Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Átírás

1 Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/ félév

2

3 Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak? ( Az függvény egyenletesen folytonos az halmazon, ha 2. Írja le a Heine-tételt. Ha egy korlátos és zárt intervallum és folytonos, akkor egyenletesen folytonos az halmazon. 3. az függvény folytonos és invertálható. Mit mondhatunk ekkor az f függvény monotonitásáról?. Ekkor szigorúan monoton függvény. 4. Mit tud mondani intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészletéről?. Milyen állításokat ismer az inverz függvény folytonosságáról? az inverze folytonos. függvény folytonos és invertálható. Ekkor tetszőleges intervallum. Tegyük fel, hogy az függvény folytonos és invertálható -n. Ekkor intervallum és az függvény inverze folytonos az intervallumon. Nevezetes függvények értelmezése és tulajdonságai: 6. Értelmezze az függvényt. folytonos és szig. mon. nő 7. Mi a definíciója az hatványnak?. 8. Értelmezze az függvényt. folytonos, ha 9. Mi a definíciója az hatványfüggvénynek?. Differenciálszámítás: 1

4 Analízis II. Beugrók 10. Mikor mondja, hogy egy függvény differenciálható valamely pontban? Ha, akkor és ez a határérték véges. 11. Milyen ekvivalens átfogalmazást ismer a pontbeli deriválhatóságra a lineáris közelítéssel? és, hogy. 12. Mi a kapcsolat a pontbeli differenciálhatóság és a folytonosság között? ( de fordítva nem igaz, pl. függvényre, de ). 13. Milyen tételt ismer két függvény szorzatának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról? 14. Milyen tételt ismer két függvény hányadosának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról?. 1. Milyen tételt ismer két függvény kompozíciójának valamely pontbeli differenciálhatóságáról és a deriváltjáról? Ha. 16. Milyen tételt tanult az inverz függvény differenciálhatóságáról és a deriváltjáról? Ha szigorúan monoton növő, folytonos függvény, 17. Milyen állítást tud mondani hatványsor összegfüggvényének a deriválhatóságáról és a deriváltjáról? Hatványsor összegfüggvénye a konvergenciaintervallum belsejében differenciálható és a hatványsor deriválását szabad tagonként végezni.

5 Analízis II. Beugrók 18. Mi az egyoldali derivált definíciója? jobbról deriválható -ban, ha és véges a határérték. balról deriválható -ban, ha és véges a határérték. 19. Mi a kétszer deriválható függvény fogalma? Az függvény kétszer deriválható az pontban, ha van olyan szám, hogy 20. Mi az n-szer deriválható függvény fogalma? és -szer deriválható az pontban, ha hogy. 21. Fogalmazza meg a szorzatfüggvény deriváltjaira vonatkozó Leibniztételt.. Ha, akkor és 22. Mondja ki a Rolle-tételt. Ha, akkor 23. Mondja ki a Cauchy-féle középértéktételt. Tegyük fel, hogy Ekkor 24. Mondja ki a Lagrange-féle középértéktételt. Ha

6 Analízis II. Beugrók 2. Mit ért azon, hogy az függvénynek valamely helyen lokális minimuma van? Az függvénynek a pontban lokális minimuma van, ha 26. Mit ért azon, hogy egy függvény valamely helyen jelet vált? Az függvény a pontban előjelet vált, ha vagy fordítva. 27. Hogyan szól a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel? Ha és az függvénynek -ben lokális szélsőértéke van, akkor 28. Hogyan szól a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű elégséges feltétel? Ha és a pontban előjelet vált, akkor az függvénynek -ben lokális szélsőértéke van. 29. Írja le a lokális minimumra vonatkozó másodrendű elégséges feltételt. Ha függvénynek -ben lokális minimuma van., akkor az 30. Milyen szükséges és elégséges feltételt ismer differenciálható függvény monoton növekedésével kapcsolatban? Ha és, akkor monoton növekedő -n -n. 31. Írja le a esetre vonatkozó L'Hospital-szabályt. és tegyük fel, hogy létezik határérték. Ekkor és 32. Írja le a esetre vonatkozó L Hospital-szabályt.

7 Analízis II. Beugrók Tfh.: és Ekkor. 33. Mi a kapcsolat a hatványsor összegfüggvénye és a hatványsor együtthatói között? és Tegyük fel, hogy a hatványsor konvergenciasugara pozitív, és jelölje az összegfüggvényét: Ekkor és 34. Hogyan definiálja egy függvény Taylor-sorát? Tegyük fel, hogy és. Ekkor a hatványsort az függvény -hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük. 3. Fogalmazza meg a Taylor-formula Lagrange maradéktaggal néven tanult tételt. Ekkor ponthoz, hogy 36. Mi a konvex függvény definíciója?

8 Analízis II. Beugrók Az függvény konvex, ha esetén 37. Jellemezze egy függvény konvexitását (konkávitását) az első derivált segítségével. és Ekkor konvex (konkáv) -n monoton növekedő (csökkenő) -n. 38. Jellemezze egy függvény konkávitását a második derivált segítségével. és Ekkor konkáv -n -n. 39. Mi az inflexiós pont definíciója? Az függvénynek a pontban inflexiós pontja van, ha egy bal oldali környezetében konvex és egy jobb oldali környezetében konkáv, vagy fordítva. 40. Milyen szükséges feltételt ismer a második derivált és az inflexiós pont kapcsolatáról? Ha az függvény kétszer deriválható a pontban és -nek - ben infelexiós pontja, akkor 41. Milyen elégséges feltételt ismer a harmadrendű derivált és az inflexiós pont kapcsolatáról? háromszor deriválható a pontban. Ha de, akkor az függvénynek inflexiós pontja. A határozatlan integrál (primitív függvények): 42. Definiálja a primitív függvényt. egy intervallum. Az függvény az egy primitív függvénye, ha és 43. Adjon meg olyan függvényt, amelyiknek nincs primitív függvénye Definiálja az egy adott pontban eltűnő primitív függvény fogalmát.

9 Analízis II. Beugrók egy intervallum és egy adott pont. Az függvény az függvény pontban eltűnő primitív függvénye, ha és 4. A primitív függvény létezésére vonatkozó szükséges feltétel. primitív fgv.-e. Tfh.: Ha felvesz, azaz ha közötti értéket 46. Mit jelent egy függvény határozatlan integrálja? egy intervallum és függvény az függvény egy primitív függvénye. Az függvény határozatlan integrálja a következő függvényhalmaz: 47. Mit ért a határozatlan integrál linearitásán? intervallum és. Ha az függvényeknek létezik primitív függvénye, akkor tetszőleges mellett -nek is létezik primitív függvénye és 48. Milyen állítást ismer hatványsor összegfüggvényének a primitív függvényéről? Ekkor -nek van primitív függvénye és az függvény -ban eltűnő primitív függvénye. 49. Mit mond ki a primitív függvényekkel kapcsolatos parciális integrálás tétele?

10 Analízis II. Beugrók egy intervallum és. Tegyük fel, hogy és -nek létezik primitív függvénye. Ekkor -nek is van primitív függvénye és 0. Hogyan szól a primitív függvényekkel kapcsolatos első helyettesítési szabály? intervallum,. Ha az függvénynek van primitív függvénye, akkor függvénye és -nek is van primitív 1. Fogalmazza meg a primitív függvényekkel kapcsolatos második helyettesítési szabályt. intervallum; bijekció, Ha az függvénynek van primitív függvénye, akkor -nek is van primitív függvénye és 2. Adjon meg legalább három olyan függvényt, amelyiknek a primitív függvénye nem elemi függvény. A határozott integrál: 3. Definiálja az intervallum egy felosztását. Ekkor az intervallum felosztásán olyan véges halmazt értünk, amelyre 4. Mit jelent egy felosztás finomítása? egy-egy felosztása -nek. Ekkor finomítása -nek, ha

11 Analízis II. Beugrók. Mi az alsó közelítő összeg definíciója? egy korlátos függvény, egy felosztása -nek, Ekkor az függvény -hoz tartozó alsó közelítő összege. 6. Mi a felső közelítő összeg definíciója? egy korlátos függvény, egy felosztása -nek, Ekkor az függvény -hoz tartozó felső közelítő összege. 7. Mi történik egy alsó közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk? egy korlátos függvény. Ha egyegy felosztása -nek, a megfelelő alsó közelítő összegek és finomítása -nek, akkor 8. Mi történik egy felső közelítő összeggel, ha a neki megfelelő felosztást finomítjuk? egy korlátos függvény. Ha egyegy felosztása -nek, a megfelelő felső közelítő összegek és finomítása -nek, akkor S 9. Milyen viszony van az alsó és a felső közelítő összegek között? egy korlátos függvény. Ha egyegy felosztása -nek, a megfelelő alsó, ill. felső közelítő összegek, akkor s 60. Mi a Darboux-féle alsó integrál definíciója?

12 Analízis II. Beugrók korlátos függvény és valamely felosztás esetén az függvény -hoz tartozó alsó közelítő összege. Jelölje az felosztásainak a halmazát. Ekkor az halmaz felülről korlátos, ezért létezik szuprénuma. Az számot az függvény Darboux-féle alsó integráljának nevezzük. 61. Mi a Darboux-féle felső integrál definíciója? korlátos függvény és valamely felosztás esetén az függvény -hoz tartozó felső közelítő összege. Jelölje az felosztásainak a halmazát. Ekkor az halmaz felülről korlátos, ezért létezik az infinuma. Az számot az függvény Darboux-féle felső integráljának nevezzük. 62. Mikor nevez egy függvényt (Riemann) - integrálhatónak? ) korlátos függvény, ill. az függvény Darboux-féle alsó, ill. felső integrálja. Ekkor intervallumon. (jelekkel: ), ha. Reimann-integrálható az 63. Hogyan értelmezi egy függvény határozott (vagy Riemann) - integrálját? egy korlátos függvény, ill. az függvény Darboux-féle alsó, ill. felső integrálja. Ha függvény határozott (vagy Reimann-) integrálja az, akkor az valós szám. 64. Adjon meg egy példát nem integrálható függvényre. Ekkor 6. Mi az oszcillációs összeg definíciója? korlátos függvény. Ha egy felosztása -nek, az függvény -hoz tartozó alsó, ill. felső

13 Analízis II. Beugrók közelítő összege. Ekkor az függvény felosztáshoz tartozó oszcillációs összege. 66. Hogyan szól a Riemann-integrálhatósággal kapcsolatban tanult kritérium az oszcillációs összegekkel megfogalmazva? korlátos függvény és valamely felosztás esetén az függvény -hoz tartozó oszcillációs összege. Ekkor: 67. Felosztássorozatok segítségével adja meg a Riemannintegrálhatóság egy ekvivalens átfogalmazását. Egy korlátos függvény akkor és csak akkor integrálható -n és integrálja, ha az intervallumnak van olyan felosztássorozata, amelyre teljesül. 68. Mit jelent a Riemann-integrál linearitása? Tetszőleges és esetén 69. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények szorzatával kapcsolatban tanult tétel? Ha, akkor 70. Hogyan szól a Riemann-integrálható függvények hányadosával kapcsolatban tanult tétel? tetszőleges és tegyük fel, hogy valamilyen számmal Ekkor 71. Mit ért a Riemann-integrál intervallum szerinti additivitásán? Tegyük fel, hogy és egy tetszőleges pont. Ekkor

14 Analízis II. Beugrók 72. Mi a kapcsolat a folytonosság és a Riemann-integrálhatóság között? Ekkor 73. Mi a kapcsolat a monotonitás és a Riemann-integrálhatóság között? Ha monoton az intervallumon, akkor 74. Milyen tételt tanult Riemann-integrálható függvény megváltoztatását illetően? Ha az függvény értékét véges sok pontban függvény is Reimann- tetszőlegesen megváltoztatjuk, akkor az így kapott integrálható és 7. Mit ért azon, hogy a Riemann-integrál az integrandusban monoton? Ha és, akkor 76. Mit lehet mondani Riemann-integrálható függvény abszolút értékéről integrálhatóság szempontjából? Ha, akkor és 77. Mi az integrálszámítás első középértéktétele? Ekkor 78. Mi az integrálszámítás második középértéktétele? Ekkor, hogy

15 Analízis II. Beugrók 79. Fogalmazza meg a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenséget. Ha és integrálhatóak -n, akkor is integrálható -n és 80. Hogyan szól a Newton-Leibniz-tétel? Ha és -nek létezik primitív függvénye, akkor, ahol az függvény egy primitív függvénye. 81. Definiálja az integrálfüggvényt. és. Ekkor az függvényt az függvény integrálfüggvényének nevezzük. 82. Írja le az integrálfüggvénnyel kapcsolatban tanult tételt. Ekkor 1. -n; 2. ha és folytonos -ben, akkor differenciálható -ben és 83. Fogalmazza meg a differenciál- és integrálszámítás alaptételét. Ekkor 1. -n; 2. ha és folytonos -ben, akkor differenciálható -ben és 84. Mit ért parciális integráláson a Riemann-integrálokkal kapcsolatban? Ha, akkor

16 Analízis II. Beugrók 8. Mit mond ki a helyettesítéses integrálás tétele Riemann-integrálokra vonatkozóan? Ha és folytonos, pedig folytonosan differenciálható, akkor

17 Analízis II. Beugrók

18 Analízis II. Analízis II. Tételek Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/ félév

19 Analízis II. Tételek 1. Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete is intervallum. Tétel: intervallum, folytonos intervallum. Bizonyítás: Igazoljuk, hogy. Tekintsük az, Bolzano-tétel miatt:

20 Analízis II. Tételek 2. Az egyenletes folytonosság fogalma. A Heine-tétel. Def.: egyenletesen folytonos, ha Tétel: Biz.: 1. Triviális egyenletesen folytonos 2. pl.: fgv. folytonos, de nem egyenletesen folytonos. Igazoljuk: Tfh.: Feltehető: : Heine-tétel:, de Ha az függvény folytonos, akkor egyenletesen folytonos is. Biz.: (Indirekt) Tfh.: nem egyeneletesen folytonos. : -re Tekintsük: sorozatot. Bolzano-Weierstass tétel miatt, konvergens részsorozat. folytonos (Átviteli elv miatt) az

21 Analízis II. Tételek 4. Folytonos invertálható függvény jellemzése a monotonitással. Tétel:, folyt. szig. mon. (nő/csökken). Biz.: Tfh.:, igazoljuk, hogy szig. mon. nő. Először: bizonyítjuk, hogy Wierstass miatt, Tekintsük az fgv-t. A Bolzano tétel miatt, ekkor hiszen és injektív. Ezután igazoljuk, hogy esetén Indirekt: Tfh.: Tekintsük: fgv.-t A Bolzano tétel miatt hiszen injektív szig. mon. nő! a x1 x2 b

22 Analízis II. Tételek. A differenciálhatóság ekvivalens átfogalmazása (lineáris közelítés). A differenciálhatóság és a folytonosság kapcsolata.. Ekkor Biz.: Tfh. Tfh.: De A derivált és a folytonosság kapcsolata: Tétel: Biz.: 1.

23 Analízis II. Tételek 2.

24 Analízis II. Tételek 6. Differenciálható függvények összege, szorzata, hányadosa. Ekkor: Biz.:

25 Analízis II. Tételek 10. A differenciálszámítás középértéktételei (Rolle-, Cauchy-, Lagrangetétel). Rolle tétele: Ha, akkor Biz.: Weierstass miatt absz. maximuma és absz. min. 1. Ha állandó. 2. Ha és lok. min. is 3. Ha és Couchy-féle középértéktétel: Biz.:, mert különben (Rolle) Tekintsük az fgv.-t. ( -t úgy választjuk, hogy alkalmazhassuk a Rolle tételt.) : Rolle t. Lagrange-féle középértéktétel: Ha Biz.:

26 Analízis II. Tételek A Cauchy tételben legyen. Köv.: 1. Ha -n 2. Ha -n -n Biz.:, Lagyrange tétel 11. A deriváltak egyenlősége, a monotonitásra vonatkozó elégséges, szükséges és elégséges feltételek. Deriváltak egyenlősége: 1. és 2. és Biz.: 1. Ekkor (Lagrange miatt) 2. Elégséges feltétel: Biz.: Szükséges és elégséges feltétel: 1. -n -n 2. -n -n 3. -n -n és -n 4. -n -n és -n Biz.:

27 Analízis II. Tételek 12. A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges, illetve elsőés másodrendű elégséges feltétel.

28 Analízis II. Tételek 16. A primitív függvény létezésére vonatkozó szükséges feltétel.

29 Analízis II. Tételek 17. finomítása esetén hogyan viselkedik illetve, mik ezek egymáshoz való nagyságrendi viszonya.

30 Analízis II. Tételek 18. Oszcillációs összegek. Az integrálhatóság jellemzése az oszcillációs összegekkel.

31 Analízis II. Tételek 19. Az integrálhatóság jellemzése alkalmas felosztássorozattal, alsó és felső közelítő összegek határértékével.

32 Analízis II. Tételek 20. Műveletek integrálható függvényekkel (számmal való szorzás, összeg, szorzat, illetve hányados.) A Riemann-integrál intervallum szerinti additivitása.

33 Analízis II. Tételek 22. A határozott integrálokra vonatkozó egyenlőtlenségek. Az integrálszámítás középértéktételei. A Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség.

34 Analízis II. Tételek 23. A Newton-Leibniz-tétel. Határozott integrál kiszámítása parciális integrálással, illetve helyettesítéssel.

35 Analízis II. Tételek 2. Az integrálszámítás alkalmazásai.