Határértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12

Átírás

1 Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma 9 6. Megoldott feladatok Rekurzív sorozatok határértéke További határértékek Feladatok 55

2 . Bevezetés A határérték fogalmával már a Számsorozatok és tulajdoságai című taayagba megismerkedtük. Azoba kokrét sorozatok eseté a fogalom em mutat utat a határérték meghatározására, haem ezt valamilye módo előre kellett megsejtei, és csak ezutá lehetett igazoli a defiíció alapjá, hogy a megsejtett szám valóba a sorozat határértéke vagy sem. A kérdés az, hogy ics-e eél hatékoyabb módszer a határértékek meghatározására. Ez a taayag kimodotta ezzel a kérdéssel foglalkozik. A sok tétel és módszer közöl kiemelkedik a határérték és a műveletek kapcsolatáról szóló tétel. Alkalmazásáak léyege, hogy a sorozatot úgy alakítjuk át, hogy képletébe ismert sorozatok szerepeljeek véges számú alapművelet között. A tétel arról szól, hogy a határátmeet és a műveletek elvégzéséek sorredje felcserélhető, ezért a határértéket egyszerűe úgy számítjuk ki, hogy a képletbe behelyettesítjük az ismert sorozatok helyére határértéküket és ezzel a képlettel számoljuk ki. Valójába maga a határértékszámítás elevezés is ebből a módszerből született. Természetese, előre be kell bizoyítai, hogy az ismert sorozatok határértékei azok, amik. Ismert sorozatok helyett ikább a evezetes sorozatok elevezést preferáljuk. A kokrét feladatok előtt a evezetes sorozatokkal foguk foglalkozi. Már rögtö bebizoyítuk egy agyo fotos tételt a határértékek meghatározására, a Redőr-elvet. Ez egy ügyes módszer, ami mutatja, hogy ha jól tudjuk megbecsüli a sorozatot, akkor sok számolást tuduk vele megspóroli. Ezekívül sor kerül a agyo fotos e szám bevezetésére, bár fotossága megértéséhez differeciálszámítás szükséges. Ezutá ikább klasszikus feladatokkal foglalkozuk, olyaokkal amelyek feladatcsoportokba sorolhatók, megoldási módszerük egy csoporto belül egységes, ezért jobba kedvelik és ezt oktatják mideütt. Ezek a példák jobba begyakorolhatók, így fotosak tartottuk sok példá keresztül bemutati a fogásokat. Mide egyes megoldást kidolgoztuk és a számításokat részleteztük. Rekurzív sorozatok határértékével is foglalkozuk. Ezt a témát már em lehet egy témát elég jól begyakoroli, mert itt sok eltérő összefüggés képzelhető el. A taayag végé érdekesebb példákkal foglalkozuk. Olyaok, ahol a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségét em tudjuk közvetleül alkalmazi. Azoba itt olya eredméyeket kapuk, amelyek a sorok elméletébe fotos szerephez jutak. 2

3 2. Segédállítások Mielőtt elkezdjük az eredméyeket igazoli és kokrét feladatokat megoldai, rögtö az elejé szereték bemutati éháy egyszerű állítást, amelyek megértése külööse agy ehézséget em okoz, és mégis leegyszerűsítik több fotosabb eredméy bizoyítása. Kezdjük azzal, hogy ha egy koverges sorozat mide eleméhez hozzáaduk egy kostas számot, vagy megszorozzuk egy kostas számmal, akkor a határértékével és ugyaazt kell tei. Ezt el is várjuk, hisze ha egy sorozatot ugyaazzal a számmal eltoljuk vagy yújtjuk, akkor szemléletese látjuk, hogy határértékével és ugyaaz törtéik.. Tétel. Legye a egy koverges sorozat, illetve a és c két valós szám úgy, hogy lim a = a. Ekkor az a + c és az ca sorozatok kovergesek, illetve a) lim a + c) = a + c, b) lim ca ) = ca. Bizoyítás. Emlékezzük, hogy a defiíció szerit az a sorozat tart az a számhoz, ha ε > 0-hoz 0 N úgy, hogy ha > 0, akkor a a < ε. a) A határérték defiíciójából azoal következik, mert a + c a + c) = a a. b) Az állítás yilvávaló c = 0 eseté. Legye c 0 és ε > 0 tetszőleges. Mivel a a, így az ε c pozitív számhoz va olya 0 N küszöbidex, hogy a a < ε c, ha > 0. Ekkor ca ca = c a a < ε. Így a határérték defiíciója alapjá igazoltuk az állítást. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Hasoló állítás modható ki tágabb értelembe vett kovergecia eseté, azaz amikor a sorozat végtelehez vagy míusz végtelehez tart. 3

4 2. Tétel. Legye a egy végtelehez tartó sorozat, illetve c egy em ulla valós szám. Ekkor ha c > 0, a) lim a + c) =, b) lim ca ) = ha c < 0. Másrészt, ha az a sorozat míusz végtelehez tart, akkor ha c > 0, c) lim a + c) =, d) lim ca ) = ha c < 0. Bizoyítás. Emlékezzük, hogy a defiíció szerit az a sorozat tart végtelehez, ha k R-hez 0 N, hogy ha > 0, akkor a > k. Továbbá, az a sorozat tart míusz végtelehez, ha k R-hez 0 N, hogy ha > 0, akkor a < k. Vegyük észre, hogy ha a feti defiíciókba k helyett k c értéket íruk, akkor rögtö megkapjuk az a) és c) állítást. Hasolóa ha a feti defiíciókba k helyett k c értéket íruk ha c > 0, illetve k értéket íruk ha c < 0, akkor c rögtö megkapjuk a b) és d) állítást. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Most a határértékek és az egyelőtleségek közötti kapcsolato a sor. Igazolható, hogy ha legfeljebb véges sok elemtől eltekitve egy koverges sorozat általáos tagja kisebb vagy egyelő, mit egy másik koverges sorozat általáos tagja, akkor az első sorozat határértéke kisebb vagy egyelő, mit a második sorozat határértéke. 3. Tétel. Legye a és b két olya koverges számsorozat, amelyre létezik egy 0 N, hogy a b mide > 0 eseté. Ekkor Bizoyítás. Jelölje lim a lim b. a := lim a és b := lim b. Idirekt módo tegyük fel, hogy a > b. Legye ε := a b 2, azaz b + ε = a ε teljesül. Mivel a a így N, hogy a a < ε, ha >. 4

5 Hasolóa b b, így 2 N, hogy b a < ε, ha > 2. Ezért mide > max{ 0,, 2 } eseté b < b + ε = a ε < a. Ez utóbbi elletmod aak a feltételek, hogy a b mide > 0 eseté. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Az előző állításáak va megfelelője tágabb értelembe vett határérték eseté. Ez úgy szól, hogy ha legfeljebb véges sok elemtől eltekitve egy végtelehez tartó sorozat általáos tagja kisebb vagy egyelő, mit egy másik sorozat általáos tagja, akkor a másik sorozat is tart a végtelehez. Hasolóa, ha egy míusz végtelehez tartó sorozat általáos tagja agyobb vagy egyelő, mit egy másik sorozat általáos tagja, akkor a másik sorozat is tart a míusz végtelehez. Ezt modja ki a következő tétel. 4. Tétel. Legye a és b két olya számsorozat, amelyre létezik egy 0 N, hogy a b mide > 0 eseté. Ekkor a) ha lim a =, akkor lim b =, b) ha lim b =, akkor lim a =. Bizoyítás. Csak az első állítást bizoyítjuk, a második hasolóképpe igazolható. Mivel a, így k R-hez N, hogy ha >, akkor a > k. Legye 2 := max{ 0, }. Így, b a > k mide > 2, ami a defiíció alapjá a b jeleti. Ezzel a tétel bizoyítását igazoltuk. A következő állítás azért kapta a Redőr-elv elevezést, mert szemléletese a következő módo lehet kimodai: ha két sorozat két redőr) közrefog egy harmadikat a gyaúsított) és együtt tartaak valahova a kapitáyságra), akkor a harmadik sorozat is ugyaoda kell tartso a két redőr beviszi a gyaúsítottat a kapitáyságra). 5

6 5. Tétel Redőr-elv). Legye a, b és c három valós számsorozat, illetve c R. Ha az a és b sorozat koverges, a c, b c és va olya 0 N úgy, hogy a c b mide > 0 eseté, akkor a c sorozat is koverges és c c. Bizoyítás. Legye ε > 0 tetszőleges. Mivel a c, így Hasolóa b c, így N, hogy a c < ε, ha >. 2 N, hogy b c < ε, ha > 2. Jelölje 3 := max{ 0,, 2 }. Ekkor > 3 eseté c ε < a c b < c + ε, azaz c c < ε. Így a határérték defiíciójából következik az állítás. Végül szeretém újra kimodai három állítást, amelyek szité jól szolgalatot teszek a további eredméyek igazolásába. A Valós függvéyek című taayagba foglalkozuk éháy evezetes egyelőtleséggel, mit a Beroulli-féle, illetve a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség. A Biomiális tételt már középiskolai taulmáyaikból is ismerjük, de a Valós számok című taayagba igazoltuk. A következőbe összefoglaljuk midhárom állítást. Beroulli-féle egyelőtleség: Legye x egy valós szám és N. Ekkor + x) + x és az egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha = vagy x = 0. Számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség: Legye N és x,..., x pozitív valós számok. Ekkor x... x x + + x. Továbbá az egyelőség akkor és csak akkor áll fe, ha a szóba forgó számok egyelőek. Biomiális tétel: Legye ) a, b két valós szám és egy pozitív egész szám.! Jelölje még := mide k = 0,,... eseté. Ekkor k k)! k! ) a + b) = a k b k. k k=0 6

7 3. Nevezetes sorozatok Középiskolai taulmáyaikba alapvetőe két sorozattípussal találkoztuk: a számtai és a mértai sorozattal. Taayagukba azokat a sorozatokat tartjuk majd evezetesek, amelyekből az itt szereplő legtöbb sorozat épül. Ezért fotos foglalkozi a evezetes sorozatokkal és meghatározi a határértéküket akár tágabb értelembe is. Eek tudásával tuduk majd összetett képlettel redelkező sorozatok határértékét kiszámoli. A evezetes sorozatok vizsgálatát az a := sorozattal és reciprokával kezdjük. 6. Tétel. Legye α egy tetszőleges pozitív valós szám. Ekkor α a := α 0, és b := α. Bizoyítás. A határérték defiíciója alapjá fogjuk igazoli, hogy a 0. Legye ε > 0 egy tetszőleges szám. Ekkor Ekkor va 0 < ε α > α ε 0 := max {[ ε > ) ] } α, ε ) α. ε-tól függő küszöbidex, azaz az a sorozat koverges és határértéke 0. A b sorozat eseté legye k > 0 egy tetszőleges szám. Ekkor α > k > k α. Így sikerült mide k > 0-hoz egy 0 := max {[ ] } k α, küszöbidexet találi, hogy a > k mide > 0 eseté. Ezért a b sorozat tart végtelehez. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. A feti állítással azt is igazoltuk, hogy 0, 0, 2 0,

8 ugyaígy 0, 3 0, 4 0,... A feti sorozatok reciprokai pedig a végtelehez tartaak:, 2, 3,... és, 3 4,,... A következő evezetes sorozat a mértai sorozat. 7. Tétel. A mértai sorozat kovergeciájára voatkozóa a következő esetek érvéyesek: q ha q >, ha q =, 0 ha q <, diverges és korlátos ha q =, diverges ha q <. Bizoyítás. Nézzük át egyekét a következő eseteket. Legye q >. Ekkor va olya x > 0 szám, hogy q = + x teljesül. A Beroulli-féle egyelőtleség szerit q = + x) + x > x, hisze egy végtelehez tartó sorozat pozitív kostas-szorosa is végtelehez tart lasd a 2. Tétel). Így a 4. Tételből következik, hogy q. Ha q = vagy q = 0, akkor az állítás yilvávaló, hisze ekkor a sorozat álladó értékeket vesz fel. Legye 0 < q <. Ekkor > és így va olya x > 0, hogy q = + x. A Beroulli-féle egyelőtleség szerit q ) = + x) + x > x. q 8

9 Így q < x azaz 0 x < q < x 0, hisze a ullához tartó sorozatok kostas szorosa is ullához tartaak lasd az. Tétel). Így a Redőr-elvből következik, hogy q 0. Ha q =, akkor a Számsorozatok és tulajdoságai című taayagból tudjuk, hogy az a := ) sorozatak két torlódási potja va, az és a, azaz diverges. Másrészt korlátos, mert csak ezt a két értéket veszi fel. Legye q <. Ekkor q 2 >, így a már igazolt első eset szerit q 2. Botsuk fel a q sorozatot páros és páratla idexű részsorozatokra. A páros idexű részsorozata és a páratla idexű részsorozata b 2 = q 2, b 2 = q 2 = q q2, hisze egy végtelehez tartó sorozat egatív kostas-szorosa míusz végtelehez tart lasd a 2. Tétel). Mivel a páros és páratla idexű részsorozatok máshova tartaak, ezért a sorozat diverges. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Ebbe a részbe még két evezetes sorozatról lesz szó. Láti fogjuk, hogy az a, ahol a > 0 és az sorozatok -hez tartaak. 8. Tétel. Legye a egy tetszőleges pozitív szám. Ekkor lim a =. Bizoyítás. Három esetet külöböztetük meg: Legye a =. Ekkor =, azaz a sorozat -hez tart. 9

10 Legye a >. Ekkor a >, és így felírható a = + x alakba, ahol x > 0. A Beroulli-féle egyelőtleség szerit Ekkor az. Tétel szerit a = + x ) + x azaz x a. < a = + x + a Ezért a Redőr-elvből következik, hogy a.. ) Legye a <. Ekkor >. Az előző esetbe alkalmazott módszerből potosabba az ) egyelőtleségből) következik, a hogy < a + a. Ebből egyszerű átalakítás utá az. Tétel szerit > a > + a = a + > a a. Ezért a Redőr-elvből következik, hogy a. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Az előző állítás a következő módo általáosítható. 9. Tétel. Legye a egy pozitív számokból álló sorozat, amely koverges és határértéke egy pozitív szám. Ekkor lim a =. Bizoyítás. Jelölje a az a sorozat határértékét. Legye ε = a 2. Ekkor a határérték defiíciója szerit 0 N, hogy a a < ε = a 2, ha > 0. 0

11 Azoba a a < a = 2 és így az előző tétel miatt ha > 0, akkor a 2 < a < 3a 2, a 2 < a < 3a 2. Így a Redőr-elv szerit igaz a tétel állítása. A következő evezetes sorozatot az alábbi állítás adja. 0. Tétel. lim =. Bizoyítás. Mivel >, így felírható = + x alakba, ahol x > 0, ha >. A Biomiális tétel szerit ) = + x ) = x k ) > x 2 k 2, k=0 hisze a feti összeg mide tagja pozitív, ezért úgy becsüljük alulról, hogy egyetle egy tagját tartjuk meg, a k = 2-re voatkozó tagot. Ezért x < Azoba köye igazolható, hogy ha > 2. Ekkor 0 < x < 2. 2 < 4, 4 = 2 0, hisze a 6. Tételből tudjuk, hogy a evezetes sorozat 0. Így a Redőrelvből következik, hogy x 0, amiből az. Tétel alapjá azt kapjuk, hogy Ezzel az állítást igazoltuk. = + x

12 4. A határátmeet és a műveletek Elérkeztük ahhoz az eredméyhez, ami a határértékszámítás alapja. Eek léyege hogy ha egy sorozat előáll ismert koverges sorozatokból véges sok számú alapművelet segítségével, akkor a sorozat határértéke kiszámolható a képletbe szereplő sorozatok határértékéek behelyettesítésével. Nézzük tehát mit állít a határátmeet és a műveletek kapcsolatáról szóló tétel.. Tétel A határátmeet és a műveletek felcserélhetősége). Legye a és b két koverges valós számsorozat, valamit lim a = a és lim b = b. Ekkor az a + b, a b, a b sorozat koverges, valamit ha b 0 a N) és b 0, akkor az sorozat szité koverges és b a) b) c) d) lim a + b ) = a + b, lim a b ) = a b, lim a b = ab, a lim = a b b. Bizoyítás. A tétel igazolásához a határérték defiícióját fogjuk alkalmazi. a) Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor a a = N, hogy a a < ε 2, ha >, és b b = 2 N, hogy b b < ε 2, ha > 2. Ebből > 0 := max{, 2 } eseté a + b a + b) = a a + b b a a + b b < ε 2 + ε 2 = ε teljesül, azaz az a + b sorozat koverges és a + b a + b. 2

13 b) Rögtö következik az előző potba szerepló állításból, hisze az. Tétel szerit b b és így a b = a + b ) a + b) = a b. c) Az a sorozat korlátos, mert koverges. Ezért K > 0, hogy a K mide N eseté. Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor és a a = N, hogy a a < ε 2 b + ), ha >, b b = 2 N, hogy b b < ε 2K, ha > 2. Ebből > 0 := max{, 2 } eseté a b ab = a b a b + a b ab a b b + b a a < < K ε 2K + b ε 2 b + ) < ε 2 + ε 2 = ε teljesül, azaz az a b sorozat koverges és a b ab. d) A b b 0 feltételből következik, hogy az sorozat korlátos. b Valóba, az. Tétel szerit b b, azaz b b > legfeljebb véges sok 2 sorozatbeli elemtől eltekitve. Azoba b b > = 2 b b > = 2 b < 2 b, ami azt jeleti, hogy az sorozat korlátos. Ezért b K > 0, hogy b Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor K mide N eseté. a a = N, hogy a a < ε 2K, ha >, 3

14 és b b = 2 N, hogy b b < ε b 2K a + ), ha > 2. Ebből > 0 := max{, 2 } eseté a a b b = a b ab b b = a b ab + ab ab b b a a + a b ) b < b b ε < K 2K + a ) ε b < ε b 2K a + ) 2 + ε 2 = ε a teljesül, azaz az sorozat koverges és a a b b. b Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Azt igazoltuk, hogy két koverges sorozat összegéek határértéke a két határérték összege, azaz lim a + b ) = lim a + lim b, és ez a többi alapműveletre is igaz a ullával való osztástól eltekitve. Ezért az előző tétel úgy is fogalmazhatjuk rövide, hogy a műveletek és a határátmeet elvégzéséek sorredje felcserélhető. Fotos még megjegyezi, hogy bár a tétel két sorozattal végzet műveletről szól, teljes idukcióval em ehéz igazoli, hogy a tétel is alkalmazható véges számú sorozatot és vegyes műveleteket tartalmazó képletek eseté. Lássuk egy példát! A Számsorozatok és tulajdoságai című taayagukba vizsgáltuk az a := 2 + sorozatot kovergecia szempotjából. Ott először azt kellett sejteük, hogy a sorozat 2-höz tart és utáa ezt igazoli a defiíció alapjá. Erre már ics szükségük, hisze egy egyszerű átalakítással a evezetes sorozatok és az előző tétel alkalmazásával ki tudjuk számoli a keresett határértéket. Valóba a = 2 + = = 2 {}}{ + }{{} = 2.

15 Nagyo fotos tudi, hogy a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségéről szóló tétel csak meghatározott számú sorozat eseté alkalmazható. Például azt godolák, hogy az a := }{{} -szer sorozat tart a ullához, hisze olya sorozatokat aduk össze, amelyek tartaak a ullához. Azoba az előző sorozat mide eleméek értéke. Mi törtéik, ha a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségéről szóló tétel egyik sorozata tart végtelehez. A választ a következő tétel adja. 2. Tétel A végtele határérték és műveletek kapcsolata). Legye a és b két számsorozat, illetve b R. Ha lim a = és lim b = b. akkor az a + b, a b, a b sorozat, valamit ha b 0 N) és a b 0, akkor az sorozat koverges tágabb értelembe és b a) b) c) d) lim a + b ) =, lim a b ) =, lim a b = a lim = b ha b > 0, ha b < 0, ha b > 0, ha b < 0. Bizoyítás. a) A b sorozat korlátos, mert koverges, ezért k, k 2 R, hogy k < b < k 2 mide N eseté. Legye k > 0 tetszőleges. Ekkor a = 0 N, hogy a > k k, ha > 0. Mivel a + b > k k + k = k, így a végtele, mit határérték defiíciója értelmébe a + b. 5

16 b) Az előző pot állításából következik, hisze a b sorozat koverges és a b = a + b ). c) Igazoljuk először a b > 0 esetet! b b > 0 = N, hogy b > b 2, ha >. Legye k > 0 tetszőleges. Ekkor a = 2 N, hogy a > 2k b, ha > 2. Ezért a b > 2k b b 2 = k, ha > 0 := max{, 2 }, így a végtele, mit határérték defiíciója értelmébe a b. A b < 0 esetet hasolóa igazoljuk: b b < 0 = N, hogy b < b 2, ha >. Ebből b > b 2 > 0 következik, ha >. Legye k > 0 tetszőleges. Ekkor Ezért a = 2 N, hogy a > 2k b, ha > 2. a b = a b ) > 2k b b 2 = k, ha > 0 := max{, 2 }, azaz a b < k, ha > 0, így a míusz végtele, mit határérték defiíciója értelmébe a b. d) Azoal következik az előző pot állításából, hisze az b sorozat koverges és a b = a b. Ezzel a tételt igazoltuk. Az előző bizoyításból látható, hogy az előző tétel a) és b) potjáak teljesüléséhez már elegedő b sorozat korlátossága. A. és a 2. Tétel mellett a következő állítás fotos szerepet játszik a határértékszámításba. Azt állítjuk, hogy a határátmeet és a gyökvoás szité felcserélhető. 6

17 3. Tétel. Legye a egy koverges sorozat, amely az a valós számhoz tart, valamit q 2 egy egész szám. Ekkor Ha q páratla szám, akkor a q a sorozat koverges és a q a számhoz tart. Ha q páros szám, illetve a 0 és a 0 mide N eseté, akkor a q a sorozat koverges és a q a számhoz tart Bizoyítás. A tétel bizoyítását több lépésbe végezzük. Tegyük fel, hogy a = 0. Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor a 0 = 0 N, hogy a < ε q, ha > 0, amiből következik, hogy q a 0 = q a < ε, azaz q a 0. Tegyük fel, hogy a > 0. Ekkor N, hogy a > 0, ha >. Alkalmazzuk az x q y q = x y) y q + xy q x q 2 y + x q ) evezetes azoosságot! Tegyük fel, hogy x, y > 0 és vegyük abszolút értéket az azoosság midkét oldalá! Ekkor x q y q x y y q, hisze jobboldal értéke csökke, ha az összegből csak az y q tagot meghagyjuk. Ha > és így a > 0, akkor írhatjuk az x = q a és az y = q a értékeket a feti egyelőtleségbe. Ekkor egy egyszerű átalakítás utá azt kapjuk, hogy Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor q a q a a q a a a. a a = 2 N, hogy a a < és így ha > 0 := max{, 2 }, akkor q a a ε, ha > 2, q a q a a q a a a < Ezért a határérték defiíciója szerit q a q a. 7 a q a q a a ε = ε.

18 Az az eset marad még, amikor a < 0 és q egy páratla szám. Ekkor állításuk azoal következik a tulajdoságból. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. q x = q x x R) Végül szeretém megjegyezi, hogy az előző tételbe szereplő jeleség, miszerit a határátmeet és egy leképezés eredméye felcserélhető, gyakra fordul elő a matematikába. Ez a jeleség vezet miket a függvéyek folytoosságáak fogalmához, amellyel egy későbbi taayagba foglalkozuk majd. 8

19 5. Az e szám fogalma Most elérkeztük egy fotos matematikai álladó bevezetéséhez, az e szám fogalmához. Ez a szám, amelyet Euler óta jelölük így, a matematikába külööse fotos szerepet játszik. Az e szám bevezetéséhez szükségük va a következő eredméyre. 4. Tétel. Az a := + ) sorozat koverges. Bizoyítás. A Számsorozatok és tulajdoságai című taayagba azt taultuk, hogy ha egy sorozat mooto övekvő és felülről korlátos, akkor koverges. Ezt fogjuk tehát igazoli a szóba forgó sorozat eseté. A mootoitás igazolására vegyük az x := +, x 2 := +,..., x := + és x + := + darab számot és alkalmazzuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget. Mivel a számok szorzata + ) és összegük + 2, így a következő egyelőtleséget kapjuk. + + ) < = + +. Miutá az + -edik hatváyra emeljük a feti egyelőtleséget éppe azt kapjuk, hogy a < a +, ami azt jeleti, hogy a sorozatuk szigorúa mooto övekvő. A korlátosság igazolására vegyük az x := +, x 2 := +,..., x := + és x + := 2, x +2 := 2 +2 darab számot és alkalmazzuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget. Mivel a számok szorzata + és összegük 4 ) + 2, így a következő egyelőtleséget kapjuk ) < =. Miutá az + 2-edik hatváyra emeljük a feti egyelőtleséget és megszorozzuk 4-gyel, éppe azt kapjuk, hogy a < 4, ami azt jeleti, hogy a sorozatuk felülről korlátos. Ezzel az állítást igazoltuk. 9

20 Az előbbi tétel azt garatálja, hogy az a := + ) sorozatak va határértéke, hisze a Számsorozatok és tulajdoságai című taayagba azt taultuk, hogy mide mooto, korlátos sorozat koverges. Egy későbbi taayagba azt fogjuk igazoli, hogy ez a határérték egy irracioális szám, azaz em tudjuk potosa megadi tizedes tört alakba. Azoba ez a szám agyo fotos szerepet játszik a matematikai aalízisbe, ezért érdemes valamilye módo jelöli, ahogya ezt a π számmal is tesszük.. Defiíció. Az a := + ) sorozat határértékét e-vel jelöljük. Nagyo fotos megjegyezi, hogy az előbb mi em azt igazoltuk, hogy az a := + ) sorozat tart az e számhoz, haem az, hogy ez a sorozat koverges és e-vel jelöltük a létező határértékét. A két dolog között agy külöbség va. A későbbi taulmáyaik sorá láti fogjuk, hogy az e szám egy agyo fotos matematikai álladó. Speciális tulajdoságai miatt a logaritmus természetes alapjáak választották: l x := log e x x > 0). Az e szám értéke 29 jegyre megadva közelítőleg: e 2, habár legtöbbször elegedő az e 2, 7 közelítés. Az e szám bevezetésével egy újabb evezetes sorozathoz jutuk. 5. Tétel. Mide x valós szám eseté lim + x ) = e x. Bizoyítás. A tétel bizoyítása elég összetett, úgy törtéik, hogy az állítás külö az egyes számhalmazoko lévő x értékeire bizoyítjuk. A bizoyításba felhaszáljuk a határátmeet és a műveletek, valamit a határátmeet és a gyökvoás felcserélhetőségről szóló. és 3. Tételt. x = 0-ra igaz, mert + 0 ) = = e 0 mide N eseté. x = eseté potosa az e szám fogalmát kapjuk. 20

21 Legye x = p egy egyél agyobb pozitív egész szám. Ekkor + p = ) ) + p = = + p + p ) + p + p 2 ) ) + p p 3 ) +. 2) A feti szorzat potosa p darab téyezőt tartalmaz, midegyikük külö-külö a következőképpe alakítható át ) ) + k = + = + k + k = + ) +k + + k ahol k =, 2,..., p. Az első téyező az a = ) k, + k + ) sorozat részsorozata, ezért ő is e-hez tart. A második téyezője a. Tétel szerit -hez tart, mert felírható k darab -hez tartó sorozat reciprokakét. Ezért 2)-be p darab e-hez tartó téyező va, amelyek szorzata a. Tétel szerit e p -hez tart. Legye x = p egy pozitív racioális szám, azaz p és q pozitív egészek q és q. Ekkor + p ) q = + p ) = q + p ) q q e q q p = e p q, hisze a gyökbe szereplő sorozat az a = + p ) sorozat részsorozata, ezért ő is e p -hez tart. Így a q-adik gyökkel együtt a 3. Tétel szerit a sorozatuk e p q -hez tart. Legye x egy pozitív valós szám. Először igazoli fogjuk, hogy az a := + x ) sorozat mooto övekvő és felülről korlátos. A mootoitás igazolására vegyük az x := + x, x 2 := + x,..., x := + x és x + := + darab számot és alkalmazzuk a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleséget. Mivel a számok szorzata + ) x és összegük 2

22 + x +, így a következő egyelőtleséget kapjuk. + x ) + x + < + + = + x +. Miutá az + -edik hatváyra emeljük a feti egyelőtleséget éppe azt kapjuk, hogy a < a +, ami azt jeleti, hogy a sorozatuk szigorúa mooto övekvő. A sorozat felülről korlátos, mert ha vesszük egy p > x pozitív egész számot, akkor + x ) < + p e ) p, azaz a < e p. Mivel az a sorozat mooto és korlátos, ezért koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Azt fogjuk igazoli, hogy a = e x. A Válós függvéyek taayagba foglalkoztuk a valós kitevős hatváyokkal. Az ott adott értelmezés szerit e x := sup{e r : r x és r Q}. Legye r egy racioális számokból álló sorozat, amire teljesül. Ekkor e x e r e x+ x r x + = ex e e x, }{{} amiből a Redőr-elvből következik, hogy e r e x. Emiatt e x = if{e r : r x és r Q}. Ez azért fotos tudi, mert ha veszük r < x < r 2 két tetszőleges racioális számot, akkor az e r + r ) < a < + r 2 ) e r 2 összefüggésből és a 3. Tételből következik, hogy e r a e r 2. Ezért e x = sup{e r : r x és r Q} a if{e r : r x és r Q} = e x, amiből a = e x következik. 22

23 Legye x = y egy egatív valós szám, azaz y > 0. Ekkor + x ) = y ) ) ) y [ = = = + y ) ]. y y Jelöljö p egy az y-ál agyobb egész számot. Ekkor + y ) < + y ) < + y ). y p A Redőr-elvből következik, hogy az egyelőtleség köztes sorozata e y - hoz tart. Ez azért va, mert a baloldal e y -hoz tart, de a jobboldal is, hisze az + y ) = + y ) p + y ) p p p p felírás első téyezője részsorozata az + ) y sorozatak, ha > p, és így e y -hoz tart. A másik téyezője -hez tart. Mide együttvéve + x ) [ = + y ) ] [e y ] = e y = e x. y Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Megmutatjuk az + x ) e x eredméyek egy pézügyi alkalmazását, amely egy kis betekitést eged az e szám gyakorlati alkalmazásba. Ha x 0 foritot évi p%-os kamatra helyezzük a bakba, akkor egy év utá x 0 + p ) 00 foritot kapuk vissza. Ha ezt havi kamatos kamattal számítjuk, akkor az összeg p ) 2 00 x forit lesz. Megpróbálhatjuk api kamatos kamattal számoli, vagy még jobba öveli a kamatfizetési gyakoriságot. Ha egy évbe belül egyeletese -szer fizetek kamatot, akkor az év végé x 0 + foritot kapuk vissza. Elég agy eseté az előbbi képlet helyet az x 0 e p 00 haszálhatjuk, ami olya, mit ha a kamatfizetés techikailag mide időpillaatba törtét vola. Ezért ezt folyamatos kamatozásak evezik. 23 p 00 )

24 6. Megoldott feladatok Most már elegedő ismeretekkel redelkezük ahhoz, hogy meg tudjuk oldai több határértékszámítási feladatot. Az alkalmazott fogások miél jobb elsajátítása érdekébe a feladatokat külöböző csoportokra fogjuk botai. Először megmutatjuk mit teszük, ha a sorozat két poliom háyadosából áll.. Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! a) a = , b) a = 2 3, c) a = , d) a 2 = , e) a = , f) a = Megoldás: Egy ilye típusú feladatot általáosa úgy oldjuk meg, hogy külö-külö kiemeljük a számlálóból és a evezőből az legagyobb kitevős hatváyát, és egymással elosztjuk. Ekkor a képletbe már csak az α 0 és α α > 0) evezetes sorozatok maradak lásd a 6. Tételt). Ezutá a határátmeet a. és a 2. Tételek segítségével köye elvégezhető. a) Kiemelük 5 -et. b) Kiemelük 3 -öt. a = = 5 }{{} + 3 }{{} 3 }{{} 5 ) =. ) a = 2 3 = }{{} 3 ) =. }{{} c) A képletbe szereplő két poliom fokszáma megegyezik. Midkettőből kiemelük 2 -et. 24

25 a = = = 2 {}}{ + 2 }{{} {}}{ = 2. Az alkalmazott módszerből azt az általáos következtetést tudjuk levoi, hogy ha a sorozat két azoos fokszámú poliom háyadosakét írható fel, akkor a sorozat határértéke a két poliom főegyütthatójáak háyadosa. d) A képlet számlálójába lévő poliom fokszáma kisebb mit a evezőjébe lévő poliomé. Ezért külö kiemelük a számlálóból 2 -et, a evezőből pedig 4 -et. a = = = 2 4 }{{} 2 + {}}{ }{{} {}}{ = 0. Az alkalmazott módszerből azt az általáos következtetést tudjuk levoi, hogy ha a sorozat két poliom háyadosakét írható fel és a számlálóba lévő poliom fokszáma kisebb mit a evezőé, akkor a sorozat határértéke ulla. e) A képlet számlálójába lévő poliom fokszáma agyobb mit a evezőjébe lévő poliomé. Ezért külö kiemelük a számlálóból 3 -öt, a evezőből pedig 2 -et. a = = = 2 {}}{ 3 5 }{{} 2 + }{{} + 2 }{{} 5 2 =. Az alkalmazott módszerből azt az általáos következtetést tudjuk levoi, hogy ha a sorozat két poliom háyadosakét írható fel és a számlálóba lévő poliom fokszáma agyobb mit a evezőé, akkor a sorozat határértéke vagy aszerit, hogy a két főegyüttható előjele megegyezik, vagy em egyezik meg. 25

26 f) Hozzuk közös evezőre a képletet és alkalmazzuk az előbb tault fogásokat! a = = 2 + )6 ) ) = 2 + )6 ) = = = 2 {}}{ }{{} {}}{ 2 2 }{{} 4 2 = 3. Néháy feladatba az előző fogásokat sokkal rugalmasabba haszálhatók, ha észrevesszük, hogy az egész kitevős hatváyok véges számú szorzás és háyadokból állak. Ezért a határátmeet és az egész kitevős hatváyozás felcserélhető. Így em szükséges a hatváyokat szétbotai a fogások alkalmazásához. Ez látható a következő példába. a := + )0 + 2 ) 8 = 0 0 ) = 0 ) 8 = + ) ) = {}}{ + ) {}}{ 0 ) 8 }{{} 8 = = + 0 =. A következő feladatcsoportba már a gyökvoás is szerepel. Például határozzuk meg az a = 2 + sorozat határértékét! Ebbe az esetbe a határátmeet és a gyökvoás felcserélhetőségről szóló 3. Tételt fogjuk alkalmazi. Érdemes mide egyes gyökbe kiemeli az legagyobb hatváyát és utáa ezeket kiemeli a gyökökből. A gyökvoás tulajdoságait haszáljuk ilyekor. Ezek megtalálhatók a Valós számok című taayagba. Kiemelés utá a gyökkifejezések tartai fogak egy em ulla számhoz, tehát csak a legvégé foglalkozuk velük újra. A gyökökö kívüli hatváyaira kell figyelük, és az előző feladatcsoportba alkalmazott fogásokkal folytati, azaz kiemeli az legagyobb kitevős hatváyát külö-külö a számlalóba és a evezőbe. 26

27 Nézzük hogya oldjuk meg az előbbi feladatot! ) a := = + 2 = = + = 2 + {}}{ = = 0. }{{} 2 Azoba e örüljük eyire korá az előbb felvázolt módszerek. Határozzuk meg vele a következő, az előző feladattól alig eltérő sorozat határértékét! a = = 2 + {}}{ = }{{} =? }{{} A 2. Tételbe ics olya eset, ami megmodja mi az a b sorozat határértéke, ha a és b 0. Nem véletleül va így, hisze ekkor semmit sem tuduk modai általáosa lásd a 8. Rész kritikus határértékről szóló szakaszát). Mit tuduk ekkor csiáli? Először végezzük el a következő átalakítást! a = = = = ) = ). + ) ) Ezzel azt írjuk el, hogy em marad kivoás a képletbe, amiből ullát kapuk, és így elkerüljük a 0-ból adódott problémát. Ezutá a már bemutatott módszerrel folytathatjuk tovább. a = ) = + ) ) 2 + ) = = }{{} 3 + ) + }{{} }{{} 4 + ) 0 + ) = 0. 27

28 2. Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! a) a := +, b) a 42 := + 2, c) a := , d) a := +, e) a := 2 + ) 2 +, f) a := Megoldás: A feladat megoldásába alkalmazzuk az előbb bemutatott módszert, valamit a evezetes azoosságokat a 2 b 2 = a b)a + b) és a 3 b 3 = a b)a 2 + ab + b 2 ). a) a = = = + 2 }{{} {}}{ +4 }{{} = 0 b) a = = = 2 {}}{ }{{} = 2 c) a = = = 3 = 4 }{{} {}}{ }{{} {}}{ }{{} = = 28

29 d) a = + = ) = + + = = 2 }{{} + }{{} = 0 e) ) ) a = 2 + = = = ) = + }{{} = 2 f) A evezetes azoosságok alkalmazásával a = ) ) ) ) = 2 3 = ) ) = 2 = 2 }{{} 3 ) {}}{ 3 {}}{ {}}{ }{{} 2 + }{{} 2 ) 2 {}}{ 3 A következő feladatcsoportba poliomok helyett már kitevős hatváyok szerepelek. Az itt alkalmazott módszerek hasolítaak az előzőekhez, két fotos külöbséggel. Az egyik az, hogy azt az kitevős hatváyt emelük ki a képletekből, ami a legagyobb abszolút értékű alappal redelkezik. A másik külöbség, hogy az átalakítások utá olya mértai sorozatok maradak a képletbe, amelyekről tudjuk a határértéküket. Ebbe a tekitetbe két fő eset va: q 0, ha q < és q, ha q >. 29

30 Nézzük meg hogya határozzuk meg a következő sorozat határértékét! { }}{ 3 a = ) = ) = ) 4) ) = ) 2, 4 }{{} hisze 3 ) 3 0 és 0, mert < 4) < és < 3 4 <. Fotos megjegyezi, hogy az ilye feladattípusak ics mide esetbe határértéke még tágabb értelembe sem, hisze például tudjuk, hogy az a = 2) sorozat diverges, de sem végtelehez, sem míusz végtelehez em tart. 3. Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! Megoldás: a) a := , b) a +3 := 3+ + ), c) a := 2 + ), d) a + := 9 + 2) 3. a) a = = = 5 }{{} 4 = 4) 5 {}}{ 3 5) ) }{{} 5 = b) a = 3+ + ) 5 + = ) = 3 }{{} 5 = 3 5) { }}){ 3 + 5) }{{} 0 3 = 0 30

31 c) 4 a = ) ) + = 2 ) = { }}) { = ) 0 = 3 2 }{{} d) a = ) ) 3 = 9 + 2) 3 + 2) ) + 3 = 2) = 9 + 2) + 3 = 2 ) 3 }{{} + 2 ) + 9 }{{} 0 + = 0 Most olya feladatokat olduk meg, ahol egy változójú poliomak vagy kitevős hatváyok összegéek veszük az -edik gyökét. Az a := sorozattal egy példát mutatuk az első esetről. Ebbe az esetbe támaszkoduk a 8. és a 0. Tételbe tault evezetes sorozatokba, evezetese a a > 0), és. A javasolt módszer léyege, hogy a gyökbe szereplő poliomot ügyese becsüljük egytagú poliomokkal alulról és felülről, és utáa alkalmazzuk a Redőr-elvet. Lássuk a kokrét lépéseket! Nem ehéz elkészítei a felső becslést. A poliomból elhagyjuk a egatív tagokat, és a femaradó pozitív tagokba szereplő kitevőket egyformára öveljük. A példába ez a következő módo törtéik < =

32 Az alsó becsléskor csak a legagyobb kitevővel redelkező pozitív tagot hagyjuk meg. Ha icseek egatív tagok, akkor már késze is vagyuk. Ellekező esetbe a egatív tagokat összevojuk úgy, hogy a kitevőit egyformára öveljük. Célszerű ezeket a kitevőket a femaradó pozitív tagba szereplő kitevő míusz egyre öveli, így kiemelés utá a kifejezés felírható egytagú poliom és egy elsőfokú poliom szorzatakét. Ez utóbbiról köyű megállapítai, hogy mikor agyobb vagy egyelő mit egy. A példába így járuk el: > > = = = 2 2 4) 2 2, ha 4, azaz 5. Ezutá már em ehéz a Redőr-elvet alkalmazi a evezetes sorozatok segítségével. 2 }{{} Ezért a. }{{} ) 2 = 2 2 < a < 3 3 = 3 }{{} }{{} ) 3. Több megjegyzésem is va az előző feladattal kapcsolatba. Az első az, hogy egy poliom -edik gyökét em feltétleül értelmezhető mide pozitív egész számra. Ha a poliom főegyütthatója egatív, akkor egy bizoyos érték utá csak egatív értékeket vesz fel. Ez godot jelet, ha páros szám, hisze ekkor em tudjuk a gyököt értelmezi. Ha a poliom főegyütthatója pozitív, akkor egy bizoyos érték utá csak pozitív értékeket vesz fel, és ettől az idextől idítjuk a sorozatot. Ezért csak olya feladatokat olduk meg, ahol a poliom főegyütthatója pozitív, és ebbe az esetbe az előbbi módszer haszálható. A másik megjegyzésem az, hogy az előző becslések sokféle módo elkészíthetők. Itt csak egy jól begyakorolható lehetőséget adtuk meg. A végeredméy mide esetbe lesz. Ez azoal következik egy másik megoldási módszerból, amely a 9. Tétele alapszik. A tétel azt állítja, hogy ha egy sorozat tart egy pozitív számhoz, akkor a sorozat -edik gyöke tart egyhez. Így az legagyobb hatváyáak kiemelésével a sorozat felírható az hatváyáak és egy pozitív számhoz tartó sorozat -edik gyökéek szorzatakét. Ez mide esetbe egyhez tart. A példák egy másik megoldása tehát a = = ) 3 }{{} }{{} 2>0 32

33 A másik idetartozó feladattípus az kitevős hatváyok összegéek -edik gyöke. Például, határozzuk meg az a := ) sorozat határértékét. A feladat megoldásához ajálott módszer em sokkal külöbözik a poliomokál részletese bemutatott módszertől. Lássuk ezt a feti példa megoldásá keresztül! ) < < = 5 5 Másrészt ) > = 2 ) = = 5 4 5) 5 2, ha 3, hisze egyszerű átalakítások utá azt kapjuk, hogy ) Ekkor a Redőr-elv miatt a 5, hisze ) = 2 }{{} 2 < a < 5 5 = }{{} Az előző feladat megoldása is leegyszerűsödik a 9. Tétel alkalmazásával. a = ) 3 ) = 5 3 ) ) } 5 {{ 5 5 } >0 hisze a gyökbe szereplő mértai sorozatok tartaak a ullához. Megjegyzem, hogy ha a gyökbe a legagyobb abszolút értékű alappal redelkező hatváy pozitív, akkor a feti módszer midig eredméyhez vezet, és az eredméy a szóba forgó alap értéke lesz. Ez látható az előző sorozat eseté, ahol 5 a legagyobb alapú hatváy és a sorozat határértéke 5. Ha a legagyobb abszolút értékű alappal redelkező hatváy egatív, akkor egy idex utá a hatváyok összege egatív, azaz ha páros szám, akkor em tudjuk a gyököt értelmezi. Ilye sorozat tehát em kerülhet szóba. 33 5,

34 Azoba előfordulhat, hogy a sorozatba a legagyobb abszolút értékű alapból va pozitív és egatív is, mégis a sorozat értelmezhető mide idex eseté. Ilye az a := ) sorozat. Ezekbe az esetekbe érdemes a sorozatot páros és páratla idexű részsorozatokra botai. Az előző sorozat esetébe b ) := a 2 = és b 2) := a 2 = Ezért a sorozat tart 2-höz. Ha ugyaezt az a := 2 + 2) sorozattal elvégezzük, akkor azt kapjuk, hogy b ) := a 2 = és b 2) := a 2 = 2 0 = 0. Ez pedig azt jeleti, hogy az előző sorozat diverges. Mi törtéik, ha olya sorozattal álluk szembe, ahol a gyökbe poliomok és kitevős hatváyok is szerepelek. Ekkor a 9. Tétele alapuló megoldási módszer ajálom, hisze érvéyes a következő állítás. 6. Tétel. Legye q < és α > 0 két valós szám. Ekkor az α q sorozat tart ullához. Bizoyítás. Az állítás yilvávaló, ha q = 0. hogy q 0. Azt fogjuk igazoli, hogy az A továbbiakba tegyük fel, a := α q sorozat tart ullához, amiből a tétel állítása következik. Először legye α = k egy pozitív egész szám. Az a sorozat alulról korlátos, hisze a 0 mide N eseté. Másrészt vegyük észre, hogy a + = q + ) k a. 3) Mivel + ) k, ezért 0 N, hogy < + ) k < q 34

35 mide > 0 eseté. Ekkor 3) miatt a + < a, azaz a sorozat szigorúa mooto csökkeő véges sok elem kivételével. Ezért a sorozat koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor 3) miatt a + }{{} a = q ) k + }{{ } a }{{} a és így a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségéről szóló. Tétel alapjá a = q a teljesül, amiből a = 0 következik. Ha α > 0 egy tetszőleges valós szám, akkor legye k α egy pozitív egész szám. Ekkor 0 < α q k q 0. Ezért a Redőr-elv miatt az a = α q sorozat ullához tart. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. A 9. és a 6. Tétel együttes alkalmazásával már meg tudjuk határozi az a := sorozat határértékét. Valóba a := { }} ) { = }{{ 7 } 5>0 4. Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! a) a := ), b) a := 4 2 3), c) a := , d) a := ) 2., A feladat megoldásába alkalmazzuk az előbb bemutatott mód- Megoldás: szereket. a) Mivel és ) < = ) = = = 4 2) 4 35

36 ha 3, ezért ) 4 = }{{} 4 < ) < 2 5 = 2 }{{} Ebből a Redőr-elv alapjá az következik, hogy ) ) 5. }{{} és így ) = ) =. b) Igaz, hogy 4 2 3) < = 2 4 és 4 2 3) = = ha 5, hisze ) = ) ) 4 2, 4 3 ) 4 5. Emiatt = 2 2 < 4 2 3) < 2 4 = }{{}}{{} Ebből a Redőr-elv alapjá az következik, hogy 4 2 3) 4. c) a := = 2 { }}{{ }}{ 2 2) ) }{{}}{{} 2 >0 36

37 d) Botsuk fel a sorozatot páros és páratla idexű részsorozatokra. b ) Ez pedig részsorotata a := a 2 = ) 2 = ) 2 sorozatak. Ezért b ) 3. Másrészt b 2) { }} ) { = }{{ 3 } 3>0 := a 2 = ) 2 = ) 2 Ez pedig részsorotata a sorozatak. Ezért b 2) 3. { }} ) { 3 2 = }{{ 3 } >0 Mivel a páros és páratla idexű részsorozat 3-hoz tart, így az a sorozat is 3-hoz tart. Elérkeztük az utolsó feladatcsoporthoz. Ez kapcsolódik az e szám fogalmához és a 5. Tételbe igazolt + x ) e x x R) evezetes határértékhez. Olya feladatokat foguk megoldai, ahol megfelelő átalakításokkal megtaláljuk a feti evezetes sorozatot a feladat képletébe. Például, az ) a := 2 sorozatot célszerű az alábbi módo átalakítai és ezzel a határértékét kiszámoli 37

38 ) = 2 [ = + 2 ) ] 3 ) = 2 ) ) [ e 3 2 e = 2 ] 3 2 = e Feladat. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét! a) ) 2 ) 2 a :=, b) a :=, c) a := ) ) 2, d) a 2 :=. + A feladat megoldásába alkalmazzuk az előbb bemutatott mód- Megoldás: szert. a) a = ) 2 = + 2 [ ) ] 2 = ) 2 [ ] = + 2 ) e 2 e 2 = e = b) a = ) 2 ) ) 2 = = ) + ) = ) e e 2 2 ) 2 2 = = 38

39 c) a = ) = ) + e 2 ) e =. A feladat a 9. Tétel segítségével is megoldható. Valóba a = és a gyökbe lévő sorozat részsorozata a b := 2 ) 2 ) sorozatak, ami e -hez tart. Ezért a gyökbe lévő sorozat is e -hez tart. Mivel e > 0 alkalmazható a 9. Tétel, tehát a. d) Vegyük észre, hogy Jelölje a = ) 2 = + b = [ ) ]. + ). + Az eddig alkalmazott módszerrel em ehéz igazoli, hogy b e 2. Ez azt jeleti, hogy va olya 0 N, hogy e 3 < b < e, ha > 0. Mivel a = b, így alkalmazhatjuk a Redőr-elvet és a mértai sorozatok határértékére voatkozó tételt: amiből következik, hogy a 0. 0 e 3 ) < a < e ) 0, 39

40 7. Rekurzív sorozatok határértéke A rekurzió olya összefüggés, amely megadja hogya kapható meg a sorozat -edik elemét bizoyos -él kisebb idexű sorozatbeli elemekből feltéve, hogy ismerük elég elemet a sorozat elejéről. Például az a :=, a + := + a ) 4) egy rekurzív módo megadott sorozat. Hogya tudák meghatározi egy ilye sorozat határértékét? Az ilye feladatokat általába úgy olduk meg, hogy előbb bebizoyítjuk a sorozat kovergeciáját. Ez többféle módo törtéhet, de gyakra azt igazoljuk, hogy a sorozat mooto és korlátos, amiből a kovergecia következik. Ebbe segítséget yújthat a teljes idukció módszer. Ezutá a sorozat még ismeretle határértékét a-val jelöljük, és a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségéről szóló. Tétel alapjá határátmeetet képezzük a rekurziós képlet midkét oldalá, amiből az a érték kiszámítható. Lássuk hogya alkalmazható midez a feti sorozat esetébe! A sorozat felülről korlátos és mide eleme kisebb mit 2. Ezt teljes idukcióval fogjuk igazoli. Az állítás = eseté igaz, hisze a = < 2. Tegyük fel, hogy az állítás valamely pozitív egész számra teljesül, azaz a < 2. Ekkor a + = + a < + 2 = 3 < 2. Tehát az állítás az + pozitív egész számra is teljesül. Ezért teljes idukció alapjá az állítás mide pozitív egész számra teljesül. A sorozat mooto övekvő, azaz mide pozitív egész számra igaz, hogy a + a 0. Ezt szité teljes idukcióval fogjuk igazoli. Az állítás = eseté igaz, hisze a 2 a = 2 > 0. 40

41 Tegyük fel, hogy az állítás valamely pozitív egész számra teljesül, azaz a + a 0. Ekkor a +2 a + = + a + + a = = + a + + a+ + + a + a ) + a+ + = + a = a + a + a+ + + a 0. Tehát az állítás az + pozitív egész számra is teljesül. Ezért teljes idukció alapjá az állítás mide pozitív egész számra teljesül. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor a + = + a, }{{}}{{} a a amiből a = + a következik. Az egyelet megoldása a = + a a 2 a = 0 a,2 = ± 5. 2 Mivel a > 0, ezért a 4) összefüggéssel megadott sorozat határértéke Vegyük észre, hogy az előző sorozat határértéke meggyezik a többször egymásba ágyazott képlet eredméyével! 6. Feladat. Határozzuk meg a következő rekurzív módo megadott sorozatok határértékét! a) a := 0, a + := 4 + a2 ), b) a := α, a + := k )a + α ) k a k c) a := 0, a + := 2 ). + a, α > 0, < k N), 4

42 Megoldás: a) A rekurziós képletből azoal látható, hogy a > 0, ha >. Ekkor a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség alkalmazásával a + = + a 2 a = a 4a 4a teljesül, amiből következik, hogy a sorozat mooto övekvő. Teljes idukcióval köye igazolható, hogy a sorozat felülről korlátos és a < 2 mide N eseté. Valóba az állítás = -re igaz, hisze a = 0. Tóvábba, ha feltételezzük, hogy valamely pozitív egész számra a < 2, akkor a + = 4 + a2 < 4 + 2) 2 = 2, azaz az állítás + -re is igaz. Ezért teljes idukció alapjá az állítás mide pozitív egész számra teljesül. Mivel a sorozat mooto övekvő és felülről korlátos, így koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor a + = }{{} 4 + a2, }{{} a a 2 amiből a = 4 + a2 következik. Az egyelet megoldása a =, ezért ez a 2 sorozat határértéke is. b) A sorozat alulról korlátos, hisze teljes idukcióval agyo köye igazolható, hogy a > 0 mide N eseté. Azoba, a ulláál jobb alsó korlátot tuduk megadi a számtai és mértai közepek közötti egyelőtleség segítségével. Ehhez vegyük az x := a, x 2 := a,..., x k := a és x k := α a k k darab pozitív számot. Mivel a számok számtai közepük a rekurziós képletbe szereplő k )a + α ) k a k szám és mértai közepük k α, ezért a + k α mide N eseté. Vagy ami ezzel ekvivales: a k α, ha 2. 42

43 A sorozat mooto csökkeő a második elemtől, hisze az előző miatt a k α, ha 2, és így a + a = k k + α a k ) k k + α ) =, α azaz a + a, ha 2. A mootoitás és a korlátosság együttes teljesülésből következik, hogy az a sorozat koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor α a a + = {}} k {}{{} k k ) a α + }{{} a k a a amiből a = k k )a + α ) a k következik. Az egyelet megoldása a = k α, ami a keresett határérték. c) A sorozat sajos em mooto. Erről köyedé meg tudjuk bizoyosodi, hisze a páros idexű elemek -él agyobbak és a páratla idexű elemek -él kisebbek. Azt fogjuk beláti, hogy a páros idexű részsorozata mooto csökkeő, és a páratla idexű részsorozata mooto övekvő. Végezzük a következő átalakítást! a +2 = 2 + a + = = 2 a + +a a + 3. Ez az jeleti, hogy a páros és páratla idexű részsorozatok eleget teszek ugyaeek a a +2 = 2 a + 5) a + 3 rekurzív képletek. A külöbség köztük az, hogy a páratla idexű részsorozat 0-ból és a páros idexű részsorozat 2-ből idul. Továbbá a +2 a = 2 a + a + 3 a = a + 2) a ). a + 3 Ha az páros szám, akkor a >, és így a jobboldal egatív. Ezért a páros idexű részsorozat szigorúa mooto csökkeő és alulról korlátos. Ha az páratla szám, akkor a <, és így a jobboldal pozitív. Ezért a 43

44 páratla idexű részsorozat szigorúa mooto övekvő és felülről korlátos. Így midkét részsorozat koverges. Jelölje a a páros, a 2 pedig a páratla idexű részsorozat határértékét! Ekkor a és a 2 kielégíti az 5) egyelőség határátmeetéből kapott a = 2 a + a + 3 egyeletet. Eek két megoldása va: a = 2 és a =. Mivel pozitív tagú sorozatról va szó, ezért a = az egyedüli érték, ami szóba jöhet. Ez azt jeleti, hogy a = a 2 =, és így az a sorozat koverges és határértéke. Az fetiekbe bemutatott módszer hatékoyságát mutatja, hogy vaak olya zárt képlettel megadott sorozatok, amelyeket érdemes rekurzív alakba felíri a határértékük meghatározásához. A 6. Tételbe látuk erről példát, amikor igazoltuk, hogy az a := α q sorozat tart ullához, ha q < és α > 0. A következő tételbe szereplő két fotos határérték igazolásába is ezt az utat választjuk. 7. Tétel. A következő két sorozat tart ullához. Bizoyítás. a) a := q! q R), b) a :=!. a) Az állítás yilvávaló, ha q = 0. Tegyük fel, hogy q > 0. Ekkor az a sorozat alulról korlátos, hisze a > 0 mide N eseté. Másrészt vegyük észre, hogy a + = q + a. 6) q Mivel + 0, ezért q 0 N, hogy + < mide > 0 eseté. Ekkor 6) miatt a + < a, azaz a sorozat szigorúa mooto csökkeő véges sok elem kivételével. Ezért a sorozat koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor 6) miatt a + }{{} a amiből a = 0 a = 0 következik. = q + 44 }{{} a }{{} a,

45 Ha q <, akkor az előző eset miatt a sorozat abszolút értéke a = q! tart ullához. Ezért az a sorozat is tart ullához. b) A sorozat alulról korlátos, hisze yilvávalóa a > 0 mide N eseté. Másrészt vegyük észre, hogy a + = a ). 7) + Mivel + ) e, ezért 0 N, hogy ) < mide > 0 + eseté. Ekkor 7) miatt a + < a, azaz a sorozat szigorúa mooto csökkeő véges sok elem kivételével. Ezért a sorozat koverges. Jelölje a az a sorozat határértékét. Ekkor 7) miatt amiből a = 0 e = 0 következik. a + = }{{} a a {}}{ a + ), }{{ } e Ezzel a tétel állítását igazoltuk. 45

46 8. További határértékek Az előző részekbe bemutattuk a határátmeet és a műveletek felcserélhetőségé alapuló, legismertebb fogásokat. Vaak azoba olya feladatok, ahol ezek a fogások már em alkalmazhatók. Találkozhatuk olya esetekkel, ahol ismerjük a képletbe szereplő összes sorozat határértékét, mégsem tuduk semmit modai az egész sorozat határértékéről. Ekkor azt modjuk, hogy egy kritikus határértékkel álluk szembe. Az előző jeleségek az az oka, hogy a. és a 2. Tétel em fedi le az összes lehetséges esetet. Ez em véletleül va így. A. Tétel például semmit em mod arról, hogy mi törtéik, amikor egy háyadossorozat evezője tart ullához. Nem is modhat semmit általáosa, hisze barmi lehet az eredméy, beleértve azt is, hogy a sorozat még tágabb értelembe sem lesz koverges. Nem ehéz erről külöböző példákat gyártai. Például, ha a := és b :=, akkor a b =. ha a := 2 és b :=, akkor a b = 0. ha a := és b := 2, akkor a b =. ha a := ) és b :=, akkor a b = ), ami diverges. Az előbbi példába az a és b sorozat ullához tartott, mégis a háyadosuk viselkedése sokféle lehetett. Ekkor 0 típusú kritikus határértékről 0 beszélük. Más a helyzet, ha a számlalósorozat koverges, de em tart ullához, és a evezősorozat ullához tart. Ekkor a háyadossorozat em lehet koverges. Eek igazolásához először bebizoyítjuk a következő állítást. 8. Tétel. b 0 akkor és csak akkor, ha. b Bizoyítás. Legye k > 0 tetszőleges és ε := k. Ekkor b 0 = 0 N, hogy b 0 < ε = k, ha > 0, 46

47 azaz b > k, ha > 0. Így a végtele, mit határérték defiíciója értelmébe. Fordítva, legye ε > 0 tetszőleges és k := ε. Ekkor b = 0 N, hogy b > k = ε, ha > 0. Ekkor b 0 < ε, ha > 0. Így a határérték defiíciója értelmébe b 0. Ezzel a tétel állítását igazoltuk. Az előző tétel szerit egy ullsorozat reciprok sorozata tarthat végtelehez, míusz végtelehez, de előfordul, hogy egyikhez sem. Ez a helyzet az a :=, a :=, a := ) sorozatokkal. Az eredméy függ a ullsorozat elemeiek előjelétől. Mide esetre egy ullsorozat reciprok sorozata em lehet koverges. A folytatáshoz szükségük va a következő eredméyre. 9. Tétel. Legye a egy valós szám. Ha a a, akkor a a. Bizoyítás. Először igazoli fogjuk, hogy mide a, b R eseté a b a b. 8) Ez azért igaz, mert az abszolút érték tulajdoságai miatt a = a b) + b a b + b = a b a b. Ebből az a és b szerep felcserélésével azt kapjuk, hogy amiből b a b a = a b, a b a b a b következik. Ez utóbbi potosa a 8) egyelőtleséget jeleti. A tétel állítása azoal következik a határérték defiíciójából és a 8) egyelőtleségből, hisze ha a a < ε, akkor Ezzel a tétel állítását igazoltuk. a a a a < ε. 47 b