Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Átírás

1 Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe adott vizsgatételek felépítése alapjá az I részbe a következő fejezetekből várható feladat: másodfokú függvéy, másodfokú egyeletek és a Viéte-összefüggések a logaritmus-függvéy, az epoeciális-függvéy, logaritmikus-egyelet, epoeciális-egyelet trigoometria és a trigoometria alkalmazása a síkmértaba vektorok, aalitikus geometria valószíűségszámítás kombiatorika, Newto biomiális képlete A II rész a XI és XII osztályos algebra ayagból (permutációk, mátriok, determiások, lieáris egyeletredszerek, csoportok, gyűrűk, testek, poliomok) tartalmaz két feladatot, midkét feladat - alpotból áll Mide alpot 5-5 potot ér A III rész a XI és XII osztályos aalízis ayagából tartalmaz két feladatot, midkét feladat - alpotból áll Mide alpot 5-5 potot ér Fotos, hogy a megoldott feladatokál e hibázzuk, amit sikerült levezeti, az legye helyes- ha már esélyük va 5 potot szerezi, akkor köyelműség lee figyelmetleség miatt csak potot kapi (valójába ekkor em potot szereztük, haem -t elherdáltuk, ez végzetes lehet) Éppe ezért ki kell haszáli az időt, felelőtleség a három óra lejárta előtt beadi a dolgozatot, a számolásokat, levezetéseket újra kell olvasi akár többször is A számolásokat (persze a redelkezésükre álló idő függvéyébe) érdemes újra elvégezi a piszkozatlapo (ha egyszer valamit eltévesztettük, akkor a puszta átolvasás sorá agy valószíűséggel em vesszük észre a hibát, átsikluk felette) Néháy feladat úgy va megfogalmazva, hogy egy bizoyos mértékig az elleőrzés lehetőségét is már magába foglalja ( Igazoljuk, hogy a szám természetes - ekkor a biztos téves eredméy) A II és III részek a) alpotja (és gyakra a b) is, sőt, ritkábba a c) is) az alapfogalmak ismeretébe már megoldhatók Ha em is sikerül megoldai a feladatot, a feladathoz kapcsolódó értelmezéseket, tételeket, képleteket mideképpe érdemes leíri, sok esetbe már eyi is - potot ér A XI-es aalízis feladatál a függvéy változástáblázatát mideképp meg kell határozi (miél teljesebbe), éháy potot szerezhetük ezzel- sőt, talá a megoldást is le tudjuk olvasi a táblázatról

2 Mide feladat kötelező Mukaidő óra Megjeleés pot Mide feladat teljes megoldását írd a vizsgalapra I FELADAT Határozd meg az m számot, ha az f :, f ()( ) m m függvéyhez redelt parabola ériti az O koordiátategelyt! a Határozd meg az a számot úgy, hogy a 4 a a, 8, 4 számok számtai haladváyba legyeek Oldd meg a, halmazo a si si 6 egyeletet 4 Adottak az A(,),(5, B ),(4, C) potok Határozd meg a BAC szög kosziuszát A,,,4,5,6 halmaz Határozd meg aak a valószíűségét, hogy az 5 Adott az A A Descartes-szorzat egy véletleszerűe kiválasztott, legye 6 Az a, a kifejtés melyik tagja tartalmazza az a II FELADAT a y z Adott az ay z, a egyeletredszer y az a a b eleme eseté a b 4 a hatváyt? a) Igazold, hogy a redszer determiásáak értéke a a b) Oldd meg a redszert abba az esetbe, ha az kompatibilis és határozott! c) Oldd meg a redszert a eseté! Adott az a szám és az a egyelet, amelyek gyökei az,, komple számok szorzat értékét a) Számítsd ki az b) Ha, oldd meg az egyeletet c) Határozd meg az a azo értékeit, amelyekre,, egész számok III FELADAT Adott az f :\,() f e függvéy a) Taulmáyozd az f függvéy deriválhatóságát az potba! b) Határozd meg az f függvéy helyi szélsőérték-potjait c) Határozd meg az f () m egyelet valós gyökeiek számát az m valós paraméter függvéyébe I, I, e d a) Számítsd ki I értékét I sorozat koverges Adott az b) Igazold, hogy az c) Számítsd ki a lim I határértéket * sorozat

3 I Egy parabola és az O -tegely metszéspotjaiak az abszcisszáit az f () egyelet gyökei adják meg, így egy parabola akkor o ériti az O -tegelyt, ha az egyeletek potosa egy gyöke va, azaz o metszi az O -tegelyt két külöböző potba, ha az egyeletek két valós gyöke va, azaz o em metszi az O -tegelyt, ha az egyeletek ics valós gyöke, azaz - ekkor a parabola teljes egészébe a tegely fölött helyezkedik el (ha a főegyüttható pozitív a ) vagy teljes egészébe a tegely alatt va (ha a főegyüttható egatív a ) Esetükbe a feltétel az, hogy legye b ac m m m m 4 4 m m m m m Tehát a kért érték m I Az a, b, c számok akkor vaak számtai haladváyba, ha b a c b a c b Ez alapjá, a a 4 a, 8 a, 4 számok akkor vaak számtai haladváyba, ha a a a Egy ilye epoeciális egyeletet általába a következő lépések alapjá olduk meg: o a hatváyokat a kitevők szerit két hatváy szorzatára vagy háyadosára botjuk o az ismeretlet tartalmazó hatváyt eljelöljuk t -vel (ha az egyeletbe szerepel például is és is, akkor a t jelöléssel o o t ) megoldjuk az új (első- vagy másodfokú) egyeletet (t az ismeretle) a t mide értékére meghatározzuk a megfelelő -t a a a a a a a a a a a A a t jelöléssel 4 a t, azaz 4t t 4 4 4( 4) 784, t, t 5 t a a, 5 a ics megoldás, így I A k M si A si B A B k, k összefüggés alapjá k si si k 6 6 Ha k páros, azaz k l, l, akkor l l l 6 6 Ez az érték akkor esik a, itervallumba, ha l,, tehát M, Ha k páratla, azaz k l, l, akkor l l 6 6 l l 6 8 l,,,, tehát Ez az érték akkor esik a, itervallumba, ha

4 I4 5 7 M,,, A megoldáshalmaz tehát M M M,,,,, I megoldás (vektoriálisa) AB 5,,, AB AC 4,, 5, AC 5 AB AC 5 A skaláris szorzás értelmezése szerit AB AC AB AC cos AB, AC II megoldás cos BAC cos BAC Két pot távolságképlete alapjá AB 5, AC 4, BC Az ABC háromszögbe a kosziusz-tétel alapjá BC AB AC AB AC cos BAC 7 cos BAC cos BAC, ;, ;;,6 ;, ;;,6 ;; 6,6, így I5 Lehetséges esetek halmaza: I6 II ölesz =6,4 ;,5 ;,6 ;,5 ;,6 ;,6, így kesz=6 Kedvező esetek halmaza: k e sz 6 A kért valószíűség p ö l e sz 6 6 k e sz Megjegyzés: a p képletet mideképp érdemes felíri (általába potot ér) ö l e sz Ha egy biom valamely hatváyáak valamely tagjáról mod valamit a feladat, egyértelműe a kifejtés általáos tagjáak a képletét kell felíri: k k k T k C a b, k Jele esetbe k k 8 k k k k k k k k k k a T C a C a C a C a a 4 Ha egy tag az a hatváyt tartalmazza, akkor 54 7 k 4 k A kért tag tehát a hetedik, T 6 T 7 C a 84a a a) A redszer mátria A a Érdemes megfigyeli, hogy mide sorba az a elemk összege megegyezik, ezért az egyik oszlophoz hozzáadva a második, majd a harmadik oszlopot, kiemelhetjük a közös téyezőt:

5 a a O O O a a a a a a OO, O O det A a a a a a a a a a kif S a a a a b) A redszer akkor kompatibilis és határozott, ha det A det A a a a, Tehát a redszer akkor összeférhatő határozott, ha a \, alkalmazhatjuk a Cramer-szabályt a y a,, y, y, a a a a a z z a, z a Tehát a megoldáshalmaz,, M Ebbe az esetbe c) a eseté a redszer mátria A, bővített mátria A Mivel raga rag A, a redszer összeférhető, határozatla Főmiora a, így a főismeretleek, y, a mellékismeretle z, a főegyeletek az első és második egyeletek y Ha z, akkor, így a megoldáshalmaz y y M,, II Az ilye jellegű feladatokál (ahol,, egy poliom gyökeit jelöli) első lépéskét a Viéte-összefüggéseket írjuk fel Sok esetbe a gyökök égyzetösszegéek kiszámolása jeleti a megoldás kulcslépését, ezért érdemes midig kiszámoli az összeget is S S a S a S S a) A szorzásokat elvégezve

6 III A S S S a a Másképp, a P a poliom felírható P ahoa P alakba, az egyelet egyik gyöke, ezért P 8 a a 6 6 Mivel az egyik gyök, a poliom osztható a a b) Mivel Ekkor az egyelet vel A háyadost a Horer-sémával határozzuk meg: - -6 Az 8i egyeletek eseté 8, így, i M, i, i - c) Mivel,, egész számok és, ez csak úgy lehetséges, ha valamelyik gyök, a másik kettő pedig (megérte kiszámoli a égyzetek összegét) A gyök, így P a, ekkor az egyelet, melyek gyökei,, A moduluszt tartalmazó függvéyeket előszőr ki kell botai: f () e, ha,, mert a modulusz-függvéy em tartozik az elemi e, ha függvéyek közé (az m :,() m függvéy folytoos - és deriválható -) a) A deriválhatóság vizsgálatakor előbb midig a folytoosságot elleőrizzük- ha egy függvéy deriválható egy potba, akkor folytoos is abba a potba, ezért ha em folytoos egy potba, akkor em is lehet deriválható abba a potba, a folytoosság vizsgálata a deriválhatósághoz képest jóval egyszerűbb,\, A függvéy folytoos és deriválható a halmazo (elemi függvéyek összege, szorzata, háyadosa, összetettje folytoos és deriválható az értelmezési tartomáyo) Előbb vizsgáljuk a folytoosságot az potba: e e lb lim, l lim,() f j függvéy folytoos az potba Vizsgáljuk a deriválhatóságot az potba:, így l l f b j *, azaz a e e e e l ' H f ()() f f lim lim b lim lim 4 " "

7 e e e e l ' H f ()() f f lim lim j lim lim, így a 4 " " függvéy em deriválható az potba e, ha, f :\,, f e, ha b) Ha a függvéy deriválható, a Fermat-tétel szerit a szélsőértékpotok a stacioárius potok (a derivált gyökei) közül kerülek ki Oldjuk meg az f egyeletet Ha, akkor Ha, akkor e, e, Tehát az egyetle stacioárius pot az, de eze kívül még szélsőértékpot-jelölt lehet a is (a függvéy em deriválható ebbe a potba, így a Fermat-tétel em mod róla semmit) Nem mide stacioárius pot szélsőértékpot, ezért el kell készíteük a függvéy változástáblázatát A táblázat első, -re voatkozó sorába a következő értékeket kell felvei: o, mert a függvéy em értelmezett ebbe a potba o, mert a függvéy em deriválható ebbe a potba o -, mit stacioárius pot - - f f e A táblázatról leolvasható, hogy helyi maimumpot, helyi miimumpot Megjegyzések: az szélsőértékpotot a Fermat-tételből em kaphattuk vola meg, mert em stacioárius pot Gyakori hiba hogy az első sorból valamely érték kimarad Érdemes (a táblázat utolsó sora alapjá) elképzeli a grafikus képet, az sok esetbe rámutat a hiba létezésére Például, ha az értéket (figyelmetleség miatt) kifelejtettük az első sorba, akkor a táblázat azt mutatá, hogy az (), itervallumo e értéktől csökkeek az c) A táblázat alapjá a, f függvéyértékek a értékig- yilvávaló, hogy valami ics redjé Meg kell határozuk, hogy a övekedés hoa idul l ' H e e lim() f lim lim itervallumo a függvéyértékek övekedek e -ig

8 e e e e Hasolóa, lim() f lim, lim() f lim, " " ' e l H e lim() f lim lim, így a táblázat potosítható: - - f e III Ez alapjá Ha m, e, akkor az egyeletek megoldása va Ha m e, akkor az egyeletek megoldása va Ha m e,, akkor az egyeletek ics megoldása Ha m, akkor az egyeletek megoldása va Ha m,, akkor az egyeletek megoldása va e d a) Az I itegrált a parciális itegrálás módszerével számoljuk ki: f, g e f, g e, így I e e d e e e e b) Azt, hogy egy sorozat koverges, általába a Weierstrass-tétellel mutatjuk ki (ha egy sorozat korlátos és mooto, akkor koverges) Egy sorozat mootoitását általába két egymás utái tagja külöbségéek előjelével vizsgáljuk:, I I e d e d e e d e d hisz az itegradus egatív Tehát az I sorozat csökkeő A korlátossághoz elég egy alsó és egy felső korlátot adi Mivel az itegradus pozitív ( * e ), alsó korlátak választhtajuk a -t: I, A sorozat csökkeő, így egy felső korlát az I A sorozat mooto (csökkeő) és korlátos ( I, I ), így a Weierstrass tétel értelmébe koverges c) Az első alpotba is alkalmazott parciális itegrálás módszere itt is alkalmazható: f, g e f, g e, így, ahoa I e d e e d e e e I Mivel az Ha I sorozat koverges, létezik véges határértéke, lim I l l, az előző összefüggésbe határértékre térve I I e lim I I e l l e, elletmodás Tehát l, így I I e I I I e I e I I lim I lim e I I e e