Függvénytan elmélet, 9. osztály

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvénytan elmélet, 9. osztály"

Átírás

1 Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne, de ezzel most nem kell foglalkoznunk.) Hozzárendelésen a következőt értjük: egy A halmaz (ún. alaphalmaz) valahány eleméhez egy B halmaz (ún. képhalmaz) elemeiből válogatunk párokat. Függvénynek nevezzük az egyértelmű hozzárendeléseket. Azaz az olyanokat, ahol egy alaphalmazbeli elemhez legfeljebb egy képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. Kölcsönösen egyértelmű függvénynek nevezzük azokat a függvényeket, melyekben minden alaphalmazbeli elemhez különböző képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. (Más szóval: ha igaz a következő állítás: ha két alaphalmazbeli elemhez ugyanaz az érték tartozik, akkor a két alaphalmazbeli elem is ugyanaz, akkor a függvényt kölcsönösen egyértelműnek mondjuk.) Szám-szám (valós-valós) függvényeket ábrázolhatunk a kétdimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben. Ennek felvételénél az alábbiakra kell figyelni: tengely (névvel), y tengely (névvel), nyilak, és egyforma egység felvétele (matekórán) a két tengelyen! Megjegyzés: fizikaórán az egyforma egység felvétele sok esetben lehetetlen, már csak a különböző mértékegység miatt is. A matekórán azért kötjük ki az egyforma egység felvételét, hogy pl. a kör biztosan kör legyen a koordináta-síkon, ill. pl. egyenesek szögét egyértelműen meg tudjuk állapítani. A vízszintes tengely () a hol-tengely (nem azonos a Holt-tengerrel ), a függőleges (y) pedig az érték-tengely. Tehát ha egy grafikont látva azt kérdezi valaki: hol van a legnagyobb értéke a függvénynek, akkor a grafikon csúcsának az koordinátájára kíváncsi. (Hasonlóan, ha valaki azt kérdezi, hogy hol van Magyarország legmagasabb pontja (a jelenlegi határokat figyelembe véve), akkor nem az a válasz, hogy 04 (05) méteren, hanem hogy a Kékestetőn, ami közvetve egy térképismerő ember számára a helykoordinátákat jelenti, azaz az igazi helynek a vízszintes (vagy gömbi) vetületét. Függvények jellemzésének 5 alaplépése: I. Értelmezési tartomány Az y = f() függvény értelmezési tartományán azon -ek összességét értjük, amelyekhez ténylegesen hozzárendeltünk valamit. Másik megfogalmazásban: az értelmezési tartomány (tetszőleges függvény esetén) az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekhez ténylegesen hozzárendeltünk valamit. Az értelmezési tartomány rövidítése ÉT, az f függvény ÉT-át szokás D f -fel is jelölni. Az értelmezési tartomány leolvasása a grafikonról: a grafikon minden pontját gondolatban vetítsük merőlegesen az tengelyre. A vetítés során a tengelyen keletkező képpontok halmaza (pontosabban ezek koordinátáinak halmaza) alkotja az értelmezési tartományt. II. Értékkészlet Az y = f() függvény értékkészletén azon y-ok összességét értjük, amelyet ténylegesen hozzárendeltünk valamely ÉTbeli elemhez. Jelölése: ÉK, szokásos még az R f is. Az értékkészlet leolvasása a grafikonról: a grafikon minden pontját gondolatban vetítsük merőlegesen az y tengelyre. A vetítés során a tengelyen keletkező képpontok halmaza (pontosabban azok y koordinátáinak halmaza) alkotja az értékkészletet. III. Zérushely (leolvasás és kiszámítás) Egy függvény zérushelyének nevezzük azt a helyet (vagy azokat a helyeket), ahol a függvény értéke nulla. A grafikonról leolvashatók a zérushelyek: ezek a grafikonnak az tengellyel közös pontjai, pontosabban ezen pontok koordinátái. Sok esetben ki is számítható egy függvény zérushelye. A hozzárendelési szabályban y helyére 0-t kell helyettesíteni, és (ha lehet) megoldani az így kapott egyenletet -re. IV. Növekedési viszonyok Azt mondjuk, hogy az f() függvény egy adott intervallumon szigorúan monoton növő, ha bármely két, adott intervallumbeli helyet vizsgálva a kisebb -szel jellemzett helyen kisebb a függvény értéke, mint a nagyobb -szel jellemzett helyen. Másképpen fogalmazva: azt mondjuk, hogy az f() függvény az [a; b] intervallumon szigorúan monoton nő, ha bármely ; eleme [a; b] esetén ha <, akkor f( )<f( ). Azt mondjuk, hogy az f() függvény egy adott intervallumon monoton növő, ha bármely két, adott intervallumbeli helyet vizsgálva a kisebb -szel jellemzett helyen kisebb vagy egyenlő a függvény értéke a nagyobb -szel jellemzett értékhez viszonyítva. (Tehát megengedjük az egyenlőséget is). Azt mondjuk, hogy az f() függvény egy adott számközön szigorúan monoton fogyó (vagy csökkenő), ha bármely két, az adott számközbe eső helyet vizsgálva a kisebb -szel jellemzett helyen nagyobb a függvény értéke, mint a nagyobb -szel jellemzett helyen. Másképpen fogalmazva: azt mondjuk, hogy az f() függvény az [a; b] intervallumon szigorúan monoton nő, ha bármely ; eleme [a; b] esetén ha <, akkor f( )>f( ).

2 Azt mondjuk, hogy az f() függvény egy adott intervallumon monoton fogyó (vagy csökkenő), ha bármely két, adott intervallumbeli helyet vizsgálva a kisebb -szel jellemzett helyen nagyobb vagy egyenlő a függvény értéke a nagyobb - szel jellemzett értékhez viszonyítva. (Tehát megengedjük az egyenlőséget is). A konstansfüggvény monoton növő és monoton fogyó is. V. Szélsőérték Egy függvény abszolút szélsőérték-helyének nevezzük azt az helyet, ahol a függvény értéke a.) nagyobb, mint bárhol máshol (lazábban értelmezve: nagyobb vagy egyenlő, mint bárhol máshol) ez az abszolút maimum helye. A vizsgált helyhez tartozó függvényértéket pedig a függvény abszolút maimum értékének nevezzük. b.) kisebb, mint bárhol máshol (lazábban értelmezve: kisebb vagy egyenlő, mint bárhol máshol) ez az abszolút minimum helye. A vizsgált helyhez tartozó függvényértéket pedig a függvény abszolút minimum értékének nevezzük. Helyi (lokális) maimum: azt mondjuk, hogy az f függvénynek az helyen lokális (helyi) maimuma van, ha van az - nek egy olyan nyílt környezete, amelyre leszűkítve a függvényt abszolút szélsőérték-hellyé válik. (azaz van olyan ε pozitív szám, amelyre igaz, hogy az ] ε; +ε[ nyílt intervallumon a függvénynek az helyen a legnagyobb az értéke.) Helyi (lokális) minimum: azt mondjuk, hogy az f függvénynek az helyen lokális (helyi) minimuma van, ha van az - nek egy olyan nyílt környezet, amelyen az f függvényt vizsgálva az helyhez tartozik a legkisebb függvényérték. (azaz van olyan ε pozitív szám, amelyre igaz, hogy az ] ε; +ε[ nyílt intervallumon a függvénynek az helyen a legkisebb az értéke.) Szigorúan monoton függvényeknek szélsőértékük csak az értelmezési tartományuk határain találhatók. Ezen felül a megjegyzés rovatban a következőkről illik számot adni: VI. Paritás Az f() függvényt párosnak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli -re igaz az, hogy is eleme az értelmezési tartománynak, valamint f( ) = f(). A páros függvények grafikonja az y tengelyre tükrös. Páros függvény pl. az y = ; az y = ; vagy az y = állandó függvények. Az f() függvényt páratlannak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli -re igaz az, hogy is eleme az értelmezési tartománynak, valamint hogy f( ) = f(). A páratlan függvények grafikonja az origóra tükrös. Páratlan függvény pl. az y = ; az y = /, vagy az y = 6/ függvény. Megjegyzés: a páros és a páratlan függvény fogalma nem ellentétes, mivel a.) van olyan függvény, amely egyszerre páros is és páratlan is (y = 0); b.) van olyan függvény, amely sem nem páros, sem nem páratlan. Pl. y = +. VII. Periodicitás Az f függvényt c (pozitív valós szám) szerint periodikusnak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli -re igaz az, hogy +c is eleme az értelmezési tartománynak, valamint hogy f(+c) = f(). Tekintsük azon c-k halmazát, amelyekre igaz az, hogy az f függvény c szerint periodikus. Ha ennek a halmaznak létezik legkisebb (pozitív) eleme, akkor ezt a legkisebb elemet nevezzük a függvény periódusának. Szemléletesen: egy függvény periódusa az a legkisebb szám, amennyivel irányban eltolva a grafikont, az önmagába megy át. Megjegyzés: a konstansfüggvények bármennyivel eltolva önmagukba mennek át (tehát akár periodikusnak is mondhatók), de nincs periódusuk, mert nincs legkisebb megfelelő szám. Példa: az y = {} függvény periodikus pl. ; ; 5; 99 szerint. A függvény periódusa az, mivel ez a legkisebb olyan szám, amennyivel irányban eltolva a grafikont, az önmagába megy át. A trigonometrikus függvények (0. osztályos anyag) is periodikusak. VIII. Szakadás Az f függvénynek szakadási helye van egy adott helyen, ha fel kell emelni a ceruzát, hogy tovább rajzoljuk a görbét. A matematikus definíció egy kicsit bonyolultabb, így legfeljebb az érdeklődőknek ismertetem. Szakadása van pl. az y = / függvénynek a 0 helyen. IX. Törés Az f függvénynek törése van egy adott helyen, ha a meredekség-függvényének (ún. differenciálhányados-függvényének vagy deriváltfüggvényének) az adott helyen szakadása van. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az f függvénynek törése van egy adott helyen, ha a függvény meredeksége az adott helyen ugrásszerűen változik. Pl. az y = -nek az = 0 helyen törése van, mivel a meredeksége 0 alatt ; 0 fölött +, minden átmenet nélkül. Az y = -nek az = 0 helyen nincs törése (felsőbb matematikai eszközökkel igazolható, a részletes ábrázolás is alátámasztja ezt a tényt). X. Konveitás, infleiós pont Egy függvényt egy adott intervallumon akkor mondunk konvenek, ha felülről nézve konve (azaz a grafikon fölötti területen az intervallum függőleges határvonala zárja le oldalirányban a vizsgált területet a macska nem tud elbújni az

3 egér elől, csak ha olyan messzire megy, hogy odáig már nem lát el az egér). Konkávnak pedig akkor mondjuk a függvényt egy adott intervallumon, ha a grafikon alulról nézve konve. A görbe konve-konkáv átmeneti pontját hívjuk infleiós pontnak. Ismérvei: - ha az infleiós pont előtt a meredekség balról jobbra nézve nőtt, akkor az infleiós ponton túl nézve csökkenni fog, illetve fordítva. - már megmondtam (három sorral feljebb). Tehát előtte a görbe konve, utána konkáv, vagy fordítva. Alapfüggvények:.) konstansfüggvények. y = (elsőfokú alapfüggvény). y = (másodfokú alapfüggvény) 4. y = / 5. y = sgn 6. y = [] 7. y = {} 8. y = Később ezekhez csatlakoznak: y = sin, y = cos, y = tg, y = ctg; y = illetve y = a, valamint az y = log illetve az y = log a. Ennyiből, no meg a transzformációs szabályokból egész jól meg lehet élni. Az alapfüggvények grafikonja és jellemzése (nem a fent felírt sorrendet követve!) A grafikonok különféle segédprogramokkal készültek, ezért más a minőségük. Bizonyos grafikonoknál hiányoznak a tengelyek nevei, illetve az előjelfüggvénynél nem látszik, hogy a (0; 0) is pontja a grafikonnak.. Állandó értékű függvény (konstansfüggvény); y = c (c rögzített valós szám); a példában y =. ÉT: Є R; ÉK: y Є {c}; (a példában y Є {}.) Zh: nincs Nv.: állandó (mindenütt változatlan értékű) Szé.: nincs Megjegyzés: páros függvény.. Elsőfokú alapfüggvény: y = ÉT: R; ÉK: R; Zh: = 0 Nv.: szigorúan, egyvégtében növekedő Szé.: nincs Megjegyzés: páratlan függvény.. Másodfokú alapfüggvény: y = ÉT: Є R; ÉK: y Є R + 0; Zh: = 0 Nv.: ] ; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; + ] szigorúan., egyvégtében (monoton) növő. Szé.: legkisebb érték (minimum) az = 0 helyen y = 0. legnagyobb érték (maimum) nincs. Megjegyzés: páros függvény. 4. A fordított arányosság alapfüggvénye (reciprokfüggvény): y = / ÉT: Є R\{0}; ÉK: y Є R\{0}; Zh: nincs Nv.: ] ; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; + [ szigorúan., egyvégtében (monoton) csökkenő. Szé.: nincs. Megjegyzés: = 0 helyen szakadás. 5. Előjelfüggvény: y = sgn() (olvasd: előjele vagy szignum iksz)

4 y ÉT: Є R; ÉK: y Є { ; 0; }; Zh: = 0 Nv.: monoton növő Szé.: nincs Megjegyzés: páratlan függvény. 6. Egészrész-függvény: y = [] (olvasd: egész része) y ÉT: Є R; ÉK: y Є Z; Zh: Є [0; [ Nv.: mindenütt monoton növekvő (sehol sem szigorúan csökkenő) Szé.: nincs. Megjegyzés: minden egész helyen szakadása van. 7. Törtrész-függvény: y = {} (olvasd: törtrésze) y ÉT: Є R; ÉK: y Є [0; [; Zh: Є Z Nv.: [k; k+[ szigorúan, egyvégtében (monoton) növekvő; amennyiben k tetszőleges egész szám. - - Szé.: helyi legkisebb érték (minimum) az = k helyen y = 0. Legnagyobb érték (maimum) nincs. kєz. Megjegyzés: minden egész helyen szakadása van a függvénynek. 8. Előjelmentes érték-függvény (abszolútérték-függvény): y = (olvasd előjelmentes v. abszolút értéke) ÉT: Є R; ÉK: y Є R + 0; Zh: = 0 Nv.: ] ; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; + ] szigorúan., egyvégtében (monoton) növő. Szé.: legkisebb érték (minimum) az = 0 helyen y = 0. legnagyobb érték (maimum) nincs. Megjegyzés: páros függvény; az = 0 helyen törése van. Transzformációs szabályok I. Ha ismert az f() függvény grafikonja, akkor az f()+d függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f() grafikonját ábrázoljuk, majd d-vel y irányban eltoljuk azt. II. Ha ismert az f() függvény grafikonja, akkor az f( c) függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f() grafikonját ábrázoljuk, majd irányban c-vel eltoljuk azt. III. Ha ismert az f() függvény grafikonja, akkor az a f() függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f() grafikonját ábrázoljuk, majd y irányban tengelyesen a-szorosra nyújtjuk azt; úgy, hogy az tengely maradjon helyben. (Ha a<0, akkor a -szoros a nyújtás és még tükrözzük is a grafikont az tengelyre.) IV. Ha ismert az f() függvény grafikonja, akkor a f(b) függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f() grafikonját ábrázoljuk, majd irányban tengelyesen /b-szeresre nyújtjuk azt; úgy, hogy az y tengely maradjon helyben. (Ha b<0, akkor /b -szeres a nyújtás és még tükrözzük is a grafikont az y tengelyre.) V. Az y = a f(b c) + d függvény grafikonja tehát több lépésben a következőképpen ábrázolható:. y = f() grafikonjának ábrázolása.. c-vel jobbra toljuk a grafikont.. b-szeresen összenyomjuk a (.) grafikont úgy, hogy az y tengely maradjon helyben. 4. a-szorosan megnyújtjuk a (.) grafikont úgy, hogy az tengely maradjon helyben. 5. d-vel följebb toljuk a (4.) grafikont. Az 5. pontban keletkezett grafikon az eredeti függvény grafikonja. A kölcsönösen egyértelmű függvény fogalma: Inverz függvény

5 Egy f függvényt kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, ha minden alaphalmazbeli elemhez különböző képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. Más megfogalmazások: - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha bármely különböző és ÉT f -beli elempáros esetén f( ) f( ). - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha az f( ) = f( ) egyenlőségből következik, hogy =. - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha a fordított irányú hozzárendelés is függvény. Kölcsönösen egyértelmű függvények inverze: Egy kölcsönösen egyértelmű f függvény inverzén azt a függvényt értjük (jele általában f ), amelynek - értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete; - értékkészlete az eredeti függvény értelmezési tartománya; - és a hozzárendelés iránya elempáronként megfordul. Hozzárendelési szabállyal megadott függvények inverzének meghatározása: Ha adott az y = f() grafikon, akkor az inverz függvényt két lépésben megkaphatjuk:. A hozzárendelési szabályban -et és y-t kicseréljük (minden helyére y-t, minden y helyére -et írunk).. Ezek után kifejezzük az új y-t függvényeként. Példa: Határozzuk meg az y = 4 függvény inverzének hozzárendelési szabályát! Megoldás: Első lépésben -y csere: az inverz függvény szabálya: = y 4. Második lépés: az új szabályt y-ra rendezzük: + 4 = y, így 0,5 + = y, vagyis y = 0,5 +. Tehát ha f() = 4, akkor f () = 0,5 +. Grafikonnal megadott függvények inverzének meghatározása: Az -y cserének a koordináta-rendszerben az y = egyenletű egyenesre vonatkozó tükrözés felel meg, ezért az inverz függvény grafikonját megkaphatjuk, ha az eredeti grafikon egészét tükrözzük az y = egyenletű egyenesre.

6 I. Elsőfokú függvény Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket!. a.) y = + b.) y = + 7.H c.) f() = 7 d.) g() = + e.) h() = 6 f.) i() = 5 9 g.) j() = h.) k() = 0. a.) y = /4 + b.) y = / + 5.H c.) y = /5 + d.) /4 e.) y = + /7 f.) y = / + /. a() = 6 b() = (4 + )/.H c() = d() = (+4)/ e() = (5 ) / f() = ( ) / 6 4. a.) a() = 5/6 b.) b() = /4 4.H c.) c() =, d.) d() = 7/ e.) e() = /8 + / f.) f() = ( + 5)/ Határozzuk meg a következő függvények inverzét, ábrázoljuk az eredeti függvénnyel közös koordináta-rendszerben két különböző színnel! 5. a.) y = b.) y = 0,5 c.) y = + d.) y = 5.H e.) y = f.) y = / g.) y =,5 h.) y = -/4 i.) y = + 4 j.) y = + 5 k.) y = l.) a.) y = 5 b.) y = / + c.) y = (+)/ d.) y = H e.) y = + 6 f.) y = + g.) y = /5 h.) y = (+4)/5 i.) y = j.) y = 4 5 k.) y = ( )/7 l.) y = ( 4)/6 Ábrázoljuk a következő grafikonokat ( lyukas egyenesek), és jellemezzük pontosan a függvényeket! 7. a.) y = ( 9) / (+) b.) y=( +9-)/(4-) c.) y = ( + ) / ( + ) 7.H d.) y = ( 6) / ( 4) e.) y = ( +4+4) / (+) f.) y = ( 8) / ( + 4) g.) y = ( +5+4) / (+) h.) y = ( ++0)/(+6) i.) y = ( ) / (+5) 8. Egy elsőfokú függvényről tudjuk, hogy a helyen, a + helyen 5 az értéke. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk a grafikonját, jellemezzük a függvényt, valamint adjuk meg pontosan a +5 és a + 0 helyeken felvett értékét! 8.H a.) Egy f() elsőfokú függvény grafikonja áthalad a (; 4) és a (7; -8) pontokon. Mennyi f(00)? b.) Egy elsőfokú függvény a helyen 9, a 9 helyen - értéket vesz fel. Hol lesz 00 az értéke? c.) Egy elsőfokú függvény az tengelyt a (7; 0), az y tengelyt a (0; -4) pontban metszi. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk és jellemezzük a függvényt! 9. Egy elsőfokú függvényről tudjuk, hogy a helyen ugyanannyi az értéke, mint az y = + függénynek, a +5 helyen pedig annyi az értéke, mint az előbb említett függvénynek a helyen. Ábrázoljuk a függvény grafikonját, adjuk meg a hozzárendelési szabályt, jellemezzük a függvényt! 9.H a.) Egy elsőfokú függvény a 4 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint az y = + 8 függvény, a 7 helyen pedig annyi az értéke, mint az előbb említett függvénynek az = helyen. Hol van a függvény zérushelye? b.) Egy elsőfokú függvény az y = + 7 függvény értékénél a helyen -mal nagyobb, a 4 helyen -mal kisebb. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk és jellemezzük a függvényt! II. Másodfokú függvény. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő másodfokú függvényeket! a.) y = b.) y = c.) y = + 4 d.) y = e.) y = 0,5 f.) y = / g.) y = h.) y = i.) y = (+) j.) y = ( 5) k.) y = (+) l.) y = ( 9) m.) y = 0,5 ( ) + n.) y = ( ) + 6 o.) y = (+) + 8 p.) y = () q.) y = (+) r.) y = (0,5 + ) s.) y = ( 4) 8 t.) y = (5 ) + u.) y = (6 ) 7 ü.) y = 0,5 (+6) + v.) y = (0,5 ) 5 w.) y = 5 + (5 0,5) Egészítsük ki teljes négyzetté a következő kifejezéseket, majd ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! 5. y = + = ++ = (+) 47. y = 0, y = y = 0,5 7. y = y = y = y = y = y = y = y = 4. y = 4 5. y = 0, y = + +, y = 0, y = + 4,5 55. y = y = y = (+) ( ) 45. y = y = 0,5 (+5) ( ) 46. y = y = (+) ( 4) C.) Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket megfelelő átalakítás után! Alkalmazzuk a tanult abszolútérték- ill. egészrész- törtrész- és előjelfüggvény-transzformációt!

7 59. y = y = y = sgn( ) 65. y = sgn( + 8) 6. y = y = {(0,5) }; alaphalmaz: [ 0; 0] 6. y = y = [(0,5) ]; alaphalmaz: [ 0; 0] y = y = + + A feladatok megoldásának ellenőrzése: Vizsgáld meg a kész grafikonokon a következőket: - A kiszámított és a leolvasott zérushelyek egyeznek-e? - A két kiszámított zérushely egyenlő távolságra van-e a szélsőérték helyétől? - = 0 helyettesítés esetén az y tengely és a grafikon közös pontjának számított és leolvasott értéke egyezik-é? - A kapott grafikon egy tetszőlegesen kiválasztott rácspontjának koordinátáit az eredeti képletbe helyettesítve egyenlőséget kapunk-e? Ha mindezek rendben vannak, akkor nagy valószínűséggel az ábrázolás helyes. III. Törtfüggvény 69. Másoljuk le az alábbi (törtfüggvény) grafikonokat a leckefüzetbe, írjuk fel a hozzárendelési szabályt, majd jellemezzük a függvényeket! a.) y b.) y c.) 5 4 y Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! f() = 6/(+) g() = 8/( 5) h() = 4(+6) k() = /(+9) 7. Alkalmas átalakítás után ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! a.) y = ( + )/ b.) y = ( + 6)/ c.) y = (+6) / (+) d.) y = (+4)/( ) e.) y = ( + 8) / ( ) f.) y = ( ) / ( 9) g.) y = ( + ) / ( 5) h.) y = / ( 6) i.) y = / ( ) j.) y = ( ) / ( 4) k.) y = (4 + ) / ( ) l.) y = (5 ) / ( 7) m.) y = / ( + 6) n.) y = ( + ) / ( + 0) o.) y = ( ) / ( + ) p.) y = ( 0) / ( ) 7. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő lyukas hiperbolákat! a.) y = 6/ + (+)/(+) b.) y = ( + ) / ( 5) c.) y=( +7+)/( 0) d.) y = ( + 6) / ( ) 7. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! IV. Abszolútérték függvény a.) y = + b.) y = 9 c.) y = d.) y = 4 5 e.) y = + + f.) y = + 6 g.) y = + 4 h.) y = 7 7 i.) y = + + j.) y = 4 + k.) y = 5 l.) y = Az abszolútérték-transzformáció segítségével ábrázoljuk a következő függvényeket! a.) y = b.) y = 6/ + c.) y = d.) y = e.) y = 4 f.) y = 8/ + 4 g.) y = 4 h.) y = {} / i.) y = j.) y = ( + ) / ( ) k.) y = + l.) y = A grafikus ill. a táblázatos összegzés segítségével ábrázoljuk a következő függvényeket! a.) y = + + b.) y = +4 + c.) y = d.) y = +4 + e.) y = + 0,5 f.) y = + g.) y = 4 h.) y = + +5 i.) y = + j.) y = k.) y = 5 + 0,5 l.) y = 4 +

8 m.) y = +4 + n.) y = 0,5+ o.) y = 6 8 p.) y = q.) y = r.) y = s.) y = +5 t.) y = + + u.) y = ü.) y = + v.) y = 0,5 + 4 w.) y = 4+ + V. Függvényábrázolással megoldható egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! H 8 + = + = = H + 0 = H = + + = H + = = = 85.H = H 6 = sgn( ) + = sgn( + ) H 6 = [ 7] = [ ] = { + 005} 88.H 6 = [ ] H = = = 7[] 90.H = 7{} Függvénytan nagydolgozat feladatai:. feladat: egyenes és inverze ábrázolás, jellemzés. feladat: másodfokú függvény átalakítás, ábrázolás, jellemzés. feladat: törtfüggvény átalakítás, ábrázolás, jellemzés 4. feladat: abszolútérték függvény táblázat, ábrázolás, jellemzés 5-6. feladat: függvényábrázolással megoldható egyenlet (ld feladatok) Függvénytan kérdések - 9. osztály. Mi(k) a függvénytan alapfogalma(i)? Mit nevezünk függvénynek?. Alaphalmaz, képhalmaz, értelmezési tartomány, értékkészlet definíciói.. Mit nevezünk kölcsönösen egyértelmű függvénynek? 4. Mit nevezünk egy függvény inverzének? Mely függvényeknek létezik inverzük? Hogyan határozható meg (képletből, grafikonból)? 5. Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer (def., mire kell figyelni a felvételénél?) 6. Függvények jellemzésének 5 lépése + a megjegyzések 7. Mit értünk megállapodás szerint egy függvény ÉT-án, ha csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg? 8. Függvény zérushelyének definíciója, kiszámítása. 9. Mit jelent az, hogy egy függvény ÉT-ának egy részintervallumán szigorúan monoton növekedő / csökkenő? 0. Mit jelent az, hogy egy függvény ÉT-ának egy részintervallumán monoton növekvő / csökkenő?. Mit nevezünk egy függvény abszolút minimumának ill. maimumának? Mi a különbség a minimum helye és értéke között?. Mit nevezünk egy függvény lokális minimumának ill. maimumának?. Mi a polinom? Írd fel az egyváltozós polinom általános alakját! 4. A fokszám definíciói (változó, tag, polinom fokszáma); az n-edfokú függvény definíciója 5. A lineáris függvény definíciója, kapcsolata a nullad- és elsőfokú függvényekkel 6. Az egyenes meredeksége (iránytényezője vagy iránytangense) 7. Az elsőfokú függvény általános alakja. Mit jelentenek az m ill. b szimbólumok? 8. A másodfokú függvény általános alakja. Polinom alak, szorzat alak, teljes négyzetté kiegészített alak. 9. Másodfokú függvény képe, általános jellemzése 0. Transzformációs szabályok. Az abszolút érték definíciója; az abszolútérték-függvény grafikonja, általános jellemzése. Függvények grafikus összegzése. Lineáris törtfüggvény definíciója, képe, általános jellemzése 4. Előjel-, egészrész- és törtrészfüggvény grafikonja és általános jellemzése 5. Grafikus egyenletmegoldás módszere Jó felkészülést!

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSÁNAK ALKALMAZÁSAI I.Feladat: Egyváltozós függvény grafikonjához húzható érintőkkel kapcsolatos feladatok. 1.feladat: Határozza meg az függvény x = 1 abszcisszájú pontjába

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak

3.1. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon Lukács Imola Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár

Részletesebben

2009. májusi matematika érettségi közép szint

2009. májusi matematika érettségi közép szint I 1.feladat Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 x 2 +13x +24=0 2.feladat Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét! 3.feladat Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben