SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo"

Átírás

1 SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő diákok számára éháy gyakorlato és feladato keresztül Ezekbe az egész számokkal foglalkozuk: egész számok közötti oszthatóság, az Euklideszi-algoritmus és a legagyobb közös osztó létezése, a prímszámok elemi tulajdoságai, a Diophatoszi-egyeletek éháy speciális esete és még külöféle egyebek Egész számok oszthatósága Legye a pozitív egész számok (vagy természetes számok) halmazáak jelölése Azt modjuk, hogy a osztható a b számmal vagy, ekvivales módo, hogy b osztja a -t, ha létezik, olya c, hogy a = b c Ezt ba vagy ab M képletekkel jelöljük, és azt modjuk, hogy b az a szám osztója, vagy téyezője Hasolóa modhatjuk azt is, hogy az a szám a b többszöröse és ebbe az esetbe a következő jelölést haszáljuk: a = M b Ez a defiíció a em 0 egész számokra is alkalmazható, de a következőkbe mi a pozitív egész számokra szorítkozuk Most a következő elemi oszthatósági feltételekre emlékeztetük: ) Egy a szám osztható -vel, ha az utolsó számjegye páros (azaz osztható -vel); ) Egy a szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel (azaz 0 vagy 5); 3) Egy a szám osztható 3-mal, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal; 4) Egy a szám osztható 9-cel, ha a számjegyeiek összege 9; 5) Egy a osztható 0 -el, ha darab 0-ra végződik Eek a fejezetek az utolsó részéek kivételével, mide természetes szám a tízes számredszerbeli alakjába lesz feltütetve Mutassuk meg, hogy két páratla vagy két páros szám összege (külöbsége) midig egy páros szám Megoldás Legye m és a két páratla természetes szám, ekkor, m = p+, p és = r +, r Ekkor a+ b = ( p+ r + ) és a b = ( p r), amik egyarát páros számok Az az eset, amikor m és egyarát páros, hasoló Gyakorlatok () Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + ) osztható -vel! 3 Mutassuk meg, hogy mide egész szám eseté ( + )( + ) osztható 3-mal! 4 Keressük meg x értékét úgy, hogy x 5 osztható 3-mal (illetve 9 eseté is keressük meg) 5 Mutassuk meg, hogy két egymást követő köbszám külöbsége soha em osztható -vel! 3 3 Megoldás Azt kapjuk, hogy ( + ) = 3 ( + ) + és mivel + ( ) páros, az -es gyakorlat szerit azt kapjuk, hogy két egymást követő köbszám külöbsége midig páratla Keressük meg 7 utolsó számjegyét! Megoldás Jelöljük ld( u) -val az u szám utolsó jegyét! (ld a last digit agol kifejezés rövidítésekét, jeletése: utolsó számjegy) Ekkor 4 ld (7 ) = Mivel 003 = , azt kapjuk, hogy ld (7 ) = 7 ; ld (7 ) = 9 ; 003 ld (7 ) = 3 7 Mutassuk meg, hogy N = osztható 5-tel! 3 ld (7 ) = 3 ;

2 998 Megoldás utolsó jegye midig 6; utolsó jegye megegyezik 7 utolsó 000 jegyével, ami 3 (mivel 999 = ); utolsó jegye megegyezik 8 utolsó jegyével, ami 6 (mivel 000 osztható 4-gyel) Így, N utolsó számjegye a következő összeg utolsó számjegye lesz, = 5, ami 5, ezért N osztható 5-tel 8 Mutassuk meg, hogy N = osztható 0-zel! Mutassuk meg, hogy a = osztható 7-tel bármely eseté 0 Mutassuk meg, hogy a = osztható 3-mal bármely eseté Bizoyítsuk be a 3 mal (vagy 9-cel) való oszthatóság feltételét! Legagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös Egy p > természetes számot prímszámak hívuk, ha csak osztója va: és ömaga Ellekező esetbe összetett számak hívjuk Mide természetes szám egyedi módo kifejezhető a prím osztóiak szorzatakét Két a és b természetes szám eseté a d természetes számot hívjuk a legagyobb közös osztóak, ha ) d a és d b; ) ha c a és c b akkor c d a és b legagyobb közös osztóját mide esetbe egyértelműe meghatározhatjuk és lko( ab, ) vagy egyszerűe ( ab, ) jelöléssel jelöljük, (hasoló módo bevezethető a legkisebb közös többszörös (továbbiakba lkkt(a,b)) fogalma, legye ez az olvasó dolga): Példa lko(4,90) = 6 például, mivel 3 4 = 3 és 90 = 3 5 Két a és b természetes számot, amikre lko( ab, ) =, relatív prímszámokak evezzük Megjegyzés Ha lko( ab, ) = akkor ab akkor és csakis igaz, ha a és b Példa Legye = 360, a = 4 és b = 90 Ekkor a és b (lásd az előző példát), de em osztható a b -vel, mivel lko( ab, ) = 6 Gyakorlatok () Adott a x természetes szám, keressük meg az x számjegy értékét úgy, hogy a megadott számak osztója legye az: a) 5; b) 6; c) Keressük meg az olya összes x3y alakú számot, ami osztható 5-tel! 3 Keressük meg a legagyobb és legkisebb olya 69x7y alakú számot, amik oszthatóak 8-cal! 4 Keressük meg x és y értékét úgy, hogy 45 osztója legye az 4xy számak! 5 Mutassuk meg, hogy a = osztható 56-tal! 6 Mutassuk meg, hogy az > eseté! a = alakú számok oszthatóak 7-tel mide 7 Mutassuk meg, hogy bármely szám eseté az a = szám osztható 8-cal! 8 Mutassuk meg, hogy 30 osztója az 5 - kifejezések bármely pozitív szám eseté

3 + + 9 Mutassuk meg, hogy az a = szám osztható 980-cal bármely eseté! 0 Legye ab, Mutassuk meg, hogy ha 3a+ 5bM 7 akkor, 4 a+ bm7 Fordítva is igaz? Mutassuk meg, hogy 5x + 7yM 3 akkor és csakis akkor igaz, ha x + 3yM 3 ( xy, ) Mutassuk meg, hogy 5a+ 8bM7 akkor és csakis akkor igaz, ha 4a+ 3bM7 ( ab, ) 3 Mutassuk meg, hogy 3a+ 4bM3 akkor és csakis akkor igaz, ha a+ 7bM 3 ( ab, ) 4 Mutassuk meg, hogy a következő számpárok bármely a) 6+ 5 és 7+ 6; b) 0+ 3 és 5+ 4; c ) és eseté relatív prímek: Egy a összetett szám osztóiak a száma, amiek a prím osztói p, p,, p azα, α,, α kitevőkkel redre, azaz a p α = p K p () a következőképpe adható meg: τ( a) = ( α + )( α + )( α + ) () 3 Példa Az a = szám az a = szorzat formájába írható fel, így az osztóiak a száma: (+ ) ( + ) (+ ) (3 + ) = 48 5 Keressük meg az összes olya kétjegyű számot, amiek potosa 3 osztója va! Megoldás A ()-es képletet haszálva arra jutuk, hogy = és α =, azaz a p formájú számok, ahol p egy prímszám A p = 5 és p = 7 eseté kapuk kétjegyű számokat Így, a keresett számok a 5 és 49 Gyakorlatok (3) 6 Keressük meg az összes olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va, és az osztóiak a szorzata 5! 7 Keressük meg az összes olya égyjegyű számot, amiek potosa 5 osztója va! 8 Keressük meg azt a természetes számot, amiek potosa 6 osztója va, továbbá az osztóiak a szorzata a) 95; b) Keressük meg az ab, 7 < ab 85 számokat úgy, hogy potosa 4 osztójuk legye! 0 Keressük meg az összes olya 0-zel osztható számot, amiek potosa 6 osztója va! Keressük meg a legkisebb olya természetes számot, amiek potosa 4 osztója va!

4 Mutassuk meg, hogy em létezik olya 35-tel osztható háromjegyű természetes szám, amiek potosa 9 osztója va a b 3 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya 3 5 alakú számot, amiek potosa osztója va 4 Keressük meg az x, yz, prímszámokat úgy, hogy az potosa 44 osztója legye x y z = 9 3 számak c 5 Keressük meg az olya 3 a b = 5 7 alakú számokat, amelyekre a 7 számak 36-tal több osztója va, és a 49 számak -vel több osztója va, mit az számak Két vagy több természetes szám legagyobb közös osztóját vagy legkisebb közös többszörösét azoba a számok szorzótéyezőkre botása élkül is meg lehet határozi, az úgy evezett Euklideszi-algoritmussal Legye ab, a két szám úgy, hogy, b 0 és b / a Először elosztjuk az a számot a b számmal és így megkapjuk a háyadost és az r maradékot, azaz q a = b q + r, 0 r < b Ezutá lecseréljük az a számot b-re, b-t pedig r -re, és megismételjük az előbbi műveletet: b = r q + r,0 r < r r = r q + r 3 3 M Amikor elérjük az r + = 0 -t, akkor az előző maradék, azaz r a keresett legagyobb közös osztó, azaz lko( ab, ) = r Példa Keressük meg lko(93,5) értékét! Megoldás Azt kapjuk, hogy 93 = = = = = és ezért l ko(93, 5) = 3 Megjegyzés Egyszerű megláti, hogy 93 = 3 3 és 5= 3 7, ami ugyaazt az eredméyt adja 6 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 089 és l ko( ab, ) = Megoldás Azt kapjuk, hogy a = m, b = és lko( ab, ) = Mivel a+ b = 089( = 9), azt kapjuk, hogy m + = 9, ami alapjá a következő relatív prím számpárokat kapjuk: ( m, ) {(,8), (,7), (4,5), (5,4), (7,), (8,)} A keresett számok: (,986),(4,847),(484,605),(847,4),(968,) 7 Keressük két külöböző ab>, számot úgy, hogy lkkt( ab, ) = 667 Megoldás Mivel 667 = 3 9, ezért a két szám a következő lehet: Gyakorlatok (4) a) 3 és 9; b) 3 és 667; c) 9 és 667

5 8 Keressük meg azokat az ab, számokat, amik kielégítik a következő feltételeket: a b = 600 és l kkt( ab, ) = 4 lko( ab, ) 9 Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy a + b = 08 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy 3 a = 7 és lkkt( ab, ) = Keressük meg az ab, számokat úgy, hogy lko( ab, ) = 4 és a b = Keressük meg az ab,, a< bszámokat úgy, hogy lkkt( ab, ) lko( ab, ) = 34 Ezt a részt két gyakorlatiasabb feladattal zárjuk, amik a legkisebb közös többszörös és/vagy legagyobb közös osztó segítségével oldhatóak meg 33 Ha egy iskola diákjait -es, 3-as, 4-es, 5-ös, 6-os sorokba redezzük, akkor mide alkalommal egy diák marad ki a sorokból, de ha 7-es sorokba redezzük el a diákokat, akkor mide sor teljes és egy diák sem marad ki Keressük meg az iskolába tauló diákok számáak legkisebb lehetséges számát! Megoldás Mivel lkkt(,3,4,5,6) = 60, ezért a k szám miimális értékét úgy kell megkeresük, hogy A keresett érték a k = 5 (60 k + ) M 7 és így az iskoláak 30 diákja va 34 Egy busz állomásról 4 busz idul 4 külöböző iráyba redre 5, 8, és 8 percekét, 6 és óra között Tudva, hogy először 7:00-kor idul egyszerre mid a égy busz, keressük meg azokat az időpotokat még a ap folyamá, amikor midegyik busz egyszerre idul Megoldás Mivel lkkt(5,8,,8) = 360 és 360 perc = 6 óra, ezért azt kapjuk, hogy a buszok a következő időpotokba idulak mid egyszerre: 7:00; 3:00 és 9:00 Gyakorlatok (5) 35 Ha elosztjuk az a számot 4-gyel, 36-tal, 30-cal és 75-tel, akkor a maradék mide esetbe 5 lesz Keressük meg azt az 0000 a < számot, ami osztható -gyel! 36 Ha egy számot 9-cel, -vel és 5-cel osztuk, akkor az osztási maradék redre 6, 9 és lesz Keressük meg a maradék értékét, ha az számot 80-cal osztjuk! 37 Keressük meg a legkisebb és legagyobb olya háromjegyű számot, hogy 9-cel, 0-zel és 5-tel törtéő osztás eseté is 7 maradékot ad! 38 Keressük meg az összes olya 7-tel osztható háromjegyű számot, hogy -vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel és 6-tal törtéő osztás eseté ugyaayi maradékot ad! 3 Prímszámok A prímszámokkal és összetett számokkal kapcsolatos feladatok számottevőe változatosak A következőkbe bemutatuk éháy példát 3 Keressük meg az összes olya p prímszámot, amire p + egy égyzetszám

6 Megoldás Ha p+ = akkor p = = ( )( + ), ami összetett szám bármely > eseté Az = esetbe azt kapjuk, hogy p = 3, ami egyetle létező kért prímszám, ami a keresett tulajdoságokkal redelkezik 3 Keressük két a, b prímszámot úgy, hogy a + b = 883 Megoldás A kivételével mide prímszám páratla Mivel a+ b páratla ezért a = vagy b = ami azt adja, hogy b = 88 vagy a = 88, ami egy prímszám (elleőrizzük is!) 33 Mutassuk meg, hogy a + és + számok relatív prímek mide emegatív természetes szám eseté! Megoldás A következőt haszáljuk fel: Lemma Két a és b szám akkor és csakis akkor relatív prím, ha létezek olya p, q egész számok, hogy pa + qb = Így a következő jelölést haszálva: a = +, b = + azt kapjuk, hogy úgy, hogy pa + qb = Ezért + és + relatív prímszámok p = +, q = 4 34 Keressük meg az összes olya prímszámot, amire az + 4 és + 8 számok is prímszámok Megoldás Az + 4 és + 8 számok prímszámok, ha páratla és > (az em prímszám) Legye = k +, k A feladatba lévő három szám ekkor * k +, k + 5, k + 9, k (3) Vegyük észre, hogy k = eseté azt a megoldást kapjuk, hogy 3, 7, Megpróbáljuk leelleőrizi, hogy vajo ez adja-e az egyetle megoldást Ezért megpróbáljuk megmutati, hogy az összes többi értékre, amit a k szám felvehet, a feti listá (3) lévő számok közül legalább az egyik em prímszám lesz Kihaszálhatjuk azt a téyt is, hogy a feti megoldásba a legkisebb szám a 3 A 3-at is figyelembe véve, bármely k szám felírható a következő alakok egyikébe: 3 p, 3p+, 3p+, ( p ) mivel 0, vagy maradékot adhat k 3-mal osztva Ha k = 3p+, akkor k + = 3(p+ ) em prímszám (kivétel a p = 0 esetet, amikor k =, ami a már megtalált megoldást adja meg) Ha k = 3p+, akkor k + 5 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ha k = 3p, akkor k + 9 = 3(p+ 3), ami em prímszám, p Ezért egyedül k = eseté, azaz = 3 eseté lesz midhárom megadott szám egyszerre prímszám Gyakorlatok (6) 35 Mutassuk meg, hogy bármely > 3 természetes szám felírható prímszámok összegekét Végezzük el a felírást = 004 esetére 36 Keressük meg az összes olya prímszámot, ami egyarát felírható két prímszám összegekét és külöbségekét is! 37 Három egymást követő prímszám összege +, Keressük meg ezeket a számokat, ha tudjuk, hogy va köztük két egymást követő szám!

7 38 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b- c = 530 és a-b = 966feltételeket! 39 Keressük meg az abc,, prímszámokat úgy, hogy azok kielégítsék az a+ b = 7 és a+ b + c = 994 feltételeket! 30 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy a+ 0b+ c = 8 3 Keressük meg az összes olya abc,, prímszámot, hogy 3a+ 7b+ 9c = 54 3 Keressük meg az ab, prímszámokat úgy, hogy összegük 555 aba, aab és baa is prímszámok és az 33 Keressük meg a p prímszámot úgy, hogy p+, 3p+, 4p+ 3 és 6p + egyarát prímszámok! 34 Keressük meg az összes prímszámot úgy, hogy +, + 6, + 8 és + 4 szité prímek! 35 Keressük meg az összes olya pozitív prímszámot, amire +, + 3, + 7, + 9 és + 5 egyarát prímszámok 36 Határozzuk meg a p számot úgy, hogy a prímek p p,, p 4 + +, p + 0 számok mid 37 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy az számok mid prímek p, +, +, + p+ p+ 38 Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy a számok mid prímszámok p p p p p , +, +, +, Határozzuk meg az p, számokat úgy, hogy p, p+ 3, p+ 3, p+ 3, mid prímszámok 3 p Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 4p + egy égyzetszám 3 Határozzuk meg az összes olya p prímszámot, hogy 7p + egy égyzetszám 3 Mutassuk meg, hogy a következő számok összetett számok! 3, 343, 34543, * 33 Mutassuk meg, hogy az a = 0 + 6, szám em egy prímszám Határozzuk meg az a = 5 5 szám jegyeiek a számát! Prímszám-e ez a szám? A + szám prímszám-e? 36 Mutassuk meg, hogy az a = 6 + szám két -él agyobb relatív prímszám szorzata!

8 37 Létezik-e olya természetes szám, hogy az prímszám? 4 3 a = szám egy 38 Bizoyítsuk be az lemmát! 4 Számok más számredszerekbe törtéő megjeleítései Az előző részekbe mide számot a tízes számredszerbeli alakjukba haszáltuk Létezek más számredszerbeli megjeleítések is, amik külöböző okok miatt fotosak: például a -es illetve 6-os számredszerek az iformatikába fotos szerepe stb A kettes számredszer két számjegyet haszál, a 0-t és -et, a hármas számredszerbeli megjeleítés 3 számjegyet haszál: 0-t, -et és -őt és így tovább Hogy jelöljük, hogy az adott N szám egy b alapú számredszerbe va megjeleítve, azt írjuk, hogy N b = 0 eseté elhagyhatjuk a jelölést: ( b) 4 Mutassuk meg, hogy () + (3) + (4) + (5) + (6) =33(8) Megoldás Midegyik számot átalakítjuk a tízes számredszerbeli alakjába: = ; = 3 + = 4; = = ; () (3) (4) = = 3 (5) ; = = 4 3 (6) ; = = 3 33(8) , és leelleőrizzük az egyelőséget Valóba, azt kapjuk, hogy = Határozzuk meg az x számjegy értékét, ha x( x + ) (7) = ( x + ) x (4) Megoldás Igazak kell leie, hogy x + 3 és x Mivel xx ( + ) (7) = 7x+ x+ = 8x+ és ( x + ) x = 4( x + ) + x, így azt kapjuk x = Gyakorlatok (7) 43 Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy ( x) + 36( y ) = Határozzuk meg az x és y számokat úgy, hogy 3( x) + 3( y) = 3 45 Háy jegyű a p szám a kettes számredszerbe, ha p = (a tízes számredszerbe)? 46 A kettes számredszerbeli alakjuk felírása élkül határozzuk meg, háy jegyűek az 34 és 567 számok a kettes számredszerbe! 47 Keressük meg a köbszámokat az a = 3 (4), b = 35(6), és c = 7(8) számok közt! 5 Kevert feladatok

9 5 Mutassuk meg, hogy az 444 {{ szám felírható két egymást követő pozitív egész szám szorzatakét szer szer 5 Keressük meg az összes olya háromjegyű abc számot, hogy abc = 8abc 53 Mutassuk meg, hogy abab cd = cdcd ab 54 Mutassuk meg, hogy egyetle + eseté sem leszek az a = 5 + és + b = 5 + számok égyzetszámok 55 Prímszám-e az 007 = + szám? 56 Mutassuk meg, hogy 7 4 em égyzetszám egyetle szám eseté sem! 57 Mutassuk meg, hogy hét egymást követő természetes szám égyzetéek összege osztható 7-tel 58 Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + abc + ab + a = Határozzuk meg az a, b, c, d értékét úgy, hogy abcd + bcd + cd + d = 50 Határozzuk meg az a és b em 0 számjegyeket úgy, hogy aa a0a = bbbb 5 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket úgy, hogy ac b= abc 5 Határozzuk meg az a, b, c, d számjegyeket úgy, hogy abcd = cd bcd 53 Határozzuk meg az a, b, c számjegyeket és az számot úgy, hogy abc abc = cba 6 Megoldások, útmutatók, válaszok 6 Gyakorlatok () ld(983 ) = ld(3 ) = 9, mivel 986 (modulo 4), ld (984 ) ld(4 ) 6 a = = és 986 ld (985 ) = 5 Így ld( N ) = 0 és ezért NM0 5 3 (5 3 + ) = ( + ) + ( + ) = = = 8 7, ezért azt kapjuk, hogy am7 Mivel 0 a = (7 9) (3 7) 3 = = = + = M 7 3 ( ) Legye N = aa- aa a megadott szám Azt kapjuk, hogy

10 N = a 0 + a 0 + K + a 0 + a = K 9 = a(9 + ) + a (9 + ) + + a (9 + ) + a = = M + a + a + K + a + a Ezért NM3, (redre 9-re is) akkor és csakis akkor, ha a számjegyeiek az összege osztható 3-mal, illetve redre 9-cel 6 Gyakorlatok () a) x {0,5} ; b) x {0,6} ; c) x = 6 Mivel 5 = 3 5 és lko(3, 5) =, 5 x3y akkor és csakis akkor ha osztható 3-mal és 5-tel is Azt kapjuk, hogy y = 0 és x {, 4,7} ; y = 5 és x {,5,8} 3 ( xy, ) {(0,4), (,), (4,0), (5,8), (7,6),(9,4)} 4 ( xy, ) {(5,0), (0,5), (9,5)} 5 Mivel 56 = 4 39 és lko(4,39) =, ezért elegedő bebizoyítai, hogy N M4 és NM39 Csakugya, így következik, hogy N = ( ) + 3 ( ) ( ) = 39 A, és 984 N = (3+ 3) + 3(3+ 3) (3+ 3) = B 6 és 7 Az 7-hez hasolóa 8 a 5 4 = = ( ) = ( )( + ) = ( -) ( ) ( ) Az és 3 alapjá tudjuk, hogy ( ) ( ) M Mivel 30 = 6 5 és lko(5,6) = ezért azt kell bizoyítauk, hogy am5 Bármely természetes szám felírható a következő alakok egyikébe: {5 k, 5k +, 5k +, 5k + 3, 5k + 4}, k N Ha {5 k, 5k +, 5k + 4}, akkor yilvávalóa am5 Ha = 5k +, akkor + = 5 k + 0 k + 4+ = M 5, míg ha = 5k + 3, akkor + = 5 k + 30 k + 9+ = M 5 9 Az 7-eshez hasolóa 0 Ez a következőből következik: (3a+ 5 b) + 7 (4 a+ b) = 7( a+ b) Visszafelé is yilvávalóa igaz - 3 A 0-hez hasolóa 4 a) Legye d = lko(6+ 5,7+ 6), ami azt jeleti, hogy d és d Ekkor d 6 (7+ 6) - 7 (6+ 5) =, azaz, d = 63 Gyakorlatok (3)

11 3 6 Két esetük lehet, vagy = d d ( d < d ) vagy = d, ahol d, d,d prímszámok A második esetbe az osztók d, d, d 3 de a d 6 = 5 egyeletek icse egész gyöke Így az marad, hogy = dd és a d d dd = 5 kifejezésből azt kapjuk, hogy d = 3 és d = 5 Ezért =5 a keresett szám 7 A számak a következő alakúak kell leie = d 4, d egy prímszám Ezért csak 4 d = 7 eseté lesz egy égyjegyű szám és ekkor = 7 = 40 8 a) = 45 ; b) = 3 9 ab 3 = p, p egy prímszám, vagy ab m ab {74, 77, 8, 85} =, m és prímszám Azt kapjuk, hogy a b 0 Mivel 0 = 5 és 6 = 3, ezért azt kapjuk, hogy = 5 ahol ( a+ )( b+ ) = 6 Ha a =, b =, = 50 ; ha a =, b =, akkor = 0 m p 4 = 3 7 és ie = a b c ahol ( m+ )( + )( p+ ) = 3 7 A legkisebb 6 számot m =, =, p = 6, a = 5, b = 3, c = eseté kapjuk meg, azaz 3 5 = 880 m Legye abc = 7 5 Az osztóiak a száma ( + )( m+ ) = = 3 és m + = 3 Így a legkisebb lehetséges szám a 7 5 = 5 lesz, ami égyjegyű 3 A legkisebb szám a 675 és a legagyobb az 5 (ha elfogadjuk, hogy az a és b szám lehet 0 is) 4 Tudjuk, hogy ( x + )( y + )( z+ ) = 44 Mivel x, y, z prímszámok, ezért a következő szorzatra botást haszáljuk: 44 = ami megadja a megoldásokat: (3,5,5), (5,3,5), (5,5,3) ; } újraíri! 64 Gyakorlatok (4) lko( ab, ) lkkt( ab, ) = a b 4 lko( ab, ) = 600 lko( ab, ) = 0 8 [ ] Így, a = 0, b= 80 vagy a = 80, b= 0 a megoldások 9 3 és a= 77, b= 33 3 ( ab, ) {(4,4), (8,), (,8),(4,4)} 3 Mivel lko( ab, ) a és a lkkt( a, b), ezért következik, hogy lko( ab, ) lkkt( ab, ) ahoa lko( ab, ) (lkkt( ab, ) lko( ab, )), ami szerit 34 lko( ab, ) Alkalmazzuk a következő jelölést d = lko( a, b) Ekkor d {,,7,34} és a megoldások: ( ab, ) {(,35),(5,7), (,36), (4,8), (7,5), (34,68)}

12 65 Gyakorlatok (5) 35 l kkt(4,36,30,75) = 800, így x= 800k+ 5, x Azt kapjuk, hogy x = 705 = + Így 9 ( 3) + és 5 ( + 3) Ezért 80 ( 3) + 3= 80k 36 lkkt(9,,5 = 80), = 9 c + 6; = c + 9 és 5 c3 ( 3) * k = 80k - 3 = 80( k -) + 77 A maradék lkkt(9,0,5) = 90 = 90k + 7 ; {87,997} +, +, azaz, 38 A maradék 0 vagy lehet Ha r = 0 = lkkt(,3,4,5,6,7) k, k {0, 40,630, 840} Ha r = lkkt(,3,4,5,6,7) = 30 és a legkisebb szám a = 30 A megoldások: k, k, azaz, {30, 5, 7, 93} 66 Gyakorlatok (6) 35 Ha = k, akkor = , míg = k + eseté azt kapjuk, hogy = k szer k szor 36 Legye p egy prímszám, p >, így p egy páratla szám Ha q + r = p és q r = p, akkor a q, r számok egyike és a q, r számok egyikéek párosak kell leie, azaz, p = q + = q, ahol q és q prímszámok Ezért p, p és p + mid prímszámok, így p = 5 az egyetle megoldás (bizoyítsuk be!) 37 + = ( + ) M, így a prímszámok egyike páros, azaz egyelő -vel, és így a többi páratla, és így em egymást követő számok Hogy legye két egymást követő prímszám, a 3-ak bee kell leie a halmazba, és a harmadik szám az + 5, ami prímszám = 3 eseté A számok, 3 és 7 38 a = 49, b = 83, c = 39 a =, b = 69, c = 73; a = 69, b =, c = a =, b =, c = és 53 3 a =, b = 3 33 p = 5 34 = 5 35 = 4 36 p = 3 eseté a következő megoldást kapjuk: 3,, 3, 9 Bebizoyítjuk, hogy ez az egyetle megoldás Bármely p természetes szám felírható a következő alakok egyikébe:

13 3 k, 3k +, 3k +, k Ha p = 3k és k >, p egy összetett szám ( p = eseté kapjuk a feti megoldást); Ha p = 3k +, akkor p + = 3(3k + k + ), ami egy összetett szám k ; Ha p = 3k +, akkor p + 0 = 3(3k + 4k + 8), ami egy összetett szám k p p+ p+ 37 Az prímszámak páratlaak kell leie Mivel a,, számok között midig találuk legalább egy M 3+ alakú számot, és legalább egy M 3+ alakú számot (bizoyítsuk be!), ezért a megadott sorozatba akkor és csakis akkor lehetek prímszámok, ha = 3k (és k = ), ellekező esetbe legalább az egyik szám összetett szám lesz Ezért = 3 és a sorozat: p { p+ } { p+ } 3, 3+, 3+, 3+ A következő eseteket vizsgáljuk: p {3 m, 3m +, 3m + m } ) p = 3m eseté azt kapjuk, hogy p 3 m m = ( ) = (7+ ) = M 7+ p+ p ( M7 ) M7 = = + = + p+ = M 7+ 4 p+ és ezért a 3+ = M 7 szám összetett szám m eseté (az m = 0 esetbe p 3 + = 4 egy összetett szám); p+ 3m+ p+ 3m+ ) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3+ = 3+ = 3+ = 3+ = M 7, ami összetett szám m eseté Az m = 0 esetbe egy prímszámokból álló sorozatot kapuk: 3, 5, 7 és ; p 3) p = 3m+ eseté azt kapjuk, hogy 3 + =M 7, egy összetett szám mide m eseté Az m = 0 esetbe p =, és egy prímszámokból álló sorozatot kapuk {3,7,,9} Ezért a feladatuk megoldása ( p, ) {(3,),(3,)} 38 A 53-hoz hasolóa, azt kapjuk, hogy p = 3 és ekkor = Mivel a 3, 3, 3, 3 számok páratlaok, ezért a p számak párosak kell leie, azaz p = Az egymást követő 3, 3, 3, 3 hatváyok utolsó jegyei 3, 9, 7, leszek * valamilye sorredbe bármely eseté Így az egyik hatváy utolsó számjegye 3 lesz és így eek a hatváyak és -ek az összege 5-re fog végződi, azaz osztható lesz 5-tel Így az = 0 vagy = eseteket kaphatjuk, redre a, 3, 5,, 9 és, 5,, 9, 83 megoldásokkal 30 k 4p+ = k p =, k = l +, l és ie 4 p {,5,7} ll ( + ) p =, l Azt kapjuk, hogy 6 3 7p+ = k 7 p = ( k )( k + ) stb A válasz: p = 9 3 3=, 343=, K 33 a = és így a számjegyeiek összege 9, így am9 szer

14 ( ) + { a = 5 = 5 5 = = jegye va Mivel + szer + szer a számjegyeiek összege ( + ) M3, ezért a osztható 3-mal is 35 Vegyük észre, hogy 004 = és ie = ( ) + = ( + )( + ) Így a szám összetett szám a = + = 4 + = (4 + )( ) = 5k, ahol k = K = (5 ) (5 ) + K + (5 ) (5 ) + = M = M 5+, ami relatív prímszám az 5-höz képest 3 szer 37 a = ( + + ) + ( + + ) = ( + + )( + ) = ( + ) ( + ) ami egy * összetett szám, 67 Gyakorlatok (7) 43 x = 5, y = 7 44 x = 7, y = 4 vagy x = 4, y = p = = = { (), így p-ek 004 számjegye va a kettes számredszerbeli alakjába 004 szer < 34 < ; < 567 < Így, 34-ek jegye va és 567-ek 0 jegye va a kettes számredszerbe a = 7 = 3, b = 5 = 5 68 Kevert feladatok 5 a = (+ 0 + K0 ) (+ 0 + K+ 0 ) = = = (+ 0 )= A 0 és 0 + számok oszthatók 3-mal, mivel 0 = = 000 { 3 szer és Továbbá, = = szer 5 abc = 8abc bc = 4 a(bc 5) Megoldások: 8; abab = ab 0

15 54 a = 5000 { és b = 000 { Az a és b számok egyarát oszthatóak 3-mal, de 9-cel szer szer em, így em égyzetszámok 55 Mivel 007 = 9 3, ezért egy összetett szám 56 Bármely égyzetszám felírható a következő alakok egyikébe (bizoyítsuk is be!) Ezutá látjuk, hogy a formájú (ha páratla) 8 k, 8k +, 8k szám 8k + 5 (ha páros) vagy 8k (7 k) + (7k + ) + (7k + ) + (7k + 3) + (7k + 4) + (7k + 5) + (7k + 6) = = M = M7+ = M a =, b = 4; a = 3, b = 9; a = b = a ac b= abc c = 0a (4) b ami azt mutatja, hogy a (5) 6 Az em lehet, hogy c = mivel akkor a (4)-es állításból az következe, hogy 00 = a(0b 9) és így a = 4 (mivel 0 b 9 páratla) és ie 0b 9 = 9 ami lehetetle Ezért c és a (4)-es alapjá azt kapjuk, hogy a 0a 8 (6) b Ha a b {7,8} eseteket megvizsgáljuk, akkor a (6)-osból azt kapjuk, hogy a =, amire a (4)- es em igaz A b = 5 esetbe a (4)-es állításból az következik, hogy a {4,8}, amik em elégítik ki a (6)-ot Ezért a b = eset maradt Az (5)-ből az következik, hogy a páros és a (6)-ból az következik, hogy a 84, azaz a 8 Így a = 8 és akkor a (4)-es szerit azt kapjuk a végé, hogy c = 7 Így, a = 8, b = és c = 7 az egyetle megoldás 5 A 8-hez hasolóa megoldva azt kapjuk, hogy a = 3, b =, c =, d = 5 53 Az egyetle megoldás: a = 9, b = 6, c = 3 és = 97369

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK

BÖLCS BAGOLY LEVELEZŐS MATEMATIKAVERSENY IV. forduló MEGOLDÁSOK IV. forduló 1. Hány olyan legfeljebb 5 jegyű, 5-tel nem osztható természetes szám van, amelynek minden jegye prím? Mivel a feladatban számjegyekről van szó, akkor az egyjegyű prímszámokról lehet szó: 2;

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK!

MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK! MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK! Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 9. ÉVFOLYAM 4. MODUL: OSZTOZZUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19.

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19. Számelmélet 7 8. évfolyam Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György 2015. október 19. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás,

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

IV. A matematikai logika elemei

IV. A matematikai logika elemei 4 A matematikai logika elemei IV A matematikai logika elemei IV Gyakorlatok és feladatok (87 oldal) Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: a) ( p) ; b) p q ; c) p q ; d) p ( p q) ;

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Számelmélet, 7 8. évfolyam

Számelmélet, 7 8. évfolyam Számelmélet, 7 8. évfolyam Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András és Rubóczky György 2014. június 28. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Bevezetés 7 Feladatok 9 1. Bemelegítő feladatok..............................

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

10. évfolyam, harmadik epochafüzet

10. évfolyam, harmadik epochafüzet 0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben