ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA"

Átírás

1 ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szbdon felhsználhtó. 1

2 1. Korlátos zárt intervllumon értelmezett függvény korlátos is. f : [, b] : R folytonos függvény korlátos is. f korlátos K > 0 : x [, b] : f(x) K Indirekt: K > 0 : x [, b] : f(x) > K Legyen K = n n N, x n [, b] : f(x n ) > n Tekintsük z x n soroztot! x n [, b] (x n ) korlátos kiválszthtó konvergens (x n k ) részsorozt. Bolzno W eiestrss Legyen α = lim x nk. Ekkor: α [, b], ugynis indirekt, tfh. α / [, b]. Ekkor K ε (α), K ε (α) [, b] = De ε-hoz k 0, k k 0 : x nk K ε (α) hiszen x nk [, b] α [, b] f folytonos f C (α). Ekkor lim x nk = α mitt f(x nk ) = f(α) (átviteli elv mitt) f(x nk ) sorozt konvergens f(x nk ) korlátos hiszen f(x nk ) > n k (f(x nk )) nem korlátos.. 2. A Weierstrss-tétel. f : [, b] R folytonos függvénynek bszolút mximum/minimum. Mivel f [, b] R folytonos, így f korlátos. Ekkor: M = sup{f(x) : x [, b]} R m = inf{f(x) : x [, b]} R Igzoljuk, hogy α [, b] : f(α) = M! M szuprémum n, y n R f : M 1 < y n n M x n [, b] f(x n ) = y n lim y n = lim f(x n ) = M x n korlátos kiválszhtó konvergens x nk részsorozt. Legyen α = lim x nk! f folytonos f C (α) lim x nk = α lim f(x nk ) = f(α) De lim f(x n ) = M lim f(x nk ) = M lim f(x nk ) = M = f(α) M z bszolút mximum érték. Minimum ugynígy.. 2

3 3. Bolzno-tétel. f : [, b] R folytonos függvény. H f() f(b) < 0, kkor ξ [, b] : f(ξ) = 0. Tegyük fel hogy f() < 0, f(b) > 0, Legyen [x 0, y 0 ] = [, b] és z 0 = +b 2 1. eset : f(z 0 ) = 0 2. eset : f(z 0 ) < 0 Legyen [x 1, y 1 ] = [z 0, y 0 ] 3. eset : f(z 0 ) > 0 Legyen [x 1, y 1 ] = [x 0, z 0 ] Ezt z eljárást folyttv vgy kpunk egy ξ [, b]-t, úgy hogy f(ξ) = 0 vgy nem. Ekkor definiáltunk egy [x n, y n ] intervllum soroztot, melyre igz: i, [x n+1, y n+1 ] [x n, y n ] ii, f(x n ) < 0, f(y n ) > 0 (b ) iii, y n x n = 2 n Cntor tuljdonság mitt ξ n=0[x n, y n ] y n x n 0! ξ n=0[x n, y n ], ugynis 0 y n ξ y n x n 0, tehát lim y n = ξ, hsonlón lim x n = ξ Mivel f folytonos f C (ξ) Az átviteli elv mitt lim f(y n ) = f(ξ), lim f(x n ) = f(ξ) De f(x n ) < 0, f(y n ) > 0 f(ξ) 0, f(ξ) 0 f(ξ) = Heine-tétel f : [, b] R folytonos f egyenletesen folytonos. Indirekt: Tegyük fel hogy f nem egyenletesen folytonos ε > 0, δ > 0, x, y [, b], x y < δ : f(x) f(y) ε Legyen δ = 1 ε > 0, δ = 1, x n n n, y n [, b], x n y n < δ = 1 : f(x n n) f(y n ) ε Tekintsük z (x n ) : N [, b] soroztot (x n ) korlátos (x n k ) konver- Bolz. W eis.tetel gens részsorozt. Legyen α = lim x nk α [, b] y nk α < y nk x nk + x nk α y nk α < 1 n k x nk α 0 lim y nk = α f folytonos f C (α) lim f(x nk ) = f(α) és lim f(y nk ) = f(α) tv.elv lim(f(x nk ) f(y nk )) = 0 lim f(x nk ) f(y nk ) = 0 f(x nk ) f(y nk ) ε f egyenletesen folytonos.. 3

4 5. Folytonos invertálhtó függvény jellemzése monotonítássl. f : [, b] R folytonos, f 1 f szigorún monoton. Tegyük fel, hogy f() < f(b) és igzoljuk, hogy f szigorún monoton. Igzoljuk, hogy f() = min f [,b] f(b) = mx f [,b] Indirekt: Tegyük fel, hogy f() > min f [,b] Weierstrss tétel mitt α (, b) : f(α) = minf Tekintsük z f : [α, b] R [,b] ξ (α, b) : f(ξ) = f(), hiszen f() (f(α), f(b)) f 1 Bolz. A mximumr ugynígy. Tegyük fel, hogy x 1 < x 2 b és f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) (f(x 2 ), f(b)) Tekintsük z f : [x 2, b] R Bolz. ξ (x 2, b) : f(ξ) = f(x 1 ) mert f Differenciálhtó függvények összege, szorzt, hánydos. f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor i, f + g D() és (f + g) () = f () + g () ii, fg D() és (fg) () = f ()g() + f()g (). iii, H g() 0, kkor f/g D() és (f/g) () = f ()g() f()g (). g 2 () i, D f+g = D f D g, int (D f D g ) = int D f+g (f + g)(x) (f + g)() f(x) + g(x) f() g() = = f(x) f() g(x) g() = + f () + g () x (fg)(x) (fg)() f(x)g(x) f()g() ii, = = f(x)g(x) f()g(x) + f()g(x) f()g() = f(x) f() g(x) g() = g(x) + f() g()f () + f()g () mert g C () g(x) g() x ( ) 1 iii, Igzoljuk, hogy () = g () g g 2 () 1 (x) 1() 1 g g = 1 g(x) g() = g() g(x) = g()g(x)() = ( ) ( f () = f 1 g g = f ()g() f()g () g 2 () 1 g(x) g() 1 g()g(x) g 2 () g () x ) () = f () 1 g() + f() 1 g () = f () g() f() g () g 2 () =. 4

5 7. A differenciálszámítás középértéktételei( Rolle-, Cuchy-, Lgrnge-tétel). Rolle-tétel f C [, b], f D(, b), f() = f(b). Ekkor ξ (, b) : f (ξ) = 0. f C [, b], Weierstrss mitt bszolút minimum és bszolút mximum. Legyen α, β [, b] : f(α) = minf = m, f(β) = mxf = M 3 eset lehetséges: [,b] [,b] 1. eset: m = M f = m [, b]-n f = 0 (, b)-n 2. eset: m < M, m f() = f(b) Ekkor α (, b) hiszen α α b f-nek α-bn lokális minimum vn f (α) = 0 3. eset: m < M, m = f() = f(b) M f() = f(b) f(β) = M β = β b β (, b) f-nek β-bn lokális mximum vn f (β) = 0. Cuchy-tétel f, g C [, b], f, g D(, b), g (x) 0, h x (, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : g(b) g() = f (ξ) g (ξ). g(b) g() hiszen különben Rolle tétele mitt ξ (, b) : g (ξ) = 0 Visszvezetjük Rolle tételre: Legyen F = f λg, válsszuk meg λ R-t, hogy lklmzhssuk Rolle-tételt. F C [, b], F D(, b) nyílván. F (b) = F (). f(b) λg(b) = f() λg() f(b) f(). Legyen ez λ. Rolle tétele mitt: g(b) g() ξ (, b) : F (ξ) = 0 f (ξ) λg (ξ) = 0 λ = f (ξ) g (ξ) = f (ξ) g (ξ). Lgrnge-tétel f C [, b], f D(, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : = f (ξ). b f(b) f() g(b) g() = Legyen g(x) = x Cucy-féle középérték tételben. Ekkor g (x) = 1. 5

6 8. A monotonitásr vontkozó elégséges, szükséges és elégséges feltételek. Monotonításr vontkozó elégséges feltétel f D(, b). Ekkor i, f 0 (, b)-n f monoton nő ii, f > 0 (, b)-n f szigorún monoton nő iii, f 0 (, b)-n f monoton csökken iv, f < 0 (, b)-n f szigorún monoton csökken. i, Legyen [x 1, x 2 ] (, b) f C [x 1, x 2 ], f D(x 1, x 2 ) ξ (x 1, x 2 ) : f(x 2 ) f(x 1 ) = Lgrnge = f (ξ)(x 2 x 1 ) 0 f(x 2 ) f(x 1 ) h x 2 > x 1 f monoton nő. ii, iii, iv, esetet hsonlón. Monotonításr vontkozó szükséges és elégséges feltétel f D(, b). Ekkor i, f monoton nő f 0 (, b)-n ii, f szigorún monoton nő f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. iii, f monoton csökken f 0 (, b)-n iv, f szigorún monoton csükken f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. i, : Tegyük fel, hogy f monoton nő. Legyen ξ (, b) tetszőleges. f f(x) f(ξ) (ξ) = lim 0, h x > ξ és h x < ξ f 0 (, b)-n. x ξ x ξ : Előző tétel. ii, : Tegyük fel, hogy f szigorún monoton nő f monoton nő f 0 (, b)-n f szigorún monoton c < d, f(c) = f(d) (c, d) (, b) : f = E (c, d)-n (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n : f 0 f monoton nő. H f nem szigorún monoton nő, kkor c, d (, b) : f(c) = f(d) f = E (c, d)-n (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. Másik két pontot hsonlón. 6

7 9. A primitív függvény létezésére vontkozó szükséges feltétel. H f : I R függvénynek létezik primitív függvénye, kkor f Drboux tuljdonságú, zz, b I, < b, c (f(), f(b)) ξ (, b) : f(ξ) = c. Tegyük fel, hogy f() < f(b), legyen f primitív függvénye F, f 1 := f c f 1 -nek is létezik primitív függvénye: F 1 (x) = F (x) cx, hiszen F 1(x) = F (x) c = f(x) c = f 1 (x) f 1 () = f() c < 0 F 1() < 0 és f 1 (b) = f(b) c > 0 F 1(b) > 0 F 1() F 1 (x) F 1 () = lim < 0 δ > 0, x (, + δ) : F 1(x) F 1 () < 0 x +0 F 1 (x) < F 1 () x (, + δ) F 1(b) F 1 (x) F 1 (b) = lim > 0 δ > 0, x (b δ, b) : F 1(x) F 1 (b) > 0 x b 0 x b x b F 1 (x) < F 1 (b) x (b δ, b) F 1 D(I) F 1 C [, b]. Weierstrss tétel mitt létezik bszolút minimum, zz ξ, ξ b ξ (, b) ξ lokális minimum is ξ [, b] : F 1 (ξ) = min F 1 [,b] F 1(ξ) = 0 f 1 (ξ) = 0 f(ξ) c = Az integrálhtóság jellemzése z oszcilllációs összegekkel. f R[, b] ε > 0 τ inf [, b] : Ω(f, τ) < ε., Tegyük fel, hogy Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) < ε s(f, τ) I f I f S(f, τ) I f I f < ε. ε tetszőleges I f = I f, f R[, b], zz I f = I f = I f I f = sup{s(f, τ) : τ F [, b]} ε > 0 τ 1 F [, b] : If ε 2 < s(f, τ 1) If I f = inf{s(f, τ) : τ F [, b]} ε > 0 τ 2 F [, b] : If S(f, τ 2 ) < If + ε 2 Legyen τ = τ 1 τ 2 If ε 2 < s(f, τ 1) s(f, τ) If S(f, τ) S(f, τ 2 ) < If + ε 2 Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) < ε. 11. Az integrálhtóság jellemzése lsó és felső közelítő összegek htárértékével. f R[, b] és b f = I (τ n ) felosztássorozt, hogy lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I., H f R[, b], kkor n-re τ n F [, b] : If 1 < s(f, τ n n) < S(f, τ n ) < If + 1 n lim If 1 = If lim s(f, τ n n n) = lim S(f, τ n ) = If = I n n, Tegyük fel, hogy (τ n ), lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I Mivel s(f, τ n ) I f I f S(f, τ n ), ezért I f = I f = I f R[, b]. 7

8 12. Folytonos függvény integrálhtó. C [, b] R[, b]. f C [, b] f egyenletesen folytonos ε > 0 δ > 0 : x, y [, b], heine x y < δ : f(x) f(y) < ε. Legyen τ F [, b] olyn, hogy τ < δ hol τ := mx{x i x i 1, i = 1... n} felbontás finomság. Ω(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) = n sup f(x) f(y) (x i x i 1 ) úgy, hogy [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] x, y [x i 1, x i ]. Ekkor x y x i x i 1 < δ f(x) f(y) < ε Ω(f, τ) n ε(x i x i 1 ) = ε(b ) ε > 0 τ F [, b] : Ω(f, τ) ε(b ). 13. Monoton függvény integrálhtó. f : [, b] R monoton függvény A R[, b]. δ > 0-t később megválsztjuk. Legyen τ F [, b] úgy, hogy τ < δ. Tegyük fel, hogy f monoton. Ekkor Ω(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) = [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] n (f(x i ) f(x i 1 ))(x i x i 1 ) δ n (f(x i ) f(x i 1 )) = ε δ(f(x n ) f(x 0 )) = δ(f(b) f()) = ε, hcsk δ := f(b) f(). ε > 0 τ : Ω(f, τ) < ε f R[, b]. H f() = f(b), kkor f konstns. 14. A Newton-Leibniz-tétel. Tegyük fel, hogy f R[, b] és f-nek F primitív függvénye. Ekkor b f = F (b) F (). τ F [, b], τ = {x 0, x 1,... x n } F (b) F () = F (x n ) F (x n 1 ) + F (x n 1 ) F (x n 2 ) + + F (x 1 ) F (x 0 ) = = n (F (x i ) F (x i 1 )) F D(, b) A Lgrnge tétel mitt ξ i [x i 1, x i ] : F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ I )(x i x i 1 ) = f(ξ i )(x i x i 1 ) F (b) F () = = n f(ξ i )(x i x i 1 ) s(f, τ) n f(ξ i )(x i x i 1 ) S(f, τ) s(f, τ) F (b) F () S(f, τ) b f = sup s(f, τ) F (b) F () τ F [,b] inf τ F [,b] b S(f, τ) = f b f = F (b) F (). Felhsznált irodlom - ELTE IK progrmtervezői informtikus szk 2012 őszi féléves Anlízis II. elődás lpján írt óri jegyzetem 8

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és

Részletesebben

1. Halmazelméleti alapok

1. Halmazelméleti alapok 1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,

Részletesebben

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák

Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok 7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév Mtemtik BSc tnárszk Anlízis IV. elődásjegyzet 2010/2011. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 2011. október 11. ii Trtlomjegyzék Előszó v 1. Differenciálegyenletek

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

Analízis 5. Előadásjegyzet

Analízis 5. Előadásjegyzet Anlízis 5. Elődásjegyzet Oláh Gábor oliks.g@gmil.com Jnury, 9 A jegyzet z ELTÉ-n 8-9 őszi félévében elhgzott elődás lpján készült. Az elődó Simon Péter. A jegyzet szbdon terjeszthető, zonbn kérek mindenkit,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

4. Absztrakt terek elmélete

4. Absztrakt terek elmélete 56 MAM112M elődásjegyzet, 2008/2009 4. Absztrkt terek elmélete 4.1. Lineáris terek 4.1. Definíció. Az X hlmzt lineáris térnek vgy vektortérnek nevezzük vlós számtest (komplex számtest) felett, h bármely

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési

Részletesebben

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS SIKOLYA ESZTER 1. Primitív üggvény Legyen I tetszőleges intervllm (korlátos vgy nem korlátos, nyílt, zárt, élig nyílt stb.). Jelölje C(I) z I intervllmon értelmezett olytonos üggvények

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Differenciálszámítás normált terekben

Differenciálszámítás normált terekben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

AZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA

AZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA ÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYGYTM TRMÉSZTTUDOMÁNY KAR LTTNR TÍMA AZ NTGRÁLLMÉLT FJLŐDÉS RMANN ÓTA BSc szkdolgozt ALKALMAZOTT MATMATKUS SZAKRÁNY TÉMAVZTŐ: LÓCZ LAJOS ADJUNKTUS, NUMRKUS ANALÍZS TANSZÉK 1 TARTALOM

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben