XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

Átírás

1 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály. feladat: Oldd meg a valós számok halmazá a egyeletet. Az adott egyelet átírható a következő alakba: x x x x x x dr. Becze Mihály, Bukarest x x x x x x x x x x Vagyis x x x x x x x x x x, 3,..., 06 05, melyek egy időbe csak x eseté teljesülek, ami az egyelet egyetle megoldása.

2 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály. feladat: Jelölje abc,, az R sugarú körbe írt háromszög oldalait. Igazold, hogy a b 4R c 8R a b. Zákáy Móika és Masta Eliza, Nagybáya a b c A sius tétel alapjá R, az egyelőtleség átírható mit: si A si B si C 4R si A si B 4R 4R si C 8R 4R si A si B si A si B si C si A si B si C si A si B si Asi B si C si A si B cos A cos B amit elegedő igazoli. Valóba a Cauchy-Schwartz egyelőtleség alapjá si A si Bcos A cos B si Acos B cos Asi B si Asi B cos A cos B si A B si Asi B cos A cos B si C amit igazoli kellett.

3 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály 3. feladat: Igazold, hogy az a 3 0 (ahol ) sorozat: a) végtele sok összetett számot tartalmaz, b) egyetle köbszámot sem tartalmaz! Bíró Béla, Sepsiszetgyörgy a) Tekitsük a következő részsorozatot: a k k (ahol k természetes szám) osztható el bármely természetes szám eseté. Másrészt 6 f( ) 3 ( természetes) függvéy szigorúa övekvő expoeciális függvéy, ezért i j eseté f ( i) f ( j) részsorozat tagjai az a. Következésképpe az a részsorozat tagjai párokét külöbözek, s így eze 6 sorozatba végtele sok összetett számot geerálak. b) Ismeretes, hogy mide köbszám (egész szám köbe) 9k vagy 9k alakú, ahol k egész szám. Viszot a sorozat tagjai: a k alakúak (ahol k természetes szám), ha. Tehát eseté a sorozatba icse köbszám. Hasolóa a0 és a 3 sem köbszámok.

4 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia 4. feladat: XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály Az ABC háromszögbe mbac 60. Legye A a BC szakasz felezőpotja, I a háromszögbe írt kör középpotja, és D az I pot A szeriti szimmetrikusa. Igazold, hogy: a) az ABDC égyszög körbeírható. b) DA DB DC. Először megmutatjuk, hogy az ABDC égyszög körbeírható. mbcd m ABC és mcbd m ACB. Ie m ABC m ACB mbac 0. m BDC m BCD m CBD Ie következik, hogy ABDC égyszög körbeírható. Legye E a BD egyeese, D legye a BE szakasz belsejébe úgy, hogy DE DC. Ekkor ECD háromszög egyelő oldalú. A BCE háromszögbe alkalmazzuk a si tételt: BE BC, de si BCE si BEC mb 60 és mbec 60 m BCE BE BC B si 60 si 60. () Az ABC és ABD háromszögbe, így Iakab Tibor, Sepsiszetgyörgy BC BC AD AD AD R si 60 si A si ABD C B si B si 60 Itt felhaszáltuk azt, hogy mabd mabc mcbd mb 80 m A 0 mb mb mc m C m B m B m B 60. Az () és () összefüggésekből következik, hogy DA BE. Viszot BE DB DE DB DC, így DA DB DC. ()

5 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály 5. feladat: Egy táblára felírjuk -től 05-ig a számokat. Két játékos felváltva letöröl lépésekét számot. 83 lépés utá a táblá szám marad. Ha a táblá maradt szám külöbsége 03, akkor az első játékos yer, külöbe a második játékos. Kiek va yerő stratégiája? Szilágyi Judit, Kolozsvár és Szilágyi Emőke, Marosvásárhely A számokat párosítjuk úgy, hogy a külöbségük 03 legye. A párok: (,04), (,05),..., (00,05). Pár élkül maradak az 003, 004,..., 03 számok. Az első játékosak va yerő stratégiája: első lépésbe leveszi a pár élküli számot. Ezek utá bármelyik számot veszi le a második játékos, ő leveszi ezek közül a pár élkül választott számok párját és a többit párosával. Így az ő lépései utá midig csak i, 03 i párok maradak a táblá. Mivel 83 lépés va, utolsóak az első játékos lép, így a táblá egy előző típusú pár marad és így a külöbség 03.

6 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. forduló -. osztály 6. feladat: Háyféleképp lehet 0 darab egyforma méretű golyót sorbaraki, ha a golyók közül 4 zöld, 3 fehér és 3 piros, és ics két azoos szíű szomszédos golyó? Róka Sádor, Nyíregyháza Először elhelyezzük a 3 fehér és 3 piros golyót, majd közéjük helyezzük a 4 zöld golyót. A 3 fehér és 3 piros golyó elhelyezési lehetőségei 3 C6 0. Jelöljük f el a fehér golyók helyét, p vel a piros golyók helyét, z vel a kötelezőe behelyezedő zöld golyók helyét, illetve * al a zöld golyóklehetséges helyeit. Az első tíz lehetőség: Elhelyezési red Lehetőségek száma f z f zf pz p z p * f z f * p * f * p z p * * f z f * p z p * f * p * * f z f * p z p z p * f * * f * p * f z f * p z p * * f * p * f * p * f * p * * f * p * f * p z p * f * * p * f z f z f * p z p * * p * f z f * p * f * p * C5 0 C5 0 C4 4 C5 0 4 C C6 0 C4 4 3 C6 0 * p * f z f * p z p * f * C5 0 Összese: 4 A fehér és piros golyókat felcserélve ugyaeyi esetet kapuk. Így a lehetséges esetek száma: 4 48.