TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

Átírás

1 TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT INTEGRÁL97 V FEJEZET HATÁROZOTT INTEGRÁLOK KISZÁMÍTÁSA 7 VI FEJEZET A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI5 VII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ GYAKORLATOK ÉS FELADATOK 4 ALGEBRA I FEJEZET RELÁCIÓK7 II FEJEZET CSOPORTOK 9 III FEJEZET GYŰRŰK ÉS TESTEK 4 IV FEJEZET VEKTORTEREK9 V FEJEZET GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 8

2 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gykorltok és feldtok ( oldl) I Vizsgáld meg, hogy következő függvéyekek milye hlmzo v primitív függvéyük és ezekbe z esetekbe htározd meg primitív függvéyeiket: f ( ) ; ( ) f + ; f ( ) + ; 4 f ( ) 5 + ; f ( ) + ; 6 f ( ) ; f ( ) + ; 8 f ( ) + 9 f ( ) + ; f ( ) + ; 5 ( ) f ; f ( ) 5 ; f ( ) sh + ch ; 4 f ( ) sh( l ) ; 5 f ( ) sh ; 6 f ( ) si ; 7 f ( ) cos ; 8 f ( ) si ; 9 f ( ) si cos 4 f ( ) tg( + ) ; f ( ) ctg ; f ( ) ; si + cos ( + ) f ( ) 9 f ( ) 4 5 f ( ) 9 f ( ) f ( ) + 9 f ( ) 9 9 f ( ) + 4 f ( ) 4 f ( ) 9 f ( ) 4 Megoldás d d + d + d + d C 4

3 6 A primitív függvéy és htároztl itegrál Az előbbi összefüggés mide eseté érvéyes, mert z,, és kifejezésekkel értelmezhető függvéyek z -e primitiválhtók és primitiválhtó függvéyek összege is primitiválhtó, sőt z összegfüggvéy primitívje tgok primitívjeiek összege A továbbikb csk primitíveket írjuk fel és mimális itervllumot, melye létezek, esetleg rövide hivtkozuk rr, hogy melyik szbályt hszáltuk 4 + d + + C és D [, ) 4 + d + * C és I D, hol I egy itervllum Megjegyzés A továbbikb z I D jelölés zt jeleti, hogy I egy itervllum és primitívre votkozó összefüggés I - érvéyes H em szűkítjük le egy itervllumr primitív értelmezését, kkor z előbbi feldt megoldás, + C < d + + C, > mert em trtozik z eredeti függvéy értelmezési trtomáyához d d + d + + C C és D [, ) d * C és I D d d d + C * 7 + d + l + C és I D d 8 l + + C és I D \ + { } 9 l * + d + + C és I D d + + C és D l 8 d 8 d + l8 C és D * és I D

4 A primitív függvéy és htároztl itegrál 7 5 Az l 5 5 megjeleik z l 5 kifejezés deriválásából megkpjuk z 5 kifejezést, de még 5 tg is, tehát -ből kivov z 5 egy primitívjét, keresett l 5 l függvéyt kpjuk Vlób, z F :, F ( ) + C függvéy l 5 l 5 deriválhtó és F ( ) f( ),, tehát z f függvéy primitiválhtó z -e és 5 5 f ( ) d + C l 5 l 5 sh + ch d ch + sh + C e + C és D l l e e l 4 sh( l ) d d d C + és 4 D (, ) 5 sh d ch + C és D 6 si d cos + C és D 7 cos d si + C és D 8 A feldthoz hsoló részekét megkereshetjük primitív függvéyt és így z F :, F () cos+ si függvéyhez jutuk Ez deriválhtó és F ( ) f( ),, tehát z f függvéy primitiválhtó z -e és fd () cos + si + C 9 + d ctg + tg 4 + C és si cos 4 4 (k + ) I D \ { k k } k 8 tg( + ) d l cos( + ) + C és (k + ) I D \ k 6 ctg d l si + C és I D \ { k k } Mivel cos( + ) cos( + ) cos, írhtjuk, hogy

5 8 A primitív függvéy és htároztl itegrál d d si + cos ( + ) si + cos és ez érvéyes D - d l + C és D I \{ ± } d C +, d d 4 l + C l + C, 4 + I D \ ± d 5 rctg + C és D + 9 d 6 rctg + C és D 7 d l( + + 9) + C és D d l 9 + C és D I \[,] 9 9 d 4 l C és D + d 4 l + C és D I \, 4 d rcsi + C és D (,) 9 d rcsi + C és D, 4 II Bizoyítsd be, hogy következő függvéyekek v primitív függvéye: rctg, h f :, f ( ) ;, h

6 A primitív függvéy és htároztl itegrál 9 si, h f :, f ( ) ;, h l + h f :, ( ), f ;, h ( + ) e, h 4 f :, f ( ) ; l +, h > 5 f :, f ( ) m {, }; cos, h 6 f :, f ( ) ;, h ( + si ), h 7 f :, f ( ) ;, h e si, h 8 f :, f ( ) ;, h cos, h 9 f :, f ( ) rctg ;, h e si, h f :, f ( ), h rctg, Megoldás Mivel lim rctg, z f :, f (), függvéy folytoos, tehát primitiválhtó is si Mivel lim és feldtb értelmezett függvéy folytoos, létezik primitív függvéye -e l + l( + ) lim lim, tehát vizsgált függvéy folytoos -e és így primitiválhtó is

7 A primitív függvéy és htároztl itegrál ( ) 4 Mivel lim f ( ) lim + e, lim f ( ) lim( l + ) és < < > > * f (), z f függvéy folytoos -b Másrészt f folytoos -o, tehát folytoos -e és így létezik primitív függvéye 5 Az f :, f( ), és f :, f( ), függvéyek folytoosk, tehát z f () m((), f f()), függvéy is folytoos és így létezik primitív függvéye 6 A függvéy em folytoos -b, ezért más godoltmeetet hszáluk, megpróbáluk előállíti egy oly függvéyt, melyek deriváltj trtlmzz cos kifejezést si cos, tehát si kifejezés deriváltjáb megjeleik cos Potosbb si * si + cos, Az itt megjeleő függvéyeket megpróbáljuk folytoos meghosszbbíti -b lim si lim si, tehát írhtjuk, hogy G :, si, G ( ) si, és h :, h ( ) függvéyek,, * G () G() folytoosk G deriválhtó -o és lim lim si, tehát G deriválhtó -b és G () Ez lpjá f ( ) G ( ) + h( ), A h folytoos, tehát létezik primitív függvéye, G -ek létezik primitív függvéye, tehát z f -ek is létezik primitív függvéye si, 7 A h :, h () függvéy folytoos és G :,, si, G () függvéyek létezik primitív függvéye, tehát z összegükek, is létezik primitív függvéye Megjegyzés Hszálhtjuk z 5 megoldott feldtot (lásd tköyv 9 oldlá) 8 A bizoyítást itt is elvégezhetjük 6 feldt megoldásához hsoló, h e cos, G :, G (),

8 A primitív függvéy és htároztl itegrál és e cos + e cos, h :, h ( ), segédfüggvéyeket hszáljuk ( G h f) Az egyszerűbb godoltmeet következő: ( e ) si, h :, h ( ), si, függvéy folytoos és G :, G () függvéyek létezik, primitív függvéye, tehát z összegükek is létezik primitív függvéye Megjegyzés Hszálhtjuk z 5 megoldott feldtot (lásd tköyv 9 oldlá) 9 Tekitsük rctg ( + rctg) si, h :, h () rctg és, rctg ( + ) si, G :, G ( ) rctg, segédfüggvéyeket A h függvéy folytoos -e, G deriválhtó -e és f ( ) G ( ) + h( ),, tehát z f primitiválhtó e e cos si, A h :, h () e függvéy folytoos, e cos, és G :, G ( ) e függvéy deriválhtó -e, továbbá, f ( ) G ( ) h( ),, tehát z f primitiválhtó III Bizoyítsd be, hogy következő függvéyekek ics primitív függvéye: f :, f ( ) sg ;, h < f :, f ( ) cos, h ; f :, f ( ) [ ] ;

9 A primitív függvéy és htároztl itegrál 4 f :, f ( ) { } ;, h 5 f :, f ( ), h \ ; si + cos, h 6 f :, f ( ) ;, h, h 7 f :, f ( ) ;, h \ si, h 8 f :, f ( ) ;, h cos, h 9 f :, f ( ), h Megoldás A függvéy képe {,,} hlmz, tehát em itervllum Ebből következik, hogy f em Drbou tuljdoságú, tehát ics primitív függvéye Mivel lim f ( ) lim, lim f ( ) lim cos z f függvéyek elsőfjú < < > < szkdási potj z Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye Az f függvéy képe csk z egész számokt trtlmzz, tehát em itervllum Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye 4 Mivel lim f ( ) lim{ } és lim f ( ) lim{ } z f függvéyek k k < k < k k k > k < k elsőfjú szkdási potj z k, mide k eseté Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye 5 Igzoljuk, hogy f em Drbou tuljdoságú H és 5, kkor f ( ) ( ) és f Az y 4 (,5) érték eseté z f () y egyeletek 5 ( ) ics megoldás z, itervllumb, mert z f () 4 egyelőség csk z ±4 értékek eseté teljesül és ezek icseek vizsgált itervllumb Ezek lpjá z (, itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou ) tuljdoságú és így ics primitív függvéye 6 Az f :, si, f( ) cos, és f :, f ( ),,

10 A primitív függvéy és htároztl itegrál függvéyekek létezik primitív függvéye, tehát h f -ek is léteze primitív, függvéye, kkor z f f f függvéy is primitiválhtó vol Ez,, viszot elletmodás, mert z f :, f( ) függvéy képe em, itervllum, tehát függvéy em Drbou tuljdoságú és így ics primitívje sem 7 Igzoljuk, hogy f em Drbou tuljdoságú H 7 és 9, kkor és f Az y 8 (7,9) érték eseté z f () y egyeletek f ( ) 7 ( ) 9 ics megoldás z (, ) itervllumb, mert z f () 8egyelőség csk z 8 érték eseté teljesül és ez ics vizsgált itervllumb Ezek lpjá z (, ) itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou tuljdoságú és így ics primitív függvéye si, 8 A h :, h ( ) függvéy folytoos, tehát létezik primitív, függvéye H z f függvéyek létezik primitív függvéye, kkor z f g függvéy is primitiválhtó Ez elletmodás, mert z f g függvéy képe em itervllum cos, 9 Az f :, f( ) függvéyek létezik primitív függvéye,,, tehát, h z f is primitiválhtó, kkor z ( f f)( ) függvéy is, primitiválhtó vol Ez em lehetséges, mert f f képhlmz em itervllum IV Adj példát két függvéyre, melyekek ics primitív függvéye, de szorztukk v Megoldás Az, f, g :, f ( ), és g ( ), >, > függvéyekek em létezik primitív függvéye, de szorztuk idetikus ull, tehát szorztk létezik primitívje Adj példát két függvéyre, melyekek ics primitív függvéye, de z összetett függvéyek v

11 4 A primitív függvéy és htároztl itegrál, Megoldás Az f, g :, f ( ), és g ( ), >, > függvéyekek em létezik primitív függvéye, de z összetételükre ( f g)( ),, tehát z f g függvéyek létezik primitívje Bizoyítsd be, hogy h z f :[, b] ( b,, < b) függvéyek v primitív függvéye z [ c, ] és [ cb, ] itervllumoko ( c (,) b ), kkor f -ek v primitív függvéye -e Bizoyítás H és F z f primitívje z [ c,] és [ cb, ] itervllumo, kkor z F F(), [,] c F :[, b], F () F () F () c F(), c (,] c b + függvéy folytoos, deriválhtó és F ( ) f( ), [, b], tehát f -ek létezik primitívje z [ b,] itervllumo 4 Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéyek v primitív függvéye z, k -e zárt itervllumoko, hol Bizoyítás H I [ b ] J Így k, k k k I k, kkor I k f -ek v primitív függvéye, k és Ik, kkor bármely [, ] itervllum eseté létezik oly k, melyre J Ik J k I k k k itervllum felbothtó véges sok diszjukt belsejű itervllum egyesítésére úgy, hogy z egyes részitervllumok midegyike vlmelyik I k itervllum része legye Az előbbi feldt lpjá z f -ek létezik primitívje k k k k J itervllumo Az F :, F () Fk() + F () Fk(), Jk függvéy jól értelmezett és teljesül rá z F ( ) f( ), összefüggés, tehát f függvéyek létezik primitív függvéye z hlmzo 5 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z f :, rctg, h, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye F

12 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 rctg, Megoldás lim rctg, tehát g :,, g (), függvéy folytoos és így létezik primitív függvéye H z f függvéy, primitiválhtó, kkor z ( f g)( ) függvéy is primitiválhtó α, Eek függvéyek képtrtomáy α eseté két értéket trtlmz, tehát ebbe z esetbe függvéy em Drbou tuljdoságú Ez lpjá vizsgált függvéyek potos kkor v primitív függvéye, h α 6 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z si, h f :, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye cos Megoldás A si zoosság lpjá írhtjuk, hogy cos, f ( ) cos, A g :, g () függvéy α,, primitiválhtó, tehát z f függvéy potos kkor primitiválhtó, h α (ellekező esetbe z f g külöbség képtrtomáy két potot trtlmz) 7 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z si cos, h f :, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye 4 Megoldás A si cos si cos si cos zoosság lpjá átlkítjuk függvéyt A 5 si si, G :, G ( ) + 5, függvéy folytoos és deriválhtó H, kkor

13 6 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 4 G ( ) si + si cos + si si cos 5 és G () A 5 si si, h :, h () 5,, függvéy folytoos, tehát létezik primitívje és f ( ) G ( ) + h ( ) +, α, Ez lpjá z f potos kkor primitiválhtó, h α 8 Bizoyítsd be, hogy h z f :[,] [,] függvéyek v primitív függvéye és létezik α (,) úgy, hogy f ( α ), kkor f em ijektív Bizoyítás H f primitiválhtó, kkor Drbou tuljdoságú H f ijektív és Drbou tuljdoságú, kkor szigorú mooto Ez em lehetséges, mert f() (,] f() (,], α (,) és f( α ) 9 Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéy eseté f ( ), >, kkor f -ek ics primitív függvéye Bizoyítás H f(), kkor lim f ( ) lim összefüggés lpjá > > lim f ( ) Ez lpjá létezik oly I (, ε] itervllum, melyre f () > +, > I, tehát [, ε] itervllum képe trtlmzz -t, trtlmz + -él gyobb elemeket és em trtlmz és + közti elemeket Így [, ε] itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye Létezik-e oly f : függvéy, melyek v primitív függvéye és f f? Megoldás Lásd feldtot Létezik-e oly f : függvéy, melyek v primitív függvéye és ( )( ) * f f,, hol? Megoldás H f primitiválhtó, kkor Drbou tuljdoságú Az f f függvéy ijektív, tehát f is ijektív és így szigorú mooto Másrészt h f szigorú mooto, kkor f f szigorú övekvő és ez elletmodás, mert g ( ), függvéy szigorú csökkeő

14 A primitív függvéy és htároztl itegrál 7 * Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéyek létezik primitív függvéye, g : függvéy folytoos deriválhtó, és g( ), eseté, h : függvéy pedig z függvéy egy primitív függvéye, kkor z g f o h függvéyek is létezik primitív függvéye! Bizoyítás Tekitsük K :, K () g ()( F h)(), függvéyt, hol F z f egy primitív függvéye Mivel gf, és h deriválhtó függvéyek, K is deriválhtó és K () g () ( F h) () + ( f h)( ) Másrészt z F h és g függvéyek folytoosk, tehát g ( F h) függvéy is folytoos és így primitiválhtó, tehát z f h függvéy is primitiválhtó (két primitiválhtó függvéy külöbsége) * Bizoyítsd be, hogy h z f :(, b) függvéyek folytoosk és f f,, f (), [,] b kkor z f () f (), [,]\ b függvéyek ics primitív függvéye! Bizoyítás Mivel f f létezik oly c (,) b, melyre f() c f() c f() c f() c Feltételezzük, hogy f() c > f() c és megszerkesztjük z ε > számot f folytoos függvéyek, tehát létezik oly δ >, melyre, f () ( f () c ε, f () c + ε) ( ) és f () f () c ε, f () c + ε, ( c δ, c+ δ) Ez lpjá ( c δ, c+ δ) itervllum képe em itervllum, mert f() c + ε< f() c ε és z f (( c δ, c+ δ)) itervllum trtlmz elemeket z ( f() c ε, f() c + ε) itervllumból is és z ( f () c ε, f () c + ε) itervllumból is

15 8 Itegrálási módszerek Gykorltok (9 oldl) II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A prciális itegrálás módszere Htározd meg, hogy milye hlmzo létezik primitív függvéye z lábbi függvéyekek és számítsd ki primitív függvéyt vgy dj rekurziós összefüggést rá: f l ( ) l d l d l d l + C és 9 * D + f ( ) l( + ) l( + ) d l( + ) d l( + ) d + l( ) d ( + ) l( + ) + l( + ) + C és D (, ) 4 f sh + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + shd + ch d + ch ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( + )ch d + ch + sh d + ch + sh + shd ( ) ( ) + ch + sh + ch +C és D 4 f ( ) sh sh d ch + C és D f + + e 5 ( ) ( ) e ( + + ) e d ( + + ) d e e ( + + ) ( 6 ) d +

16 Itegrálási módszerek 9 e e ( + + ) ( 6 ) d + 9 e e e ( + + ) ( + 6 ) + ( 6 + 6) d 9 9 e e e ( + + ) ( + 6 ) + ( + ) d e C és D 9 7 Megjegyzés Az Pe () d lkú itegrálok ( P [ X] és gr P ) kiszámítás sorá -szer itegráluk prciális Az eredméy Qe () + C, hol Q [ X] és gr Q és ezt meghtározhtjuk z együtthtók zoosításávl is Az ) előbbi példáb z eredméy ( b c d e lkú ( koststól eltekitve) és eek deriváltj ( ( ) + b + + ( c + b ) + d + c) e, tehát, + b, c+ b és d + c egyeletredszerhez jutuk Eek 7 megoldás, b, c és d, tehát ugyhhoz z eredméyhez 9 7 jutuk 6 f ( ) ( + ) e l ( + ) e l d ( + )l ( e ) d ( + ) l e e ld + e e d e ( + ) l e l + d e + d e * ( + ) l e l e + C és D + 7 ( ) ( + + ) f e 8 f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + e d + + e d + + e ( + ) e d + e + C és D l d d d + l ( ) l l l l l 9 f ( ) si * + 6 l 6 + C és D + si d ( cos ) d cos + cos d cos + si + C és D

17 Itegrálási módszerek f ( ) si ( ) si d cos d cos + cos d cos + si + 6 cos 6 si + C, és D f ( ) 4 cos si 4 cos d d si si d cos 4 4 si + cos d si cos si 8 si si cos si d cos 8 + si + C és D 9 8 f ( ) rctg rctgd d rctgd rctg + l f ( ) rctg rctg + +C és D l d l d l d l C f ( ) ( si + cos ) e 5 f ( ) si si e d e si cos e + C, tehát ( si + cos ) e d e si +C és D ( ) * + és D si d si ( cos ) d si cos + cos d si + ( si ) d si tehát si d + C Másképpe 4 cos si si d d + C 4 6 f ( ) si cos és D

18 Itegrálási módszerek si cos d si (si ) d si cos si d si tehát si cos d + C Másképpe si cos si cosd d + C és D 4 7 f ( ) e si e e si e e si d si d si cos d e si e si d Az I e si d itegrált prciális itegrálás módszerével számítjuk ki e e e I sid si e cosd si e e e 4 cos d si cos I 9 e Ebből következik, hogy I ( si cos) + C, tehát e si si cos e si d e + C 9 8 f ( ) e ( si + cos ) és D Az I si e d és J cos e d itegrálokt külö-külö htározzuk meg si I e d si e cos e d si e cos e si e cos e 9I I + C és cos J ed cos e + si ed cos e + si e cos e + si e 4J J + C, 5 tehát si cos + cos + 4 si ( si + cos ) e d e + C, D f + si 9 ( ) ( ) ( ) si ( ) ( cos ) + d + d

19 Itegrálási módszerek ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) si cos + cos + + cosd C f ( ) ch si és D I ch si d ( sh ) si d sh si sh cos d sh si ch cos sh si ch cos I I +C f ( ) cos( l ) I cos( l ) d cos( l ) + si ( l ) d és D cos( l ) + si ( l ) I I ( cos( l ) + si ( l ) ) + C és D α f ( ) l α Legye I l d Prciális itegrálv α+ α+ α l I l l d α+ I α+ α+ α+ Ahhoz, hogy egyértelműe meg legye htározv, meg kell htározuk I -t: I α+ α * I d + C és D α + + f ( ) si α si cos I αd α + cos α d α α ( ) cos α + si α I α α α Ahhoz, hogy meg legye htározv, még szükségük v -r és I -re I I I si αd cos α + C, α I si αd cos α si α + α α + C 4 f ( ) e si és D I e si d e si e si d e cos d e si e si d e cos + e cos I e ( si cos ) + e cos I + C és D 5 f ( ) sh

20 Itegrálási módszerek sh d ch ch d ch sh + c, D 6 f ( ) ch sh ch d sh d sh ch + sh + C, D f ( ) si ( sh + ch ) Az I si sh d és J si ch d itegrálokt külö-külö htározzuk meg ch I si sh d si ch cos d ch sh si cos I, ho ch sh I si cos +C 4 4 sh ch 4 J si ch d si cos 9 9 J J ( si sh cos ch) +C, tehát si ( sh + ch ) d si ch cos si + ( si sh cos ch ) + C és 4 4 D 8 f ( ) rcsi rcsi d rcsi d rcsi + + C D (, ) és 9 f ( ) rccos( + ) rccos( + ) d rccos( + ) + ( + ) d rccos( + ) 9 d ( + ) ( ) rccos( + ) + rccos( + ) +C és

21 4 Itegrálási módszerek D, f ( ) rctg rctg d rctg d + ( ) rctg d rctg + C és D, f ( ) + ( ) + I + d d l f ( ) 6 9 ( ) ( ) l I l I + C és D 6 9 I 6 9 d d d rcsi + d rcsi I I rcsi + + C és D, 4 4 f ( ) 9 hol I d d ( ) 4 9 ( 9) 9 ( 9) 9 9d I J ( ) + 9, ( 9) 9 ( 9) 9 J d d ( 9) J + 9K,

22 Itegrálási módszerek 5 K 9d d 9 d 9 9 9l K 9 l 9 K C + ( ) l 9 J + + C ( 9) ( 9) l 9 I C ( ) 79 l I D (, ) (, ) 5 4 f ( ) 4 hol ( ) I 5 4d 4 4 d 4 ( 4) ( ) ( 4) d I J, 4 + ( 4) 4( 4 ) 4 J d d Következik, hogy J és ie ( ) ( 4) J + ( ) ( 4) + C 5 5 ( 4) 6 ( 4) 8 ( 4) 4 I C ( ) C és I D (, ) (, ) 5 f ( ) 5 9 C és

23 6 Itegrálási módszerek I d d ( 5 9 ) ( ) ( ) d De feldt lpjá tehát ( ) I + d d rcsi + + C, 6 5 ( ) I + rcsi C rcsi C és 5 5 D, rcsi 6 f ( ) rcsi rcsi d d rcsi + + C és D (,) si 7 f ( ) e si e I d si ( cos ) e d ( ) si e cos e cos + si cos d si cos e ( si ) e d si + e d si cos e e I si e I si cos + + si I e +C és D 5 8 f ( ) l +

24 Itegrálási módszerek 7 l l d d + + l l C és I D (, ) (, ) l( l ) 9 f ( ) l( l ) l d l l ( l ) d l l( l ) l + C l és * D + 4 f ( ) rcsi rcsi d rcsi rcsi d rcsi + rcsi d l 4 f ( ) + rcsi + rcsi + C (, ) ( ) l d és D d l + ( ) ( + ) + ( + ) l + + d + + ( ) l * + l l ( + ) + C és D ( + ) 4 + rcsi 4 f ( ) e rcsi rcsi rcsi I e d e + e d rcsi rcsi e + e I rcsi rcsi e e I + C és D (, ) rccos 4 f ( ) e rccos rccos rccos e d e e d rccos rccos e e I

25 8 Itegrálási módszerek rccos rccos e e I + C és D (, ) 44 f ( ) rctg 45 f ( ) rctg d rctg d + 4 rctg + d rctg + l( + 4 ) + C és D 48 rctg e ( + ) I rctg rctg e ( e ) d ( ) + + d rctg e rctg d + e + ( + ) + + rctg rctg e e rctg + + e d ( ) rctg rctg + e ( + ) e I I + C és D f ( ) l( + + ) l( ) l( ) + + d + + d + ( ) l C és D l 47 f ( ) l l l l + l + 6 l + 6 d + d + C * és D + rcsi 48 f ( ) rcsi rcsi d + d

26 Itegrálási módszerek 9 rcsi + l + + C és I D (, ) \ { } + 49 f ( ) rctg rctg d rctg rctg d + rctg rctg rctg d d + + rctg rctg + l ( + ) + rctg + C és D 5 f ( ) cos ( l ) Legye cos ( l ) d cos ( l ) + cos( l ) si( l ) d cos ( l ) + si ( l ) d I si ( l ) d si ( l ) cos( l ) d si ( l ) cos( l ) si( l ) cos( l ) 4I I +C, 5 tehát si ( l ) cos( l ) * cos ( l ) d cos ( l ) + + C és D f ( ) si si I si ( cos ) d d ( ) si cos + si cos d si cos + ( ) I ( ) I si cos I I Ahhoz, hogy teljese meg legye htározv, ki kell számoluk -t és I -t I I I si d cos +C, si I si d + C ( 5 feldt lpjá) és D 4 5 ( ) cos * f, cos I d cos ( si ) cos si + ( ) cos si d d

27 Itegrálási módszerek cos si + ( ) I ( ) I cos si I I +, I cos d si + C, + cos si I cos d d + + C és D 4 * 5 f ( ), cos si + cos si I d d d I cos + cos cos si I, cos cos cos si I l d d d cos cos c si + si +, k I d tg + c és I D \ k cos 54 ( ) l * f, és I l d l l d l I Gykorltok (6 oldl) I l d l + C * és D + Helyettesítési módszerek Htározd meg, hogy milye hlmzo létezik primitív függvéye z lábbi függvéyekek és számítsd ki primitív függvéyt: f ( ) ( ) + ( ) + ( ) Megoldás d + d l +C és I D \{} Az t helyettesítéssel lpitegrálokr bothtó szét f ( ) Megoldás A t helyettesítéssel d tdt, 4 t t 4 d ( t + ) t dt + + c ( ) + + C és D [, )

28 Itegrálási módszerek e f ( ) + e e Megoldás d ( e ) d rctge + C + e és D + ( e ) 4 f ( ) + Megoldás d ( ) d C + + és D f ( ) + Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és l( ) d t tdt t t C 6 f ( ) si cos ( ) l + + C és D [, ) 4 si Megoldás si cos d si ( si ) d + C és D 4 7 f ( ) 4 Megoldás Az sit, t, helyettesítéssel d costdt, cost > és 4si t d costdt 4 cost 4 si tdt t si t + c rcsi + C 4 rcsi 4 + C és D (, ) f + 8 d 8 + d ( ) Megoldás ( ) 9 ( ) f 4 + ( ) l C és D

29 Itegrálási módszerek Megoldás f ( ) Megoldás rctg d 4 ( ) d + C + ( ) + 8 és D 4 4 ( ) rcsi d d + C ( ) 4 (, ) és D 5 f ( ) + 5 Megoldás 5 d ( + + ) 5 + d 5 ( + ) 6 + C és 8 D f ( ) ( + l) Megoldás d ( l) + d C ( + l) ( + l) ( + l) + * és D + f ( ) l ( l ) Megoldás l ( ) d ( l ) d l l + C l l ( ) D I e e * és + \{, } 4 f ( ) l( 6 ) d ( ) l( ) + ( + ) l( + ) d ( l ) ( ) ( ) d + + ( + l ) ( + ) ( ) d l( ) + l( + ) + C és I D (, ) (, ) Megoldás 6 l( )

30 Itegrálási módszerek ( ) Megjegyzés Az t helyettesítéssel z l t dt itegrálhoz jutuk, mely egy prciális itegrálás utá rcioális törtfüggvéy itegráljár vezetődik vissz 5 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d 6t dt és t 5 d 6t dt + + t ( t + t ) ( t + t ) + ( t + t ) ( t + ) + 6 dt t t 6t t + 6 6t + 6rctgt + C rctg + C és D R + 6 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és 5 t t + t t d 4t dt 4 dt 4 + t + t + 4t l( t + ) + C 4 l( 4 + ) + C és D + 7 f ( ) Megoldás Az + t helyettesítéssel d tdt és + + t + t t + ( t ) + d tdt dt + t t D [, ) t + 4t + 4l t + C l + +C és 8 f ( ) ( + ) + Megoldás Az + t helyettesítéssel d tdt és tdt d rctgt + c rctg + C + + t + t ( ) + és ( ) D (, ) e 9 f ( ) e

31 4 Itegrálási módszerek e ( e ) e Megoldás l ( ) + * d d C e és D e e + f ( ) Megoldás A t helyettesítéssel rcsi 6 d C és D, f ( ) Megoldás 9 d l C és D si f ( ) e cos si Megoldás e si d e si cos ( si ) d e + C és D f ( ) cos cos ( si ) si Megoldás d d d l C cos cos + si + si ( k + ) és I D \ k cos 4 f ( ) 7 si cos cos Megoldás 7 sid 7 ( cos) ( cos) d 5 f ( ) Megoldás cos cos 7 cos 7 si l 7 d l 7 cos cos 7 cos C és D l 7 l 7 + si + + ( ) + d d, tehát ( ) ( ) ( + si ) si + + dt t z + + t helyettesítéssel z l ctg si t +C itegrálhoz jutuk és + így d l ctg + + * C + si + + és D ( )

32 Itegrálási módszerek 5 6 f ( ) Megoldás Az si t, t, helyettesítéssel d costdt és + cost t sit d cos tdt dt + + C 4 rcsi + + c és D [,] 7 f ( ) + Megoldás Az sht helyettesítéssel d chtdt és ho I + d + sh t chtdt ch tdt cht sht sh tdt cht sht + t I, ch t sh t + t ch ( rcsh ) + rcsh I + C + C + + l ( + + ) + C és D + + ( ) 8 f ( ) Megoldás Az cht behelyettesítéssel d shtdt és I d sh tdt sht ch t t sh t ch t ch tdt + C ( ) l + + C + és D (, ] [, ) 9 f ( ) rcsi Megoldás d ( rcsi ) d l rcsi rcsi rcsi C I D (, ) \ {} cos f ( ) + si cos si Megoldás d ( si ) d rctg C + si + si + és D + rccos f ( ) 9 + és

33 6 Itegrálási módszerek + rccos Megoldás d 9 ( 9 ) d rccos ( rccos ) d rccos + C és, 9 9 D f ( ) l Megoldás l l ( l ) ( l ) C + rcsi f ( ) + rcsi Megoldás d ( ) d rcsi ( rcsi ) + d + rcsi + C és D (, ) + tg 4 f ( ) tg * + és D + + tg Megoldás d tg si + d d l + C tg cos tg cos tg és k I D \ k si 5 f ( ) cos si cos Megoldás d si d cos t cos cos t t dt l t + C itegrálhoz jutuk, tehát t si cos ( k + ) d l cos + + C és I D \ k cos rcsi 6 f ( ) A helyettesítéssel z

34 Itegrálási módszerek 7 rcsi rcsi rcsi Megoldás d + d J +, hol J d Legye sit d cos tdt és J sit sit tdt dt dt sit cost si t cos t + C I D (, ) \ { } si + cos 7 f ( ) si cos si + cos ( si cos ) si Megoldás d + d d si cos si cos cos si l + l cos + c és I D \ + si { + k k 4 } Megjegyzés A si cos t helyettesítéssel z si + cos d l si cos + C si cos eredméyhez jutuk 8 f ( ) si 4 cos Megoldás si d 4 cos ( cos ) d rccos( cms ) + C és cos cos l + \ { } I D k k ( ) 9 f ( ) + + Megoldás Az + sht helyettesítéssel d chtdt és hol + + d ( sh t + sh t ) ch t ch tdt ch t sh t ch tdt I ch 4 4 I ch tdt sht ch t ch t sh tdt sht ch t I + ch tdt sht ch t + sht cht + t A 7 feldt lpjá I + C 8 t,

35 8 Itegrálási módszerek ( ) De rcsht l t + t +, tehát sht ch t + sht cht + t + + d ch t + C 8 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + + l ( ) + 8 ( ) c ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) l + + ( + ) + + C és ( + ) + 8 ( ) D e 4 f ( ) e + Megoldás Az e t helyettesítéssel d dt és t e t I d e + dt t + t Ez utá t u helyettesítéssel kpjuk, hogy t + u + 4u t, dt u ( u ) ( ) du, u 4u 4u I u du du + u ( u ) ( + u )( u ) u du l rctg u + c u + u u +

36 Itegrálási módszerek 9 e + e e l rctg + C e + + e e + 4 f ( ) cos Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és és D cos d t cos tdt t ( + cos t) dt t t si t cos t si cos c C és D si 4 f ( ) cos + si Megoldás A co s t helyettesítéssel si d dt, tehát dt si dt d t cos si t t du + u t l( u u ) C l + si C és cos cos I k,k + vlmilye k eseté 4 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt, d tdt I t + t + u u + Ie t + u t helyettesítéssel t, dt du és u u u u + ( u )( u + ) I du du u u + u u u l u du C + u u u + + u 4u ( + + ) + + l + 4 * D + 44 f ( ) 4 rctg + ( + + ) ( + + ) + C,

37 4 Itegrálási módszerek 4 rctg Megoldás d + 4 ( ) rctg ( ) rctg rctg d rctg rctg d rctg d + rc rctg tg + l( + ) rctg + + C és D 6 45 f ( ) Megoldás Az si t helyettesítéssel d cos t és I 5 9 d 5 cos tdt cos si + si d cos si + I I cos si + +C, 6 6 és D e 46 f ( ) e + e e + e ( e + e ) + e Megoldás d d + e + e e ( e e ) d + l( + e ) e + l( + e ) + C és D si 47 f ( ) 9 4cos si Megoldás d 9 4cos cos ( cos ) d rcsi + C és D 9 4cos si 48 f ( ) 9+ 4cos si Megoldás ( cos ) d d 9+ 4cos 9+ 4cos 9 l cos + + cos + C 4 és D si 49 f ( ) 9cos 4

38 Itegrálási módszerek 4 si Megoldás d ( cos ) d 9cos 4 9cos 4 5 f ( ) Megoldás Az tehát 4 9 l cos + cos +C és I D rccos + k, rccos + k k + + rctg ( ) ( ) 4( rctg ) + rctg t helyettesítéssel z 4t dt itegrálhoz jutuk, + rctg rctg 4 rctg + d l C 4( rctg) + + Rcioális törtfüggvéyek itegrálás Gykorltok (49 oldl) Htározzuk meg következő rcioális törtfüggvéyek htároztl itegrálját egy oly itervllumo, hol evezőek ics gyöke: Mide függvéy primitiválhtó egy I D itervllumo, mert folytoos zo R ( ) 9 Megoldás d d l C 9 +, I \{ ± } R ( ) 4 + Megoldás d d l + C 4 +, I \{,} 4 + R ( ) Megoldás d l ( + + ) + C, I + +

39 4 Itegrálási módszerek R ( ) 6 4 Megoldás d d * + + C, I R ( ) Megoldás d rctg + C, I 4+ 6 R ( ) Megoldás d rctg + C, I R ( ) Megoldás d d d ( + )( ) l l C I R ( ) ( ) d Megoldás C ( ) ( ) +, I \{ } + + +, \{, } R ( ) ( ) Megoldás d + + d ( ) ( ) ( ) ( ) l C ( ) +, I \{ } R ( ) ( + )( + )( +) Megoldás Botsuk fel z R ( ) rcioális törtfüggvéyt elemi törtek összegére: A B C D ( + )( + )( + ) + + +

40 Itegrálási módszerek 4 A ( + )( + )( + ) + B( + )( + ) + ( + )( + )( + ) C ( + )( + ) + D ( + )( + ) + ( + )( + )( + ) Mivel z egyelőség jobb és bl oldlá megjeleő törtek ugyzok kell legyeek és evezők zoosk, számlálók is egyelők kell legyeek bármely eseté Ie eseté 6A A 6 eseté B B eseté C C eseté 6D D, tehát 6 d + d ( + )( + )( + ) 6 ( + ) ( + ) 6( + ) l l + + l + l + + c 6 6 I \{,,, } R ( ) + d Megoldás J + d A B + C d ( )( ) ( A B) + ( A B C) + A C d + Egyelővé téve z együtthtókt kpjuk, hogy A B A + B + C, ho A, B, C, tehát A C J d + + ( ) ( ) d l + l( + ) + 6 ( + )

41 44 Itegrálási módszerek ( + ) l + l d l + l( + ) + rctg + C 6 I \{ } + R ( ) ( + 9) + d Megoldás d + ( ) ( + 9) J d d ( + 9) 8 + d d ( + 9) d + rctg + C, ( + 9) 8( + 9) 54 tehát + 9 d + rctg + C, I ( + 9) 8( + 9) 54 R ( ) ( ) Megoldás Az ( ) d kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt: ( ) d d ( 4 ) ( 4 ) ( ) d ( ) ( ) d 4 d ( ) ( ) ie pedig 4 d + + ( )

42 Itegrálási módszerek 45 d ( 4 ) ( 4 ) ( ) (*) Az d kiszámításához prciális itegráljuk z kifejezést: ( ) ( ) + d d d d, ( ) ( ) ie d d ( 4 ) ( ) rctg + C A kpott eredméyt visszhelyettesítve (*) egyelőségbe, kpjuk, hogy 4 d + + ( ) + + rctg C 64 ( 4 ) ( 4 ) R ( ) ( + ) Megoldás d ( + ) I \{ } 5 5 R ( ) ( )( ) ( ) d ( + ) ( + ) ( + ) l , + ( + ) és D

43 46 Itegrálási módszerek Megoldás I \{,} 4 6 R ( ) Megoldás 5 d ( )( ) d 6 d + d ( ) ( ) ( ) l l 6 + C, ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( + ) l l C, + I \{ ± } 7 R ( ) 4 Megoldás d + d l + rctg C I \{ ± } +, R ( ) + 4 ( )( ) A B + D C + E Megoldás I + + A megfelelő együtthtók egyelőségéből következő redszert kpjuk: 6 A 5 A+ B 6 B D B 5 8A+ 4B D + C 4, melyek megoldás 4 C 5 4B + 4D + E C 56 D 6A 4D E E 5 Tehát d ( )( ) ( + 4) d

44 Itegrálási módszerek I l + d d ( ) l + l( + 4) + rctg Az ( ) d + 4 d kiszámításához prciális itegráljuk z + 4 -et I \{ } d + d ( + 4) + rctg ( + 4) 8( + 4) l( 4) ( ) d, ho d + rctg + C és így 6 ( + ) ( ) I l + + rctg + + C, Gykorltok (59 oldl) 4 Irrcioális függvéyek itegrálás Számítsd ki következő irrcioális függvéyek htároztl itegrálját oly itervllumo, hol ez létezik: f ( ) ( + 6) 4 t + 4 Megoldás Legye t 4 d tdt és t 4 ( 6) 4d t dt 5 t + 4t + c ( 4) 4 + 4( 4) 4 +C Az itegrál mide I (, ) itervllumo létezik f ( ) ( ) ( 5 ) t + t Megoldás Legye t 5 d dt, ekkor t t ( ) ( 5 ) d + d 5 t 5

45 48 Itegrálási módszerek t + t + C ( 5 ) 5 + ( 5 ) 5 +C és I, 5 f ( ) 5 + Megoldás A t t t 5 + helyettesítéssel, d és 5 5 t t d t dt t t + C ( ) ( 5 + ) C és D f ( ) 6 4 t + 4 t Megoldás A t 6 4 helyettesítéssel, d dt és ( t + 8t + 6) t t t 5 d dt + + t C t ( 6 4) ( 6 4) ( 6 4) + ( 6 4) + C és I \ { } + 5 f ( ) + t Megoldás t +, d t dt és + t + 4 t + 6 I d t dt + t t dt t ( ) ( ) t l + dt t + ( t ) Az t dt kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt: t ( ) t t t t t ( t ) t t ( t ) dt dt dt dt, t t tehát, dt l + C 6 t + ( t ) 6( t )

46 Itegrálási módszerek 49 Visszhelyettesítve kpjuk, hogy + I + C I, \{ és } 6 f ( ) + Megoldás A t + helyettesítéssel t, d t dt és d ( t ) tdt + 5 t t + C ( + ) ( + ) ( + ) + C és I \{ } f ( ) + + t 4t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t + + t 4t I d t dt ( ) t ( t ) 4 t t + + ( t ) + 4 dt ( t ) t l 8 t + t t dt dt ( ) ( ) Ahhoz, hogy ezt kiszámítsuk, előbb prciális itegráljuk z t függvéyeket t t dt + dt ( t ) ( t ) ( t ) t dt 4 dt ( t ) ( t ) ( t ) t 4 dt ( t ) ( t ) ( t ) t t dt I l + 6 t + t t ( ) ( ) ( t ) dt, így t t t dt, mjd z dt + dt + + dt t t ( t ) t t ( t )

47 5 Itegrálási módszerek Az itegrál mide 8 f ( ) 4 dt t dt ( t ) t ( t ) t, tehát t t t t + I + l + C, hol t t I (, ) (, ) itervllumo létezik 4 + t t Megoldás A t 4 helyettesítéssel, d dt + és ( t ) 4 4 t + t dt dt ( t ) t ( t ) I d t dt dt dt 6 t t + t ( ) 4 t l + rctg 6 dt 4 4 ( t) t + ( t ) dt A kiszámításához prciális itegráljuk függvéyt 4 4 t t ( ) t 8t dt dt t t ( t ) t dt ( ) t 4 + t 4 4 t ( t ) 4 ( t) dt 4 t t I rctg l + c t ( ) rctg + 4 l C , + I (, ), + 9 f ( ) + + t 6t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t ( )

48 Itegrálási módszerek 5 Az t dt ( ) számoljuk ki + + t 6t I d t dt t ( t ) t t t dt és t dt ( ) ( ) ( ) itegrálokt prciális itegrálás módszerével t 6t dt + ( t ) ( t ) ( t ) ( ) t t t t dt ( ) ( ) dt t 6 5 dt dt dt, így ( t ) ( t ) ( t ) dt t I d t t ( t ) ( t ) t t t dt dt dt + dt + + t t ( t ) t t ( t ) ( t ) ( t ) dt t dt ( t ) ( t ), tehát t t 8t dt I + ( t ) ( t ) ( t ) t 8t t dt t t + t + ( t ) ( t ) t 8t t + + l t + l ( t + t + ) + rctg + C ( ) ( ) l l rctg C 9 + Az itegrál mide I \{ } itervllumo létezik ( ) ( ) ( ) ( f + 4 ) Megoldás si t helyettesítéssel d costdt és

49 5 Itegrálási módszerek ( ) ( ) ( ) d sit + 4 cos tdt 5 sit cos t + t + + cos tsit + C 5 4 ( ) + rcsi + + ( ) + C rcsi + +C , I (, ) f ( ) ( + ) 4 Megoldás Az sit helyettesítéssel d costdt és d dt sit dt + tg t C ( + ) 4 sit + cos t cost C 4 + és I (, ) 5 f ( ) 9 Megoldás Az sit, t, helyettesítéssel d costdt és si t 5 5 d costdt si tdt 9 cost 4 5 si tcost 4 si t cost 4 c t + C os ( + + 7) + C, I (, ) 5 f ( ) + 9 Megoldás d C, I f ( ) t t + 4 Megoldás A 4+ 9 t + helyettesítéssel, d dt és 6t 6t ( ) 5 54 t t t + 4 d dt t t + 4 6t

50 Itegrálási módszerek ( 4 t ) t 4 t t dt 6 t 6 t t t t dt f ( ) t t C 4t 7t ( ) ( 4 9 ) ( 4 9 ) C t + t Megoldás A t + + helyettesítéssel, d dt és t t t t + t I d dt + + t ( + t) t ( t )( t + ) t + t dt t dt + ( t + ) t ( t + ) t A B C t ( A+ B) + t( B + C) + C t + dt t t + t t dt ( t + ) t A+ B B + C B, A 4, C, tehát C I t + + l t l t + + C t ( + ) ( ) ( ) l + l C D 6 f ( ) ( ) 4 t 4+ t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t d 4t t t + 4 I dt t 4t + 6 t + 4 t ( ) At + B Ct + D + dt, ho t 8 t + 8

51 54 Itegrálási módszerek tehát A+ C A 4 B + D B, melyek megoldás, ( 8 ) A ( + 8 ) C 4 C 4 ( 8 ) B ( + 8 ) D D és I D \{ ± } I l C f ( ) ( ) Megoldás Az cht helyettesítéssel d sh tdt és ch t ch t ( + sh t) d shtdt dt sh t sh t ( ) + + sht + c + c, sht + + I D (, ) (, ) 8 f ( ) 4 9 Megoldás Az ch t helyettesítéssel d sh tdt és 7 7 d ch sh ch ( sh ) t tdt t + t dt sht sht + sh t + C ( 4 9) C, I D,, + 9 f ( ) 4 + t + 4 t 4 Megoldás Az + t 4 helyettesítéssel, d dt t t és 4 + t + t + 6 t t 4 I d dt 4 + 4t t + t 4 t

52 Itegrálási módszerek t 8t t 64 t t t t 4t dt dt 4t ( t + t 4) 8 t ( t + t 4) t t 8 A B C D E t t t t t ( + + ) + ( + + ( 5) + ( + 5) ) t ( t + t ) 4 t A D E t A B D E t t t ( 4A+ B + C) + t( 4B + C) + ( 4C) + dt t t + t 4 ( ) A+ D + E A+ B + ( 5) D + ( + 5) E 4A+ B + C 4 4B + C 4C A redszer megoldás: A, B, C, D, E Tehát 5 5 t t l l t + I + t c 8 t t 5 t ( ) l( 4 + ) l C , I D (, ) (, ) f ( ) + Megoldás A ( 4 ) t + helyettesítéssel t, d t t + dt és t ( t ) d t t t + dt l + + C + t t + ( t ) D +, f ( )

53 56 Itegrálási módszerek t + Megoldás A t helyettesítéssel, t t t d dt és t ( ) t t t t d dt t 4 t 4 t t + 4 t + 4 t 9t + t ( t ) dt t t t + t + 4 6t t 4 t 9t + t t ( t ) dt ( ) t t t + 8 t dt 8 4 t t t t t dt ( ) ( ) t 5 l 8 t + t 7 C 6 t 44 + ( ) ( t ) l C ( ) f ( ) 4 + Megoldás A 4 + t( ) helyettesítéssel t 4t, d t dt és ( t ) ( t ) t d ( ) ( ) ( ) 5 ( t ) t 4 I t t t t t t + t t t dt

54 Itegrálási módszerek dt ( ) ( ) t t ( t ) 5 dt Az kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt t t ( ) t t t dt dt + dt + + dt t t ( t ) t t ( t ) t t dt l + C 4 t + ( t ) ( t ) dt dt Hsolóképpe számítjuk ki z -t és -t is t ( t ) ( ) 5 t dt ( ) 4( ) t t 4( t ) t 5 dt ( ) 4 6( ) t t 6( t ) t 7 5 dt 4 4 ( ) dt t 8( t ) 8( t ) Az eddigiek lpjá írhtjuk, hogy 4t 4t t 7t 7 t I + + l + C t 4 t 6 t 4 t 8 t + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + l C, + I D (,) (, ) f ( ) 6 + Megoldás Az sht helyettesítéssel d ch tdt és d ch tdt dt 6 + sh t + t + c l( + ( ) ) + + c, D 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt

55 58 Itegrálási módszerek Megoldás Az + ch t helyettesítéssel d sh tdt és d sh tdt dt ch t + + t + c l + + ( + ) + C, I D (, ) (, ) 5 f ( ) t Megoldás A + t helyettesítéssel, t t t + d dt és ( t ) + + I d + ( t ) t ( ) t t t t dt ( t ) t t t t + ( t ) ( ) ( t ) ( t ) t t + t + dt + + dt t (t ) t t t 4t 5 l + l t + + d t + t (t ) t t l + l t + + C t + 4(t ) + tehát t I + l t + l t l t + l t + + C 4 t D 6 f ( ) + + l l C , ( ) +

56 Itegrálási módszerek 59 t Megoldás A + t helyettesítéssel, t t 6t + 4 d dt és ( t ) ( ) d t t t t + dt ( ) + t t + t t + ( t ) dt + C + C, ( ) t t + + I D (, ) (, ) 7 f ( ) + 5 ( ) Megoldás Az sht helyettesítéssel d chtdt és d chtdt + 5 4sh t f ( ) ( ) ( ) dt tht + C + C, D 4ch 4 t t Megoldás A + + t helyettesítéssel, ( t + ) t + t + d dt és ( t + ) d t + t + t + I d t + 4t + 4 ( t + ) t t + t + A B C dt + + ( t + )( t + ) t + t + ( t + ) dt At ( + ) + Bt ( + )( t+ ) + C( t+ ) dt ( t + )( t + ) t eseté A t eseté C t eseté 4A+ B + C B I dt dt l t t + C ( t + ) t +

57 6 Itegrálási módszerek ( ) l C f ( ) +, D Megoldás Az + u helyettesítéssel d u du, tehát 4 u 4 + d u du + C ( + + I D [, ) f ( ) + ) C és Megoldás Az t helyettesítéssel d dt és d d + + ( I, t + u t u dt u du helyettesítéssel) dt t t + u u u du du du ( u ) u u u u + u + u + l u l( u + u + ) + rctg +C 4 4 ( ) l + l rctg C 4 +, * D f ( ) t Megoldás Az t t, d dt, mjd z u t t + 4 u 4u t, dt 4 du helyettesítéseket végezzük 4 u u I ( ) d t + t + 4 t 4 + t t dt dt u 4u du 4 + du u 4 du 4 u ( u 4 ) u u u u l + rctg u + C 4 u l rctg C , D

58 Itegrálási módszerek 6 f ( ) Megoldás I + d d A + t t d t ( ) helyettesítéssel t t t I dt dt ( t ) ( t ) ( t ) dt 4 A B C D E F G H t t + ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) Az együtthtók egyelőségéből A, B, C, D, E, F, G, H, tehát 8 8 t + I l C 6 t 6( t ) 6( t + ) 4( t ) 4( t + ) + + l ( + ) 6( + + ) C, I D \[,] 4 4 f ( ) + ( + ) ( + + ) 4 4 t 4 I + d t t dt + d 4t dt Megoldás 4 ( u + t, t u, dt u du ) 4 u ( u ) u du ( u u 9 u 6 u ) du u u + u u + C ( + ) 8 6 ( + 4 ) + 4 ( 4 ) ( 4 ) C, D + 4 f ( ) t 4t u t+ Megoldás I d t dt u ( u ) + d 4t dt t du dt u du

59 6 Itegrálási módszerek u u C * + ( + ) ( + ) + + C, D f ( ) Megoldás Az t d dt, mjd t u dt u du t helyettesítéseket végezzük dt u du udu I d t t 5( u ) u + 5( u ) u du 5 u u + u + u + l u l( u + u + ) + rctg +C 5 ( ( + ) ) l rctg 5 5 I D * \{ } 6 f ( ) + 5 l 5 ( ) 5 ( u ) + C, t 6u Megoldás Az t d dt és u dt du t + t helyettesítéseket lklmzv 5 dt t I 5 d 5 4 ( ) ( ) t t + t t + dt + ( u 5 ) u u u 9 du u du ( u ) u u f ( ) Megoldás Az + u C C u, * \{ } I D ( ) d 4u u du helyettesítéssel, tehát

60 Itegrálási módszerek 6 4 ( ) d 4 u udu u + C + C és D (, ) 8 f ( ) 4 Megoldás Az + + u helyettesítéssel 4 4 ( ) d 6 u du u + C + C + + * és I D 5 Trigoometrikus függvéyek rcioális és irrcioális kifejezéseiek itegrálás Gykorltok (6 oldl) Htározd meg, hogy z lábbi függvéyekek milye itervllumoko v primitív függvéye és számítsd ki egy ilye itervllumo htároztl itegrálját: f ( ) si cos 4 6 si si Megoldás si cos d si ( si ) cos d C, D 4 f ( ) si cos Megoldás si si si cos d si ( si ) cos d C 5 7 +, D 4 f ( ) si cos Megoldás 4 si cos4 si cos d si ( + cos ) d + d si si C, D f ( ) si cos Megoldás 6 cos si si cos d d si cos si + cos si d 6

61 64 Itegrálási módszerek 5 f ( ) si cos 4 si 4 + d si si 4 5 si C és D si Megoldás cos si d ( cos ) si d cos + + C, D 4 f cos 6 ( ) 4 + cos Megoldás cos d d ( + cos + cos ) d 4 si si C, D 8 4 f cos cos 7 ( ) Megoldás ( ) cos ( si )( 4 si ) d 8 f ( ) cos cos d cos 4 cos cos d si si + si si + C D si cos, Megoldás cos si + cos4 si cos d cos d d 4 si si 4 + C és D f ( ) si cos + 5 tg Megoldás A t tg jelöléssel d dt, vlmit si + t és + tg tg cos összefüggések lpjá kiszámítdó itegrál + tg + tg d si cos tg + tg tg

62 Itegrálási módszerek 65 + t dt dt dt 4t t + t t + t + 5 t + + tg + t + 5 rctg + C rctg + C Megjegyzés A függvéyek z egész -e létezik primitívje de z előbbi számolások oly itervllumo érvéyesek, melye változócsere értelmezett Egy ilye itervllum (, ) itervllum H z egész -e meg krjuk htározi z f primitív függvéyét, kkor k lkú potokb össze kell illesztei kostsokt f ( ) si cos Megoldás d d si cos l d C si cos si cos + cos +, I D \ { k k } f ( ) + tg dt Megoldás A t tg helyettesítéssel rctgt, d, tehát + t ( tg ) d t I tg d + dt tg + 4tg + 4t t + t At + B C D dt + t t 5 t + 5 Egyelővé téve megfelelő együtthtókt, kpjuk, hogy A+ C + D B 4A+ ( 5 ) C ( 5 + ) D, ho C + D A 4B B + ( 5 ) C ( + 5) D A, B, C, D , tehát I l( + t ) + rctgt + l t 5 + l t C

63 66 Itegrálási módszerek 4 4 l tg l tg 4 tg 5 + C + + +, 5 5 I D \ { k k + } rctg + k k si cos f ( ) si + cos si cos si cos si cos Megoldás d d si + cos cos si si si si si d cos 4cos cos 8 d + si cos si u u t + ( si ) cos 8 d du dt cos t8 + u 8 t u u l + l t t u C + si si + l + l cos cos si C tg + f ( ) si + cos Megoldás A tg t helyettesítéssel d dt és kiszámítdó itegrál cos ( tg + ) d t + t dt l ( + t ) + rctg C cos tg + + és így t + ( ) tg I l( + tg ) + rctg +c (k ) (k ) I D + és z előbbi godoltmeet, lkú itervllumoko érvéyes 4 f ( ) cos si Megoldás d 4 d ctg c cos si si +, I D \ { k k } 5 f ( ) cos si Megoldás d tg d C cos si cos tg +,

64 Itegrálási módszerek 67 I D k, k + k 5 ( ) 6 f ( si )( cos ) ( ) ( 4 ) Megoldás 5 si cos d si cos cos d 7 f ( ) si cos cos cos + cos cos d 4 6 cos cos cos + + C és D si si 5 si 4 5 ctg ctg 5 Megoldás d d C si si 5 +, I D k, k + k tg 8 f ( ) si cos Megoldás tg d tg C si cos cos tg +, I D k, k + k 9 f ( ) tg + u + + t u helyettesítésekkel u + 4u u + tg + d t + dt du 4 t + u u + 4 u Megoldás A tg t d dt és t + u t dt du ( u + 4 ) u u 4u du du du u( u + 4) u( u + 4) u u ( ) ( tg + + tg ) u l u + rctg + C l tg + tg + + rctg +C f ( ) + si + tg Megoldás I + d si d tg

65 68 Itegrálási módszerek 4t A tg t helyettesítéssel d dt és 4 + t 4 I + t t dt t + 4 t + t dt t + t ( ) + t + t + t t + dt ( ( t ) ( t )) 6rctg + + rctg + C 6 Epoeciális és hiperbolikus függvéyek rcioális és irrcioális kifejezéseiek itegrálás Gykorltok (66 oldl) Htározd meg, hogy z lábbi függvéyekek milye itervllumoko v primitív függvéye és számítsd ki egy ilye itervllumo htároztl itegrálját: f sh ch ( ) Megoldás ( ) sh ch d sh sh + ch d sh sh sh ch d + sh ch d + + C, D f ( ) sh ch sh sh Megoldás sh ch d sh ( sh + ) ch d + + C, 7 5 D 4 f ( ) sh ch 4 Megoldás ( ) I sh ch d sh ch ch d 4 f ( ) sh sh ( ch ) (ch 4 ) 8 + d + d 48 6 sh sh C, D sh ch Megoldás sh 6 ch d sh 4 ( sh ch ) d sh ( + ch ) d 6 sh d sh ch d + ( sh ch ) d 6 6 6

66 Itegrálási módszerek 69 5 f ( ) sh sh sh sh 4 6 d + d ch4 ch8 sh d d sh 4 sh 8 sh C, D ch Megoldás sh d ( ch ) sh d ch + C 6 f ( ) 4 ch, D ( ) 4 + ch sh + ch 4 Megoldás ch d d + + d sh sh C, D 4 8 f ch ch 7 ( ) ( ( )) ( ) 4 ch ( sh + )( 6 sh + 8 sh + ) d Megoldás ch ch d ch ( ch ch + sh sh ) d ch ch 4 sh + d ch 6 sh sh + d sh 4 sh + + sh + sh + C, D f ( ) sh ch ch Megoldás sh ch d ch d sh ch 4 + sh sh d C, D f ( ) e + e + e Megoldás d d e d e + e + e + e + e ( e + ) rctg + C, D f ( ) sh ch sh Megoldás d d d sh ch sh sh

67 7 Itegrálási módszerek sh ch d l + C, D ch ch + e f ( ) e + e e Megoldás d e + e e + e 4e e + e 4 6e 4 + d e + e e + e e + e 6e 4 6 e + d e + + d e + e e e + e 8 8 e e + d d + e e + 8 * e + l e l e + + C, D Megjegyzés Az e t helyettesítés utá t t I dt t + t ( t )( t + ) dt 4 8 t + l l( ) dt e e e t t C sh ch f ( ) sh + ch sh ch sh ch ( sh ch ) Megoldás d d sh + ch sh ch 4 sh sh ch + sh ch d + sh d sh sh sh 4 + (ch 4 ) d C , D 4 8 e + f ( ) e + e e + e + e e + e Megoldás d d d e + e e + e e ( e + ) e e + d e ( e + ) e 4 d e l( e + ) + C, D e f ( ) e + e e

68 Itegrálási módszerek 7 dt Megoldás Az e t helyettesítés utá kiszámítdó itegrál tt ( )( t+ ) dt dt tt ( )( t+ ) t 4( t ) 4( t+ ) ( t+ ) l t + l t + l t + + C 4 4 ( t + ) ( ) * l e + + l e + C, D 4 4 ( e + ) 5 f ( ) ch sh Megoldás d th d d C ch sh ch sh +, ch th ch D f ( ) ( sh )( ch ) 7 Megoldás 5 ch t ( sh ch d t ) tdt t t t + dt sh d dt t t + t + C ch ch e + 7 f ( ) e e e Megoldás I + d + e e d e Az e + t helyettesítéssel e t, ed tdt, ch C I tdt A B C D E F dt ( t ) t t + ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) A megfelelő együtthtók egyelőségéből kpott redszer megoldás A, B, C, D, E, F , t tehát I l + + C 8 t + 8( t ) 8( t + ) 8( t ) 8( t + ) e + + l 8 e + 8 e + 8 e ( ) ( )

69 7 Itegrálási módszerek + + C 8 8 ( e + ) ( e + + ), D th 8 f ( ) sh ch th sh Megoldás d d d sh ch sh ch ch ch th th + C és D +, 9 f ( ) th + Megoldás Az e t helyettesítés segítségével z th ( + th ) ( th ) I rcsh + rcth rcth + C th + th + eredméyhez jutuk és D f ( ) + ch Megoldás Az e t helyettesítés segítségével z eredméyhez jutuk és D Összefoglló feldtok (66 oldl) e I + C + e Állpítsd meg, hogy következő függvéyekek v-e primitív függvéye és igelő esetbe htározd meg primitív függvéyeit:, h ) f :, f ( ) l, h (,) ; e e, h * b) f : l, + f ( ) ; +, h < c) f :, f ( ) e ; l, h l, h d) f :, f ( ) ;, h e) f :, f ( ) rcsi + ; f) f :, e f ( ) e + ;

70 Itegrálási módszerek 7 g) f :, f ( ) rcsi + ; h) f :, + f ( ) ; 4 + i) f :[, ), f ( ) + si + cos ; l, h > j) f :, +, f ( ) ;, h if ( t t + ), h t k) f :, f ( ) ; if ( t + t + ), h > t rcsie e l) f :, f ( ) ; m) f :, f ( ) e ) f :, ( + ), f ( ) + + l ( + ) l ; * o) f : + si cos, f + ( ) + e + si rctge + e ; Megoldás ) lim f ( ) lim f ( ) f ( ) f folytoos -b, < > lim f ( ) lim f ( ) f ( ) f folytoos -be, < > f folytoos (,), (, ), (, ) itervllumoko, tehát f folytoos - Következik, hogy f primitiválhtó - H F z f egy primitív függvéye, kkor + l( ) + c, F :, F( ) l + c, (,) lkú 4 e e + c, Mivel F deriválhtó -, F folytoos -, tehát F folytoos -b és -be is, így lim F( ) c ( ) c lim F < >, tehát lim F( ) + c ( ) c lim F 4 e < >

71 74 Itegrálási módszerek + l ( ) + c, F( ) l + + c, (,) 4 e e + + c, e 4 Elleőrizhető, hogy z így megszerkesztett F függvéy deriválhtó és F ( ) f( ), l, l + b) f ( ) + l, (, ) + * * f folytoos -, így f primitiválhtó - + c) f folytoos - f primitiválhtó - d e d c e e e + l l d + c, tehát h F : z f egy primitívje, kkor, + c < e F( ) l + c, Mivel F folytoos kell legye, lim F( ) c lim F( ) c, tehát e + < >, + c < e F( ) l + c, e d) f folytoos - f primitiválhtó - l d l l d l l + 4 F : z f egy primitívje, kkor + c, tehát h

72 Itegrálási módszerek 75 l l + + c, > 4 F( ) c, l l + + c, < 4 F folytoos - F -b is folytoos lim F( ) c c F( ) c lim F( ), tehát < > l l + + c, > 4 F( ) c, l l + + c, < 4 rcsi, \ [,] + e) f ( ) rcsi, f folytoos - f + rcsi, [,] + primitiválhtó - ( + ) 4 rcsi d rcsi d + +, 4 + ( ) tehát z f egy F : primitív függvéye rcsi + l ( + ) + c, < + rcsi l( + ) + c, [, ] + F( ) lkú rcsi + l ( + ) + c, [, ] + rcsi l ( + ) + c4, > + F folytoosságából lim F( ) F( ) lim F( ) c c és < > ( ) () ( ) < > lim F F lim F c c, vgyis

73 76 Itegrálási módszerek rcsi + l ( + ) + c, < + rcsi l( + ) + c, [, ] + F( ) rcsi + l ( + ) + c, [, ] + rcsi l ( + ) + c, > + e, e + f) f ( ) f folytoos - f primitiválhtó - e, < e + e d l( e + ) + c, e + így z f függvéy primitívjei F :, l( e + ) + c, F( ) l( e + ) + 4l + c, < lkúk ( kostsokt úgy htároztuk meg, hogy F folytoos legye) g) f folytoos - f primitiválhtó - + ( ) rcsi d rcsi d + +, ( + ) tehát z f primitívjei F :, rcsi + l ( + ) + c, < + F ( ) rcsi l( + ) + c, [,], + rcsi l + ( + ) + c, > + lkúk H z F folytoosság lpjá meghtározzuk z álldók közti összefüggéseket, z rcsi + l ( + ) + c, < + F( ) rcsi l ( + ) + c + l, < + rcsi l + ( + ) + c, < + függvéyeket kpjuk

74 Itegrálási módszerek 77 h) f folytoos -, következik, hogy f primitiválhtó - + d rctg 4 ( + ) + rctg( ) + (lásd 6 oldlo feldtot), tehát h F : z f egy primitívje, kkor F( ) rctg( + ) + rctg( ) + c i) f folytoos [, ] - f primitiválhtó [, ] - Az itegrál kiszámításához tg t helyettesítést végezzük el: + tg + t d si cos d dt + + tg + 4+ tg ( t + t + ) + t tg + t + rctg + C rctg + C, tehát z f primitívjei F :, [ ], tg + rctg + c, [, ) 7 7 F( ) c, lkú tg + rctg + c, [,) 7 7 F folytoosságából lim F( ) F( ) lim F( ), vgyis < > c c c j) Az f :,, f( ) l függvéyre lim f ( ) lim f ( ), tehát z f függvéy em Drbou tuljdoságú és így ics primitív függvéye és

75 78 Itegrálási módszerek k) A másodfokú függvéyek tuljdosági lpjá f ( ) +, + +, >, és eek függvéyek -be elsőfjú szkdási potj v, tehát em létezik primitív függvéye l) A függvéy em jól értelmezett, mert z e kifejezés em mide vlós eseté rcsie teljesíti e egyelőtleséget H z f :, f ( ) e függvéy primitívjeit számítjuk, kkor z e t, mjd u t helyettesítések rcsie rcsie segítségével z d l( + e ) + + c e e eredméyhez jutuk m) A függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Az e t rctgt helyettesítéssel z dt itegrálhoz jutuk, tehát primitív függvéyek + t F :, () rctg F e + C lkúk ) f folytoos (, ) -, tehát f primitiválhtó (, ) l ( + l) d l l( l ) l + l d + l l l + l( + l ) l + C, tehát f primitívjei F :(, ), l F( ) l + l( + l ) l + C lkúk * * o) f folytoos -, tehát f primitiválhtó si cos * d l( + e + si ) + C, így z F :, + e + si + F( ) l( + e + si ) + C függvéy z f primitívje l si, h > Bizoyítsd be, hogy z f :[, + ), f ( ) függvéyek v primitív, h függvéye +