ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

Átírás

1 ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0 Unported Licenc feltételeinek megfelelően szbdon felhsználhtó. 1

2 1. Korlátos zárt intervllumon értelmezett függvény korlátos is. f : [, b] : R folytonos függvény korlátos is. f korlátos K > 0 : x [, b] : f(x) K Indirekt: K > 0 : x [, b] : f(x) > K Legyen K = n n N, x n [, b] : f(x n ) > n Tekintsük z x n soroztot! x n [, b] (x n ) korlátos kiválszthtó konvergens (x n k ) részsorozt. Bolzno W eiestrss Legyen α = lim x nk. Ekkor: α [, b], ugynis indirekt, tfh. α / [, b]. Ekkor K ε (α), K ε (α) [, b] = De ε-hoz k 0, k k 0 : x nk K ε (α) hiszen x nk [, b] α [, b] f folytonos f C (α). Ekkor lim x nk = α mitt f(x nk ) = f(α) (átviteli elv mitt) f(x nk ) sorozt konvergens f(x nk ) korlátos hiszen f(x nk ) > n k (f(x nk )) nem korlátos.. 2. A Weierstrss-tétel. f : [, b] R folytonos függvénynek bszolút mximum/minimum. Mivel f [, b] R folytonos, így f korlátos. Ekkor: M = sup{f(x) : x [, b]} R m = inf{f(x) : x [, b]} R Igzoljuk, hogy α [, b] : f(α) = M! M szuprémum n, y n R f : M 1 < y n n M x n [, b] f(x n ) = y n lim y n = lim f(x n ) = M x n korlátos kiválszhtó konvergens x nk részsorozt. Legyen α = lim x nk! f folytonos f C (α) lim x nk = α lim f(x nk ) = f(α) De lim f(x n ) = M lim f(x nk ) = M lim f(x nk ) = M = f(α) M z bszolút mximum érték. Minimum ugynígy.. 2

3 3. Bolzno-tétel. f : [, b] R folytonos függvény. H f() f(b) < 0, kkor ξ [, b] : f(ξ) = 0. Tegyük fel hogy f() < 0, f(b) > 0, Legyen [x 0, y 0 ] = [, b] és z 0 = +b 2 1. eset : f(z 0 ) = 0 2. eset : f(z 0 ) < 0 Legyen [x 1, y 1 ] = [z 0, y 0 ] 3. eset : f(z 0 ) > 0 Legyen [x 1, y 1 ] = [x 0, z 0 ] Ezt z eljárást folyttv vgy kpunk egy ξ [, b]-t, úgy hogy f(ξ) = 0 vgy nem. Ekkor definiáltunk egy [x n, y n ] intervllum soroztot, melyre igz: i, [x n+1, y n+1 ] [x n, y n ] ii, f(x n ) < 0, f(y n ) > 0 (b ) iii, y n x n = 2 n Cntor tuljdonság mitt ξ n=0[x n, y n ] y n x n 0! ξ n=0[x n, y n ], ugynis 0 y n ξ y n x n 0, tehát lim y n = ξ, hsonlón lim x n = ξ Mivel f folytonos f C (ξ) Az átviteli elv mitt lim f(y n ) = f(ξ), lim f(x n ) = f(ξ) De f(x n ) < 0, f(y n ) > 0 f(ξ) 0, f(ξ) 0 f(ξ) = Heine-tétel f : [, b] R folytonos f egyenletesen folytonos. Indirekt: Tegyük fel hogy f nem egyenletesen folytonos ε > 0, δ > 0, x, y [, b], x y < δ : f(x) f(y) ε Legyen δ = 1 ε > 0, δ = 1, x n n n, y n [, b], x n y n < δ = 1 : f(x n n) f(y n ) ε Tekintsük z (x n ) : N [, b] soroztot (x n ) korlátos (x n k ) konver- Bolz. W eis.tetel gens részsorozt. Legyen α = lim x nk α [, b] y nk α < y nk x nk + x nk α y nk α < 1 n k x nk α 0 lim y nk = α f folytonos f C (α) lim f(x nk ) = f(α) és lim f(y nk ) = f(α) tv.elv lim(f(x nk ) f(y nk )) = 0 lim f(x nk ) f(y nk ) = 0 f(x nk ) f(y nk ) ε f egyenletesen folytonos.. 3

4 5. Folytonos invertálhtó függvény jellemzése monotonítássl. f : [, b] R folytonos, f 1 f szigorún monoton. Tegyük fel, hogy f() < f(b) és igzoljuk, hogy f szigorún monoton. Igzoljuk, hogy f() = min f [,b] f(b) = mx f [,b] Indirekt: Tegyük fel, hogy f() > min f [,b] Weierstrss tétel mitt α (, b) : f(α) = minf Tekintsük z f : [α, b] R [,b] ξ (α, b) : f(ξ) = f(), hiszen f() (f(α), f(b)) f 1 Bolz. A mximumr ugynígy. Tegyük fel, hogy x 1 < x 2 b és f(x 1 ) > f(x 2 ) f(x 1 ) (f(x 2 ), f(b)) Tekintsük z f : [x 2, b] R Bolz. ξ (x 2, b) : f(ξ) = f(x 1 ) mert f Differenciálhtó függvények összege, szorzt, hánydos. f, g R R, int (D f D g ), f, g D() Ekkor i, f + g D() és (f + g) () = f () + g () ii, fg D() és (fg) () = f ()g() + f()g (). iii, H g() 0, kkor f/g D() és (f/g) () = f ()g() f()g (). g 2 () i, D f+g = D f D g, int (D f D g ) = int D f+g (f + g)(x) (f + g)() f(x) + g(x) f() g() = = f(x) f() g(x) g() = + f () + g () x (fg)(x) (fg)() f(x)g(x) f()g() ii, = = f(x)g(x) f()g(x) + f()g(x) f()g() = f(x) f() g(x) g() = g(x) + f() g()f () + f()g () mert g C () g(x) g() x ( ) 1 iii, Igzoljuk, hogy () = g () g g 2 () 1 (x) 1() 1 g g = 1 g(x) g() = g() g(x) = g()g(x)() = ( ) ( f () = f 1 g g = f ()g() f()g () g 2 () 1 g(x) g() 1 g()g(x) g 2 () g () x ) () = f () 1 g() + f() 1 g () = f () g() f() g () g 2 () =. 4

5 7. A differenciálszámítás középértéktételei( Rolle-, Cuchy-, Lgrnge-tétel). Rolle-tétel f C [, b], f D(, b), f() = f(b). Ekkor ξ (, b) : f (ξ) = 0. f C [, b], Weierstrss mitt bszolút minimum és bszolút mximum. Legyen α, β [, b] : f(α) = minf = m, f(β) = mxf = M 3 eset lehetséges: [,b] [,b] 1. eset: m = M f = m [, b]-n f = 0 (, b)-n 2. eset: m < M, m f() = f(b) Ekkor α (, b) hiszen α α b f-nek α-bn lokális minimum vn f (α) = 0 3. eset: m < M, m = f() = f(b) M f() = f(b) f(β) = M β = β b β (, b) f-nek β-bn lokális mximum vn f (β) = 0. Cuchy-tétel f, g C [, b], f, g D(, b), g (x) 0, h x (, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : g(b) g() = f (ξ) g (ξ). g(b) g() hiszen különben Rolle tétele mitt ξ (, b) : g (ξ) = 0 Visszvezetjük Rolle tételre: Legyen F = f λg, válsszuk meg λ R-t, hogy lklmzhssuk Rolle-tételt. F C [, b], F D(, b) nyílván. F (b) = F (). f(b) λg(b) = f() λg() f(b) f(). Legyen ez λ. Rolle tétele mitt: g(b) g() ξ (, b) : F (ξ) = 0 f (ξ) λg (ξ) = 0 λ = f (ξ) g (ξ) = f (ξ) g (ξ). Lgrnge-tétel f C [, b], f D(, b). Ekkor f(b) f() ξ (, b) : = f (ξ). b f(b) f() g(b) g() = Legyen g(x) = x Cucy-féle középérték tételben. Ekkor g (x) = 1. 5

6 8. A monotonitásr vontkozó elégséges, szükséges és elégséges feltételek. Monotonításr vontkozó elégséges feltétel f D(, b). Ekkor i, f 0 (, b)-n f monoton nő ii, f > 0 (, b)-n f szigorún monoton nő iii, f 0 (, b)-n f monoton csökken iv, f < 0 (, b)-n f szigorún monoton csökken. i, Legyen [x 1, x 2 ] (, b) f C [x 1, x 2 ], f D(x 1, x 2 ) ξ (x 1, x 2 ) : f(x 2 ) f(x 1 ) = Lgrnge = f (ξ)(x 2 x 1 ) 0 f(x 2 ) f(x 1 ) h x 2 > x 1 f monoton nő. ii, iii, iv, esetet hsonlón. Monotonításr vontkozó szükséges és elégséges feltétel f D(, b). Ekkor i, f monoton nő f 0 (, b)-n ii, f szigorún monoton nő f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. iii, f monoton csökken f 0 (, b)-n iv, f szigorún monoton csükken f 0 (, b)-n és (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. i, : Tegyük fel, hogy f monoton nő. Legyen ξ (, b) tetszőleges. f f(x) f(ξ) (ξ) = lim 0, h x > ξ és h x < ξ f 0 (, b)-n. x ξ x ξ : Előző tétel. ii, : Tegyük fel, hogy f szigorún monoton nő f monoton nő f 0 (, b)-n f szigorún monoton c < d, f(c) = f(d) (c, d) (, b) : f = E (c, d)-n (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n : f 0 f monoton nő. H f nem szigorún monoton nő, kkor c, d (, b) : f(c) = f(d) f = E (c, d)-n (c, d) (, b) : f = 0 (c, d)-n. Másik két pontot hsonlón. 6

7 9. A primitív függvény létezésére vontkozó szükséges feltétel. H f : I R függvénynek létezik primitív függvénye, kkor f Drboux tuljdonságú, zz, b I, < b, c (f(), f(b)) ξ (, b) : f(ξ) = c. Tegyük fel, hogy f() < f(b), legyen f primitív függvénye F, f 1 := f c f 1 -nek is létezik primitív függvénye: F 1 (x) = F (x) cx, hiszen F 1(x) = F (x) c = f(x) c = f 1 (x) f 1 () = f() c < 0 F 1() < 0 és f 1 (b) = f(b) c > 0 F 1(b) > 0 F 1() F 1 (x) F 1 () = lim < 0 δ > 0, x (, + δ) : F 1(x) F 1 () < 0 x +0 F 1 (x) < F 1 () x (, + δ) F 1(b) F 1 (x) F 1 (b) = lim > 0 δ > 0, x (b δ, b) : F 1(x) F 1 (b) > 0 x b 0 x b x b F 1 (x) < F 1 (b) x (b δ, b) F 1 D(I) F 1 C [, b]. Weierstrss tétel mitt létezik bszolút minimum, zz ξ, ξ b ξ (, b) ξ lokális minimum is ξ [, b] : F 1 (ξ) = min F 1 [,b] F 1(ξ) = 0 f 1 (ξ) = 0 f(ξ) c = Az integrálhtóság jellemzése z oszcilllációs összegekkel. f R[, b] ε > 0 τ inf [, b] : Ω(f, τ) < ε., Tegyük fel, hogy Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) < ε s(f, τ) I f I f S(f, τ) I f I f < ε. ε tetszőleges I f = I f, f R[, b], zz I f = I f = I f I f = sup{s(f, τ) : τ F [, b]} ε > 0 τ 1 F [, b] : If ε 2 < s(f, τ 1) If I f = inf{s(f, τ) : τ F [, b]} ε > 0 τ 2 F [, b] : If S(f, τ 2 ) < If + ε 2 Legyen τ = τ 1 τ 2 If ε 2 < s(f, τ 1) s(f, τ) If S(f, τ) S(f, τ 2 ) < If + ε 2 Ω(f, τ) = S(f, τ) s(f, τ) < ε. 11. Az integrálhtóság jellemzése lsó és felső közelítő összegek htárértékével. f R[, b] és b f = I (τ n ) felosztássorozt, hogy lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I., H f R[, b], kkor n-re τ n F [, b] : If 1 < s(f, τ n n) < S(f, τ n ) < If + 1 n lim If 1 = If lim s(f, τ n n n) = lim S(f, τ n ) = If = I n n, Tegyük fel, hogy (τ n ), lim s(f, τ n ) = lim S(f, τ n ) = I Mivel s(f, τ n ) I f I f S(f, τ n ), ezért I f = I f = I f R[, b]. 7

8 12. Folytonos függvény integrálhtó. C [, b] R[, b]. f C [, b] f egyenletesen folytonos ε > 0 δ > 0 : x, y [, b], heine x y < δ : f(x) f(y) < ε. Legyen τ F [, b] olyn, hogy τ < δ hol τ := mx{x i x i 1, i = 1... n} felbontás finomság. Ω(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) = n sup f(x) f(y) (x i x i 1 ) úgy, hogy [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] x, y [x i 1, x i ]. Ekkor x y x i x i 1 < δ f(x) f(y) < ε Ω(f, τ) n ε(x i x i 1 ) = ε(b ) ε > 0 τ F [, b] : Ω(f, τ) ε(b ). 13. Monoton függvény integrálhtó. f : [, b] R monoton függvény A R[, b]. δ > 0-t később megválsztjuk. Legyen τ F [, b] úgy, hogy τ < δ. Tegyük fel, hogy f monoton. Ekkor Ω(f, τ) = n ( sup f inf f)(x i x i 1 ) = [x i 1,x i ] [x i 1,x i ] n (f(x i ) f(x i 1 ))(x i x i 1 ) δ n (f(x i ) f(x i 1 )) = ε δ(f(x n ) f(x 0 )) = δ(f(b) f()) = ε, hcsk δ := f(b) f(). ε > 0 τ : Ω(f, τ) < ε f R[, b]. H f() = f(b), kkor f konstns. 14. A Newton-Leibniz-tétel. Tegyük fel, hogy f R[, b] és f-nek F primitív függvénye. Ekkor b f = F (b) F (). τ F [, b], τ = {x 0, x 1,... x n } F (b) F () = F (x n ) F (x n 1 ) + F (x n 1 ) F (x n 2 ) + + F (x 1 ) F (x 0 ) = = n (F (x i ) F (x i 1 )) F D(, b) A Lgrnge tétel mitt ξ i [x i 1, x i ] : F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ I )(x i x i 1 ) = f(ξ i )(x i x i 1 ) F (b) F () = = n f(ξ i )(x i x i 1 ) s(f, τ) n f(ξ i )(x i x i 1 ) S(f, τ) s(f, τ) F (b) F () S(f, τ) b f = sup s(f, τ) F (b) F () τ F [,b] inf τ F [,b] b S(f, τ) = f b f = F (b) F (). Felhsznált irodlom - ELTE IK progrmtervezői informtikus szk 2012 őszi féléves Anlízis II. elődás lpján írt óri jegyzetem 8