SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
|
|
- Réka Molnár
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő diákok számára éháy gyakorlato és feladato keresztül Ezekbe az egész számokkal foglalkozuk: egész számok közötti oszthatóság, az Euklideszi-algoritmus és a legagyobb közös osztó létezése, a prímszámok elemi tulajdoságai, a Diophatoszi-egyeletek éháy speciális esete és még külöféle egyebek Egész számok oszthatósága Legye a pozitív egész számok (vagy természetes számok) halmazáak jelölése Azt modjuk, hogy a osztható a b számmal vagy, ekvivales módo, hogy b osztja a -t, ha létezik, olya c, hogy a = b c Ezt ba vagy ab M képletekkel jelöljük, és azt modjuk, hogy b az a szám osztója, vagy téyezője Hasolóa modhatjuk azt is, hogy az a szám a b többszöröse és ebbe az esetbe a következő jelölést haszáljuk: a = M b Ez a defiíció a em 0 egész számokra is alkalmazható, de a következőkbe mi a pozitív egész számokra szorítkozuk Most a következő elemi oszthatósági feltételekre emlékeztetük: ) Egy a szám osztható -vel, ha az utolsó számjegye páros (azaz osztható -vel); ) Egy a szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel (azaz 0 vagy 5); 3) Egy a szám osztható 3-mal, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal; 4) Egy a szám osztható 9-cel, ha a számjegyeiek összege 9; 5) Egy a osztható 0 -el, ha darab 0-ra végződik Eek a fejezetek az utolsó részéek kivételével, mide természetes szám a tízes számredszerbeli alakjába lesz feltütetve Mutassuk meg, hogy két páratla vagy két páros szám összege (külöbsége) midig egy páros szám Megoldás Legye m és a két páratla természetes szám, ekkor, m = p+, p és = r +, r Ekkor a+ b = ( p+ r + ) és a b = ( p r), amik egyarát páros számok Az az eset, amikor m és egyarát páros, hasoló Gyakorlatok () Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + ) osztható -vel! 3 Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + )( + ) osztható 3-mal! 4 Keressük meg x értékét úgy, hogy x 5 osztható 3-mal (illetve 9 eseté is keressük meg) 5 Mutassuk meg, hogy két egymást követő köbszám külöbsége soha em osztható -vel! 3 3 Megoldás Azt kapjuk, hogy ( + ) = 3 ( + ) + és mivel + ( ) páros, az -es gyakorlat szerit azt kapjuk, hogy két egymást követő köbszám külöbsége midig páratla Keressük meg 7 utolsó számjegyét! Megoldás Jelöljük ld( u) -val az u szám utolsó jegyét! (ld a last digit agol kifejezés rövidítésekét, jeletése: utolsó számjegy) Ekkor 4 ld (7 ) = Mivel 003 = , azt kapjuk, hogy ld (7 ) = 7 ; ld (7 ) = 9 ; 003 ld (7 ) = 3 7 Mutassuk meg, hogy N = osztható 5-tel! 3 ld (7 ) = 3 ;
2 998 Megoldás utolsó jegye midig 6; utolsó jegye megegyezik 7 utolsó 000 jegyével, ami 3 (mivel 999 = ); utolsó jegye megegyezik 8 utolsó jegyével, ami 6 (mivel 000 osztható 4-gyel) Így, N utolsó számjegye a következő összeg utolsó számjegye lesz, = 5, ami 5, ezért N osztható 5-tel 8 Mutassuk meg, hogy N = osztható 0-zel! Mutassuk meg, hogy a = osztható 7-tel bármely eseté 0 Mutassuk meg, hogy a = osztható 3-mal bármely eseté Bizoyítsuk be a 3 mal (vagy 9-cel) való oszthatóság feltételét! Legagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös Egy p > természetes számot prímszámak hívuk, ha csak osztója va: és ömaga Ellekező esetbe összetett számak hívjuk Mide természetes szám egyedi módo kifejezhető a prím osztóiak szorzatakét Két a és b természetes szám eseté a d természetes számot hívjuk a legagyobb közös osztóak, ha ) d a és d b; ) ha c a és c b akkor c d a és b legagyobb közös osztóját mide esetbe egyértelműe meghatározhatjuk és lko( ab, ) vagy egyszerűe ( ab, ) jelöléssel jelöljük, (hasoló módo bevezethető a legkisebb közös többszörös (továbbiakba lkkt(a,b)) fogalma, legye ez az olvasó dolga): Példa lko(4,90) = 6 például, mivel 3 4 = 3 és 90 = 3 5 Két a és b természetes számot, amikre lko( ab, ) =, relatív prímszámokak evezzük Megjegyzés Ha lko( ab, ) = akkor ab akkor és csakis igaz, ha a és b Példa Legye = 360, a = 4 és b = 90 Ekkor a és b (lásd az előző példát), de em osztható a b -vel, mivel lko( ab, ) = 6 Gyakorlatok () Adott a x természetes szám, keressük meg az x számjegy értékét úgy, hogy a megadott számak osztója legye az: a) 5; b) 6; c) Keressük meg az olya összes x3y alakú számot, ami osztható 5-tel! 3 Keressük meg a legagyobb és legkisebb olya 69x7y alakú számot, amik oszthatóak 8-cal! 4 Keressük meg x és y értékét úgy, hogy 45 osztója legye az 4xy számak! 5 Mutassuk meg, hogy a = osztható 56-tal! 6 Mutassuk meg, hogy az > eseté! a = alakú számok oszthatóak 7-tel mide 7 Mutassuk meg, hogy bármely szám eseté az a = szám osztható 8-cal! 8 Mutassuk meg, hogy 30 osztója az 5 - kifejezések bármely pozitív szám eseté
3 + + 9 Mutassuk meg, hogy az a = szám osztható 980-cal bármely eseté! 0 Legye ab, Mutassuk meg, hogy ha 3a+ 5bM 7 akkor, 4 a+ bm7 Fordítva is igaz? Mutassuk meg, hogy 5x + 7yM 3 akkor és csakis akkor igaz, ha x + 3yM 3 ( xy, ) Mutassuk meg, hogy 5a+ 8bM7 akkor és csakis akkor igaz, ha 4a+ 3bM7 ( ab, ) 3 Mutassuk meg, hogy 3a+ 4bM3 akkor és csakis akkor igaz, ha a+ 7bM 3 ( ab, ) 4 Mutassuk meg, hogy a következő számpárok bármely a) 6+ 5 és 7+ 6; b) 0+ 3 és 5+ 4; c ) és eseté relatív prímek: Egy a összetett szám osztóiak a száma, amiek a prím osztói p, p,, p azα, α,, α kitevőkkel redre, azaz a p α = p K p () a következőképpe adható meg: τ( a) = ( α + )( α + )( α + ) () 3 Példa Az a = szám az a = szorzat formájába írható fel, így az osztóiak a száma: (+ ) ( + ) (+ ) (3 + ) = 48 5 Keressük meg az összes olya kétjegyű számot, amiek potosa 3 osztója va! Megoldás A ()-es képletet haszálva arra jutuk, hogy = és α =, azaz a p formájú számok, ahol p egy prímszám A p = 5 és p = 7 eseté kapuk kétjegyű számokat Így, a keresett számok a 5 és 49 Gyakorlatok (3) 6 Keressük meg az összes olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va, és az osztóiak a szorzata 5! 7 Keressük meg az összes olya égyjegyű számot, amiek potosa 5 osztója va! 8 Keressük meg azt a természetes számot, amiek potosa 6 osztója va, továbbá az osztóiak a szorzata a) 95; b) Keressük meg az ab, 7 < ab 85 számokat úgy, hogy potosa 4 osztójuk legye! 0 Keressük meg az összes olya 0-zel osztható számot, amiek potosa 6 osztója va! Keressük meg a legkisebb olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va!
4 Mutassuk meg, hogy em létezik olya 35-tel osztható háromjegyű természetes szám, amiek potosa 9 osztója va a b 3 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya 3 5 alakú számot, amiek potosa osztója va 4 Keressük meg az x, yz, prímszámokat úgy, hogy az potosa 44 osztója legye x y z = 9 3 számak c 5 Keressük meg az olya 3 a b = 5 7 alakú számokat, amelyekre a 7 számak 36-tal több osztója va, és a 49 számak -vel több osztója va, mit az számak Két vagy több természetes szám legagyobb közös osztóját vagy legkisebb közös többszörösét azoba a számok szorzótéyezőkre botása élkül is meg lehet határozi, az úgy evezett Euklideszi-algoritmussal Legye ab, a két szám úgy, hogy, b 0 és b / a Először elosztjuk az a számot a b számmal és így megkapjuk a háyadost és az r maradékot, azaz q a = b q + r, 0 r < b Ezutá lecseréljük az a számot b-re, b-t pedig r -re, és megismételjük az előbbi műveletet: b = r q + r,0 r < r r = r q + r 3 3 M Amikor elérjük az r + = 0 -t, akkor az előző maradék, azaz r a keresett legagyobb közös osztó, azaz lko( ab, ) = r Példa Keressük meg lko(93,5) értékét! Megoldás Azt kapjuk, hogy 93 = = = = = és ezért l ko(93, 5) = 3 Megjegyzés Egyszerű megláti, hogy 93 = 3 3 és 5= 3 7, ami ugyaazt az eredméyt adja 6 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 089 és l ko( ab, ) = Megoldás Azt kapjuk, hogy a = m, b = és lko( ab, ) = Mivel a+ b = 089( = 9), azt kapjuk, hogy m + = 9, ami alapjá a következő relatív prím számpárokat kapjuk: ( m, ) {(,8), (,7), (4,5), (5,4), (7,), (8,)} A keresett számok: (,986),(4,847),(484,605),(847,4),(968,) 7 Keressük két külöböző ab>, számot úgy, hogy lkkt( ab, ) = 667 Megoldás Mivel 667 = 3 9, ezért a két szám a következő lehet: Gyakorlatok (4) a) 3 és 9; b) 3 és 667; c) 9 és 667
5 8 Keressük meg azokat az ab, számokat, amik kielégítik a következő feltételeket: a b = 600 és l kkt( ab, ) = 4 lko( ab, ) 9 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 08 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy 3 a = 7 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy lko( ab, ) = 4 és a b = Keressük meg az ab,, a< bszámokat úgy, hogy lkkt( ab, ) lko( ab, ) = 34 Ezt a részt két gyakorlatiasabb feladattal zárjuk, amik a legkisebb közös többszörös és/vagy legagyobb közös osztó segítségével oldhatóak meg 33 Ha egy iskola diákjait -es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os sorokba redezzük, akkor mide alkalommal egy diák marad ki a sorokból, de ha 7-es sorokba redezzük el a diákokat, akkor mide sor teljes és egy diák sem marad ki Keressük meg az iskolába tauló diákok számáak legkisebb lehetséges számát! Megoldás Mivel lkkt(,3,4,5,6) = 60, ezért a k szám miimális értékét úgy kell megkeresük, hogy A keresett érték a k = 5 (60 k + ) M 7 és így az iskoláak 30 diákja va 34 Egy busz állomásról 4 busz idul 4 külöböző iráyba redre 5, 8, és 8 percekét, 6 és óra között Tudva, hogy először 7:00-kor idul egyszerre mid a égy busz, keressük meg azokat az időpotokat még a ap folyamá, amikor midegyik busz egyszerre idul Megoldás Mivel lkkt(5,8,,8) = 360 és 360 perc = 6 óra, ezért azt kapjuk, hogy a buszok a következő időpotokba idulak mid egyszerre: 7:00; 3:00 és 9:00 Gyakorlatok (5) 35 Ha elosztjuk az a számot 4-gyel, 36-tal, 30-cal és 75-tel, akkor a maradék mide esetbe 5 lesz Keressük meg azt az 0000 a < számot, ami osztható -gyel! 36 Ha egy számot 9-cel, -vel és 5-cel osztuk, akkor az osztási maradék redre 6, 9 és lesz Keressük meg a maradék értékét, ha az számot 80-cal osztjuk! 37 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya háromjegyű számot, hogy 9-cel, 0-zel és 5-tel törtéő osztás eseté is 7 maradékot ad! 38 Keressük meg az összes olya 7-tel osztható háromjegyű számot, hogy -vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 6-tal törtéő osztás eseté ugyaayi maradékot ad! 3 Prímszámok A prímszámokkal és összetett számokkal kapcsolatos feladatok számottevőe változatosak A következőkbe bemutatuk éháy példát 3 Keressük meg az összes olya p prímszámot, amire p + egy égyzetszám
6 Megoldás Ha p+ = akkor p = = ( )( + ), ami összetett szám bármely > eseté Az = esetbe azt kapjuk, hogy p = 3, ami egyetle létező kért prímszám, ami a keresett tulajdoságokkal redelkezik 3 Keressük két a, b prímszámot úgy, hogy a + b = 883 Megoldás A kivételével mide prímszám páratla Mivel a+ b páratla ezért a = vagy b = ami azt adja, hogy b = 88 vagy a = 88, ami egy prímszám (elleőrizzük is!) 33 Mutassuk meg, hogy a + és + számok relatív prímek mide emegatív természetes szám eseté! Megoldás A következőt haszáljuk fel: Lemma Két a és b szám akkor és csakis akkor relatív prím, ha létezek olya p, q egész számok, hogy pa + qb = Így a következő jelölést haszálva: a = +, b = + azt kapjuk, hogy úgy, hogy pa + qb = Ezért + és + relatív prímszámok p = +, q = 4 34 Keressük meg az összes olya prímszámot, amire az + 4 és + 8 számok is prímszámok Megoldás Az + 4 és + 8 számok prímszámok, ha páratla és > (az em prímszám) Legye = k +, k A feladatba lévő három szám ekkor * k +, k + 5, k + 9, k (3) Vegyük észre, hogy k = eseté azt a megoldást kapjuk, hogy 3, 7, Megpróbáljuk leelleőrizi, hogy vajo ez adja-e az egyetle megoldást Ezért megpróbáljuk megmutati, hogy az összes többi értékre, amit a k szám felvehet, a feti listá (3) lévő számok közül legalább az egyik em prímszám lesz Kihaszálhatjuk azt a téyt is, hogy a feti megoldásba a legkisebb szám a 3 A 3-at is figyelembe véve, bármely k szám felírható a következő alakok egyikébe: 3 p, 3p+, 3p+, ( p ) mivel 0, vagy maradékot adhat k 3-mal osztva Ha k = 3p+, akkor k + = 3(p+ ) em prímszám (kivétel a p = 0 esetet, amikor k =, ami a már megtalált megoldást adja meg) Ha k = 3p+, akkor k + 5 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ha k = 3p, akkor k + 9 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ezért egyedül k = eseté, azaz = 3 eseté lesz midhárom megadott szám egyszerre prímszám Gyakorlatok (6) 35 Mutassuk meg, hogy bármely > 3 természetes szám felírható prímszámok összegekét Végezzük el a felírást = 004 esetére 36 Keressük meg az összes olya prímszámot, ami egyarát felírható két prímszám összegekét és külöbségekét is! 37 Három egymást követő prímszám összege +, Keressük meg ezeket a számokat, ha tudjuk, hogy va köztük két egymást követő szám!
7 38 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b- c = 530 és a-b = 966feltételeket! 39 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b = 7 és a+ b + c = 994 feltételeket! 30 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy a+ 0b+ c = 8 3 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy 3a+ 7b+ 9c = 54 3 Keressük meg az ab, prímszámokat úgy, hogy összegük 555 aba, aab és baa is prímszámok és az 33 Keressük meg a p prímszámot úgy, hogy p+, 3p+, 4p+ 3 és 6p + egyarát prímszámok! 34 Keressük meg az összes prímszámot úgy, hogy +, + 6, + 8 és + 4 szité prímek! 35 Keressük meg az összes olya pozitív prímszámot, amire +, + 3, + 7, + 9 és + 5 egyarát prímszámok 36 Határozzuk meg a p számot úgy, hogy a prímek p p,, p 4 + +, p + 0 számok mid 37 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy az számok mid prímek p, +, +, + p+ p+ 38 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy a számok mid prímszámok p p p p p , +, +, +, Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy p, p+ 3, p+ 3, p+ 3, mid prímszámok 3 p Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 4p + egy égyzetszám 3 Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 7p + egy égyzetszám 3 Mutassuk meg, hogy a következő számok összetett számok! 3, 343, 34543, * 33 Mutassuk meg, hogy az a = 0 + 6, szám em egy prímszám Határozzuk meg az a = 5 5 szám jegyeiek a számát! Prímszám-e ez a szám? A + szám prímszám-e? 36 Mutassuk meg, hogy az a = 6 + szám két -él agyobb relatív prímszám szorzata!
8 37 Létezik-e olya természetes szám, hogy az prímszám? 4 3 a = szám egy 38 Bizoyítsuk be az lemmát! 4 Számok más számredszerekbe törtéő megjeleítései Az előző részekbe mide számot a tízes számredszerbeli alakjukba haszáltuk Létezek más számredszerbeli megjeleítések is, amik külöböző okok miatt fotosak: például a -es illetve 6-os számredszerek az iformatikába fotos szerepe stb A kettes számredszer két számjegyet haszál, a 0-t és -et, a hármas számredszerbeli megjeleítés 3 számjegyet haszál: 0-t, -et és -őt és így tovább Hogy jelöljük, hogy az adott N szám egy b alapú számredszerbe va megjeleítve, azt írjuk, hogy N b = 0 eseté elhagyhatjuk a jelölést: ( b) 4 Mutassuk meg, hogy () + (3) + (4) + (5) + (6) =33(8) Megoldás Midegyik számot átalakítjuk a tízes számredszerbeli alakjába: = ; = 3 + = 4; = = ; () (3) (4) = = 3 (5) ; = = 4 3 (6) ; = = 3 33(8) , és leelleőrizzük az egyelőséget Valóba, azt kapjuk, hogy = Határozzuk meg az x számjegy értékét, ha x( x + ) (7) = ( x + ) x (4) Megoldás Igazak kell leie, hogy x + 3 és x Mivel xx ( + ) (7) = 7x+ x+ = 8x+ és ( x + ) x = 4( x + ) + x, így azt kapjuk x = Gyakorlatok (7) 43 Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy ( x) + 36( y ) = Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy 3( x) + 3( y) = 3 45 Háy jegyű a p szám a kettes számredszerbe, ha p = (a tízes számredszerbe)? 46 A kettes számredszerbeli alakjuk felírása élkül határozzuk meg, háy jegyűek az 34 és 567 számok a kettes számredszerbe! 47 Keressük meg a köbszámokat az a = 3 (4), b = 35(6), és c = 7(8) számok közt! 5 Kevert feladatok
9 5 Mutassuk meg, hogy az 444 {{ szám felírható két egymást követő pozitív egész szám szorzatakét szer szer 5 Keressük meg az összes olya háromjegyű abc számot, hogy abc = 8abc 53 Mutassuk meg, hogy abab cd = cdcd ab 54 Mutassuk meg, hogy egyetle + eseté sem leszek az a = 5 + és + b = 5 + számok égyzetszámok 55 Prímszám-e az 007 = + szám? 56 Mutassuk meg, hogy 7 4 em égyzetszám egyetle szám eseté sem! 57 Mutassuk meg, hogy hét egymást követő természetes szám égyzetéek összege osztható 7-tel 58 Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + abc + ab + a = Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + bcd + cd + d = 50 Határozzuk meg az a és b em 0 számjegyeket úgy, hogy aa a0a = bbbb 5 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket úgy, hogy ac b= abc 5 Határozzuk meg az a, b, c, d számjegyeket úgy, hogy abcd = cd bcd 53 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket és az számot úgy, hogy abc abc = cba 6 Megoldások, útmutatók, válaszok 6 Gyakorlatok () ld(983 ) = ld(3 ) = 9, mivel 986 (modulo 4), ld (984 ) ld(4 ) 6 a = = és 986 ld (985 ) = 5 Így ld( N ) = 0 és ezért NM0 5 3 (5 3 + ) = ( + ) + ( + ) = = = 8 7, ezért azt kapjuk, hogy am7 Mivel 0 a = (7 9) (3 7) 3 = = = + = M 7 3 ( ) Legye N = aa- aa a megadott szám Azt kapjuk, hogy
10 N = a 0 + a 0 + K + a 0 + a = K 9 = a(9 + ) + a (9 + ) + + a (9 + ) + a = = M + a + a + K + a + a Ezért NM3, (redre 9-re is) akkor és csakis akkor, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal, illetve redre 9-cel 6 Gyakorlatok () a) x {0,5} ; b) x {0,6} ; c) x = 6 Mivel 5 = 3 5 és lko(3, 5) =, 5 x3y akkor és csakis akkor ha osztható 3-mal és 5-tel is Azt kapjuk, hogy y = 0 és x {, 4,7} ; y = 5 és x {,5,8} 3 ( xy, ) {(0,4), (,), (4,0), (5,8), (7,6),(9,4)} 4 ( xy, ) {(5,0), (0,5), (9,5)} 5 Mivel 56 = 4 39 és lko(4,39) =, ezért elegedő bebizoyítai, hogy N M4 és NM39 Csakugya, így következik, hogy N = ( ) + 3 ( ) ( ) = 39 A, és 984 N = (3+ 3) + 3(3+ 3) (3+ 3) = B 6 és 7 Az 7-hez hasolóa 8 a 5 4 = = ( ) = ( )( + ) = ( -) ( ) ( ) Az és 3 alapjá tudjuk, hogy ( ) ( ) M Mivel 30 = 6 5 és lko(5,6) = ezért azt kell bizoyítauk, hogy am5 Bármely természetes szám felírható a következő alakok egyikébe: {5 k, 5k +, 5k +, 5k + 3, 5k + 4}, k N Ha {5 k, 5k +, 5k + 4}, akkor yilvávalóa am5 Ha = 5k +, akkor + = 5 k + 0 k + 4+ = M 5, míg ha = 5k + 3, akkor + = 5 k + 30 k + 9+ = M 5 9 Az 7-eshez hasolóa 0 Ez a következőből következik: (3a+ 5 b) + 7 (4 a+ b) = 7( a+ b) Visszafelé is yilvávalóa igaz - 3 A 0-hez hasolóa 4 a) Legye d = lko(6+ 5,7+ 6), ami azt jeleti, hogy d és d Ekkor d 6 (7+ 6) - 7 (6+ 5) =, azaz, d = 63 Gyakorlatok (3)
11 3 6 Két esetük lehet, vagy = d d ( d < d ) vagy = d, ahol d, d,d prímszámok A második esetbe az osztók d, d, d 3 de a d 6 = 5 egyeletek icse egész gyöke Így az marad, hogy = dd és a d d dd = 5 kifejezésből azt kapjuk, hogy d = 3 és d = 5 Ezért =5 a keresett szám 7 A számak a következő alakúak kell leie = d 4, d egy prímszám Ezért csak 4 d = 7 eseté lesz egy égyjegyű szám és ekkor = 7 = 40 8 a) = 45 ; b) = 3 9 ab 3 = p, p egy prímszám, vagy ab m ab {74, 77, 8, 85} =, m és prímszám Azt kapjuk, hogy a b 0 Mivel 0 = 5 és 6 = 3, ezért azt kapjuk, hogy = 5 ahol ( a+ )( b+ ) = 6 Ha a =, b =, = 50 ; ha a =, b =, akkor = 0 m p 4 = 3 7 és ie = a b c ahol ( m+ )( + )( p+ ) = 3 7 A legkisebb 6 számot m =, =, p = 6, a = 5, b = 3, c = eseté kapjuk meg, azaz 3 5 = 880 m Legye abc = 7 5 Az osztóiak a száma ( + )( m+ ) = = 3 és m + = 3 Így a legkisebb lehetséges szám a 7 5 = 5 lesz, ami égyjegyű 3 A legkisebb szám a 675 és a legagyobb az 5 (ha elfogadjuk, hogy az a és b szám lehet 0 is) 4 Tudjuk, hogy ( x + )( y + )( z+ ) = 44 Mivel x, y, z prímszámok, ezért a következő szorzatra botást haszáljuk: 44 = ami megadja a megoldásokat: (3,5,5), (5,3,5), (5,5,3) ; } újraíri! 64 Gyakorlatok (4) lko( ab, ) lkkt( ab, ) = a b 4 lko( ab, ) = 600 lko( ab, ) = 0 8 [ ] Így, a = 0, b= 80 vagy a = 80, b= 0 a megoldások 9 3 és a= 77, b= 33 3 ( ab, ) {(4,4), (8,), (,8),(4,4)} 3 Mivel lko( ab, ) a és a lkkt( a, b), ezért következik, hogy lko( ab, ) lkkt( ab, ) ahoa lko( ab, ) (lkkt( ab, ) lko( ab, )), ami szerit 34 lko( ab, ) Alkalmazzuk a következő jelölést d = lko( a, b) Ekkor d {,,7,34} és a megoldások: ( ab, ) {(,35),(5,7), (,36), (4,8), (7,5), (34,68)}
12 65 Gyakorlatok (5) 35 l kkt(4,36,30,75) = 800, így x= 800k+ 5, x Azt kapjuk, hogy x = 705 = + Így 9 ( 3) + és 5 ( + 3) Ezért 80 ( 3) + 3= 80k 36 lkkt(9,,5 = 80), = 9 c + 6; = c + 9 és 5 c3 ( 3) * k = 80k - 3 = 80( k -) + 77 A maradék lkkt(9,0,5) = 90 = 90k + 7 ; {87,997} +, +, azaz, 38 A maradék 0 vagy lehet Ha r = 0 = lkkt(,3,4,5,6,7) k, k {0, 40,630, 840} Ha r = lkkt(,3,4,5,6,7) = 30 és a legkisebb szám a = 30 A megoldások: k, k, azaz, {30, 5, 7, 93} 66 Gyakorlatok (6) 35 Ha = k, akkor = , míg = k + eseté azt kapjuk, hogy = k szer k szor 36 Legye p egy prímszám, p >, így p egy páratla szám Ha q + r = p és q r = p, akkor a q, r számok egyike és a q, r számok egyikéek párosak kell leie, azaz, p = q + = q, ahol q és q prímszámok Ezért p, p és p + mid prímszámok, így p = 5 az egyetle megoldás (bizoyítsuk be!) 37 + = ( + ) M, így a prímszámok egyike páros, azaz egyelő -vel, és így a többi páratla, és így em egymást követő számok Hogy legye két egymást követő prímszám, a 3-ak bee kell leie a halmazba, és a harmadik szám az + 5, ami prímszám = 3 eseté A számok, 3 és 7 38 a = 49, b = 83, c = 39 a =, b = 69, c = 73; a = 69, b =, c = a =, b =, c = és 53 3 a =, b = 3 33 p = 5 34 = 5 35 = 4 36 p = 3 eseté a következő megoldást kapjuk: 3,, 3, 9 Bebizoyítjuk, hogy ez az egyetle megoldás Bármely p természetes szám felírható a következő alakok egyikébe:
13 3 k, 3k +, 3k +, k Ha p = 3k és k >, p egy összetett szám ( p = eseté kapjuk a feti megoldást); Ha p = 3k +, akkor p + = 3(3k + k + ), ami egy összetett szám k ; Ha p = 3k +, akkor p + 0 = 3(3k + 4k + 8), ami egy összetett szám k p p+ p+ 37 Az prímszámak páratlaak kell leie Mivel a,, számok között midig találuk legalább egy M 3+ alakú számot, és legalább egy M 3+ alakú számot (bizoyítsuk be!), ezért a megadott sorozatba akkor és csakis akkor lehetek prímszámok, ha = 3k (és k = ), ellekező esetbe legalább az egyik szám összetett szám lesz Ezért = 3 és a sorozat: p { p+ } { p+ } 3, 3+, 3+, 3+ A következő eseteket vizsgáljuk: p {3 m, 3m +, 3m + m } ) p = 3m eseté azt kapjuk, hogy p 3 m m = ( ) = (7+ ) = M 7+ p+ p ( M7 ) M7 = = + = + p+ = M 7+ 4 p+ és ezért a 3+ = M 7 szám összetett szám m eseté (az m = 0 esetbe p 3 + = 4 egy összetett szám); p+ 3m+ p+ 3m+ ) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3+ = 3+ = 3+ = 3+ = M 7, ami összetett szám m eseté Az m = 0 esetbe egy prímszámokból álló sorozatot kapuk: 3, 5, 7 és ; p 3) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3 + =M 7, egy összetett szám mide m eseté Az m = 0 esetbe p =, és egy prímszámokból álló sorozatot kapuk {3,7,,9} Ezért a feladatuk megoldása ( p, ) {(3,),(3,)} 38 A 53-hoz hasolóa, azt kapjuk, hogy p = 3 és ekkor = Mivel a 3, 3, 3, 3 számok páratlaok, ezért a p számak párosak kell leie, azaz p = Az egymást követő 3, 3, 3, 3 hatváyok utolsó jegyei 3, 9, 7, leszek * valamilye sorredbe bármely eseté Így az egyik hatváy utolsó számjegye 3 lesz és így eek a hatváyak és -ek az összege 5-re fog végződi, azaz osztható lesz 5-tel Így az = 0 vagy = eseteket kaphatjuk, redre a, 3, 5,, 9 és, 5,, 9, 83 megoldásokkal 30 k 4p+ = k p =, k = l +, l és ie 4 p {,5,7} ll ( + ) p =, l Azt kapjuk, hogy 6 3 7p+ = k 7 p = ( k )( k + ) stb A válasz: p = 9 3 3=, 343=, K 33 a = és így a számjegyeiek összege 9, így am9 szer
14 ( ) + { a = 5 = 5 5 = = jegye va Mivel + szer + szer a számjegyeiek összege ( + ) M3, ezért a osztható 3-mal is 35 Vegyük észre, hogy 004 = és ie = ( ) + = ( + )( + ) Így a szám összetett szám a = + = 4 + = (4 + )( ) = 5k, ahol k = K = (5 ) (5 ) + K + (5 ) (5 ) + = M = M 5+, ami relatív prímszám az 5-höz képest 3 szer 37 a = ( + + ) + ( + + ) = ( + + )( + ) = ( + ) ( + ) ami egy * összetett szám, 67 Gyakorlatok (7) 43 x = 5, y = 7 44 x = 7, y = 4 vagy x = 4, y = p = = = { (), így p-ek 004 számjegye va a kettes számredszerbeli alakjába 004 szer < 34 < ; < 567 < Így, 34-ek jegye va és 567-ek 0 jegye va a kettes számredszerbe a = 7 = 3, b = 5 = 5 68 Kevert feladatok 5 a = (+ 0 + K0 ) (+ 0 + K+ 0 ) = = = (+ 0 )= A 0 és 0 + számok oszthatók 3-mal, mivel 0 = = 000 { 3 szer és Továbbá, = = szer 5 abc = 8abc bc = 4 a(bc 5) Megoldások: 8; abab = ab 0
15 54 a = 5000 { és b = 000 { Az a és b számok egyarát oszthatóak 3-mal, de 9-cel szer szer em, így em égyzetszámok 55 Mivel 007 = 9 3, ezért egy összetett szám 56 Bármely égyzetszám felírható a következő alakok egyikébe (bizoyítsuk is be!) Ezutá látjuk, hogy a formájú (ha páratla) 8 k, 8k +, 8k szám 8k + 5 (ha páros) vagy 8k (7 k) + (7k + ) + (7k + ) + (7k + 3) + (7k + 4) + (7k + 5) + (7k + 6) = = M = M7+ = M a =, b = 4; a = 3, b = 9; a = b = a ac b= abc c = 0a (4) b ami azt mutatja, hogy a (5) 6 Az em lehet, hogy c = mivel akkor a (4)-es állításból az következe, hogy 00 = a(0b 9) és így a = 4 (mivel 0 b 9 páratla) és ie 0b 9 = 9 ami lehetetle Ezért c és a (4)-es alapjá azt kapjuk, hogy a 0a 8 (6) b Ha a b {7,8} eseteket megvizsgáljuk, akkor a (6)-osból azt kapjuk, hogy a =, amire a (4)- es em igaz A b = 5 esetbe a (4)-es állításból az következik, hogy a {4,8}, amik em elégítik ki a (6)-ot Ezért a b = eset maradt Az (5)-ből az következik, hogy a páros és a (6)-ból az következik, hogy a 84, azaz a 8 Így a = 8 és akkor a (4)-es szerit azt kapjuk a végé, hogy c = 7 Így, a = 8, b = és c = 7 az egyetle megoldás 5 A 8-hez hasolóa megoldva azt kapjuk, hogy a = 3, b =, c =, d = 5 53 Az egyetle megoldás: a = 9, b = 6, c = 3 és = 97369
3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló
. Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Részletesebben1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenOszthatósági problémák
Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
RészletesebbenPrímszámok a Fibonacci sorozatban
www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat
Részletesebben4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!
4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenMatematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenOszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):
Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész
RészletesebbenSzámelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenBizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).
) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
Részletesebben2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}
2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebben1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései
12. Mellékletek 1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 1. Mikor tanít számelméletet és hány órában? (Pl. 9. osztályban a nevezetes azonosságok után 4 órában.) 2. Milyen könyvet használnak
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenOszthatósági alapfogalmak, oszthatósági szabályok
Számelmélet Oszthatósági alapfogalmak, oszthatósági szabályok 305 a) hamis, b) igaz, c) igaz, d) igaz, e) igaz, f) igaz, g) hamis, h) igaz, i) igaz, j) hamis, k) igaz, l) hamis, m) igaz, n) hamis, o) hamis,
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenValós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok
Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való
RészletesebbenN - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete
RészletesebbenINJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK
Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenSzámokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 21 és 5 7 = 15
Megoldások 1. Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 5 7 között! Bővítsük a nevezőket a megfelelő mértékig: 3 7 = 9 21 és 5 7 = 15 21. Ezek alapján a megoldás: 10 21, 11 21, 12 21, 13 21. 2. Írd fel törtalakban
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:
1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a
Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenEseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i
RészletesebbenTERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA
TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA A MATEMATIKA A TITKOK SZOBÁJÁBAN Természetes számokat fogsz azonosítani különböző kontextusokban: természetes számokat fogsz azonosítani egy diagramban, egy grafikonban
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Részletesebben2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály
A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat a kialakult tanári gyakorlat alapján, az
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenVI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk
VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti
Részletesebben43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK
43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenFONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK
FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenBÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK
IV. forduló 1. Hány olyan legfeljebb 5 jegyű, 5-tel nem osztható természetes szám van, amelynek minden jegye prím? Mivel a feladatban számjegyekről van szó, akkor az egyjegyű prímszámokról lehet szó: 2;
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenFELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó
Részletesebben