Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Átírás

1 Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra = = Az állításo logiai értée rere: hamis (téglalapa erészöge va) igaz (mie aat egyelő) igaz ( A -ál agyobb príme ± igaz ( a + b = c + ab cosγ < c cosγ < 0 ) alaúa; ( ± ) = 9 ± 6 + ). A szabályos háromszög öré írható ör sugara étszerese a beírható ör sugaráa Legye a beírható ör sugara r. Eor r π r π = π r = ( cm). A háromszög magassága: m = r = 6cm 5. A 7 játéos életoráa összege 7 = 68, a 6 pályá marat játéosé 6,5 = 5. A iállított játéos életora 68 5 = év. Helyes válasz betűjele: (A) 6. Az olalú ovex soszög átlóia száma ( ) = 00 = 0 7. ( x) = si x + si x = ( si x + ) 5 5 ( ) f. Egyelőség potosa aor áll fe, π ha si x =, azaz x = + π ahol Z.

2 8. a a 5 lg = 5 = 0 b b lg ab = 7 a b = 0 ( ) 7 a ab = b ( ab) = 0 ab = 0 x x+ 9. A ifejezés ott em értelmezhető, ahol: ( )( ) = 0 vagy x+ = azaz x =. Így a eresett összeg + 0 = x = azaz x = 0 0. Az iformáció szerit a tervezett mérőzése számáa 9 5 -e része 5. Tehát a 9 tervezett mérőzése száma: 5 = 5. Ha csapat vett részt a torá, aor a 5 ( ) mérőzése száma: = 5 90 = 0. Az egyelet gyöei: 0 illetve -9. Ez utóbbi em megolás.. x < y x < y. x = x és y = y özötti reláció bármi lehet. Pélául x = és y = eseté = ; x = 5 és y = eseté 5 > ; x = és y = eseté < = 5. Egy tag előjelée megváltoztatásával az összeg páros számmal csöe. A legisebb páratla természetes szám az, ami előállítható ( = ). 7xy 7 xy és 7 xy A -gyel való oszthatóság miatt y = 0; vagy 8. Így 0 x + y 7. A -mal való oszthatóság miatt a számjegye összege osztható -mal, ezért. x + y -mal osztva maraéot a. Így a lehetséges legisebb összeg a (x = ; y = 0), a legagyobb peig a 7 (x = 9; y = 8).Eze szorzata: 7 =. Az. és a. felaatot megolotta: x % ( 0 x 60) Az. felaatot megolotta, e a.-at em: (70 x) % ( 0 70 x 0 ) A. felaatot megolotta, e az.-t em: (60 x) % ( 0 60 x 0 ) Az. és a. felaat egyiét se olotta meg: (x 0)% ( 0 x 0 0 ) Az állításo logiai értée rere: igaz; igaz; igaz; hamis; igaz

3 5. A eresett pot: P (p; 0). PA( 7 p;), PB( p;8) A feltétele szerit PA PB PA PB = 0 Behelyettesítve: ( 7 )( p) + 8 = 0 p. Ie: ( ) = 0 p azaz p = 6. x 00 < 0 0 < x 00 < 0 9 < x < log y < < y < ( log x függvéy szigorú mooto öveeése miatt) A={x R 9 < x < } B={y R 0 < y < } A B={z R 0 < z < } Az A B halmazba 0 b egész szám va. 7. Az ADF egyelő szárú, így 80 ( ) DAF = = 5 A háromszög legagyobb szöge: EAF = DAF = 5 8. Azo a szava, amelye A; E; K betűvel ezőe a MATEK szó előtt álla. Eze száma:! = 7 Az M betűvel ezőő szava özül a MAEKT, a MAETK, a MAKET és a MAKTE álla a MATEK előtt az ABC sorrebe. Tehát a MATEK szó a 77. helye áll. 9. Az egyelet evivales az x 5x + = egyelettel, ahoa x 5x + = 0 vagy x 5x + 5 = 0. A Viéte-formulá szerit az első egyelet valós gyöeie szorzata, a másoi egyelet valós gyöeie szorzata 5. Mivel miét egyelet gyöei valósa és ülöböző ( D>0) és a ét egyelete ics özös gyöe, ezért a égy gyö szorzata Azo a számo maraa meg, amelye -re, -ra, 7-re vagy 9-re végzőe. Raju az első 00 b pozitív egész számot övevő sorrebe, 0-esével egy-egy csoportba. A ihúzás utá mi a 0 csoportba b -esre, b -asra, b 7-esre és b 9-esre végzőő szám mara. A megmaraó számo összege mie csoportba 0-ra végzői. Tehát az első 0 b egész számból megmaraó számo összege -re végzői. Helyes válasz betűjele: (A)

4 ..A trapéz özépvoala: FG AB, ezért GFB = FBA, így FG = BG = CG 6 + =, ezért BC = 0cm Pitagorasz tételét alalmazva a BTC -re: Mivel FG = 0( cm) ( 6 ) = ( cm) m = CT = A terület: T = 6 = 60( cm ). x + = = = 7 x + x x x + = = 7 x + x x = 7. Ha a fehér bástyát a tábla bármely mezőjére helyezzü, aor a többi 6 mező özül a feete bástya csa abba a sorba vagy oszlopba erülhet, ahol a fehér áll. Ez helyet jelet, így a érezett valószíűség: 0, 6. A erületi szöge tétele alapjá az e éritőe az AB illetve AC egyeessel bezárt szöge: γ illetve β. A BC egyeessel bezárt szöge: γ β, hisze a BCA = γ szög az APC ülső szöge. Emiatt a három olalegyeessel bezárt szög összege: ( 80 α ) = γ + β + γ β = γ = β 60

5 5. Ha az egész szám osztói ; ; ;...; aor az osztóat jeleti, csa más sorrebe. Emiatt Ie: = Így az ereméy: 00 = ; ; ;... is ugyaazo 6. A grafioról leolvasható, hogy f ( x) = f ( x), ha x [ 0;], egyébét f ( x) < f ( x). Így három egész megolása ( x = 0; ; ) va az egyelőtlesége. 5

6 7. A poliomalaba az együttható összegét megapju, ha az x = értéet behelyettesítjü a poliomba. Ez alapjá az összeg: ( + ) = Összes esete száma: = 950 X-et megvalósító esete: Y-t megvalósító esete: ülöbség = 99 eset ülöbség = eset ülöbség = 98 eset ülöbség = 5 9 eset..... ülöbség = 5 75 eset ülöbség = 99 eset összese: 5 = 75 eset összese: 50 = 75 eset Emiatt a Z eseméyt megvalósító esete száma: = 500 Tehát a helyes sorre: P ( Y ) < P( Z ) < P( X ) π x g = lieáris függvéy az itervallumo f grafioját. Mivel f és g is páratla függvéy, -ra is. Az x = 0 helye ialauló metszéspotot azoba étszer számoltu, így az összes megoláso száma: 00 = Az f ( x) = si00x függvéy perióusa π =. A ( x ) π x = π helye veszi fel az értéet, így grafioja a [ ;π ] 50 = 00 -szor metszi az ( x) ugyaez igaz a [ π;0] 0. Rossz megoláso száma: x Jó megoláso száma: x x 0 x.mivel x N, így x 8 + x x + = + x + = Potszám: ( ) MEGOLDÁSOK. B 6. E. E 6. C. C 6. C. E 7. B. C 7. D. C 7. B. B 8. C. D 8. D. C 8. E. C 9. B. D 9. C. D 9. D 5. A 0. D 5. B 0. A 5. C 0. C 6