Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Átírás

1 Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés: Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni. Az 1-et és magát a számot nem tekintjük valódi osztónak. A 0 minden számnak többszöröse. DEFINÍCIÓ: (Prímszám) Törzsszámnak, vagy prímszámnak nevezzük azokat a számokat, amelyeknek pontosan két osztója van a természetes számok között. DEFINÍCIÓ: (Összetett szám) Összetett számnak nevezzük azt a 0-tól különböző számot, amelynek kettőnél több osztója van. Megjegyzés: A 0-t és 1-et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem. TÉTEL: (Számelmélet alaptétele) Minden összetett szám felírható prímszámok szorzatára és ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó) Két vagy több 0-tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (a; b). DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös) Két vagy több 0-tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [a; b]. TÉTEL: Ha az a és b szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk, akkor az a és b szám szorzatát kapjuk. Jelölés: a b = (a; b) [a; b]. 1

2 Megjegyzés: Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezők szorzata az előforduló legkisebb hatványon Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezők szorzata az előforduló legnagyobb hatványon DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek) Az olyan természetes számokat, amelyek legnagyobb közös osztója 1, relatív prímeknek nevezzük. TÉTEL: (Oszthatósági szabályok) Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha utolsó számjegye osztható 2-vel 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható 5-tel 10-zel, ha az utolsó számjegye osztható 10-zel 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel 25-tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25-tel 8-cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8-cal 100-zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100-zal 125-tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125-tel 16-tal, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 16-tal 1000-rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000-rel 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel 11-gyel, ha a váltakozó előjellel vett számjegyeinek összege osztható 11-gyel. TÉTEL: (Euklideszi osztás) Bármely a, b természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott p, r természetes szám, amelyre a = b p + r teljesül (ahol 0 r < b). Ekkor p-t hányadosnak, r-t maradéknak nevezzük. 2

3 TÉTEL: (Euklideszi algoritmus) Két számon végrehajtott euklideszi algoritmus utolsó nem 0 maradéka a két szám legnagyobb közös osztója. TÉTEL: Ha egy összeg minden tagja osztható egy számmal, akkor az összeg is osztható ezzel a számmal. Jelöléssel: a b és a c a (b + c). TÉTEL: Ha egy szorzat valamelyik tényezője osztható egy számmal, akkor a szorzat is osztható azzal a számmal. Jelöléssel: c a c (a b). DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény) Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, számelméleti függvényeknek nevezzük. TÉTEL: Ha n felírható n = p 1 α 1 p 2 α 2 p r α r alakban, ahol p 1, p 2,, p n az n szám prímosztói, akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények: az n szám osztóinak száma: d(n) = (α 1 + 1) (α 2 + 1) (α r + 1) az n szám osztóinak összege: σ(n) = p 1 α p 1 1 az n-nél nem nagyobb, n-hez relatív prímek száma: p 2 α2+1 1 p r αr+1 1 p 2 1 p r 1 φ(n) = (p 1 1) p 1 α 1 1 (p 2 1) p 2 α 2 1 (p r 1) p r α r 1 DEFINÍCIÓ: (Racionális számok) Azokat a számokat, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként (tört alakban), racionális számoknak nevezzük. Megjegyzés: A racionális számok felírhatóak tizedestört alakban is. Véges tizedes tört: A tört alak úgy egyszerűsíthető, illetve bővíthető, hogy nevezője 10-nek valamilyen hatványa legyen. Pl.: 5,6 = 56 14,592 = ,0703 = Végtelen szakaszos tizedestört: A tizedes vessző után álló számjegyek egy szakasza újra és újra ismétlődik. Pl.: 1,03 6 = 1, , 5 = 2,555 3, 1 89 = 3, Bármely két racionális szám között van újabb racionális szám. 3

4 DEFINÍCIÓ: (Irracionális számok) Az olyan tizedestörtet, mely nem véges és nem végtelen szakaszos, irracionális számnak nevezzük. Megjegyzés: A tizedesvessző utáni számjegyek ismétlődésében nincs szabályosság. Nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként (tört alakban). Irracionális számok esetében közelítő értékkel számolunk. DEFINÍCIÓ: (Valós számok) A racionális és irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0-tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1 lesz. 4

5 1. Írd fel 0-tól 20-ig a 6 többszöröseit! Azok a számok a 6 többszörösei, melyek felírhatóak 6-nak és egy egész számnak szorzataként. Ezek alapján a megoldás: 0, 6, 12, Mely számok relatív prímek a következőek közül? 11, 14, 15, 18, 25 Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre. 11 = = = = = 5 2 A számok közül azok lesznek relatív prímek, melyek nem tartalmaznak azonos prímtényezőt. Ezek alapján a relatív prímek: (11; 14), (11; 15), (11; 18), (11; 25), (14; 15), (14; 25), (18; 25). 3. Határozd meg 324 és 750 összes osztójának számát, összegét, illetve a relatív prímek számát! Először a számokat bontsuk fel prímtényezőkre: 324 = és 750 = Az osztók számát megkapjuk a d(n) számelméleti függvény segítségével: d(324) = (2 + 1) (4 + 1) = 3 5 = 15 d(750) = (1 + 1) (1 + 1) (3 + 1) = = 16 Az osztók összegét megkapjuk a σ(n) számelméleti függvény segítségével: σ(324) = = = σ(750) = = = A relatív prímek számát megkapjuk a φ(n) számelméleti függvény segítségével: φ(324) = (2 1) 2 1 (3 1) 3 3 = = 108 φ(750) = (2 1) 2 0 (3 1) 3 0 (5 1) 5 2 = = 200 5

6 4. Határozd meg 60 és 198 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! Először a számokat bontsuk prímtényezőkre: 60 = és 198 = A legnagyobb közös osztó meghatározásához a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon összeszorozzuk. Ezek alapján a legnagyobb közös osztó: (60, 198) = 2 3 = 6. A legkisebb közös többszörös meghatározásához a két számban szereplő összes prímtényezőt az előforduló legnagyobb hatványon szorozzuk össze. Ezek alapján a legkisebb közös többszörös: [60, 198] = = Határozd meg a b számot, ha tudjuk, hogy a = ; (a, b) = és [a, b] = ! A b szám prímtényezők szorzataként való felíráshoz a legnagyobb közös osztóból indulunk ki. Abból az következik, hogy a b szám prímtényezős felbontásában biztosan lesz 2 4 (mert az a számban 2 7 szerepelt), s 3-nak valamilyen hatványa (mivel a-nál is éppen 3 5 szerepelt, ezért a hatványt még nem tudjuk kitalálni). Ezek után tekintsük a legkisebb közös többszöröst. Abból pedig azt kapjuk, hogy biztosan lesz a b szám prímtényezős felírásában 5 és 3 9 (mert az a szám felírásában az 5 nem, míg a 3 csak az ötödik hatványon szerepelt). Ezek alapján a b szám a következő: b = = Határozd meg az 1852 és 1972 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi algoritmus segítségével! Az euklideszi algoritmus azt jelenti, hogy minden újabb lépésben az előző lépésben szereplő osztót osztjuk el az ott keletkezett maradékkal: = 1, maradék: = 15, maradék: = 2, maradék: = 3, maradék: = 4, maradék: 0. Az utolsó nem 0 maradék lesz a megoldás, vagyis a két szám legnagyobb közös osztója: 4. 6

7 7. Milyen x érték esetén lesz a 7431x2 szám osztható 24-gyel? Először a 24-et fel kell írnunk két olyan relatív prímszám szorzatára, melyekre tanultunk korábban oszthatósági szabályt. Mivel 24 = 3 8, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 24-gyel, ha osztható 3-mal és 8-cal is. Az adott szám, akkor lesz osztható 3-mal (számjegyek összege osztható 3-mal), ha x = 1, 4, 7. Az adott szám akkor lesz osztható 8-cal (utolsó 3 számjegyből képzett szám osztható 8-cal), ha x = 1, 5, 9. Ezek alapján a szám csak akkor lesz osztható 24-gyel, ha x = Milyen x és y érték esetén lesz az 1x24y6 szám osztható 12-vel? Mivel 12 = 3 4, így ebből következik, hogy egy szám akkor lesz osztható 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel is. Ebben a feladatban két ismeretlen van, ezért el kell döntenünk a két oszthatóság közül melyik az, amelyik biztosan meghatározza az egyik ismeretlent. Az adott szám akkor lesz osztható 4-gyel (utolsó 2 számjegyből képzett szám osztható 4-gyel), ha y = 1, 3, 5, 7, 9. Az x kiszámításánál a 3-mal való oszthatóságot befolyásolja, hogy y helyére a lehetséges értékek közül melyiket választjuk, ezért több megoldásunk is lesz. Ha y = 1, akkor x = 1, 4, 7. Ha y = 3, akkor x = 2, 5, 8. Ha y = 5, akkor x = 0, 3, 6, 9. Ha y = 7, akkor x = 1, 4, 7. Ha y = 9, akkor x = 2, 5, 8. Ezek alapján a következő számpárok lesznek a megfelelő megoldások (első az x, második az y érték): (1; 1), (4; 1), (7; 1), (2; 3), (5; 3), (8; 3), (0; 5), (3; 5), (6; 5), (9; 5), (1; 7), (4; 7), (7; 7), (2; 9), (5; 9), (8; 9). 7

8 9. Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 5 7 között! Ahhoz, hogy fel tudjunk írni törteket a két szám között, a nevezőket bővítsük a megfelelő mértékig: 3 = = Ezek alapján 4 ilyen megfelelő szám lehet a következő: 10 21, 11 21, 12 21, Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket! 1, 23 2, 58 3, 2 14 Első esetben véges tizedestörtről van szó, vagyis a megoldás a következő: 1,23 = A második és harmadik esetben arra kell törekednünk, hogy két különböző számmal megszorozva az adott számot, olyan számokat kapjunk, melyekben a tizedesvessző után ugyanazok az ismétlődő számjegyek szerepeljenek. Ekkor ugyanis, ha ezeket kivonjuk egymásból, akkor eltűnnek a tizedesvessző utáni számjegyek. 100x = 258,888 10x = 25,888 90x = 233 x = x = 3214, x = 3, x = 3211 x =

9 11. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! [( ) ] ( ) Az első esetben belülről bontjuk ki az emeletes törtet, s azt kell tudnunk hozzá, hogy egy számot törttel úgy osztunk, hogy szorozzuk a tört reciprokával = = = = = 2 52 = 4 = A második esetben a műveleti sorrendeket kell tudnunk: balról jobbra haladva végezzük el a műveleteket, s először a zárójeles kifejezéseket bontjuk fel, illetve a hatványozást szorzást osztást végezzük el, s csak ezután az összeadást és kivonást. Továbbá azt kell még tudnunk, hogy az egy vegyes szám, amelynek értéke 4 3, illetve a negatív hatvány az adott számot a reciprokára változtatja. [( ) ] ( ) = ( ) ( 1 6 ) = = ( 6 5 ) ( 6) + 7 = = = Bizonyítsd be a 4-gyel való oszthatóság szabályát! Először tekintsünk egy tetszőleges A számot, s írjuk fel a helyiértékek segítségével a következő módon: A = 1 a a n a n (ahol a 1, a 2,, a n a számjegyeket jelölik). A 4-gyel való oszthatóság bizonyításához alakítsuk tovább az A számot: A = 1 a a n a n = 1 a a (a a n 2 a n ). Ebből látszik, hogy a zárójeles kifejezés 100-zal szorozva biztosan osztható lesz 4-gyel, ezért maga az A szám csak akkor lesz osztható 4-gyel, ha a zárójel előtt álló tagok összege is osztható 4-gyel. A zárójel előtt álló tagokat megvizsgálva azt kapjuk, hogy azok összege éppen az A szám utolsó két számjegyéből képzett szám, vagyis az A szám csak akkor lesz osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből képzett szám osztható 4-gyel. 9

10 13. Bizonyítsd be a 3-mal és 9-cel való oszthatóság szabályát! Először tekintsünk egy tetszőleges A számot, s írjuk fel a helyiértékek segítségével a következő módon: A = 1 a a n a n (ahol a 1, a 2,, a n a számjegyeket jelölik). A 3-mal és 9-cel való oszthatóság bizonyításához alakítsuk tovább az A számot: A = 1 a a n a n = 1 a 1 + (1 + 9) a ( ) a n = = 1 a a a a n a n = = 1 a a a n + 9 a a n = = 1 a a a n + 9 (1 a a n ) Ebből látszik, hogy a zárójeles kifejezés 9-cel szorozva biztosan osztható lesz 3-mal és 9-cel, ezért maga az A szám csak akkor lesz osztható 3-mal, illetve 9-cel, ha a zárójel előtt álló tagok összege is osztható 3-mal, illetve 9-cel. A zárójel előtt álló tagokat megvizsgálva pedig azt kapjuk, hogy azok éppen az A szám számjegyei, vagyis az A szám csak akkor lesz osztható 3-mal, illetve 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal, illetve 9-cel. Brósch Zoltán 10