B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke"

Átírás

1 B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze) a) em létezik; b) ; c) ; d) ;. Az = +, sorozat a) periodikus; b) határértéke ; c) mooto; d) korlátla;. Az I = e d itegrál értéke a) e ; b) e ; c) e + ; d) e + ; 5. Háy komple gyöke va a z 5 = z egyeletek? a) ; b) 5 ; c) 6; d) 7 ; e) végtele sok. 6. Ha = log 8, akkor egyelő a) ; b) ; c) ; d) 8 ; 7. Ha z + z = 8+ i, akkor z + z egyelő a) ; b) + i ; c) 6i ; d) + 6i ; e) 6 + i. 8. Az + = egyelet ( ) megoldásai a) egész számok; b) valódi komple számok; c) égyzetéek összege 5 ; d) egy itervallumot alkotak;

2 88 B teszt 9. Az M = { = } { (+ ) + = } halmaz elemeiek száma a) ; b) ; c) ; d) ; e).. Az A(,, ), B(,,) és C (,, 7) potok által meghatározott sík és az M (,, ) pot távolsága a) ; b) 5 ; c) ; d) ;. Ha u + v = i j, akkor u + v egyelő u + v = i + j a) i 7 ; b) i + j ; c) 8i 7 j j ; d) 7i + 8j ;. A B(, ) pot távolsága az y + 5 = egyeletű egyeestől a) ; b) 9 ; c) 6 ; d) 5 ;. Az A (, ), B (,) és C (, ) potok által meghatározott háromszög területe a) ; b) ; c) 5 ; d) ;. Ha si = cos, akkor π kπ a) π + k ; b) 8 { + kπ k } ; (k + ) π c) k ; π kπ π d) + k 8 { + kπ k }; π kπ π e) + k 8 { + kπ k }.

3 B teszt Ha a b (k + ) π, k, akkor az ( cosa + cosb) ( sia + sib) E = ( cosa + cosb) + ( sia + sib) tört értéke a) si ( a + b) ; b) cos( a + b) ; c) + s i(a + b) ; d) si a + b ; + si 6. Az I = d itegrál értéke + e + si a) ; b) ; c) + e ; d) ; tg si 7. A lim arctg határérték a) em létezik; b) ; c) ; d) 6 ; e). 8. Az f :, f ( ) = arctg függvéy egy primitívje e a) arctg + l ; b) arctg + l( + ) ; c) arctg ; + d) arcsi l( + ); e) arctg + l Azokak az a paraméterekek az összege, amelyekre az + ay + z = a + y + = egyeletredszerek ics egyértelmű megoldása + 5y + az = a) ; b) ; c) ; d) 6;. Az = egyelet gyökeiek szorzata a) ; b) 8 ; c) ; d) 8 ;

4 9 B teszt. Ha az f ( ) = + a + b+ 6 poliomak (a, b ) a + i komple szám gyöke, akkor az a + b értéke a) 5 ; b) ; c) 89 ; d) 5 ; e) 5. +,. Az f :, f ( ) = függvéy, > a) em ijektív; b) em szürjektív; c) periodikus; d) em jól értelmezett; e) bijektív.. A + y 7 =, + y + = és = egyeletű egyeesek által meghatározott háromszög G súlypotjáak a koordiátái: a), 5 5 ; b), 5 5 ; c) 7, ; d), 5 5 ;. Az AB C háromszög csúcsai A (, ), B (5, ) és C (5, 6). A y = 7 egyeletű egyees a) a BC oldal felezőmerőlegese; b) a háromszög egyik magasságpotja; c) a háromszög egyik szögfelezője; d) a háromszög egyik oldalfelzője; 5. Az f ( ) = arccos arctg kifejezés + π a), ; b) π, ; c), ha > ; d) övekvő; 6. Egy kokáv égyszög oldalaiak felezőpotjai által meghatározott égyszög a) trapéz; b) kokáv égyszög; c) paralelogramma; d) átlói harmadolják egymást; e) szögeiek mértéke számtai haladváyba vaak. 7. Azo m értékek összege, amelyekre az f :, m, < f ( ) = függvéy deriválható -e m e ( m + m ), a) ; b) ; c) ; d) ; e).

5 B teszt 9 8. Az f :( a, a), f () = függvéy (a a + > ) egy primitívje a) arctg a a ; b) arctg a a ; c) arctg a a ; a d) arcsi ; a + a π k kπ 9. Az = si sorozat határértéke k= a) em létezik; b) ; c) ; d) π ; e). Ha a ab ac π. P ( ) ab b bc, eseté (a b c a), = ac bc c akkor a P ( ) = egyelet gyökeiek összege a) a + b + c ; b) ( ) a b c ( a + b + c ); a + b + c ;d) + + ; c) ( ). Ha és az + = egyelet két gyöke, akkor az E = + kifejezés értéke + + a) ; b) 9 ; c) + i i + ; d) ; e) Ha f : \{,,}, f ( ) =, ( )( )( ) \{,, } és f ( ) = a + b + c, \{,,}, akkor a + b + c a) 9 ; b) 7 ; c) ; d) ;

6 9 B teszt. Ha és az + = és illetve az + = egyelet gyökei, akkor az ( )( )( )( ) szorzat értéke a) ; b) 6 ; c) ; d) 6 ;. Az AB C egyelő oldalú háromszögbe meghúzzuk az AD magasságot (D (BC)). Ha CD = 5, akkor a) a háromszög kerülete ; b) a háromszög területe 5 ; c) AD (, ) ; d) tetszőleges belső potra az oldalaktól való távolságok összege 5 ; e) létezik olya M pot a háromszög síkjába, amelyre MA + MB + MC = Egy háromszög súlyvoalai a) felezik egymást; b) icseek egy síkba; c) párokét összefutóak de em mid összefutóak; d) áthaladak a háromszög köré írt kör középpotjá; 6. Az = [si ] si sorozat a) álladó; b) mértai haladváy; c) koverges; d) mooto; 7. Az f :, f ( ) = ( ) függvéy ifleiós potjaiak száma a) ; b) ; c) ; d) ; e). 8. Az ( + ) e egyelet [ itervallumba eső gyökeiek száma =,] a) ; b) ; c) ; d) ; e) végtele sok. π 9. Az I si = d, sorozat határértéke a) em létezik; b) ; c) π ; d) π ; π Ha S = és T = , akkor a T S lim határérték

7 B teszt 9 a) em létezik; b) l; c) ; d) ;. (,+) mide részcsoportjába összeadjuk az elemeket, majd az így 6 kapott összegeket is összeadjuk. Az eredméy a) ; b) ; c) ; d) ; e). k. Jelöljük r -val az f = X + k poliom ( X ) -vel való osztási k k maradékát. Ha r, = eseté, akkor értéke k k= a) ; b) 5 ; c) 7 ; d) 7 ;. Az ( ) + = egyelet valós gyökeiek maimális száma eseté a) ; b) ; c) ; d) ; e). 9. Ha A M ( ) és A =, akkor det( A) egyelő a) ; b) ; c) ; d) ; 5. Háy darab M(, y), y, pot eseté teljesülek a következő egyelőtleségek: + y, y 8, y 8. a) ; b) ; c) végtele sok d) 7 ; e).

8 9 B teszt B teszt Az örökkévalóság agyo hosszú, külööse a vége fele (Woody Alle) s még tesztet sem kell íri. Az összeg értéke a) ; b) ; c) ; d) ;. Azokak az m értékekek az összege, amelyekre az m A= m m mátri ivertálható a) ; b) ; c) 5 ; d) ; a b. Ha A = és A, akkor a = + b + c + d = c d a) 6 ; b) + ; c) ( 6 + ) ; d) ;. Ha = és = + ( + ),, akkor a lim + határérték a) ; b) em létezik; c) ; d) ; l( + si ) 5. Ha l = lim, akkor l > a) l = ; b) l = ; c) l = ; d) l = ; 6. Az ( + ) e d itegrál értéke a) ; b) ; c) 7. Két merőleges egyees iráytéyezőjéek szorzata ; d) ; e

9 B teszt 95 a) ; b) ; c) ; d) i ; 8. Az + y 8 y 6 = egyeletű kör átmérője a) 6; b) ; c) ; d) 8 ; 9. Az z = = egyeletű egyees és a z + y + z = egyeletű sík a) párhuzamos; b) merőleges; c) egy potba metszi egymást; d) -os szöget zár be;. Egy trapéz középvoaláak hossza és a magasságáak a hossza 7. A trapéz területe a) ; b) ; c) ; d) 7 ;. Ha u = i + j és v = i j, akkor az u v skaláris szorzat értéke a) ; b) ; c) 5 ; d) ;. Ha ε az = egyelet egy em valós gyöke és 5 P = ( ε)( ε )( ε )( ε ), akkor a) P = ; b) P = ; c) P = 9 ; d) P ; + = 5 + = + y a) ; b) 5 ; c) log 7 ; d) ;. Ha + y + y + y + y és 7, akkor értéke. Az f [ X], f = X X poliom gyökeiek összege 6 a) ; b) ; c) ; d) ; 5 e). 5. Ha az f X X = + poliom osztható az X + X + * poliommal, akkor létezik olya k, amelyre a) = 6k + ; b) = k ; c) = k + ; d) = k + ; * 6. Ha az ( a ) sorozat tagjai teljesítik az

10 96 B teszt = a + a a + a a + a a + a egyelőséget bármely, eseté, akkor a) ( ) mértai haladváy; b) ( a ) számtai haladváy; a c) ( a ) periodikus; d) ( a ) álladó sorozat; 7. Az [,] itervallumba háy darab természetes szám eseté va a + kifejtéséek -től függetle tagja? a) ; b) 8 ; c) 9 ; d) 9 ; Ha l = lim 8 + a) l = ; b) l = ; c), akkor 7 l = ; d) l = ; 8 9. Az 5a + b + c = feltétel ahhoz, hogy az a + b + c = egyeletek legye valós gyöke a [,] itervallumba (a,,c b és a ) a) szükséges; b) elégséges; c) szükséges és elégséges; d) em szükséges és em is elégséges; a + a +. Háy megoldása va az a + = b egyeletek, ha a > b > és természetes szám? a) ; b) ; c) függ a -tól és b -től; d) függ -től;. Az szám háy külöböző értékére egész szám a + + kifejezés értéke? a) ; b) ; c) ; d) végtele sok;. Ha, y,z, + y + z, + y + z = és = y = z =, akkor + y + z értéke a) ; b) ; c) ; d) ;

11 B teszt 97. Az f :, f () = a+ b, a, b, a b függvéyek a legkisebb értéke potosa akkor ab, ha a) a > b ; b) a + b = ; c) a b = ; d) a b = ;. k k k k C + C = k= k= a) ; b) ; c) ; d) ; 5. Háy valós megoldása va az + = egyeletek? a) ; b) ; c) ; d) végtele sok; Ha l = lim, akkor + + a) l = e ; b) l = ; c) l = e; d) l = ; [ ] 7. Ha és l = lim, akkor, > a) l = ; b) l = ; c) l = ; +, < d) l em függ -től; 8. A lim + határérték a) em létezik; b) ; c) ; d) ; 9.Legye H azokak az értékekek a halmaza, amelyekre az + +, \ f :, f ( ) = függvéy folytoos -ba. 5, elemeiek összege a) ; b) ; c) ; d) ; H

12 98 B teszt. Ha arcsi = arccos, akkor = a) ; b) + π ; c) ; d) ; 8. Az y = p egyeletű parabolába ( p > ) az első szögfelezővel párhuzamos húrok felezőpotjaiak mértai helye a) az y = p egyeletű egyees; b) az y =, p egyeletű félegyees; p p c) az y = p, egyeletű félegyees; d) az y = p egyeletű egyees; + y = r y = egyeest, akkor a) r = ; b) r = ; c) r = 5 ; d) r = ; Ha az egyeletű kör ériti a egyeletű p. Az y = m + (m ) egyeesek és az y = p egyeletű m paraboláak a) ics közös potja; b) egy közös potja va és az egyees em ériti a parabolát; c) egy közös potja va és az egyees ériti a parabolát; d) két közös potja va ;. Ha u egy rögzített vektor és az A pot a C( O, R) körö mozog (bejárja ezt a kört), akkor az OA + u vektor O kezdőpottú reprezetásáak végpotja a) egy egyeese mozog; b) egy körö mozog; c) bárhol lehet a kör síkjába; d) egy szakaszo mozog; π π 5. A si cos szorzat értéke 5 a) ; b) ; c) ; d) 8 ;

13 B teszt Az I = (, a ) halmazo értelmezzük az a y = y a( + y) + a + a, y, Ia műveletet. Ha az Ia elem iverzét a műveletre ézve -vel jelöljük, akkor + miimuma a) ( a ) ; b) ( a + ) ; c) ( a ) ; d) ( a + ) ; y 7. Az + = egyeletű ellipszishez a P (, 8) poto át éritőket 5 6 húzuk. Ha az éritési potoko áthaladó egyees egyelete y = a + b, akkor 5 5 a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; 5 5 kπ 8. Ha, j =, és k eseté, akkor a j si si si összeg a) tg + tg ; b) ctg ctg ; c) ctg ctg ; d) ctg ctg ; 9. Az f = ( X a) ( X + a) poliom a eseté a) irreducibilis [X ]-be; b) irreducibilis [ X ]-be; c) irreducibilis [ X ]-be; d) reducibilis [X ]-be; l. Ha I = e d, akkor a lim I határérték a) em létezik; b) ; c) ; d) l ;. Az d d itegrál értéke a + a ( a + )(6 a) a) l, ha a ; b) l, ha a (, ) ; 6 a a a + c) l, ha a ; d) l, ha a (, ) ; a + a

14 B teszt + a, <. Az f :, f ( ) =, a, b függvéy bl( + ), a) em folytoos ab, ; b) deriválható ab, ; c) potosa akkor deriválható -e ha a = b; d) potosa akkor deriválható -e ha a = b = ;. Ha ( + 5) = A + B 5 és A, B,, akkor a lim A határérték a) ; b). A lim { } B ; c) 5 ; d) ; határérték a) ; b) ; c) 5. A lim! határérték ; d) ; a) e ; b) ; c) ; d) em létezik; e

15 B teszt B teszt Ahogy a puszta kéz em elég az asztalosmukához, a puszta agy sem a godolkodáshoz (Bo Dahlbom, Lars Erik Jalert) a tesztekről jobb em yilatkozi. Ha f ( ) = + + és = + i, akkor f ( )-ba a) ; b) ; c) ; d) + i ;. Határozd meg Im f -et, ha f :[,], f () = +, [, ]. a) [,] ; b) [,]; c) [,]; d) [ 7,]; *. Határozd meg az értékét, ha az ( + ) kifejtésébe a legagyobb tag a -edik. a) = 7 ; b) = ; c) = 8 ; d) = ; k *. Az S = kc összeg bármely eseté k= ( + ) a) ; b) 6 + ; c) ; ; d) ( ) 5. Ha y = a + b aak az egyeesek az egyelete, amely áthalad az M (, ) poto és egyelő távolságra va az A (,) és B (, ) potoktól, akkor a + b a) ; b) ; c) ; d) ; e). 6. Az A (,), B (, ) és C (, ) potoko áthaladó kör sugara a) 5 ; b) ; c) ; d) ; e). 7. Milye m eseté ériti az y = m + egyeletű egyees az y = egyeletű parabolát? a) m = ; b) m = ; c) m = ; d) m ; 8

16 B teszt 8. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsa A(,5), B(, 7) és az átlók metszéspotja M(,). Határozd meg a CD oldal felezőpotjáak koordiátáit. a) (, ) ; b) (, 5) ; c) (,5); d) (, ) ; e) (, ). 9. Határozd meg az m paraméter értékét úgy, hogy az u = i + 5j k és a v = i + j + mk vektorok merőlegesek legyeek. a) ; b) ; c) ; d) ; e).. A C = C ( + C egyelet megoldásaiak száma (csak azokat + + ) vesszük figyelembe, amelyekre a megjeleő kombiációs együtthatók em ullák). a) ; b) ; c) ; d) végtele sok;. Az E = szám egyelő a) ; b) 5 ; c) ; d) 6; e) 8.. Ha ( + ) + ( + ) = 6, akkor + értéke a) ; b) ; c) ; d) ;. Ha, és az f = X + ax +b poliom gyökei (a, b ), akkor f ( + ) f ( + ) f ( + ) az S = + + összeg értéke a) ; b) ; c) a ; d) a + b;. Az -e értelmezzük az y log ( y = + ), y, műveletet. Az (, ) struktúra a) em kommutatív csoport; b) kommutatív csoport; c) mooid; d) em értelmezett, mert em művelet; 5. Ha a lim ( + + a ) határérték véges, akkor a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; e) a =.

17 B teszt a 6. Ha lim + + = e, akkor + a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; 7. Számítsd ki aak a körek a sugarát, amely áthalad az A (,) és B(,) potoko és középpotja a y = egyeletű egyeese va. a) ; b) 7 ; c) ; d) ; e). 8. Határozd meg azokat az M és M (, a ) potokat, amelyekből az AB szakasz derékszögbe látszik, ha A (,) és B (, 7). Az így kapott MM szakasz felezőpotjáak az ordiátája 5 a) ; b) ; c) ; d) ; e) A d : y =, d : y + = és d : y + 7 = egyeesek a) párokét 6 -os szöget zárak be egymással; b) egy derékszögű háromszöget határolak; c) összefutak; d) párhuzamosak; y y. Az + = és + = egyeletű ellipszisek metszéspotjai a b b a által meghatározott égyszög átlói által bezárt szög mértéke a) 5 ; b) 9 ; c) ; d) 6 ;. Az ABC háromszögbe D (BC) a belső szögfelező talppotja. Az AB AC BD DC külöbség értéke a) ; b) dabc (, ) ; c) ( AB ) AC 8 + ; d) BC ; e) AD.. Az a és b valós paraméterek milye értékeire va a ( a + b) + ( a b) + a b = b egyeletek potosa egy megoldása? a) a =, b ; * * b) b =, a ; c) b {,}, a ; d) a =, b = ;

18 B teszt. Az ( ) + + X + X, poliom egyik osztója a) X + X +; b) X X + ; c) X + ; d) X + X + ;. Az -e értelmezett az y = y y + α művelet. Milye α eseté lesz a ([, ), struktúra csoport? ) a) α ; b) α = ; c) α = ; d) α = ; 5. Ha A M ( ) és de t( A ) =, akkor k a) létezik k úgy, hogy A = ; b) létezik B M ( ) úgy, hogy B és A B = ; c) A em ivertálható de végtele sok jobboldali iverze va; * d) deta = ; 6. A, és 7 számok a) számtai haladváyt alkotak; b) mértai haladváyt alkotak; c) lehetek egy mértai haladváy (em föltétleül egymásutái) tagjai; d) em lehetek egy számtai haladváy (em föltétleül egymásutái) tagjai; 7. Ha A = és B =, akkor 7 9 a) AB = ; b) BA = ; c) AB ; 5 = d) AB = 9 ; 6 6 5

19 B teszt 5 = by + cz 8. Az y = a + cz egyeletredszer (a,, bc ) potosa akkor y = a + by redelkezik ullától külöböző megoldásokkal, ha a) ab + bc + ca + abc = ; b) a b + bc + ca abc = ; c) a b + bc + ca + abc = ; d) a = b = c = ; π e + cos 9. Az d itegrál értéke e + si + cos π l a) l( e π π l + ) + ; b) l ( e π ) + + ; π c) l ( e π l + ) + + ; d) em létezik;. Számítsd ki az f () = e, g () = e függvéyek grafikus képe és az = egyeletű egyees által határolt síkidom területét ( fg, : ) ( e ) a) ; b) e + ; c) e + + ; d) e + ; e e e e +. Ha az f :(, ), f ( ) =, > függvéy ferde aszimptotája y = a + b, akkor az a +b összeg értéke a) ; b) ; c) ; d) ;. Ha g : az f :, f () = + + függvéy iverze, akkor a) g () = ; b) g () = ; c) g () = ; d) g () = ;. Számítsd ki a a) ; b) t lim e t e d t határértéket! ; c) ; d) ;

20 6 B teszt. Ha l = lim arctg d, akkor π π a) l = ; b) l = ; c) l = ; d) l = ; 6 5. Azo körök középpotjaiak mértai helye, amelyek áthaladak az A(5, ) poto és éritik az ( + 5 ) + y = 6 egyeletű kört a) egy egyees; b) egy hiperbola ág; c) egy parabola; d) egy kör; e) egy ellipszis. 6. A C( O, R) kör rögzített belső potjá át meghúzzuk az AB és CD egymásra merőleges metsző húrokat. Az AD CB + AC BD összeg a) R ; b) ; c) R ; d) R ; e) OP. G \ halmaz a) részcsoportja ( GL ( ), ) -ak; b) em kommutatív csoport; 7. A = { } c) kommutatív csoport; d) em csoport, mert egyetle eleme sem ivertálható; ( + y+ z) = 8. Az y ( + y+ z) = 6 egyeletredszer megoldásaiak égyzetösszege z ( + y+ z) = a) ; b) ; c) 8 ; d) 9; cos cos cos 9. A lim határérték a) em létezik; b) ; c) 7 ; d) ;. Ha = , akkor a lim határérték C C C

21 B teszt 7 a) ; b) ; c) ; d). A lim k határérték + k = ; + π a) ; b) arctg; c) ; d) ;. Ha a = és = + + a a + a, akkor a lim a határérték a) π ; b) π π ; c) ; d) ;. Ha m és M az f :, f ( ) = a + p + q függvéy lokális miimuma illetve maimuma, akkor a m M szorzat értéke 7q p 6p p a) p + ; b) q + ; c) q + ; d) q ; a 7a 7a 7a. A c paraméter milye értékeire Darbou tulajdoságú az, f :, f ( ) = e függvéy? c, = a) c = ; b) c = ; c) c, ; d) em létezik ilye érték; 5. Az + 7 = 6 + egyelet gyökeiek száma a) ; b) ; c) ; d) ;

22 8 B teszt B teszt A yelvet azért találták fel, hogy az emberek elrejthessék godolataikat egymás elől. (Charles-Maurice de Talleyrad) Hát a tesztet? + 5y =. A redszer megoldása (, +, ) -ba 8 + y = 7 a) =, y = ; b) =, y = ; c) =, y = ; d) em egyértelmű;. Az ay + z = y + z =, a + a y z = a a egyeletredszer potosa akkor határozatla, ha a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; e) a =.. Az f :, f ( ) = ( + ) + + ( ) + függvéy a) miimuma ; b) miimuma ; c) em redelkezik lokális szélsőértékpottal; d) bijektív;. A X = egyelet megoldásába az elemek összege a) ; b) ; c) ; d) ; 5. Az -e értelmeztük az y = + y + ay, y, műveletet (a rögzített). A művelet semleges eleme a) ; b) em létezik; c) ; d) ; a a 6. Az a log 7 szám függvéyébe számítsd ki a log 8. = 8

23 B teszt 9 a) a + a ; b) a + ; c) a + ; d) a + ; 7. Az 9 + 5y = egyeletű ellipszis fókusztávolsága a) 5 ; b) 8 6 ; c) ; d) ; e) Háy közös potja va az + y + y = egyeletű körek és az + y = egyeletű egyeesek? a) ; b) ; c) ; d) ; e) végtele sok. 9. Számítsd ki a BA C mértékét, ha A (,), B (, ) és C (5,). a) ; b) 6 ; c) 5 ; d) 9 ; e).. Az ABC háromszög csúcspotjai A (, ), B(, 5) és C ( 5,7). Ha Gy (, ) az oldalak felezőpotjai által meghatározott háromszög súlypotja, akkor + y értéke a) ; b) ; c) ; d) ; MA. Az AB szakaszo vegyük fel az M potot úgy, hogy MB =. Határozd meg az M pot koordiátáit ha A (,) és B (8,). a) 6, ; b),6 ; c),6 ; d) 6, ;. Az AB C háromszög két csúcspotjáak koordiátái A (, ) és B (5, 7) és a magasságpotja H (, ). A harmadik csúcs koordiátái a) (6, ) ; 5 b) (5, ) ; c) 5, 6 ; d), ; e),. Az a milye értékeire merőleges a d :( ) ( 5 ) 8 és d :(5a 7) ( ) 7 egyees egymásra? a) a = ; b) a {,} ; c) a {, } ; d) a = ; e) a =.

24 B teszt. Egy derékszögű háromszög egyik befogójáak két végpotja A (,) és B (,5). Az átfogó iráyvektora v (, 8). Határozd meg a harmadik csúcs koordiátáit. 5 a) (, ) ; b), ; c) (, 7) ; d) (, ) ; e) (, ). λ λ 5. Azokak a λ értékekek az összege, amelyekre az A = λ λ mátri ragja em égy a) 6; b) 6 ; c) ; d) ; 6. Az kifejezés értéke a) 5 5 ; b) egatív; c) egész szám; d) ; 7. A + = egyelet valós megoldásaiak halmaza a) {,}; b) ; c) { ±,} ; d) végtele sok elemet tartalmaz; 8. A egyelőtleség valós megoldásaiak halmaza a) [,] ; b) [, ]; c) [,] {9} ; d) ; 9. A log + log y = + y = 5 egyeletredszer megoldásaira az y szorzat értéke a) ; b) ; c) 5 6; d) ;., és az + = egyelet gyökei. Számítsd ki a = determiást.

25 B teszt a) ; b) ; c) ; d) ;. Ha A M ( ) * * és A az A adjugált mátria, akkor deta értéke a) ; b), ha de ; c) ; d) ; deta ta deta det A. Ha yz =, akkor az yz z y S = y + yz + z + z + + y összeg értéke a) ; b) függ yz,, -től; c) csak -től függ; d) ;. Ha A M ( ), A és létezik olya k, amelyre A k =, akkor a legkisebb ilye k a) ; b) ; c) 8 ; d) függ A -tól;. A (,+) és (,+ csoportok ) a) izomorfak; b) em izomorfak; c) egyetle csoportmorfizmus létezik (,+)-ról (,+ )-ra; d) végtele sok csoportmorfizmus létezik (,+)-ról (,+ )-ra; 5. A C összeg értéke k k= p+ k p ( )! a) + p! ( )! p + ( + ) ; b) + p! p p! ( p)! + ; c) p ; d) p! ; 6. Ha az f = X + ax + a * poliomak (a és ) a g = X poliommal való osztási maradéka, akkor az f -ek az X + -gyel való r osztási maradékára a) r {,6} ; b) r = ; c) r = 6 ; d) r {,} ;

26 B teszt ( ) t 7. Határozd meg az f : \{}, f ( ) = e l t+ t dt, \{} függvéy lokális szélsőérték-potjaiak számát. a) ; b) ; c) ; d) végtele; e 8. Számítsuk ki a ( ) lim l d határértéket. a) e ; b) ; c) ; d) ; 9. Ha a, akkor az l( + a) I = d itegrál értéke + > a a) ; b) arctga + a + a + ; c) arctg a ; d) a ;. Ha az + = egyelet egyetle valós gyöke ( ), akkor a lim határérték a) ; b) ; c) ; d) ; e) em létezik.. A lim + + l határérték a) ; b) ; c) ; d) 6 ; 5,. Az f :, f ( ) = függvéy az alábbi, \ itervallumok közül melyiket traszformálja itervallumba? a) [,]; b) (, ) ; c) (, ) ; d) (, ] ;. Számítsd ki az k * I = d itegrált, ha k. + e

27 B teszt a) ; b) k + ; c) ; d) ; k. Számítsd ki az y = egyeletű görbe ívhosszát az = és = abszcisszájú potok közt (y > ). 8 a) ( ); b) ( ); c) ; d) ( ); 7 5. Számítsd ki a lim + e határértéket. e a) ; b) ; c) ; d) e ; e) em létezik. 6. Az I = + d, sorozat a) álladó; b) periodikus; c) em korlátos; d) mooto; 7. Ha a = e d, akkor a lim a határérték a) ; b) ; c) em létezik; d) k k 8. A lim e si határérték k= a) si 5 e ; b) e si e cos ; c) e cos + e si ; d) ; ; 9. Számítsd ki az origóból az ( ) + ( y ) = egyeletű körhöz húzható éritők által bezárt szög tagesét. a) ; b) ; c) ; d) 7 8 ; e) 9.

28 B teszt. Az AB CD tetszőleges égyszögbe az AB CD + BC AD összeg a) AC BD ; b) AC BD ; c) AC DB ; d) AC BD AB + + AD ;. Az AB CD kove égyszögbe O és O az AC és BD felezőpotja. A OO = BC feltétel AD a) szükséges de em elégséges; b) elégséges de em szükséges; c) szükséges és elégséges; d) em szükséges és em elégséges; e) egyéb ahhoz, hogy ABCD paralelogramma legye.. AB és CD egy kör két egymásra merőleges metsző húrja és P a metszéspotjuk. A v = PA+ PB + PC + PD összeg a) ; b) PO ; c) AC + BD ; d) AB + CD ;. Egy háromszög csúcsai A (, ), B (9, ) és C (6,). A magasságpot koordiátái a) (5,) ; b) 6, ; c) (7,) ; d), ;. Azo körök középpotjaiak mértai helye, amelyek átmeek az A (, ) poto és éritik az + y =5 egyeletű kört a) egy egyees; b) egy kör; c) egy hiperbola; d) egy ellipszis; 5. Az 5 + log = 7 egyelet gyökeiek száma a) ; b) ; c) ; d) végtele ;

29 B5 teszt 5 B5 teszt Az, hogy rácsot látsz magad előtt, még em jeleti, hogy fogoly vagy. Lehet, hogy te vagy kívül.. A ( b ) mértai haladváyba b b + b = és b + b = +. A haladváy első tagjáak és kvócieséek összege a) ; b) ; c) + ; d) ; e) +. bc a a. Ha a b c a, akkor a = ac b b determiás ab c c a a a a a) ( b a)( c b)( c b) ; b) b b ; c) b b ; c c c c d) abc ;. Ha a - értelmezett y = y + a + ay + a, y, művelet asszociatív, akkor a) a = ; b) a = ; c) a {,} ; d) a {,} ;. A z z + = egyelet megoldásaiak száma a) ; b) ; c) ; d) 6; e) végtele. arcsi 5. Az f ( ) = kifejezés maimális értelmezési tartomáya a) [,); b) [,]; c) [, ) (, ) ; d) [,); ( )! 6. Az =, sorozat! a) em korlátos; b) mooto; c) korlátos de em koverges; d) koverges; e) periodikus.

30 6 B5 teszt 7. A lim a) a + b határérték a + b ; b) ab ; c) ab a + b ; d) a + b ; 8. Számítsd ki a BAC szög mértékét, ha A (,,), B (,,) és C (,, 5). a) ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9 ; e). 9. Írd fel az A (,, ) és B (,,) potoko áthaladó egyees egyeletét. a) y z + = = ; b) + y z + = = ; c) y + z + y z = = ; d) = = ;. Számítsd ki az AB C háromszög területét ha A (, ), B(, ) és C(,). a) 5; b) 7 ; c) 5 ; d) 5 ; e) 9.. Az AB CD körbeírható égyszögbe AB =, BC =, CD = és DA = 5. Számítsd ki a égyszög területét. a) ; b) ; c) ; d) ; y. Az + = egyeletű ellipszisbe írjuk téglalapot, amelyek két 9 szembefekvő oldala áthalad a fókuszpotoko. A téglalap területe a) 8 ; b) ; c) ; d) 7 ; e) 7.. Az A, B, C és D potok affiumai redre a, ib, ib ε és aε, ahol ab, + i és ε =. A BD és AC egyeesek által bezárt szög mértéke a) 9 ; b) ; c) 6 ; d) 5 ; e).. Az a oldalhosszúságú égyzet köré írjuk kört és a kör köré szabályos hatszöget. A hatszög és a égyzet területéek aráya

31 B5 teszt 7 a) ; b) ; c) ; d) ; e). 5. Egy egyelő szárú háromszög alapja a és a szára írható kör sugara a) d) a 6 ; b) ( ) a ( ) ( ) ; e) a a a ; c) ; a A si + cos = egyelet megoldáshalmaza a) { } ( ) k π π kπ k 6 6 ; b) ( ) k π π + kπ k 6 + { } ; ( ) π π 6 ( ) π π 6. A háromszögbe k c) { + + kπ k } { } ; d) k + + kπ k ; 7. Ha a + b = a + b, akkor az a és b vektorok a) párhuzamosak és elletétes iráyításúak; b) merőlegesek; c) egyelők; d) azoos iráyúak és azoos iráyításúak e) -os szöget zárak be. 8. Az AB CD paralelogrammába M (BD) és N (AC) úgy, hogy OM = MD és ON = NC, ahol O az átlók metszéspotja. a) MN = AB + AD ; b) MN = AB AD ; 6 6 c) MN = AB AD ; d) MN = AB AD ; 6 6 e) MN = AB + AD. 9. Ha y, miimuma y + és y, akkor az + y kifejezés

32 8 B5 teszt a) 5 ; b) 6 ; c) 5; d) ; e).. Ha v, v (,, ) és v (,, ), akkor a) v v és v v de v v ; b) v felírható a v és v lieáris kombiációjakét; c), v és lieárisa függetleek; d), v és v v párokét merőlegesek egymásra; v v. A = egyelet valós gyökeiek száma a) ; b) ; c) ; d) ; ) 5 5. Az ( + 6 biom kifejtése háy irracioális tagot tartalmaz? a) ; b) ; c) 8 ; d) 7 ; e).. Az f = X + X + ax + bx + c, abc,, poliom mide gyöke egész szám és =, = két gyöke. Az a + b +c összeg a) ; b) 6 ; c) ; d) ; e) 8.. Ha ( ) log +,, akkor a a+ a) a (, ) (, ) ; b) a (, ) ; c) a (, ) ; d) a (, ) ; p [ ka] k= 5. A lim p+ határérték a, p és p > eseté ([ ] az egész része) a a) p + b) a ; p c) em létezik; d) ; e). si + cos 6. A lim e + e si határérték a) ; b) ; c) em létezik; d) ; e). 7. Ha f : \{,}, f () = 5 + 6, akkor f () ()

33 B5 teszt 9! ; b)! ; c)! ;! ; e)! +. a) d) 8. Ha a = és a = a +,, akkor a lim( + )! la ( + )! határérték a) e ; b) e ; c) e ; d) ; e). 9. Az f :, f () = függvéy + a) grafikus képéek szögpotja va; b) grafikus képéek három lokális szélsőérték potja va; c) grafikus képéek két külöböző aszimptotája va; 5 d) teljesíti az f () egyelőtleséget eseté; e) eseté az f ( ) = egyelet, és gyökeire teljesül az + + = egyelőség.. Ha az f :[,], f () arcsi I = f ( ) d, akkor + a) I = l + ; b) I = l ; c) I = ; d) I = ; = függvéyre ( ). Az a ( + ) a C... ( ) a C a a + rekurzióval értelmezett sorozat a) mértai haladváy; b) számtai haladváy; c) periodikus; d) kostas; 5. Bármely a eseté az + a + (a + ) + a + = egyeletek em lehet a) három valós gyöke; b) egész gyöke; c) -él kisebb gyöke;

34 B5 teszt d) egatív gyöke;. A ( 6 + 5) számba közvetleül a tizedesvessző utái egymást követő 9 -es számjegyek száma a) ; b) ; c) 5 ; d) ; a b. Adott a d rögzített szám és a H = a, b halmaz. db a a) H a mátriok összeadásával és szorzásával test ; b) Ha d em teljes égyzet, akkor ( H, +, ) -ba icseek zérusosztók ; c) d eseté véges sok egység létezik ( H, +, ) -ba ; d) Ha d = 6, akkor ( H, +, ) test; 5. Ha,, az + p + q = egyelet gyökei, akkor a = determiás értéke p p a) ; b) ; c) 7q ; d) p 7 9q ; * 6. Ha, akkor az [ + + ] [ + 6] kifejezés értéke a), ; b), ; c) függ -től; d) szigorúa pozitív ; 7. Ha és az a + ( b ab ) b = (a, b, a ) egyelet gyökei, akkor a) és ; b) és ; c) és ; d) és ; 8. Az = + egyelet megoldásaiak száma a) ; b) ; c) ; d) ;

35 B5 teszt 9 + 7i 5 9. A + i + 9 i 7+ 6i kifejezés értéke a) ; b) ; c) ; d) + i ;. Az a paraméter milye értékeire teljesíti az f :, + a + f ( ) = függvéy az Im f = [, 5] egyelőséget? + a) a [,] ; b) a = 5± 9 ; c) a = ± ; d) em létezik ilye érték;, (,. Az f :[,], f ( ) ] = si függvéy a c valós c, = paraméter milye értékeire primitiválható? a) c = ; b) c = ; c) c = ; d) em létezik ilye érték;. Az I = d sorozat határértéke + a) ; b) ; c) si. Az I = d itegrál értéke l + ( ) ; d) em létezik; a) ; b) ; c) l ; d) ; e) l.. A lim cos( π ) a) em létezik; b) ; c) határérték ; d) 5. Az log = 8 egyelet megoldásaiak száma ; a) ; b) ; c) ; d) ;

36 B6 teszt B6 teszt Bizoyos helyzetekbe a legjobb dötést úgy hozhatjuk, hogy feldobuk egy pézérmét. ( + i) 9. A z = komple szám egyelő 7 ( i) a) + i ; b) i ; c) i ; d) ; e) i. ε ε. Ha ε harmadredű egységgyök és ε \, akkor az M = ε ε ε ε mátri ragja a) ; b) ; c) ; d) ;. A + biom Newto-féle kifejtésébe háyadik tag em tartalmazza -et? a) 6 ; b) ; c) 5 ; d) ; e) 9. ( ). Ha az f :, f ( ) = ma + a+ b, + b+ a függvéyre (a, b ) f () = és f ( ) =, akkor a + b értéke + b a) a ; b) ab ; c) ab + ; d) a b ; 5. Ha a = , akkor a) a ; b) a = ; c) a < ; d) a > ; e) a =. 6. A + + = + 7 egyelet valós gyökeiek száma a) ; b) ; c) ; d) 6 ; e). 7. Ha f :, f ( ) = + + +, akkor Im f 7 7 a) (,); b), ; c), ;

37 B6 teszt d) (,); 8. Számítsd ki az A (,, ) és B (,,) pot távolságát. a) 6; b) ; c) ; d) ; e). 9. Ha + by + cz = az A(,, ), B(,,) és C (,,) potoko áthaladó sík egyelete, akkor + b + c értéke a) 6; b) 5; c) ; d) ;. Írd fel az A (,,) poto áthaladó : y z d = = egyeesre merőleges sík egyeletét. y z a) + y + z = 6; b) + + = ; c) + y + z = ; 6 d) + y + 9z = ;. Egy égyszög átlóiak hossza és. Számítsd ki a égyszög területét, ha az átlók -ös szöget zárak be egymással. a) 6; b) ; c) ; d) 7 ;. Az y = p egyeletű parabolába írjuk egyelő oldalú háromszöget, amelyek egyik csúcsa a parabola csúcspotja. A háromszög oldaláak hossza a) p ; b) p ; c) p ; d) p ;. A z = + i affiumú A potot -al elforgatjuk az origó körül trigoometrikus iráyba és az így kapott A potra ézve megszerkesztjük az origó A szimmetrikusát. Az A pot affiuma a) + + i ( ) ; b) + i( + ) ; c) ( )( i) + + ; d) ( )(+ i) ; e) i ( ) +.. Meyi az R sugarú kör köré írható egyelő oldalú háromszög és a körbe írható szabályos hatszög területéek aráya? a) ; b) ; c) 5 ; d) ; e).

38 B6 teszt 5. Egy trapéz párhuzamos oldalaiak aráya. A trapéz átlói és a trapéz alapjai és a két átlója két háromszöget határozak meg. Meyi e háromszögek területéek aráya? a) ; b) ; c) ; d) ; e) A cos cos = cos 5 cos 7 egyelet megoldáshalmaza kπ a) k 8 ; b) k π k ; c) kπ π + k 8 ; kπ π d) + k ; 8 7. Ha a + b = a b, akkor az a és b vektorok a) párhuzamosak; b) merőlegesek; c) egyelők; d) összege ; 8. Az OA B háromszögbe ma ( OB ) = 9, OA = OB, M ( AB ) és AM N ( OM) úgy, hogy MB = és ON = NM. Az NA + NB vektorösszeg a) ON ; b) ON ; c) ON ; d) ON + BA ; e) ON + AB. 9. Ha a = i + j k kosziusza a) és b = i + j +k, akkor az a és b által bezárt szög 9 ; b) ; c) ; d) 5 ; e).. Az AB C háromszögbe BC = 8, ma ( ) = 6 és mb ( ) = 5. Az AC oldal hossza a) 6 ; b) 6 ; c) 5 6 ; d) 8 6 ; e) 6.. Az a, a,, a számok számtai haladváyba vaak (ebbe a k sorredbe) és teljesítik a következő feltételeket: az első égy tag összege ;

39 B6 teszt 5 az utolsó égy tag összege 6 ; az összes tag összege. a) a = 8 ; b) a = 6 ; c) a = 56 ; d) k ; 7. Aak szükséges és elégséges feltétele, hogy teljesüljö az a + b + c a + b + c ( + + ) egyelőtleség eseté a) a = b, b < c; b) b a, a = c; c) a = b = c; d) a > b, b = c; y + az =. A + y z = + y + ( a + ) z = egyeletredszerek potosa akkor va a triviálistól külöböző megoldása, ha a) a = 6; b) b = ; c) a = ; d) a = ; e) a = 7.. Határozd meg a b, c paramétereket, ha az f = X X + bx + c poliom osztható ( X ) -gyel és + + =, ahol, és az f gyökei. a) ; b) 5; c) ; d) 6 ; ( + y) 5. A G = (,) halmazo y =, y, G. Ha az y + a + b f :(, ) G, f () = függvéy izomorfizmus az + ( *, ) és ( G, ) közt, akkor a + b értéke a) ; b) ; c) em értelmezett, mert ( G, ) em csoport; d) em értelmezett, mert ics ilye alakú izomorfizmus a két csoport közt; 6. Adott az f :[,], f () = + függvéy. a) em alkalmazható a Lagrage tétel, mert f em deriválható (,) -; b) em alkalmazható a Rolle tétel, mert f em folytoos;

40 6 B6 teszt c) a Lagrage tételbe megjeleő c értéke ; d) a Lagrage tételbe megjeleő c értéke ; 7. Az f :, f () = ma{,, } függvéy grafikus képéek a) két ferde aszimptotája va; b) két visszatérési potja va; c) három ifleiós potja va; d) két szögpotja va; e) egy szakadási potja va. 8. Az f : \ {}, f () = függvéy -edik deriváltja! a) ; b) ; c) ( ) ( ) ( ) ;! d) ; e) ( ) ( ). cos 9. Az π = + a) mooto; b) koverges; c) korlátos de em koverges; d) em korlátos; e) periodikus.. Ha =, és, akkor a + + (,) határérték a) em létezik; b) ; c) i. A lim + = határérték i lim (... ) ; d) ; e). a) ; b) ; c) ; d) ; e) e. cos,. Azok az a értékek, amelyekre az f :, f () =, = függvéy Darbou tulajdoságú a) ; b) ; c) ; d) [,]; e) a =. π. Az f :[,], f () = függvéy ívhossza

41 B6 teszt 7 a) 5; b) 7 ; c) 9 ; d) 9 ; e).. Az m paraméter háy külöböző értékére va az 8 + m + m = egyeletek két egész gyöke? m m a) ; b) ; c) ; d) végtele sok; 5. Az f :[,], a),+ 8 +, [,] f ( ) = + +, [,] ; b), + függvéy képe ( Im f ) ; c) ; d) ; m 6 6. Az + 6 m, m \ m + { } egyelőtleség megoldáshalmaza a) [6 m, m] ; b) (, m] [6 m, ) ; c) ; d) [6 m, ) ; a + by + cz + dt = b ay dz ct 7. Az + = egyeletredszerek a,,, bcd és c dy az + bt = d + cy bz at = a + b + c + d eseté a) ics megoldása; b) végtele sok megoldása va; c) potosa egy (,,,) -tól külöböző megoldása va; d) csak a triviális megoldása va; 8. A + a = + a, a egyeletek potosa akkor va egyél több valós gyöke, ha a), a, ; c) a,) ; d) a, ) ; 9. Háy megoldása va az + y = + egyeletredszerek az y = 7 halmazba?

42 8 B6 teszt a) ; b) ; c) ; d) végtele sok;,. Az f :, f ( ) = függvéy, = a) primitiválható a (,) itervallumo; b) em primitiválható az (, ) itervallumo; c) itegrálható, - * ; d) em itegrálható [,] -e;. A lim i j i< j a) ; b) k határérték ; c) ; d) ; d * *. Ha a = k, k és b = l a + + +,, k k= akkor a lim b határérték a) ; b) ; c) ; d) l ;. Ha f :, ( ) = ( )( )...( ) és az ( ) f párokét külöbözek, akkor a ( ) összeg értéke a) i< j k= f ; b) ; c) ( ) i d) ; π j. A si(si d ) itegrál értéke a) em létezik; b) k = számok i i, f ( ) f ( ) ; ( )( )...( ) π π π ; c) ; d) ; * 5. Határozd meg az összes olya f : függvéyt, amelyre * f () = f(), és f () =. A fk () összeg értéke a) 55 ; b) 55 ; c) 55 ; d) 55 ; e) 55. k=

43 B7 teszt 9 B7 teszt A matematikáak több köze va a tréfához, álmokhoz, hisztériához, mit azt általába vélék. (Seymour Papert). Adott az f :[,], f ( ) = ( ) függvéy. a) teljesülek a Rolle-tétel feltételei; b) f() = f() ; c) végtele sok c létezik, amelyre f () c = ; d) em alkalmazható a Rolle-tétel, mert f em folytoos;. Számítsd ki az A (, ) és B (5, 7) pot távolságát. a) 9; b) ; c) ; d) ; e).. Írd fel az A (, ) és B(,9) poto áthaladó egyees egyeletét a) y = ; b) y = ; c) y = + ; d) y = + ;. Számítsd ki az A (, ) potak a távolságát a d : + y = egyeletű egyeestől. 6 a) ; b) ; c) ; d) ; e). 5. Egységyi területű rombusz hegyesszöge. A rombusz oldala a) ; b) ; c) ; d) ; y 6. Az = egyeletű hiperbolába potosa akkor lehet égyzetet íri, a b ha a) a = b; b) a > b; c) b > a; d) b = a; e) b a. 7. Egy szabályos hatszögbe írt körbe írjuk egyelő oldalú háromszöget. A háromszög és a hatszög kerületéek aráya a) ; b) ; c) ; d) ;

44 B7 teszt 8. A si tg lim határérték cos π a) ; b) em értelmezett; c) ; d) ; e). 9. Az f :[,], f ( ) =, [,] függvéy grafikus képéhez az A(, y ) potba húzott éritő párhuzamos az y = + egyeessel. Ha A rakta va a függvéy grafikus képé, akkor a + b értéke 5 a) ; b) 5 ; c) ; d) 5 ; 5. Ha f :, f ( ) = si,, akkor f () ( π) értéke a) ; b) ; c) ; d) ; e). +. A lim határérték a) ; b) ; c) ; d) ; e) e. ay + z =. Az y + z = egyeletredszer megoldásai potosa akkor a + a y z = a függek egy paramétertől, ha a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a {, } ; e) a =.. Ha ε harmadredű egységgyök, akkor a = ε ε determiás a) + ε+ ε ; b) ; c) ; d) ε+ ε ; y. Adott a G = (,) halmaz és y =, y, G. y y + a) a művelet semleges eleme y = ; b) a em művelet G -, tehát ics semleges eleme; c) a művelet em asszociatív G -, tehát ics semleges eleme ; ε ε ε ε

45 B7 teszt d) y = ; 5. Ha y = y 9 9y + 9, y,, akkor a (, ) struktúra ivertálható elemeiek összege a) ; b) 8 ; d) 9 ; c) em értelmezett, mert végtele sok tagot tartalmaz; 6. Az ABCD égyzetbe M és N a DC illetve BC felezőpotja. Ha m = cosman, akkor a) m = ; b) m = ; c) m = ; d) m = ; e) m = Az A (,,) pot vetülete az + y + z + 5 = egyeletű síkra a) (,, ) ; b) (,, ) ; c) (,,); d) (,,); e) (,, ). 8. Ha AB(,, ), BC(,, ) és CD(,,), akkor az AB CD égyszög a) kokáv; b) átlói 6 -os szöget zárak be egymással; c) égyzet; d) trapéz; 9. Ha az ABC háromszögbe cosa+ cosb + cosc =, akkor a háromszög a) derékszögű; b) egyelő szárú és derékszögű; c) tompaszögű; d) egyelő szárú és az egyik szög mértéke 6 ; + tg. Ha tg y =, akkor tg π 5π (k + ) π a) y = + ; b) y = + ; c) y + k ; π d) y { + kπ k } ;. Az A (, ) pot az + y + 6y = egyeletű kör a) belső potja; b) középpotja; c) külső potja ;

46 B7 teszt d) középpotjától 5 egység távolságra va;. Az y = + + és y = + + λ parabolák milye λ eseté éritik egymást? * a) ics ilye λ ; b) λ { ± } ; c) λ = ; d) λ ; *. Ha a rögzített és az, y,z számokra + y + z = a és + + y z =, akkor a a) = y = z ; b) ( a) ( y a)( z a) = ; c) yz = ; d) yz,, ;. Az X + X + poliom a) irreducibilis [X ]-be; b) reducibilis [ X ]; c) gyökei mid valós számok; d) gyökeiek égyzetösszege ; e) gyökei közül kettő valós és kettő em. 5. Az = m ( + ), m egyeletek a) három valós gyöke va, m ; b) két valós gyöke va m ; c) egy, kettő vagy három gyöke va m -től függőe; d) egy vagy két gyöke va m ; 6. Az ( ) számtai haladváyba a a + a 6 a a + a = és a k k 5 =. A haladváy álladó külöbsége a) ; b) ; c) ; d) 6 ; e). 7. Az f :[, ), f () =, és g :[, ), g () = 8, függvéy grafikus képe által határolt korlátos síkidom területe a) 8 ; b) 5 7 ; c) 7 6 ; d) ; e). 8. Az f :, si, f () = függvéy, =

47 B7 teszt a) mooto; b) folytoos; c) primitiválható; d) periodikus; e) korlátla. d 9. A lim a a + határérték a) ; b) em létezik; c) ; d) l ; e).. Az + m = egyeletek a) egy pozitív gyöke va, ha m < ; b) egy egatív gyöke va, ha m > ; c) mide gyöke pozitív, ha m > ; d) va egy duplagyöke ha m ; e) potosa egy pozitív gyöke va ha m.. Határozd meg az összes olya f : függvéyt, amelyre f ( ) = f( ), és számítsd ki az S = l f( k) összeget. k= a) S = ; b) S = 685 ; c) S = 685 ; d) S = 685 ; e) S = A { } {} + = egyeletek ({ } az törtrésze) a) végtele sok racioális megoldása va; b) végtele sok irracioális megoldása va; c) ics megoldása; d) két racioális megoldása va;. Az S arctg = k= k sorozat határértéke π π a) arctg ; b) ; π c) ; d) ; e) Ha σ = permutációra a legkisebb olya * k k szám, amelyre σ = e a) ; b) ; c) 6 ; d) ; e).

48 B7 teszt 5. Ha ab,,c és a + b + c =, akkor az b c c a a b a c ( b c) + b ( ) c a + kifejezés értéke ( a b) a) ; b) ; c) a + b +c; d) ; a + b + c 6. Ha az ( A, +,) gyűrűbe =, A, akkor a) =, A; b) =, A; c) =, A; d) =, A; 7. Az ( m ) (m ) + 7m 6 =, m egyeletek potosa akkor va két valós gyöke, ha a) m (, ), ; b) m (, ), ; c) m (, ) (, ) ; d) m (, ) (, ) ; 8. A z z + egyelőtleség -beli megoldásaiak halmaza a) [,] ; b) [,] { + i }; c) [,] + αi α ; d) ; m 9. Az f :(, ) (,), f () =, > függvéy + a) potosa akkor ijektív, ha m ; b) potosa akkor ijektív ha m (,] ; c) potosa akkor szürjektív, ha m = ; d) potosa akkor bijektív ha m ;. A + [ ] + = egyelet valós megoldásaiak száma a) ; b) ; c) ; d) végtele sok;. Az y, számok teljesítik a + y = egyeletet. Ha m az y legkisebb és M a legagyobb értéke, akkor a) m = és M = ; b) m = M = ; c) m = és M = ;

49 B7 teszt 5 d) 5 és M = 5 ; tlt, t >. Ha f :[, ), ft () = ( + t ) és I = f () t dt,, t = * \{}, akkor a lim I határérték a) l ; b) ; c) l ; d) ;. Az ab,,c paraméterek milye értékeire primitiválható az ae + b + c f :, f () = lim függvéy? e + a) em létezek ilye értékek; b) a =, b = és c = ; c) c = és a, b tetszőleges; d) a = és b, c tetszőleges; p+. A l( + a ) d itegrál értéke a (,) (, ) és p eseté a) la p + ; b) la p ; c) la p ; d) ; 5. Az a ( )( )( ) = egyelet összes gyöke potosa akkor valós, ha 6 a) a (,], 9 ; b) (, ] 9 a, ; 6 9 c) a (, ], 6 ; d) (, ] 6 a, ; 9 9 e) a (,], 6.

50 6 B8 teszt B8 teszt. Az a b c b c a c a b determiás kifejtése A legeslegértékesebb godolat az értékes godolatok godolata + + ) + + ( ) a) ( a b c ( a b c) ; b) ( a + b + c) ab + ac + bc a b c ; c) ( a + b + c) ; d) ( a + b c) ( a b + c)( a + b + c) ;. Ha f :(,), f ( ) = l a) ; b) em létezik; c) +, akkor f értéke 6 ; d) ; 5 6. Adott a G =, halmaz és y 6 y =, y, G. + y 5 a) a semleges eleme a ; b) a semleges eleme a ; c) a semleges eleme a és a ; d) ics semleges elem, mert em művelet G -; *. Az f :, f () = e függvéy -ed redű deriváltja ( ) a) e ; b) e ; c) e ; d) e ; 5. Az A (,, ), B (,, 7), C (,, ) és D (,, ) potok a) egy szabályos tetraéder csúcspotjai; b) egy síkba vaak; c) egy egyeese vaak; d) icseek egy síkba; y 6. Határozd meg az = egyeletű hiperbola aszimptotáit. a b a a a a) y =± ; b) y = a + b ± ; c) y = a b ± ; b b b b d) y = ; a

51 B8 teszt 7 7. Ha ( a b) lim =, akkor a + b értéke a) ; b) ; c) ; d) ; e). 8. Az f : \{,}, f () = + száma a) ; b) ; c) ; d) ; 9. A e lim ( ) cos + l + határérték a) ; b) ; c) 5 ; d) ; e). a + b,. Ha az f :, f () =, > + függvéy deriválható, akkor a + b értéke a) ; b) ; c) ; d) ;. Határozd meg az α : y + z 7 = és β : y z + = síkok szögéek mértékét. a) 5 ; b) ; c) 5 ; d) 6 ; e) 9.. Ha a, b, c tetszőleges vektorok (a ) és u = ( a b) c ( a c) b a b v = a b, akkor az u v skaláris szorzat értéke a a a) ; b) ; c) ; d) a + b + c ;, y. Az A (,) pot az + = egyeletű ellipszis 6 9 a) fókuszpotja; b) belső potja ; c) külső potja; d) középpotja;. Számítsd ki az AB C háromszög területét, ha A (,,), B(,,) és C(,, 5)

52 8 B8 teszt a) ; b) 7 6 ; c) ; d) ; 5. Az A, B és C pot affiuma redre + i, + i éa i. Az ABC háromszög területe a) ; b) 5 ; c) ; d) 7 ; e) Az ABC C -be derékszögű háromszögbe CA = CB, M ( AB) és CN N ( CA) úgy, hogy AM = =. Ha OA = a és OB = b, akkor NA MB a) = ( a MN b ); b) MN = ( a + b ); c) ( ) MN = a + b ; d) MN = ( a + b ); e) ( ) MN = a b. 7. Ha a = i j kosziusza a) ; b) 8. Ha a + b = λ( a b) és b = i + j, akkor az a és b által bezárt szög ; c) és λ ; d) 9 65 \{ ± }, akkor az a és b ; a) merőlegesek; b) egyelők ; c) összege ; d) párhuzamosak; 9. Ha z = cosϕ + i si ϕ, ϕ [, π], akkor + z értéke ϕ a) c os ; b) ϕ cos ; c) ; d) ;. Ha az + ( m ) + m + = és ( m ) + m m + + m = ( ) egyeletekek potosa egy közös gyökük va ( ), akkor m + a) ; b) ; c) ; d) ) értéke ;. A ( + biom kifejtésébe a racioális tagok száma a) ; b) 5 ; c) 78 ; d) 57 ; e).

53 B8 teszt 9. A P = X X + X poliomak legfeljebb háyszoros gyöke lehet, ha és? a) ; b) ; c) ; d) 5;. A P = X + X X poliom mide természetes szám eseté osztható a) ( X ) ; b) ( X ) ( X + ) ; c) ( X + ) ( X ) ; d) ( X + X + )( X ); e) ( X X + ) ( X ).. Egy kör köré írt egyelő szárú trapéz alapjaiak hossza a és b. A trapéz szárai a kört az M és N potba éritik. Számítsd ki az MN szakasz hosszát a és b függvéyébe. a) ab ; b) ab a + b ; c) a + b a b ; d) a + b ; 5. A + = egyelet valós megoldásaiak száma a) ; b) ; c) ; d) 6; 6. Ha = + + A és B =, akkor a) B ; b) A> B; c) A= B ; d) A < B; 7. Ha ( a + b + c) ( ab + bc + ca) = abc, akkor a) a = b = c = ; b) a = b = c = ; c) ( a + b) ( b + c)( c + a) = ; d) a = b = c = ; 8. A lim határérték > a) em létezik; b) ; c) ; d) ; 9. Ha f : és g : övekvő függvéyek, akkor a) f g is övekvő; b) f g csökkeő; c) f + g övekvő; d) f g övekvő;

54 B8 teszt. Ha az + p + q = egyelet gyökei, és, valamit Sk k k k 6S 5 = + + és E = 5S S, akkor a) E = ; b) E = ; c) E csak p -től függ; d) E csak q -tól függ;. Az + m + m = egyeletek m eseté a) lehet midkét gyöke egész; b) az m paraméter 6 külöböző értékére va legalább egy egész gyöke ; c) ha va racioális gyöke, akkor az egész szám; d) em lehet egész gyöke; a + b, <. Az f :, f ( ) = a +, (ab, ) függvéy potosa akkor a) szigorúa mooto ha a > és b > ; b) ijektív, ha szigorúa mooto; c) szürjektív ha a < és b > ; d) ivertálható ha b = ; + y + z = a + y + z = m + y + z = a megoldásaiak szorzata potosa akkor, ha a) m =± ; b) m =± a ; c) m =± ; d) m =± a; e) m = a vagy m = a. *. Az egyeletredszer (a rögzített). Az f :, f ( ) = függvéy grafikus képe a) végtele sok egész koordiátájú potot tartalmaz; b) em tartalmaz egyetle egész koordiátájú potot sem; c) szimmetrikus az origóra ézve; d) szimmetrikus az O tegelyre ézve; 5. Ha = { = } A, akkor a) A = {} ; b) A {,} ; c) A = ; = { }

55 B8 teszt d) A =, {} ; 6. Ha az + a + b + a + = egyeletek va valós gyöke (a, b ), akkor az a +b kifejezés miimuma a) ; b) ; c) ; d) ; Ha g : az f :, f ( ) = + függvéy iverze, akkor a) g () = ; b) g () = ; c) g () = ; 6 6 d) potosa akkor létezik a 5 lim p ( g( ) ) határérték, ha p = ; 5 8. Ha határérték a = arcsi( ) d és + b a = arctg( ) d, akkor a lim a) ; b) ; c) ; d) em létezik; 9. Az π cos + ( si ) cos d itegrál értéke ( ) ( ) si si + cos π π a) ; b) ; c) ; d) ; π b. Az f :, si, f () = a, = függvéy potosa akkor primitiválható, ha π a) a = ; b) a = ; π c) a = ; d) a ;

56 B8 teszt. Határozd meg a c paraméter értékét úgy, hogy az f :(, ), c e + l, (, ] f ( ) = függvéy folytoos legye., > a) c = ; b) c = ; c) c = ; d) c = ;. Az I = d sorozat eseté a lim I határérték + + a + a) a + ; b) ; c) ; d) ; a + arctg, \ {,} +. Az f :, f () = π, = függvéy π, = a) em folytoos = -be; b) em folytoos = -be; c) deriválható -e; d) grafikus képéek az O tegely aszimptotája; e) grafikus képéek egy ferde aszimpototája va.. Határozd meg az összes olya f : függvéyt, amelyre f ( ) = f( ), és f () = e. Az így kapott f függvéyre számítsd ki az S = l f( k) összeget. k= a) 55 ; b) 55 ; c) 55 ; d)55 ; e) 5. f( ) 5. Ha az f :(, ) függvéyre f ( + ) +, >, akkor a) f em ijektív; b) f bijektív és f ( ) + f ( ), ; c) csökkeő; d) f ( ) = log ; f

57 B9 teszt B9 teszt A laikus fejébe sok lehetőség kiálkozik, a mesterébe csak kevés (Daisetz Teitaro Suzuki). Az f () = Pe () függvéy deriváltja P [ X ] és gr( P) = eseté a) Q() e, ahol Q [ X ] és gr( Q) = ; b) Q()e, ahol Q [ X ] és gr( Q) = ; c) Q() e, ahol Q [ X ] és gr( Q) = ; d) Q() e, ahol Q [ X ] és gr ( Q) ;. Az f :, f ( ) =, függvéy egy primitív függvéye l( ) ( ) l a) e ; b) e l ( ) ; c) e ; l l l l( ) d) e ; l. Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az f :, f ( ) = a+ 6 függvéy grafikus képéek két szögpotja legye, amelyek abszcisszájáak összege 5 a) 5; b) ; c) ; d) ; e). 6. Az = , általáos tagú sorozat + a) em korlátos; b) korlátos de em koverges; c) periodikus; d) koverges; e) em koverges, de va határértéke. si 5. A lim határérték a) ; b) ; c) ; d) em létezik; e). 6. Háy potba folytoos az f :, függvéy +, f ( ) =, \

58 B9 teszt a) ; b) ; c) ; d) végtele sok; e). 7. Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az + f ( ) = függvéy grafikus képéek a maimális értelmezési + a +a tartomáyá egy függőleges aszimptotája legye. a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) em létezik; e) a =. 8. Ha f :, f ( ) = arctg,, akkor f () () értéke a) ; b) ; c) ; d) ; + i 9. Határozd meg a z = komple szám trigoometriai alakja i ( ) 5 a) π cos si π i + π π ; b) cos i si + ; c) ( cos π + i si π) ; d) ( cos π + i si π );. Ha tg =, akkor si értéke a) 6 ; b) 9 9 ; c) 5 ; d) ; e) Ha z + = cosϕ, akkor eseté z + egyelő z z a) s iϕ ; b) cosϕ; c) c osϕ ; d) c osϕ ;. Az a befogójú egyelő szárú derékszögű háromszögbe egy belső pot távolsága a befogóktól u és v. Meyi a távolsága az átfogótól? u + v a) ( a u v) ; b) ( u + v a) ; c) a ; u + v d) a ; P

59 B9 teszt 5 8. Ha si a + sib = és cos a + cosb =, akkor tg( a + b) értéke a) 7 ; b) 7 7 ; c) 56 ; d) ; e). 9. Ha egy AB C háromszögbe cosa+ cosb = sic, akkor a háromszög a) egyelő szárú; b) egyelő szárú és derékszögű; c) derékszögű; d) tompaszögű; 5. A C 5 = 5 V ( ) egyelet megoldásaiba a számjegyek összege a) 5; b) ; c) 8 ; d) ; e) 5., y y 5 9 = 6. Ha ( ) a egyeletredszer megoldása, akkor + y értéke + = 6 a) ; b) ; c) ; d) ; e). 7 + =, akkor 7. Ha ( ) a) = log (7 + ) ; b) = ; c) d) = ; = log (7 + ) ; 8. Az {,,,, 5} halmaz mide harmadredű kombiációjából készítsük egy olya háromjegyű számot, amelybe a számjegyek övekvő sorredbe vaak egymás utá. Az így kapott számok összege a) 6 ; b) 756 ; c) 98 ; d) 9 ; e) Az A = mátri iverzébe az elemek összege a) ; b) ; c) 7 ; d) 5 ;

60 6 B9 teszt. Számítsd ki a 5 -be a = determiást. a) ; b) ; c) ; d) ; e).. -ba az + y = 5 egyeletredszerek ( α ) potosa akkor 6 6 α + 5y = va egyértelmű megoldása, ha a) α = ; b) α {, } ; c) α {,,} ; d) α {,,} ; e) α {,,}. at. A lim cost e dt határérték a >, a eseté a a) ; b) + a ; c) + a ; d) a a ; e) a.. Az =, = +, sorozat határértéke + a) ; b) em létezik; c) ; d) ; si. A lim határérték kiszámítására + si a) alkalmazhatjuk a l Hospital szabályt; b) egymásutá kétszer kell alkalmazuk a l Hospital szabályt; c) em alkalmazhatjuk a l Hospital szabályt, mert a számláló deriváltja is lehet; si d) em alkalmazhatjuk a l Hospital szabályt, és lim si = ; + 5. Az ( ) = ( ) egyelet valós megoldásaiak száma a) ; b) ; c) ; d) ; e) Ha az f : függvéy Darbou tulajdoságú és ijektív, akkor a) szürjektív; b) mooto és folytoos; c) periodikus;

61 B9 teszt 7 d) folytoos de em mooto; 7. Az ABC háromszög súlyvoalaiak hosszát redre jelöljük m a, m és b m c -vel. Az m + m + m a b c a + b + c tört értéke a) ; b) ; c) ; d) ; 8. Az f :, fz () = iz+ ifüggvéy a) em ijektív; b) em szürjektív; c) bijektív; d) mooto; 9. Ha M(, y, z ) az A(,, ) pot vetülete az egyeletű egyeesre, akkor + y + z értéke y + z = = a) 6; b) ; c) ; d) ; e) 6. y. Ha az + = egyeletű ellipszis átmegy a P (, ) poto és ériti a b az + y = egyeest, akkor a + b értéke a) 6 ; b) 5 ; c) 5 ; d) 8 ; e) 68.. Az + y = egyeletű körbe húzzuk az O tegellyel párhuzamos húrokat. A húrok végpotjai kössük össze a körek az Oy tegelye levő potjaival. Mi az összekötő egyeesek (körö kívüli) metszéspotjaiak mértai helye? a) egy parabola a csúcsa élkül; b) egy hiperbola a csúcsok élkül; c) egy kör; d) egy ellipszis; e) egy félegyees.. Egy háromszög legagyobb oldalával szembe fekvő szög kétszer akkora, mit a legkisebb oldallal szembe fekvő szög. A háromszög oldalai egymás utá következő természetes számok. A háromszög kerülete a) 9; b) ; c) 5 ; d) ; e).. Ha zz z, zz z és zz z egy egyelő oldalú háromszög csúcsaiak affiumai, akkor a) z = z = ; b) z + z + z = ; c) z + z + z = ; z

62 8 B9 teszt d), és z egy egyelő oldalú háromszög csúcsaiak affiumai vagy z z = z z = z ;. Az = + egyelet megoldásaira igaz, hogy + a) + = ; b) = ; c) = ; d) = ; e) =. 5. Az a b c d és a b c d + = + + = + a + b = c + d, kijeletés a) em igaz ha a,,, bcd ; b) em igaz ha a,,, bcd> ; c) igaz ha a,,, bcd ; d) csak akkor igaz, ha a,,, bcd> ; 6. Háy megoldása va az f ( ) = egyeletek, ha f :[,] [,],,, f ( ) = és f = f f... f.,, a) ; b) ; c) ; d) ; 7. Az f :, f ( ) = m+ m+, m függvéy csak akkor em vált előjelt a (,) itervallumo, ha 5 5 a) m +, ; b) m (,) ; c) m + 5, ; d) m (,); + m + 8. Az f :, f ( ) =, ( m, ) függvéy milye m + és értékre teljesíti az Im f = [, ] egyelőséget? a) m = és = ; b) m = és = ; c) m = és = ; d) m = és = ; e) m = és =.

63 B9 teszt 9 9. Ha a,, bc és c a (a b ), akkor z értéke a) ; b) ; c) d) ( ) a + b + c + ; a ibc b ica c iab z = + + ( a b)( a c) ( b a)( b c) ( c a)( c b) a + b + c ; [( a b)( b c)( c a) ]. Az ab,,c számokra a(a + b + c) >. Lehet-e az a + b + c = egyelet midkét gyöke az (, ) itervallumba? a) ige; b) em; c) függ a,,c b -től; d) csak ha a = b; + y + z =. Háy megoldása va az, + y + z = 6 egyeletredszerek? a) ; b) ; c) 6 ; d) 8 ; e) végtele sok. yz,, a. A a + a =, a egyelet valós gyökeiek száma a > a) ; b) ; c) ; d) ; l( + ). Az d itegrál értéke + a) ; b). A π π + l + ; c) π l 8 si lim d határérték si cos ; d) ; π π π a) ; b) ; c) ; d) ; Háy automorfizmusa va a (,+) csoportak? a) ; b) ; c) ; d) 6 ; e) végtele.

64 5 B teszt B teszt A profi akkor is képes tökéletes mukát végezi, ha semmi kedve hozzá. Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy az f :, f( ) potja. a) a = ; b) a = ; c) a = ; d) a = ; e) a =. = + a függvéyek legye abszcisszájú visszatérési. A lim si határérték a) ; b) ; c) em létezik; d) ;. A lim 7 határérték a) ; b) ; c) 7 ; d) 7 ; e) Határozd meg az ab,,c értékét úgy, hogy teljesüljö az ( ) a + b + c e d = ( + ) e + C egyelőség. Az a + b +c értéke a) ; b) ; c) ; d) ; 5. Határozd meg a c értékét úgy, hogy az f :, arctg, f ( ) = függvéy folytoos legye. c, = π a) c = ; b) c = ; c) c = ; d) c = π ; e) c =. π ( i)( + i) 6. Ha z =, akkor i a) Re z = ; b) Im z = ; c) z = i ; d) z = 5 ; e) z = i. 5 5

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok

SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 5. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 05. május 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg a valós számok halmazá az alábbi egyeleteket! a) si x cos x (6 pot) b) x x x (7 pot) a) cos x si x helyettesítése. Nullára redezve: si x si

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben