BSc Analízis I. előadásjegyzet

Átírás

1 BSc Aalízis I. előadásjegyzet 2009/200. őszi félév Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék 200. április 30.

2 ii

3 Tartalomjegyzék Előszó v. Bevezetés.. Logikai állítások, műveletek, tagadás Bizoyítási módszerek Fotos egyelőségek, egyelőtleségek Halmazok Függvéyek Valós számok Műveletek és redezés Itervallumok és köryezetek Természetes, egész és racioális számok Felső és alsó határ Valós számok hatváyai Elemi függvéyek Valós függvéyek alaptulajdoságai Az elemi függvéyek Hatváyfüggvéyek Expoeciális és logaritmus függvéyek Trigoometrikus függvéyek és iverzeik Hiperbolikus függvéyek és iverzeik Néháy külöleges függvéy Sorozatok A sorozat fogalma és tulajdoságai Sorozat véges határértéke Műveletek koverges sorozatokkal Részsorozatok Sorozat lim sup-ja és lim if-je Cauchy-féle kovergecia-kritérium Diverges sorozatok, sorozatok végtele határértéke Sorozatok közép-sorozatai Nevezetes sorozathatárértékek Valós számok valós kitevőjű hatváyai Függvéyek határértéke és folytoossága Torlódási potok Függvéy határértéke Függvéy folytoossága Határérték, folytoosság és kompozíció Jobb és bal oldali határértékek iii

4 iv TARTALOMJEGYZÉK 4.6. Elemi függvéyek folytoossága és határértéke Nevezetes függvéyhatárértékek Folytoos függvéyek tulajdoságai Sorok Végtele sorok Kovergeciakritériumok Végtele sorok átredezései, Cauchy-szorzata A sorok éháy alkalmazásáról Végtele tizedestörtek Az e szám irracioális

5 Előszó Ez a jegyzet a 2009/200-es taév őszi félévébe tartott Aalízis I. kurzus ayagához készül. A jegyzet a félév sorá folyamatosa bővül, az utolsó változtatás dátuma a címlapo látható. A jegyzetbe bizoyára előfordulhatak hibák ezek jelzését örömmel veszem a seszter@cs.elte.hu -címe! A jegyzet sorá az alább jelöléseket haszálom: N természetes számok, a 0-t is beleértve; Z egész számok; Q racioális számok; R valós számok; R + pozitív valós számok; R egatív valós számok (és hasolóa: Z +, N +, stb.) v

6 vi ELŐSZÓ

7 Első fejezet Bevezetés.. Logikai állítások, műveletek, tagadás A következőkbe éháy alapvető logikai fogalmat tárgyaluk... Defiíció. Állításak evezük egy olya kijeletést, melyről egyértelműe eldöthető, hogy igaz vagy hamis. Pl.: Ez az alma piros. A tábla zöld..2. Defiíció. Logikai műveletek: Állításokból gyártaak új állításokat. Legye A és B egy-egy állítás. (a) és, jele: A B potosa akkor igaz, ha A és B is igaz. (b) vagy, jele: (fotos! megegedő vagy) A B potosa akkor hamis, ha A és B is hamis. (c) em, jele: A potosa akkor igaz, ha A hamis (és fordítva). (d) következtetés (implikáció), jele: A B potosa akkor igaz, ha A vagy B igaz. (e) ekivivalecia, jele: A B potosa akkor igaz, ha A B és B A is igaz..3. Defiíció. Nyitott modat: olya állítás, mely változót tartalmaz. Igazságértéke a változó értékétől függ. Pl.: Az szám égyzetszám. x 2 3x + 2 = 0. Ha A(x) yitott modat (x a változó), akkor ebből új állításokat yerhetük a (létezik) és (mide) ú. kvatorok segítségével: ( x)a(x), Például: ( x) x 2 3x A feti állítások tagadása : ( x)a(x). (( x)a(x)) = ( x) A(x), (( x)a(x)) = ( x) A(x). A példába szereplő állítás tagadása: ( x) x 2 3x + 2 < 0.

8 2 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS.2. Bizoyítási módszerek Idirekt bizoyítás Eek a bizoyítási módszerek a meete, hogy feltesszük a bizoyítadó állítás ellekezőjét, és ebből elletmodásra jutuk. Példa:.4. Állítás. 2 irracioális. Bizoyítás. Idirekt tegyük fel, hogy 2 racioális. Ez azt jeleti, hogy vaak olya p, q pozitív egész számok, q 0, továbbá p és q legagyobb közös osztója, melyekre Midkét oldalt égyzetre emelve kapjuk, hogy 2 = p q. 2 = p2 q 2, amiből 2q2 = p 2. Ebből látszik, hogy p 2, így p is páros szám kell legye, vagyis p = 2r, ahol r egész. Így 2q 2 = 4r 2, vagyis q 2 = 2r 2, tehát q is páros. Ez elletmod aak, hogy p és q legagyobb közös osztója, tehát a kiiduló feltevés hamis, így 2 irracioális. Teljes idukció Teljes idukcióval olya állításokat bizoyítuk, melyek mide (vagy mide elég agy ) természetes számra voatkozak. A teljes idukció meete a következő.. Belátjuk az állítást = 0-ra (vagy arra a legkisebb -re, amiről az állítás szól). 2. Belátjuk a következőt: ha az állítás valamelyik természetes számra igaz, akkor igaz +-re is. A természetes számok tulajdoságaiból következik, hogy a feti két lépés bizoyításával az állítást mide természetes számra beláttuk. Ugyais, az. lépés alapjá az állítás igaz = 0-ra. A 2. lépésből tudjuk, hogy ekkor az állítás igaz = 0 + = -re is. Ismét alkalmazva a 2. lépést, tudjuk, hogy az állítás igaz = + = 2-re. És így tovább,,végtele sok lépés utá kapjuk, hogy az állítás mide természetes számra teljesül. A 2. lépésbe szereplő feltevést szokás idukciós feltételek is evezi. Példa:.5. Állítás. Mide természetes számra 2 >. Bizoyítás. Végrehajtjuk a teljes idukció lépéseit.. = eseté az egyelőtleség 2 > alakú, és mivel 2 = 2, ezért 2 > teljesül.

9 .3. FONTOS EGYENLŐSÉGEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 3 2. Most tegyük fel, hogy az állítás valamelyik természetes számra igaz, vagyis erre az -re 2 >. Lássuk be, hogy ekkor + -re is igaz! A belátadó állítás tehát: 2 + > +. Mivel 2 + = 2 2, és a feltevés szerit 2 >, ezért 2 + = 2 2 > 2. Másrészt bármilye egészre 2 +, tehát és ezt kellett belátuk. 2 + > +,.6. Megjegyzés. A feti állítás = 0-ra is teljesül (hisze 2 0 = > 0), de az idukciós lépés csak eseté működik. Fotos látuk, hogy az idukció 2. lépésébe em azt tesszük fel, hogy az állítás bármely -re igaz hisze akkor magáak az állításak az igaz-voltát tételezék fel, amit pedig bizoyítai akaruk. Csak ayit teszük fel, hogy az állítás egy (valamelyik) természetes számra igaz. Ilye létezik, hisze az. lépésbe éppe ezt láttuk be..3. Fotos egyelőségek, egyelőtleségek.7. Tétel (Beroulli-egyelőtleség). Mide N + és a, a R eseté ( + a) + a. Egyelőség potosa akkor teljesül, ha = vagy a = 0. Bizoyítás. A bizoyítást teljes idukcióval végezzük.. = eseté a belátadó állítás ami tetszőleges a-ra igaz. + a + a, 2. Tegyük fel most, hogy az állítás valamelyik Z + -ra igaz! Lássuk be, hogy ekkor az egyelőtleség + -re is teljesül, vagyis Az idukciós feltevés szerit ( + a) + + ( + ) a. ( + a) + a. Ebből, kihaszálva, hogy + a 0 (mivel a ) kapjuk, hogy Tudjuk, hogy ( + a) ( + a) ( + a) ( + a) = + ( + ) a + a 2. (.) Összevetve (.)-et és (.2)-t kapjuk, hogy amit láti akartuk. ( + a) + = ( + a) ( + a), (.2) ( + a) + + ( + ) a + a 2 + ( + ) a, (.3)

10 4 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS Hátrava még az egyelőség teljesüléséek esete. Világos, hogy = ill. a = 0 eseté egyelőség teljesül. Ha azt tesszük fel, hogy egyelőség va, akkor ezt helyett + -re felírva, (.3) alapjá ( + a) + = + ( + ) a + a 2 = + ( + ) a kell igaz legye, amiből a 2 = 0. Ezért vagy = 0, és akkor + =, vagy a = Tétel (Biomiális tétel). Tetszőleges a, b R és N eseté ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = b + ab + a 2 b a b + a, (.4) 0 2 másképp írva: Itt (a + b) = k=0 ( ) a k b k. k ( )! = k k! ( k)!, k, Bizoyítás. A bizoyítást teljes idukcióval végezzük. ( ) =. 0. = 0 eseté az egyelőség ami =. (a + b) 0 = ( ) 0 b 0, 0 2. Tegyük fel, hogy az (.4) egyelőség valamelyik -re teljesül! Belátjuk, hogy + -re is igaz. Mivel (a + b) + = (a + b) (a + b), ezért az idukciós feltevés szerit (( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) + = (a + b) b + ab + + a b + )a 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = ab + a 2 b + + a b + a ( ) ( ) ( ) ( ) + b + + ab + a 2 b + + a b 0 2 ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] = b ab + + a 2 b [( ) ( )] ( ) + + a b + a +. Felhaszálva, hogy tetszőleges N és k N, k eseté ( ) ( ) ( ) + + =, k k k továbbá kapjuk, hogy ( ) = 0 ( + 0 ), ( ) = ( ) + + (a + b) + = ( ) ( ) + + b + + ab + 0 ami épp a bizoyítadó állítás + -re. ( + 2 ) a 2 b + + ( + ) a b + ( ) + a +, +

11 .3. FONTOS EGYENLŐSÉGEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 5.9. Tétel (Számtai-mértai-harmoikus közép közti egyelőtleség). Legyeek a, a 2,..., a > 0 tetszőleges számok ( ). Ekkor A := a + + a (számtai közép), jelöléssel G := a a (mértai/geometriai közép), H := a + + (harmoikus közép) a Egyelőség potosa akkor áll fe, ha a = a 2 = = a. H G A. (.5) Bizoyítás. A bizoyítást teljes idukcióval végezzük. Az állítás = esetbe triviális. Tegyük fel most, hogy valamely -re és tetszőleges a, a 2,..., a > 0 számokra A G. Legyeek adva a, a 2,..., a, a + > 0 számok, és tegyük fel, hogy úgy vaak sorba redezve, hogy a + az (egyik) legagyobb közülük (világos, hogy az állítás em függ a számok sorredjétől). Be kell látuk, hogy A + G +, vagyis midkét oldalt +. hatváyra emelve ( ) + a + + a + a + a a a +, (.6) + ami a belátadó állítással ekvivales. Az alábbi átalakítást végezzük: ( ) + a + + a + a + = ( A + a + ) + + = = + ( ) + ( + ) A + a + A + ( A + a ) + + A. (.7) + Mivel a + az (egyik) legagyobb szám, ezért köye látható, hogy a + A 0. Így a kapott kifejezést a Biomiális tétel szerit kifejtve az (.4) összegbe mide tag pozitív. Ezért a hatváy értékét csökketjük, ha az (.4) összegek csak az utolsó két tagját hagyjuk meg, vagyis ( A + a ) + + A + Az idukciós feltevés szerit tehát (.7) és (.8) alapjá ( + ) A a+ A + + ( ) + A + + = ( + ) A a+ A + A + + = A (a + A ) + A + = A a +. (.8) A a + G a + = a a a +, ( ) + a + + a + a + a a a +, +

12 6 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS ami éppe a bizoyítadó (.6) egyelőtleség. A mértai és harmoikus közép közti egyelőtleség köye adódik az előbb bizoyított mértai és számtai közép közti egyelőtleségből. Alkalmazzuk ez utóbbit az a, a 2,..., a > 0 számok reciprokaira, ebből a + + a. a a Midkét oldal reciprokát véve kapjuk: a + + a a, a ami épp a bizoyítadó állítás. Ha a = = a, akkor az (.5) egyelőtleségek egyelőséggel teljesülek. Belátjuk, hogy G = A = a = = a, a harmoikus közép esete hasolóa bizoyítható. Tegyük fel idirekt, hogy A = G, de például a a 2. Cseréljük ki a -t és a 2 -t is a+a2 2 -re, az a 3,..., a számokat hagyjuk változatlaul! Ekkor köye látható, hogy az a + a 2 2, a + a 2, a 3,..., a 2 számok számtai közepéek értéke változatlaul A. Másrészt a a 2 < a + a 2 2 a + a < (a a 2 ) 2 teljesül, mivel a a 2. Így a +a a+a2 2 + a a = A = G = a + a a a 2 a < 2 a + a 2 a. 2 2 Tehát azt kaptuk, hogy az a+a2 közepe ami elletmodás. 2, a+a2 2, a 3,..., a számok mértai közepe agyobb, mit a számtai A feti egyelőtleség-lácolathoz kapcsolható még egy: a égyzetes középről szóló. Az a, a 2,..., a számok ( ) égyzetes közepe: a 2 Q := + + a Tétel. Az a, a 2,..., a > 0 számok ( ) közepei között feáll az alábbi egyelőtleség: H G A Q. Bizoyítás. Világos, hogy a fetiek alapjá elég az utolsó egyelőtleséget bizoyítai. Teljes idukcióval járuk el.. Az állítás = -re triviálisa teljesül. Lássuk be = 2-re, hogy A 2 Q 2, mert erre a bizoyítás sorá később szükségük lesz! Midkét oldalt égyzetre emelve: ami teljesül. a + a 2 2 a 2 + a a2 + a a a 2 a2 + a a 2 + a a a 2 2a 2 + 2a (a a 2 ) 2,

13 .4. HALMAZOK 7 2. Tegyük fel, hogy valamely -re és tetszőleges a,..., a számokra igaz, hogy A Q. Legyeek adva a,..., a, a + valósak. Be kell lássuk, hogy a belőlük képezett számtai közép kisebb vagy egyelő, mit a égyzetes közép vagy ami ezzel ekvivales: ( ) 2 a + + a + a + a2 + + a 2 + a 2 +. (.9) + + Átalakítva a bal oldalt, az alábbit kapjuk: ( ) 2 ( ) 2 a + + a + a + A + a + = = 2 A 2 + 2A a + + a ( + ) 2. (.0) Kihaszálva az idukciós feltételt, vagyis hogy A 2 Q 2, kapjuk: 2 A 2 + 2A a + + a 2 + ( + ) 2 (a2 + + a 2 ) + 2A a + + a 2 + ( + ) 2. (.) A jobb oldalo a számlálóba a 2. tag 2A a + = 2 (a + + a ) a + = 2 (a a a a + ) alakú. Alkalmazzuk mide tagra az = 2-re már belátott G 2 ( A 2 ) Q 2 egyelőtleséget! Ebből Így tovább alakítva (.) jobb oldalát: a j a + a2 j + a2 +, j =,...,. 2 (a a 2 ) + 2 (a a a a + ) + a 2 + ( + ) 2 (a2 + + a 2 ) + (a a 2 ) + a a 2 + ( + ) 2 = a2 + + a 2 + a 2 +. (.2) + Egybevetve (.0)-et, (.)-et és (.2)-t kapjuk, hogy ( ) 2 a + + a + a + a2 + + a 2 + a 2 +, + + ami épp a bizoyítadó állítás..4. Halmazok Egy halmazt akkor tekitük ismertek, ha mide jól megfogalmazható dologról el tudjuk dötei, hogy hozzá tartozik vagy em tartozik hozzá. (Az,,okos godolat, a,,szép láy, az,,elég agy szám vagy a,,kicsi pozitív szám em tekithető jól megfogalmazott dologak, ezekről em kérdezzük vagy hogy bee vaak-e valamilye halmazba vagy hogy alkotak-e halmazt.) Legye A halmaz, x egy jól defiiált dolog. Ha x hozzátartozik a halmazhoz, akkor ezt x A jelölje. Ha x em tartozik hozzá a halmazhoz, akkor ezt x / A jelöli. A halmaz elemeit felsorolhatjuk, például A := {a, b, c, d}.

14 8 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS Ilyekor mide elemet csak egyszer soroluk fel. Más módo egy értelmes tulajdosággal adhatjuk meg a halmazt, például B := {x : x valós szám és x 2 < 2}. A B halmaz megadásáál haszáli fogjuk az alábbi (kevésbé precíz) felírást is: B := {x R : x 2 < 2}... Defiíció. Legye A és B halmaz. Azt modjuk, hogy A része vagy részhalmaza a B halmazak, ha mide x A eseté x B. Jele: A B..2. Defiíció. Legye A és B halmaz. Az A halmaz egyelő a B halmazzal, ha ugyaazok az elemei. Jele: A = B. Fotos, hogy az aalízisbe a feti halmazok közötti ú. reláció jelethet egyelőséget is. Köye meggodolható az alábbi.3. Állítás. Legye A és B halmaz. A = B potosa akkor, ha A B és B A. A következőkbe defiiáluk éháy műveletet, melyekkel halmazokból újabb halmazokhoz juthatuk..4. Defiíció. Legye A és B halmaz. Az A és B egyesítése (uiója) az a halmaz, amelyre A B := {x : x A vagy x B}. Az A és B metszete (közös része) az a halmaz, amelyre Az A és B külöbsége az a halmaz, amelyre A B := {x : x A és x B}. A \ B := {x : x A és x / B}. A metszet és a külöbség képzése sorá elképzelhető, hogy egyetle x dolog sem redelkezik a kívát tulajdosággal. Azt a halmazt, amelyek bármely jól defiiálható dolog sem eleme, üres halmazak evezzük. Jele:. Legye H halmaz és A H egy részhalmaza. Az A halmaz (H-ra voatkozó) komplemeteré az A c := H \ A halmazt értjük (a komplemeterhalmaz jelölésére sosem fogjuk az Ā-t haszáli, mert ez a későbbiekbe mást fog jeletei!). Itt fotos szerepe va a H ú. alaphalmazak is. Legye például A := [0,] zárt itervallum. Ha H = R, akkor A c = H \ A = (,0) (, + ) yílt itervallumok uiója. Ha azoba H = [0,2], akkor A c = H \ A = (,2] balról yílt, jobbról zárt itervallum. De Morga-azoosságok ak evezik a következő tételt..5. Tétel. Legye H halmaz, A, B H. Ekkor Bizoyítás. Házi feladat. (A B) c = A c B c és (A B) c = A c B c. Tekitsük alapfogalomak az (a, b) redezett párt, amelyek léyeges tulajdosága, hogy (a, b) = (c, d) potosa akkor, ha a = c és b = d. A redezett pár segítségével értelmezzük a halmazok szorzatát..6. Defiíció. Legye A, B halmaz. Az A és B Descartes-szorzata redezett párokból álló halmaz. Például A := {2,3,5}, B := {,3} eseté A B := {(a, b) : a A és b B} A B = {(2,), (2,3), (3,), (3,3), (5,), (5,3)}.

15 .5. FÜGGVÉNYEK 9.5. Függvéyek A függvéy fogalmát alapfogalomak tekitjük halmazok közötti egyértelmű hozzáredelést értük alatta. Az x-hez hozzáredelt elemet f(x)-szel jelöljük. Ha X és Y tetszőleges halmazok, akkor f : X Y egy olya függvéy, melyre mide x D(f) X eseté f(x) Y. D(f) jelöli az f függvéy értelmezési tartomáyát, vagyis D(f) = {x X : x-hez f hozzáredel valamit}, ami az X egy részhalmaza. Az f függvéy R(f)-el jelölt értékkészlete Y -ak részhalmaza és Fotos fogalom a függvéy grafikoja. R(f) = {y Y : y = f(x) valamely x D(f)-re}..7. Defiíció. Egy f : X Y függvéy grafikoja a D(f) R(f) Descartes-szorzat alábbi részhalmaza: graph(f) = {(x, f(x)) : x D(f)}, vagyis az (x, f(x)) alakú potok halmaza, ahol x az f értelmezési tartomáyából való. Egy f : R R függvéy grafikoja tehát az R R = R 2, vagyis a sík egy részhalmaza, és az (x, f(x)) alakú potokat tartalmazza. Egy függvéy iverze csak speciális, ú. kölcsööse egyértelmű függvéyek eseté értelmezhető..8. Defiíció. Legye f : X Y függvéy. Azt modjuk, hogy az f kölcsööse egyértelmű vagy ijektív, ha külöböző x, x 2 D(f) elemekek külöböző Y -beli elemeket feleltet meg, azaz Másképp: bármely x, x 2 D(f), x x 2 eseté f(x ) f(x 2 ). f(x ) = f(x 2 ) x = x 2. Az f : X Y bijektív függvéy vagy bijekció, ha f ijektív, D(f) = X és R(f) = Y..9. Defiíció. Legye f : X Y ijektív függvéy. Ekkor az f iverze vagy iverzfüggvéye az az f : Y X, D(f ) = R(f) függvéy, mely egy y R(f) pothoz azt az egyértelműe létező x D(f) potot redeli, amelyre f(x) = y, vagyis bármely f(x) = y R(f) eseté f (y) = x..20. Megjegyzés. Világos, hogy ha f : X Y ijektív, akkor az f : Y X függvéyre R(f ) = D(f), továbbá f is ijektív. Ha f bijektív, akkor f is bijektív. Köye meggodolható, hogy ha f : R R kölcsööse egyértelmű, akkor graph(f ) R 2 úgy yerhető, hogy graph(f)-et tükrözzük a 45 -os (y = x) egyeesre..2. Defiíció. Legye g : X Y, f : Y Z. Ekkor az f és g függvéyek kompozíciója az az f g : X Z függvéy, melyre D(f g) = {x D(g) : g(x) D(f)}, és bármely x D(f g) eseté (f g)(x) := f(g(x)).

16 0 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS.22. Példa. A g függvéy mide szám duplájához -et adjo hozzá g : R R, g(x) := 2x + ; az f függvéy pedig mide számot emelje égyzetre f : R R, f(x) := x 2, akkor lesz az f és g kompozíciója. f g : R R, (f g)(x) = (2x + ) Defiíció. Legye f : X Y és H D(f). Az f függvéy H-ra való leszűkítése az az f H : H Y függvéy, amelyre bármely x H eseté f H (x) := f(x). A továbbiakba a véges, megszámlálható és a megszámlálhatóa végtele halmaz fogalmát defiiáljuk..24. Defiíció. Azt modjuk, hogy az A halmaz véges, ha létezik Z + és φ : A {,2,..., } bijekció. Azt modjuk, hogy az A halmaz megszámlálhatóa végtele, ha létezik φ : A N bijekció. Azt modjuk, hogy az A halmaz megszámlálható, ha létezik φ : A N, D(φ) = A ijektív függvéy. A defiíciókból következik, hogy egy megszámlálható halmaz vagy véges vagy megszámlálhatóa végtele. Példák megszámlálhatóa végtele halmazokra:. Legye A a páros természetes számok halmaza, vagyis Köye(!) látható, hogy a függvéy bijekciót létesít N és A között. A := {2 : N}. φ() := 2, N 2. Meglepő, de a racioális számok Q halmaza megszámlálható. Írjuk fel az,2,3,...,,... evezőjű törteket sorokét A φ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy φ() := 0, φ(2) :=, φ(3) := 2, φ(4) := 2, A rajz szeriti lépegetéssel haladuk, ügyelve arra, hogy olya törtet ugorjuk át, amely már egyszer sorra került. Ezzel biztosítjuk, hogy valóba kölcsööse egyértelmű maradjo a függvéyük. Látható az is, hogy előbb-utóbb mide racioális számhoz eljutuk, így φ bijekció lesz N és Q között, ami azt jeleti, hogy Q megszámlálható.

17 .6. VALÓS SZÁMOK.6. Valós számok Kiskoruktól számoluk a valós számokkal, összeadjuk, szorozzuk, osztjuk őket, hatváyozuk, abszolút értékét vesszük a számokak. Egyeleteket, egyelőtleségeket,,redezük. Most lefektetjük azt a viszoylag egyszerű szabályredszert, amelyből a megtault eljárások levezethetők..6.. Műveletek és redezés Legye R em üres halmaz. Tegyük fel, hogy va még egy összeadásak evezett + : R R R és egy szorzásak evezett : R R R függvéy is, amelyek a következő tulajdoságokkal redelkezek: a. bármely a, b R eseté a + b = b + a (kommutativitás) a2. bármely a, b, c R eseté a + (b + c) = (a + b) + c (asszociativitás) a3. va olya 0 R elem, hogy bármely a R eseté a + 0 = a (0 az összeadás egységeleme) a4. bármely a R eseté va olya a R elletett elem, hogy a + ( a) = 0. m. bármely a, b R eseté a b = b a (kommutativitás) m2. bármely a, b, c R eseté a (b c) = (a b) c (asszociativitás) m3. va olya R elem, hogy bármely a R eseté a = a ( a szorzás egységeleme) m4. bármely a R \ {0} eseté va olya a R reciprok elem, hogy a a =. d. bármely a, b, c R eseté a (b + c) = a b + a c (disztributív a szorzás az összeadásra ézve) Látható, hogy a szorzás szabályredszere a 4. követelméybe léyegese eltér az összeadástól (egyébkét em is külöböze az összeadás és a szorzás). A d. is az eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy R-e va egy olya (kisebb vagy egyelőek evezett) ú. redezési reláció, amely a következő tulajdoságokkal redelkezik: r. bármely a R eseté a a (reflexív), r2. ha a b és b a, akkor a = b (atiszimmetrikus), r3. ha a b és b c, akkor a c (trazitív), r4. bármely a, b R eseté vagy a b, vagy b a (teljes), r5. mide olya esetbe, amikor a b és c R tetszőleges szám, akkor a + c b + c. r6. mide olya esetbe, amikor a b és 0 c, akkor a c b c. Állapodjuk meg abba, hogy az a b, a b helyett a < b jelölést haszáluk. Az a. a4., m. m4., d., r. r6. alapjá levezethető az összes egyelőséggel és egyelőtleséggel kapcsolatos,,szabály. Kiegészítésül három fogalmat külö is megemlítük..25. Defiíció. Legye a, b R, b 0. Ekkor a b := a b. Az osztás tehát elvégezhető a valós számokkal..26. Defiíció. Legye x R. Az x abszolút értéke { x, ha 0 x x := x, ha x 0, x 0. Haszosak az abszolút értékkel kapcsolatos egyelőtleségek.. Bármely x R eseté 0 x. 2. Legye x R és ε R, 0 ε. Ekkor (x ε és x ε) x ε. 3. Bármely a, b R eseté a + b a + b (háromszög-egyelőtleség)

18 2 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS 4. Bármely a, b R eseté a b a b. Ezek az állítások köye igazolhatóak. A 4. bizoyítását megmutatjuk. Tekitsük az a = a b + b egyelőtleséget. Ekkor a 3. szerit a = a b + b a b + b. Az r2. szerit b számot midkét oldalhoz hozzáadva em változik az egyelőtleség a + ( b ) = a b a b. (.3) Hasoló meggodolással b = b a + a b = b a + a b a + a / a b a b a ( a b ) b a = a b. (.4) Az (.3) és az (.4) a 2. tulajdoság szerit (x := a b ; ε := a b szereposztással) éppe azt jeleti, hogy a b a b Itervallumok és köryezetek.27. Defiíció. Legye I R. Azt modjuk, hogy I itervallum, ha bármely x, x 2 I, x < x 2 eseté ha x < x < x 2, akkor x I..28. Tétel. Legye a, b R, a < b. Ekkor az alábbi halmazok midegyike itervallum. [a, b]:={x R : a x b} [a, b):={x R : a x < b} (a, b]:={x R : a < x b} (a, b):={x R : a < x < b} [a, + ):={x R : a x} (a, + ):={x R : a < x}; (0, + ) =: R + (, a]:={x R : x a} (, a):={x R : x < a}; (,0) =: R (, + ) := R Megemlítjük, hogy az [a, a] = {a} és az (a, a) = ú. elfajuló itervallumok..29. Defiíció. Legye a R, r R +. Az a pot r sugarú köryezeté a K r (a) := (a r, a + r) yílt itervallumot értjük. Azt modjuk, hogy K(a) az a pot egy köryezete, ha va olya r R +, hogy K(a) = K r (a).

19 .6. VALÓS SZÁMOK Természetes, egész és racioális számok Most elkülöítjük az R egy evezetes részhalmazát. Legye N R olya részhalmaz, amelyre o 0 N 2 o bármely N eseté + N 3 o bármely N eseté + 0 (a 0 az,,első elem) 4 o abból, hogy a) S N b) 0 S c) bármely N eseté + S következik, hogy S = N. (Teljes idukció.) Az R-ek az ilye N részhalmazát a természetes számok halmazáak evezzük. Kiegészítésül álljo itt még éháy megállapodás: Z := N {m R : m N} az egész számok halmaza Q := {x R : va olya p Z, q N, q 0, hogy x = p q } a racioális számok halmaza Q := R \ Q az irracioális számok halmaza. Az N segítségével a műveleti és redezési szabályredszer mellé a harmadik követelméyt illesztjük az R-hez. Archimedeszi axióma: Bármely x R számhoz va olya N, hogy x <. Köye látható, hogy eze axiómával ekvivales az alábbi: Archimedeszi axióma - változat: Bármely y > 0 valós számhoz va olya N, hogy < y. Az Archimedeszi axióma egy fotos következméye, hogy mide (yílt) itervallumba va racioális szám. Ez valami olyasmit jelet, hogy a racioális számok,,sűrű helyezkedek el a számegyeese..30. Következméy. Legyeek a < b tetszőleges valós számok. Ekkor az (a, b) yílt itervallumba va racioális szám, vagyis (a, b) Q. Bizoyítás. Az egyszerűség kedvéért legye 0 < a < b, a többi eset hasolóa meggodolható. A bizoyítás alapgodolata, hogy az Archimedeszi axióma biztosítja, hogy az a és b számokhoz található egy olya q N szám, mellyel midkettőt megszorozva a külöbségük agyobb, mit, vagyis < qb qa. Ekkor a (qa, qb) yílt itervallumba va p N természetes szám, így a < p q részletese! < b teljesül. Nézzük Az Archimedeszi axióma szerit az számhoz található olya q N, hogy b a R < q. (.5) b a

20 4 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS Másrészt, szité az Archimedeszi axióma miatt választhatuk olya p N legkisebb számot, melyre qa < p, vagyis melyre qa < p qa + (.6) teljesül. Mivel (.5) miatt ezért az (.6)-ból kapjuk: vagyis qa + < qb, qa < p < qb a < p q < b, p (a, b) Q. q Az Archimedeszi axiómával sem vált még mide igéyt kielégítővé az R. Ugyais belátható, hogy Q, a racioális számok halmaza kielégíti az összes feti axiómát tehát ezek az axiómák em biztosítják az irracioális számok létezését (a számegyeese maradtak,,lyukak ). Szükségük lesz még egy utolsó axiómára, amelyet éháy fogalommal készítük elő Felső és alsó határ.3. Defiíció. Legye A R, A. Azt modjuk, hogy A felülről korlátos számhalmaz, ha va olya K R, hogy bármely a A eseté a K. Az ilye K az A halmaz egyik felső korlátja. Legye A R, A felülről korlátos halmaz. Tekitsük a B := {K R : K felső korlátja az A halmazak} halmazt. Legye α R a B halmaz legkisebb eleme, azaz olya szám, amelyre o α B (α is felső korlátja az A halmazak) 2 o bármely K B felső korlátra α K. A kérdés csupá az, hogy va-e ilye α R. Felső határ axiómája: Mide felülről korlátos A R, A halmazak va legkisebb felső korlátja. Az ilye α R számot (amely em feltétleül eleme az A halmazak) a halmaz felső határáak evezzük, és így jelöljük: α := sup A (,,az A halmaz szuprémuma ) Nyilvá igaz a sup A két tulajdosága: o bármely a A eseté a sup A 2 o bármely 0 < ε eseté va olya a A, hogy (sup A) ε < a. Ha sup A A, akkor sup A az A halmaz maximuma..32. Megjegyzés. Ha A felülről em korlátos halmaz, akkor megállapodás szerit sup A := +.

21 .6. VALÓS SZÁMOK 5 Nézzük meg most egy példá, hogya biztosítja a felső határ axiómája az irracioális számok létezését!.33. Példa. Tekitsük az alábbi halmazt! A := { x R : x 2 < 2 } Világos, hogy A em üres, hisze például 0 A. Másrészt A felülről korlátos, mivel 2 yilvá egy felső korlátja. A Felső határ axiómája szerit létezik A-ak legkisebb felső korlátja, sup A R, amiről belátható, hogy em lehet racioális. Ezt a sup A számot evezzük 2-ek. A műveleti, redezési szabályredszerrel, az Archimedeszi axiómával és a Felső határ axiómájával teljessé tettük az R valós számok halmazát. Ezzel biztos alapot teremtettük a jövőbei számolásokhoz is. Néháy további megállapodás..34. Defiíció. Legye A R, A. Azt modjuk, hogy A alulról korlátos, ha va olya L R, hogy mide a A eseté L a. Az L az A halmaz egyik alsó korlátja. Legye A alulról korlátos számhalmaz. Az A alsó korlátjai közül a legagyobb a halmaz alsó határa. (Eek létezéséhez már em kell újabb axióma, visszavezethető a felső határ létezésére.) Az A halmaz alsó határát if A (,,az A halmaz ifimuma ) jelölje. Nyilvá igaz, hogy o bármely a A eseté if A a 2 o bármely 0 < ε eseté va olya a A, hogy a < (if A) + ε. Ha if A A, akkor if A az A halmaz miimuma..35. Megjegyzés. Ha A alulról em korlátos halmaz, akkor megállapodás szerit if A :=..36. Megjegyzés. A fetiekbe em volt szádékuk a valós számok precíz axiomatikus felépítése. Megjegyezzük, hogy az Archimedeszi axióma mellé elég lett vola az alábbi axiómát feltei, hogy biztosítsuk az irracioális számok létezését. Cator-axióma: Legyeek [a, b ], N ú. egymásba skatulyázott zárt itervallumok, vagyis [a +, b + ] [a, b ], N. Ekkor eze itervallumokak va közös potja, vagyis [a, b ]. N.37. Feladat. Bizoyítsuk be, hogy az Archimedeszi és Cator-axiómák együtt ekvivalesek a Felső határ axiómájával, vagyis (Archimedeszi axióma + Cator-axióma) Felső határ axiómája.

22 6 ELSŐ FEJEZET. BEVEZETÉS.6.5. Valós számok hatváyai.38. Defiíció. Legye a R. Ekkor a := a, a 2 := a a, a 3 := a 2 a,..., a := a a, Defiíció. Legye a R, 0 a. A a jeletse azt a emegatív számot, amelyek égyzete a, azaz 0 a, ( a) 2 = a. Vegyük észre, hogy bármely a R eseté a 2 = a..40. Defiíció. Legye a R, k N. A 2k+ a jeletse azt a valós számot, amelyek (2k+)-edik hatváya a. Vegyük észre, hogy ha 0 < a, akkor 2k+ a > 0, és ha a < 0, akkor 2k+ a < Defiíció. Legye a R, 0 a, k N. A 2k a jeletse azt a emegatív számot, amelyek (2k)-adik hatváya a. A gyökök létezése a Felső határ axiómájából következik hasolóa, mit az.33. Példába, de itt em részletezzük. Vezessük be a következő jelölést: ha N és a R az paritásáak megfelelő, akkor.42. Defiíció. Legye a R +, p, q N \ {0}..43. Defiíció. Legye a R +, p, q N \ {0}. a := a. a p q := q a p. a p q := q a p..44. Defiíció. Legye a R \ {0}. Ekkor a 0 :=. Látható, hogy ezzel a defiíciólácolattal egy a R + bármely r Q racioális kitevőjű hatváyát értelmeztük. Belátható, hogy a defiíciókba szereplő számok egyértelműe létezek, és érvéyesek a következő azoosságok:. a R +, r, s Q eseté a r a s = a r+s, 2. a, b R +, r Q eseté a r b r = (a b) r, 3. a R +, r, s Q eseté (a r ) s = a r s. A későbbiekbe defiiáli fogjuk egy szám irracioális kitevős hatváyát is.

23 Második fejezet Elemi függvéyek Ismertetjük a valós számok halmazá értelmezett, valós szám értékű függvéyek legfotosabb tulajdoságait. Defiiáljuk a gyakra haszált valós függvéyeket, melyeket elemi függvéyekek evezek. Az alábbi témaköröket tárgyaljuk. Műveletek; korlátos, mooto, periodikus, páros, páratla függvéy fogalma Hatváyfüggvéyek Expoeciális és logaritmus függvéyek Trigoometrikus, hiperbolikus függvéyek és iverzeik 2.. Valós függvéyek alaptulajdoságai 2.. Defiíció. Egy f : R R függvéyt valós függvéyek evezük Defiíció. Legye f : R R, λ R. Ekkor λf : R R, (λf)(x) := λf(x), D(λf) = D(f) Defiíció. Legye f, g : R R, D(f) D(g). Ekkor f + g : R R és f g : R R, (f + g)(x) := f(x) + g(x), D(f + g) = D(f) D(g), (f g)(x) := f(x) g(x), D(f g) = D(f) D(g) Defiíció. Legye g : R R, H := D(g) \ {x D(g) : g(x) = 0}. Ekkor /g : R R, (/g)(x) :=, D(/g) = H. g(x) 2.5. Defiíció. Legye f, g : R R f g := f /g 2.6. Defiíció. Legye f : R R. Azt modjuk, hogy f felülről korlátos függvéy, ha az R(f) R felülről korlátos halmaz. Azt modjuk, hogy f alulról korlátos függvéy, ha R(f) R alulról korlátos halmaz. Azt modjuk, hogy f korlátos függvéy, ha R(f) R alulról is és felülről is korlátos halmaz Defiíció. Legye f : R R. Azt modjuk, hogy f mooto övő függvéy, ha bármely x, x 2 D(f), x < x 2 eseté f(x ) f(x 2 ). 7

24 8 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK Az f szigorúa mooto övő függvéy, ha bármely x, x 2 D(f), x < x 2 eseté f(x ) < f(x 2 ). Azt modjuk, hogy f mooto fogyó függvéy, ha bármely x, x 2 D(f), x < x 2 eseté f(x ) f(x 2 ). Az f szigorúa mooto fogyó függvéy, ha bármely x, x 2 D(f), x < x 2 eseté f(x ) > f(x 2 ) Defiíció. Legye f : R R. Azt modjuk, hogy f páros függvéy, ha. mide x D(f) eseté x D(f), és 2. mide x D(f) eseté f( x) = f(x) Defiíció. Legye f : R R. Azt modjuk, hogy f páratla függvéy, ha. mide x D(f) eseté x D(f), és 2. mide x D(f) eseté f( x) = f(x) Defiíció. Legye f : R R. Azt modjuk, hogy f periodikus függvéy, ha létezik olya p R, 0 < p szám, hogy. mide x D(f) eseté x + p, x p D(f), és 2. mide x D(f) eseté f(x + p) = f(x p) = f(x). A p szám a függvéy egyik periódusa. (Vigyázat! Nem biztos, hogy va legkisebb periódus!) 2.2. Az elemi függvéyek Ebbe a fejezetbe az egyszerűség kedvéért a függvéyeket mit f : D(f) R tütetjük fel (tehát a yíl előtt az értelmezési tartomáy áll mide esetbe) Hatváyfüggvéyek. Legye id : R R, id(x) := x. id 2.. ábra. Az id szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.. ábra).

25 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 9 id ábra. 2. Legye id 2 : R R, id 2 (x) := x 2. Az id 2 R + szigorúa mooto övő, az id2 R szigorúa mooto fogyó. Az id2 páros (2.2. ábra). 3. Legye id 3 : R R, id 3 (x) := x 3. id ábra. Az id 3 szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.3. ábra). 4. Ha N, akkor id : R R, id (x) := x függvéy páros eseté az id 2, páratla eseté az id 3 tulajdoságait örökli. 5. Legye id : R \ {0} R, id (x) := /x. Az id R és az id R + szigorúa mooto fogyó (de id em mooto!). Az id páratla (2.4. ábra). 6. Legye id 2 : R \ {0} R, id 2 (x) := /x 2. Az id 2 R szigorúa mooto ő, az id 2 R + szigorúa mooto fogy. Az id 2 páros (2.5. ábra). 7. Legye N. Az id : R \ {0} R, id (x) := /x függvéy páros eseté az id 2, páratla eseté az id tulajdoságait örökli. 8. Legye id /2 : [0, ) R, id /2 (x) := x. Az id /2 szigorúa mooto övő függvéy (2.6. ábra).

26 20 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK id 2.4. ábra. id ábra. id / ábra.

27 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 2 Megemlítjük, hogy az id /2 az id 2 [0, ) kölcsööse egyértelmű függvéy iverzekét is értelmezhető. 9. Legye r Q. Az id r : R + R, id r (x) := x r. Néháy r eseté szemléltetjük az id r függvéyeket (2.7. ábra). id /2 id 3/2 id 2/3 id ábra. 0. Végül legye id 0 : R R, id 0 (x) :=. Az id 0 mooto övő és mooto fogyó is, páros függvéy. Bármilye p > 0 szám szerit periodikus (2.7. ábra) Expoeciális és logaritmus függvéyek Legye a R +. Az a alapú expoeciális függvéy exp a : R R, exp a (x) := a x. (2.). exp a szigorúa mooto övő, ha a >, 2. exp a szigorúa mooto fogyó, ha a <, 3. exp a = id 0, ha a = (mooto övő és mooto fogyó is) (2.8. ábra). Ha a > 0 és a, akkor R(exp a ) = R +, vagyis az exp a csak pozitív értéket vesz fel (és mide pozitív számot fel is vesz). Bármely a > 0 eseté mide x, x 2 R mellett exp a (x + x 2 ) = exp a (x ) exp a (x 2 ). exp a a< exp a a> exp 2.8. ábra.

28 22 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK (Ez a legfotosabb ismertetőjele az expoeciális függvéyekek.) Kitütetett szerepe va az exp e =: exp függvéyek (2.9. ábra) (e az ú. Euler-féle szám). exp e 2.9. ábra. Legye a > 0, a. Mivel exp a szigorúa mooto, ezért kölcsööse egyértelmű is, tehát va iverzfüggvéye. log a := (exp a ) lesz az a alapú logaritmusfüggvéy (2.0. ábra). Tehát log a : R + R, log a (x) = y, amelyre exp a (y) = x. Ha a >, akkor log a szigorúa mooto övekedő, ha a <, akkor log a szigorúa mooto log a a> log a a< 2.0. ábra. fogyó. A logaritmusfüggvéyek alapvető tulajdoságai a következők:. bármely a > 0, a és mide x, x 2 R + eseté log a (x x 2 ) = log a x + log a x 2, 2. bármely a > 0, a és mide x R + és k R eseté log a x k = k log a x, 3. bármely a, b > 0, a, b és mide x R + eseté log a x = log b x log b a.

29 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 23 A 3. tulajdoság szerit akár egyetle logaritmusfüggvéy számszorosakét az összes logaritmusfüggvéy előáll. Ezért is va kitütetett szerepe az e alapú logaritmusak: a,,természetes alapú logaritmus (2.. ábra). l := log e l e 2.. ábra Trigoometrikus függvéyek és iverzeik A si : R R függvéy precíz defiíciója a későbbi félévek ayaga. Itt most a középiskolából ismert defiíciót ismételjük át. Vegyük fel a síko egy origó középpotú, sugarú kört! Ahol a vízszites (2) P si x x () 2.2. ábra. tegely (pozitív fele) metszi a kört (vagyis az (,0) pot), abból a potból,,mérjük fel az x R számak megfelelő hosszúságú ívet a kör kerületére, pozitív x eseté pozitív, egatív x eseté egatív iráyítással. [Ez a művelet agy kézügyességet igéyel!... ] Az ív P végpotjáak második koordiátája legye a si x (2.2. ábra). A si függvéy páratla, p = 2π szerit periodikus (2.3. ábra). R(si) = [,]. Legye cos : R R, cos x := si(x + π 2 ). Köye látható, hogy ez a feti módo defiiált P pot. koordiátája lesz. A cos függvéy páros, p = 2π szerit periodikus (2.4. ábra). R(cos) = [,]. Alapvető összefüggések:. Bármely x R eseté cos 2 x + si 2 x =. 2. Bármely x, x 2 R eseté si(x + x 2 ) = si x cos x 2 + cos x si x 2,

30 24 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK si π/2 π/2 π 2π 2.3. ábra. cos π/2 π/2 π 2π 2.4. ábra. cos(x + x 2 ) = cos x cos x 2 si x si x 2. Legye tg := si cos cos és ctg := si. Az értelmezésből következik, hogy { π } D(tg) = R \ 2 + kπ : k Z, D(ctg) = R \ {kπ : k Z}. A tg és ctg is páratla, p = π szerit periodikus (2.5. és 2.6. ábra). A trigoometrikus függvéyek periodikusságuk miatt em kölcsööse egyértelműek. Tekitsük a si [ π leszűkítést. Ez a függvéy szigorúa mooto övő, ezért kölcsööse, π 2 2 ] egyértelmű, így va iverzfüggvéye: ( ) arcsi := si [ π 2, π 2 ] Az értelmezésből arcsi : [,] [ π 2, π 2 ], arcsi x = α, amelyre si α = x. Az arcsi szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.7. ábra). A cos függvéy [0, π] itervallumra való leszűkítése szigorúa mooto fogyó, ezért va iverzfüggvéye: ) arccos := (cos [0,π]

31 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 25 tg π/2 π/2 π 2.5. ábra. ctg π π/2 π/2 π 2.6. ábra. π/2 arcsi π/ ábra. Az értelmezésből következik, hogy arccos : [,] [0, π], arccos x = α, amelyre cos α = x. Az arccos függvéy szigorúa mooto fogyó (2.8. ábra). A tg függvéy ( π 2, π 2 ) itervallumra való leszűkítése szigorúa mooto övő, ezért va iverzfüggvéye: arctg := (tg ( π 2, π 2 ) ) Az értelmezésből következik, hogy arctg: R ( π 2, π 2 ), arctg x = α, amelyre tg α = x.

32 26 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK π arccos 2.8. ábra. Az arctg szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.9. ábra). π/2 arctg π/ ábra. A ctg függvéy (0, π) itervallumra való leszűkítése szigorúa mooto fogyó, ezért va iverzfüggvéye: ) arcctg := (ctg (0,π) Az értelmezésből következik, hogy arcctg : R (0, π), arcctg x = α, amelyre ctg α = x. Az arcctg szigorúa mooto fogyó függvéy (2.20. ábra) Hiperbolikus függvéyek és iverzeik. Legye sh : R R, sh x := ex e x. 2 Az sh szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.2. ábra). 2. Legye ch : R R, ch x := ex + e x. 2 A ch szigorúa mooto fogyó, a ch R R szigorúa mooto övő. A ch páros függvéy. + R(ch) = [, + ). A függvéy grafikoját lácgörbéek is evezik (2.22. ábra).

33 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 27 π π/2 arcctg ábra. sh 2.2. ábra. ch ábra. Alapvető összefüggések: a) Bármely x R eseté b) Bármely x, x 2 R eseté ch 2 x sh 2 x =. sh(x + x 2 ) = sh x ch x 2 + ch x sh x 2, ch(x + x 2 ) = ch x ch x 2 + sh x sh x 2.

34 28 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK 3. Legye Az értelmezésből következik, hogy th := sh ch, cth := ch sh. th : R R, th x = ex e x e x + e x, cth : R \ {0} R, cth x = ex + e x e x e x. A th és cth páratla függvéyek (2.23. ábra). cth th ábra. A th szigorúa mooto övő függvéy. R(th) = (,). A cth szigorúa mooto fogyó, a cth R R szigorúa mooto övő. R(cth) = R \ [,] Az sh szigorúa mooto övő függvéy, ezért va iverzfüggvéye: arsh : R R, arsh := (sh). Az arsh szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.24. ábra). arsh ábra. 5. Az ch függvéy [0, ) itervallumra való leszűkítése szigorúa mooto övő, ezért va iverzfüggvéye: arch : [, ) [0, ), arch := (ch [0, ) ). Az arch szigorúa mooto övő függvéy (2.25. ábra).

35 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK 29 arch ábra. 6. Az th szigorúa mooto övő, ezért va iverzfüggvéye: arth : (,) R, arth := (th). Az arth szigorúa mooto övő, páratla függvéy (2.26. ábra). arth ábra. 7. Az cth függvéy R + itervallumra való leszűkítése szigorúa mooto fogyó, ezért va iverzfüggvéye: arcth : (, + ) R +, arcth ábra.

36 30 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK arcth := (cth R + ). Az arcth szigorúa mooto fogyó függvéy (2.27. ábra).

37 2.2. AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK Feladat. Lássuk be az alábbiakat! (a) arsh x = l(x + x 2 + ), x R, (b) arch x = l(x + x 2 ), x, (c) arth x = 2 (d) arcth x = 2 l +x x, x (,), l x+ x, x > Néháy külöleges függvéy. Legye abs : R R, abs(x) := x, ahol (emlékeztetőül) x := { x, ha x 0 x, ha x < 0. (2.28. ábra) abs ábra. 2. Legye sg : R R, sg ábra., ha x > 0 sg(x) := 0, ha x = 0, ha x < 0.

38 32 MÁSODIK FEJEZET. ELEMI FÜGGVÉNYEK 3. Legye et : R R, et(x) := [x], ahol [x] := max{ Z : x}. (Az x R szám,,egész része az x-él kisebb vagy egyelő egészek közül a legagyobb.) (2.30. ábra) et ábra. 4. Legye D : R R, D(x) := {, ha x Q 0, ha x R \ Q. Dirichlet-függvéyek evezik, em is kíséreljük meg a szemléltetését. 5. Legye R : R R { 0, ha x R \ Q R(x) := q, ha x Q, x = p q ahol p Z, q N, és p-ek és q-ak ics valódi közös osztója. Riema-függvéyek evezik, ezt sem kíséreljük meg szemlélteti.

39 Harmadik fejezet Sorozatok A sorozatok ige egyszerű függvéyek. Rajtuk taulmáyozható a közelítés potossága. Haszos építőkövei a későbbi fogalmakak. Az alábbi témaköröket tárgyaljuk. Sorozat fogalma, mootoitás, korlátosság Határérték és kovergecia Fotos határértékek Határérték és műveletek kapcsolata Az e szám defiíciója Cauchy-féle kovergeciakritérium sorozatra 3.. A sorozat fogalma és tulajdoságai A sorozat a pozitív természetes számok halmazá értelmezett függvéy. Legye H halmaz, ha a : N + H, akkor H-beli sorozatról beszélük. Ha például H a valós számok halmaza, akkor számsorozatról; ha H bizoyos jelek halmaza, akkor jelsorozatról; ha H az itervallumok halmaza, akkor itervallum-sorozatról beszélük. Legye a : N + R számsorozat. Ha N +, akkor a() helyett az a jelölést haszáljuk, és a -et a sorozat -edik tagjáak evezzük. Magát az a : N + R számsorozatot is a rövidebb (a ) helyettesítse, esetleg (a ) R hagsúlyozza, hogy számsorozatról va szó. Például az a : N + R, a := helyett az ( ) sorozatról beszélük. Néha a tömör (a ) helyett az a, a 2,..., a,... jelölést is haszálhatjuk. Például az ( 2 ) helyett, 4, 9,..., 2,... sorozatról beszélük. Mivel a sorozat is függvéy, így a korlátosság, a mootoitás, műveletek sorozatokkal em igéyelek új defiíciót. Emlékeztetőül mégis újrafogalmazuk egy-két elevezést. 3.. Defiíció. Azt modjuk, hogy (a ) sorozat korlátos, ha va olya K R, hogy mide N + eseté a K Defiíció. Azt modjuk, hogy (a ) mooto övő, ha mide N + eseté a a Defiíció. Ha (a ) sorozat, és λ R, akkor λ (a ) := (λ a ). 33

40 34 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK Ha (a ), (b ) két sorozat, akkor Ha még b 0 ( N + ), akkor (a ) + (b ) := (a + b ), (a ) (b ) := (a b ). (a ) (b ) := ( a b ). Például az ( + ) sorozat korlátos, hisze bármely N+ eseté < +, ezért + = + <. Az ( + ) mooto övő, mert bármely N+ eseté mivel ( + 2) < ( + ) 2. a = + < = a +, 3.4. Példa. Fotos evezetes sorozat az (e ) := (( + ) ). (3.) Ez a sorozat is mooto övő. Ugyais legye N +. A számtai és mértai közép között feálló egyelőtleség szerit ( ) + e = = ( + + )+ ( ) = = e +. }{{ } + + Az (e ) sorozat korlátos is, bármely N + eseté ( ) + 4. Ugyais szité a számtai és mértai közép közti egyelőtleségből adódik a következő: 4 ( + ) = } {{ } 3.2. Sorozat véges határértéke ( )+2 =. + 2 Most a sorozatok egy merőbe új tulajdoságával ismerkedük meg. Ha az a, a 2,..., a,... sorozat tagjai valamilye szám körül keveset igadozak, akkor az ilye sorozatot kovergesek fogjuk evezi. Potosabba: 3.5. Defiíció. Azt modjuk, hogy az (a ) számsorozat koverges, ha va olya A R szám, hogy bármely ε > 0 hibakorláthoz va olya N N (ε-tól függő) küszöbidex, hogy mide N, N eseté a A < ε, vagy ami ezzel ekvivales: A ε < a < A + ε,

41 3.2. SOROZAT VÉGES HATÁRÉRTÉKE 35 másképp Ha va ilye A szám, akkor ez a sorozat határértéke lesz, és jelöli. a K ε (A). (3.2) lim a = A vagy a A A feti defiícióba agyo fotos, hogy a (3.2) (vagy az ezzel ekvivales állítások) bármely pozitív ε-ra teljesülek, de külöböző ε-okra más-más küszöbidextől kezdve Megjegyzés. Köye látható a defiíció alapjá, hogy 3.7. Állítás. a A (a A) 0 a A Bizoyítás. Legye ε > 0 tetszőleges. Az ε számhoz az Archimedeszi axióma alapjá va olya N N, amelyre N > ε N < ε. Ha pedig N, akkor N < ε, azaz 0 < ε. Tehát egy tetszőlegese adott ε > 0-hoz találtuk olya N küszöbidexet, hogy N eseté a sorozatelemek legfeljebb ε-al térek el 0-tól ezért a sorozat 0-hoz tart. Egy másik példakét vegyük egy méteres rudat. Ha félbevágjuk, majd a félrudat is félbevágjuk, majd az egyik darabot ismét félbevágjuk és így tovább, akkor a rúdhosszakak 2, 4, 2 3,..., 2,... sorozatához jutuk. Alkalmazva az.5. Állítást, a fetivel aalóg módo belátható, hogy 2 0, azaz a keletkezett új darabok tetszőlegese kicsik leszek Defiíció. Legye (a ) olya sorozat, melyre a = a mide -re. Ekkor (a )-et kostas sorozatak evezzük. Ha a = a csak egy idextől kezdve teljesül, akkor (a ) kvázikostas sorozat. A defiíció alapjá triviális, hogy ha (a ) kvázikostas (vagy kostas) a sorozat, akkor a a Megjegyzés. A sorozathatárérték egyértelmű. Tehát em lehet, hogy a A és a B teljesülek, de A B. Bizoyítás. Ha A B, akkor ε := A B /2 jelöléssel köye látható, hogy K ε (A) K ε (B) =. A sorozathatárérték defiíciója alapjá azoba elég agy -re a K ε (A) K ε (B) teljesül, ami em lehetséges Állítás. Ha az (a ) sorozat koverges, akkor (a ) korlátos. Bizoyítás. A defiíció szerit az ε := számhoz is va olya N küszöbidex, hogy mide N eseté A < a < A +. Ha K := max{ a, a 2,..., a N, A, A + }, akkor N + eseté a K.

42 36 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK Igaz-e vajo a feti állítás megfordítása, vagyis hogy mide korlátos sorozat koverges is? Tekitsük az a := ( ), N + képlettel megadott sorozatot! A sorozat tagjai,,,,... alakúak. Mivel a =, N +, ezért (a ) korlátos. Másrészt köye meggodolható, hogy mivel a sorozat tagjai között tetszőleges idex utá előfordul és is, (a ) em lehet koverges. Igaz azoba az alábbi tétel. 3.. Tétel. Ha (a ) mooto és korlátos, akkor (a ) koverges, mégpedig. mooto övő (a ) eseté a α, ahol α = sup{a, a 2,..., a,...} =: sup a R; 2. mooto fogyó (a ) eseté a α, ahol α = if{a, a 2,..., a,...} =: if a R. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy (a ) mooto övő és korlátos. A Felső határ axiómája miatt a sorozat tagjaiból alkotott halmazak létezik (véges) felső határa, ez legye α := sup a. Megmutatjuk, hogy a α. Ehhez legye adva egy tetszőleges ε > 0 szám. A halmaz felső határáak tulajdoságai alapjá (a) N + eseté a α, és (b) N N + : a N > α ε. Belátjuk, hogy a (b) pot alapjá létező N jó küszöbidex ε-hoz. Legye N tetszőleges, és becsüljük meg a sorozat -edik tagját: α ε < a N a α < α + ε, ahol kihaszáltuk, hogy a sorozat mooto övő. Ebből következik, hogy a α. Mooto fogyó sorozat eseté hasolóa igazolható, hogy a sorozat a tagjaiból alkotott halmaz ifimumához tart Defiíció. Az (e ) := (( + ) ) sorozatról már láttuk a 3.4. Példába, hogy mooto övő és korlátos, ezért a feti tétel alapjá koverges. A határértékét e-vel jelöljük, ez az ú. Euler-féle szám, tehát ( e := lim + ) Tétel (Redőr-elv). Legye (a ) olya sorozat, amelyhez létezek olya (x ) és (y ) sorozatok, hogy. N + eseté x a y, és 2. lim x = lim y =: A. Ekkor (a ) koverges, és lim a = A. Bizoyítás. Legye adva egy tetszőleges ε > 0 szám. Mivel x A, ezért ε-hoz létezik N, hogy mide N eseté A ε < x < A + ε. Mivel y A, ezért ε-hoz létezik N 2, hogy mide N 2 eseté A ε < y < A + ε. Legye N := max{n, N 2 } és N tetszőleges. Ekkor A ε < x a y < A + ε, amiből a A < ε. Tehát ε-hoz N jó küszöbidex, így következik az állítás Megjegyzés. Köye látható, hogy a feti tétel. feltételébe elegedő lett vola megköveteli, hogy x a y elég agy -re.

43 3.3. MŰVELETEK KONVERGENS SOROZATOKKAL Műveletek koverges sorozatokkal 3.5. Állítás. Ha a 0 és b 0, akkor a + b 0. Bizoyítás. Legye adva ε > 0 tetszőleges szám. Mivel a 0, ezért ε/2-höz létezik N, hogy mide N eseté ε 2 < a < ε 2. Mivel b 0, ezért ε/2-höz létezik N 2, hogy mide N 2 eseté ε 2 < b < ε 2. Legye N := max{n, N 2 } és N tetszőleges. Ekkor ε = ε 2 ε 2 < a + b < ε 2 + ε 2 = ε, azaz a + b < ε, ha N. Tehát a + b Állítás. Ha a 0 és (c ) korlátos (vagyis c < K, N + ), akkor a c 0. Bizoyítás. Legye adva ε > 0 tetszőleges szám. Mivel a 0, ezért ε K mide N eseté a < ε K. > 0-hoz létezik N, hogy Legye N tetszőleges. Ekkor a c = a c a K < ε K K = ε, amiből következik, hogy a c Állítás. Ha a A és λ R, akkor λa λa. Bizoyítás. Nyilvá (λa λa) = (λ) (a A). Mivel a A 0, a (λ) korlátos sorozat, ezért az előzőek alapjá (λ) (a A) 0 λa λa Állítás. Ha a A és b B, akkor a + b A + B. Bizoyítás. Köye látható, hogy (a + b (A + B)) = (a A + b B) = (a A) + (b B). Mivel a A 0 és b B 0, ezért a 3.5. a + b A + B. Állítás alapjá az összegük is 0-hoz tart, azaz 3.9. Állítás. Ha a A és b B, akkor a b AB. Bizoyítás. Egyszerű számolással (a b AB) = (a b Ab + Ab AB) = (a A)(b ) + (A)(b B). Mivel a A 0, és (b ) koverges, ezért korlátos, így a 3.6. Állítás szerit a szorzatuk 0-hoz tart. Hasolóa, b B 0, és (A) korlátos, ezért szorzatuk is 0-hoz tart. A 3.5. Állítás szerit két 0-hoz tartó sorozat összege is 0-hoz tart, tehát a b AB.

44 38 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK Állítás. Ha b B, B 0, akkor b B. Bizoyítás. A B 0 feltételből adódik, hogy b 0 elég agy -re. Legye B > 0. Ekkor ( ) ( ) B b = = ( ) b B Bb B (b B) b ( ) Tudjuk, hogy b B 0. Megmutatjuk, hogy b korlátos. Mivel b B, ezért ε := B 2 > 0 számhoz létezik N, hogy mide N eseté B 2 < b B < B 2, vagyis B B 2 < b < B + B 2, amiből ( Ez azt jeleti, hogy ) b szorzata 0-hoz tart, ezért b B. 2 B > > 2 b 3B. korlátos. Mivel a 3.6. Állítás alapjá 0-hoz tartó és korlátos sorozat 3.2. Állítás. Ha a A és b B 0, akkor a b A B. Bizoyítás. Mivel az előző két tétel szerit tehát a b A B. ( a b ) a Állítás. Ha a A, akkor a A. ( ) = (a ), b b A B, Bizoyítás. Az alábbi egyelőtleségből és a 3.3. Tételből (Redőr-elv) következik: 0 a A a A N Állítás. Ha a A és p N +, akkor a p A p. Bizoyítás. Rögtö adódik a 3.9. Állítás p-szeri alkalmazásából (b ) = (a )-re Állítás. Ha a A, a > 0 és q N +, akkor q a q A. Bizoyítás. A hatváyozás azoosságaiból köye meggodolható az alábbi: q a q A = a A ( q a ) q + ( q a ) q 2 q A + ( q a ) q 3 ( q A) ( q A). q Itt a második téyező q darab pozitív korlátos sorozat összegéek a reciproka tehát korlátos. Ezt megszorozva egy 0-hoz tartó sorozattal 0-hoz tartó sorozatot kapuk, ami a bizoyítadó állítás Következméy. Legye a A, a > 0 és p, q N +, akkor q a p q A p. Bizoyítás. Azoal adódik a feti két állításból.

45 3.4. RÉSZSOROZATOK 39 Ezekek a tételekek az alkalmazásakét ézzük a következő példát Példa. lim = lim = 3 2, hisze 0, ezért a számlálóba = 2 0. A evezőbe 2 + háyadossorozat is koverges , így a 3.4. Részsorozatok Defiíció. Egy : N + N + szigorúa mooto övekedő sorozatot idexsorozatak evezük. Köye meggodolható, hogy i N + eseté i i Defiíció. Legye a, b : N + R. Azt modjuk, hogy b az a sorozat egy részsorozata, ha : N + N + idexsorozat, hogy b = a, azaz (b i ) = (a i ). Például (a ) :=, 2, 3,...,,... és ( i) := 2, 4, 6,..., 2,... eseté lesz a részsorozat. (a i ) := 2, 4, 6..., 2, Állítás. Ha lim a = A, akkor bármely (a i ) részsorozatára lim a i = A Bizoyítás. Azoal adódik a sorozat kovergeciájáak defiíciójából: adott ε > 0-hoz ugyaaz az N küszöbidex jó lesz a részsorozathoz, is, mivel N N Tétel. Mide sorozatak va mooto részsorozata. Bizoyítás. Az (a ) sorozat egy a m tagját csúcsak evezzük, ha m eseté a a m. Két eset lehetséges:. Az (a ) sorozat tagjai között végtele sok csúcs va. 2. Az (a ) sorozat tagjai között véges sok (esetleg 0) csúcs va. Nézzük az. esetet! Legye a egy csúcs a sorozatba. Mivel végtele sok csúcs va, ezért létezik olya 2 > idex, hogy a 2 csúcs. Ismét felhaszálva, hogy végtele sok csúcs va a sorozatba, létezik olya 3 > 2 idex, amire a 3 csúcs. Folytatva az eljárást, kapjuk a sorozatak csúcsokból álló a, a 2, a 3,... részsorozatát, amely a csúcs defiíciója alapjá mooto fogyó részsorozata (a )-ek. A 2. esetbe létezik olya N N +, hogy mide N eseté a em csúcs. Legye := N. Mivel a em csúcs, ezért létezik 2 > idex, hogy a 2 > a, a csúcs defiíciója miatt. Mivel a 2 sem csúcs, ezért találuk olya 3 > 2 idexet, melyre a 3 > a 2. Folytatva az eljárást, kapjuk a sorozatak egy olya (csupa em-csúcsból álló) a, a 2, a 3,... részsorozatát, mely a sorozat tagjaiak megválasztása alapjá szigorúa mooto övő Tétel (Bolzao-Weierstrass-tétel). Mide korlátos sorozatak va koverges részsorozata. Bizoyítás. A Tétel alapjá a sorozatak va mooto részsorozata. Nyilvá ez a részsorozat is korlátos lesz. A 3.. Tétel szerit egy mooto és korlátos sorozat koverges.

46 40 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK 3.5. Sorozat lim sup-ja és lim if-je Legye (a ) korlátos sorozat. Készítsük el az α := sup{a, a 2, a 3,..., a,...} α 2 := sup{a 2, a 3, a 4,..., a,...}. α k := sup{a k, a k+, a k+2,..., a,...}. (3.3) számsorozatot. Mivel {a, a 2,..., a,...} {a 2, a 3,..., a,...}, ezért a felső határukra yilvá α α 2. Ezt tovább godolva látszik, hogy (α k ) mooto fogyó sorozat. Az (α k ) ugyaolya korlátok közé szorítható, mit az eredeti (a ) sorozat. Mivel (α k ) mooto és korlátos, ezért koverges, és if α k-hoz tart (ld. a 3.. Tételt). k Defiíció. lim sup a := lim α k. Az előző godolatmeethez hasolóa legye β := if{a, a 2, a 3,..., a,...} β 2 := if{a 2, a 3, a 4,..., a,...}. β k := if{a k, a k+, a k+2,..., a,...}. (3.4) Nyilvá β β 2, és ez a tedecia megmarad, így (β k ) mooto övő. A (β k ) is korlátos. Mivel (β k ) mooto és korlátos, ezért koverges Defiíció. lim if a := lim β k. A defiíciókból látszik, hogy k N + eseté α k β k, így lim if a = lim β k lim α k = lim sup a. Bizoyítás élkül megemlítjük a lim sup a érdekes tulajdoságait. (a) Mide ε > 0 eseté a (lim sup a ) ε számál agyobb tag végtele sok va az (a ) sorozatba, a (lim sup a ) + ε számál agyobb tag csak véges sok va az (a ) sorozatba. (b) A lim sup a az (a ) sorozat koverges részsorozataiak a határértékei közül a legagyobb (tehát va is olya (a i ) koverges részsorozat, amelyre a i lim sup a.) Értelemszerű módosítással megfogalmazhatók a lim if a tulajdoságai is. (a) Mide ε > 0 eseté a (lim if a )+ε számál kisebb tag végtele sok va az (a ) sorozatba, a (lim if a ) ε számál kisebb tag csak véges sok va az (a ) sorozatba. (b) A lim if a az (a ) sorozat koverges részsorozataiak a határértékei közül a legkisebb (tehát va is olya (a i ) koverges részsorozat, amelyre a i lim if a.) A fetiek segítségével bebizoyítható az alábbi állítás.

47 3.6. CAUCHY-FÉLE KONVERGENCIA-KRITÉRIUM Tétel. Az (a ) korlátos sorozat koverges lim if a = lim sup a. Bizoyítás. Ha (a ) koverges, akkor a Állítás alapjá mide részsorozata ugyaoda tart, ezért a koverges részsorozatok határértékei közül a legagyobb megegyezik a legkisebbel így az előző (b) potok alapjá lim if a = lim sup a. Megfordítva, ha lim if a = lim sup a = A, akkor A-ra teljesül midkét feti (a) tulajdoság, vagyis bármely ε > 0 eseté az (A ε, A + ε) itervallumo kívül a sorozatak csak véges sok tagja va ami éppe azt jeleti, hogy a A Cauchy-féle kovergecia-kritérium A sorozat kovergeciájáak defiíciója tartalmaz egy komoly ehézséget: meg kell sejtei azt az A R számot, amelyhez a sorozat tagjai tetszőlegese közel kerülek. Ezt küszöböli ki a Cauchy-féle kovergecia-kritérium Defiíció. Azt modjuk, hogy (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 N N +, hogy, m N eseté a a m < ε. Tehát egy sorozat Cauchy-sorozat, ha bármely pozitív ε-hoz va olya küszöbidex, hogy ettől az idextől kezdve a sorozat tagjai ε-ál közelebb vaak egymáshoz Tétel (Cauchy-féle kovergecia-kritérium). Legye (a ) számsorozat. Ekkor (a ) koverges (a ) Cauchy-sorozat. Tehát az, hogy a számsorozat hozzásimul, tetszőlegese megközelít egy számot, egyeértékű azzal, hogy a sorozat tagjai tetszőlegese megközelítik egymást. Bizoyítás. ( ) Legye lim a =: A. Legye ε > 0 tetszőleges. Mivel a A, ezért az ε 2 > 0 számhoz N, hogy N eseté a A < ε 2. Legyeek, m N tetszőleges idexek. Ekkor a a m = a A + A a m a A + A a m < ε 2 + ε 2 = ε. Ezek szerit (a ) Cauchy-sorozat. ( ) Legye (a ) Cauchy-sorozat. Megmutatjuk, hogy (a ) korlátos. Ugyais az ε := pozitív számhoz is N, hogy, m N eseté Rögzítsük az m = N idexet! Így a a m <. a N < a < a N +, ami azt jeleti, hogy N eseté a sorozat tagjai a két korlát közé esek. Az a, a 2,..., a N véges sok tag már em rothatja el az egész (a ) sorozat korlátosságát. Mivel (a ) korlátos, ezért a 3.3. Bolzao-Weierstrass-tétel miatt va (a i ) koverges részsorozata. Legye α := lim a i. Megmutatjuk, hogy a α. Legye ε > 0 tetszőleges. Mivel a i α, ezért az ε 2 > 0 számhoz N 2, hogy i N 2 eseté a i α < ε 2. (3.5)

48 42 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK Mivel (a ) Cauchy-sorozat, ezért az ε 2 > 0 számhoz N 3, hogy, m N 3 eseté a a m < ε 2. (3.6) Legye N := max{n 2, N 3 }, és legye N tetszőleges. Rögzítsük le egy i idexet ekkor i i N is teljesül. A (3.5) alapjá és a (3.6)-ba m = i -t véve kapjuk, hogy Ezek szerit a α. a α = a a i + a i α a a i + a i α < ε 2 + ε 2 = ε Diverges sorozatok, sorozatok végtele határértéke Defiíció. Egy (a ) sorozatot divergesek evezük, ha em koverges. Másképp: ha A R számhoz ε > 0, hogy N N + küszöbidex utá N olya, hogy a A ε. Diverges sorozat például az ( 2 ) és a (( ) ) sorozat is. Az ( 2 ) sorozathoz tágabb értelembe lehetőség lesz határértéket redeli. Korlátos (a ) sorozat eseté a Tétel alapjá a divergecia ekvivales azzal, hogy lim sup a lim if a. Köye látható, hogy lim sup( ) = lim if( ) = Defiíció. Azt modjuk, hogy az (a ) számsorozatak + a határértéke, ha K R számhoz N N + küszöbidex, hogy N eseté a > K, vagyis a (K, + ). Ha az (a ) sorozat ilye, akkor lim a = + vagy a +. Ez a defiíció arról szól, hogy a sorozat elég agy küszöbidextől kezdve,,közel va a + -hez. Ezért köye látható, hogy elég lett vola a feltételt pozitív K számokra megköveteli. Hasolóa defiiáljuk a -hez tartás fogalmát Defiíció. Azt modjuk, hogy az (a ) számsorozatak a határértéke, ha K R számhoz N N + küszöbidex, hogy N eseté a < K, vagyis a (, K). Ha az (a ) sorozat ilye, akkor lim a = vagy a. Köye meggodolható, hogy a defiíciót elég lett vola egatív K számokra megköveteli. Példakét: lim 2 = + és lim( 2 ) = Megjegyzés. A feti defiíciókból következik, hogy a sorozathatárérték itt is egyértelmű, hasolóa a véges határérték esetéhez. Megmutatjuk, hogy egy + -hez tartó sorozat alulról, egy -hez tartó pedig felülről korlátos Állítás. Ha a +, akkor (a ) alulról korlátos, ha pedig a, akkor (a ) felülről korlátos sorozat.

49 3.7. DIVERGENS SOROZATOK, SOROZATOK VÉGTELEN HATÁRÉRTÉKE 43 Bizoyítás. Legye a + tetszőleges sorozat. Ekkor K = -hez is létezik olya N N + küszöbidex, hogy mide N eseté a >. Legye L := mi {a, a 2,..., a N,}. Világos, hogy a L mide N + eseté. Az a eset hasolóa látható be. Jelölje a továbbiakba R := R {+ } { } (3.7) az ú. kibővített számegyeest, tehát a valós számokhoz hozzávéve a + és szimbólumokat. Fotos, hogy ez utóbbiak valóba szimbólumok, és em valós számok! Állítás. Ha lim a = A (A R), akkor bármely (a i ) részsorozatra lim a i = A Bizoyítás. Ugyaúgy belátható, mit a Állítás. Köye meggodolható az alábbi állítás Állítás. Mide mooto sorozatak va határértéke. Bizoyítás. Ha a mooto sorozat korlátos, akkor a 3.. Tétel alapjá tudjuk, hogy koverges. Ha (a ) em korlátos, akkor mooto övő esetbe ez csak úgy lehet, hogy felülről em korlátos. Legye K R tetszőleges. Mivel (a )-ek K em felső korlátja, ezért létezik N N, hogy a N > K. Node N eseté - a mooto övést kihaszálva - kapjuk, hogy a a N > K. Mivel K tetszőleges volt, ebből következik, hogy a hasolóa bizoyítható. +. A mooto fogyó sorozat esete A + vagy határértékű sorozatokkal végzett műveletek (ilyeek összege, szorzata, háyadosa) agy körültekitést igéyelek Tétel (Végtele határérték és műveletek). Az alábbiak teljesülek az (a ) és (b ) sorozatokra.. Ha a + és (b ) alulról korlátos (pl. (b ) koverges vagy + -hez tart), akkor a + b Ha a + és (b )-ek egy idextől kezdve va pozitív alsó korlátja (pl. (b ) egy pozitív számhoz vagy + -hez tart), akkor a b Ha a + és (b )-ek egy idextől kezdve va egatív felső korlátja (pl. (b ) egy egatív számhoz vagy -hez tart), akkor a b. 4. Ha a és (b ) felülről korlátos (pl. (b ) koverges vagy -hez tart), akkor a + b. 5. Ha a és (b )-ek egy idextől kezdve va pozitív alsó korlátja (pl. (b ) egy pozitív számhoz vagy + -hez tart), akkor a b. 6. Ha a és (b )-ek egy idextől kezdve va egatív felső korlátja (pl. (b ) egy egatív számhoz vagy -hez tart), akkor a b Ha a + vagy a, akkor a Ha a 0 és a > 0 egy idextől kezdve, akkor a kezdve, akkor a. +, ha pedig a < 0 egy idextől

50 44 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK Bizoyítás.. Legye K R tetszőleges. A feltétel szerit létezik olya L R szám, hogy mide N + eseté b L. Mivel a +, ezért K L-hez létezik olya N N, hogy mide N eseté a > K L. Tehát N eseté a + b > K L + L = K, amiből következik az állítás. 2. Legye K > 0 tetszőleges szám. A feltétel szerit létezik olya L R + szám és N N, hogy mide N eseté b L. Mivel a +, ezért K/L-hez létezik olya N 2 N, hogy mide N 2 eseté a > K/L. Legye N := max{n, N 2 }. Ekkor N idexekre a b > K L L = K, ahol kihaszáltuk, hogy K/L > 0 és L > 0. Így következik az állítás. A 3 6. állítások a fetiekkel aalóg módo láthatók be. 7. Legye a + és ε > 0 tetszőleges. Ekkor az /ε > 0 számhoz létezik N N, hogy N eseté a > /ε. Ebből = a < ε, N. a Ezért /a 0. Ha a, akkor a +, amiből a 0, így a 0 következik. 8. Az előzőhöz hasolóa látható. A fetiek alapjá köye meggodolhatók az alábbi, táblázatba redezett eredméyek sorozatok összegéek, szorzatáak ill. háyadosáak határértékeiről Állítás. Ha a A és b B, akkor az (a + b ) sorozat határértéke az alábbiak szerit alakul: A R A = + A = B R A + B + B = + + +? B =? Ha a A és b B, akkor az (a b ) sorozat határértéke az alábbiak szerit alakul: Ha a A és b B, akkor az A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 A B 0 A B + B = ?? B < 0 A B 0 A B + B = + +? + B =? + + ( ) a b sorozat határértéke az alábbiak szerit alakul: A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 A/B 0 A/B + B = 0????? B < 0 A/B 0 A/B + B = ?? B = 0 0 0??

51 3.8. SOROZATOK KÖZÉP-SOROZATAI 45 Ahol a táblázatokba? szerepel, ott többfajta eshetőség va ld. gyakorlatok. A ± -el végzett műveleteket az alapjá szokták defiiáli, ami a feti táblázatokba a megfelelő határértékkel redelkező sorozatok közötti műveletekre érvéyes. A végtele határérték és a redezés kapcsolatáról szól az alábbi állítás Állítás.. Ha a + és (b ) olya sorozat, hogy egy idextől kezdve b a, akkor b Ha a és (b ) olya sorozat, hogy egy idextől kezdve b a, akkor b. Bizoyítás. Házi feladat Sorozatok közép-sorozatai Defiíció. Legye (a ) egy pozitív tagú sorozat, vagyis a > 0 mide -re. Képezzük ekkor (a ) (a) számtaiközép-sorozatát mit (b) mértaiközép-sorozatát mit (c) harmoikusközép-sorozatát mit A := a + a a, N + ; G := a a 2 a, N + ; H := a + a 2 + +, N +. a Tétel. Ha a A (A R), akkor a fet defiiált közép-sorozatai is mid A-hoz tartaak, tehát A A, G A, és H A. Bizoyítás.. Legye először a 0. Megmutatjuk, hogy (A ), (G ) és (H ) is 0-hoz tart. Legye ε > 0 rögzítve. Ekkor ε/2-höz létezik N küszöbidex, hogy N eseté a < ε/2. (3.8) Rögzítsük le N -et! Ekkor a + a a N kostas. Ezért ε/2-höz létezik olya N 2 N, hogy N 2 eseté a + a a N < ε/2. (3.9) Legye N := max{n, N 2 }. Ha N, akkor (3.8) és (3.9) alapjá A = a + a a a + a a = a + + a N + a N a Ez bizoyítja az A 0 állítást. Az.9. Tétel alapjá 0 H G A, N, < ε 2 + ε/2 ( N ) < ε 2 + ε/2 = ε.

52 46 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK ezért a 3.3. Tételből (Redőr-elv) következik, hogy G 0 és H 0 is teljesül. 2. Legye most a A R \ {0}, és mivel a > 0, azért A > 0. Ekkor A A = a + a a A = a + a a A = a A + a 2 A + + a A a A + a 2 A + + a A A kapott felső becslés a (b ) := ( a A ) 0-hoz tartó sorozat számtaiközép-sorozata, ami. alapjá 0-hoz tart. Így A A 0, vagyis a A. Másrészt a A, és így az előbbieket az ( a ) sorozatra alkalmazva kapjuk, hogy a + + a A = H = a + + A. a Az.9. Tétel és a 3.3. Tétel (Redőr-elv) miatt G A is igaz. 3. Már csak az A = + eset va hátra. A része miatt a + + a Állítás 7. potja alapjá a 0. Ezért a bizoyítás 0 = H = a + + +, a mivel (H ) pozitív tagú sorozat (ld. a Állítás 8. potja). Kihaszálva, hogy 0 < H G A és H +, valamit alkalmazva a Állítást kapjuk, hogy G + és A Példa. Legye a :=!. Mi az (a ) határértéke? Nyilvá a = 2, vagyis (a ) mértaiközép-sorozata az ( ) sorozatak. Ezért a feti tétel alapjá a Példa. Legye Mi az (a ) határértéke? a :=!. Vegyük észre, hogy a (3.)-be defiiált (e ) sorozatból képezett mértaiközép-sorozat a következő alakú: 2 e e 2 e = ( + ) ( ) = +,! ami a feti tétel alapjá e-hez tart. Ebből a = + +! e = e.

53 3.9. NEVEZETES SOROZATHATÁRÉRTÉKEK Nevezetes sorozathatárértékek. lim = 0. Bizoyítás. Ld. a 3.7. Állítást. 2. lim =. Bizoyítás. A számtai-mértai közép közti egyelőtleségből (ld. az.9. Tételt) 2-re = } {{ } < =. 2 Ie a 3.3. Redőr-elv alapjá következik az állítás. 3. lim a = (a R + ). Bizoyítás. Az Archimedeszi axiómából következik, hogy N N : N N eseté N < a < N = < a <. Ie az előzőek és a 3.3. Redőr-elv alapjá következik az állítás. < a < N. Ezért 4. 0, q <, lim q, q =, = +, q >,, q. Bizoyítás. Ha 0 < q <, akkor köye látható, hogy (q ) (szigorúa) mooto fogyó, tehát a 3.. Tétel szerit az ifimumához tart. Ha a > 0 ifimuma vola, akkor q a, vagyis q a vola, amiből határértéket véve q ez elletmodás. Tehát q 0. Ha < q 0, akkor az előbbiek szerit a sorozat abszolút értéke, így maga a sorozat is 0-hoz tart. Ha q >, akkor ( q ) 0, és ebből q +, mivel a sorozat pozitív tagú. A q esetbe a sorozatak va + -hez és -hez tartó részsorozata. 5. lim ( k q ) = 0 (k Z, q < ). Bizoyítás. Elég beláti 0 < q < esetre. Mivel ezért elég agy -re a + = ( + )k q + ( a k q = + ) k q q = q <, a + < a, tehát a sorozat (szigorúa) mooto fogyó, így az ifimumához tart. Ha a > 0 alsó korlátja lee, akkor a k q a ( ) k q

54 48 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK vola, amiből határértéket véve következe ez elletmodás. q 6. lim k = 0 (k Z, a > ). a Bizoyítás. Azoal adódik az előzőből q = a jelöléssel. 7. lim a! = 0 (a > ). Bizoyítás. Ha [a] + =: N ([a] az a egészrésze), akkor a <. Így > N-re 0 < a! = a a a 2 an N! a 0. Ie a 3.3. Redőr-elv alapjá következik az állítás. 8. lim! = 0. Bizoyítás. és Redőr-elv. 0 <! = 2 9. ( lim + x ) = e x (x R). Bizoyítás. Legye a + tetszőleges sorozat. Ekkor, ha [a ] jelöli az a egészrészét, ( ) [a] ( + + ) a ( + ) [a]+. [a ] + a [a ] A bal ill. jobb oldalo az (( + + ) ) ill. (( + )+ ) egy-egy részsorozata áll, melyek midegyike e-hez tart, tehát ( + ) a e. a Ha x > 0, akkor a := x +, ezért az előzőek és a Állítás alapjá ( + x ) = [ ( + x A egatív x esete hasolóa godolható meg. ) ] x x e x. 0. lim k=0 = e. (3.0) k!

55 3.9. NEVEZETES SOROZATHATÁRÉRTÉKEK 49 Bizoyítás. Megmutatjuk, hogy 0 < +! + 2! + + (! + ) < 3 2, (3.) ahoa az állítás a Redőr-elv alapjá következik. Fejtsük ki az ( + ) kifejezést a Biomiális tétel szerit! Ekkor, kihaszálva, hogy ( ( 0) = és ) =, +! + 2! + + (! + ) = +! + 2! + + [( ) ( )! + ( ) ( ) ] = 2! + 3! + + [( ) ( ) ( ) ]! = 2! + 3! + + [ ] ( )! ( )( 2) ( ) ! 2 3! 3! = 2! + 3! + + [! 2! + ( )( 2) 3! ] ( )! = [ ( 2! )] + [ ( 3! ) ( 2 )] [ (! ) ( 2 ) ( )] [ ( = k! ) ( 2 ) ( k )] (3.2) k=2 A kapott kifejezés yilvávalóa pozitív. Továbbá az ú. általáosított Beroulli-egyelőtleségből következik, hogy tetszőleges 2 k eseté ( ) ( 2 ) ( k ) 2 k k (k ) =, 2 tehát [ ( k! ) ( 2 ) ( k )] k=2 Kihaszálva, hogy (k 2)! 2 k 3, k 3, kapjuk: ( ) (k 2)! k 3 k=2 k=3 Egybevetve (3.2)-t, (3.3)-at és (3.4)-et, kapjuk (3.)-et. = k=2 k=2 [ k! + ] k (k ) 2 (k 2)! 2. (3.3) 3 ( + 2) = 2 2. (3.4). lim! = 0. Bizoyítás. Ld. a Példát. 2. lim! = e. Bizoyítás. Ld. a Példát.

56 50 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK 3.0. Valós számok valós kitevőjű hatváyai Az első fejezet végé volt szó valós számok racioális kitevős hatváyairól, amelyeket a középiskolába megismert módo vezettük be. Most a sorozathatárérték fogalmáak ismeretébe defiiáli tudjuk egy (pozitív) szám tetszőleges valós, így irracioális kitevős hatváyát is úgy, hogy a hatváyozástól,,elvárt tulajdoságok érvéybe maradjaak. A defiícióhoz szükségük lesz a következő állításokra Állítás. Legye r, s Q, r < s. Ha a >, akkor ha pedig 0 < a <, akkor Legye 0 < a < b és r Q. Ha r > 0, akkor a r < a s, a r > a s. a r < b r, ha pedig r < 0, akkor a r > b r. Bizoyítás. Legye először a >. A hatváyozás azoosságaiból és a valós számok (r6.) redezési tulajdoságából következik, hogy a r < a s < a s r, ezért elég beláti, hogy ha p Q, p > 0, akkor a p >. Legye p = m, m 0. Ekkor a p = m a. Mivel a >, azért szité a hatváyozás azoosságaiból és a redezés (r6.) tulajdoságából következik, hogy a > is teljesül. Tegyük fel idirekt, hogy m a. Ekkor az előbbiekhez hasoló meggodolással ( m a ) m = a, ami elletmodás. Tehát a p = m a >. Ugyaígy látható be az 0 < a < eset is. Ha 0 < a < b, akkor a r < b r < ( ) r b, a b ahol a > és r > 0. Ez a bizoyítás első része alapjá adódik. Hasolóa godolható meg az r < 0 eset is. Az Archimedeszi axióma következméye lesz az alábbi állítás Állítás. Ha x R tetszőleges, akkor található olya (r ) Q racioális számokból álló szigorúa mooto övő sorozat, melyre r x. Bizoyítás. Az.30. Következméy azt modja, hogy mide yílt itervallumba, így az (x, x) itervallumba is va racioális szám. Ezért r (x, x) Q. Világos, hogy (r, x) (x 2, x) egy yílt itervallum. Ezért igaz, hogy r 2 (r, x) (x, x) Q. 2

57 3.0. VALÓS SZÁMOK VALÓS KITEVŐJŰ HATVÁNYAI 5 Hasolóa, r 3 (r 2, x) (x, x) Q. 3 Folytatva az eljárást, kapjuk racioális számokak olya r, r 2, r 3,... szigorúa mooto övő sorozatát, melyre 0 < x r < = r x Defiíció. Legyeek a R + és x R tetszőleges számok. Ekkor a fetiek alapjá létezik (r ) Q racioális számokból álló szigorúa mooto övő sorozat, melyre r x. A 3.5. Állítás szerit az (a r ) sorozat mooto, és korlátos (hisze bármely q > x, q Q eseté a q egy felső ill. alsó korlátja, attól függőe, hogy a > vagy 0 < a < ) tehát koverges. Defiiálja a x := lim a r. Be kell látuk még, hogy a feti defiíció em függ az (r ) sorozat megválasztásától. Ehhez az alábbi állítást godoljuk meg, mely az a (a > 0) evezetes sorozathatárérték általáosítását modja ki Állítás. Legye (r ) Q, r 0 racioális számokból álló ullsorozat és a > 0 tetszőleges. Ekkor a r. Bizoyítás. Legye ε > 0 rögzítve. Tudjuk, hogy a és ezért a reciproksorozatra a. Így ε-hoz létezik olya N N +, hogy N eseté a, a ( ε, + ε). Speciálisa, a N, a N ( ε, + ε). (3.5) Mivel r 0, ezért N > 0-hoz létezik olya K N+ küszöbidex, hogy k K eseté N < r k < N. A (3.5)-ből és a 3.5. Állításból kapjuk, hogy a > eseté ε < a N < a r k < a N < + ε, k K. Tehát ε > 0-hoz találtuk olya K N + küszöbidexet, hogy k K eseté a r k ( ε, + ε), ezért a r. A 0 < a < eset köye meggodolható abból, hogy ilyekor a > Következméy. Az a x, x R feti defiíciója em függ az x-hez tartó (szigorúa mooto övő) racioális számokból álló sorozat megválasztásától, tehát tetszőleges (r ), (q ) Q, r x és q x szigorúa mooto övő sorozatok eseté lim a r = lim a q. Bizoyítás. Ha r x és q x a feti tulajdoságú, akkor s := r q, N + defiícióval (s ) Q és s 0. Az előző állítás alapjá a r a q = ar q = a s. Mivel (a r ) és (a q ) is koverges, ezért a határértékük meg kell egyezze.

58 52 HARMADIK FEJEZET. SOROZATOK A sorozathatárérték és műveletek kapcsolatából adódik, hogy a fet defiiált valós kitevős hatváyozás megőrzi a hatváyozás ismert azoosságait Állítás. Legyeek a, b R +. Ekkor a hatváyozás azoosságai érvéybe maradak valós kitevős hatváyokra is, tehát bármely x, y R eseté. a x a y = a x+y ; 2. a x b x = (a b) x ; 3. (a x ) y = a x y. Továbbá, érvéybe maradak a 3.5. Állításba kimodott redezési tulajdoságok is r, s R eseté. Bizoyítás. Az. állítást bizoyítjuk, a többi hasolóa megy. Legyeek (r ), (q ) Q, r x és q y tetszőleges szigorúa mooto övő sorozatok. Nyilvá r + q x + y és (r + q ) szigorúa mooto övő. A defiíció alapjá, és kihaszálva a sorozathatárérték és műveletek kapcsolatáról taultakat: a x a y = (lim a r ) (lim a q ) = lim (a r a q ) = lim a r+q = a x+y, ahol alkalmaztuk a racioális kitevős hatváyozás azoosságát. Eze állítás egyik következméye, hogy a továbbiakba, ha a x -et akarjuk közelítei, vehetük tetszőleges (x ) R, x x sorozatot Következméy. Ha a > 0 és x x tetszőleges valós sorozat, akkor Bizoyítás. A hatváyozás azoosságai miatt a x a x a x. a x ax a x = ax x. Tudjuk, hogy x x 0 és a Állítás bizoyításával aalóg módo látható, hogy ax x teljesül (a bizoyításba sehol sem haszáltuk ki, hogy a kitevők racioálisak!). Végül belátjuk, hogy a Következméy is általáosítható valós kitevőre Állítás. Legye (a ) valós számsorozat, a, A > 0 és a A. Ekkor bármely x R eseté a x A x. Bizoyítás. Legye először x > 0. Elég megmutati, hogy ahol a x A x = ( a A ) x, b := a A. Belátjuk, hogy b x. Legye 0 < ε <. Ekkor felhaszálva, hogy x > 0, és alkalmazva a Állítást ( ε) x < < ( + ε) x. Mivel b, ezért létezik N N +, hogy N eseté ( ε) x < b < ( + ε) x = ε < b x < + ε, hisze x > 0. Tehát bármely ε > 0-hoz létezik olya N küszöbidex, hogy N eseté b x ( ε, + ε), ezért b x. Az x < 0 eset következik abból, hogy egy -hez tartó sorozat reciproka is -hez tart.

59 Negyedik fejezet Függvéyek határértéke és folytoossága Egy függvéy határértéke az a potba A, ha az a-hoz közeli helyeke a függvéy A-hoz közeli értékeket vesz fel. Egy függvéy folytoos az a potba, ha az a-hoz közeli helyeke a függvéy f(a)-hoz közeli értékeket vesz fel. Az alábbi témaköröket tárgyaljuk. Függvéy határértékéek és folytoosságáak fogalma Határérték ill. folytoosság és műveletek kapcsolata Végtelebeli és végtele határérték Egyoldali határérték Mooto függvéy határértéke Itervallumo folytoos függvéyek tulajdoságai 4.. Torlódási potok Az előző fejezet 3.7. Defiíciójáak megfelelőe jelölje a továbbiakba az ú. kibővített számegyeest. R := R {+ } { } Idézzük fel, hogy az.29. Defiícióba bevezettük egy a R szám r > 0 sugarú köryezetét mit a K r (a) = (a r, a + r) yílt itervallumot. Bár a + és em valós számok, szükségük lesz a köryezetük fogalmára, melyeket em korlátos itervallumokkét értelmezük. Legye r > 0 pozitív szám, ekkor ( ) K r (+ ) := r, +, ( K r ( ) :=, ). r Világos, hogy a feti jelöléssel, ha r > 0 kicsi és x K r (+ ), akkor x közel va a + -hez. Továbbá az is köye látható, hogy egy (a ) sorozat A R (véges vagy végtele) határértékéek fogalma a feti köryezetek segítségével egyszerűe defiiálható az alábbi módo. 53

60 54 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 4.. Defiíció. Az (a ) sorozat határértéke A R, ha ε > 0 számhoz létezik N N küszöbidex, melyre N eseté a K ε (A). Bevezetjük még egy a pot r > 0 sugarú ú. kipotozott köryezetét, mely az a- kívüli potokat tartalmazza az r sugarú köryezetből, vagyis K r (a) := (a r, a) (a + r), ha a R, ( ) K r (+ ) := K r (+ ) = r, +, ( K r ( ) := K r ( ) =, ). r 4.2. Defiíció. Legye H R tetszőleges halmaz. Azt modjuk, hogy egy a R pot torlódási potja H-ak, ha mide r > 0 eseté K r (a) H, vagyis ha az a pot tetszőleges köryezete tartalmaz tőle külöböző H-beli elemet. Egy H R halmaz torlódási potjaiak halmazát jelölje H. Köye látható, hogy ha a H, akkor a H és a / H is előfordulhat (pl. a = + vagy a = is lehet). Ha H = N, akkor H = {+ }, továbbá ha H = [a, b], akkor H = [a, b]. Másrészt, ha H véges halmaz, akkor meggodolható, hogy H =. Az alábbi állítás a torlódási pot egy fotos ekvivales defiícióját fogalmazza meg Állítás. Legye H R tetszőleges halmaz, a R. Ekkor az alábbi állítások ekvivalesek. (i) a H ; (ii) létezik olya (h ) H H-beli sorozat, melyre h a, N és h a. Bizoyítás. (i) (ii): Tegyük fel, hogy a H teljesül. Legye h K (a) H tetszőleges elem ilye a torlódási pot defiíciója alapjá létezik. Világos, hogy az így kapott (h ) sorozat kielégíti a kíváalmakat. (ii) (i): Mivel h a, ezért r > 0 eseté létezik N N, hogy mide N eseté h K r (a). A feltételek miatt N eseté h K r (a) H is teljesül, ezért r > 0 eseté K r (a) H, így a valóba torlódási potja H-ak Függvéy határértéke Vizsgáljuk meg három, egymáshoz agyo hasoló függvéyt! Legye f : R R f (x) := x + 2, f 2 : R \ {2} R f 2 (x) := x2 4 x 2 = (x 2)(x+2) x 2 = x + 2, f 3 : R R f 3 (x) := { x + 2, ha x 2, ha x = 2. (4.. ábra) A függvéyek a := 2 pot körüli viselkedésére vagyuk kívácsiak. Az f függvéy eseté jól látható, hogy ha x közel va a 2-höz, akkor az f (x) = x + 2 értékek közel esek a 4-hez, amely éppe f (2). Az f 2 függvéy ugya ics értelmezve a 2-be, de ha x közel va a 2-höz, az f 2 (x) = x+2 értékek

61 4.2. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 55 f (2) f f 2 f ábra. egy szám, ebbe az esetbe a 4 körül keveset igadozak. Az f 3 függvéy a 2-be is értelmezve va. Ha x közel va a 2-höz (de x 2), akkor az f 3 (x) = x+2 értékek (az f és f 2 függvéyhez hasolóa) a 4 körül keveset igadozak (függetleül attól, hogy f(2) = ). A példákba tapasztalt jeleségek yomá alakítjuk ki a függvéy határértékéek fogalmát. Az f függvéy a potbeli határértékéek fogalmát olya potokra értelmezzük, melyek elég közel vaak az értelmezési tartomáyhoz, de aak em feltétleül elemei vagyis melyek D(f) -be vaak Defiíció. Legye f : R R és a D(f) az értelmezési tartomáy egy torlódási potja. Azt modjuk, hogy az f függvéy határértéke a-ba az A R pot, ha ε > 0 eseté δ > 0, hogy ha x K δ (a) D(f), akkor f(x) K ε (A), vagyis a-hoz elég közeli (értelmezési tartomáyból való) potok eseté a függvéyértékek közel vaak A-hoz. Jelölésbe: lim f = A vagy lim f(x) = A. a x a Fotos megjegyezük, hogy ameyibe a D(f) D(f), vagyis a az értelmezési tartomáyak is eleme, a defiíció em függ a függvéy a-ba felvett helyettesítési értékétől, f(a)-tól! Továbbá, azért követeltük meg, hogy a az értelmezési tartomáy torlódási potja legye, hogy így (bármely δ > 0 eseté) a K δ (a) D(f) tartalmazzo (legalább egy) x elemet Feladat. Fogalmazzuk meg a feti defiíció összese 9 speciális esetét aszerit, hogy a R, a = + vagy a =, illetve A R, A = + vagy A =! Nézzük meg példakét az a R, A R esetet! A defiíció az alábbi formát ölti: lim f = A a ε > 0-hoz δ > 0, hogy ha x (a δ, a + δ) D(f), x a, akkor f(x) (A ε, A + ε). Nézzük meg az a R, A = + esetet is! A defiíció az alábbi formát ölti: lim a f = + ε > 0-hoz δ > 0, hogy ha x (a δ, a + δ) D(f), x a, akkor f(x) > ε. (Világos, hogy itt ε helyett K > 0-t és f(x) > K-t is írhattuk vola.)

62 56 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA A fejezet elejé lévő példába lim 2 f = lim 2 f 2 = lim 2 f 3 = 2. Példa végtele határértékre: lim x 0 x 2 =. A kövekező fotos tétel a függvéyhatárérték fogalmát viszi át sorozathatárérték fogalmára ezért a eve Átviteli elv Tétel (Átviteli elv függvéyhatárértékre). Legye f : R R, a D(f) és A R. Ekkor az alábbi állítások ekvivalesek. (i) lim a f = A; (ii) mide (x ) D(f), x a ( N), x a sorozat eseté f(x ) A. Bizoyítás. (i) (ii): Legye (x ) D(f), x a, x a tetszőleges sorozat (ilye létezik a D(f) és a 4.3. Állítás miatt!). Legye adva ε > 0. Mivel (i) szerit lim f = A, ezért a defiíció a alapjá Node x a miatt ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy ha x K δ (a) D(f), akkor f(x) K ε (A). (4.) δ > 0-hoz létezik N N, hogy N eseté x K δ (a). Mivel a feltétel szerit x a, x D(f) is teljesül, ezért N eseté x K δ (a) D(f), és így (4.) miatt f(x ) K ε (A), N. Tehát adott ε-hoz találtuk olya N N küszöbidexet, hogy N eseté f(x ) K ε (A), ezért f(x ) A teljesül. (ii) (i): Tegyük fel, hogy (ii) teljesül. Idirekt tegyük fel, hogy f-ek A em határértéke a-ba. Ekkor ε > 0, hogy mide > 0 eseté található olya x K (a) D(f), melyre f(x ) / K ε (A). Így kaptuk egy (x ) D(f), x a, x a sorozatot (hisze x K (a)), melyre f(x ) A (hisze f(x ) / K ε (A) mide -re), ami elletmod (ii)-ek Következméy. Adott potbeli függvéyhatárérték egyértelmű. Tehát lim a f = A és lim a f = B = A = B. Bizoyítás. Következik a 3.9. és Megjegyzésekből és a 4.6. Tételből Példa. Egyszerű példa olya függvéyre, amelyek em létezik határértéke egy potba, az előjelfüggvéy, azaz legye, ha x < 0, f(x) = sg(x) = 0, ha x = 0,., ha x > 0. Eek az a = 0 potba ics határértéke, hisze ha x = 0, akkor f(x ) =, viszot ha x = 0, akkor f(x ) =. Viszot köye látható, hogy ez a függvéy sem teljese csúya, mert redelkezik a következő tulajdosággal. Ha x > 0, x 0, azaz az (x ) sorozat jobbról tart az a pothoz, akkor f(x ) =. Hasolóa, ha x < 0, x 0, azaz az (x ) sorozat balról tart az a pothoz, akkor f(x ) =.

63 4.2. FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 57 Az Átviteli elv egy következméye, hogy függvéyek véges határértékére megfogalmazhatuk a sorozat kovergeciájával aalóg módo Cauchy-kritériumot (ld. a Tételt) Tétel (Cauchy-kritérium függvéyhatárértékre). Legye f : R R, a D(f). A következők ekvivalesek. (i) Létezik lim a f = A R. (ii) Bármely ε > 0 számhoz található olya δ > 0, hogy mide x, y f(x) f(y) < ε. K δ (a) D(f), eseté Bizoyítás. (i) (ii): Tegyük fel, hogy létezik lim a defiíciója szerit, hogy f = A R. Ez azt jeleti a határérték ε > 0-hoz δ > 0, hogy x K δ (a) D(f) eseté f(x) A < ε 2. Így ha x, y K δ (a) D(f), akkor f(x) f(y) f(x) A + A f(y) < ε 2 + ε 2 = ε. (ii) (i): Legye (x ) D(f), x a, x a. Ekkor a sorozathatárérték defiíciója alapjá δ > 0-hoz N N, hogy N eseté x K δ (a) D(f). Legye ε > 0 adva. A (ii) feltételből kapjuk, hogy ehhez létezik megfelelő δ > 0 szám. Válasszuk δ-hoz az előbbiek szeriti N küszöbidexet! Ekkor (ii) alapjá, m N eseté x, x m K δ (a) D(f) f(x ) f(x m ) < ε. Tehát erre az (x ) sorozatra (f(x )) sorozat Cauchy-sorozat, így létezik lim f(x ) véges határérték. Azt kell meggodoluk, hogy külöböző (x ) sorozatokra em kaphatuk külöböző határértékeket (tehát mide esetbe ugyaaz az A szám lesz a határérték). Legye (x ) D(f), x a, x a sorozat ehhez található A R, hogy f(x ) A. Hasolóa, legye (z ) D(f), z a, z a. Az előzőek alapjá ehhez is található B R, hogy f(z ) B. Ekkor összefésülve az (x ) és a (z ) sorozatot kapjuk, hogy az alábbi sorozat a-hoz tart. Az előzőek alapjá következik, hogy x, z, x 2, z 2,..., x, z,... f(x ), f(z ), f(x 2 ), f(z 2 ),..., f(x ), f(z ),... sorozat Cauchy-sorozat, azaz koverges. Mivel a páratla idexű részsorozata A-hoz, a páros idexű B-hez tart, ezért a Állítás miatt A = B. A függvéyhatárérték és műveletek kapcsolata köye meggodolható az Átviteli elv és a sorozathatárérték és műveletek kapcsolatáról taultak alapjá (ld Állítás) Állítás (Függvéyhatárérték és műveletek). Legyeek f és g valós függvéyek, legye a (D(f) D(g)), és A, B R. Tegyük fel, hogy lim a f = A és lim a g = B. Ekkor lim a f = A,

64 58 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA továbbá lim(f + g) = A + B, ha A + B értelmes; a lim(f g) = A B, ha A B értelmes. a Ha g 0 az a egy kipotozott köryezetébe, akkor ( ) f lim = A a g B, ha A B értelmes. Az A és B közötti műveleteket a Állítás alapjá értelmezzük. Bizoyítás. A bizoyítások adódak a 4.6. Tételből és a Állításból. Példakét ézzük meg az f + g határértékéek esetét! A 4.6. Tétel szerit elég megmutati, hogy ha (x ) D(f) D(g), x a, x a akkor (f + g)(x ) A + B. Mivel lim f = A és lim g = B, ezért a 4.6. Tétel alapjá igaz, hogy mide ilye sorozatra a a f(x ) A és g(x ) B. Alkalmazva a Állítást kapjuk, hogy ha A + B értelmes, akkor lim(f + g)(x ) = lim (f(x ) + g(x )) = A + B. A későbbiekbe láti fogjuk, hogy az f g kompozíció-művelet em viselkedik ilye jól a függvéyhatárértékre ézve Függvéy folytoossága Legye f : R R f (x) := x, a := 2. Egy másik függvéy pedig legye f 2 : R R,, ha x < 2 f 2 (x) := 2, ha x = 2 (4.2. ábra) 3, ha x > 2 f (2) f 2 (2) ábra. Látható, hogy az f függvéy olya, hogy ha x közel va az a := 2 pothoz, akkor az f (x) = = x függvéyértékek is közel leszek az f (2) = 2 értékhez. Ugyaezt em modhatjuk el az f 2 függvéyről. Akármilye x számot veszük is, amely közel va az a = 2 pothoz (x 2), az f 2 (x) függvéyértékek elég távol leszek az f 2 (2) = 2 számtól (biztosa 2 -él távolabb). Az f függvéy viselkedése yomá fogalmazzuk meg a folytoosság fogalmát.

65 4.3. FÜGGVÉNY FOLYTONOSSÁGA Defiíció. Legye f : R R és a D(f) az értelmezési tartomáy egy potja. Azt modjuk, hogy az f függvéy folytoos a-ba, ha ε > 0 eseté δ > 0, hogy ha x K δ (a) D(f), akkor f(x) K ε (f(a)), vagyis a-hoz elég,,közeli (értelmezési tartomáyból való) potok eseté a függvéyértékek közel vaak f(a)-hoz. Ha H D(f) olya részhalmaz, hogy f mide a H potba folytoos, akkor azt modjuk, hogy f folytoos H-. Ha H = D(f), akkor azt modjuk, hogy f folytoos (függvéy). Figyeljük meg, mibe külöbözik ez a defiíció a függvéyhatárérték 4.4. Defiíciójától! Most megköveteltük, hogy a D(f) legye értelmezési tartomáyo kívüli potba em beszélhetük a függvéy folytoosságáról. Másrészt, a defiícióba szereplő x K δ (a) D(f) pot x = a is lehet. Erre azoba triviálisa teljesül, hogy f(x) = f(a) K ε (f(a)), mivel itt A helyett f(a) szerepel ábra. f folytoos x 0 -ba, f(x 0 ) = y Állítás. Ha a D(f) D(f), akkor f folytoos a-ba lim a f = f(a). Bizoyítás. Rögtö adódik a 4.4. és 4.. Defiíciókból. A folytoosság defiíciója segítségével a véges helye vett véges határérték fogalma is újradefiiálható az alábbi módo Defiíció. Ha a D(f) R, akkor { lim f =: A R f(x) f(x), x a, := a A, x = a függvéy folytoos a-ba. Ha például D(f) itervallum, akkor a D(f) D(f) teljesül mide potjára. Egyszerűe meggodolható, hogy a Dirichlet-függvéy egyetle potba sem folytoos Megjegyzés. Ha a D(f) \ D(f), akkor a ú. izolált potja D(f)-ek. Köye látható a defiíció alapjá, hogy ilyekor f midig folytoos a-ba.

66 60 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 4.5. Tétel (Átviteli elv függvéy folytoosságára). Legye f : R R és a D(f). Ekkor az alábbi állítások ekvivalesek. (i) f folytoos a-ba; (ii) mide (x ) D(f), x a sorozat eseté f(x ) f(a). Bizoyítás. Aalóg módo törtéik, mit a 4.6. Tételé. (i) (ii): Legye (x ) D(f), x a tetszőleges sorozat. Legye adva ε > 0. Mivel (i) szerit f folytoos a-ba, ezért a defiíció alapjá ε > 0-hoz létezik δ > 0, hogy mide x K δ (a) D(f) eseté f(x) K ε (f(a)). (4.2) Node x a miatt δ > 0-hoz létezik N N, hogy mide > N idexre x K δ (a). Mivel a feltétel szerit x D(f) is teljesül, ezért > N eseté x K δ (a) D(f), és így (4.2) miatt f(x ) K ε (f(a)), > N. Tehát adott ε-hoz találtuk olya N N küszöbidexet, hogy > N-re f(x ) K ε (f(a)), ezért f(x ) f(a) teljesül. (ii) (i): Tegyük fel, hogy (ii) teljesül. Idirekt tegyük fel, hogy f em folytoos a-ba. Ekkor ε > 0, hogy mide > 0 eseté található olya x K (a) D(f), melyre f(x ) / K ε (f(a)). Így kaptuk egy (x ) D(f), x a sorozatot (hisze x K (a)), melyre f(x ) f(a) (hisze f(x ) / K ε (f(a)) mide -re), ami elletmod (ii)-ek Megjegyzés. Ha a feti átviteli elvet akarjuk alkalmazi egy a D(f) \ D(f) potba, akkor a 4.3. Állítás alapjá ics olya (x ) D(f) sorozat, hogy x a, N és x a. Ezért a (ii)-be csak olya (x ) sorozatokat vizsgáluk, melyek tagjai egy idextől kezdve megegyezek a-val. Ekkor egy idextől kezdve f(x ) = f(a), tehát f(x ) f(a) teljesül. Ezzel beláttuk a 4.4. Megjegyzést is. A függvéyek közötti műveletek a folytoosságra is,,jól viselkedek Állítás (Folytoosság és műveletek). Legyeek f és g valós függvéyek és a D(f) D(g). Tegyük fel, hogy f és g folytoosak a-ba. Ekkor is folytoosak a-ba. f, f + g, f g és f (ha g(a) 0) g Bizoyítás. A bizoyítások adódak a 4.5. Tételből és és a sorozatok közötti műveletekről taultakból. Példakét ézzük meg az f g folytoosságáak esetét! A 4.5. Tétel szerit elég megmutati, hogy ha (x ) D(f) D(g), x a akkor (f g)(x ) (f g)(a). Mivel f és g folytoosak a-ba, ezért a 4.5. Tétel alapjá igaz, hogy mide ilye sorozatra Alkalmazva a 3.9. Állítást kapjuk, hogy f(x ) f(a) és g(x ) g(a). lim(f g)(x ) = lim (f(x ) g(x )) = f(a) g(a) = (f g)(a).

67 4.4. HATÁRÉRTÉK, FOLYTONOSSÁG ÉS KOMPOZÍCIÓ Határérték, folytoosság és kompozíció Az előző fejezet utolsó tétele a folytoosság és függvéyek közötti műveletek kapcsolatáról a függvéyhatárértékre voakozó megfelelő tétel aalogoja. Va azoba a függvéyek között lehetséges műveletek között még egy, a kompozíció (ld..2. Defiíció), melyre folytoosság és határérték eseté léyegese külöböző tételeket kell megfogalmazuk. Kezdjük a folytoosság és függvéyek közötti kompozíció kapcsolatával Tétel (Folytoosság és kompozíció). Legyeek f és g valós függvéyek, és tegyük fel, hogy g folytoos az a D(f g) potba, f pedig az g(a)( D(f)) potba. Ekkor f g folytoos az a potba. Bizoyítás. Az állítást legegyszerűbbe a 4.5. Átviteli elv segítségével bizoyíthatjuk. Legye x a, (x ) D(f g) tetszőleges sorozat. A g függvéy a-beli folytoosságára voatkozó átviteli elv alapjá g(x ) g(a). Az f függvéy g(a) potbeli folytoosságát kihaszálva amiből az állítás következik. (f g)(x ) = f(g(x )) f(g(a)) = (f g)(a), Próbáljuk meg megfogalmazi a függvéyhatárértékre voatkozó, fetiek megfelelő állítást! Hamis Állítás. Legyeek f és g valós függvéyek, a D(f g). Tegyük fel, hogy lim a lim f = c. Ekkor b lim(f g) = c. a g = b és Egy agyo egyszerű példá megmutatható, hogy a feti állítás em igaz! Legye { 0, x, g(x) := 3, x =. Ekkor f(x) := (f g)(x) = {, x 0, 2, x = 0. { 2, x,, x =. Legye a =. Ekkor lim a g = b = 0, lim b f = lim 0 f = c =, de lim a (f g) = 2 c =! A probléma azzal va, hogy a g függvéy,,agyo em ijektív az a pot köryezetébe. Ha megpróbálák a feti Hamis Állítást az átviteli elv segítségével bizoyítai, kiderül, ez miért baj. Legye (x ) D(f g), x a, x a tetszőleges sorozat. Ekkor a 4.6. Tétel alapjá g(x ) b. Ebből azoba em következik (feltétleül), hogy (f g)(x ) = f(g(x )) c ugyais em biztos, hogy g(x ) b (legalább egy idextől kezdve) teljesül! Épp ez a probléma az előbbi példába is. A következő tétel a helyes állítást fogalmazza meg Tétel (Határérték és kompozíció). Legyeek f és g valós függvéyek, a D(f g). Tegyük fel, hogy lim g = b. Ekkor az alábbi. és 2. állítások bármelyikéből következik, hogy a lim a (f g) = c.

68 62 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA. b D(f) és f folytoos b-be, f(b) = c; 2. b D(f) és lim b f =: c, továbbá a-ak létezik olya K(a) köryezete, hogy g(x) b, ha x K(a) (pl. g ijektív/szigorúa mooto az a egy köryezetébe vagy b = ± ). Bizoyítás. A bizoyítás léyege, hogy midkét esetbe működik az átviteli elv. Legye (x ) D(f g), x a, x a tetszőleges sorozat. Ekkor a 4.6. Tétel alapjá g(x ) b. Továbbá:. Mivel f folytoos b-be, ezért (f g)(x ) = f(g(x )) f(b) = c. 2. Mivel x K(a) egy idextől kezdve, ezért g(x ) b teljesül elég agy -re. Így ismét alkalmazva a 4.6. Tételt, lim f = c miatt kapjuk, hogy (f g)(x ) = f(g(x )) c. b 4.5. Jobb és bal oldali határértékek Defiíció. Egy a R szám r > 0 sugarú bal oldali köryezeté a K r (a) := (a r, a] itervallumot értjük. Az r sugarú jobb oldali köryezeté a K + r (a) := [a, a + r) yílt itervallumot értjük. A + -ek csak bal oldali, a -ek csak jobb oldali köryezeteit értelmezzük ezek megegyezek az eredeti köryezetekkel, vagyis ( ) Kr (+ ) = K r (+ ) := r, +, ( K r + ( ) = K r ( ) :=, ). r 4.2. Defiíció. Egy a pot r > 0 sugarú kipotozott bal/jobb oldali köryezetei azo halmazokat értjük, melyek az a- kívüli potokat tartalmazzák az r sugarú bal/jobb oldali köryezetből, vagyis K r (a) := (a r, a), ha a R, K r + (a) := (a, a + r), ha a R, ( ) K r (+ ) := K r (+ ) = r, +, ( K r + ( ) := K r ( ) =, ). r Defiíció. Legye H R tetszőleges halmaz. Azt modjuk, hogy egy a R pot bal (jobb) oldali torlódási potja H-ak, ha mide r > 0 eseté K r (a) H ( K + r (a) H ), vagyis ha az a pot tetszőleges bal (jobb) oldali köryezete tartalmaz tőle külöböző H-beli elemet. Egy H R halmaz bal ill. jobb oldali torlódási potjaiak halmazát jelölje H ill. H Megjegyzés. Köye meggodolható, hogy H H és H + H, de a fordított iráyú tartalmazások em állak fet feltétleül! Például, H = (a, b) eseté a H, de a / H. Az alábbi állítás a bal/jobb oldali torlódási pot fotos ekvivales defiícióját fogalmazza meg Állítás. Legye H R tetszőleges halmaz, a R. Ekkor az alábbi állítások ekvivalesek. (i) a H (a H +);

69 4.5. JOBB ÉS BAL OLDALI HATÁRÉRTÉKEK 63 (ii) létezik olya (h ) H sorozat, melyre h < a (h > a), N és h a. Bizoyítás. Ld. mit a 4.3. Állítás bizoyítása. Most defiiáljuk f függvéy a potbeli bal/jobb oldali határértékéek fogalmát Defiíció. Legye f : R R és a D(f) (a D(f) +) az értelmezési tartomáy egy bal (jobb) oldali torlódási potja. Azt modjuk, hogy az f függvéy bal (jobb) oldali határértéke a-ba az A R pot, ha ε > 0 eseté δ > 0, hogy ha x K δ (a) D(f) (x K + δ (a) D(f)), akkor f(x) K ε(a). Jelölésbe: lim f = A vagy lim f = A vagy a 0 a lim a+0 f = A vagy lim a+ f = A vagy lim x a+0 lim f(x) = A ill. x a 0 f(x) = A. Világos, hogy + -be csak bal oldali, -be pedig csak jobb oldali határértéket értelmezhetük Állítás. Legye f : R R és a D(f) D(f) +. Ekkor lim a f lim a 0 f, lim a+0 f és lim a 0 f = lim a+0 f. Bizoyítás. Azoal adódik a defiícióból Példa. lim = + = lim x 0+ x x 0 x lim x 0 x A bal/jobb oldali határérték defiíciójához hasoló módo értelmezhetjük egy függvéy balról ill. jobbról való folytoosságát Defiíció. Legye a D(f) D(f) (a D(f) + D(f)). Azt modjuk, hogy f balról (jobbról) folytoos a-ba, ha lim a 0 f = f(a) ( lim a+0 f = f(a)) Feladat. Fogalmazzuk meg a függvéy bal/jobb oldali határértékére ill. folytoosságára voatkozó átviteli elvet! Tétel (Mooto függvéyek határértékéről). Mide mooto függvéyek az értelmezési tartomáya mide bal (jobb) oldali torlódási potjába létezik bal (jobb) oldali határértéke, mégpedig:. ha f mooto övő, akkor 2. ha f mooto fogyó, akkor lim f = sup f, (4.3) a 0 (,a) D(f) lim f = if f, a+0 (a,+ ) D(f) lim f = if f, a 0 (,a) D(f) lim f = sup f. a+0 (a,+ ) D(f)

70 64 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA Itt sup f := sup {f(x) : x H}, H if f H := if {f(x) : x H}. Bizoyítás. A (4.3) esetet bizoyítjuk, a többi hasolóa meggodolható. Legye A := sup (,a) D(f) f. Be kell láti, hogy lim a 0 f létezik és = A. Legye ε > 0 tetszőleges. A szuprémum defiíciója miatt x (, a) D(f) : f(x ) K ε (A) (ha A véges, akkor A ε < f(x ) < A). Mivel f mooto övő, ezért ha x < x < a és x D(f), akkor f(x ) f(x) A f(x) K ε (A). Nyilvá δ > 0, melyre (x, a) = K δ (a) (ha a R, akkor δ := a x ). Ezzel a δ választással tehát lim a 0 f = A. x K δ (a) D(f) ( x < x < a, x D(f)) eseté f(x) K ε (A), A bal és jobb oldali határérték segítségével osztályozhatjuk egy függvéy értelmezési tartomáyáak azo potjait, melyekbe em folytoos ábra. Elsőfajú szakadási hely - ugrás (f(x 0 ) = 0) 4.5. ábra. Megszütethető szakadási hely (f(x 0 ) = 0)

71 4.6. ELEMI FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE Defiíció (Szakadási potok osztályozása). Ha a D(f) olya pot, hogy f em folytoos a-ba, akkor a szakadási potja f-ek. Az a D(f) D(f) az f elsőfajú szakadási potja, ha Ilyekor lim a 0 f, lim a+0 f R. u := lim a+0 f lim a 0 f az f ugrása a-ba. Az elsőfajú szakadási pot speciális esete a megszütethető szakadási pot, ahol u = 0, vagyis R lim a 0 f = lim a+0 f(= lim a f f(a)). Az a D(f) másodfajú szakadási pot, ha em elsőfajú Megjegyzés. A Tételből rögtö adódik, hogy itervallumo értelmezett mooto függvéyek bármely szakadási potja csak elsőfajú lehet, de em megszütethető. (Világos, hogy a mootoitás miatt a létező egyoldali határértékek végesek.) Megjegyzés. A Dirichlet-függvéyek mide valós szám másodfajú szakadási potja Elemi függvéyek folytoossága és határértéke Jele fejezet taulmáyozásához érdemes visszalapozi a második fejezethez, és az ott szereplő ábrákhoz! Állítás. A fejezetbe felsorolt hatváyfüggvéyek folytoosak. Bizoyítás. Alkalmazzuk a 4.5. Átviteli elvet! Legye x, x D(id r ) ( N), x x tetszőleges sorozat. Be kell láti, hogy id r (x ) = x r id r (x) = x r. Ez következik a Állításból. A hatváyfüggvéyek folytoossága miatt határértékeiket elegedő az értelmezési tartomáyo kívüli torlódási potokba meggodoli Állítás. Ha páros, akkor Ha páratla, akkor lim id = lim id = +, + lim id = lim id = 0, + lim 0 id = +. lim id =, lim id = +, + lim id = lim id = 0, + lim id =, 0 lim id = Továbbá, ha r R tetszőleges, akkor az R + -o értelmezett id r függvéyre lim + idr = +, r > 0, lim id r 0+ = +, lim id r = 0, + r < 0.

72 66 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA Bizoyítás. Adódik a 4.6. Átviteli elvből és a függvéyek szigorú mootoitásából a megfelelő itervallumoko, ld. a Állításak a hatváyozás és redezés kapcsolatáról szóló részét Állítás. Bármely a > 0, a eseté az exp a expoeciális függvéy (ld. (2.)) folytoos. Bizoyítás. Alkalmazzuk a 4.5. Átviteli elvet! Legye x R, x x tetszőleges sorozat. Be kell láti, hogy exp a (x ) = a x exp a (x) = a x. Ez adódik a Következméyből Állítás. Bármely a > 0, a eseté a log a = (exp a ) logaritmusfüggvéy folytoos. Bizoyítás. Következik a Tételből (folytoos függvéy iverze is folytoos). Az expoeciális és logaritmusfüggvéyek folytoossága miatt határértékeiket elegedő az értelmezési tartomáyo kívüli torlódási potokba meggodoli Állítás. Bármely a > eseté Bármely 0 < a < eseté lim exp a = lim log a = +, + + lim exp a = 0, lim log a =. 0+ lim a = lim log a = +, 0+ lim a = 0, + lim log a =. + Bizoyítás. Adódik a 4.6. Átviteli elvből és a függvéyek szigorú mootoitásából, ld. a Állításak a hatváyozás és redezés kapcsolatáról szóló részét Állítás. A fejezetbe felsorolt trigoometrikus függvéyek és iverzeik folytoosak. Bizoyítás. A 4.6. ábra alapjá belátható x < π 2 -re ( x > π 2 -re pedig triviális), hogy si x x, x R. A 4.5. Átviteli elvet alkalmazzuk. Legye x R és x x tetszőleges sorozat. Ekkor felhaszálva, hogy cos, kapjuk: si x si x = 2 cos x + x si x x si x x 2. A feti egyelőtleség alapjá si x si x 2 x x 2 = x x 0, (4.4) és ezt akartuk beláti. Mivel ( π ) cos x = si 2 x, ezért a 4.8. Tétel miatt cos is folytoos. A tg és ctg függvéyek így két folytoos függvéy háyadosakét állak elő, ezért folytoosak (ld. a 4.7. Állítást). A trigoometrikus függvéyek iverzeiek folytoossága pedig a Tételből adódik. Köye meggodolható, hogy a si és cos függvéyekek ics határértékük ± -be. Azoba érvéyesek az alábbiak:

73 4.6. ELEMI FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE Állítás. π 2 lim tg = +, lim tg =, k Z, +kπ 0 π +kπ+0 lim ctg =, lim kπ 0 lim arctg = π 2, lim arcctg = π, lim 2 kπ+0 ctg = +, k Z, lim arctg = π + 2, + arcctg = Állítás. A fejezetbe felsorolt hiperbolikus függvéyek és iverzeik folytoosak. Bizoyítás. A hiperbolikus függvéyek folytoossága adódik az exp függvéy folytoosságából és a 4.7. Állításból, az iverzeik folytoossága pedig a Tételből Állítás. lim sh =, lim lim ch = lim + sh = +, + ch = +, lim th = lim cth =, lim th + = lim cth =, + lim cth =, 0 lim cth = Bizoyítás. A sh esetét bizoyítjuk, a többi hasolóa megy. Felhaszáljuk az exp függvéy határértékeit. lim shx = lim e x e x = 0 =. x x Állítás. lim arsh =, lim lim +0 lim 0 arth = lim 0 arth = lim +0 arsh = +, + lim arch = +, + arcth =, arcth =, lim arcth = lim arcth = 0. + Bizoyítás. Adódik a megfelelő iverzfüggvéyek határértékeiből.

74 68 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 4.7. Nevezetes függvéyhatárértékek Az alábbi evezetes függvéyhatárértékek bizoyítása mid adódik a 4.9. Tétel megfelelő szereposztással való alkalmazásából.. lim x x =. x + Bizoyítás. A 4.6. Tételt alkalmazzuk. Legye x tetszőleges sorozat, és tegyük fel, hogy x > (egy idextől kezdve ez biztos teljesül). Ekkor [x]+ ([x ]) (x ) x ([x ] + ) A bal ill. jobb oldalo az ( + ) ill. ((+) ) egy-egy részsorozata áll, melyek -hez tartaak. Így (x ) x, amiből az állítás következik. [x]. 2. lim x 0+ xx =. Bizoyítás. Mivel tetszőleges x 0+ eseté x +, ezért az. pot alapjá ( ) x = x x x, így x x is teljesül. A 4.6. Tétel alapjá kész. 3. log lim c x x + x p = 0 (p, c > 0, c ). Bizoyítás. Világos, hogy ha p > 0, akkor lim x x p = +. Alkalmazva a 4.9. Tétel 2. potját és az. evezetes határértéket kapjuk, hogy lim x + (xp ) x p =. Kihaszálva a log c függvéy folytoosságát és a 4.9. Tétel. potját, lim log c(x p ) log x p = lim c x p p log x + x + x p = lim c x x + x p = log c = 0. Ebből p-vel való osztás utá következik az állítás. 4. lim x + x q = 0 (a (, + ), q > 0). ax Bizoyítás. A feti 3.-at p := q és c := a számokra alkalmazva kapjuk, hogy Tudjuk, hogy a > miatt log lim a x = 0. x + x q lim x + ax = +. A 4.9. Tétel 2. potját felhaszálva log lim a a x = lim x + (a x ) q x + x = 0. (a x ) q

75 4.7. NEVEZETES FÜGGVÉNYHATÁRÉRTÉKEK 69 Mivel lim x 0 x q = 0, ezért a 4.9. Tétel. potja alapjá tulajdoképpe a feti határérték q. hatváyát véve, ( ) q x x q lim = lim x + (a x ) q x + a x = lim x 0+ xp log c x = 0 (p, c > 0, c ). Bizoyítás. Ha x 0+, akkor x p 0+ is teljesül. Felhaszálva 2.-t és a 4.9. Tétel. potját, kapjuk: lim x 0+ (xp ) xp =. Ismét alkalmazva a 4.9. Tétel. potját és a log c függvéy folytoosságát, lim log c(x p ) xp = lim x 0+ x 0+ xp log c x p = lim p x 0+ xp log c x = log c = 0. Ie p-vel osztva kapjuk a kívát egyelőséget. 6. lim x + lim x ( + x) x = e, ( + x) x = e. Bizoyítás. A 3.9. fejezet 9. potjáak bizoyításába meggodoltak szerit következik. 7. lim ( + t) t = e. t 0 Bizoyítás. Legye t 0 tetszőleges sorozat. Ekkor az ( t ) sorozat vagy + -hez tart, vagy -hez, vagy két olya részsorozatból áll össze, melyek egyike + -hez, a másik -hez tart. A 6. pot alapjá ezért és ezt kellett megmutati. ( + t ) t = ( + t ) t e, 8. log lim c ( + t) = t 0 t l c (c > 0, c ). Bizoyítás. Mivel log c folytoos, ezért alkalmazva a 4.9. Tétel. potját és a feti 7. határértéket: lim t 0 log c( + t) t log = lim c ( + t) = log t 0 t c e = l c. 9. log lim c x log c a = x a x a a l c (a, c > 0, c ).

76 70 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA Bizoyítás. Világos, hogy x a x a 0. A 4.9. Tétel 2. potja és a feti 8. határérték alapjá Ebből a-val osztva adódik az állítás. log lim c ( + x a ) x a x a = lim a log c x log c a = x a x a l c. 0. c x lim = l c (c > 0, c ). x 0 x Bizoyítás. Világos, hogy x 0 c x 0. A 4.9. Tétel 2. potja és a feti 8. határérték alapjá Ebből reciprokot véve adódik az állítás. log lim c ( + c x ) x x 0 c x = lim x 0 c x = l c.. c x c a lim x a x a = ca l c (c > 0, c ). Bizoyítás. Világos, hogy x a x a 0. A 4.9. Tétel 2. potja és a 0. határérték alapjá Ebből c a -al szorozva adódik az állítás. c x a lim = lim x a x a x a c a cx c a = l c. x a 2. si x lim x 0 x = 4.6. ábra.

77 4.7. NEVEZETES FÜGGVÉNYHATÁRÉRTÉKEK 7 Bizoyítás. A 4.6. ábra alapjá meggodolható, hogy Ebből si x < x < ta x, ha 0 < x < π 2. cos x < si x x < adódik, és felhaszálva a cos függvéy 0 potbeli folytoosságát, kapjuk, hogy si x lim x 0+ x =. A egyelőség alapjá is igaz, így az állítást bizoyítottuk. si x x = si( x) x si x lim x 0 x = Állítás. Legye f : R R, a D(f) és tegyük fel, hogy lim a f =. Tegyük fel továbbá, hogy Ekkor lim x a g(x) (f(x) ) =: b. e b, b R; lim f g = lim exp = 0, b = ; a b +, b = +. Bizoyítás. Tegyük fel először, hogy a-ak létezik olya K(a) köryezete, hogy f(x), x K(a). Világos, hogy lim f = miatt K(a)-t úgy is megválaszthatjuk, hogy ott f > 0. Ekkor a f(x) g(x) = e g(x) l f(x) l f(x) g(x) (f(x) ) = e f(x), x K(a) A 8. evezetes határérték alapjá l( + t) lim =. t 0 t Alkalmazva az f(x) belső függvéyel való helyettesítést (ez megtehető, mivel f(x), x K(a), ld. a 4.9. Tétel 2. potja) kapjuk, hogy Mivel lim x a g(x) (f(x) ) = b, ezért lim x a lim x a f(x)g(x) = lim l f(x) f(x) =. e g(x) (f(x) ) l f(x) f(x) x a = lim y b e y. Másrészt, ha f az a-hoz tetszőlegese közel felvesz -t, akkor szükségszerűe b = 0, f g pedig az a közelébe, így a-beli határértéke is = e 0.

78 72 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA Példa. Számítsuk ki az határértéket! A feti szereposztással: továbbá és Így lim x + ( ) x x c (c R) x + c f(x) := x c, g(x) := x, a := +, x + c lim f(x) = lim x c x + x + x + c = ( ) x c lim g(x) (f(x) ) = lim x x + x + x + c 2c x = lim = 2c =: b. x + x + c lim x + ( ) x x c = e 2c. x + c 4.8. Folytoos függvéyek tulajdoságai Ebbe az alfejezetbe itervallumo értelmezett folytoos függvéyek tulajdoságaival foglalkozuk, ezért az alábbiakba az f : I R jelölés alatt midig D(f) = I-t értük. Az első fotos eredméyt egyszerűbbe úgy fogalmazhatjuk meg, hogy egy itervallumo folytoos függvéy grafikojáak lerajzolásakor,,em emeljük fel a ceruzát Tétel (Bolzao-Darboux-tétel). Legye f : [a, b] R folytoos függvéy. Ekkor ha u R olya, hogy f(a) < u < f(b) (vagy f(b) < u < f(a)), akkor létezik c (a, b), melyre f(c) = u ábra. Bolzao-Darboux-tétel Bizoyítás. Legye például f(a) < u < f(b). Defiiáljuk a következő halmazt: H := {x [a, b] : f(x) < u}. Ekkor H, ugyais a H. Másrészt H felülről korlátos, mivel H [a, b], tehát b egy felső korlátja. Így a Felső határ axiómája miatt H-ak va legkisebb felső korlátja, sup H R. Legye c := sup H.

79 4.8. FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI 73 H [a, b] miatt c [a, b] teljesül. A szupremum tulajdoságai alapjá N eseté x H : c < x c. Az így kapott (x ) H sorozatra yilvá x c igaz. Alkalmazva f-re a 4.5. Átviteli elvet, kapjuk, hogy f(x ) f(c). Mivel f(x ) < u mide -re, ezért f(c) u. Idirekt tegyük fel, hogy f(c) < u. Jelölje ε := u f(c) 2 > 0, ekkor u > f(c) + ε. Az f függvéy c-beli folytoosságát kihaszálva, az ε > 0 számhoz δ > 0, hogy x (c δ, c + δ) [a, b] eseté f(x) (f(c) ε, f(c) + ε). Válasszuk egy x (c, c+δ) [a, b] számot! A c = sup H defiíció miatt x / H. Másrészt a fetiek alapjá (f(c) ε <) f(x) < f(c) + ε < u kellee teljesüljö, amiből viszot x H következik ez elletmodás. Eek a tételek egy fotos következméye, hogy itervallum folytoos függvéyel vett képe is itervallum Következméy. Ha f egy tetszőleges I itervallumo értelmezett folytoos függvéy, akkor f Darboux-tulajdoságú, azaz bármely J I itervallum eseté itervallum. f(j) := {f(x) : x J} Bizoyítás. Legye f egy I itervallumo értelmezett folytoos függvéy, és legye J I itervallum. Be kell láti, hogy f(j) is itervallum, vagyis az itervallum.27. Defiíciója szerit bármely y < u < y 2, y, y 2 f(j) eseté u f(j). Mivel y = f(a) és y 2 = f(b) valamely a, b J számokra, továbbá f : [a, b] R folytoos (hisze [a, b] J I), ezért alkalmazhatjuk a Bolzao-Darboux-tételt. Eek alapjá vagyis u f(j), és ezt akartuk beláti. c (a, b) J, melyre f(c) = u, Következméy (Bolzao-tétel). Ha f olya, itervallumo értelmezett folytoos függvéy, mely felvesz pozitív és egatív értéket is, akkor f-ek va gyöke (ullhelye) az itervallumba. Bizoyítás. A feltétel szerit létezek olya a, b I számok, melyekre f(a) < 0 < f(b). A Bolzao- Darboux-tétel alapjá c (a, b) (vagy c (b, a)), melyre f(c) = 0. Ha egy halmaz ifimuma/szupremuma eleme a halmazak, akkor azt modjuk, hogy ez a halmaz miimuma/maximuma. Hasolóa defiiálhatjuk egy függvéy miimumát/maximumát mit az értékkészletéek megfelelő elemét Defiíció. Legye f : R R tetszőleges függvéy. Ha létezik olya x 0 D(f), hogy akkor f(x 0 ) az f miimuma (ill. maximuma). x D(f) eseté f(x) f(x 0 ) (ill. f(x) f(x 0 )),

80 74 NEGYEDIK FEJEZET. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 4.8. ábra. Weierstrass-tétel Tétel (Weierstrass-tétel). Legye f : [a, b] R folytoos függvéy. Ekkor f-ek va miimuma és maximuma. Bizoyítás. A Következméy alapjá R(f) = f([a, b]) itervallum. Jelölje m := if R(f) és M := sup R(f). Azt kell beláti, hogy m, M R(f). Az ifimum tulajdoságai alapjá N eseté y R(f) : m y < m +. A kapott (y ) sorozatra y m teljesül. Mivel y R(f), N, ezért létezek x [a, b], N számok, melyekre f(x ) = y. Így f(x ) m. A kapott (x ) [a, b] sorozat korlátos, ezért a 3.3. Bolzao-Weierstrass-tétel szerit va koverges részsorozata, (x i ). Legye d := lim x i [a, b]. A 4.5. Átviteli elv alapjá az f függvéy d-beli folytoosságából adódik, hogy f(x i ) f(d) = m, mivel (f(x i )) részsorozata az m-hez tartó (f(x ))-ek. Ezzel beláttuk, hogy f(d) = m R(f). Az M esete ezzel aalóg módo godolható meg Következméy. Korlátos és zárt itervallumo értelmezett folytoos függvéy értékkészlete korlátos és zárt itervallum. Bizoyítás. Azoal adódik a Következméyből és a Weierstrass-tételből. A következő tételbe azt godoljuk meg, hogy milye tulajdoságú egy (itervallumo értelmezett) folytoos függvéy iverze Tétel (Folytoos függvéy iverze). Legye f egy I itervallumo értelmezett folytoos és ijektív függvéy. Ekkor f szigorúa mooto. Továbbá, az f iverz függvéy is itervallumo va értelmezve; szigorúa mooto ugyaúgy, mit f ; folytoos.