Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Átírás

1 Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2

2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények Racionális egész függvények Rcionális törtfüggvények Irracionális függvények Transzcendens függvények Exponenciális függvény Logaritmus függvény Trigonometrikus függvények Arcus függvények Egyéb függvények Abszolútérték függvény Előjel függvény Egészrész és törtrész függvény Függvények csoportosítása p. 2/2

3 Algebrai függvények Definíció. Algebrai függvényeknek nevezzük az olyan függvényeket, amelyeket a négy alapművelet, a természetes kitevőjű hatványozás és a gyökvonás véges számú, egymást követő alkalmazásával adhatunk meg. Definíció. Azokat az algebrai függvényeket, amelyek képletében csak a négy alapművelet és az egész kitevőjű hatványozás fordul elő, racionális egész függvényeknek nevezzük. Képlettel: f : R R, f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, ahol a 0,a 1,a 2,...,a n adott valós számok és a n 0. Függvények csoportosítása p. 3/2

4 A konstansfüggvény f : R R, f(x) = c (c R). D f : R, Zérushely: nincs. Ha c = 0, akkor minden hely zérushely. Monotonitás: egyszerre monoton nő és monoton csökken. Szélsőérték: minden pont egyszerre min. és max. hely, f min = c, f max = c. Korlátosság: korlátos. Paritás: páros, de ha c = 0, akkor páratlan is. Periodikusság: periodikus, p = R \ {0}. R f = {c}. Képe: az x tengellyel párhuzamos egyenes. Függvények csoportosítása p. 4/2

5 A lineáris függvény f : R R, f(x) = ax + b, ahol a,b R, a 0. D f = R, Zérushely: x 0 = b a. Monotonitás: ha a > 0 akkor szig. monoton nő, míg ha a < 0 akkor szig. monoton csökken. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: nem korlátos. Paritás: ha b = 0, akkor páratlan. Egyébként se nem páros, se nem páratlan. R f = R. Képe: egy egyenes. Függvények csoportosítása p. 5/2

6 A hatványfüggvény f : R R, f(x) = x n (n N). D f = R, Zérushely: x 0 = 0. Monotonitás: ha n páros, akkor x 0 esetén szig. monoton nő, míg ha x 0 akkor szig. monoton csökken. Szélsőérték: ha n páros, akkor az x = 0 hely abszolut minimumhely, 0 értékkel. Korlátosság: ha n páros, akkor alulról korlátos. Konvexitás: ha n páros, akkor konvex. Paritás: ha n páros, akkor páros. R f = R + {0}, ha n páros. Függvények csoportosítása p. 6/2

7 A hatványfüggvény D f = R, Zérushely: x 0 = 0. Monotonitás: ha n páratlan, akkor szig. monoton nő. Szélsőérték: ha n páratlan, akkor nincs szélsőérték. Korlátosság: ha n páratlan, akkor sem alulról sem felülről nem korlátos. Konvexitás: ha n páratlan, akkor x 0 esetén konkáv, míg ha x 0 akkor konvex. Az x = 0 hely inflexiós pont. Paritás: ha n páratlan, akkor páratlan. R f = R, ha n páratlan. Függvények csoportosítása p. 7/2

8 Racionális törtfüggvény Két racionális egész függvény hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0, ahol m 1 és b m 0. Az f függvény értelmezve van minden olyan x-re, ahol a nevező nem 0. A legegyszerűbb racionális törtfüggvény az f : R \ {0} R, f(x) = 1 x függvény. Függvények csoportosítása p. 8/2

9 f : R \ {0} R, f(x) = 1 x D f = R \ {0}, Zérushely: nincs. Monotonitás: ha x < 0 akkor szig. monoton csökken, ha x > 0 akkor is szig. monoton csökken. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: nem korlátos. Konvexitás: ha x < 0 akkor konkáv, ha x > 0 akkor konvex. Paritás: páratlan. R f = R \ {0}. Képe: hiperbola. Függvények csoportosítása p. 9/2

10 Irracionális függvények Definíció. Irracionális függvénynek nevezzük azokat az algebrai függvényeket, amelyek nem racionális függvények. Négyzetgyökfüggvény: f : R + {0} R, f(x) = x. D f = R + {0}, Zérushely: x 0 = 0. Monotonitás: szig. monoton növő. Szélsőérték: az x = 0 globális minimumhely, 0 értékkel. Korlátosság: alulról korlátos. Konvexitás: konkáv. R f = R + {0}. Függvények csoportosítása p. 10/2

11 Transzcendens függvények Definíció. Transzcendens függvényeknek a nem algebrai függvényeket nevezzük. Definíció. Ha a R + \ {1}, akkor az f : R R, f(x) = a x függvényt exponenciális függvénynek nevezzük. D f = R, Zérushely: nincs. Monotonitás: ha a > 1, akkor szig. mon. nő. Monotonitás: ha 0 < a < 1, akkor szig. monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: alulról korlátos. Konvexitás: konvex. Paritás: se nem páros, se nem páratlan. R f = R + Függvények csoportosítása p. 11/2

12 A logaritmus függvény Definíció. Ha az a R + \ {1}, akkor az f : R + R, f(x) = log a x függvényt a-alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük. D f = R +, Zérushely: x = 1. Monotonitás: ha a > 1, akkor szig. mon. nő. Monotonitás: ha 0 < a < 1, akkor szig. monoton csökkenő. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: sem alulról, sem felülről nem korlátos. Konvexitás: a > 1, akkor konkáv. Konvexitás: ha 0 < a < 1, akkor konvex. Paritás: se nem páros, se nem páratlan. R f = R Függvények csoportosítása p. 12/2

13 Trigonometrikus függvények Definíció. Azokat a függvényeket, amelyek az f(x) = sin x és g(x) = cos x függvényekből, valamint a valós számokból véges sok összeadás, kivonás, szorzás és osztás útján állíthatók elő, trigonometrikus függvényeknek nevezzük. Függvények csoportosítása p. 13/2

14 A sinus függvény A sinus függvény: f : R R, f(x) = sinx. D f = R, Zérushely: x = k π, ahol k Z. Monotonitás: szig. mon. nő, ha x [ π 2 + k 2π, π 2 + k 2π], míg szig. mon csökkenő, ha x [ π 2 + k 2π, 3π 2 + k 2π]. Szélsőérték: max. helyek: x = π 2 + k 2π, 1 értékkel. Min. helyek: x = 3π 2 + k 2π, 1 értékkel. Korlátosság: korlátos. Paritás: páratlan. Periodikusság: periodikus, p = 2π. R f = [ 1, 1]. Függvények csoportosítása p. 14/2

15 A cosinus függvény A cosinus függvény: f : R R, f(x) = cosx. D f = R, Zérushely: x = π 2 + k π, ahol k Z. Monotonitás: szig. mon. nő, ha x [π + k 2π, 2π + k 2π], míg szig. mon csökkenő, ha x [k 2π, π + k 2π]. Szélsőérték: max. helyek: x = k 2π, 1 értékkel. Min. helyek: x = π + k 2π, 1 értékkel. Korlátosság: korlátos. Paritás: páros. Periodikusság: periodikus, p = 2π. R f = [ 1, 1]. Függvények csoportosítása p. 15/2

16 A tangens függvény A tangens függvény: f : R R, f(x) = tgx. D f = R \ { π 2 + k π, k Z} Zérushely: x = k π, ahol k Z. Monotonitás: szakaszonként szig. mon. növő. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: sem alulról, sem felülről nem korlátos. Paritás: páratlan. Periodikusság: periodikus, p = π. R f = R. Függvények csoportosítása p. 16/2

17 A cotangens függvény A cotangens függvény: f : R R, f(x) = ctgx. D f = R \ {k π, k Z}. Zérushely: x = π 2 + k π, ahol k Z. Monotonitás: szakaszonként szig. mon. csökkenő. Szélsőérték: nincs. Korlátosság: sem alulról, sem felülről nem korlátos. Paritás: páratlan. Periodikusság: periodikus, p = π. R f = R. Függvények csoportosítása p. 17/2

18 Egyéb függvények f : R R, f(x) = x = x, ha x 0 x, ha x 0 függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük. D f = R Zérushely: x = 0. Monotonitás: ha x 0, akkor szig. mon. csökkenő, míg ha x 0, akkor szig mon. növő. Szélsőérték: globális minimumhely az x = 0 helyen, 0 értékkel. Korlátosság: alulról korlátos. Paritás: páros. Konvexitás: konvex. R f = R + {0}. Függvények csoportosítása p. 18/2

19 Előjelfüggvény f : R R, f(x) = 1, ha x > 0 0, ha x = 0 1, ha x < 0 függvényt signum,- vagy előjel függvénynek nevezzük. D f = R Zérushely: x = 0. Monotonitás: monoton növő. Szélsőérték: ha x < 0, akkor minden pont globális minimumhely, 1 értékkel, míg ha x > 0, akkor minden pont globális maximumhely, 1 értékkel. Korlátosság: korlátos. Paritás: páratlan. R f = { 1, 0, 1}. Függvények csoportosítása p. 19/2

20 Egészrész függvény Definíció. Egy x R szám egészrészének a nála nem nagyobb egész számok legnagyobbikát nevezzük. Jele: [x]. Az egészrész függvény: f : R R, f(x) = [x]. D f = R Zérushely: x [0, 1[. Monotonitás: monoton növő. Szélsőérték: minden pont lokális maximumhely, minden x R \ Z hely lokális minimumhely is. Korlátosság: nem korlátos. R f = Z. Képe: lépcsős függvény, grafikonja egységnyi hosszúságú balról zárt, jobbról nyílt vízszintes szakaszokból áll. Függvények csoportosítása p. 20/2

21 Törtrész függvény Definíció. Egy x R szám törtrészének az {x} = x [x] számot hívjuk. A törtrész függvény: f : R R, f(x) = {x}. D f = R Zérushely: x Z. Monotonitás: szakaszonként szig. monoton növő. Szélsőérték: minden x Z hely globális minimumhely 0 értékkel, maximuma nincs. Korlátosság: korlátos. Periodikusság: periodikus, p = 1. R f = [0, 1[. Képe: a törtrészfüggvény 2 hosszúságú, párhuzamos, balról zárt, jobbról nyílt szakaszokból áll. Függvények csoportosítása p. 21/2

22 Függvénytranszformációk Eltolás az ordinátatengely mentén: az x f(x) + v, x D f függvény görbéje az f függvény görbéjének y irányú eltolásával nyerhető. Az eltolás nagysága v, az előjele pedig a v előjelének felel meg. Eltolás az abszcisszatengely mentén: az x f(x + u), (x + u) D f függvény ábrája az f függvény ábrájának x tengely irányú eltolásával adódik. Az eltolás mértéke u. Ha u > 0, akkor balra történik az eltolás, ha u < 0, akkor pedig jobbra. Az abszcisszatengelyre merőleges k-szoros nyújtás: a x k f(x), x D f, k > 0 függvény grafikonja az f függvény grafikonjának y irányú k-szorosa nyújtásával kapható. Függvények csoportosítása p. 22/2

23 Függvénytranszformációk Az x tengelyre való tükrözés: az x f(x), x D f függvény grafikonja az f függvény grafikonjának az x tengelyre vonatkozó tükörképe. Ordinátatengelyre merőleges d-szeres nyújtás vagy zsugorítás: az x f(d x), d x D f függvény grafikonját az f függvény grafikonjának x-tengely irányú d-szeres zsugorításával (d > 0), illetve 1 d-szeres nyújtásával (0 < d < 1) kapjuk. Az y-tengelyre való tükrözés: az x f( x), x D f függvény grafikonja az f függvény grafikonjának az y-tengelyre vonatkozó tükörképe. Függvények csoportosítása p. 23/2