Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Átírás

1 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum Továbbá legyen M : sup {R f }, M : inf {R f }. Igzoljzuk, hogy (m, M) R f. Legyen y 0 (m, M) x 0 < x 1 I : f(x 0 ) < y 0 < f(x 1 ) f : [x 0, x 1 ] R folytonos Bolzno tetel ρ (x 0, x 1 ) : f(ρ) y 0 y 0 R f R f (m, M).Tétel: Heine tétele Legyen f [, b] R folytonos függvény [, b] korlátos és zárt intervllumon. Ekkor f egynelegesen folytonos [, b] intervllumon. indirekt: Tfh. ε > 0, δ > 0, x, y [, b] : x y < δ és f(x) f(y) ε (δ ) 1 n (n N) x n, y n : x n y n < 1 n és f(x n) y n ε (X n ) : N [, b] korlátos sorozt Bolzno W eierstrss kiv. tetel (X nk ) konvergens részsorozt Legyen x nk : α Ekkor α [, b] (indirekt) De ekkor: y nk α y nk x nk + x nk α Mivel y nk x nk 1 n k De α [, b] és f C {α} és x nk α 0, tehát y nk x nk + x nk α n k + tviteli elv (1) x nk α f (x nk ) f (α) és () y nk α f (y nk ) f (α) Tehát: f (x nk ) f (y nk ) n k + 0,mi ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 3.Tétel: A differenciálhtóság átfoglmzás lineáris közelítéssel. f R R, int {R f } f D {} A R és ε : D f R, ε 0 esetén x D f : f (x) f () A (x ) + ε (x) (x ) Ekkor: A f () : f( + h) f() f(x) f() f D {} f () ( R) h 0 h x f( + h) f() ε ( + h) : A 0 h 0 h ε ( + h) ε(x) 0 h 0 x f ( + h) f() A h + ε ( + h) h f(x) f() A(x ) + ε(x)(x ) 1 α (y nk ) α

2 : Tfh. A R és ε : D f R, ε 0 Ekkor f(x) f() A(x ) + ε(x)(x ) f(x) f() x A + ε(x) (x D f, x ) f(x) f() A f D {} x x 4.Tétel: Kpcsolt folytonosság és differenciálhtóság között. f R R, inf {D f } () f D {} f C {} (b) f D {} f C {} : f D {} A R és ε : D f R, ε 0 f(x) f() A(x ) + ε(x)(x ) ( x D f ) (f(x) f()) 0, x f(x) f() f C {} (ellenpéld): bs C {0}, de bs / D {0} 5.Tétel: Differenciálhtó függvények összege és szorzt Legyen f, g R R, inf {D f D g }, f, g D {} Ekkor: 1. f + g D {} és (f + g) () f () + g (). f g D {} és (f g) () f () g () 1.:.: (f + g)(x) (f + g)() x (fg)(x) (fg)() x inf {D f D g } inf {D f+g } f(x) + g(x) f() g() x (f + g) () f () + g () inf {D f D g } inf {D f g } f(x)g(x) f()g() x g(x) f(x) f() x (g (x)) x g() (ui.g C {}), g(x) g() x f(x) f() g(x) g() + f ()+g () x x f(x)g(x) f()g(x) + f()g(x) f()g() x g(x) g() + f() x ( ) f(x) f() x x g () x f (), (fg) (fg)(x) (fg)() () f ()g() + f()g () x x

3 6.Tétel: A differenciálszámítás középértéktételei (Rolle-,Cuchy-,Lgrnge-tétel). 1.Rolle-tétel: f R R, f C[, b], f D(, b) és f() f(b) ρ (, b), f (ρ) 0.Cuchy-féle középértéktétel: f, g R R, f, g C[, b], f, g D(, b) és g (x) 0 ( x (, b)) ρ (, b), f(b) f() g(b) g() f (ρ) g (ρ) 3.Lngrnge-féle középértéktétel: f R R, f C[, b], f D(, b) ρ (, b), f (ρ) f(b) f() b 1.Rolle-tétel: f C[, b] W eierstrss α [, b] : f(α) min [, b] f : m β [, b] : f(β) mx [, b] f : M 1.eset: m M f áll f 0.eset: m < M és f() f(b) H m f() f(b) α (, b) α lokális min is f (x) 0 H M f() f(b) β (, b) β lokális mx is f (x) 0.Cuchy-féle középértéktétel: 1.: g(b) g(), ugynis h g() g(b) Rolle tetel ρ (, b) : g (ρ) 0, mi ellentmondás..: F (x) : f(x) λg(x) (x [, b]) és λ megválszthtó úgy, hogy Rolle tétel feltételei teljesüljenek. F C[, b], F D[, b] és F () F (b) is teljesül, h: f() λg() f(b) λg(b) 0 F (ρ) f (ρ) λ 3.Lngrnge-féle középértéktétel: Lásd Cuchy-középértéktételt. (g(x) x) f(b) f() g(b) g() Rolle tetel ρ (, b) f(b) f() g(b) g() g (ρ) ρ (, b), 7.Tétel: A monotonitásr vontkozó elégséges, szükséges és elégséges feltételek. Elégséges feltételek: f(b) f() g(b) g() f (ρ) g (ρ) Legyen f : (, b) R, f D(, b) 1.:.) H f 0(, b)-n f monton növekedő (, b)-n b.) H f > 0(, b)-n f szigorún monton növekedő (, b)-n.:.) H f 0(, b)-n f monton csökkenő (, b)-n b.) H f < 0(, b)-n f szigorún monton csökkenő (, b)-n Szükséges és elégséges feltételek: Legyen f : [, b] R, f C[, b], f D(, b) 1.:.) f monoton növekedő [, b]-n f 0(, b) n b.) f monoton csökkenő [, b]-n f 0(, b) n.: f szigorún monoton növekedő [, b]-n (I) és (II) (I):f 0[, b]-n (II): (c, d) [, b] : f (x) 0 3

4 Elégséges feltételek: Lgrnge középértéktétel ( x 1 < x b) [x 1, x ] : ρ (, b) : f(x 1 ) f(x ) f (ρ)(x 1 x ) előjelviszonyiból. Szükséges és elégséges feltételek: Bizonyítás nélkül megfontolhtó. 8.Tétel: A lokális szélsőérték létezésére vontkozó elsőrendű szükséges feltétel és elsőrendű elégséges feltétel. Szükséges: f R R, inf {D f }, f D, f-nek -bn lokális szélső értéke vn f () 0 Elégséges: f : (, b) R, f D(, b) és c (, b)-n z f (c) előjelet vált c lokális szélsőérték. Szükséges: Lokális mximumr: Tekintsük f(x) f() x x > : x < : f(x) f() 0 és x > 0 f(x) f() 0 és x < 0 f(x) f() x f(x) f() x 0 0 De: f D f +() f () f () f () 0 f(x) f() f x +0 x +() 0 f(x) f() f x +0 x () 0 Elégséges: () f c-ben előjelet vált ból +b δ > 0 : f (x) 0(x (c δ, c) n) f monoton csökkenő (c δ, c)-n f (x) 0(x (c δ, c) n) f monoton növekvő (c δ, c)-n c lokális minimum hely. (b) f c-ben előjelet vált +ból b: hsonlón ()-hoz. 9.Tétel: Az e x sinx (x R) primitív függvények előállítás. e x sin x dx 1 ex (sin x cos x) + c e x sin x dx e x ( cos x) e x ( cos x)dx e x cos x + e x cos x dx [ ] e x cos x + e x e x sin xdx e x (sin x cos x) e x sin dx e x sin x dx 1 ex (sin x cos x) + c 4

5 10.Tétel: A 1 x (x ( 1, 1)) primitív függvényeinek előállítás. 1 x dx rcsin x + x q x + c (x ( 1, 1)) Legyen x sin t g(t), g 1 (x) rcsin x t (t ( π ; π )) ekkor g (t) cost cos t x dx 1 sin t dt trcsin x trcsin x ( t sin t + + c) trcsin x rcsin x sin rcsin x cos rcsin x + 4 sin α x; cos α 1 sin α ( ( π 1 x α ; π )) rcsin x + x 1 x 1 + c x dx rcsin x + x q x + c (x ( 1, 1)) 11.Tétel: Oszcillációs összegek. Az itegrálhtóség jellemzése z oszcillációs összegekkel. Oszcillációs összeg: Legyen, b R, < b, f : [, b] R korlátos függvény, τ [, b] egy felosztás [, b]-nek, s(f, τ), S(f, τ) z f függvény τ-hoz trtozó lsó, ill. delső közelítő összege. Ekkor Ω(f, τ) : S(f, τ) s(f, τ) z f függvény τ felosztáshoz trtozó oszcillációs összege. Tétel: : : f R[, b] ε > 0, τ F ([, b]) : Ω)f, τ) < ε 0 I (f) I (f) S(f, τ) s(f, τ) Ω(f, τ) < ε ε > 0 I (f) I (f) f R[, b] I (f) I (f) : I sup tulljdonság ε, τ 1 F ([, b]) : I ε < s(f, τ 1 ) I inf tulljdonság ε, τ F ([, b]) : I s(f, τ ) < I Tekintsük τ τ 1 τ I ε < s(f, τ 1 ) s(f, τ) S(f, τ) S(f, τ ) < I + ε Ω(f, τ) < ε 1.Tétel: Folytonos függvény integrálhtó. H f : [, b] Rfolytonos friemnn integrálhtó. f C[, b] Heine tetel f egyenletesen folytonos [, b]-n ε > 0, δ > 0 : x x < δ : f(x ) f(x ) < ε Legyen ε > 0rögzített és τ : {x 0,..., x n } F ([, b]) : x k x k 1 < δ (k 1,..., n) ( ) Ω(f, τ) sup f inf f (x i x i 1 ) i1 [x i,x i 1] [x i,x i 1] (( ) ) i1 sup [x i,x i 1] f inf f [x i,x i 1] sup f(x) f(y) (x i x i 1 ) ( ) ε ( ) sup f(x) f(y), x, y [x i, x i 1 ] 5 (x i x i 1 ) ε(b ) f R[, b] i1

6 13.Tétel: Monoton függvény integrálhtó. (oszcillációs összegekkel) H f : [, b] R függvény monoton [, b]-n f [, b] Tfh. f monoton növekedő és τ {x i } F ([, b]) m i inf f f(x i 1) és M i sup f f(x i ) [x i 1,x i] [x i 1,x i] Ω(f, τ) M i (x i x i 1 ) i1 m i (x i x i 1 ) i1 (f(x i ) f(x i 1 )) (x i x i 1 ) i1 mx 1 i n (x i x i 1 ) (f(x i ) f(x i 1 )) < ε h i1 ε mx (x i x i 1 ) δ < i f(b) f() 14.Tétel: Newton-Leibniz-tétel. g R[, b] és g-nek primitív függvénye b g G(b) G() [G(x)] b (F : Az fprimitív függvénye) Legyen τ : { x 0 < x 1 <... < x n b} F ([, b]) G(b) G() G(x n ) g(x 0 ) (G(x n ) G(x n 1 )) + (G(x n 1 ) G(x n )) (G(x 1 ) G(x 0 )) G (ρ i )(x i x i 1 ) g(ρ i )(x i x i 1 ) τ (ρ [x i 1, x i ]) Lgrnge k.e.t. i1 s(g, τ) G(b) G() i1 g(ρ i )(x i x i 1 ) S(g, τ) τ I (g) G(b) G() I (g) i1 g R[, b] I (g) I (g) b G(b) G() b 6