TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK..."

Átírás

1 TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT INTEGRÁL97 V FEJEZET HATÁROZOTT INTEGRÁLOK KISZÁMÍTÁSA 7 VI FEJEZET A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALKALMAZÁSAI5 VII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ GYAKORLATOK ÉS FELADATOK 4 ALGEBRA I FEJEZET RELÁCIÓK7 II FEJEZET CSOPORTOK 9 III FEJEZET GYŰRŰK ÉS TESTEK 4 IV FEJEZET VEKTORTEREK9 V FEJEZET GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 8

2 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gykorltok és feldtok ( oldl) I Vizsgáld meg, hogy következő függvéyekek milye hlmzo v primitív függvéyük és ezekbe z esetekbe htározd meg primitív függvéyeiket: f ( ) ; ( ) f + ; f ( ) + ; 4 f ( ) 5 + ; f ( ) + ; 6 f ( ) ; f ( ) + ; 8 f ( ) + 9 f ( ) + ; f ( ) + ; 5 ( ) f ; f ( ) 5 ; f ( ) sh + ch ; 4 f ( ) sh( l ) ; 5 f ( ) sh ; 6 f ( ) si ; 7 f ( ) cos ; 8 f ( ) si ; 9 f ( ) si cos 4 f ( ) tg( + ) ; f ( ) ctg ; f ( ) ; si + cos ( + ) f ( ) 9 f ( ) 4 5 f ( ) 9 f ( ) f ( ) + 9 f ( ) 9 9 f ( ) + 4 f ( ) 4 f ( ) 9 f ( ) 4 Megoldás d d + d + d + d C 4

3 6 A primitív függvéy és htároztl itegrál Az előbbi összefüggés mide eseté érvéyes, mert z,, és kifejezésekkel értelmezhető függvéyek z -e primitiválhtók és primitiválhtó függvéyek összege is primitiválhtó, sőt z összegfüggvéy primitívje tgok primitívjeiek összege A továbbikb csk primitíveket írjuk fel és mimális itervllumot, melye létezek, esetleg rövide hivtkozuk rr, hogy melyik szbályt hszáltuk 4 + d + + C és D [, ) 4 + d + * C és I D, hol I egy itervllum Megjegyzés A továbbikb z I D jelölés zt jeleti, hogy I egy itervllum és primitívre votkozó összefüggés I - érvéyes H em szűkítjük le egy itervllumr primitív értelmezését, kkor z előbbi feldt megoldás, + C < d + + C, > mert em trtozik z eredeti függvéy értelmezési trtomáyához d d + d + + C C és D [, ) d * C és I D d d d + C * 7 + d + l + C és I D d 8 l + + C és I D \ + { } 9 l * + d + + C és I D d + + C és D l 8 d 8 d + l8 C és D * és I D

4 A primitív függvéy és htároztl itegrál 7 5 Az l 5 5 megjeleik z l 5 kifejezés deriválásából megkpjuk z 5 kifejezést, de még 5 tg is, tehát -ből kivov z 5 egy primitívjét, keresett l 5 l függvéyt kpjuk Vlób, z F :, F ( ) + C függvéy l 5 l 5 deriválhtó és F ( ) f( ),, tehát z f függvéy primitiválhtó z -e és 5 5 f ( ) d + C l 5 l 5 sh + ch d ch + sh + C e + C és D l l e e l 4 sh( l ) d d d C + és 4 D (, ) 5 sh d ch + C és D 6 si d cos + C és D 7 cos d si + C és D 8 A feldthoz hsoló részekét megkereshetjük primitív függvéyt és így z F :, F () cos+ si függvéyhez jutuk Ez deriválhtó és F ( ) f( ),, tehát z f függvéy primitiválhtó z -e és fd () cos + si + C 9 + d ctg + tg 4 + C és si cos 4 4 (k + ) I D \ { k k } k 8 tg( + ) d l cos( + ) + C és (k + ) I D \ k 6 ctg d l si + C és I D \ { k k } Mivel cos( + ) cos( + ) cos, írhtjuk, hogy

5 8 A primitív függvéy és htároztl itegrál d d si + cos ( + ) si + cos és ez érvéyes D - d l + C és D I \{ ± } d C +, d d 4 l + C l + C, 4 + I D \ ± d 5 rctg + C és D + 9 d 6 rctg + C és D 7 d l( + + 9) + C és D d l 9 + C és D I \[,] 9 9 d 4 l C és D + d 4 l + C és D I \, 4 d rcsi + C és D (,) 9 d rcsi + C és D, 4 II Bizoyítsd be, hogy következő függvéyekek v primitív függvéye: rctg, h f :, f ( ) ;, h

6 A primitív függvéy és htároztl itegrál 9 si, h f :, f ( ) ;, h l + h f :, ( ), f ;, h ( + ) e, h 4 f :, f ( ) ; l +, h > 5 f :, f ( ) m {, }; cos, h 6 f :, f ( ) ;, h ( + si ), h 7 f :, f ( ) ;, h e si, h 8 f :, f ( ) ;, h cos, h 9 f :, f ( ) rctg ;, h e si, h f :, f ( ), h rctg, Megoldás Mivel lim rctg, z f :, f (), függvéy folytoos, tehát primitiválhtó is si Mivel lim és feldtb értelmezett függvéy folytoos, létezik primitív függvéye -e l + l( + ) lim lim, tehát vizsgált függvéy folytoos -e és így primitiválhtó is

7 A primitív függvéy és htároztl itegrál ( ) 4 Mivel lim f ( ) lim + e, lim f ( ) lim( l + ) és < < > > * f (), z f függvéy folytoos -b Másrészt f folytoos -o, tehát folytoos -e és így létezik primitív függvéye 5 Az f :, f( ), és f :, f( ), függvéyek folytoosk, tehát z f () m((), f f()), függvéy is folytoos és így létezik primitív függvéye 6 A függvéy em folytoos -b, ezért más godoltmeetet hszáluk, megpróbáluk előállíti egy oly függvéyt, melyek deriváltj trtlmzz cos kifejezést si cos, tehát si kifejezés deriváltjáb megjeleik cos Potosbb si * si + cos, Az itt megjeleő függvéyeket megpróbáljuk folytoos meghosszbbíti -b lim si lim si, tehát írhtjuk, hogy G :, si, G ( ) si, és h :, h ( ) függvéyek,, * G () G() folytoosk G deriválhtó -o és lim lim si, tehát G deriválhtó -b és G () Ez lpjá f ( ) G ( ) + h( ), A h folytoos, tehát létezik primitív függvéye, G -ek létezik primitív függvéye, tehát z f -ek is létezik primitív függvéye si, 7 A h :, h () függvéy folytoos és G :,, si, G () függvéyek létezik primitív függvéye, tehát z összegükek, is létezik primitív függvéye Megjegyzés Hszálhtjuk z 5 megoldott feldtot (lásd tköyv 9 oldlá) 8 A bizoyítást itt is elvégezhetjük 6 feldt megoldásához hsoló, h e cos, G :, G (),

8 A primitív függvéy és htároztl itegrál és e cos + e cos, h :, h ( ), segédfüggvéyeket hszáljuk ( G h f) Az egyszerűbb godoltmeet következő: ( e ) si, h :, h ( ), si, függvéy folytoos és G :, G () függvéyek létezik, primitív függvéye, tehát z összegükek is létezik primitív függvéye Megjegyzés Hszálhtjuk z 5 megoldott feldtot (lásd tköyv 9 oldlá) 9 Tekitsük rctg ( + rctg) si, h :, h () rctg és, rctg ( + ) si, G :, G ( ) rctg, segédfüggvéyeket A h függvéy folytoos -e, G deriválhtó -e és f ( ) G ( ) + h( ),, tehát z f primitiválhtó e e cos si, A h :, h () e függvéy folytoos, e cos, és G :, G ( ) e függvéy deriválhtó -e, továbbá, f ( ) G ( ) h( ),, tehát z f primitiválhtó III Bizoyítsd be, hogy következő függvéyekek ics primitív függvéye: f :, f ( ) sg ;, h < f :, f ( ) cos, h ; f :, f ( ) [ ] ;

9 A primitív függvéy és htároztl itegrál 4 f :, f ( ) { } ;, h 5 f :, f ( ), h \ ; si + cos, h 6 f :, f ( ) ;, h, h 7 f :, f ( ) ;, h \ si, h 8 f :, f ( ) ;, h cos, h 9 f :, f ( ), h Megoldás A függvéy képe {,,} hlmz, tehát em itervllum Ebből következik, hogy f em Drbou tuljdoságú, tehát ics primitív függvéye Mivel lim f ( ) lim, lim f ( ) lim cos z f függvéyek elsőfjú < < > < szkdási potj z Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye Az f függvéy képe csk z egész számokt trtlmzz, tehát em itervllum Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye 4 Mivel lim f ( ) lim{ } és lim f ( ) lim{ } z f függvéyek k k < k < k k k > k < k elsőfjú szkdási potj z k, mide k eseté Ebből következik, hogy függvéy em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye 5 Igzoljuk, hogy f em Drbou tuljdoságú H és 5, kkor f ( ) ( ) és f Az y 4 (,5) érték eseté z f () y egyeletek 5 ( ) ics megoldás z, itervllumb, mert z f () 4 egyelőség csk z ±4 értékek eseté teljesül és ezek icseek vizsgált itervllumb Ezek lpjá z (, itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou ) tuljdoságú és így ics primitív függvéye 6 Az f :, si, f( ) cos, és f :, f ( ),,

10 A primitív függvéy és htároztl itegrál függvéyekek létezik primitív függvéye, tehát h f -ek is léteze primitív, függvéye, kkor z f f f függvéy is primitiválhtó vol Ez,, viszot elletmodás, mert z f :, f( ) függvéy képe em, itervllum, tehát függvéy em Drbou tuljdoságú és így ics primitívje sem 7 Igzoljuk, hogy f em Drbou tuljdoságú H 7 és 9, kkor és f Az y 8 (7,9) érték eseté z f () y egyeletek f ( ) 7 ( ) 9 ics megoldás z (, ) itervllumb, mert z f () 8egyelőség csk z 8 érték eseté teljesül és ez ics vizsgált itervllumb Ezek lpjá z (, ) itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou tuljdoságú és így ics primitív függvéye si, 8 A h :, h ( ) függvéy folytoos, tehát létezik primitív, függvéye H z f függvéyek létezik primitív függvéye, kkor z f g függvéy is primitiválhtó Ez elletmodás, mert z f g függvéy képe em itervllum cos, 9 Az f :, f( ) függvéyek létezik primitív függvéye,,, tehát, h z f is primitiválhtó, kkor z ( f f)( ) függvéy is, primitiválhtó vol Ez em lehetséges, mert f f képhlmz em itervllum IV Adj példát két függvéyre, melyekek ics primitív függvéye, de szorztukk v Megoldás Az, f, g :, f ( ), és g ( ), >, > függvéyekek em létezik primitív függvéye, de szorztuk idetikus ull, tehát szorztk létezik primitívje Adj példát két függvéyre, melyekek ics primitív függvéye, de z összetett függvéyek v

11 4 A primitív függvéy és htároztl itegrál, Megoldás Az f, g :, f ( ), és g ( ), >, > függvéyekek em létezik primitív függvéye, de z összetételükre ( f g)( ),, tehát z f g függvéyek létezik primitívje Bizoyítsd be, hogy h z f :[, b] ( b,, < b) függvéyek v primitív függvéye z [ c, ] és [ cb, ] itervllumoko ( c (,) b ), kkor f -ek v primitív függvéye -e Bizoyítás H és F z f primitívje z [ c,] és [ cb, ] itervllumo, kkor z F F(), [,] c F :[, b], F () F () F () c F(), c (,] c b + függvéy folytoos, deriválhtó és F ( ) f( ), [, b], tehát f -ek létezik primitívje z [ b,] itervllumo 4 Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéyek v primitív függvéye z, k -e zárt itervllumoko, hol Bizoyítás H I [ b ] J Így k, k k k I k, kkor I k f -ek v primitív függvéye, k és Ik, kkor bármely [, ] itervllum eseté létezik oly k, melyre J Ik J k I k k k itervllum felbothtó véges sok diszjukt belsejű itervllum egyesítésére úgy, hogy z egyes részitervllumok midegyike vlmelyik I k itervllum része legye Az előbbi feldt lpjá z f -ek létezik primitívje k k k k J itervllumo Az F :, F () Fk() + F () Fk(), Jk függvéy jól értelmezett és teljesül rá z F ( ) f( ), összefüggés, tehát f függvéyek létezik primitív függvéye z hlmzo 5 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z f :, rctg, h, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye F

12 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 rctg, Megoldás lim rctg, tehát g :,, g (), függvéy folytoos és így létezik primitív függvéye H z f függvéy, primitiválhtó, kkor z ( f g)( ) függvéy is primitiválhtó α, Eek függvéyek képtrtomáy α eseté két értéket trtlmz, tehát ebbe z esetbe függvéy em Drbou tuljdoságú Ez lpjá vizsgált függvéyek potos kkor v primitív függvéye, h α 6 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z si, h f :, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye cos Megoldás A si zoosság lpjá írhtjuk, hogy cos, f ( ) cos, A g :, g () függvéy α,, primitiválhtó, tehát z f függvéy potos kkor primitiválhtó, h α (ellekező esetbe z f g külöbség képtrtomáy két potot trtlmz) 7 Htározd meg z α prméter értékét úgy, hogy z si cos, h f :, f ( ) α, h függvéyek legye primitív függvéye 4 Megoldás A si cos si cos si cos zoosság lpjá átlkítjuk függvéyt A 5 si si, G :, G ( ) + 5, függvéy folytoos és deriválhtó H, kkor

13 6 A primitív függvéy és htároztl itegrál 5 4 G ( ) si + si cos + si si cos 5 és G () A 5 si si, h :, h () 5,, függvéy folytoos, tehát létezik primitívje és f ( ) G ( ) + h ( ) +, α, Ez lpjá z f potos kkor primitiválhtó, h α 8 Bizoyítsd be, hogy h z f :[,] [,] függvéyek v primitív függvéye és létezik α (,) úgy, hogy f ( α ), kkor f em ijektív Bizoyítás H f primitiválhtó, kkor Drbou tuljdoságú H f ijektív és Drbou tuljdoságú, kkor szigorú mooto Ez em lehetséges, mert f() (,] f() (,], α (,) és f( α ) 9 Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéy eseté f ( ), >, kkor f -ek ics primitív függvéye Bizoyítás H f(), kkor lim f ( ) lim összefüggés lpjá > > lim f ( ) Ez lpjá létezik oly I (, ε] itervllum, melyre f () > +, > I, tehát [, ε] itervllum képe trtlmzz -t, trtlmz + -él gyobb elemeket és em trtlmz és + közti elemeket Így [, ε] itervllum képe em itervllum, tehát f em Drbou tuljdoságú, tehát em létezik primitív függvéye Létezik-e oly f : függvéy, melyek v primitív függvéye és f f? Megoldás Lásd feldtot Létezik-e oly f : függvéy, melyek v primitív függvéye és ( )( ) * f f,, hol? Megoldás H f primitiválhtó, kkor Drbou tuljdoságú Az f f függvéy ijektív, tehát f is ijektív és így szigorú mooto Másrészt h f szigorú mooto, kkor f f szigorú övekvő és ez elletmodás, mert g ( ), függvéy szigorú csökkeő

14 A primitív függvéy és htároztl itegrál 7 * Bizoyítsd be, hogy h z f : függvéyek létezik primitív függvéye, g : függvéy folytoos deriválhtó, és g( ), eseté, h : függvéy pedig z függvéy egy primitív függvéye, kkor z g f o h függvéyek is létezik primitív függvéye! Bizoyítás Tekitsük K :, K () g ()( F h)(), függvéyt, hol F z f egy primitív függvéye Mivel gf, és h deriválhtó függvéyek, K is deriválhtó és K () g () ( F h) () + ( f h)( ) Másrészt z F h és g függvéyek folytoosk, tehát g ( F h) függvéy is folytoos és így primitiválhtó, tehát z f h függvéy is primitiválhtó (két primitiválhtó függvéy külöbsége) * Bizoyítsd be, hogy h z f :(, b) függvéyek folytoosk és f f,, f (), [,] b kkor z f () f (), [,]\ b függvéyek ics primitív függvéye! Bizoyítás Mivel f f létezik oly c (,) b, melyre f() c f() c f() c f() c Feltételezzük, hogy f() c > f() c és megszerkesztjük z ε > számot f folytoos függvéyek, tehát létezik oly δ >, melyre, f () ( f () c ε, f () c + ε) ( ) és f () f () c ε, f () c + ε, ( c δ, c+ δ) Ez lpjá ( c δ, c+ δ) itervllum képe em itervllum, mert f() c + ε< f() c ε és z f (( c δ, c+ δ)) itervllum trtlmz elemeket z ( f() c ε, f() c + ε) itervllumból is és z ( f () c ε, f () c + ε) itervllumból is

15 8 Itegrálási módszerek Gykorltok (9 oldl) II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A prciális itegrálás módszere Htározd meg, hogy milye hlmzo létezik primitív függvéye z lábbi függvéyekek és számítsd ki primitív függvéyt vgy dj rekurziós összefüggést rá: f l ( ) l d l d l d l + C és 9 * D + f ( ) l( + ) l( + ) d l( + ) d l( + ) d + l( ) d ( + ) l( + ) + l( + ) + C és D (, ) 4 f sh + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + shd + ch d + ch ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( + )ch d + ch + sh d + ch + sh + shd ( ) ( ) + ch + sh + ch +C és D 4 f ( ) sh sh d ch + C és D f + + e 5 ( ) ( ) e ( + + ) e d ( + + ) d e e ( + + ) ( 6 ) d +

16 Itegrálási módszerek 9 e e ( + + ) ( 6 ) d + 9 e e e ( + + ) ( + 6 ) + ( 6 + 6) d 9 9 e e e ( + + ) ( + 6 ) + ( + ) d e C és D 9 7 Megjegyzés Az Pe () d lkú itegrálok ( P [ X] és gr P ) kiszámítás sorá -szer itegráluk prciális Az eredméy Qe () + C, hol Q [ X] és gr Q és ezt meghtározhtjuk z együtthtók zoosításávl is Az ) előbbi példáb z eredméy ( b c d e lkú ( koststól eltekitve) és eek deriváltj ( ( ) + b + + ( c + b ) + d + c) e, tehát, + b, c+ b és d + c egyeletredszerhez jutuk Eek 7 megoldás, b, c és d, tehát ugyhhoz z eredméyhez 9 7 jutuk 6 f ( ) ( + ) e l ( + ) e l d ( + )l ( e ) d ( + ) l e e ld + e e d e ( + ) l e l + d e + d e * ( + ) l e l e + C és D + 7 ( ) ( + + ) f e 8 f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + e d + + e d + + e ( + ) e d + e + C és D l d d d + l ( ) l l l l l 9 f ( ) si * + 6 l 6 + C és D + si d ( cos ) d cos + cos d cos + si + C és D

17 Itegrálási módszerek f ( ) si ( ) si d cos d cos + cos d cos + si + 6 cos 6 si + C, és D f ( ) 4 cos si 4 cos d d si si d cos 4 4 si + cos d si cos si 8 si si cos si d cos 8 + si + C és D 9 8 f ( ) rctg rctgd d rctgd rctg + l f ( ) rctg rctg + +C és D l d l d l d l C f ( ) ( si + cos ) e 5 f ( ) si si e d e si cos e + C, tehát ( si + cos ) e d e si +C és D ( ) * + és D si d si ( cos ) d si cos + cos d si + ( si ) d si tehát si d + C Másképpe 4 cos si si d d + C 4 6 f ( ) si cos és D

18 Itegrálási módszerek si cos d si (si ) d si cos si d si tehát si cos d + C Másképpe si cos si cosd d + C és D 4 7 f ( ) e si e e si e e si d si d si cos d e si e si d Az I e si d itegrált prciális itegrálás módszerével számítjuk ki e e e I sid si e cosd si e e e 4 cos d si cos I 9 e Ebből következik, hogy I ( si cos) + C, tehát e si si cos e si d e + C 9 8 f ( ) e ( si + cos ) és D Az I si e d és J cos e d itegrálokt külö-külö htározzuk meg si I e d si e cos e d si e cos e si e cos e 9I I + C és cos J ed cos e + si ed cos e + si e cos e + si e 4J J + C, 5 tehát si cos + cos + 4 si ( si + cos ) e d e + C, D f + si 9 ( ) ( ) ( ) si ( ) ( cos ) + d + d

19 Itegrálási módszerek ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos ) ( ) si cos + cos + + cosd C f ( ) ch si és D I ch si d ( sh ) si d sh si sh cos d sh si ch cos sh si ch cos I I +C f ( ) cos( l ) I cos( l ) d cos( l ) + si ( l ) d és D cos( l ) + si ( l ) I I ( cos( l ) + si ( l ) ) + C és D α f ( ) l α Legye I l d Prciális itegrálv α+ α+ α l I l l d α+ I α+ α+ α+ Ahhoz, hogy egyértelműe meg legye htározv, meg kell htározuk I -t: I α+ α * I d + C és D α + + f ( ) si α si cos I αd α + cos α d α α ( ) cos α + si α I α α α Ahhoz, hogy meg legye htározv, még szükségük v -r és I -re I I I si αd cos α + C, α I si αd cos α si α + α α + C 4 f ( ) e si és D I e si d e si e si d e cos d e si e si d e cos + e cos I e ( si cos ) + e cos I + C és D 5 f ( ) sh

20 Itegrálási módszerek sh d ch ch d ch sh + c, D 6 f ( ) ch sh ch d sh d sh ch + sh + C, D f ( ) si ( sh + ch ) Az I si sh d és J si ch d itegrálokt külö-külö htározzuk meg ch I si sh d si ch cos d ch sh si cos I, ho ch sh I si cos +C 4 4 sh ch 4 J si ch d si cos 9 9 J J ( si sh cos ch) +C, tehát si ( sh + ch ) d si ch cos si + ( si sh cos ch ) + C és 4 4 D 8 f ( ) rcsi rcsi d rcsi d rcsi + + C D (, ) és 9 f ( ) rccos( + ) rccos( + ) d rccos( + ) + ( + ) d rccos( + ) 9 d ( + ) ( ) rccos( + ) + rccos( + ) +C és

21 4 Itegrálási módszerek D, f ( ) rctg rctg d rctg d + ( ) rctg d rctg + C és D, f ( ) + ( ) + I + d d l f ( ) 6 9 ( ) ( ) l I l I + C és D 6 9 I 6 9 d d d rcsi + d rcsi I I rcsi + + C és D, 4 4 f ( ) 9 hol I d d ( ) 4 9 ( 9) 9 ( 9) 9 9d I J ( ) + 9, ( 9) 9 ( 9) 9 J d d ( 9) J + 9K,

22 Itegrálási módszerek 5 K 9d d 9 d 9 9 9l K 9 l 9 K C + ( ) l 9 J + + C ( 9) ( 9) l 9 I C ( ) 79 l I D (, ) (, ) 5 4 f ( ) 4 hol ( ) I 5 4d 4 4 d 4 ( 4) ( ) ( 4) d I J, 4 + ( 4) 4( 4 ) 4 J d d Következik, hogy J és ie ( ) ( 4) J + ( ) ( 4) + C 5 5 ( 4) 6 ( 4) 8 ( 4) 4 I C ( ) C és I D (, ) (, ) 5 f ( ) 5 9 C és

23 6 Itegrálási módszerek I d d ( 5 9 ) ( ) ( ) d De feldt lpjá tehát ( ) I + d d rcsi + + C, 6 5 ( ) I + rcsi C rcsi C és 5 5 D, rcsi 6 f ( ) rcsi rcsi d d rcsi + + C és D (,) si 7 f ( ) e si e I d si ( cos ) e d ( ) si e cos e cos + si cos d si cos e ( si ) e d si + e d si cos e e I si e I si cos + + si I e +C és D 5 8 f ( ) l +

24 Itegrálási módszerek 7 l l d d + + l l C és I D (, ) (, ) l( l ) 9 f ( ) l( l ) l d l l ( l ) d l l( l ) l + C l és * D + 4 f ( ) rcsi rcsi d rcsi rcsi d rcsi + rcsi d l 4 f ( ) + rcsi + rcsi + C (, ) ( ) l d és D d l + ( ) ( + ) + ( + ) l + + d + + ( ) l * + l l ( + ) + C és D ( + ) 4 + rcsi 4 f ( ) e rcsi rcsi rcsi I e d e + e d rcsi rcsi e + e I rcsi rcsi e e I + C és D (, ) rccos 4 f ( ) e rccos rccos rccos e d e e d rccos rccos e e I

25 8 Itegrálási módszerek rccos rccos e e I + C és D (, ) 44 f ( ) rctg 45 f ( ) rctg d rctg d + 4 rctg + d rctg + l( + 4 ) + C és D 48 rctg e ( + ) I rctg rctg e ( e ) d ( ) + + d rctg e rctg d + e + ( + ) + + rctg rctg e e rctg + + e d ( ) rctg rctg + e ( + ) e I I + C és D f ( ) l( + + ) l( ) l( ) + + d + + d + ( ) l C és D l 47 f ( ) l l l l + l + 6 l + 6 d + d + C * és D + rcsi 48 f ( ) rcsi rcsi d + d

26 Itegrálási módszerek 9 rcsi + l + + C és I D (, ) \ { } + 49 f ( ) rctg rctg d rctg rctg d + rctg rctg rctg d d + + rctg rctg + l ( + ) + rctg + C és D 5 f ( ) cos ( l ) Legye cos ( l ) d cos ( l ) + cos( l ) si( l ) d cos ( l ) + si ( l ) d I si ( l ) d si ( l ) cos( l ) d si ( l ) cos( l ) si( l ) cos( l ) 4I I +C, 5 tehát si ( l ) cos( l ) * cos ( l ) d cos ( l ) + + C és D f ( ) si si I si ( cos ) d d ( ) si cos + si cos d si cos + ( ) I ( ) I si cos I I Ahhoz, hogy teljese meg legye htározv, ki kell számoluk -t és I -t I I I si d cos +C, si I si d + C ( 5 feldt lpjá) és D 4 5 ( ) cos * f, cos I d cos ( si ) cos si + ( ) cos si d d

27 Itegrálási módszerek cos si + ( ) I ( ) I cos si I I +, I cos d si + C, + cos si I cos d d + + C és D 4 * 5 f ( ), cos si + cos si I d d d I cos + cos cos si I, cos cos cos si I l d d d cos cos c si + si +, k I d tg + c és I D \ k cos 54 ( ) l * f, és I l d l l d l I Gykorltok (6 oldl) I l d l + C * és D + Helyettesítési módszerek Htározd meg, hogy milye hlmzo létezik primitív függvéye z lábbi függvéyekek és számítsd ki primitív függvéyt: f ( ) ( ) + ( ) + ( ) Megoldás d + d l +C és I D \{} Az t helyettesítéssel lpitegrálokr bothtó szét f ( ) Megoldás A t helyettesítéssel d tdt, 4 t t 4 d ( t + ) t dt + + c ( ) + + C és D [, )

28 Itegrálási módszerek e f ( ) + e e Megoldás d ( e ) d rctge + C + e és D + ( e ) 4 f ( ) + Megoldás d ( ) d C + + és D f ( ) + Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és l( ) d t tdt t t C 6 f ( ) si cos ( ) l + + C és D [, ) 4 si Megoldás si cos d si ( si ) d + C és D 4 7 f ( ) 4 Megoldás Az sit, t, helyettesítéssel d costdt, cost > és 4si t d costdt 4 cost 4 si tdt t si t + c rcsi + C 4 rcsi 4 + C és D (, ) f + 8 d 8 + d ( ) Megoldás ( ) 9 ( ) f 4 + ( ) l C és D

29 Itegrálási módszerek Megoldás f ( ) Megoldás rctg d 4 ( ) d + C + ( ) + 8 és D 4 4 ( ) rcsi d d + C ( ) 4 (, ) és D 5 f ( ) + 5 Megoldás 5 d ( + + ) 5 + d 5 ( + ) 6 + C és 8 D f ( ) ( + l) Megoldás d ( l) + d C ( + l) ( + l) ( + l) + * és D + f ( ) l ( l ) Megoldás l ( ) d ( l ) d l l + C l l ( ) D I e e * és + \{, } 4 f ( ) l( 6 ) d ( ) l( ) + ( + ) l( + ) d ( l ) ( ) ( ) d + + ( + l ) ( + ) ( ) d l( ) + l( + ) + C és I D (, ) (, ) Megoldás 6 l( )

30 Itegrálási módszerek ( ) Megjegyzés Az t helyettesítéssel z l t dt itegrálhoz jutuk, mely egy prciális itegrálás utá rcioális törtfüggvéy itegráljár vezetődik vissz 5 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d 6t dt és t 5 d 6t dt + + t ( t + t ) ( t + t ) + ( t + t ) ( t + ) + 6 dt t t 6t t + 6 6t + 6rctgt + C rctg + C és D R + 6 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és 5 t t + t t d 4t dt 4 dt 4 + t + t + 4t l( t + ) + C 4 l( 4 + ) + C és D + 7 f ( ) Megoldás Az + t helyettesítéssel d tdt és + + t + t t + ( t ) + d tdt dt + t t D [, ) t + 4t + 4l t + C l + +C és 8 f ( ) ( + ) + Megoldás Az + t helyettesítéssel d tdt és tdt d rctgt + c rctg + C + + t + t ( ) + és ( ) D (, ) e 9 f ( ) e

31 4 Itegrálási módszerek e ( e ) e Megoldás l ( ) + * d d C e és D e e + f ( ) Megoldás A t helyettesítéssel rcsi 6 d C és D, f ( ) Megoldás 9 d l C és D si f ( ) e cos si Megoldás e si d e si cos ( si ) d e + C és D f ( ) cos cos ( si ) si Megoldás d d d l C cos cos + si + si ( k + ) és I D \ k cos 4 f ( ) 7 si cos cos Megoldás 7 sid 7 ( cos) ( cos) d 5 f ( ) Megoldás cos cos 7 cos 7 si l 7 d l 7 cos cos 7 cos C és D l 7 l 7 + si + + ( ) + d d, tehát ( ) ( ) ( + si ) si + + dt t z + + t helyettesítéssel z l ctg si t +C itegrálhoz jutuk és + így d l ctg + + * C + si + + és D ( )

32 Itegrálási módszerek 5 6 f ( ) Megoldás Az si t, t, helyettesítéssel d costdt és + cost t sit d cos tdt dt + + C 4 rcsi + + c és D [,] 7 f ( ) + Megoldás Az sht helyettesítéssel d chtdt és ho I + d + sh t chtdt ch tdt cht sht sh tdt cht sht + t I, ch t sh t + t ch ( rcsh ) + rcsh I + C + C + + l ( + + ) + C és D + + ( ) 8 f ( ) Megoldás Az cht behelyettesítéssel d shtdt és I d sh tdt sht ch t t sh t ch t ch tdt + C ( ) l + + C + és D (, ] [, ) 9 f ( ) rcsi Megoldás d ( rcsi ) d l rcsi rcsi rcsi C I D (, ) \ {} cos f ( ) + si cos si Megoldás d ( si ) d rctg C + si + si + és D + rccos f ( ) 9 + és

33 6 Itegrálási módszerek + rccos Megoldás d 9 ( 9 ) d rccos ( rccos ) d rccos + C és, 9 9 D f ( ) l Megoldás l l ( l ) ( l ) C + rcsi f ( ) + rcsi Megoldás d ( ) d rcsi ( rcsi ) + d + rcsi + C és D (, ) + tg 4 f ( ) tg * + és D + + tg Megoldás d tg si + d d l + C tg cos tg cos tg és k I D \ k si 5 f ( ) cos si cos Megoldás d si d cos t cos cos t t dt l t + C itegrálhoz jutuk, tehát t si cos ( k + ) d l cos + + C és I D \ k cos rcsi 6 f ( ) A helyettesítéssel z

34 Itegrálási módszerek 7 rcsi rcsi rcsi Megoldás d + d J +, hol J d Legye sit d cos tdt és J sit sit tdt dt dt sit cost si t cos t + C I D (, ) \ { } si + cos 7 f ( ) si cos si + cos ( si cos ) si Megoldás d + d d si cos si cos cos si l + l cos + c és I D \ + si { + k k 4 } Megjegyzés A si cos t helyettesítéssel z si + cos d l si cos + C si cos eredméyhez jutuk 8 f ( ) si 4 cos Megoldás si d 4 cos ( cos ) d rccos( cms ) + C és cos cos l + \ { } I D k k ( ) 9 f ( ) + + Megoldás Az + sht helyettesítéssel d chtdt és hol + + d ( sh t + sh t ) ch t ch tdt ch t sh t ch tdt I ch 4 4 I ch tdt sht ch t ch t sh tdt sht ch t I + ch tdt sht ch t + sht cht + t A 7 feldt lpjá I + C 8 t,

35 8 Itegrálási módszerek ( ) De rcsht l t + t +, tehát sht ch t + sht cht + t + + d ch t + C 8 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + + l ( ) + 8 ( ) c ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) l + + ( + ) + + C és ( + ) + 8 ( ) D e 4 f ( ) e + Megoldás Az e t helyettesítéssel d dt és t e t I d e + dt t + t Ez utá t u helyettesítéssel kpjuk, hogy t + u + 4u t, dt u ( u ) ( ) du, u 4u 4u I u du du + u ( u ) ( + u )( u ) u du l rctg u + c u + u u +

36 Itegrálási módszerek 9 e + e e l rctg + C e + + e e + 4 f ( ) cos Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt és és D cos d t cos tdt t ( + cos t) dt t t si t cos t si cos c C és D si 4 f ( ) cos + si Megoldás A co s t helyettesítéssel si d dt, tehát dt si dt d t cos si t t du + u t l( u u ) C l + si C és cos cos I k,k + vlmilye k eseté 4 f ( ) Megoldás Az t helyettesítéssel d tdt, d tdt I t + t + u u + Ie t + u t helyettesítéssel t, dt du és u u u u + ( u )( u + ) I du du u u + u u u l u du C + u u u + + u 4u ( + + ) + + l + 4 * D + 44 f ( ) 4 rctg + ( + + ) ( + + ) + C,

37 4 Itegrálási módszerek 4 rctg Megoldás d + 4 ( ) rctg ( ) rctg rctg d rctg rctg d rctg d + rc rctg tg + l( + ) rctg + + C és D 6 45 f ( ) Megoldás Az si t helyettesítéssel d cos t és I 5 9 d 5 cos tdt cos si + si d cos si + I I cos si + +C, 6 6 és D e 46 f ( ) e + e e + e ( e + e ) + e Megoldás d d + e + e e ( e e ) d + l( + e ) e + l( + e ) + C és D si 47 f ( ) 9 4cos si Megoldás d 9 4cos cos ( cos ) d rcsi + C és D 9 4cos si 48 f ( ) 9+ 4cos si Megoldás ( cos ) d d 9+ 4cos 9+ 4cos 9 l cos + + cos + C 4 és D si 49 f ( ) 9cos 4

38 Itegrálási módszerek 4 si Megoldás d ( cos ) d 9cos 4 9cos 4 5 f ( ) Megoldás Az tehát 4 9 l cos + cos +C és I D rccos + k, rccos + k k + + rctg ( ) ( ) 4( rctg ) + rctg t helyettesítéssel z 4t dt itegrálhoz jutuk, + rctg rctg 4 rctg + d l C 4( rctg) + + Rcioális törtfüggvéyek itegrálás Gykorltok (49 oldl) Htározzuk meg következő rcioális törtfüggvéyek htároztl itegrálját egy oly itervllumo, hol evezőek ics gyöke: Mide függvéy primitiválhtó egy I D itervllumo, mert folytoos zo R ( ) 9 Megoldás d d l C 9 +, I \{ ± } R ( ) 4 + Megoldás d d l + C 4 +, I \{,} 4 + R ( ) Megoldás d l ( + + ) + C, I + +

39 4 Itegrálási módszerek R ( ) 6 4 Megoldás d d * + + C, I R ( ) Megoldás d rctg + C, I 4+ 6 R ( ) Megoldás d rctg + C, I R ( ) Megoldás d d d ( + )( ) l l C I R ( ) ( ) d Megoldás C ( ) ( ) +, I \{ } + + +, \{, } R ( ) ( ) Megoldás d + + d ( ) ( ) ( ) ( ) l C ( ) +, I \{ } R ( ) ( + )( + )( +) Megoldás Botsuk fel z R ( ) rcioális törtfüggvéyt elemi törtek összegére: A B C D ( + )( + )( + ) + + +

40 Itegrálási módszerek 4 A ( + )( + )( + ) + B( + )( + ) + ( + )( + )( + ) C ( + )( + ) + D ( + )( + ) + ( + )( + )( + ) Mivel z egyelőség jobb és bl oldlá megjeleő törtek ugyzok kell legyeek és evezők zoosk, számlálók is egyelők kell legyeek bármely eseté Ie eseté 6A A 6 eseté B B eseté C C eseté 6D D, tehát 6 d + d ( + )( + )( + ) 6 ( + ) ( + ) 6( + ) l l + + l + l + + c 6 6 I \{,,, } R ( ) + d Megoldás J + d A B + C d ( )( ) ( A B) + ( A B C) + A C d + Egyelővé téve z együtthtókt kpjuk, hogy A B A + B + C, ho A, B, C, tehát A C J d + + ( ) ( ) d l + l( + ) + 6 ( + )

41 44 Itegrálási módszerek ( + ) l + l d l + l( + ) + rctg + C 6 I \{ } + R ( ) ( + 9) + d Megoldás d + ( ) ( + 9) J d d ( + 9) 8 + d d ( + 9) d + rctg + C, ( + 9) 8( + 9) 54 tehát + 9 d + rctg + C, I ( + 9) 8( + 9) 54 R ( ) ( ) Megoldás Az ( ) d kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt: ( ) d d ( 4 ) ( 4 ) ( ) d ( ) ( ) d 4 d ( ) ( ) ie pedig 4 d + + ( )

42 Itegrálási módszerek 45 d ( 4 ) ( 4 ) ( ) (*) Az d kiszámításához prciális itegráljuk z kifejezést: ( ) ( ) + d d d d, ( ) ( ) ie d d ( 4 ) ( ) rctg + C A kpott eredméyt visszhelyettesítve (*) egyelőségbe, kpjuk, hogy 4 d + + ( ) + + rctg C 64 ( 4 ) ( 4 ) R ( ) ( + ) Megoldás d ( + ) I \{ } 5 5 R ( ) ( )( ) ( ) d ( + ) ( + ) ( + ) l , + ( + ) és D

43 46 Itegrálási módszerek Megoldás I \{,} 4 6 R ( ) Megoldás 5 d ( )( ) d 6 d + d ( ) ( ) ( ) l l 6 + C, ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( + ) l l C, + I \{ ± } 7 R ( ) 4 Megoldás d + d l + rctg C I \{ ± } +, R ( ) + 4 ( )( ) A B + D C + E Megoldás I + + A megfelelő együtthtók egyelőségéből következő redszert kpjuk: 6 A 5 A+ B 6 B D B 5 8A+ 4B D + C 4, melyek megoldás 4 C 5 4B + 4D + E C 56 D 6A 4D E E 5 Tehát d ( )( ) ( + 4) d

44 Itegrálási módszerek I l + d d ( ) l + l( + 4) + rctg Az ( ) d + 4 d kiszámításához prciális itegráljuk z + 4 -et I \{ } d + d ( + 4) + rctg ( + 4) 8( + 4) l( 4) ( ) d, ho d + rctg + C és így 6 ( + ) ( ) I l + + rctg + + C, Gykorltok (59 oldl) 4 Irrcioális függvéyek itegrálás Számítsd ki következő irrcioális függvéyek htároztl itegrálját oly itervllumo, hol ez létezik: f ( ) ( + 6) 4 t + 4 Megoldás Legye t 4 d tdt és t 4 ( 6) 4d t dt 5 t + 4t + c ( 4) 4 + 4( 4) 4 +C Az itegrál mide I (, ) itervllumo létezik f ( ) ( ) ( 5 ) t + t Megoldás Legye t 5 d dt, ekkor t t ( ) ( 5 ) d + d 5 t 5

45 48 Itegrálási módszerek t + t + C ( 5 ) 5 + ( 5 ) 5 +C és I, 5 f ( ) 5 + Megoldás A t t t 5 + helyettesítéssel, d és 5 5 t t d t dt t t + C ( ) ( 5 + ) C és D f ( ) 6 4 t + 4 t Megoldás A t 6 4 helyettesítéssel, d dt és ( t + 8t + 6) t t t 5 d dt + + t C t ( 6 4) ( 6 4) ( 6 4) + ( 6 4) + C és I \ { } + 5 f ( ) + t Megoldás t +, d t dt és + t + 4 t + 6 I d t dt + t t dt t ( ) ( ) t l + dt t + ( t ) Az t dt kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt: t ( ) t t t t t ( t ) t t ( t ) dt dt dt dt, t t tehát, dt l + C 6 t + ( t ) 6( t )

46 Itegrálási módszerek 49 Visszhelyettesítve kpjuk, hogy + I + C I, \{ és } 6 f ( ) + Megoldás A t + helyettesítéssel t, d t dt és d ( t ) tdt + 5 t t + C ( + ) ( + ) ( + ) + C és I \{ } f ( ) + + t 4t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t + + t 4t I d t dt ( ) t ( t ) 4 t t + + ( t ) + 4 dt ( t ) t l 8 t + t t dt dt ( ) ( ) Ahhoz, hogy ezt kiszámítsuk, előbb prciális itegráljuk z t függvéyeket t t dt + dt ( t ) ( t ) ( t ) t dt 4 dt ( t ) ( t ) ( t ) t 4 dt ( t ) ( t ) ( t ) t t dt I l + 6 t + t t ( ) ( ) ( t ) dt, így t t t dt, mjd z dt + dt + + dt t t ( t ) t t ( t )

47 5 Itegrálási módszerek Az itegrál mide 8 f ( ) 4 dt t dt ( t ) t ( t ) t, tehát t t t t + I + l + C, hol t t I (, ) (, ) itervllumo létezik 4 + t t Megoldás A t 4 helyettesítéssel, d dt + és ( t ) 4 4 t + t dt dt ( t ) t ( t ) I d t dt dt dt 6 t t + t ( ) 4 t l + rctg 6 dt 4 4 ( t) t + ( t ) dt A kiszámításához prciális itegráljuk függvéyt 4 4 t t ( ) t 8t dt dt t t ( t ) t dt ( ) t 4 + t 4 4 t ( t ) 4 ( t) dt 4 t t I rctg l + c t ( ) rctg + 4 l C , + I (, ), + 9 f ( ) + + t 6t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t ( )

48 Itegrálási módszerek 5 Az t dt ( ) számoljuk ki + + t 6t I d t dt t ( t ) t t t dt és t dt ( ) ( ) ( ) itegrálokt prciális itegrálás módszerével t 6t dt + ( t ) ( t ) ( t ) ( ) t t t t dt ( ) ( ) dt t 6 5 dt dt dt, így ( t ) ( t ) ( t ) dt t I d t t ( t ) ( t ) t t t dt dt dt + dt + + t t ( t ) t t ( t ) ( t ) ( t ) dt t dt ( t ) ( t ), tehát t t 8t dt I + ( t ) ( t ) ( t ) t 8t t dt t t + t + ( t ) ( t ) t 8t t + + l t + l ( t + t + ) + rctg + C ( ) ( ) l l rctg C 9 + Az itegrál mide I \{ } itervllumo létezik ( ) ( ) ( ) ( f + 4 ) Megoldás si t helyettesítéssel d costdt és

49 5 Itegrálási módszerek ( ) ( ) ( ) d sit + 4 cos tdt 5 sit cos t + t + + cos tsit + C 5 4 ( ) + rcsi + + ( ) + C rcsi + +C , I (, ) f ( ) ( + ) 4 Megoldás Az sit helyettesítéssel d costdt és d dt sit dt + tg t C ( + ) 4 sit + cos t cost C 4 + és I (, ) 5 f ( ) 9 Megoldás Az sit, t, helyettesítéssel d costdt és si t 5 5 d costdt si tdt 9 cost 4 5 si tcost 4 si t cost 4 c t + C os ( + + 7) + C, I (, ) 5 f ( ) + 9 Megoldás d C, I f ( ) t t + 4 Megoldás A 4+ 9 t + helyettesítéssel, d dt és 6t 6t ( ) 5 54 t t t + 4 d dt t t + 4 6t

50 Itegrálási módszerek ( 4 t ) t 4 t t dt 6 t 6 t t t t dt f ( ) t t C 4t 7t ( ) ( 4 9 ) ( 4 9 ) C t + t Megoldás A t + + helyettesítéssel, d dt és t t t t + t I d dt + + t ( + t) t ( t )( t + ) t + t dt t dt + ( t + ) t ( t + ) t A B C t ( A+ B) + t( B + C) + C t + dt t t + t t dt ( t + ) t A+ B B + C B, A 4, C, tehát C I t + + l t l t + + C t ( + ) ( ) ( ) l + l C D 6 f ( ) ( ) 4 t 4+ t Megoldás A t helyettesítéssel, d dt és t t d 4t t t + 4 I dt t 4t + 6 t + 4 t ( ) At + B Ct + D + dt, ho t 8 t + 8

51 54 Itegrálási módszerek tehát A+ C A 4 B + D B, melyek megoldás, ( 8 ) A ( + 8 ) C 4 C 4 ( 8 ) B ( + 8 ) D D és I D \{ ± } I l C f ( ) ( ) Megoldás Az cht helyettesítéssel d sh tdt és ch t ch t ( + sh t) d shtdt dt sh t sh t ( ) + + sht + c + c, sht + + I D (, ) (, ) 8 f ( ) 4 9 Megoldás Az ch t helyettesítéssel d sh tdt és 7 7 d ch sh ch ( sh ) t tdt t + t dt sht sht + sh t + C ( 4 9) C, I D,, + 9 f ( ) 4 + t + 4 t 4 Megoldás Az + t 4 helyettesítéssel, d dt t t és 4 + t + t + 6 t t 4 I d dt 4 + 4t t + t 4 t

52 Itegrálási módszerek t 8t t 64 t t t t 4t dt dt 4t ( t + t 4) 8 t ( t + t 4) t t 8 A B C D E t t t t t ( + + ) + ( + + ( 5) + ( + 5) ) t ( t + t ) 4 t A D E t A B D E t t t ( 4A+ B + C) + t( 4B + C) + ( 4C) + dt t t + t 4 ( ) A+ D + E A+ B + ( 5) D + ( + 5) E 4A+ B + C 4 4B + C 4C A redszer megoldás: A, B, C, D, E Tehát 5 5 t t l l t + I + t c 8 t t 5 t ( ) l( 4 + ) l C , I D (, ) (, ) f ( ) + Megoldás A ( 4 ) t + helyettesítéssel t, d t t + dt és t ( t ) d t t t + dt l + + C + t t + ( t ) D +, f ( )

53 56 Itegrálási módszerek t + Megoldás A t helyettesítéssel, t t t d dt és t ( ) t t t t d dt t 4 t 4 t t + 4 t + 4 t 9t + t ( t ) dt t t t + t + 4 6t t 4 t 9t + t t ( t ) dt ( ) t t t + 8 t dt 8 4 t t t t t dt ( ) ( ) t 5 l 8 t + t 7 C 6 t 44 + ( ) ( t ) l C ( ) f ( ) 4 + Megoldás A 4 + t( ) helyettesítéssel t 4t, d t dt és ( t ) ( t ) t d ( ) ( ) ( ) 5 ( t ) t 4 I t t t t t t + t t t dt

54 Itegrálási módszerek dt ( ) ( ) t t ( t ) 5 dt Az kiszámításához prciális itegráljuk z függvéyt t t ( ) t t t dt dt + dt + + dt t t ( t ) t t ( t ) t t dt l + C 4 t + ( t ) ( t ) dt dt Hsolóképpe számítjuk ki z -t és -t is t ( t ) ( ) 5 t dt ( ) 4( ) t t 4( t ) t 5 dt ( ) 4 6( ) t t 6( t ) t 7 5 dt 4 4 ( ) dt t 8( t ) 8( t ) Az eddigiek lpjá írhtjuk, hogy 4t 4t t 7t 7 t I + + l + C t 4 t 6 t 4 t 8 t + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + l C, + I D (,) (, ) f ( ) 6 + Megoldás Az sht helyettesítéssel d ch tdt és d ch tdt dt 6 + sh t + t + c l( + ( ) ) + + c, D 4 f ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt

55 58 Itegrálási módszerek Megoldás Az + ch t helyettesítéssel d sh tdt és d sh tdt dt ch t + + t + c l + + ( + ) + C, I D (, ) (, ) 5 f ( ) t Megoldás A + t helyettesítéssel, t t t + d dt és ( t ) + + I d + ( t ) t ( ) t t t t dt ( t ) t t t t + ( t ) ( ) ( t ) ( t ) t t + t + dt + + dt t (t ) t t t 4t 5 l + l t + + d t + t (t ) t t l + l t + + C t + 4(t ) + tehát t I + l t + l t l t + l t + + C 4 t D 6 f ( ) + + l l C , ( ) +

56 Itegrálási módszerek 59 t Megoldás A + t helyettesítéssel, t t 6t + 4 d dt és ( t ) ( ) d t t t t + dt ( ) + t t + t t + ( t ) dt + C + C, ( ) t t + + I D (, ) (, ) 7 f ( ) + 5 ( ) Megoldás Az sht helyettesítéssel d chtdt és d chtdt + 5 4sh t f ( ) ( ) ( ) dt tht + C + C, D 4ch 4 t t Megoldás A + + t helyettesítéssel, ( t + ) t + t + d dt és ( t + ) d t + t + t + I d t + 4t + 4 ( t + ) t t + t + A B C dt + + ( t + )( t + ) t + t + ( t + ) dt At ( + ) + Bt ( + )( t+ ) + C( t+ ) dt ( t + )( t + ) t eseté A t eseté C t eseté 4A+ B + C B I dt dt l t t + C ( t + ) t +

57 6 Itegrálási módszerek ( ) l C f ( ) +, D Megoldás Az + u helyettesítéssel d u du, tehát 4 u 4 + d u du + C ( + + I D [, ) f ( ) + ) C és Megoldás Az t helyettesítéssel d dt és d d + + ( I, t + u t u dt u du helyettesítéssel) dt t t + u u u du du du ( u ) u u u u + u + u + l u l( u + u + ) + rctg +C 4 4 ( ) l + l rctg C 4 +, * D f ( ) t Megoldás Az t t, d dt, mjd z u t t + 4 u 4u t, dt 4 du helyettesítéseket végezzük 4 u u I ( ) d t + t + 4 t 4 + t t dt dt u 4u du 4 + du u 4 du 4 u ( u 4 ) u u u u l + rctg u + C 4 u l rctg C , D

58 Itegrálási módszerek 6 f ( ) Megoldás I + d d A + t t d t ( ) helyettesítéssel t t t I dt dt ( t ) ( t ) ( t ) dt 4 A B C D E F G H t t + ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) Az együtthtók egyelőségéből A, B, C, D, E, F, G, H, tehát 8 8 t + I l C 6 t 6( t ) 6( t + ) 4( t ) 4( t + ) + + l ( + ) 6( + + ) C, I D \[,] 4 4 f ( ) + ( + ) ( + + ) 4 4 t 4 I + d t t dt + d 4t dt Megoldás 4 ( u + t, t u, dt u du ) 4 u ( u ) u du ( u u 9 u 6 u ) du u u + u u + C ( + ) 8 6 ( + 4 ) + 4 ( 4 ) ( 4 ) C, D + 4 f ( ) t 4t u t+ Megoldás I d t dt u ( u ) + d 4t dt t du dt u du

59 6 Itegrálási módszerek u u C * + ( + ) ( + ) + + C, D f ( ) Megoldás Az t d dt, mjd t u dt u du t helyettesítéseket végezzük dt u du udu I d t t 5( u ) u + 5( u ) u du 5 u u + u + u + l u l( u + u + ) + rctg +C 5 ( ( + ) ) l rctg 5 5 I D * \{ } 6 f ( ) + 5 l 5 ( ) 5 ( u ) + C, t 6u Megoldás Az t d dt és u dt du t + t helyettesítéseket lklmzv 5 dt t I 5 d 5 4 ( ) ( ) t t + t t + dt + ( u 5 ) u u u 9 du u du ( u ) u u f ( ) Megoldás Az + u C C u, * \{ } I D ( ) d 4u u du helyettesítéssel, tehát

60 Itegrálási módszerek 6 4 ( ) d 4 u udu u + C + C és D (, ) 8 f ( ) 4 Megoldás Az + + u helyettesítéssel 4 4 ( ) d 6 u du u + C + C + + * és I D 5 Trigoometrikus függvéyek rcioális és irrcioális kifejezéseiek itegrálás Gykorltok (6 oldl) Htározd meg, hogy z lábbi függvéyekek milye itervllumoko v primitív függvéye és számítsd ki egy ilye itervllumo htároztl itegrálját: f ( ) si cos 4 6 si si Megoldás si cos d si ( si ) cos d C, D 4 f ( ) si cos Megoldás si si si cos d si ( si ) cos d C 5 7 +, D 4 f ( ) si cos Megoldás 4 si cos4 si cos d si ( + cos ) d + d si si C, D f ( ) si cos Megoldás 6 cos si si cos d d si cos si + cos si d 6

61 64 Itegrálási módszerek 5 f ( ) si cos 4 si 4 + d si si 4 5 si C és D si Megoldás cos si d ( cos ) si d cos + + C, D 4 f cos 6 ( ) 4 + cos Megoldás cos d d ( + cos + cos ) d 4 si si C, D 8 4 f cos cos 7 ( ) Megoldás ( ) cos ( si )( 4 si ) d 8 f ( ) cos cos d cos 4 cos cos d si si + si si + C D si cos, Megoldás cos si + cos4 si cos d cos d d 4 si si 4 + C és D f ( ) si cos + 5 tg Megoldás A t tg jelöléssel d dt, vlmit si + t és + tg tg cos összefüggések lpjá kiszámítdó itegrál + tg + tg d si cos tg + tg tg

62 Itegrálási módszerek 65 + t dt dt dt 4t t + t t + t + 5 t + + tg + t + 5 rctg + C rctg + C Megjegyzés A függvéyek z egész -e létezik primitívje de z előbbi számolások oly itervllumo érvéyesek, melye változócsere értelmezett Egy ilye itervllum (, ) itervllum H z egész -e meg krjuk htározi z f primitív függvéyét, kkor k lkú potokb össze kell illesztei kostsokt f ( ) si cos Megoldás d d si cos l d C si cos si cos + cos +, I D \ { k k } f ( ) + tg dt Megoldás A t tg helyettesítéssel rctgt, d, tehát + t ( tg ) d t I tg d + dt tg + 4tg + 4t t + t At + B C D dt + t t 5 t + 5 Egyelővé téve megfelelő együtthtókt, kpjuk, hogy A+ C + D B 4A+ ( 5 ) C ( 5 + ) D, ho C + D A 4B B + ( 5 ) C ( + 5) D A, B, C, D , tehát I l( + t ) + rctgt + l t 5 + l t C

63 66 Itegrálási módszerek 4 4 l tg l tg 4 tg 5 + C + + +, 5 5 I D \ { k k + } rctg + k k si cos f ( ) si + cos si cos si cos si cos Megoldás d d si + cos cos si si si si si d cos 4cos cos 8 d + si cos si u u t + ( si ) cos 8 d du dt cos t8 + u 8 t u u l + l t t u C + si si + l + l cos cos si C tg + f ( ) si + cos Megoldás A tg t helyettesítéssel d dt és kiszámítdó itegrál cos ( tg + ) d t + t dt l ( + t ) + rctg C cos tg + + és így t + ( ) tg I l( + tg ) + rctg +c (k ) (k ) I D + és z előbbi godoltmeet, lkú itervllumoko érvéyes 4 f ( ) cos si Megoldás d 4 d ctg c cos si si +, I D \ { k k } 5 f ( ) cos si Megoldás d tg d C cos si cos tg +,

64 Itegrálási módszerek 67 I D k, k + k 5 ( ) 6 f ( si )( cos ) ( ) ( 4 ) Megoldás 5 si cos d si cos cos d 7 f ( ) si cos cos cos + cos cos d 4 6 cos cos cos + + C és D si si 5 si 4 5 ctg ctg 5 Megoldás d d C si si 5 +, I D k, k + k tg 8 f ( ) si cos Megoldás tg d tg C si cos cos tg +, I D k, k + k 9 f ( ) tg + u + + t u helyettesítésekkel u + 4u u + tg + d t + dt du 4 t + u u + 4 u Megoldás A tg t d dt és t + u t dt du ( u + 4 ) u u 4u du du du u( u + 4) u( u + 4) u u ( ) ( tg + + tg ) u l u + rctg + C l tg + tg + + rctg +C f ( ) + si + tg Megoldás I + d si d tg

65 68 Itegrálási módszerek 4t A tg t helyettesítéssel d dt és 4 + t 4 I + t t dt t + 4 t + t dt t + t ( ) + t + t + t t + dt ( ( t ) ( t )) 6rctg + + rctg + C 6 Epoeciális és hiperbolikus függvéyek rcioális és irrcioális kifejezéseiek itegrálás Gykorltok (66 oldl) Htározd meg, hogy z lábbi függvéyekek milye itervllumoko v primitív függvéye és számítsd ki egy ilye itervllumo htároztl itegrálját: f sh ch ( ) Megoldás ( ) sh ch d sh sh + ch d sh sh sh ch d + sh ch d + + C, D f ( ) sh ch sh sh Megoldás sh ch d sh ( sh + ) ch d + + C, 7 5 D 4 f ( ) sh ch 4 Megoldás ( ) I sh ch d sh ch ch d 4 f ( ) sh sh ( ch ) (ch 4 ) 8 + d + d 48 6 sh sh C, D sh ch Megoldás sh 6 ch d sh 4 ( sh ch ) d sh ( + ch ) d 6 sh d sh ch d + ( sh ch ) d 6 6 6

66 Itegrálási módszerek 69 5 f ( ) sh sh sh sh 4 6 d + d ch4 ch8 sh d d sh 4 sh 8 sh C, D ch Megoldás sh d ( ch ) sh d ch + C 6 f ( ) 4 ch, D ( ) 4 + ch sh + ch 4 Megoldás ch d d + + d sh sh C, D 4 8 f ch ch 7 ( ) ( ( )) ( ) 4 ch ( sh + )( 6 sh + 8 sh + ) d Megoldás ch ch d ch ( ch ch + sh sh ) d ch ch 4 sh + d ch 6 sh sh + d sh 4 sh + + sh + sh + C, D f ( ) sh ch ch Megoldás sh ch d ch d sh ch 4 + sh sh d C, D f ( ) e + e + e Megoldás d d e d e + e + e + e + e ( e + ) rctg + C, D f ( ) sh ch sh Megoldás d d d sh ch sh sh

67 7 Itegrálási módszerek sh ch d l + C, D ch ch + e f ( ) e + e e Megoldás d e + e e + e 4e e + e 4 6e 4 + d e + e e + e e + e 6e 4 6 e + d e + + d e + e e e + e 8 8 e e + d d + e e + 8 * e + l e l e + + C, D Megjegyzés Az e t helyettesítés utá t t I dt t + t ( t )( t + ) dt 4 8 t + l l( ) dt e e e t t C sh ch f ( ) sh + ch sh ch sh ch ( sh ch ) Megoldás d d sh + ch sh ch 4 sh sh ch + sh ch d + sh d sh sh sh 4 + (ch 4 ) d C , D 4 8 e + f ( ) e + e e + e + e e + e Megoldás d d d e + e e + e e ( e + ) e e + d e ( e + ) e 4 d e l( e + ) + C, D e f ( ) e + e e

68 Itegrálási módszerek 7 dt Megoldás Az e t helyettesítés utá kiszámítdó itegrál tt ( )( t+ ) dt dt tt ( )( t+ ) t 4( t ) 4( t+ ) ( t+ ) l t + l t + l t + + C 4 4 ( t + ) ( ) * l e + + l e + C, D 4 4 ( e + ) 5 f ( ) ch sh Megoldás d th d d C ch sh ch sh +, ch th ch D f ( ) ( sh )( ch ) 7 Megoldás 5 ch t ( sh ch d t ) tdt t t t + dt sh d dt t t + t + C ch ch e + 7 f ( ) e e e Megoldás I + d + e e d e Az e + t helyettesítéssel e t, ed tdt, ch C I tdt A B C D E F dt ( t ) t t + ( t ) ( t + ) ( t ) ( t + ) A megfelelő együtthtók egyelőségéből kpott redszer megoldás A, B, C, D, E, F , t tehát I l + + C 8 t + 8( t ) 8( t + ) 8( t ) 8( t + ) e + + l 8 e + 8 e + 8 e ( ) ( )

69 7 Itegrálási módszerek + + C 8 8 ( e + ) ( e + + ), D th 8 f ( ) sh ch th sh Megoldás d d d sh ch sh ch ch ch th th + C és D +, 9 f ( ) th + Megoldás Az e t helyettesítés segítségével z th ( + th ) ( th ) I rcsh + rcth rcth + C th + th + eredméyhez jutuk és D f ( ) + ch Megoldás Az e t helyettesítés segítségével z eredméyhez jutuk és D Összefoglló feldtok (66 oldl) e I + C + e Állpítsd meg, hogy következő függvéyekek v-e primitív függvéye és igelő esetbe htározd meg primitív függvéyeit:, h ) f :, f ( ) l, h (,) ; e e, h * b) f : l, + f ( ) ; +, h < c) f :, f ( ) e ; l, h l, h d) f :, f ( ) ;, h e) f :, f ( ) rcsi + ; f) f :, e f ( ) e + ;

70 Itegrálási módszerek 7 g) f :, f ( ) rcsi + ; h) f :, + f ( ) ; 4 + i) f :[, ), f ( ) + si + cos ; l, h > j) f :, +, f ( ) ;, h if ( t t + ), h t k) f :, f ( ) ; if ( t + t + ), h > t rcsie e l) f :, f ( ) ; m) f :, f ( ) e ) f :, ( + ), f ( ) + + l ( + ) l ; * o) f : + si cos, f + ( ) + e + si rctge + e ; Megoldás ) lim f ( ) lim f ( ) f ( ) f folytoos -b, < > lim f ( ) lim f ( ) f ( ) f folytoos -be, < > f folytoos (,), (, ), (, ) itervllumoko, tehát f folytoos - Következik, hogy f primitiválhtó - H F z f egy primitív függvéye, kkor + l( ) + c, F :, F( ) l + c, (,) lkú 4 e e + c, Mivel F deriválhtó -, F folytoos -, tehát F folytoos -b és -be is, így lim F( ) c ( ) c lim F < >, tehát lim F( ) + c ( ) c lim F 4 e < >

71 74 Itegrálási módszerek + l ( ) + c, F( ) l + + c, (,) 4 e e + + c, e 4 Elleőrizhető, hogy z így megszerkesztett F függvéy deriválhtó és F ( ) f( ), l, l + b) f ( ) + l, (, ) + * * f folytoos -, így f primitiválhtó - + c) f folytoos - f primitiválhtó - d e d c e e e + l l d + c, tehát h F : z f egy primitívje, kkor, + c < e F( ) l + c, Mivel F folytoos kell legye, lim F( ) c lim F( ) c, tehát e + < >, + c < e F( ) l + c, e d) f folytoos - f primitiválhtó - l d l l d l l + 4 F : z f egy primitívje, kkor + c, tehát h

72 Itegrálási módszerek 75 l l + + c, > 4 F( ) c, l l + + c, < 4 F folytoos - F -b is folytoos lim F( ) c c F( ) c lim F( ), tehát < > l l + + c, > 4 F( ) c, l l + + c, < 4 rcsi, \ [,] + e) f ( ) rcsi, f folytoos - f + rcsi, [,] + primitiválhtó - ( + ) 4 rcsi d rcsi d + +, 4 + ( ) tehát z f egy F : primitív függvéye rcsi + l ( + ) + c, < + rcsi l( + ) + c, [, ] + F( ) lkú rcsi + l ( + ) + c, [, ] + rcsi l ( + ) + c4, > + F folytoosságából lim F( ) F( ) lim F( ) c c és < > ( ) () ( ) < > lim F F lim F c c, vgyis

73 76 Itegrálási módszerek rcsi + l ( + ) + c, < + rcsi l( + ) + c, [, ] + F( ) rcsi + l ( + ) + c, [, ] + rcsi l ( + ) + c, > + e, e + f) f ( ) f folytoos - f primitiválhtó - e, < e + e d l( e + ) + c, e + így z f függvéy primitívjei F :, l( e + ) + c, F( ) l( e + ) + 4l + c, < lkúk ( kostsokt úgy htároztuk meg, hogy F folytoos legye) g) f folytoos - f primitiválhtó - + ( ) rcsi d rcsi d + +, ( + ) tehát z f primitívjei F :, rcsi + l ( + ) + c, < + F ( ) rcsi l( + ) + c, [,], + rcsi l + ( + ) + c, > + lkúk H z F folytoosság lpjá meghtározzuk z álldók közti összefüggéseket, z rcsi + l ( + ) + c, < + F( ) rcsi l ( + ) + c + l, < + rcsi l + ( + ) + c, < + függvéyeket kpjuk

74 Itegrálási módszerek 77 h) f folytoos -, következik, hogy f primitiválhtó - + d rctg 4 ( + ) + rctg( ) + (lásd 6 oldlo feldtot), tehát h F : z f egy primitívje, kkor F( ) rctg( + ) + rctg( ) + c i) f folytoos [, ] - f primitiválhtó [, ] - Az itegrál kiszámításához tg t helyettesítést végezzük el: + tg + t d si cos d dt + + tg + 4+ tg ( t + t + ) + t tg + t + rctg + C rctg + C, tehát z f primitívjei F :, [ ], tg + rctg + c, [, ) 7 7 F( ) c, lkú tg + rctg + c, [,) 7 7 F folytoosságából lim F( ) F( ) lim F( ), vgyis < > c c c j) Az f :,, f( ) l függvéyre lim f ( ) lim f ( ), tehát z f függvéy em Drbou tuljdoságú és így ics primitív függvéye és

75 78 Itegrálási módszerek k) A másodfokú függvéyek tuljdosági lpjá f ( ) +, + +, >, és eek függvéyek -be elsőfjú szkdási potj v, tehát em létezik primitív függvéye l) A függvéy em jól értelmezett, mert z e kifejezés em mide vlós eseté rcsie teljesíti e egyelőtleséget H z f :, f ( ) e függvéy primitívjeit számítjuk, kkor z e t, mjd u t helyettesítések rcsie rcsie segítségével z d l( + e ) + + c e e eredméyhez jutuk m) A függvéy folytoos, tehát létezik primitív függvéye Az e t rctgt helyettesítéssel z dt itegrálhoz jutuk, tehát primitív függvéyek + t F :, () rctg F e + C lkúk ) f folytoos (, ) -, tehát f primitiválhtó (, ) l ( + l) d l l( l ) l + l d + l l l + l( + l ) l + C, tehát f primitívjei F :(, ), l F( ) l + l( + l ) l + C lkúk * * o) f folytoos -, tehát f primitiválhtó si cos * d l( + e + si ) + C, így z F :, + e + si + F( ) l( + e + si ) + C függvéy z f primitívje l si, h > Bizoyítsd be, hogy z f :[, + ), f ( ) függvéyek v primitív, h függvéye +

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Bevezetés az integrálásba

Bevezetés az integrálásba Bevezetés z itegrálásb Horváth Árpád. ovember. Megjegyzés Ez jegyzet összefogllj z itegrálszámításk zokt leglpvetőbb foglmit, mely élkül z itegrálszámítási feldtok megoldás csk képletek mipulációj lee.

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

ANALÍZIS II. Bártfai Pál

ANALÍZIS II. Bártfai Pál ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a . . Egyváltozós függvények htároztln integrálj. Egyváltozós függvények htároztln integrálj PAP MARGIT. A primitív függvény foglm Tekintsük z I (I R) intervllumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben prgrfusbn

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben

5.1. A határozatlan integrál fogalma

5.1. A határozatlan integrál fogalma 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

mateking.hu AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS f A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS 0 + A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI

mateking.hu AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS f A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS 0 + A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI AZ ELSŐ DERIVÁLT ÉS A MONOTONITÁS + + mootoitás lok. m lok. mi A MÁSODIK DERIVÁLT ÉS A KONVEXITÁS mteki.hu + koveitás kokáv ileió kove A LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉK LÉTEZÉSÉNEK FELTÉTELEI TÉTEL: A lokális szélsőérték

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés Háromszög egyelő területű szkszr osztás, számítássl és szerkesztéssel Bevezetés Az építészet szkrodlomb elég gykr előfordul címbel feldt, főleg kötőelemek kosztáskor. Ezek lehetek szegek, csvrok, betétek,

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó!

Takács M., Sorok elmélete és numerikus módszerek. Kedves Olvasó! Tkács M., Sorok elmélete és umerikus módszerek Kedves Olvsó! A Sorok elmélete és umerikus módszerek mérökhllgtókk című köyv elsősorb Szbdki Műszki Szkőiskol hllgtóik készült, hrmdik élévbe okttott Numerikus

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség

Részletesebben

VIII. Függvények tanulmányozása

VIII. Függvények tanulmányozása 5 Függvének tnulmánozás VIII. Függvének tnulmánozás 8.. A monotonitás vizsgált, egenlőtlenségek Tekintsük z f :[, b] foltonos és (, b) -n deriválhtó függvént. A de- f ( ) f ( ) rivált értelmezésében szereplő

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] 2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben