INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK"

Átírás

1 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy ijektiv! Megoldás Ha a g függvéy értelmezésébe x helyett f ( -et helyettesítük a g ( f ( ) = f ( f ( f ( ) = f ( x = egyelőséghez jutuk A g ijektivitása alapjá f ( x R Elleőrizhető, hogy a = x f ( = x függvéy valóba ijektiv és f ( f ( ) = f ( x R, tehát az f ( = x függvéy az egyedüli megoldás ) Létezik-e olya f:r R ijektiv függvéy, amelyre f ( x ) f (, x R? Megoldás Az adott egyelőtleségbe az x = x egyelet gyökeit helyettesítjük: f (0) f f () f (0) () f f (0) f (0) () f () 0 f (0) 0 f () 0 f (0) = 0 f () = Az f ( 0) = f () = összefüggés alapjá f em lehet ijektiv 3) Létezik-e olya f:r R bijektiv függvéy, amelyre f ( f ( ) = x, x R eseté? Megoldás Bizoyítjuk, hogy ha f:r R bijektiv, akkor f f :R R is az 0 ( f f )( = ( f f )( x ) f ( f ( x )) = f ( f ( x )) f ( x ) = f ( x ) x = x, tehát f f is ijektiv 0 y R z R f ( z) = y (mert f szürjektiv), de erre a z eseté létezik olya x R, hogy f( = z (ismét az f szürjektivitása alapjá, tehát f ( f ( ) = y Ebből következik, hogy bármely y R eseté létezik z R úgy, hogy teljesüljö az ( f f )( z) = y egyelőség, tehát f f is szürjektiv 0 0, f f bijektiv Mivel h:r R h ( = x függvéy em bijektiv az adott egyelőség egyetle f eseté sem teljesülhet Megjegyzés 0 Hasolóa igazolható, hogy ha f:a B és g:b C ijektiv (szürjektiv), akkor g f :A C is ijektiv (szürjektiv) 0 Az előbbi tulajdoság fordítottja em igaz Ahhoz, hogy g f ijektiv legye em föltétleül szükséges, hogy midkét függvéy ijektiv legye Például az f :{,,3} {,,3, } f ( = x é s g : {,,3, } {,,3} ) =, g () =, 3) = 3 és g ( ) = 3 összefüggésekkel értelmezett függvéyekre g f :{,,3} {,, 3}

2 60 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok ( g f )( = x ijektiv, de g em ijektiv Hasolóa az f em szürjektiv és a g f mégis az Az előbbi példa vizsgálatával köye rájöhetük, hogy ha g f ijektiv, akkor az f függvéyek ijektivek kell leie, és ha g f szürjektiv, akkor g is szürjektiv Ezt be is bizoyíthatjuk a lehetetlere való visszavezetés módszerével a) Ha f em ijektiv, akkor létezik x, x A x x úgy, hogy f ( x ) = f ( x )( = y) Ekkor viszot g ( f ( x )) = y) = f x )), tehát ( g f )( x ) = ( g f )(x ) és x x Így g f sem ijektiv b) Ha g em szürjektiv, akkor létezik y0 C \ Im g Mivel Im( g f ) Im g y0 C \ Im( g f ), tehát Im( g f ) C g f sem szürjektiv 3 0 Ha a feladatba az f bijektivitását em kérjük, akkor végtele sok megoldás létezik Egy ilye az f:r R f ( = x függvéy ) Az f:r R függvéy mide valós x eseté teljesíti az ( f ( f ( x )) = f ( ax egyelőséget, ahol a R egy rögzített szám Határozd meg f ( 0) -t majd adjál példát egy ilye függvéyre! (Megyei olimpia, 985, Szilágy megye, Liviu Vlaicu) Megoldás Bizoyítjuk, hogy f ijektiv f ( = f ( f ( f ( x )) = f ( f ( x )) ax = f f ( x )) f ( ) = f ( f ( x )) f ( x = ax Mivel a 0, következik, hogy ( x x = x, tehát f ijektiv Legye f ( 0 ) = α Ha az adott összefüggésbe x = 0 -t helyettesítük, következik, hogy f ( α) = α Mivel f ijektiv az f (0) = α és f ( α) = α egyelőségek csak akkor teljesülhetek, ha α = 0 A példa megszerkesztéséél próbálkozzuk f ( = x alakú függvéyel Behelyettesítés utá az a = 0 egyelethez jutuk, tehát ha a,, akkor ilye alakú függvéy létezik és megfelel Ha a <, akkor az f ( = c si x ar ctg a függvéy egy jó megoldás ( ) 5) Bizoyítsd be, hogy potosa akkor létezik olya f:r R ijektiv függvéy, amelyre f ((a ) a f ( x a) 0, x R ( a R rögzített), ha a =! (Helyi olimpia, Giurgiu, 985, DM Bătieţu- Mircea Trifu) Megoldás Legye és x az x a = (a ) x () egyelet két valós gyöke x Az adott egyelőtleségbe -et majd x -t helyettesítve a ( a f y ) ) 0 x egyelőtleséghez jutuk, ahol y i = ( a ) xi Ebből következik, hogy f ( y) = f ( y ) Tehát f csak akkor lehet ijektiv, ha y = y, vagyis ha x = x Ez akkor valósul meg, ha az () egyelet diszkrimiása em szigorúa pozitív, vagyis ha ) ( i

3 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 6 ( ) a 0 Ebből következik, hogy a = A megoldás teljességéhez a = eseté meg kell aduk egy kokrét f függvéyt, amely ijektiv és teljesíti az adott x egyelőtleséget Kevés keresgéléssel rájöhetük, hogy a = eseté az f ( = függvéy teljesíti a feltételeket) 6) a) Bizoyítsd be, hogy két, Z-t Z-be képező bijektiv függvéy szorzata em lehet bijektiv! a) Szerkesszél két bijektiv függvéyt [ 0, ) -ből [ 0, ) -be, amelyek szorzata is bijektiv! Megoldás a) Legye f,g:z Z két bijektiv függvéy és tételezzük fel, hogy a h:z Z h ( = f ( függvéy is bijektiv A h bijektivitása miatt mide Z eseté létezik olya p Z, hogy h( p ) = p, tehát f ( ) ) és f ( ) ) =, tehát f ( ) = és g ( ) =, vagy f ( ) = és ) = Ha f ( ) =, akkor f ijektivitása miatt f ( ), tehát f ( ) =, és így ) =, ami a ) = f ( ) = eseté is elletmodáshoz jutuk, tehát ha f és g ijektivek a h em lehet bijektiv b) Az f :[ 0, ) [ 0, ) f ( = x függvéyek az ömagával való szorzata is bijektiv Próbálj hasoló tulajdoságú függvéyeket szerkesztei tetszőleges halmazok eseté! Milye halmazokra lehetséges a szerkesztés? 7) Határozd meg az összes f:z Z ijektiv függvéyt, amelyre f ( f ( ) = f (, x Z! (Traia Lalescu emlékversey, 996) Megoldás Ha f ( x 0 ) = a, akkor f ( a) = a, f ( a ) = a és f ( = = egyelőség alapjá elletmodaa g ijektivitásáak Hasolóa mide a eseté Tegyük fel, hogy létezik olya előbbi tulajdoság alapjá az Legye ez x és jelöljük b-vel az { x f ( = } Z, hogy x ) x 0 Az összefüggésbe (x ) -et helyettesítve f ( b) = b b M b x A kapott elletmodás miatt em létezhet olya x 0, hogy f ( x 0 ) x0, tehát f ( = x, x Z x 0 f ( 0 M = x halmazak va legkisebb eleme f x ) értékét x M ( b x Az f ijektivitása alapjá következik, hogy b x, tehát b x Másrészt az adott 8) Határozd meg azt az f: R R függvéyt, amely mide valós x eseté kielégíti az ( f ( ) ( x x x ) f ( = x x x x egyeletet ( rögzített egész)! (IV NMMV 995, Becze Mihály) Megoldás Ha átredezzük az adott egyeletet, a következő összefüggéshez jutuk: ( f ( ( f ( xf ( x x x x ) = 0

4 6 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Ha x 0, a második zárójelbeli kifejezés értéke szigorúa pozitív, tehát f ( = x x = 0 eseté az f 3 (0) = 0 egyelőséget kapjuk, tehát Bizoyítsd be, hogy az f ( x ) = { f ( x ) } [ f ( ] f ( x R 9) egyelőséget mide x R eseté teljesítő függvéy periodikus, majd adjál példát ilye függvéyre (Gazeta Matematică, 7-8/997, Cristiel Mortici) Megoldás Midkét oldal törtrészét majd egész részét vizsgálva kapjuk, hogy { f ( x ) } = { f ( x ) } és [ f ( x ) ] = [ f ( ] mide x R eseté Ebből következik, hogy: f ( x ) = { f ( x ) } [ f ( x ) ] = { f ( x ) } [ f ( ]= { f ( } [ f ( ] = f (, bármely x R eseté, tehát f periodikus és egy periódusa Az f ( = {} x függvéy teljesíti az adott egyeletet 0) a) Bizoyítsd be, hogy létezik két szürjektiv függvéy f, g:n N, amelyek teljesítik az f ( = egyelőséget mide N eseté b) Ha f:n N ijektiv és g:n N szürjektiv, teljesülhet-e az f ( = egyelőség, mide N eseté (GM versey, 997, Maria Adroache és Io Savu) m Megoldás a) Mide szám egyértelműe felírható ( ) alakba, ahol m, N Értelmezzük az f és g függvéyeket a következő módo: v v (k ), ha = (k ) k, v N f ( és v v, ha = (k ) k, v N v v, ha = (k ) k, v N v v (k ), ha = (k ) k, v N Nyilvávaló, hogy midkét függvéy szürjektiv és f ( = mide N eseté, ha = k, k N, ha = k, k N Megjegyzés Az f ( és g (, egyébkét, egyébkét függvéyek is teljesítik a kért feltételeket b) = 0 f (0) = 0, = f () = Ha helyett egy p prímszámot helyettesítük, következik, hogy { f p ), p) } = {, p} ( Az f függvéy ijektivitása alapjá f ( p) = p, tehát f ( ) = és f ( 3 ) = 3 De f ( ) f () {,, } Az ijektivitás alapjá f ( ) = Lehetetlere való visszavezetés módszerét haszálva igazoljuk, hogy f ( =, N Ha ez em vola így, léteze az A = { f ( N f ( val, az A halmaz legkisebb elemét Az eddigiek alapjá f ( ) D (az osztói) Mivel f (, következik, hogy f ) 0 Ez ) } 0 halmaz legkisebb eleme Jelöljük em prímszám, tehát viszot elletmodaa f ijektivitásáak és megválasztásáak, tehát f ( =, N Így g kostas, tehát em szürjektiv (g:n N) 0 ( 0

5 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 63 Jelöljük f ( -el az,,, számok közt előforduló külöböző értékek számát Határozd meg f ( -et! Megoldás Két külöböző esetet vizsgáluk, aszerit, hogy páros, vagy páratla ( x ) x x a) = k > = > ha x k, míg x<k-ra szigorúa kisebb k k k ( x ) x mit Ebből következik, hogy és közt em lehet ezektől k k külöböző egész szám, ha x<k x k eseté ( x ) k x Tehát k x k x k k eseté az kifejezés külöböző értéket vesz fel (0-tól - k k k ig midet), míg k < x k -ra potosa k darab külöböző értéket Összese k (k) tehát k külöböző érték fordul elő az,, számok k k közt k b) Hasolóa godolkodva = k eseté k külöböző értéket k k k, ha m = k kapuk, tehát f ( m) k k, ha m = k k m m Egy képlettel kifejezve írhatjuk, hogy f ( m) = m ) Létezik-e olya ijektiv függvéy, amely az α síkot ömagába képezi, az egyeeseket egyeesekbe és a kokáv sokszögeket kovex sokszögekbe traszformálja? (Gazeta Matematică 6/997, Da Victor Adrei) Megoldás Legye ABC egy háromszög az α síkba és M egy belső potja Ezekek a potokak a képeit jelöljük A -tel, B -tel, C -tel és M -tel A mellékelt ábra jelölései szerit:

6 6 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok ABCM kokáv A' B' C' M' kovex () M' III ACBM kokáv A'C' B' M' kovex () M' I, ABMC kokáv A' B' M' C' kovex (3) M' II tehát ilye függvéy em létezik, mert az M képe három diszjukt tartomáyba kellee, hogy legye 3) Melyek azok az f,g,h:n N bijektiv függvéyek, amelyek teljesítik az f ( g ( h ( = 3 h( egyelőséget, mide N eseté? (Gazeta Matematică, 3/997, Flori Rotaru) Megoldás A számtai-mértai közepek közti egyelőtleség alapjá h( = f ( g ( h ( 3 f ( h( N, tehát f (, N () Ebből következik, hogy f ( 0) = 0, f () tehát f ijektivitása miatt f ( ) = és hasolóa f ( ) = Általába {, m} f (, N f ( m,,, De f ijektiv és így { f ), f (),, f ( m) } {,,, m} ( = Ezt összehasolítva ()-gyel következik, hogy f ( k) = k ha k =, m Mivel ezt bármely m eseté megismételhetjük, következik, hogy f ( =, N A számtai- mértai közepek közti egyelőtleségbe éppe egyelőség va és így f ( = = h( =, N ) Határozd meg az összes f: N N bijektiv függvéyt, amelyre f (,3, N! (Országos tábor, 997, Marius Dadârlat) Megoldás Mide szám egyértelműe felírható a 3 b m alakba, ahol ( m, 6) = Előbb éháy sajátos alakú számra próbáljuk értelmezi f-et: 0 b 0 b = 3 m f ( = 3 = 3 m (mert N ) b b 0 b = 3 m f ( = 3 = 3 m ha b, mert az f ( = = 3 m = 0 b = f ( 3 m) egyelőség elletmodaa f ijektivitásáak b b = 3 m f ( = 3 = 3 m ha b (ellekező esetbe f em vola ijektiv) Ha ezt a godolatmeetet megismételjük, az a b a b f ( 3 m) = 3 m, ha a b összefüggésekhez jutuk Az előbbi eseteket megvizsgálva f-et azo 3 a b m alakú

7 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 65 számokra kell értelmezük, amelyekre a>b Legye m N és ( m,6) = Az előbb már megvizsgált esetek midegyikébe f( 3, tehát az f értéke csak úgy lehet m ha f ( m) = m, m N és ( m, 6) = eseté Hasolóa okoskodva következik, hogy f ( m) = m, f ( f ( 3 3 k m) = m, f ( m) = m, f ( 3m) = 3 m és 3 m) = 3 m Összesítve eddigi eredméyeiket, következik, hogy: a b a b 3 m, ha a b f ( 3 m) a b 3 m, ha a > b 5) Legye f,g:r R két másodfokú függvéy úgy, hogy a domiás tagok együtthatója midkettőbe Határozd meg az összes h:r R másodfokú f függvéyt, amelyre mi( f (, ) h( (, x R! Megoldás Meghatározzuk az f ( = egyelet gyökeit Ez szükséges a legelső kifejezés explicitálásához Legye f ( x ) = x ax b és g ( = x ax b f ( = ( a a )x = b b () Tehát a következő három eset megkülöböztetése szükséges: I f g a = a és b = b f = g = = mi( f, g), tehát az egyetle megoldás a h( = f (, x R függvéy II a = a és b b Feltételezhetjük, hogy b > b f ( <, x R b b x a x b x δ x α β x ax, x R b b ( α ) x ( β a ) x δ 0 x R α α = ( α ) x ( β a ) δ b R α x 0 x Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy β = a (mert egy elsőfokú függvéy b b sosem őrzi meg az előjelét R-e, és δ b, tetszőleges Így b h( = x ax δ, b ahol δ b tetszőleges III a Feltételezhetjük, hogy a > Az () egyelet egyetle megoldása a k a (, x0 ] ( x, ) b b f ( ha x x0 = és mi{ f (, } a a ha x 0 Tehát h teljesíti a következő egyelőtleséget: a a b x a x x x x b (3) x b α β δ, x (, x 0 ]

8 66 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok () a a b b x a x b αx βx δ x x, x [ x 0, ) () α α = Ezt visszahelyettesítve következik, hogy a () α a a b b β x δ x egyelőtleségek mide x R eseté teljesüli a a kell, és x 0 eseté egyelőség áll fe Ez csak akkor lehetséges, ha β= és b δ= b f g, tehát h = az egyetle megoldás ebbe az esetbe 6) Határozd meg az összes f: N N szigorúa mooto függvéyt, amelyre f () = és f ( = f (, N! (Grigore Moisil emlékversey, 997) Megoldás = f () = f () = f (8) = 8 és általába f ( ) = bármely N eseté Mivel f szigorúa övekvő és f ( ) = következik, hogy f () < f () < f (3) < f () < f (5) < < f ( ) < f ( ) = Ez csak akkor lehetséges, ha f ( m) = m, m {,,, } mide eseté megismételhetjük, tehát f ( x N Ezt a godolatmeetet 7) Bizoyítsátok be, hogy ha az f:z Z és g :[0,) [0,) függvéyek bijektivek, akkor a h:r R Megoldás 0 A h ijektivitásáak igazolása [] x ) g { x} h ( = f ( ( függvéy is bijektiv (Megyei olimpia, Iasi, 997, Silviu Boga) Az adott egyelőség alapjá [ h ( ] = f ([ x]) és { ( } { x}) az alábbi implikációk: h ( x ) = h ( x ) [ h ( x )] = [ h ( x )] f ([ x ]) = f ([ x ]) [ x ] = [ x ] h x ) = h( x ) { h( x )} = { h( )} g ({ x }) = { x } { x } = { x } ( x () x = x () y R y = y y f szürjektiv x Z h =, tehát érvéyesek () () ) 0 [ ] { } úgy, hogy f ( x ) = [ y] g szürjektiv x [ 0,) úgy, hogy gx ( ) = { y} Legye x = x x Mivel x Z és x [ 0,) következik, hogy [] x = x és {} x = x, tehát h ( = f ( x ) x ) = [ y] {} y = y Megjegyzés Felmerülhet a kérdés, hogy a tulajdoság fordítottja igaz-e? Ehhez az vola szükséges, hogy ha x [ k, k ), akkor h( midvégig két egész szám közt maradjo (mide k Z eseté Ezt a feltételt em mide függvéy teljesíti (sőt!) 8) Határozd meg azt az f : Q Q Q függvéyt, amelyre teljesülek az alábbi feltételek:

9 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 67 a) f ( x, y) f ( z, t) = f ( xz, yt), x, y, z, t Q ; b) c) f ( x, =, x Q ; f ( x,) x Q Megoldás t = f ( x, y) f z, = f ( xz,) = x z, x, y, z Q y y Ide y = x -et helyettesítve következik, hogy tehát f z, = f ( x, f z, = f ( xz,) = x z, x, z Q, x x f z, = x z, x, z Q Ha helyett y-t helyettesítük, kapjuk, hogy x x z f ( z, y) =, y, z Q y f: a, b a, b övekvő függvéyek va legalább 9) Bizoyítsd be, hogy mide [ ] [ ] egy fix potja (Kaster lemma) Megoldás Tegyük fel, hogy f ( x ha x [ a, b] és legye H = { x [ a, b] x < f ( } H, mert a H és H [ a, b], tehát létezik olya s [ a, b], amelyre teljesül az alábbi két feltétel: 0 h s, h H 0 Ha s' R olya, hogy h s', h H, akkor s s' (s a H halmaz legkisebb felső korlátja vagy szuprémuma) Bizoyítjuk, hogy f ( s) = s Tegyük fel, hogy ez em így va, tehát f ( s) < s vagy f ( s) > s a) f ( s) < s, h H h s f ( h) f ( s) h f ( h) f ( s), h H A 0 -es tulajdoság szerit s f (s), elletmodás b) s < f ( s) f ( s) < f ( f ( s)), tehát f ( s) H és így az 0 -es tulajdoság szerit f ( s) s, ami ismét elletmodás Az előbbi két elletmodás alapjá f ( s) = s, tehát f-ek va legalább egy fix potja Megjegyzés Nagyo sok köyvbe (Pl Gh Sireţchi: Calcul difereţial şi itegral vagy Mircea Gaga: Teme şi probleme de matematică) azt állítják, hogy csökkeő függvéyre is hasolóa végezhető el a bizoyítás Ez em igaz, hisze az, x 0, f :[ 0, ] [ 0, ] f ( = függvéy csökkeő és ics fix potja 0, x, 0) Az f:n N bijektiv függvéyre [, f ( ] < 3(, f ( ) mide N eseté ( [ x, y] az x és y legkisebb közös többszöröse, míg ( x, y) az x és y legagyobb közös osztója) Bizoyítsd be, hogy f ( f ( ) =, N!

10 68 Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok Megoldás A legagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös közt érvéyes az [ x, y] ( x, y) = x y összefüggés, tehát f ( < 3 (, f ( ) Ha d = (, f ( ), akkor = d u és f ( = d v valamit ( u, v) = Behelyettesítve az adott egyelőségbe következik, hogy u v < 3 A következő három esetet kell megvizsgáli: 0 eset: u = v = = d f ( = f ( f ( ) = 0 eset: u =, v = = d és f ( = d = 3 0 eset: u =, v = = d és f ( = d = Az előbbiek alapjá f (,,, N Tegyük fel, hogy 0 N -ra f ( 0 ) = 0 és f ( f ( 0 )) 0, tehát f ( 0 ) 0 Az f ijektivitása miatt f ( 0 ) = 0 Másrészt f szürjektiv, tehát létezik olya m N, 0 hogy f ( m) = 0 Az () miatt m 0, 0, f ijektivitása valamit az 0 0 megválasztása miatt f = 0, tehát 0 N Hasoló godolatmeettel kapjuk, hogy az 0 f (m) = egyelőséget csak az 0 0 m = teljesítheti, tehát Z Többször 0 megismételve ezt a godolatmeetet következik, hogy Z mide k N eseté k Ez viszot em lehetséges, mert 0 N A kapott elletmodás alapjá 0 f ( f ( 0 )) = 0 Hasolóa elletmodáshoz jutuk az f ( 0 ) = és f ( f (0 )) 0 összefüggésekből is, tehát f ( f ( ) = mide N eseté

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Kitűzött eladatok 15 KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA 1. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amely teljesítené az alábbi egyenlőségek valamelyikét: a) ( x 1) + (1 x) x, x R; b)

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 09 ÉRETTSÉGI VIZSGA 0 május 8 MATEMATIA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fotos tudivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése

IV. Sorozatok. Sorozatok bevezetése Sorozatok Sorozatok bevezetése 8 Az,,, számjegyek és tegelyes tükörképeik együtt alkotják a sorozat tagjait A folytatás lehetséges például az ábrá látható módoko Megjegyzés: A Hogya folytatható típusú

Részletesebben

IV. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI

IV. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI 8 A matematikai logika elemei IV A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI IV Kijeletések, logikai értékek Értelmezés Állításak evezük mide yelvtai értelembe vett kijelető modatot Például a következő modatok állítások:

Részletesebben

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév

Diszkrét matematika I. legfontosabb tételek/definíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév Diszkrét matematika I. legfotosabb tételek/defiíciók (II. javított verzió) 2014/2015. I. félév 1. Előszó A jegyzet a Diszkrét matematika I. (DE IK PTI, tárgykód: INDK101-K5, Dr. Burai Pál) tatárgy 2014/2015.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. október 16. MINISZTÉRIUMA EMBERI ERFORRÁSOK Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október. Fotos tudivalók

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben