(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

Átírás

1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x x = 8 (g x + + x + + x + x + =.. A ullától külöböző valós y paraméter mide egyes választása mellett oldja meg a következő egyeletet: y + /y = si x. 3. Az a R \ {0 } paraméter mide választása mellett oldja meg az alábbi egyeletet: x 3(a a = (x a x (a +. a 4. A valós a b paraméterek mide választása mellett oldja meg az alábbi egyeleteket: (a x a b = b x a (b ax ab + ax + b = a + b. 5. A valós p paraméter mide választása mellett oldja meg az alábbi egyeletredszereket: (a (p x + py = px + (p y = p (b (p 3 x + py = 8 (p x + y = Bizoyítadó hogy mide valós x-re 4(cos 6 x + si 6 x Bizoyítadó hogy mide olya valós x-re amelyre x/π em egész szám 8. Oldja meg az alábbi egyelőtleségeket: cos x + si x 4. (a x + + x + + x 4 > 9 (b x 3 > x (c x x + (d ( x 3( x + 5 < 0 (e ( + x < x (f x 3x x + x + < 3 (g x 5x + 6 x + 4x + 3 > Oldja meg az alábbi két egyelőtleségredszert: (a cos x + si x si x (b cos x + si x. 0. A valós p paraméter mely értékei mellett va megoldása a p x x egyelőtleségek?

2 . A valós q paraméter mide választása mellett oldja meg az alábbi egyelőtleséget: x x + + x + 4x + 4 q.. Ábrázolja a koordiátasíko azokat a potokat amelyek (x y koordiátái kielégítik az alábbi egyelőtleségeket: (a x + y (b y x > x (c x y (d x + x + y < 0 (e (x + y(x y(x + > 0 (f x y x y. 3. Igaz-e hogy az alább defiiáladó X Y halmazokra bármely A B C halmazok eseté teljesül az X Y illetve az Y X tartalmazás? (a X := (A B \ C (b X := (A \ B \ C (c X := A \ C (d X := A \ (B \ C Y := (A \ C (B \ C Y := (A \ C \ (B \ C Y := (A \ B (B \ C k=0 Y := (A \ B (A B C. 4. Bizoyítadó hogy mide pozitív egész -re és bármely x y valós számokra ( (a V (x + y = x k y k (biomiális tétel k (b x y = (x y y k x k (c k = k= k=0 ( + ( + 6 (d (e k= k 3 = ( + 4 k(k+(k+ = 5. Meyi az első páratla pozitív egész égyzetéek összege? k= ( + ( + ( Fogalmazza meg az alábbi állítások midegyikéek a tagadását tagadószó haszálata élkül majd dötse el hogy az eredeti állítás az igaz vagy a tagadása: (a Mide megyékbe va olya település melyek mide utcájába va földszites ház. (b Mide egyes p pozitív számhoz található olya K pozitív szám melyre mide K-ál agyobb x valós szám eseté x px + > 0. (c Va olya K pozitív szám amely mellett mide p pozitív számhoz található olya q pozitív szám hogy mide K-ál agyobb x valós szám eseté x px + q > 0. (d Mide p pozitív számhoz található olya K pozitív szám amelyél agyobb x valós számok midegyikére x si(p/x > 0. (e Mide p pozitív számhoz található olya K pozitív szám amelyél agyobb x valós számok midegyikére cos p/x > 0. (f Mide korlátos H számhalmazhoz található olya K valós szám melyre mide valós x eseté igaz az x K x / H implikáció. 7. Va-e az alábbi számhalmazokak legkisebb illetve legagyobb eleme?

3 (a {p R + : x (p + cos /(x > 0} (b {p R + : x R k Z melyre x k < p}. 8. Va-e legkisebb illetve legagyobb értéke aak a függvéyek amely mide egyes valós p számhoz az x + (p x p = 0 egyelet gyökeiek égyzetösszegét redeli? 9. Va-e legkisebb illetve legagyobb értéke az összes pozitív számok halmazá értelmezett x x/( + x függvéyek? 0. Va-e legkisebb illetve legagyobb értéke az összes valós számok halmazá értelmezett (a x x + 3x + x + x + (b x x + 6x + 6 x + 4x + 5 függvéyek?. Va-e legkisebb illetve legagyobb értéke a H (x y x y + függvéyek ha H := {(x y R : y x 4x + }?. Létezek-e az alábbi valós számok? (a max{mi{x R : x (p + x + p 0} : p R} (b max{mi{x [(p + / + : x (p + x + p 0} : p R} (c max { mi { ( } x x : x R + : N 3. Bizoyítadó hogy ha a 0-tól külöböző u és v számok összege pozitív akkor u v + v u u + v. 4. Megválasztható-e a valós p és a pozitív r paraméter úgy hogy az }. f : [ r r] R x x + 4x + p függvéy értékkészlete a [0 8] itervallum legye? 5. V (Általáosított Beroulli-egyelőtleség Ha -él agyobb egész és a t... t számokra teljesül egyrészt az hogy közülük legalább kettő ullától külöböző másrészt az hogy vagy midegyikük a ( 0] vagy midegyikük a [0 + itervallumba va akkor az ( + t ( + t... ( + t számok szorzata agyobb mit + t + t t... defiíció (biomiális együtthatók. Legye α valós szám. Mide pozitív egész eseté ( ( α α (α... (α + α := továbbá :=. V! 0 6. Bizoyítadó hogy ha pozitív egész és α ( 0 akkor ( α < (α +. k= k

4 7. V (Cauchy Schwarz-féle egyelőtleség Bizoyítadó hogy ha pozitív egész és x... x valamit y... y tetszőleges valós számok akkor x i y i yi. i= Mikor érvéyes a < és mikor az = jel? Segítség: Végezzük esetszétválasztást aszerit hogy a jobb oldal 0 vagy pozitív; az utóbbi esetbe osszuk el az egyelőtleség midkét oldalát a jobb oldallal majd alkalmazzuk a yilvávaló (a k b k 0 k= egyelőtleség átredezésével adódó ( a k b k a k + k= egyelőtleséget az alábbi szereposztással: a k := i= k= x i i= k= x k b k := i= x i b k y k. i= y i 8. Tekitsük azokat a derékszögű háromszögeket amelyek átfogójáak hossza a rögzített c pozitív szám. A befogókat x-szel illetve y-al jelölve (a bizoyítadó hogy 4x + 3y 5c (b mikor lesz 4x + 3y a lehető legagyobb?.. defiíció (hatváyközepek. Ha pozitív egész és v ullától külöböző valós szám akkor a p... p pozitív valós számok v kitevőjű hatváyközepé a ( p v p v /v számot értjük. A v kitevőjű hatváyközép kifejezés helyett v = eseté a harmoikus közép v = eseté a égyzetes közép illetve mide -él agyobb egész v eseté a vedik hatváyközép kifejezést is szokták haszáli v = eseté pedig kizárólag a számtai közép kifejezést. Páratla pozitív egészek háyadosakét előállítható v eseté a p i számok előjelére voatkozó kikötés elhagyható. 9. Bizoyítadó hogy bármely pozitív egész és bármely (x... x valós szám--es eseté az x i számok számtai közepéek abszolút értéke em agyobb mit ugyaeze számok égyzetes közepe. 30. Bizoyítadó hogy ha pozitív egész a... a pozitív számok p... p pedig olya pozitív racioális számok amelyek reciprokaiak összege -gyel egyelő akkor a a... a ap p Mikor érvéyes a < és mikor az = jel? + ap p + + ap. p

5 3. Bizoyítadó hogy ha pozitív egész a és b pedig pozitív számok akkor Mikor érvéyes a < és mikor az = jel? ab + a+ + + b +. 3.* Legye m pozitív egész y... y m pozitív számok. Bizoyítadó hogy ha az y i számok között va két külöböző akkor az a sorozat amelyek -edik tagja az y... y m számok -edik hatváyközepével egyelő szigorúa mooto övő. 33. Bizoyítadó hogy ha a b és c pozitív számok akkor (a a + b c + b + c a (b a b + b c + c a 3 + c + a b 6 (c a b + b c + c a b a + c b + a c (d* a + b + c + 4 ab + 3b + c (e* (a + b(b + c(c + a 8abc (f* (a + (b + (a + c(b + c 6abc (g* (a + b c(b + c a(c + a b abc. Mikor érvéyes a < és mikor az = jel? 34. Keressük meg a legkisebb olya pozitív egész számot amelytől kezdve mide egészre (a > (b ( < 4 +4 (c > 3 (d > (e ( + < + (f <. 35. Bizoyítadó hogy (a > (b > Bizoyítadó hogy mide pozitív egész -re (a < < (b (c (d 4 + k=0 ( < 4 + k! + ( + ( +! < ( (e k=0 ( + k! +! V < + k=0 k!

6 ( + (f! (g k < k= (h k=0 k! < 3 (i ( + < Bizoyítadó hogy ha pozitív egész k pedig -él em agyobb pozitív egész akkor ( + k < + k + k. 38. Bizoyítadó hogy ha > egész és p > akkor p < p. 39. Mi a valós számok halmazáak az a legbővebb részhalmaza amelye az alábbi hozzáredelés értelmezhető? (a x lg si x x 4 (b x 4x + 5 (c x (x 5 (d x l l( x Az alábbi f g függvéyekkel képezzük az f g és g f függvéyeket majd állapítsuk meg hogy melyikük ijektív és melyikük em ijektív! (a f : R R f(x := x g : [0 + R g(x := x (b f : (0 R f(x := x g : R+ R x (c f g : R R f(x := x g(x := + x. 4. Adjo példát em mooto ijektív f : R R függvéyre! 4. Az alábbi függvéyek midegyikével kapcsolatba válaszoljo a következő kérdésekre: Mi a függvéy értékkészlete? Ijektív-e a függvéy s ha ige akkor mi az iverze? Melyek a függvéyek a maximális itervallumo értelmezett ijektív leszűkítései és mi eze leszűkítések iverze? [Az itervallumo értelmezett ijektív ψ függvéyről akkor modjuk hogy maximális itervallumo értelmezett ijektív leszűkítése az egyváltozós valós ϕ függvéyek ha egyrészt ψ leszűkítése ϕ-ek másrészt ics olya J itervallum amelyre teljesüléek a következők: J D(ψ J D(ϕ és ϕ J ijektív.] (a R x ax + b (a b R a 0 (b R \ {0} x a (a R \ {0} x (c R \ {0} x lg(00x (d R \ { /3} x 3x + x (e R \ {0} x x + x (f R x x. (g R x (px + p x (p > 0 (h R x (px p x (p > 0 (i R x px p x p x + p x (p > 0.

7 . Számhalmaz alsó illetve felső határa.. defiíció (komplexusműveletek. Ha A és B valós számhalmazok akkor A és B (komplexusösszegé (komplexuskülöbségé illetve (komplexusszorzatá azokak a valós számokak a halmazát értjük amelyek előállak egy A-beli és egy B-beli szám összegekét külöbségekét illetve szorzatakét. Jelölés: A + B A B illetve AB. Ha c valós szám és H valós számhalmaz akkor a H halmaz c-szeresé a ch := {c}h halmazt értjük. A ( H helyett a rövidebb H jelölést haszáljuk. 43. Bizoyítadó hogy egy valós számhalmaz potosa akkor alulról korlátos ha a ( -szerese felülről korlátos és (következésképpe potosa akkor felül korlátos ha a ( -szerese alulról korlátos. 44. Bizoyítadó hogy ha = H R alulról [felülről] korlátos akkor if H = sup( H [sup H = if( H]. 45. V Bizoyítadó hogy ha A és B felülről [alulról] korlátos emüres számhalmazok akkor A + B is ilye és sup(a + B = sup A + sup B [if(a + B = if A + if B]. 46. Bizoyítadó hogy ha a emüres A és B számhalmazok mide eleme emegatív akkor if(ab = if A if B. 47. Bizoyítadó hogy ha a felülről korlátos emüres A és B számhalmazok mide eleme emegatív akkor sup(ab = sup A sup B. 48. Bizoyítsuk be hogy emüres korlátos számhalmazok szorzata korlátos és lehetőleg kevés esetszétválasztással adjuk meg a szorzathalmaz felső illetve alsó határát. 49. Legye mide pozitív egész és A R eseté A := {a : a A}. Az alábbi állítások közül válasszuk ki azokat amelyek mide emüres korlátos A számhalmaz eseté igazak: (a A = A A (b sup A = sup(a A (c if A = if(a A (d if A 3 = (if A 3 (e sup A = (sup A (f sup A 3 = (sup A Az A számhalmazról tegyük fel egyrészt azt hogy egatív és pozitív szám egyarát va bee másrészt azt hogy va olya pozitív r szám amelyre A ( r r =. Következik-e ebből hogy az A-beli számok reciprokaiból álló B halmaz korlátos? Mit lehet állítai a B halmaz alsó illetve felső határáról? Vizsgáljuk ugyaezeket a kérdéseket abba az esetbe is amikor az A-ra voatkozó első feltételt azzal az eyhébb feltétellel helyettesítjük hogy legye A emüres számhalmaz! 5. Legye f : R R mooto övő függvéy és H emüres felülről [alulról] korlátos számhalmaz. Bizoyítadó hogy ekkor az f(h := {f(x : x H} halmaz szité felülről [alulról] korlátos és sup f(h f(sup H [if f(h f(if H]. Adjuk példát olya H halmazra és f függvéyre melyekre sup f(h < f(sup H! Fogalmazzuk meg eek a feladatak azt a párját amely mooto fogyó függvéyről szól! 5. Bizoyítadó hogy ha A és B felülről [alulról] korlátos emüres számhalmazok akkor az uiójuk is ilye és sup(a B = max{sup A sup B} [if(a B = mi{if A if B}]. 53. Bizoyítadó hogy ha A és B felülről [alulról] korlátos számhalmazok és a metszetük emüres akkor A B szité felülről [alulról] korlátos. Mit lehet állítai ekkor a metszethalmaz felső [alsó] határáról?

8 54. Bizoyítadó hogy ha H korlátos emüres számhalmaz akkor sup H if H = sup(h H = sup{ x y : x H y H}. 55. Bizoyítadó hogy tetszőleges egatív racioális r szám eseté if{ r : N} = Bizoyítadó hogy tetszőleges v valós szám eseté a v-ál kisebb racioális számok halmazáak felső határa és a v-él agyobb racioális számok halmazáak alsó határa egyarát v-vel egyelő... defiíció (diadikus racioális számok. A D := {k : k Z Z [0 + } halmaz elemeit diadikus racioális számokak evezzük. 57. Bizoyítadó hogy tetszőleges v valós szám eseté a v-ál kisebb diadikus racioális számok halmazáak felső határa és a v-él agyobb diadikus racioális számok halmazáak alsó határa egyarát v-vel egyelő..3. defiíció (szemifaktoriálisok. Mide pozitív egész eseté az első páratla [páros] pozitív egész szám szorzatát így jelöljük: (!! [(!!] (olv.: [] szemifaktoriális. A defiíciót = 0-ra ezzel a megállapodással terjesztjük ki: (!! := 0!! :=. V 58. Határozzuk meg az alábbi halmazok esetleg csak R-ba létező alsó és felső határát: {( (a {x R : x < 3} ( : N} (b {x Q : x < 3} + { ( (c {x D : x < 3} + : N} (d {x R \ Q : x 3 < } { m (e + 4 } m : m N { } k (f 4k + : k Z N { } m (g m + : m N { } π (h cos : N + 3 { } k (i k + : k Z N { } m (j + m + : m N { [ ] } (k : N { } (l + : N (m { 4 ( : N } (o + { } (!! (p : N (!! { } (!! (q : N ( +!! { } ( + ( + (r ( : N (s {( α : N } (α [ ] (t { ( α : N } (α [ ] (u {k + l : k Z l Z} R + (v { 3 + p 5 + q 7 : p q Q} R + { } xy (w : (x y x R R \ {(0 0} + y { y + z (x + z + x + x + y : x y z R }. + x y z

9 3. Számsorozat határértéke 59. Az alábbi sorozatok midegyikéről dötse el hogy va-e határértéke s ha va akkor keresse meg a határértékét! Mide N eseté a sorozat -edik tagja legye (a (b (c + (d (e + 3 (f + (g (k ( (l 3 ( (m ( (o (3k (p k= (s (h + + (i ( + (q π (w (j ( (r (x ( ( (y 3 3 ( (z ( ( + 5( (c (!! (d (!! 5 (e ( +! (f (3! (g 5 (! ( +!! (h (i (! (t 3 k k= (u ( + 4 ( 4 ( ( 3 (v (k k= Nullsorozat-e az a sorozat amelyek -edik tagja mide N eseté (a! ( ( (j (! (s ( 3 (b (!! (k (! ( (l 3! (m [( +!] ( (o (p (!! ( +!! (!! 4 3 (!! ( k (q ( 9 ( 3 (r ( 3! (k N (t (u k= ( k= k + ( + k (v ( x (x R (!! (w (!! (x (!! (y ( (z ( Legye (a valós számsorozat és A valós szám. Mit jeleteek az alábbi állítások? Az alábbi állítások közül melyekből következik az hogy (a tart A-hoz melyekből következik

10 az hogy (a em tart A-hoz melyek következek abból hogy (a tart A-hoz végül melyek következek abból hogy (a em tart A-hoz? (a ε R + N N N ( N a A > ε (b ε R + N N N ( N a A < ε (c ε R + N a A < ε (d ε R + N N N ( N a A < ε (e ε R + N N N ( N és a A < ε (f ε R + N N N ( N a A < ε (g N N ε R + N ( N a A < ε. 6. V Fogalmazza meg tagadószó haszálata élkül az alábbi állításokat: (a az A szám em határértéke az (a számsorozatak (b az (a számsorozat diverges. 63. Adjo példát olya koverges sorozatra amely előáll két diverges sorozat összegekét! 64. Va-e olya koverges sorozat amely előáll egy koverges és egy diverges sorozat összegekét? 65. Adjo példát olya koverges sorozatra amely előáll két diverges sorozat szorzatakét! 66. Va-e olya koverges sorozat amely előáll egy koverges és egy diverges sorozat szorzatakét? 67. Igaz-e hogy mide koverges sorozat előállítható két diverges sorozat összegekét? 68. Igaz-e hogy mide koverges sorozat előállítható két diverges sorozat szorzatakét? 69. Igaz-e hogy mide koverges sorozat előállítható két diverges sorozat háyadosakét? 70. Bizoyítsa be hogy ha az (x sorozat kovergál egy ullától külöböző számhoz akkor mide egyes rögzített k N eseté az (esetleg általáosabb értelembe értedő (x +k /x sorozat koverges. 7. Adjo példát olya (x (y ullsorozatokra melyek egyetle tagja sem ulla s melyekre az (x + /x sorozat koverges az (y + /y sorozat pedig diverges. 7. Adjo példát olya korlátos diverges (x (y sorozatokra melyek egyetle tagja sem ulla s melyekre az (x + /x sorozat koverges az (y + /y sorozat pedig diverges. 73. Adjo példát olya diverges (x sorozatra amelyre mide egyes rögzített k N eseté az (x +k /x sorozat határértéke. 74. Adjo példát olya diverges (x sorozatra amelyre mide egyes rögzített k N eseté az (x +k /x sorozat határértéke -él agyobb valós szám. 75. Adjo példát olya diverges (x sorozatra amelyre mide egyes rögzített k N eseté az (x +k /x sorozat határértéke +.

11 76. Adjo példát olya diverges (x sorozatra amelyre mide egyes rögzített páratla k N eseté az (x +k /x sorozat határértéke. 77. Bizoyítsa be hogy ha (x koverges akkor mide egyes k N eseté az (x +k x sorozat koverges. 78. Adjo példát olya diverges (x sorozatra melyre mide egyes k N eseté az (x +k x sorozat ullsorozat. 79. V (a Melyek a koverges számtai sorozatok és melyek a koverges mértai sorozatok? (b Melyek azok a mértai sorozatok amelyekek ics határértéke? 80. V Adjo példát olya + -hez tartó (x (y sorozatokra melyekre az (x y sorozat határértéke (a egyelő -el (b egyelő + -el (c em létezik (d egyelő egy előre megadott valós számmal. 8. V Adjo példát olya (x ullsorozatra és + -hez tartó (y sorozatra melyekre az (x y sorozat határértéke (a egyelő -el (b egyelő + -el (c em létezik (d egyelő egy előre megadott valós számmal. 8. V Adjo példát olya 0-hoz tartó (x (y sorozatokra melyekre egyrészt mide -re y 0 másrészt az (x /y sorozat határértéke (a egyelő -el (b egyelő + -el (c em létezik (d egyelő egy előre megadott valós számmal. 83. Hogya viselkedhet két + -hez tartó sorozat háyadosa határérték szempotjából? 84. V Bizoyítsa be hogy ha az (x sorozathoz található olya δ pozitív szám melyre valamely küszöbidextől kezdve mide pozitív egész -re (a x δ akkor lim(x = 0 (b x + δ akkor lim(x = V Adjo példát olya -hez tartó (x sorozatra amelyre az (x sorozat határértéke (a egyelő 0-val (b egyelő + -el (c em létezik (d egyelő az előre megadott p pozitív számmal. 86. V Adjo példát olya pozitív tagú (x ullsorozatra amelyre az ( x sorozat határértéke

12 (a egyelő 0-val (b egyelő -gyel (c em létezik (d egyelő az előre megadott p (0 számmal. 87. V Adjo példát olya + -hez tartó (x sorozatra amelyre az ( x sorozat határértéke (a egyelő + -el (b egyelő -gyel (c em létezik (d egyelő az előre megadott -él agyobb A számmal. 88. Az alábbi sorozatok midegyikéről dötse el hogy va-e határértéke s ha va akkor keresse meg a határértékét! Mide N eseté a sorozat -edik tagja legye ( ( + 4! ( +! + (a + 3! + 3! (k (s +! + ( +! (b (! + ( +! ( 4 (t! (l ( +! + ( +! (c ( + 3! ( (u ( + 7! (d (m + + (! + 3 ( 5 + (v (e ( e ( + 7 ( (f (! (w + 3 (o 5 (g ( (! 3 (h (!! (p (x! 3 e ( (i + (!! ( x 3 5 (q (x R (y x ( + (! 3 k (j x + (r (x R (z (k N \ {}. x +! 89. Bizoyítsa be hogy mide pozitív egész k mellett (a lim k+ i= i k = k + (b lim ( k i k = k Az x paraméter mide egyes emegatív értéke mellett vizsgálja meg az sorozatot határérték szempotjából! i= k xk k= 9. Legye (p olya pozitív tagú sorozat amelyre létezik a lim(p + /p =: A határérték. Bizoyítsa be hogy ekkor az ( p sorozat is tart A-hoz. 9. Bizoyítsa be hogy az a sorozat melyek -edik tagját az alábbi formulával értelmezzük koverges:

13 (a k= k(k + (b k= ( k (c k= cos x k ahol (x tetszőleges ullsorozat. 93. Legye mide pozitív egész -re ( ( a := + exp b := k exp k= k= k (exp(x := e x. Bizoyítsa be hogy (a (a szigorúa mooto övő (b szigorúa mooto fogyó sorozat (b e két sorozat azoos határértékhez éspedig pozitív számhoz kovergál (c a ( k= l sorozat koverges k (d lim exp ( k=+ = lim k k=+ k = l. (Az e alapú expoeciális függvéy iverzekét értelmezett l függvéyről felhaszálhatja midazt amit a középiskolába az -él agyobb alapú logaritmusfüggvéyekről tault. 94. Bizoyítsa be hogy lim ( e =. 95. Bizoyítsa be hogy ha mide N eseté az α számot az e = k=0 k! + α! egyelőséggel értelmezzük akkor lim α =. 96. Bizoyítsa be hogy mide N eseté [ ( < ( +! e k=0 ] < e. k! 97. Az alábbi sorozatok midegyikéről dötse el hogy va-e határértéke s ha va akkor keresse meg a határértékét! Mide N eseté a sorozat -edik tagja legye (a cos x (x R (c cos ( π + (e si ( π + (b si x (x R (d cos ( π + (f [cos(π + ]. (g cos x (lim x = u R (h si x (lim x = u R. (A trigoometrikus függvéyekkel kapcsolatba felhaszálható a si x x (x R egyelőtleség s midaz amit e függvéyekről a középiskolába tault. 98. Legyeek (k és (m tetszőleges idexsorozatok. Bizoyítsa be hogy ekkor az a sorozat is idexsorozat amelyek -edik tagja

14 (a k + m (c (m k (e k (g (m (b k m (d k m (f k! (h k + m (i m m (j ( k +m 3 (k 004k + 005m. 99. Legye mide pozitív egész -re a := b := c := 3 + ϕ ( := ϕ ( := ϕ 3 ( := ϕ 4 ( :=. Írja fel (a (b és (c azo részsorozataiak első égy-égy tagját amelyeket a feti ϕ k idexsorozatok (k = 3 4 határozak meg. 00. Bizoyítsa be hogy ha (b részsorozata (a -ek és (c a (b -ek akkor (c részsorozata (a -ek. 0. Bizoyítsa be hogy ha az (a sorozat mide részsorozatáak va 0-hoz tartó részsorozata akkor (a ullsorozat. 0. Bizoyítsa be hogy ha mid az x mid az x sorozat tart az u valós számhoz akkor lim(x = u. 03. Legye az (x valós számsorozatak a ( ( + illetve a (3 idexsorozathoz tartozó részsorozata redre az (a a (b illetve a (c sorozat. Bizoyítsa be hogy ha az utóbbi három sorozat koverges akkor (x is majd adjo példát olya diverges (x sorozatra amelyre (a (b és (c koverges (b (a és (c koverges (c (a és (b koverges. 04. V Bizoyítsa be hogy bármely valós számsorozatak va olya részsorozata amelyek va határértéke. 05. Mi azokak a valós számokak az X halmaza illetve R azo elemeiek Y halmaza amelyek előállak az (a sorozat valamely részsorozatáak határértékekét ha a = (a ( + + ( (b + + cos π (c ( (d π cos + 3 (e ( + 3( ( (f + si π π (g cos + 3 (h + ( (i cos π Bizoyítsa be hogy egy valós (x számsorozat potosa akkor koverges ha mide pozitív ε-hoz található olya pozitív egész m hogy az m-él agyobb egészek midegyikére x x m < ε. 07. V Bizoyítsa be hogy ha r Q u R és az (x sorozat határértéke u akkor az alábbi esetek midegyikébe lim x r = u r : (a r < 0 < u és (x pozitív tagú sorozat (b 0 r 0 u és (x emegatív tagú sorozat (c r előállítható egy egatív egész és egy páratla pozitív egész háyadosakét; u is és mide -re x is ullától külöböző (d r előállítható egy pozitív egész és egy páratla pozitív egész háyadosakét.

15 08. Vizsgálja meg az alábbi rekurzív módo megadott (a sorozatok midegyikét határérték szempotjából s ha létezik a határérték akkor állítsa is elő azt (az egyes feladatokba szereplő paraméterek jeletése: p tetszőleges pozitív szám k N x R: (a a := p a + = + a (b a := p + a + = 3a (c a := p 6 a + = a + 6 (d a := p + 6 a + = (a 3 (e a := p a + = p + a (f a := p a + = p a (g a := a + = + /a (h a := x a + = x + a (i a := x a + = a a + 3a + 4 (j a := x a + = si a (k a := p a + = a (l a > 0 tetszőleges a + = (a + pa (m a > 0 tetsz. a + = ( ka + p k + a k ( a := 0 a := / a + = 3 ( + a + + a 3 (o a = f + f ahol f := f := és f + = f + + f. 09. Bizoyítsa be hogy az alábbi rekurzióval értelmezett ([a b ] itervallumsorozat tetszőleges pozitív számokból álló (a b számpár eseté teljesíti a Cator-féle közöspottétel feltételeit: a := ab b := a + b N a + = a b b + = a + b.

16 4. Végtele sorok 0. Számítsa ki a (a x sorösszeget ahol mide N eseté x = = ( ( + (b (c (d (e (f (3 ( ( + ( + 3 (g + (h + ( + (i! (j 5 (k ( ( + (l 4 (m + ( 0 ( + (o si!π 70 (p + ( 3 6 (q (r l + 4 ( + 4 ( ( (s l + ( + ( + (t l ( + 3 ( (u (v ( Tetszőleges a és b valós számok eseté számítsa ki az alábbi rekurzióval értelmezett sorozat határértékét: a := a a := b N a + = (a + + a /.. Legye mide N eseté a b c. Bizoyítsa be hogy ha mid a a mid a c végtele sor koverges akkor a b végtele sor is koverges. 3. Bizoyítsa be hogy ha a a végtele sor abszolút koverges akkor a a végtele sor koverges. 4. Bizoyítsa be hogy ha a a b végtele sorok kovergesek akkor akkor az alábbi végtele sorok is kovergesek: (a a b (b (a + b (c a /. 5. Adjo példát olya (a (b sorozatokra amelyekre lim(a /b = a koverges és b diverges. 6. Bizoyítsa be hogy ha az (a /b sorozat -hez tart és a abszolút koverges akkor a b végtele sor is abszolút koverges. 7. Legye mide pozitív egész -re a az -edik 4k- alakú prímszám reciproka. Bizoyítsa be hogy a a végtele sor koverges. 8. Bizoyítsa be hogy ha az (a sorozatak va határértéke és ez ullától külöböző akkor a a végtele sor diverges. 9. Bizoyítsa be hogy ha (a pozitív tagú mooto ullsorozat és a koverges akkor (a ullsorozat. (Útmutató: alkalmazza a Cauchy-féle kovergeciafeltételt! 0. Koverges-e a a végtele sor ha a =

17 (a si ( (b si + ( 3 cos (π/ (c ( + ( + (d l 3 7 (e + ( l (/ + cos π (f (g l + 3 (h cos l (i 3 (j (k (l (m ( (o (p ( + si(π/ ( si π 6 + ( si π 6 l( + + si π + (3 + si π 4 cos π cos π (q 3 + ( + (r 5 + (s tg (t l (u (v si si (w + cos 3 + si (x (y ( e (z ( e 4. Legye p > valós szám és mide pozitív egész -re x p-él kisebb emegatív egész. Bizoyítsa be hogy a x /p végtele sor koverges!. Bizoyítsa be hogy ha (x olya sorozat melyre a x + x végtele sor koverges akkor az (x sorozat is koverges. 3. Adjo példát olya pozitív tagú diverges a b végtele sorokra amelyekre a mi{a b } végtele sor koverges! 4. Koverges-e a a végtele sor ha a = (a (! (b + ( 3 + ( +! (c 0! (! ( +! (d (3 + 5 (e + 5 si! 3! (f (! tg 5 (g 6 (! (h (! (!! (i 3 ( +! (j (k! (! (3 + (! (l! si π (m! k + ( 3k (o (p k= k= 3 3k k + 5 ( + (q ( + 4 ( (r ( (s ( / (t 3 + ( + (u 3 + (v e (w ( ( 3 (x ( si π (y ( l + (z cos(π +.