Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Save this PDF as:
Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások"

Átírás

1 Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8) (2 + x) = 8 (1 + 5x) (9x 7) Megoldás: Az egyenletek megoldásához használjuk a mérleg - elvet. Lépésről - lépésre haladva rendezzük az egyenleteket úgy, hogy az egyik oldalon végül csak egy ismeretlen maradjon. a) (x 1) (x + 1) 6x + 1 = x (4 + x) + 2 / zárójel bontás x 2 1 6x + 1 = 4x + x x 2 6x + 12 = x 2 + 4x + 2 / x 2 6x + 12 = 4x + 2 / 12 6x = 4x 10 10x = 10 / 4x / : ( 10) x = 1 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x / zárójel bontás 1 2 (15x 5 6x 2 4x) = 21 9x x 1 2 (5x 10) = 21 10x / zárójel bontás 1 10x + 20 = 21 10x 21 10x = 21 10x / + 10x 21 = 21 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékek megegyeznek, így azonosságot kaptunk, vagyis minden olyan szám megoldása az egyenletnek, amely eleme az alaphalmaznak. 1

2 c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) / zárójel bontás 6x + 10 (x 2 4x + 4) + (x 2 + 2x + 1) = 12x + 6 6x + 10 x 2 + 4x 4 + x 2 + 2x + 1 = 12x x + 7 = 12x + 6 / zárójel bontás / 12x 7 6 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékek nem egyeznek meg, így ellentmondást kaptunk, vagyis az egyenletnek nincs megoldása. d) 6 (x 8) (2 + x) = 8 (1 + 5x) (9x 7) / zárójel bontás 6x 48 6 x = x 9x + 7 x 56 = 1x + 15 / 1x 28x 56 = 15 / x = 71 / : ( 28) x = Mivel a kapott eredmény nem eleme az alaphalmaznak, így nincs megoldása az egyenletnek. 2. Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) 2 (2x ) > 5 + 4x b) (1 + x) 2 + x 2 (2x 1) 2 18 c) 0x 4 (8x + 1) < 7 2x Megoldás: Az egyenletekhez hasonlóan oldjuk meg az egyenlőtlenségeket. Ügyeljünk arra, hogy ha negatív számmal osztunk, vagy szorzunk, akkor a reláció iránya megváltozik. a) 2 (2x ) > 5 + 4x / zárójel bontás 4x 12 > 5 + 4x / 4x 12 5 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékekre nem teljesül a reláció, így ellentmondást kaptunk, vagyis nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. 2

3 b) (1 + x) 2 + x 2 (2x 1) 2 18 / zárójel bontás 1 + 2x + x 2 + x 2 4x 2 4x x 2 + 2x + 1 4x 2 4x 17 / 4x 2 2x + 1 4x 17 / + 4x 6x / 1 6x 18 / : 6 x Mivel a kapott eredmény minden értéke része az alaphalmaznak, így ez a megoldás. c) 0x 4 (8x + 1) < 7 2x / zárójel bontás 0x 2x 4 < 7 2x 2x 4 < 7 2x / + 2x 4 < 7 Mivel a változók kiesnek és a kapott értékekre teljesül a reláció, így azonos egyenlőtlenséget kaptunk, vagyis minden olyan szám megoldás, amely eleme az alaphalmaznak.. Oldd meg a következő nem lineáris egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) (x + 2y) 2 + 5x 10 = 0 b) 15 y + 5x + y = 0 c) (x ) 2 + x + 2 = 0 d) x y = 1 e) 2x (y 6) 2 = 2 f) (x 2 9) (7x 6) 8x = 0 g) (x + 4) (1 y) 6z = 0 h) x 2 + x 2 = 0 i) 7x + 5 2x 8 = 0

4 Megoldás: Néhány egyenlet esetén a megoldásokhoz eljuthatunk úgyis, ha nem a mérleg - elvet alkalmazzuk, hanem megvizsgáljuk az értelmezési tartományt, illetve értékkészletet. a) (x + 2y) 2 + 5x 10 = 0 Mivel egy szám négyzete és abszolútértéke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. Az első tagban két ismeretlen szerepel, ezért először a második tagot kell megoldanunk. 5x 10 = 0 5x = 10 x = 2 Ezt az x értéket behelyettesítve az első tagba megkaphatjuk y-t is y = 0 2y = 2 y = 1 Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 2 és y = 1. b) 15 y + 5x + y = 0 Mivel egy szám abszolútértéke és négyzetgyöke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. A második tagban két ismeretlen szerepel, ezért először az első tagot kell megoldanunk. 15 y = 0 y = 15 Ezt az y értéket behelyettesítve a második tagba megkaphatjuk x-t is. 5x + 15 = 0 5x = 15 x = Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = és y = 15. c) (x ) 2 + x + 2 = 0 Mivel egy szám négyzete és négyzetgyöke is nem negatív, ezért az egyenlet baloldalán szereplő összeg értéke csak akkor 0, ha a tagok külön - külön egyenlők 0 - val. 4

5 Mivel mindkét tagban egy ismeretlen szerepel, így először az első tagot kell megoldanunk. x = 0 x = Most oldjuk meg a második tagra felírt egyenletet. x + 2 = 0 x = 2 Ezek alapján az egyenletnek nincs megoldása, mert nincs olyan x érték, amelyre a bal oldalon álló két tag egyszerre 0 lenne. d) x y = 1 Mivel a bal oldalon álló két tag értéke mindig nem negatív, így az összegük nem lehet negatív, ezért ennek az egyenletnek nincs megoldása. e) 2x (y 6) 2 = 2 Mivel a bal oldalon álló két tag értéke mindig nem negatív, így az összegük mindig nem negatív, ezért az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Egy lehetséges megoldás a következő: x 1 = 9 2 és y 1 = 2. f) (x 2 9) (7x 6) 8x = 0 Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők 0 - val. x 2 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 7x 6 = 0 x = 9 8x = 0 x = 0 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x 1 = ; x 2 = ; x = 9; x 4 = 0. 5

6 g) (x + 4) (1 y) 6z = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők 0 - val. x + 4 = 0 x = 4 1 y = 0 y = 1 6z = 0 z = 0 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x = 4; y = 1; z = 0. h) x 2 + x 2 = 0 Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát: x 2 + x 2 = x 2 x + 2x 2 = x (x 1) + 2 (x 1) = (x 1) (x + 2) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (x 1) (x + 2) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis külön külön meg kell vizsgálnunk, hogy a tényezők mikor lesznek egyenlők nullával. x 1 = 0 x = 1 x + 2 = 0 x = 2 Ezek alapján az egyenlet megoldásai: x = 1; x = 2. i) 7x + 5 2x 8 = 0 Mivel nullával nem osztunk, ezért a tört nevezője nem lehet egyenlő nullával: 2x 8 0 2x 8 x 4 Egy osztás értéke akkor 0, ha az osztandó 0, vagyis meg kell vizsgálnunk, hogy a tört számlálója mikor lesz egyenló nullával. 7x + 5 = 0 7x = 5 x = 5 Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 5. 6

7 4. Oldd meg a következő nem lineáris egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) (x 4) ( + x) < 0 b) 5x x 0 c) (x 4) (x + ) (x + 7) > 0 Megoldás: Az egyenlőtlenségek esetén is lehetséges a mérleg - elv mellett más módszert alkalmaznunk. A megoldás során az egyenlőtlenség bal oldalát alakítsuk szorzattá, majd vizsgáljuk meg, hogy egy szorzat értéke a tényezők előjelétől függően milyen lehet 0 - hoz viszonyítva. a) (x + 4) ( x) < 0 Egy szorzat értéke akkor kisebb, mint 0, ha a tényezők előjele ellentétes. Tekintsük először azt az esetet, amikor az első tényező pozitív, a második pedig negatív. x 4 > 0 x > 4 + x < 0 x < A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon nincs megoldás. Tekintsük most azt az esetet, amikor az első tényező negatív, a második pedig pozitív. x 4 < 0 x < 4 + x > 0 x > A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: < x < 4. A két ág megoldása külön külön jó megoldás. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: < x < 4. 7

8 b) 5x x 0 Alakítsuk szorzattá az egyenlőtlenség bal oldalát: 5x x = 5x (x + 5) Az egyenlőtlenség tehát felírható a következő alakban is: 5x (x + 5) 0. Egy szorzat értéke akkor nagyobb (vagy egyenlő), mint 0, ha a tényezők előjele megegyezik. Tekintsük először azt az esetet, amikor az első és második tényező is pozitív (vagy nulla). 5x 0 x 0 x x 5 A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: x 0. Tekintsük most azt az esetet, amikor az első és második tényező is negatív (vagy nulla). 5x 0 x 0 x x 5 A két megoldást összevetve azt kapjuk, hogy ezen az ágon a megoldás: x 5. A két ág megoldása külön külön jó megoldás. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x 5 vagy x 0. 8

9 c) (x 4) (x + ) (x + 7) > 0 Először számítsuk ki, hogy a zárójeles kifejezések értéke mikor 0. x 4 = 0 x = 4 x + = 0 x = 1 x + 7 = 0 x = 7 Ezt követően osszuk fel a számegyenest a kapott határpontokkal, s vizsgáljuk meg, hogy a kifejezés értéke a kapott rész intervallumokon milyen előjelű (szaggatott vonallal jelöljük a negatív értékeket): A kapott eredményeket táblázatba is foglalhatjuk: x < 7 x = 7 7 < x < 1 x = 1 1 < x < 4 x = 4 x > Egy szorzat értéke akkor pozitív, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, s nincs közte 0. Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: 7 < x < 1 vagy x > 4. 9

10 5. Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) 2x ( 5 x x) = b) x 6 2x = 2x 4 x + 2 c) d) e) 7 = 11 5x x x x x 1 5 x x x = x = + x + 4 x 2x + + x x 5 Megoldás: A törtes egyenleteknél első lépésben fel kell írnunk az értelmezési tartományokat (feltételeket), ha van a tört nevezőjében változó, mert a 0 - val történő osztást nem értelmezzük. Ezt követően alakítsuk szorzattá a nevezőket, majd hozzuk közös nevezőre a törteket. Végül a közös nevezővel való beszorzás után oldjuk meg az egyenleteket a mérleg - elv segítségével. A törtek elhagyásánál ügyeljünk arra, hogy a keletkező kifejezést zárójelbe kell tennünk, ha a tört előjele negatív. a) 2x ( 5 x x) = 57 / zárójel bontás 7 4 Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 2x 5x 7 + x 4 = 57 / közös nevező 56x 20x + 21x = x 20x + 21x = 1596 / 28 57x = 1596 / : 57 x = 28 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. 10

11 b) x 6 2x = 2x 4 x + 2 / közös nevező Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 6x 6 2 (6 2x) 6 = 12x 24 (x + ) x 2 (6 2x) = 12x 24 (x + ) 6x x = 12x 24 x 9 10x 12 = 9x / 6 / zárójel bontás / 9x x 12 = / + 12 x = 21 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. c) 7 = 11 5x x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 5x x 5 x 1 10x x 10 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 7 = 11 5 (x + 1) 10 (x + 1) (x + 1) = 120 (x + 1) 120 (x + 1) 120 (x + 1) / közös nevező / 120 (x + 1) = 11 (x + 1) / zárójel bontás = 11x = 11x + 11 / = 11x / : 11 x = 1 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 11

12 d) 2 6x x = + x + 4 x x x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 0 x x 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 2 6x + x ( x) = x + 4 x x x x / ( x) 2 6x + x = ( x) (x + 4) / zárójel bontás 2 5x = 9 x x 4 2 5x = 5 6x / + 6x x + 2 = 5 / x = A kapott eredmény nem felel meg a feltételnek, tehát nincs megoldása az egyenletnek. e) x 1 5 x x = 2x + x + x 5 Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Feltétel: x 0 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. (x 1) (x ) 5x = 5 (2x + ) 5x + x2 5x (x 1) (x ) = 5 (2x + ) + x 2 x 2 x x + = 10x x 2 / 5x / zárójel bontás x 2 4x + = x x + 15 / x 2 4x + = 10x + 15 / + 4x = 14x + 15 / = 14x / : 14 x = = 6 7 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 12

13 6. (E) Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) b) c) d) 5x x 2 + x x = x 2 + 9x x x + x = 4 x 2 4 2x x 2 x 2 + 2x 2 x + = x x + x 2 1 2x + x 2 2x + x 2 = 1 x 1 x 2 + x + 1 x 1 Megoldás: A törtes egyenleteknél első lépésben fel kell írnunk az értelmezési tartományokat (feltételeket), ha van a tört nevezőjében változó, mert a 0 - val történő osztást nem értelmezzük. Ezt követően alakítsuk szorzattá a nevezőket, majd hozzuk közös nevezőre a törteket. Végül a közös nevezővel való beszorzás után oldjuk meg az egyenleteket a mérleg - elv segítségével. A törtek elhagyásánál ügyeljünk arra, hogy a keletkező kifejezést zárójelbe kell tennünk, ha a tört előjele negatív. a) 5x x 2 + x x + 1 x 2 + 9x + x = 2 x + Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 2 + x 0 x (x + ) 0 x 0 vagy x x 2 + 9x 0 x (x + ) 0 x 0 vagy x x 0 x + 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 5x x = 2 x (x + ) x (x + ) x x + (5x ) x (x + ) + = x (x + ) x (x + ) x (x + ) 6x x (x + ) / közös nevező / x (x + ) 1

14 (5x ) (x + 1) + 9 (x + ) = 6x / zárójel bontás 15x 9 x 1 + 9x + 27 = 6x 2x + 17 = 6x / 6x 17x + 17 = 0 / 17 17x = 17 / : 17 x = 1 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. b) x + x = 4 x 2 4 2x x 2 x 2 + 2x Mivel a törtek nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x (x 2) (x + 2) 0 x 2 vagy x 2 2x x 2 0 x (2 x) 0 x 0 vagy x 2 x 2 + 2x 0 x (x + 2) 0 x 0 vagy x 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. x + x = 4 (x 2) (x+2) x (2 x) x (x + 2) x 2 x (x 2) (x + 2) x (x + 2) x (x 2) (x + 2) = 4 (x 2) x (x 2) (x + 2) / közös nevező / x (x 2) (x + 2) x 2 x (x + 2) = 4 (x 2) x 2 x 2 2x = 4x 8 2x = 4x 8 6x = 8 / zárójel bontás / 4x / : ( 6) 14

15 x = 4 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. c) = x x + x 2 1 2x + x 2 Mivel a törtek nevezőjében található változó, így feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 1 x 2 0 (1 x) (1 + x) 0 x 1 vagy x x + x 2 0 (1 + x) 2 0 x 1 1 2x + x 2 0 (1 x) 2 0 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. = 2 5 / közös nevező (1 x) (1 + x) (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 x) (1 + x) 2 (1 x)2 5 (1 + x)2 = (1 x) 2 (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 + x) 2 (1 x) 2 (1 + x) 2 / (1 x)2 (1 + x) 2 (1 x) (1 + x) = 2 (1 x) 2 5 (1 + x) 2 / zárójel bontás (1 x 2 ) = 2 (1 2x + x 2 ) 5 (1 + 2x + x 2 ) / zárójel bontás x 2 = 2 4x + 2x x 5x 2 x 2 + = x 2 14x / + x 2 = 14x / + 6 = 14x / : ( 14) x = 7 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 15

16 d) 2x + x 2 = 1 x 1 x 2 + x + 1 x 1 Mivel a törtek nevezőjében található változó, így feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 1 0 x 1 x 1 x 2 + x x 1 0 x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenletet. 2x + x 2 = 1 (x 1) (x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 x 1 / közös nevező 2x (x 1) (x 2 + x + 1) + (x 1) (x 2) (x 1) (x 2 + x + 1) = x 2 + x + 1 (x 1) (x 2 + x + 1) / (x 1) (x 2 + x + 1) 2x + (x 1) (x 2) = x 2 + x + 1 2x + x 2 2x x + 2 = x 2 + x + 1 / zárójel bontás x 2 x + 2 = x 2 + x + 1 / x 2 x + 2 = x + 1 / 2 x = x 1 2x = 1 / x / : ( 2) x = 1 2 A kapott eredmény megfelel a feltételnek, tehát megoldása az egyenletnek. 16

17 7. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x + 2) (x 2) = 12 (x 2 x) 8 b) x 2x 1 2 x x 1 = Megoldás: a) (x + 2) (x 2) = 12 (x 2 x) 8 / zárójel bontás x + 6x x + 8 (x 6x x 8) = 12x 2 12x 8 / zárójel bontás x + 6x x + 8 x + 6x 2 12x + 8 = 12x 2 12x 8 12x = 12x 2 12x 8 / 12x 2 16 = 12x 8 / = 12x / : ( 12) x = 2 Mivel a kapott eredmény része az alaphalmaznak, így az megoldása az egyenletnek. b) x 2 2x 1 x = 2 + x 1 2 / közös nevező x (4x 2) 6 2x + 9x 6 = 2 2 x 6 11x = 2 6 / 11x 6 2 x 6 = 22x 6 18 / 18 6 x = 22x 6 / 22x 6 25x = 6 / 6 25x = 12 / : ( 25) x = Mivel a kapott eredmény nem eleme az alaphalmaznak, így nincs megoldása az egyenletnek. 17

18 8. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenségeket! (Alaphalmaz: R) a) b) c) d) e) f) g) h) 7 2x x x 2 x > 0 x x x x 1 x 2x 1 > 0 x 2x + 1 > 1 5x 2x 5 x 8 4 < 2 9 Megoldás: Amennyiben a törtek nevezőjében nincs változó, akkor hasonlóan járunk el, mint egyenleteknél. Ha a törtek nevezőjében szerepel változó, akkor nem szorozhatunk be a közös nevezővel, mert nem tudjuk pozitív, vagy negatív - e az értéke (változzon - e a reláció iránya). Ekkor rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalon egyetlen tört, a másikon pedig 0 álljon. Végül vizsgáljuk meg a számláló és nevező előjelét a relációnak megfelelően. a) 7 2x + x x Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. 4 (7 2x) x 12 (x 8) / 12 4 (7 2x) + 12x (x 8) 108 / zárójel bontás 148 8x + 12x 9x x x 12 / 4x 148 5x 12 / x / : 5 56 x 18

19 b) x 5 2 2x 1 < 2 Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. (x 5) 6 2 (2x 1) 6 < 12 6 / 6 (x 5) 2 (2x 1) < 12 / zárójel bontás 9x 15 4x + 2 < 12 5x 1 < 12 / + 1 5x < 1 / : 5 x < 1 5 c) 2 x > 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 0 x Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel a számláló egy pozitív szám, ezért a nevező értékének is pozitívnak kell lennie. x > 0 / + x > x A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. 19

20 d) x Mivel a tört nevezőjében nincs változó, ezért nem kell feltételt írnunk. Egy tört értéke akkor lesz negatív, ha a számláló és nevező előjele ellentétes. Mivel a számláló egy negatív szám, ezért a nevező értékének pozitívnak kell lennie. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. x / 2 x 2 e) 2 x x 4 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x 4 0 x 4 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 2 x 0 2 x x 4 > 0 x > 4 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. 20

21 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 2 x 0 2 x x 4 < 0 x < 4 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 2 x < 4. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: 2 x < 4. A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. f) 12 x 1 x > 0 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 1 x 0 1 x x 1 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 12 x > 0 12 > x 4 > x 1 x > 0 1 > x 1 > x A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 1 > x. 21

22 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 12 x < 0 12 < x 4 < x 1 x < 0 1 < x 1 < x A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 4 < x. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x < 1 vagy 4 < x. A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. g) x 2x + 1 > 1 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 2x x 1 x 1 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. x 2x > 0 / közös nevező x 2x + 1 > 0 2x + 1 2x + 1 x 1 2x + 1 > 0 Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. 22

23 Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. x 1 > 0 x > 1 2x + 1 > 0 2x > 1 x > 1 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: x > 1. Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. x 1 < 0 x < 1 2x + 1 < 0 2x < 1 x < 1 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: x < 1 2. Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: x < 1 vagy 1 < x. 2 A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. h) 5x 2x 5 Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: 2x 5 0 2x 5 x 5 2 Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. 2

24 5x 2x / közös nevező 5x 2x 5 + (2x 5) 2x 5 0 x 12 2x 5 0 Egy tört értéke akkor lesz negatív, ha a számláló és a nevező előjele ellentétes. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló pozitív és a nevező negatív. x 12 0 x 12 2x 5 < 0 2x < 5 x < 5 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló negatív és a nevező pozitív. x 12 0 x 12 2x 5 > 0 2x > 5 x > 5 2 A két eredményt összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: 5 < x Mivel mindkét ág megoldása megfelelő, ezért az egyenlőtlenség megoldása: 5 < x A feltétel nincs benne a kapott intervallumban, így ez az egyenlőtlenség megoldása. 24

25 9. Oldd meg a következő törtes egyenlőtlenséget: x x 5 Megoldás: Mivel a tört nevezőjében található változó, ezért feltételt kell írnunk. Értelmezési tartomány: x x 2 x 5 0 x 5! (Alaphalmaz: R) Ezek után megoldhatjuk az egyenlőtlenséget. Rendezzük úgy az egyenlőtlenséget, hogy az egyik oldalt egy tört, a másikon 0 álljon. 7 0 x + 2 x 5 (x 5) (x + 2) (x 5) 7 (x + 2) (x 5) (x + 2) 0 4x 29 (x + 2) (x 5) 0 4x + 29 (x + 2) (x 5) 0 Egy tört értéke akkor lesz pozitív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel az egyenlőség meg van engedve, ezért a számlálónál mi is megengedhetjük. Tekintsük először azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is pozitív. 4x x 29 (x + 2) (x 5) > 0 első eset: x > 2 és x > 5, amiből x > 5 4 második eset: x < 2 és x < 5, amiből x < 2 Az eredményeket összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak a megoldása: első esetben x > 5, második esetben 29 x <

26 Tekintsük most azt az esetet, amikor a számláló és a nevező is negatív. 4x x 29 (x + 2) (x 5) < 0 első eset: x > 2 és x < 5, amiből 2 < x < 5 második eset: x < 2 és x > 5 4 Az eredményeket összevetve azt kapjuk, hogy ennek az ágnak nincs megoldása. A feltétel nincs benne a kapott intervallumokban, így ezek az egyenlőtlenség megoldásai: x > 5, vagy 29 x < Hogyan válasszuk meg a p valós paraméter értékét, hogy az 5p 6 = (x 2) egyenletnek minden valós szám megoldása legyen? Megoldás: Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 5p = x. Abban az esetben teljesül a feltétel, ha azonosságot kapunk. Ezek alapján a megoldás: p = 5 x. 11. Hogyan válasszuk meg a p valós paraméter értékét, hogy az x 2 egyenletnek ne legyen megoldása? Megoldás: Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8p = 26. Abban az esetben teljesül a feltétel, ha ellentmondást kapunk. Ezek alapján a megoldás: p 1 4. p + 1 = 4x

27 12. Oldd meg a következő egyenleteket, ahol p; q; r valós paraméter! a) (x 2) p = p (p + 1) b) 2qx q + x + 1 = 1 2 c) (r 2 + r) x = r 2 + 2r + 1 Megoldás: a) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: px = p (p + ). Amennyiben p = 0, akkor azonosságot kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Amennyiben p 0, akkor az egyenlet megoldása: x = p +. b) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: q + 12 = x ( 4q). Amennyiben q =, akkor ellentmondást kapunk, vagyis nem lesz megoldás. 4 Amennyiben q 12 q, akkor az egyenlet megoldása: x =. 4 4q c) Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: r (r + 1) x = (r + 1) 2. Amennyiben r = 1, akkor azonosságot kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Amennyiben r = 0, akkor ellentmondást kapunk, vagyis nem lesz megoldás. Amennyiben r 1 és r 0, akkor az egyenlet megoldása: x = r + 1 r. 1. Add meg az mx + 1 m 2 + x egyenlőtlenség valós megoldásait, ha az m paraméter természetes szám! Megoldás: Alakítsuk át az egyenlőtlenséget a következőképpen: x (m 1) m 2 1. Ha m = 1, akkor azonos egyenlőtlenséget kapunk, vagyis minden szám megoldás lesz. Ha m > 1, akkor az egyenlőtlenség megoldása: x m + 1. Ha m < 1, akkor az egyenlőtlenség megoldása: x m

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

Törtes egyenlőtlenségek

Törtes egyenlőtlenségek Törtes egyenlőtlenségek Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyező előjelű. Egy tört értéke akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője ellentétes (különböző) előjelű. 1. Oldja meg

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. DEFINÍCIÓ: (Nyitott mondat) Az olyan állítást, amelyben az alany helyén változó szerepel, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatba írt változót

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R

Négyzetgyökös egyenletek. x A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R Négyzetgyökös egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 6 b.) 6 c.) 5 6 /( ) ÉT : 6 6 7 Bo. : 7 6 6 A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R 5 0 Vonjuk össze, amit

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenletet: cos (3x π 3 ) = 1 2! A koszinusz függvény az első és a negyedik negyedben pozitív. Táblázati érték (hegyesszög): 1 2 60 = π 3 Ezek alapján felírhatjuk az

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Szögfüggvények értékei megoldás

Szögfüggvények értékei megoldás Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c)

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat

Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Racionális és irracionális kifejezések

Racionális és irracionális kifejezések Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

Egész számok értelmezése, összehasonlítása

Egész számok értelmezése, összehasonlítása Egész számok értelmezése, összehasonlítása Mindennapi életünkben jelenlevő ellentétes mennyiségek kifejezésére a természetes számok halmazát (0; 1; 2; 3; 4; 5 ) ki kellett egészítenünk. 0 +1, +2, +3 +

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben