2011 MÉRÉSTECHNIKA DR. HUBA ANTAL c. eg. taár BME Mechatroka, Optka és Gépészet Iformatka Taszék 0 Rövde a tárgprogramról Előadások tematkája: Metrológa és műszertechka alapok Mérés adatok kértékelése Időbe

Részletesebben

Elektronika 2. TFBE1302

Elektronika 2. TFBE1302 Elektronika. TFBE3 Szűrők TFBE3 Elektronika. nalóg elektronika ismétlődő feladatai, szűrők Szűrő: Olyan elektronikus rendezés, amely a menetére kapcsolt jelből csak a szűrőre jellemző frekenciasába eső

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT Matematika RÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK RÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. a Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből

Részletesebben

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369.

(2) A R. 3. (2) bekezdése helyébe a következő rendelkezés lép: (2) A képviselő-testület az önkormányzat összes kiadását 1.1369. Enying Város Önkormányzata Képviselő-testületének 20/2010. (X. 05.) önkormányzati rendelete az Enying Város Önkormányzatának 2100. évi költségvetéséről szóló 7/2010. (II. 26.) önkormányzati rendelete módosításáról

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

Hosszmérés finomtapintóval 2.

Hosszmérés finomtapintóval 2. Mechatroika, Optika és Gépészeti Iformatika Taszék kiadva: 0.0.. Hosszmérés fiomtapitóval. A mérések helyszíe: D. épület 53-as terem. Az aktuális mérési segédletek a MOGI Taszék holapjá érhetők el, a www.mogi.bme.hu

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k+1 +...+x n k+1 x n k+2...x n Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2012 13-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai Kérjük a javító

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/0-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató.

Részletesebben

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes

9. modul Szinusz- és koszinusztétel. Készítette: Csákvári Ágnes 9. modul Szinusz- és koszinusztétel Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 11. évfolyam 9. modul: Szinusz- és koszinusztétel Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Komputer statisztika gyakorlatok

Komputer statisztika gyakorlatok Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Mikrohullámok vizsgálata. x o Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)

Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben