Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
|
|
- Egon Hajdu
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét. A fenti hozzárendelések közül az A és a C nem függvény: az első esetében van olyan ember akinek nincs munkahelye, míg a harmadiknál egy számhoz több számot is rendelünk. 2. Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés? A: A testekhez rendeljük a felszínüket. B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket. C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat. D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat. A fenti hozzárendelések közül a B és a C egyértelmű hozzárendelés. 3. Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként! f (x) = R + R + ; g(x) = 2xπ g (x) = R + R + R + ; h(x; y) = xy 2 Egy egy lehetséges megoldás a következő: f (x) kör kerülete a sugár hosszának függvényében g (x) a háromszög területe az alap és magasság hosszának függvényében 1
2 4. Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja? A fenti grafikonok közül a bal oldalt szereplők nem lehetnek függvények képei, mert egy x éretékhez több y érték is tartozik. 2
3 5. Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív! a) e R R; x 19 b) f R R; x 5x 1 c) g R R; x x 2 d) h R R; x x e) k R [0; 1[; x {x} f) s [2; 7] R; x x 2 g) t [ 3; 5] [0; 5]; x x h) z R + R + ; x 1 x Injektív függvények: f; s; z. Szürjektív függvények: f; k; t; z. Bijektív függvények: f; z. Az e; g és h függvény nem injektív, mert ugyanazt az y értékét két különböző x érték esetén is felveszi, illetve nem szürjektív, mert nincs minden y R értékhez tartozó x érték (pl.: y = 3 at egyik függvény se veszi fel). 6. Határozd meg a következő függvények f ( 2) helyettesítési értékét! a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 3x 2 17 c) f (x) = x d) f (x) = 11 + x e) f (x) = 1 x A helyettesítési érték megmutatja, hogy az adott függvény x = 2 höz milyen y értéket rendel. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az x helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. 3
4 a) f (x) = x + 1 y = x + 1 y = ( 2) + 1 = 1 b) f (x) = 3x 2 17 y = 3x 2 17 y = 3 ( 2) 2 17 = 5 c) f (x) = x y = x y = ( 2) = 1 d) f (x) = 11 + x y = 11 + x y = 11 + ( 2) = 3 e) f (x) = y = y = = 23 x 2 x Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 3 értéket! a) f (x) = x 5 b) g (x) = x 2 1 c) h (x) = x 3 d) k (x) = x 4 e) t (x) = 1 x + 10 Ebben az esetben azt keressük, hogy az adott függvények milyen x értékek esetén veszik fel az y = 3 értéket. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az y helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = x 5 3 = x 5 x = 8 b) g (x) = x = x 2 1 x 1 = 2 és x 2 = 2 c) h (x) = x 3 3 = x 3 x 1 = 0 és x 2 = 6 d) k (x) = x 4 3 = x 4 x = 13 e) t (x) = 1 x = 1 x + 10 x =
5 8. Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a P (1; 3) pont a következő függvények grafikonjára! a) f (x) = 5x 8 b) g (x) = 2x 2 5 c) h (x) = x d) k (x) = x + 3 e) t (x) = 8 x 5 1 Azt, hogy egy adott pont illeszkedik e a függvény grafikonjára úgy vizsgálhatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pont koordinátáit behelyettesítjük a kapott egyenletbe. Abban az esetben, ha azonosságot kapunk, akkor a pont illeszkedik a függvény grafikonjára, ha pedig ellentmondást, akkor a pont nincs rajta a függvény képén. a) f (x) = 5x 8 3 = = 3 Illeszkedik. b) g (x) = 2x = = 3 Illeszkedik. c) h (x) = x = Nincs rajta. d) k (x) = x = Nincs rajta. e) t (x) = = = 3 Illeszkedik. x Határozd meg, hogy a P (20; 150) és a Q (100; 900) pontok hogyan helyezkednek el az f (x) = 8x 7 függvény grafikonjához képest! A pontok első koordinátáit helyettesítsük be a hozzárendelési szabályba: P (20; 150) y = = < 153 Q (100; 900) y = = > 793 Ezek alapján a megoldás: A P pont az egyenes alatt, a Q pedig a grafikon felett helyezkedik el. 5
6 10. Határozd mag a P (x; 2) és Q ( 5; y) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek a következő függvényekre! a) f (x) = 1 x b) g (x) = x 2 7 c) h (x) = 2 x 1 d) k (x) = x + 30 e) t (x) = 4 x + 1 A keresett koordinátát úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pontok megfelelő koordinátáit behelyettesítjük az egyenletbe, s megoldjuk az így kapott egyenletet. a) f (x) = 1 x = 1 x + 3 x = y = 1 11 ( 5) + 3 y = 2 2 b) g (x) = x = x 2 7 x = 3 és x = 3 y = ( 5) 2 7 y = 18 c) h (x) = 2 x 1 2 = 2 x 1 x = 0 és x = 2 y = 2 ( 5) 1 y = 12 d) k (x) = x = x + 30 x = 26 y = ( 5) + 30 y = 5 e) t (x) = 4 x = 4 x+1 x = 3 y = 4 ( 5) + 1 x = 1 6
7 11. Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a koordináta tengelyeket! a) f (x) = 14x + 11 b) g (x) = 7 (x + 5) 2 28 c) h (x) = 3 2x + 8 d) k (x) = 5x 10 e) t (x) = 2 x+6 Az x tengelyre illeszkedő pontoknak az y koordinátája 0, az y tengelyre illeszkedő pontoknak pedig az x koordinátája 0. Ebből adódnak a metszéspontok: P (x; 0) és Q (0; y). A megfelelő koordináták behelyettesítésével kiszámíthatjuk a tengelymetszeteket: a) f (x) = 14x = 14x + 11 x = P ( ; 0) y = y = 11 Q (0; 11) b) g (x) = 7 (x + 5) = 7 (x + 5) 2 28 P 1 ( 3; 0) és P 2 ( 7; 0) y = 7 (0 + 5) 2 28 y = 147 Q (0; 147) b) g (x) = 3 2x = 3 2x + 8 x = 4 P ( 4; 0) y = y = 24 Q (0; 24) b) g (x) = 5x 10 0 = 5x 10 x = 20 P (20; 0) y = y = 10 Q (0; 10) b) g (x) = 2 x = 2 x + 6 nem metszi az y - tengelyt y = y = 1 3 Q (0; 1 3 ) 7
8 12. Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit! a) f (x) = 2 x 1 5 b) g (x) = (x + 7) 2 c) h (x) = 8x 16 d) k (x) = 6 x + 1 e) t (x) = 7 2x A zérushelyet úgy számíthatjuk ki, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük 0 val, majd megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = 2 5 x x 1 = 0 x = 5 2 b) g (x) = (x + 7) 2 (x + 7) 2 = 0 x = 7 c) h (x) = 8x 16 8x 16 = 0 x = 2 d) k (x) = 6 x x + 1 = 0 x = 1 e) t (x) = 7 2x x = 0 x = Írd fel annak a g (x) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy kapunk, hogy az adott f (x) függvényt eltoljuk az adott v vektorral! a) f (x) = x 2 és v (5; 8) b) f (x) = 3 x és v ( 2; 7) A megoldáshoz a függvénytranszformációkat megfelelően kell jelölnünk. a) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén 5 tel és y tengely mentén 8 cal. Ezek alapján a megoldás: g (x) = (x 5) b) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén 2 vel és y tengely mentén 7 tel. Ezek alapján a megoldás: g (x) = 3 x
9 14. Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! a) A (1; 1) és B ( 2; 2) b) C ( 5; 4) és D (8; 10) c) P (2; 5) és Q ( 1; 8) d) R ( 3; 7) és S (4; 11) Az egyenesek egyenletét úgy kaphatjuk meg, hogy a pontok koordinátáit behelyettesítjük az y = mx + b egyenes egyenletébe, majd a kapott egyenletrendszert megoldjuk. a) A (1; 1) 1 = m + b B ( 2; 2) 2 = 2m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 1 = m + b } m = 1 b = 0 2 = 2m + b Ezek alapján az egyenes egyenlete: f (x) = x. b) C ( 5; 4) 4 = ( 5) m + b D (8; 10) 10 = 8m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 4 = ( 5) m + b 10 = 8m + b } m = b = Ezek alapján az egyenes egyenlete: g (x) = x c) P (2; 5) 5 = 2m + b Q ( 1; 8) 8 = m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 5 = 2m + b } m = 1 b = 7 8 = m + b Ezek alapján az egyenes egyenlete: h (x) = x
10 d) R ( 3; 7) 7 = ( 3) m + b S (4; 11) 11 = 4m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 7 = ( 3) m + b } m = = 4m + b b = 61 7 Ezek alapján az egyenes egyenlete: k (x) = 4 61 x Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy f ( 3) = 2 és f (7) = 4! A feladatból adódik, hogy az egyenes két pontja: P ( 3; 2) és Q (7; 4). Az egyenesek egyenletét úgy kaphatjuk meg, hogy a pontok koordinátáit behelyettesítjük az y = mx + b egyenes egyenletébe, majd a két egyenletet egyenletrendszerként tekintjük, s azt megoldva megkapjuk az m és b értékeit. P ( 3; 2) 2 = 3m + b Q (7; 4) 4 = 7m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 2 = 3m + b } m = = 7m + b b = 13 5 Ezek alapján az egyenes egyenlete: f (x) = 1 13 x Ábrázold a következő lineáris függvényeket! a) f (x) = 2x 1 b) g (x) = 5 c) h (x) = x + 3 d) k (x) = 4x e) t (x) = 2 x
11 A lineáris függvények képe egyenes, s a megrajzolásához minimum két pontra van szükségünk. A függvények hozzárendelési szabályából először leolvashatjuk, hogy hol metszi az y tengelyt az egyenes, majd a meredekség segítségével további pontokat is meghatározhatunk. Az f (x) egyenes az y tengelyt a ( 1) nél metszi, s a meredeksége 2. (ábrán: fekete) A g (x) egyenes az y tengelyt az 5 nél metszi, s a meredeksége 0. (ábrán: kék) A h (x) egyenes az y tengelyt a 3 nál metszi, s a meredeksége 1. (ábrán: zöld) A k (x) egyenes az y tengelyt a 0 nál metszi, s a meredeksége 4. (ábrán: lila) A t (x) egyenes az y tengelyt a ( 2) nél metszi, s a meredeksége 2. (ábrán: piros) 3 11
12 17. Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f(x) = 1 2 (x 1)2 + 2! A függvény képét a következőképpen határozhatjuk meg. Az első esetben készítsünk egy értéktáblázatot, ahol megfelelő értékeket felvéve, meghatározhatjuk, hogy az egyes x értékekhez milyen y értékek tartoznak, s ezután az alapfüggvény alakjára való tekintettel összekötjük a kapott pontokat. Mivel a függvény szélsőértéke x = 1 nél lesz, így ezt az értéktáblázatban feltüntetjük. Értéktáblázat: x f (x) = y 2,5 0 1,5 2 1,5 0 2,5 Mivel az x 2 függvény képe egy parabola, így a keresett függvény grafikonja a következő: 12
13 A második eset, ha tudjuk, hogy a függvény transzformációk hogyan alakítják a függvény képét, akkor az alapfüggvényből lépésről lépésre eljuthatunk a kérdéses függvényig. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x 1) 2 k (x) = 1 (x 1)2 h 2 t (x) = 1 (x 1)2 k 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) (x) x tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: zöld) 2 (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: lila) f (x) = 1 2 (x 1)2 + 2 t (x) eltolása az y tengely mentén (+2) - vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 13
14 18. Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f (x) = (2x + 4) 2 3! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 4) 2 k (x) = (2x + 4) 2 f (x) = (2x + 4) 2 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 4) - gyel (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: zöld) 2 k (x) eltolása az y tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 14
15 19. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = x 2 4 f (x) = x 2 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) - gyel (ábrán: kék) h (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 15
16 20. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = (3 x)2 Az ábrázolás előtt alakítsuk a hozzárendelési szabályt a következőképpen: 3! (3 x) 2 3 = 1 3 ( x + 3)2. Ezt felhasználva a függvény a következőképpen is megadható: f (x) = 1 3 ( x + 3)2. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 3) 2 k (x) = ( x + 3) 2 f (x) = 1 ( x + 3)2 h 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) y tengelyre való tükrözése (ábrán: zöld) (x) x tengelyre merőleges 1 szoros zsugorítása (ábrán: piros) 3 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 16
17 21. Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: f (x) = x 2 + 2x 3! Az ábrázolás előtt alakítsuk a hozzárendelési szabályt teljes négyzetté: x 2 + 2x 5 = (x + 1) = (x + 1) 2 4 Ezt felhasználva a függvény a következőképpen is megadható: f (x) = (x + 1) 2 4. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 1) 2 f (x) = (x + 1) 2 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) - vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 17
18 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y [ 4; + [ Zérushely x 1 = 3 és x 2 = 1 Monotonitás x ] ; 1] szigorúan monoton csökkenő x [ 1; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Korlátosság Paritás Periodicitás Minimum helye: x = 1 Minimum értéke: y = 4 Pontos alsó korlát: k = 4 Nem páros, nem páratlan Nem periodikus 22. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 3! A megfelelő értékeket behelyettesítve a függvény képe a következő: 18
19 23. Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének (tengelypontjának) koordinátáit! a) f (x) = (x + 8) 2 5 b) g (x) = 3 (x 1) c) h (x) = x 2 + 4x 6 d) k (x) = 2x 2 36x + 11 Azt, hogy a függvénynek maximuma, illetve minimuma lesz e, a négyzetes kifejezés előtt álló szorzótényező dönti el. Amennyiben ez a szám pozitív, akkor a függvény képe felfelé nyíló parabola, vagyis minimuma lesz, amennyiben pedig negatív, akkor a függvény képe (tükrözés után) egy lefelé nyíló parabola, vagyis maximuma lesz. Mivel egy szám négyzete mindig nem negatív, így a szélsőérték x koordinátáját úgy kaphatjuk meg, ha a négyzetes kifejezés a legkisebb értéket veszi fel, vagyis 0 - t. Ezek alapján a négyzetes kifejezést egyenlővé tesszük 0 - val és megoldjuk az egyenletet. A szélsőérték y koordinátáját a négyzetes taghoz hozzáadott, illetve abból levont szám adja meg, mert az jelenti a függvény y tengely mentén való eltolását. Amennyiben a függvény hozzárendelési szabálya olyan alakban van megadva, hogy az alapján a transzformáció lépései nem olvashatóak le, akkor először azt teljes négyzetté kell alakítanunk. a) f (x) = (x + 8) 2 5 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumának helye: x + 8 = 0 x = 8 A minimumának értéke: y = 5 b) g (x) = 3 (x 1) Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumának helye: x 1 = 0 x = 1 A maximumának értéke: y = 7 19
20 c) h (x) = x 2 + 4x 6 Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: x 2 + 4x 6 = (x + 2) = (x + 2) 2 10 Ezek alapján a függvény a következőképpen is megadható: h (x) = (x + 2) 2 10 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumának helye: x + 2 = 0 x = 2 A minimumának értéke: y = 10 d) k (x) = 2x 2 36x + 11 Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: 2x 2 36x + 11 = 2 (x x) + 11 = 2 [(x + 9) 2 81] + 11 = = 2 (x + 9) = 2 (x + 9) Ezek alapján a függvény a következőképpen is megadható: k (x) = 2 (x + 9) Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumának helye: x + 9 = 0 x = 9 A maximumának értéke: y = Határozd meg az f (x) = x 2 + 4x + c függvényben szerpelő c paraméter értékét úgy, hogy minimuma az y = 3 legyen! Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: x 2 + 4x + c = (x + 2) c. Ebből adódik, hogy minimuma akkor lesz a függvénynek, ha (x + 2) = 0, vagyis x = 2. Ekkor felírhatjuk a következőt: 4 + c = 3. Ezek alapján a megoldás: c = 1. 20
21 25. Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = 2x 2 + 4x 6 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 3; 2], c) x ]0; 1]! Mivel az x 2 együtthatója pozitív szám, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola. Ahhoz, hogy a függvénytranszformációkat alkalmazhassuk, először teljes négyzetté kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt: f(x) = 2x 2 + 4x 6 = 2 (x 2 + 2x) 6 = 2 [(x + 1) 2 1] 6 = 2 (x + 1) 2 8 a) Mivel a függvény bármilyen x értéket felvehet, így a függvénytranszformációk alapján a minimumának helye x = 1, értéke pedig y = 8. b) Mivel az intervallum a függvény minimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma és maximuma is lesz. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y koordinátákat úgy kaphatjuk meg, hogy az x értékeket behelyettesítjük a függvény hozzárendelési szabályába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők: A maximumának helye x = 3, értéke pedig y = 0. A minimumának helye x = 2, értéke pedig y = 6. c) Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek maximuma lesz (minimuma az intervallum nyitottsága miatt nincs). A maximumának helye az intervallum határszáma, vagyis x = 1, értéke pedig y = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot. 21
22 26. Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = x 2 + 2x + 3 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 2; 0], c) x ]2; 3]! Mivel az x 2 együtthatója negatív szám, így a függvény képe egy lefelé nyíló parabola. Ahhoz, hogy a függvénytranszformációkat alkalmazhassuk, először teljes négyzetté kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt: f(x) = x 2 + 2x + 3 = (x 2 2x) + 3 = [(x 1) 2 1] + 3 = (x 1) a) Mivel a függvény bármilyen x értéket felvehet, így a függvénytranszformációk alapján a maximumának helye x = 1, értéke pedig y = 4. b) Mivel az intervallum a függvény maximumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma és maximuma is lesz. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y koordinátákat úgy kaphatjuk meg, hogy az x értékeket behelyettesítjük a függvény hozzárendelési szabályába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők: A maximumának helye x = 0, értéke pedig y = 3. A minimumának helye x = 2, értéke pedig y = 5. c) Mivel az intervallum a függvény maximumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma lesz (maximuma az intervallum nyitottsága miatt nincs). A minimumának helye az intervallum határszáma, vagyis x = 3, értéke pedig y = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot. 22
23 27. Adj meg olyan f (x) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (4; 3) pont, illetve olyan g (x) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (1; 6) pontban! Tekintsük az első esetet. Mivel maximuma van a függvénynek, ezért a képe egy lefelé nyíló parabola, vagyis az x 2 együtthatója negatív. Ennek értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvénytranszformációk segítségével felírhatjuk a hozzárendelési szabályt: f (x) = ( 1) (x 4) 2 3 = (x 2 8x + 16) 3 = x 2 + 8x 19. Tekintsük most a második esetet. Mivel minimuma van a függvénynek, ezért a képe egy felfelé nyíló parabola, vagyis az x 2 együtthatója pozitív. Ennek értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvénytranszformációk segítségével felírhatjuk a hozzárendelési szabályt: g (x) = 1 (x 1) = x 2 2x Az f (x) = ax 2 + bx + c függvény két zérushelye x 1 = 2 és x 2 = 4. Add meg az a, b és c értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az y tengelyt 6 nál metsze! A feladat szövegéből adódnak a függvény következő pontjai: P ( 2; 0); Q (4; 0); R (0; 6). A pontok koordinátáit helyettesítsük a hozzárendelési szabályba: 0 = ( 2) 2 a 2b + c 0 = 4 2 a + 4b + c 6 = 0 2 a + 0 b + c} A kapott egyenletrendszer megoldásai: a = 3 ; b = 3 ; c = Ezek alapján a megoldás: f (x) = 3 4 x2 3 x
24 29. Add meg az a, b, c értékeket úgy, hogy az f(x) = ax 2 + bx + c függvény tengelypontja a T (3; 2) legyen és illeszkedjen rá a P (1; 6) pont! A tengelypont segítségével felírhatjuk a következőt: f(x) = a (x 3) 2 2. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit: 6 = a (1 3) 2 2 a = 2. Ezek alapján a megoldás: f (x) = 2 (x 3) 2 2 = 2x 2 12x + 16, vagyis a = 2; b = 12 és c = Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 3 x + 2 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x + 2 k (x) = 3 x + 2 f (x) = 3 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 2) - vel (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 24
25 31. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 3 + 1! 2 A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x 3 k (x) = 1 x 3 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: zöld) t (x) = 1 x 3 2 k (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: lila) f (x) = 1 x t (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 32. Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az f (x) = x 2 3 függvényt! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x 2 k (x) = x 2 t (x) = x 2 3 f (x) = x 2 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén ( 2) vel (ábrán: kék) h (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 3) mal (ábrán: lila) t (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) 25
26 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): A függvénynek lokális (helyi) maximuma van az x = ±2 helyeken és ezek értéke y = 3. A függvénynek lokális (helyi) minimuma van a x = 0 helyen és ennek értéke y = 1. A függvénynek globális (abszolút) minimuma van az x = ±5 helyeken és ezek értéke y = Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x x 3! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 x 3, ha x 3 0 x 3 x 3 = { (x 3) = x + 3, ha x 3 < 0 x < 3 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x < 0, akkor a függvény a következőképpen adódik: x ( x + 3) = 3. Ha 0 x < 3, akkor a függvény a következőképen adódik: x ( x + 3) = 2x 3. Ha x 3, akkor a függvény a következőképpen adódik: x (x 3) = 3. 26
27 Ezek alapján a keresett függvény képe: 34. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + x + 2! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 x + 2, ha x x 2 x + 2 = { (x + 2) = x 2, ha x + 2 < 0 x < 2 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x < 2, akkor a függvény a következőképpen adódik: x + ( x 2) = 2x 2. Ha 2 x < 0, akkor a függvény a következőképen adódik: x + (x + 2) = 2. Ha x 0, akkor a függvény a következőképpen adódik: x + (x + 2) = 2x
28 Ezek alapján a keresett függvény képe: 35. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4 x! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x 0, akkor a függvény: x 2 4x = (x 2) 2 4. Ha x < 0, akkor a függvény: x 2 4 ( x) = x 2 + 4x = (x + 2) 2 4. Ezek alapján a keresett függvény képe: 28
29 36. Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: f (x) = x 1 + 6! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x 1 k (x) = x 1 f (x) = x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 6) tal (ábrán: piros) 29
30 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y ] ; 6] Zérushely x 1 = 5 és x 2 = 7 Monotonitás x ] ; 1] szigorúan monoton növekvő x [1; + [ szigorúan monoton csökkenő Szélsőérték Maximum helye: x = 1 Maximum értéke: y = 6 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 6 Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 30
31 37. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x + 3 f (x) = 2 x + 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 38. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 1 + x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x f(x) = 1 + x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) 31
32 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x! A köbgyök függvény abban különbözik a négyzetgyök függvénytől, hogy az x tengely minden pontján értelmezve van. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 3 g(x) = x alapfüggvény (ábrán: fekete) 3 h (x) = x g (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 32
33 40. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 3 x 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x 4 k (x) = x 4 f(x) = 3 x 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 4) gyel (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 3) mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x [4; + [ Érték készlet R f : y ] ; 3] Zérushely x = 13 Monotonitás x [4; + [ szigorúan monoton csökkenő Szélsőérték Maximum helye: x = 4 Maximum értéke: y = 3 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 3 Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 33
34 41. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 1 + 2! A fordított arányosság képe hiperbola, amely az x és y tengelyeket nem éri el. A transzformáció során segítséget nyújthat, ha ezeket a tengelyeket is transzformáljuk a feladatnak megfelelően. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x 1 f (x) = 1 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+ 2) vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 34
35 42. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 2x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 2x f (x) = 1 2x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 35
36 43. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + 1 x 2! Mivel a nevező nem lehet 0, ezért a függvény az x = 2 pontban nem vesz fel értéket. Az ábrázoláshoz először át kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt úgy, hogy az 1 x függvény transzformációiból eljussunk a keresett függvényig. x + 1 = x = x = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ezek alapján a kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x 2 k (x) = 3 f (x) = 3 1 x 2 1 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 2) - vel (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 36
37 44. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 1 x 2! Mivel a nevező nem lehet 0, ezért a függvény az x = ± 2 pontokban nem vesz fel értéket. A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk, s a kapott értékeket úgy kell alakítanunk, hogy az 1 függvény transzformációiból eljussunk a x keresett függvényig. Ha x 0, akkor a függvény: x 1 = x = x = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ha x < 0, akkor a függvény: x 1 = x = x = = 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 (x + 2) x + 2 Ezek alapján a keresett függvény: 37
38 45. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 1 x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x f (x) = 1 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R \ {0} Érték készlet R f : y R \ {0} Zérushely Nincs zérushelye Monotonitás x ] ; 0[ ]0; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Nincs szélsőértéke Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja Paritás Páratlan Periodicitás Nem periodikus 38
39 46. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x + 3 k (x) = 2 t (x) = 2 1 x x f (x) = 2 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) gyel (ábrán: lila) t (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 39
40 47. Hány rácsponton megy át az f (x) = 2x x A keresett rácspontok mindkét koordinátája egész szám. függvény grafikonja! Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályát a következőképpen: 2x x = 2 (2 x) x = x A kapott kifejezés értéke akkor lesz egész szám, ha a (2 x) osztója 7 nek. A 7 osztói a következők: ±1; ±7. Ezek alapján a megoldás: 4 rácsponton halad át a függvény grafikonja. 48. Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya R \ {3} és a grafikonja illeszkedik a P (0; 4) és Q ( 2; 2) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! ax + b A lineáris törtfüggvény általános alakja: f (x) =. x + c Az értelmezési tartományból következik, hogy c = 3. A P pont koordinátáit és a c értékét helyettesítsük a kifejezésbe: 4 = Ebből a következő adódik: b = a + b 0 3. A Q pont koordinátáit és a b, c értékeket helyettesítsük a kifejezésbe: 2 = Ebből azt kapjuk, hogy a = 1. 2 a Ezek alapján a megoldás: f (x) = x 12 x 3. 40
41 49. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = {2x}! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = {x} f (x) = {2x} alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: piros) 2 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 50. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 [x]! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = [x] f (x) = 2 [x] alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 41
42 51. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = sgn (x 2 4x)! A előjel függvény ábrázolásához először el kell döntenünk, hogy milyen x értékek esetén lesz az y értéke negatív, pozitív, illetve 0. Azt, hogy a 0 át hol veszi fel a függvény úgy kaphatjuk meg, ha a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük 0 val és megoldjuk az egyenletet. x 2 4x = 0 x (x 4) = 0 x 1 = 0 és x 2 = 4 Ezek alapján a függvény a következőképen is megadható: 1, ha 0 < x < 4 f (x) = 0, ha x = 0 vagy x = 4 { 1, ha x < 0 vagy x > 4 Ezek alapján a keresett függvény képe: 52. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = [x] 2! A kérdéses függvény képét úgy kaphatjuk meg, ha az alapfüggvény minden pontjának y koordinátáját négyzetre emeljük. Ezek alapján a keresett függvény képe: 42
43 53. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = x [x]! A függvény ábrázolásához használnunk kell az egészrész definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. Tekintsük a következő néhány intervallumokat: Ha 3 x < 2, akkor a függvény a következőképpen adódik: 3x. Ha 2 x < 1, akkor a függvény a következőképpen adódik: 2x. Ha 1 x < 0, akkor a függvény a következőképen adódik: x. Ha 0 x < 1, akkor a függvény a következőképpen adódik: 0. Ha 1 x < 2, akkor a függvény a következőképen adódik: x. Ha 2 x < 3, akkor a függvény a következőképpen adódik: 2x. Ha 3 x < 4, akkor a függvény a következőképpen adódik: 3x. Ezek alapján a keresett függvény képe: 43
44 54. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = [x 3]! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = [x] f (x) = [x 3] alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 3) mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y Z Zérushely x [3; 4[ Monotonitás Monoton növekvő Szélsőérték Nincs szélsőértéke Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 44
45 55. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = {x} + 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = {x} f (x) = {x} + 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén (+ 4) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y [4; 5[ Zérushely Nincs zérushelye Monotonitás Két egymást követő egész között szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x Z Minimum értéke: y = 4 Pontos felső korlát: K = 5 Korlátosság Pontos alksó korlát: k = 4 Korlátos függvény Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Periódus: p = 1 45
46 56. Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon! a) f (x) = x 3, ha x ] 1; 2] b) f (x) = x + 2, ha x [1; 6] c) f: [ 4; 5[ R; x x 3 Először ábrázoljuk a függvényeket, majd a grafikonoknak csak azon részét kell tekintenünk, amely megfelel az adott intervallumnak (értelmezési tartománynak). a) f (x) = x 3, ha x [ 1; 2[ A keresett függvény képe: 46
47 b) f (x) = x + 2, ha x [1; 6] A keresett függvény képe: c) f: [ 4; 5[ R; x x 3 A keresett függvény képe: 47
48 57. Ábrázold a következő függvényeket! 1 2 x + 6, ha x < 4 a) f (x) = x, ha 4 x < 3 { 3, ha x 3 (x + 5) 2 3, ha x 3 b) f (x) = x + 4, ha 3 < x < 2 { 2 x 2 + 2, ha x 2 Az összetett függvényeket először ábrázolnunk kell részenként, majd a kapott grafikonoknak csak azon részét kell tekintenünk, amely megfelel a feladatban adott intervallumoknak. 2x + 2, ha x > 4 a) f (x) = x, ha 4 x < 3 { 3, ha x 3 Ebben az esetben a következő függvényeket kell ábrázolnunk az adott intervallumokon: g (x) = 1 x + 6 h (x) = x k (x) = 3 2 Ezek alapján a keresett függvény képe: 48
49 (x + 5) 2 3, ha x 3 b) f (x) = x + 4, ha 3 < x < 2 { 2 x 2 + 2, ha x 2 Ebben az esetben a következő függvényeket kell ábrázolnunk az adott intervallumokon: g (x) = (x + 5) 2 3 h (x) = x + 4 k (x) = 2 x Ezek alapján a keresett függvény képe: 58. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2x2 8 x + 2! A függvény értelmezési tartománya: D f : x R \ { 2}. Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályát a következőképpen: 2x 2 8 = 2 (x2 4) 2 (x 2) (x + 2) = = 2 (x 2) = 2x 4. x + 2 x + 2 x
50 Ebből adódik, hogy a függvény képe egy egyenes, amely az x = 2 helyen nincs értelmezve. Ezek alapján a keresett függvény képe: 59. Állapítsd meg a következő függvények paritását! f: R R; x 5x3 6 + x 10 g (x) = x 7 h (x) = x 2 + x8 Mind a három függvénynél teljesül, hogy x D esetén ( x) D. A paritás vizsgálatához a következőt kell megvizsgálnunk: ha f(x) = f( x), akkor a függvény páros, ha f ( x) = f(x), akkor a függvény páratlan. Ezek alapján a megoldások: f ( x) = 5 ( x)3 5x3 = = 5x3 = f (x) páratlan 6 + ( x) x 6 + x g ( x) = x 7 = (x + 7) = x + 7 g (x) g (x) egyik sem h ( x) = x 2 + ( x) 10 = x 2 + x 10 = h (x) páros 50
51 60. Igazold, hogy az f (x) = 4x 3 + 3x 2 + 2x 1 függvény az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő! Meg kell mutatnunk, hogy tetszőleges x 1 ; x 2 R(= D f ); x 1 < x 2 esetén f (x 1 ) < f (x 2 ). Tekintsük a következőt: f (x 2 ) f (x 1 ) = 4x x x 2 1 (4x x x 1 1) = = 4 (x 2 3 x 1 3 ) + 3 (x 2 2 x 1 2 ) + 2 (x 2 x 1 ) > 0 Mivel f (x 2 ) f (x 1 ) > 0, így f (x 2 ) > f (x 1 ), vagyis az f (x) szigorúan monoton növekvő. 61. Mennyi a periódusa az f (x) = 5 {x} + 2, illetve a g (x) = { x 8} függvénynek? 7 Mivel az f (x) függvény az alapfüggvényből értéktranszformációkkal származik, így a periódusuk megegyezik: p = 1. Mivel a g (x) függvény az alapfüggvényből változótranszformációkkal származik, így a periódus annak megfelelően változik: p = Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! a) 2x + 3 = x + 6 b) x 2 = 4 c) x = 3x d) x 2 4 = x + 2 e) x = x + 2 Az egyenletek grafikus megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet két oldalát függvényként tekintjük, s azokat közös koordináta rendszerben ábrázolva, leolvassuk a metszéspontok x koordinátáit. Így megkeressük azt a változó értéket, ahol a függvényértékek megegyeznek. a) 2x + 3 = x + 6 Legyen f (x) = 2x + 3 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 6 (ábrán: piros). 51
52 Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 1. b) x 2 = 4 Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = 4 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x 1 = 2 és x 2 = 2. 52
53 c) x = 3x Legyen f (x) = x (ábrán: fekete) és g (x) = 3x (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 0. d) x 2 4 = x + 2 Legyen f (x) = x 2 4 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x 1 = 1 és x 2 = 2. 53
54 e) x = x + 2 Legyen f (x) = x (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Mivel a két függvénynek nincs metszéspontja, így az egyenletnek nincs megoldása. 63. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) 3 x 5 < x b) x + 4 > 1 c) x 2 x d) 2 x + 1 e) x 2 (2x) 2 Az egyenlőtlenségek grafikus megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet két oldalát ábrázoljuk, mint függvények, majd megvizsgáljuk, hogy az egyenlőtlenség mikor teljesül a függvények grafikonjára. Szemléletesen: Ha azt keressük, hogy az f függvény mikor lesz nagyobb a g függvénynél, akkor az ábrán ez azt jelenti, hogy az f függvény grafikonja az x tengely melyik részén halad a g függvény grafikonja felett. a) 3 x 5 < x Legyen f (x) = 3 x 5 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). 4 54
55 Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x < 4. b) x + 4 > 1 Legyen f (x) = x + 4 (ábrán: fekete) és g (x) = 1 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x > 5. 55
56 c) x 2 x Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = x (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: 0 x 1. d) 2 x + 1 Legyen f (x) = 2 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 1 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x R. 56
57 e) x 2 (2x) 2 Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = (2x) 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. 64. Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát! 57
58 A függvények hozzárendelési szabályát leolvashatjuk a függvénytranszformációk segítségével. Ezek alapján a megoldások: f (x) = 3 5 x + 1 g (x) = x2 + 5 h (x) = x 3 k (x) = 2 x + 4 t (x) = Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat? A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik másodpercétől kezdve) 20 Ft ot kell fizetni. B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja. C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása. D: A nagymutató által mutatott perc 6 és 10 óra között. E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése). F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása. A lehetséges megoldások a következők: egészrész; egyenes arányosság (lineáris); másodfokú; törtrész; előjel; fordított arányosság függvény. 66. Ábrázold derékszögű koordináta rendszerben a következő halmazokat! a) A = {P(x; y) 1 < x < 4 és 1 y és x, y R} b) B = {P(x; y) x 2 vagy y > 1 és x, y R + } c) C = {P(x; y) y < x + 1 és y x 2 1 és x R, y R} d) D = {P(x; y) x 2 + y 2 25 és y < 3 és x, y R} Az ábrázolások során amennyiben a határoló vonal beletartozik a ponthalmazba, akkor azt folyamatos vonallal jelöljük, ha pedig nem része a ponthalmaznak, akkor szaggatott vonallal. Ezek alapján a megoldások: 58
59 a) b) c) 59
60 d) 67. Adott az f (x 2) = x, x R függvény. Add meg az f (x + 1), x R függvényt! A megfelelő átalakítások után a következő adódik: f (x + 1) = f [(x 2) + 3] = x Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett f függvényt, ha tudjuk, hogy f (x + 3) = x 2 2x + 3! A megfelelő átalakítások után a következő adódik: f (x) = (x 3) 2 2 (x 3) + 3 = x 2 8x
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése I.
Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények
Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer
FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenA függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
Részletesebben1.1 A függvény fogalma
1.1 A üggvény ogalma Deiníció: Adott két (nem üres) halmaz H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést üggvénynek nevezzük.
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebben11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes
. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMatematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.
Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VIII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:
RészletesebbenHozzárendelés, lineáris függvény
Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű
Részletesebben11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenHozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.
Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
Részletesebbenaz Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára
8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési Terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program... központi program (Pedagógusok és oktatási
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenI. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata
6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda 1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
Részletesebben20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenElemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenFüggvénytan elmélet, 9. osztály
Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenP ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP
J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.
RészletesebbenFüggvények. Fogalom. Jelölés
Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenSULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA
1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK x C: 2
FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
RészletesebbenCsoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly
Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenKisérettségi feladatgyűjtemény
Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik
RészletesebbenI. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata
. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában
Részletesebben13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
RészletesebbenÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
Részletesebben