Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek"

Átírás

1 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén értelmezett, ezért az egyenlet x $ 0 esetén értelmezett A metszéspont x = 0-nál van Ez megoldása az egyenletnek /II b)az a) részhez hasonlóan az egyenlet értelmezési tartománya x $ 0 A grafikonról leolvasható, hogy x = Ez jó megoldás c) Hasonlóan az elôzôekhez x = 0 az egyenlet megoldása Az értelmezési tartomány x $ 0 /III / A függvények grafikonjai nem metszik egymást, az egyenletnek nincs megoldása

2 Irracionális egyenletek 9 a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 0 /a A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x = b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 0 /b A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x = c) Az egyenlet értelmezési tartománya: x > 0 /c A grafikonról leolvasható, hogy x = d) Az egyenlet értelmezési tartománya: x # 0 /d A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x =-

3 96 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek /e e) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - A grafikonról leolvasható, hogy x = /f f) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ A grafikonról leolvasható, hogy x = a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - Mivel mindkét oldal nemnegatív, így mindkét oldalt négyzetre emelve az egyenlet megoldása: x =-, amely eleme az értelmezési tartománynak b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 7, négyzetre emelés után az egyenlet megoldása x = 6 c) Az egyenlet értelmezési tartománya: x # Az egyenlet megoldása: x =-, d) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - Az egyenletnek nincs megoldása, mert az egyenlet bal oldalának értékkészlete, nemnegatív, jobb oldal - a) Kikötés: x $ Négyzetre emelve azt az egyenletet kapjuk, hogy: _ x - i =, ebbôl x =,, ami valóban megoldás b) Kikötés: x #, Elosztva -mal, majd négyzetre emelve, kapjuk, hogy x =, c) Kikötés: x $ - Rendezzük az egyenletet: x + = 8 Négyzetre emelés után az egyenlet gyöke x = d) Kikötés: x $ -, Rendezzük az egyenletet a következô módon: x +, =, majd négyzetre emelve kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x = 7,

4 Irracionális egyenletek 97 e) Kikötés: x $ - 9 Rendezzük az egyenletet: x + = Négyzetre emelés után: x = megoldást kapjuk 9 6 a) Az egyenlet értelmezési tartománya x $ Vezessük be az a= x- jelölést, ekkor a= a egyenlethez jutunk, amelynek megoldása az a= 0, a= Visszahelyettesítve kapjuk, hogy x=, x= b) Az egyenlet értelmezési tartománya x $ Az egyenlet bal oldalának értékkészlete nemnegatív, így a jobb oldalnak is nemnegatívnak kell lenni Ebbôl adódik, hogy - x $ 0, azaz x # Összevetve az értelmezési tartománnyal x = megoldást kapjuk 7 a) Az egyenlet értelmezési tartománya: bal oldal: x $-, jobb oldal: x $, tehát x $ Négyzetre emelés után: x =-7 adódik, ami nem eleme az értelmezési tartománynak, tehát nem megoldása az egyenletnek 7 b) Bal oldal: x $, jobb oldal: x #, tehát az értelmezési tartomány: 7 # x # 8 Négyzetre emelés után: x = adódik, és ez megoldása a feladatnak 0 8 a) Mivel a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll, ezért az egyenlet minden valós számra értelmezhetô Átalakítva: _ x- i = x-, ebbôl x- = x-, melynek megoldása x $ b) Minden valós számra értelmezett Átalakítás után: x- = x+ abszolútértékes egyenletet kapjuk Az abszolútérték felbontása után kapott egyenletek: Ha x $, akkor x- = x+, melynek az adott intervallumon nincs megoldása Ha x #, akkor - x+ = x+, melynek az adott intervallumon a megoldása x =-

5 98 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek c) Az egyenlet bal oldala x $ esetén, a jobb oldal x # esetén értelmezett A két halmaznak nincs közös része, tehát az egyenletnek nincs megoldása 9 Célszerû a x = y ismeretlen bevezetése a) x $ 0 esetén értelmezett az egyenlet Ekkor az új egyenlet: - y= y- elsôfokú egyenletbôl: y =, tehát x = b) Értelmezési tartomány: x $ 0, x! 6; 9 Az új ismeretlen bevezetése után a törtes egyenlet megoldása: y = 0, tehát x = 00 c)hasonlóan a b) részhez: x $ 0, x! A megoldás: x = 9 d) x $ 0 Most célszerû az y= x bevezetése Ekkor az egyenlet: _ y+ i + _ y- i = _ y+ i alakban írható Zárójelfelbontás, összevonás után: y - y = 0, melybôl y= 0, y= Az egyenlet megoldása: x= 0, x= 6 0 a) Kikötések: x$ -6, x$ -, ekkor mindkét oldal nemnegatív, tehát a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás Négyzetre emelés után az egyenlet: x + x - 8 = 0 Gyökei: x=-, x=, amelybôl az eredeti egyenlet gyöke: x = b) Kikötés: # x # Négyzetre emelés után a rendezett egyenlet: x - x + = 0, melynek gyökei: ; Az hamis gyöke az egyenletnek, így a megoldás: c) A négyzetgyök miatt egyrészt x #, másrészt x - $ 0, azaz x $ 6 teljesülése szükséges Ennek a két egyenlôtlenségnek nincs közös része, tehát a feladatnak nincs megoldása d) Kikötés x $ - 6 Rendezzük az egyenletet oly módon, hogy csak a gyökös kifejezés álljon az egyik oldalon x+ = x+, ekkor még az x $ - -nek is teljesülni kell Négyzetre emelés után: x + x - 8 = 0 egyenletet kapjuk, melynek gyökei: -; Ezek közül az eredeti egyenletnek csak az x = a megoldása e) Kikötés: x # -, majd rendezés után -- x = x+ alakban x $ -, tehát az egyenlet megoldása - # x #- intervallumon értelmezhetô A négyzetre emelés után: x + 0x + = 0, melynek gyökei: -,; -, Az eredeti egyenlet gyöke a -,

6 Irracionális egyenletek 99 f) A bal oldal - x $ 0, azaz x # 6esetén értelmezhetô, és a jobb 9 oldal x $ 6, kell hogy teljesüljön Így csak az x = 6 lehet a megoldás, ellenôrzéssel igazolható, hogy ez valóban jó a) Közös kikötés: x $ Négyzetre emelve, majd rendezve az egyenletet kapjuk: x - x + = 0, melynek gyökei: 7, Az eredeti egyenlet gyöke a 7 b) Közös kikötés: x $ Lásd elôzô feladat A kapott másodfokú egyenlet: x - 6x + 7 = 0 Megoldás a 7 c) Kikötés: x >, a kapott másodfokú egyenlet: x - x+ = 0 A megoldás: x = 8 d) Kikötés: x >, a kapott másodfokú egyenlet: x - 7x - = 0 Az egyenlet megoldása x = a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $, Két négyzetgyökös kifejezés összege csak akkor lehet 0, ha a két kifejezés külön-külön 0 Így tehát x=, es x=, egyszerre kell, hogy teljesüljön, de ez lehetetlen b) Kikötés: x$ Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy: x-= x+, melybôl ellentmondásra jutunk c) A kikötések megtétele után vizsgálva az egyenletet ellentmondásra jutunk, hisz két nemnegatív kifejezés összege nem lehet d) A kikötések során a két egyenlôtlenségnek nincs közös része, mert 7 x $, és x # Így az egyenletnek az értelmezési tartománya üres halmaz A kikötések megtétele után rendezzük úgy az egyenleteket, hogy mindkét oldalon egy négyzetgyökös kifejezés legyen, majd ezután emeljünk négyzetre, majd a kapott egyenlet rendezése után ismételten emeljünk négyzetre a) Kikötés: # x # Rendezve az egyenletet: x- = - - x Emeljünk négyzetre: x- = - - x + - x Rendezés után: x- =- - x, melyet ha ismét négyzetre emelünk a kapott másodfokú egyenlet: x - 6x + 6 = 0, melynek gyökei x=, es x= Mindkét gyök megoldása az eredeti egyenletnek b) Kikötés: x $ Rendezés után: x+ = 8- x-, majd négyzetre emelve és rendezve: x- 8 = 6 x-

7 00 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Másodszori négyzetre emelés után: a kapott másodfokú egyenlet: x - 7x + 60 = 0, melynek gyökei: x = 6, és x = 0 Ellenôrzés után a megoldás: x = 0 c) Kikötés: - 7 # x # Rendezés után: x+ 7 = + - x Négyzetre emelve, majd rendezve: x- 0= - x Újból négyzetre emelve kapjuk: x + x- 88 = 0, melynek megoldásai: x=, es x=-, 76 Melyek közül csak a megoldása az egyenletnek d) Kikötés: x $ - Rendezve kapjuk: x+ 6, = x+ - Négyzetre emelve, majd rendezve: x+ = x+,, amelybôl: x+ = x+ Ennek az egyenletnek a megoldásai: x = és x =- A két gyök közül az eredeti egyenlet megoldása az x = Az ilyen típusú feladatok az egyenletek kétszeri négyzetre emelésével oldhatók meg A másodszori négyzetre emelés elôtt rendezzük úgy az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés szerepeljen a) Kikötés: x $ Négyzetre emelve majd rendezve: x+ - _ x+ i_ x- i + x- = x+, illetve x= 0x + x- Újból négyzetre emelve, majd rendezve a x + x- = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei: x=, es x=-, a kikötésnek azonban ezek a gyökök nem felelnek meg b) Kikötés: x $ 6 Az elôzôhöz hasonlóan: _ x+ i_ x- 6i =, majd ismételt négyzetre emelés után a kapott másodfokú egyenlet: x - x - 0 = 0, melynek gyökei: x = és x =- Kikötés miatt csak a lehet megoldás és ez valóban jó c) Kikötés: x $ - 7 Hasonlóan az elôzôkhöz a kapott másodfokú egyenlet: x - 8x - = 0, melynek megoldásai: x, = es x=-, ezek közül az eredeti egyenletnek a a megoldása

8 Irracionális egyenletek 0 d) Kikötés: x $ 7 Az elôzôkhöz hasonlóan: a kapott másodfokú egyenlet: x - x - = 0, melynek gyökei: x = 7, amelyek közül a ;! + 7 megoldása az eredeti egyenletnek Képletbe való behelyettesítés, majd négyzetre emelés után adódik, hogy s 6, m Egy emeletes ház egy emeletének magassága,-m között van, így a labdát az ötödik vagy hatodik emeletrôl ejtették ki 6 A megadott képlet alkalmazása során a megfelelô adatokra kell figyelni A lejtô alján elért sebesség a lassulás kezdôsebessége, majd a mozgás során a végsebesség 0 Ezek után a képletbe való behelyettesítéssel adódik: 0= 0 - $ $ s Ebbôl s 6, 7 m A szánkó közelítôleg 7 m út megtétele után áll meg 7 A képletbe való behelyettesítéssel könnyen kifejezhetô a megtett út, de m a behelyettesítés elôtt minden sebesség mértékegységet -ba kell váltani s km m a) v0 = 60 6, 67 h = s km m v = 0 = 8,, ekkor a megtett út hossza közelítôleg m h s (,88 m) km m b) v0 = 90 =, ekkor a megtett út kb 0 m hosszú (9,68 m) h s 8 a) Kikötések: x + x- 7$ 0, amelybôl x#, vagy x$, (I) 0 és x + x- 9$ 0, amelybôl x # - - 0, vagyx $ - +, (II) (I) és (II) közös része x#, vagy x$ Vezessünk be alkalmasan megválasztott ismeretlent: Legyen x + x- - 9= a, ekkor az egyenlet: a+ = a alakú lesz (a $ 0) A kikötés miatt mindkét oldal értelmezett, és nemnegatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens lépés A kapott másodfokú egyenlet a - 6a - 9 = 0, melynek gyökei a =, és a =- 8 8 a kikötés miatt nem lehet, ezért visszahelyettesítés után a kapott egyenlet:! 97 x + x- 9=, melynek gyökei: x ; = - Mivel az egyenlet megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk a megfelelô ki- kötések elvégzése után, ezért a kapott gyökök az eredeti egyenletnek is megoldásai

9 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek b) Kikötések: x + 7x- 8$ 0, és x + 7x- $ 0, melyekbôl 7 97 x # , vagy x $ - + Az új ismeretlen bevezetése után: x + 7x- = a kapott egyenlet: a+ = a ( a $ 0) Ennek gyökei: a=, es a=- A kikötéssel összevetve csak a lehet megoldás Visszahelyettesítve a kapott 7! másodfokú egyenlet gyökei: x ; = - Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk a megfelelô kikötések elvégzése után, ezért az egyenletnek mindkét gyök megoldása c) Kikötés: x + x- 6$ 0, amelybôl x#, vagy x$ Vezessünk be új ismeretlent a= x + x- 6 (I) Az új egyenlet: a+ a = Rendezve a= - a, ahol a kikötések a$ 0 (II), és a# (III) (II)-bôl: x#, vagy x$ (III)-bôl: - 6 # x # (II) és (III) összevetése után: # x#, vagy # x# Most már négyzetre emelve az egyenletet a kapott gyökök a = 6, és a = (III) miatt csak a lehet a megoldás Visszahelyettesítve (I)-be a kapott gyökök: x=, es x=- Mivel a kikötések vizsgálata után ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez a két gyök megoldása az eredeti egyenletnek 9 a) Kikötések: 6 + x $ 0 6 x! R esetén teljesül 6 - x 6 + x $ 0; és x # Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 6-8x+ x = 6 - x 6 + x Nullára rendezve, majd szorzattá alakítva: xc 6 + x - x+ 8m = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezôje 0 Így tehát x = 0 vagy 6 + x - x+ 8 = 0; melyet a 6 + x = x-8 átalakítás után megoldva x = adódik Mindkét gyök nemnegatív és megoldása az eredeti egyenletnek b) Kikötések megvizsgálása után adódik: x $ Az elôzôhöz hasonlóan négyzetre emelve majd szorzattá alakítva

10 Irracionális egyenletek 0 adódik, hogy x = 0, ami a kikötés miatt nem lehet, majd x = Ez a gyök nemnegatív és megoldása az eredeti egyenletnek 0 Vezessük be az y= x-8 jelölést A nevezôben nevezetes szorzatokat vehetünk észre, a közös nevezôre hozáskor, ezért egyenletünk összevonva és rendezve így írható: _ y-6i: 9`y - 6j+ `y -8jD = 0 `y -6j`y -8j A számlálóból származó gyökök: y =, y = 6, y =- 6, és ezek nem gyökei a nevezôben levô másodfokú tényezôknek x - 8 értékére természetesen csak a nemnegatív értékek jöhetnek szóba Ennek megfelelôen az eredeti egyenlet megoldásai: x = 7, illetve az x = Négyzetre emeléssel a bal oldalon negyedfokú tag szerepelne, így próbálkozzunk más ötlettel A négyzetgyök alatti kifejezés -gyel nagyobb, mint az egyenlet bal oldalán levô, így vezessünk be új ismeretlent: y= x + x+ 8 Ekkor egyenletünk: y -y- = 0 Ennek nemnegatív gyöke: y = 8 Visszahelyettesítve: x + x+ 8 = 8, melynek gyökei: x = és x =- 9 Behelyettesítéssel meggyôzôdhetünk, hogy ezek valóban megoldásai az eredeti egyenletnek A bal oldali összeg miatt: x - x+ 7 $ 0, így # x # Mivel x - x+ 7= _ x-i_ x- i +, így a jobb oldal értéke a vizsgált intervallumon legfeljebb Az intervallumban levô valós számokra vizsgáljuk a bal oldal értékét: x- $ x- és -x $ - x, mivel a gyök alatt -nél nem nagyobb számok vannak Így a bal oldalon levô összeg értéke legalább Tehát az egyenlôség pontosan akkor teljesülhet, ha mindkét oldal értéke Ez x = és x = esetén áll fenn Behelyettesítéssel látható, hogy ezek valóban megoldások Az értelmezési tartományok vizsgálata alapján egyenletünk nincs értelmezve, ha: < x <, vagy < x < Rendezve: _ x-i_ x- i = - _ x-i_ x-i; x - x+ = - _ x-i_ x- i + x- 7x+ Rendezve, majd ismét négyzetre emelve: _ x- i = _ x-i_ x-i;

11 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek _ x-i_ x- i = 0, azaz x =, illetve x = A behelyettesítés mutatja, hogy ezek valóban megoldások Kikötéseink: x $ -, illetve x $ Négyzetre emelés után az x -8x - x+ = 0 egyenletet kapjuk Mivel egész gyökei nincsenek, próbáljuk meg szorzattá alakítani x -8x - x+ = `x -x- j`x + x-j A szorzat alak egyik tényezôjét megkaphatjuk abból a megfontolásból kiindulva, hogy a két oldal függvényei egymás inverzei, így képeik az f _ xi= x egyenesén metszik egymást, azaz a metszéspont abszcisszájára fennáll: x - = x A szorzat alakot vizsgálva a következô gyököket kapjuk a tényezôkbôl:! 7! x =, illetve: x = - 7 Kikötéseinket figyelembe véve a feladat megoldásai: x = +, x = - - Az egyenletnek csak x $ esetén lehet csak megoldása Tekintsük az f _ xi= - + x függvényt A függvény az alaphalmazon szigorúan monoton nô Ha x> f _ xi, akkor a monotonitás miatt f _ xi> f ` f _ xij, és f ` f _ xij > f a f ` f _ xijk Ilyen x tehát nem lehet megoldása az egyenletnek Hasonlóan látható, hogy x akkor sem lehet megoldás, ha x< f _ xi Tehát csak akkor kaphatunk megoldást, ha x= f _ xi, azaz ha x= - + x Négyzetre emelés és rendezések után: x - x + = 0, melynek gyökei: x = és x = Ellenôrzéssel láthatjuk, hogy ezek kielégítik az eredeti egyenletet 7 6 A bal oldal akkor értelmes, ha x $ -, míg a jobb oldal ha x $ 7 7 A kikötéseink akkor teljesülnek egyszerre, ha - # x #- 7 vagy 7 # x Négyzetre emelve és rendezve: x -x - 8x+ = 0 Az együtthatókat figyelve látható, hogy ennek gyöke az x = Ezért szorzattá alakítva egyenletünk: _ x- i` x + x -x- j = 0 Vizsgáljuk a második tényezôt: x + x -x- = `x -x - 7xj+ `x -6x- j= x`x -x- 7j+ + ` x -x- 7j = _ x+ i` x -x-7j Tehát további gyök: x =- az elsô tényezôbôl, valamint: x = + és az x = - a második tényezôbôl A kikötéseinknek azonban csak az

12 Irracionális egyenletek 0 x =- és az x = + felelnek meg Ezek ki is elégítik az eredeti egyenletet 7 Emeljük köbre mindkét oldalt Rendezés után egyenletünk: x - xb x + - xl = 7 A zárójelben levô kifejezés éppen az eredeti egyenletünk bal oldala, ezért x - x $ = 7, ahonnan: 7 x_ - xi = 6 J 7 N Köbre emelve az x - x+ K = 0 6 O másodfokú egyenlethez jutunk Ennek diszkriminánsa negatív, tehát az egyenletnek nincs megoldása a valós számok hal- L P mazán 8 Köbre emelve és rendezve a következô egyenletet kapjuk: x+ - xb x+ + - xl =- x+ 8 A zárójelben levô kifejezés épp az egyenletünk bal oldala, így: _ x+ i_ - xi = x+ 8 Ismét köbre emelve: x + 86x - 7x+ 88 = 0 Az együtthatók összege 0, így _ x - i kiemelhetô, majd a kapott másodfokú tényezô szorzattá alakítható: _ x- i _ x+ 88i = 0 Ennek két gyöke van, az és a -88 Az x =, az eredeti egyenletnek nem megoldása, míg az x =-88 igen, errôl behelyettesítéssel is meggyôzôdhetünk 9 Nyilván x nem lehet negatív szám Legyen y szintén nem negatív, melyre teljesül: 6 x = y Ekkor az új ismeretlen kapott egyenlet: y + y = y Ha y = 0, akkor x = 0 és ez megoldás Ha y! 0, akkor oszthatunk y -nal Így az y - y + = 0 egyenlethez jutunk Mivel az együtthatók összege 0, így az egyik megoldás az y = Az egyenlet szorzat alakja: _ y- i` y + y- j = 0 A második tényezôbôl kapott gyökök: y = - Mivel csak pozitív értékek lehetnek a megfelelôk,! így az eredeti egyenletnek három megoldása lehet: y = 0, x= 0; y =, ekkor x= ; y = - + J, x= - + N K O K O L P 0 Emeljünk négyzetre: 6 + x x = x Újabb négyzetre emelés után: 6 x = x x

13 06 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Legyen: y= 6 - x Ekkor a következô egyenlethez jutunk: y - y + = 0 Ennek gyökei: y = és az y = 8 Ha y =, akkor x = 0, míg az y = 8 nem ad valós megoldást Tehát az egyenlet egyetlen megoldása: x = 0 Kikötésünk: x $ 0, ekkor p $ 0 is igaz Rendezzük át az egyenletet: p+ x = p- x Ábrázoljuk a következô függvényeket: f _ xi = p-x, g_ xi = p+ x Az f _ xi függvény képe egyenes, mely a tengelyeket metszi a _ 0; pi és a _ p; 0i pontokban A g_ xi függvény szigorúan monoton növekvô függvény, melynek képe az y tengely p pontjából indul ki Így pontosan akkor létezik megoldás, ha p# p, azaz ha p # p Ekkor p - p= p_ p-i $ 0 Ez pontosan akkor teljesül, ha p = 0, vagy ha p $ Kikötésünk: x $ 0 Emeljünk négyzetre: b xl + a x + b- c = 0 Ez x -re nézve másodfokú egyenlet, melynek legfeljebb két gyöke lehet a valós számok halmazán, azaz az eredeti egyenletnek semmilyen paraméterértékek esetén sem lehet végtelen sok megoldása Rendezés és négyzetre emelés után: _ a+ ci x = c -b Ha az eredeti egyenletnek végtelen sok megoldása van, akkor ennek a következményegyenletnek is végtelen sok megoldása kell hogy legyen Ez viszont csak úgy lehet, ha a=-c és b= c Visszahelyettesítve ezeket az eredeti egyenletbe: x- c x + c + x = c, vagyis c- x + x = c kell, hogy teljesüljön Ez pontosan akkor áll fenn, ha 0 < c Összegezve: az egyenletnek akkor van végtelen sok megoldása, ha: c > 0 és a=- c, b= c Rendezzük az egyenletet: x- x = `-x j -x alakra 6 Négyzetre emelve és rendezve: x - 8x + 8x - = 0 Legyen y= x, ekkor egyenletünk: y - 8y + 8y- = 0 Írjuk fel egyenletünket a következô alakban: _ yi - _ yi + 9_ yi - = 0 Az együtthatók alapján a y =, azaz y = ennek megoldása

14 Irracionális egyenlôtlenségek 07 _ y - i-et kiemelve: _ y-id_ yi - 8_ yi+ n = 0! A második tényezô 0, ha y = Tehát y-ra a megoldásaink: y =, y = +, y = -! - Az eredeti egyenlet megoldásai lehetnek: x, =!, x6, = A négyzetre emelések miatt ellenôriznünk kell a kapott gyököket, ezek alapján + - feladatunk megoldásai: x =-, x =, x = Irracionális egyenlôtlenségek Az egyenlôtlenség bal és jobb oldalán álló függvények metszéspontját M-mel jelöljük a) Közös értelmezési tartomány: x $ 0, M( 6, ), megoldás: 0# x # 6 b) Közös értelmezési tartomány: x $, M(,), megoldás: # x # c) Közös értelmezési tartomány: x $, metszéspont nincs, megoldás: nincs ilyen valós szám 6 a) Kikötés: x + $ 0, azaz x $ -, ekkor mindkét oldal nem negatív, a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás Megoldás: - # x # 0 b) Kikötés: x $ - Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: 0 - # x #-, vagy x $ - c) Kikötés: x $ Négyzetre emelés és rendezés után: 0< x -x- 6, melybôl a megoldás x > a) Kikötés: x $ - 6 Ha - # x < -, akkor az állítás igaz, mert a jobb oldal negatív Ha x $ -, akkor négyzetre emelés és rendezés után: a 0> x -x- egyenlôtlenségbôl: - # x < 6 Összegezve a megoldás: - # x < b) Kikötés: x $- Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: - # x #

15 08 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 7 c) Kikötés: x $ Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: x # - Ez ellentmond a kezdeti feltételnek, így az egyenlôtlenségnek nincs valós megoldása 8 a) A négyzetgyökök alatt teljes négyzetek vannak, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ + x- # Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x-- x+ #, azaz x $ - Ez ellentmondás Ha - # x #, akkor az egyenlôtlenség: x+ - x+ # Ez is ellentmondás Ha x $, akkor az egyenlôtlenség: x+ + x- #, azaz x # Ismét ellentmondásra jutottunk, így a feladat feltételeinek egyetlen valós szám sem tesz eleget b)a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ # x+ A jobb oldal akkor lesz nem negatív, ha x $ - Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x- # x+, melybôl: x $ - Ha x $ -, akkor az egyenlôtlenség: x+ # x+, mely minden számra igaz Összegezve a feladat megoldása: x $ - valós számok c)a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ $ x- Ha x <, akkor a jobb oldal negatív, így az egyenlôtlenség fennáll Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x-$ x-, azaz x # - Ha x $ -, akkor az egyenlôtlenség: x+ $ x-, mindig igaz Összegezve: az eredeti egyenlôtlenséget minden valós szám kielégíti 9 a) Kikötés: x $, ekkor mindkét gyökös kifejezés értelmezhetô Négyzetre emelve: x -x # 8- x A jobb oldal nem negatív, ha x # 96 Ismét négyzetre emelve: x -x# x - 8x+ 96, melybôl x # 96 Összegezve a megoldás: # x # b) Kikötés: x $ 8 esetén a gyökös kifejezések értelmezhetôk Rendezve és négyzetre emelve: x+ > x x- 8 Rendezve és újra négyzetre emelve: x - 6x + 88> 0, mely teljesül, ha x<, vagy x > Tehát a megoldás: 8 # x <, vagy x >

16 Irracionális egyenlôtlenségek A bal oldal értéke mindig nem negatív, így teljesül az egyenlôtlenség, ha a gyök alatti tört nem negatív Kikötésünk és egyben az egyenlôtlenség megoldása: < x # x 6 a)kikötésünk: - + x -x- $ 0, azaz $ 0 teljesül, ha x # -, x x vagy x $ x -9x-8 Négyzetre emelve és rendezve: < 0 9x Mivel a nevezô mindig pozitív, így a számlálónak negatívnak kell lennie x - 9x - 8< 0, ha -, < x < Összevetve a kikötésekkel az egyenlôtlenség megoldása: -, < x #, vagy # x < b) Kikötéseink: x! 0, és x # Esetszétválasztással dolgozunk: Ha 0< x<, akkor beszorozva és négyzetre emelve: x 6x< 0 -, ami az alaphalmaz minden értékére igaz Ha # x #, akkor -x< - x Ez az alaphalmaz minden értékére igaz Ha - < x< 0, akkor rendezés és négyzetre emelés után: x+ 6> 0 Ez ismét az alaphalmaz bármely értéke esetén igaz Ha - # x #-, akkor - - x $ 0, és x < 0miatt a megoldás: - # x #- Összegezve az egyenlôtlenség megoldása: - # x< 0, vagy 0< x # 6 Alakítsuk teljes négyzetté a bal oldalt: c x + -m - $ 0 Szorzattá alakítva: c x + -- mc x m $ 0 A második tényezô minden x-re pozitív, így az elsô tényezônek szintén pozitívnak kell lennie Ez egyben az egyenlôtlenségünk megoldása is: x # - vagy x $ 6 Kikötéseink: x + $ 0, és - x $ 0, azaz - # x # Rendezve az egyenlôtlenséget: - x > x+ + 7 Négyzetre emelve a - x> x+ ekvivalens egyenlôtlenséget kapjuk

17 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek A bal oldal nem lehet negatív, így: x < 7 8 Ismét négyzetre emelve és rendezve: x - 8x+ > 0 egyenlôtlenséghez jutunk 6 J 8 8 Szorzattá alakítva: x- + NJ x- - N K OK O > 0 Ez pontosan akkor teljesül, ha x > +, vagy ha x < - K 8 OK 8 O L PL P 8 8 Összevetve a kikötésekkel az egyenlôtlenséget a következô valós számok teszik igazzá: - # x < Alakítsuk szorzattá a másodfokú kifejezéseket: _ x+ i_ x-i_ x- i_ x+ i $ 0 x + A nevezô, ha x!-, mindig pozitív A számláló tényezôinek zérushelyei rendre: -; ; ; - Tehát a megoldás: x < -, vagy - # x #, vagy x $ 6 Kikötés: x # - 7, vagy x $ 7 Az egyenlôtlenség bal oldala _ x- 7i_ x+ 7i-re másodfokú kifejezés Alakítsuk szorzattá az egyenlôtlenség bal oldalán levô kifejezést: c _ x- 7i_ x+ 7i -9mc _ x- 7i_ x+ 7i -m $ 0 Szorozzuk meg az egyenlôtlenség mindkét oldalát a biztosan pozitív c _ x- 7i_ x+ 7i + 9mc _ x- 7i_ x+ 7i + m szorzattal: Ekkor egyenlôtlenségünk: `x -0x-00j`x -0x-j $ 0 A tényezôk zérushelyei: x= 0, x=- 0, illetve x= 8, x=- 8 Összevetve a kikötésekkel, az egyenlôtlenség megoldása: x # - 0, vagy -8 # x #- 7, vagy 7 # x # 8, vagy x $ 0 66 A gyökjel alatti kifejezéseknek és a bal oldalnak is pozitívnak kell lennie, ezért a kikötések: 0< - x< + x, ezért: 0< x < Ha az egyenlôtlenséget a nevezôk szorzatával szorozzuk, nem változik a relációs jel állása, vagyis: + x -x $ - x A kisebb oldal pozitív, emiatt négyzetre emelve: - -x $ - x, ekvivalens egyenlôtlenséghez jutunk Legyen z= - x > 0 Ekkor: 0 $ z + z- = _ z+ i - = bz+ + lbz+ - l

18 Irracionális egyenlôtlenségek Mivel a jobb oldali elsô tényezô pozitív, így a második tényezônek negatívnak kell lennie: z+ - = - x + - # 0 Ebbôl: -x # -, azaz x $ - A feltételek miatt: x $ - Tehát az egyenlôtlenség pontosan akkor teljesül, ha - # x < 67 a)ha x # p, akkor a gyökös kifejezés értelmezhetô Ha p = 0, akkor x< - x Ez csak akkor teljesül, ha x < 0 Ha p < 0, akkor x< p- x A gyök alatti kifejezés miatt: x # p < 0 Ha p > 0, akkor a következô eseteket kell vizsgálnunk: () p > 0 és x # 0, akkor az egyenlôtlenség mindig teljesül p () p > 0 és x > 0, akkor a gyökös tag miatti kikötésünk: x # Ekkor négyzetre emelve: x + x- p< 0 Ez teljesül, ha -- + p < x< p Mivel x pozitív, így 0< x< - + p+ Összegezve () és () eseteket: ha p > 0, akkor x< - + p+ b) Kikötés: x # Ha p # -, akkor a bal oldal értéke negatív vagy 0, minden olyan esetben, ha x # Ha p > -, akkor a bal oldali szorzat tényezôi nem negatívak, így négyzetre emelve: _ p+ i _ -xi < Az egyenlôtlenség teljesül, ha - < x # _ p + i 68 A feltételek miatt: a+ b> x> a- b> 0, így ezek négyzetgyökére is igaz, hogy: a+ b > x > a- b Adjunk a -t az egyenlôtlenséglánc minden tagjához: a+ b + a > x + a > a + a- b Mivel ezek a mennyiségek is pozitívak, így reciprokaikra: < < a+ b + a x + a a + a-b Ebbôl a nevezôket gyöktelenítve a bizonyítandó állítást kapjuk

19 Abszolútértékes egyenletek, egyenlôtlenségek i+ n + i 69 Elég belátnunk azt, hogy az < < egyenlôtlenség teljesül minden i=,,, n számra, mert ezeket összeadva az ere- n + n+ i n + i+ n _ i deti egyenlôtlenséget kapjuk Nézzük elôször az állítás bal oldalát! Rendezve: _ n+ ii n + i+ < _ n+ ici+ n + im ami igaz, mert: n+ i< i+ n + i, és n + i+ < n+ Hasonlóan vizsgálva a jobb oldalt: ni + n n + i < n n + i + + i n + i +, ami igaz, mert ni < i n + i +, és n n + i < n n + i+ Ezzel a bizonyítást befejeztük Abszolútértékes egyenletek, egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenletek 70 a) x =! 0, x =!, x =!,, x =! ; 7 b) x =!, x =!, nincs megoldás; c) x = 8, x =-, x = 9, x =-, x = 0,, x =- 0, 7 a) x =, x =-, x =, x =- 7, x =-, x =- 6; 9 b) x =, x =-, x =, x =-, x = 8, x = 0 7 a) nincs megoldás, x =!, x $ ; b) x =-, x =, x = 7 a) x, =! 6, x, =! 6, x, =!, x, =! ; b) x, =!, x =, x =-, x =-, x = ; c) x =-, x =, x =, x = -!!, x, =, x, = 7 a) # x #, - # x # ; b) x =, x =,!,!

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I.

7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. 7. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek I. I. Elméleti összefoglaló Egyenlet Az egyenlet két oldalát függvénynek tekintjük: f(x) = g(x). Az f és g függvények értelmezési tartományának közös

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

3. Algebrai kifejezések, átalakítások

3. Algebrai kifejezések, átalakítások I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 11. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 11. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 06. április. A -. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz. Tegyük fel, hogy az egyes csapoknak külön-külön,, órára

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege?

A táblára felírtuk a 0-tól 2003-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 2004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? ! " # $ %& '()(* $ A táblára felírtuk a 0-tól 00-ig terjedő egész számokat (tehát összesen 004 db számot). Mekkora a táblán levő számjegyek összege? 0 0 0 0 0. 9 7. 9 9 9 + ')./ &,- $ Először a 0-tól 999-ig

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással

9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással 9.o Mozaikos könyvvel felkészülési útmutató pótvizsgára és gyakorló feladatsor megoldással Felkészülési útmutató: A 8 hetes nyárra szerezzetek magatok mellé egy magántanárt. Hetente egyszer kétórás foglalkozás

Részletesebben

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója

A 2006-2007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója SZAKKÖZÉPISKOLA A 006-007. tanévi matematika OKTV I. kategória első (iskolai) fordulójának pontozási útmutatója. Feladat: Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 3-at, -et, 3-at adva

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen,

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Összefoglaló feladatgy jtemény matematikából nemcsak felvételiz knek

Összefoglaló feladatgy jtemény matematikából nemcsak felvételiz knek Univerzita J. Selyeho - Selye János Egyetem Ekonomická fakulta - Gazdaságtudományi Kar Összefoglaló feladatgy jtemény matematikából nemcsak felvételiz knek Árki Zuzana Csiba Peter Fehér Zoltán Tóth János

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben