GAZDASÁGI MATEMATIKA I.
|
|
- Gabi Vörös
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z A hlmznk) ill. b / A (b nem eleme z A hlmznk). Egy hlmz kkor dott, h minden objektumról el tudjuk dönteni, hogy eleme hlmznk vgy nem z. Hlmzok megdási módji: felsorolás pl. A = {2, 3, 5, 7, } (z els 5 prímszámból álló hlmz), ismert hlmz dott tuljdonságú elemeinek megdás pl. A = { n N : n páros } hol N természetes számok hlmz, melyet ismertnek tekintünk. Definíciók. Azt hlmzt melynek egyetlen eleme sincs üres hlmznk nevezzük és -tel jelöljük. Az A és B hlmzokt egyenl nek nevezzük, h elemei ugynzok. Ezt A = B-vel jelöljük, tgdását A B jelöli. Azt mondjuk, hogy z A hlmz részhlmz B hlmznk, h A minden eleme eleme B-nek. Jelölése: A B. Ezt úgy is írhtjuk, hogy B A, ezt úgy olvssuk, hogy B trtlmzz z A hlmzt. Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmznk, h A B és A B. Megjegyzések. Denícióinkt, állításinkt egyszer bben foglmzhtjuk meg mtemtiki logik jeleinek hsználtávl. Ítélet (állítás) ltt olyn kijelentést értünk melyr l egyértelm en eldönthet, hogy igz (i) vgy hmis (h). Állításokból újbb állításokt kphtunk z 5 logiki m velet (negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekivivlenci) segítségével. Legyenek P, Q állítások. A logiki m veletek deníciói: P (nem P, vgy P tgdás) kkor és cskis kkor igz, h P hmis. P Q (P és Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q is igz. P Q (P vgy Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q leglább egyike igz. P = Q (P -b l következik Q)kkor és cskis kkor igz h P hmis vgy h Q igz. P Q (P ekvivlens Q-vl) kkor és cskis kkor igz h P és Q vgy mindketten igzk vgy mindketten hmisk. P = Q esetén zt mondjuk, hogy P elegend Q teljesüléséhez, vgy Q szükséges P teljesüléséhez. Beláthtó, hogy (P = Q) ( Q = P ) P Q esetén zt mondjuk, hogy P szükséges és elegend Q teljesüléséhez. Hsználjuk még logiki kvntorokt: univerzális kvntor : x = minden x-re
2 2 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ egzisztenciális kvntor : x = létezik x E jelölések segítségével pl. A = B ( x)((x A = x B) (x B = x A)), A B ( x)(x A = x B). M veletek hlmzokkl. Célszer vizsgált hlmzokt egy X lphlmz részhlmzink tekinteni. Definíciók. A B := { x X : x A vgy x B } z A és B hlmzok uniój vgy egyesítése A B := { x X : x A és x B } z A és B hlmzok metszete vgy közös része A \ B := { x X : x A és x / B } z A és B hlmzok különbsége A := X \ A z A hlmz komplementere,, \ binér (kétváltozós) m veletek, komplementerképzés unér (egyváltozós) m velet. Az A és B hlmzokt diszjunkt nk nevezzük, h metszetük üres. Állítás. Tetsz leges A, B, C X hlmzokr teljesülnek z lábbi tuljdonságok. A B = B A, A (B C) = (A B) C, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A A = A, A A = A, A B = A B, A B = A B. A felsorolt tuljdonságok nevei rendre (zz felsorolás sorrendjében) z unió ill. metszetképzésre vontkozó kommuttivitás, sszocitivitás, disztributivitás, idempotenci, és de Morgn féle zonosságok. A hlmzm veletek zonossági z un. Venn digrmmokkl szemléltethet k. Definíciók. Hlmzrendszer (vgy hlmzcslád) ltt olyn (nemüres) hlmzt értünk, melynek elemi hlmzok. H I egy (nemüres) hlmz és minden i I elemhez meg vn dv egy A i vel jelölt hlmz, kkor z A = { A i : i I } hlmzrendszert I-vel indexelt hlmzrendszer nek nevezzük, I neve indexhlmz. Egy R hlmzrendszer unióját és metszetét R := { x : A R úgy hogy x A }, R := { x : A R mellett x A } deniálj. H R = A = { A i : i I } egy I hlmzzl indexelt hlmzrendszer, kkor z unióját és metszetét, -vel szokás jelölni. i I i I
3 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3.2 Relációk Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorzt án (vgy direkt szorztán) e hlmzok elemeib l képezett összes (, b) rendezett párok hlmzát értjük, hol A, b B. Jelölésére z A B szimbólumot hsználjuk. Azz A B = { (, b) : A, b B }. Rendezett párok egyenl ségére megköveteljük zt, hogy (, b) = (c, d) kkor és cskis kkor h = c, b = d. Hsználjuk z A A = A 2 jelölést is. Megjegyezzük, hogy A B áltlábn nem egyenl B A-vl. Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztánk egy R A B részhlmzát z A és B hlmzok közötti (binér) relációnk nevezzük. H (, b) R kkor zt mondjuk, hogy z elem R relációbn vn b-vel. Ezt szokás R b-rel is jelölni. A = B esetén z A és B közötti relációt A-n értelmezett relációnk mondjuk. Az lábbikbn legfontosbb relációtípusok t tárgyljuk meg. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt ekvivlenci relációnk nevezzük, h R reexív, zz ( A) R szimmetrikus, zz (, b A) R b = b R trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Péld. Legyen A z els éves debreceni közgzdászhllgtók hlmz, és R b kkor és cskis kkor teljesüljön h z és b hllgtók ugynbbn hónpbn születtek. Ekkor R egy ekvivlenci reláció. Az összes hllgtók 2 osztályb sorolhtók (születési hónp szerint), bármely két osztályt véve zok vgy zonosk, vgy diszjunktk. Áltlábn is igz, hogy h R egy ekvivlenci reláció z A-n kkor z egymássl relációbn álló elemeket egy osztályb sorolv z A hlmz egy osztályozását kpjuk (zz A felbontását páronként diszjunkt hlmzok uniójr), és fordítv, A minden osztályozás megd egy ekvivlenci relációt, melynek osztályi éppen kiindulásként vett osztályok. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt féligrendezésnek nevezzük, h R reexív, zz ( A) R ntiszimmetrikus, zz (, b A) R b b R = = b trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt rendezésnek nevezzük, h R féligrendezés, és (, b A) R b b R. Példák. Egy X hlmz összes részhlmzin trtlmzási reláció féligrendezés. H A = R vlós számok hlmz, kkor rendezés. Definíciók. Tekintsük vlós számok R hlmzát rendezéssel és legyen A R. Az A hlmzt felülr l korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) fels korlát jánk nevezzük. Az A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) lsó korlát jánk nevezzük. Az A hlmzt korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos.
4 4 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Az s R számot z A hlmz pontos fels korlátjánk (vgy suprémumánk) nevezzük, h s z A fels korlátj A bármely s fels korlátjár s s. Jelölés s = sup A. Az i R számot z A hlmz pontos lsó korlátjánk (vgy inmumánk) nevezzük, h i z A lsó korlátj A bármely i lsó korlátjár i i. Jelölés i = inf A. Péld. Legyen A = {, 2, 3,... } természetes számok reciprokink hlmz. Akkor A korlátos és sup A =, inf A = 0. Definíció. Az A és B hlmzok között értelmezett F A B relációt z A hlmzon deniált függvénynek nevezzük, h minden A elemhez pontosn egy olyn b B elem létezik, melyre F b teljesül. Ilyenkor b = F () jelölést hsználjuk, függvény jelölésére pedig F : A B-t hsználjuk. D F = A z F függvény értelmezési trtomány (domin of F ). R F := { F () : A } z F függvény értékkészlete (rnge of F ). Definíciók. Az F : A B függvényt injektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm nek, invertálhtónk) nevezzük, h (, b A) b = F () F (b), vgy, mi ugynz (, b A)F () = F (b) = = b. Az F : A B függvényt szürjektívnek (vgy B-re képez nek) nevezzük, h R F = B. Az F : A B függvényt bijektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm en B-re képez nek) nevezzük, h injektív és szürjektív. Definíció. H F : A B injektív, kkor z F : R F A inverz függvényét z lábbi módon értelmezzük: tetsz leges b R F -hez létezik egyetlen egy A úgy, hogy b = F (), ekkor legyen F (b) :=. Röviden, F (b) = h F () = b. Azonnl láthtó, hogy F ( F (b) ) = F () = b h b R F, F (F ()) = h A. H F bijektív, kkor itt R F = B. 2. A VALÓS SZÁMOK 2. A vlós számok ximómrendszere Az R hlmzt vlós számok hlmzánk nevezzük, h teljesíti z lábbi 3 xiómcsoport xiómáit..testxiómák R-ben két m velet vn értelmezve, z
5 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 R R (x, y) x + y R R (x, y) x y összedás szorzás melyek teljesítik z lábbi xiómákt (melyeket testxiómáknk nevezünk). A szorzás jelét z lábbi xiómákbn kiírjuk, de továbbikbn nem, kivéve, h elhgyás félrértéshez vezetne. Az összedás xiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R)( x R) x + 0 = x, ( x R)( x R) x + ( x) = 0 A szorzás xiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( R, 0)( x R) x = x, ( x R, x 0)( x R) x x = Ezek z xiómák rendre z összedás ill. szorzás kommuttivitását, sszocitivitását, 0 ill. létezését, és z dditív ill. multipliktív inverz létezését fejezik ki. Megköveteljük szorzás disztributivitását z összedásr nézve, zz ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. 2. Rendezési xiómák R-en értelmezve vn egy ( R R) (olvsd kisebb vgy egyenl ) rendezési reláció (mely korábbn tárgylt) négy xiómát teljesíti, továbbá ( x, y, z R) (x y) = x + z y + z, ( x, y R) (0 x 0 y) = 0 x y. E tuljdonságokt z összedás és szorzás monotonitásánk nevezzük. H 0 x de 0 x(x R) kkor ezt 0 < x -szel (vgy x > 0-vl) jelöljük, és x -et pozitívnk mondjuk. x R-et negtívnk mondjuk, h x pozitív. 3. Teljességi xióm R ( rendezésre nézve) teljes, zz R bármely nemüres felülr l korlátos részhlmzánk vn pontos fels korlátj. Összefogllv, vlós számok R hlmz tehát egy teljes rendezett test. Megmutthtó, hogy létezik ilyen hlmz, és ez bizonyos értelemben egyértelm. A vlós számokt számegyenesen modellezhetjük. A testxiómákt felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x + y = x + z, kkor y = z; h xy = xz, x 0, kkor y = z; h x + y = x, kkor y = 0; h xy = x, x 0, kkor y = ; h x + y = 0, kkor y = x; h xy =, x 0, kkor y = x ; ( x) = x; h x 0, kkor ( x ) = x, továbbá 0x = 0; x 0, y 0 xy 0; ( x)y = (xy) = x( y); ( x)( y) = xy.
6 6 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ A rendezési és testxiómákt (rendezett test xiómáit) felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén A bizonyítássl gykorlton fogllkozunk mjd. x 0 kkor és cskis kkor, h x 0, h x 0, y z, kkor xy yz, h x 0, y z, kkor xy yz, h x 0, kkor x 2 > 0, speciálisn > 0, h 0 < x y, kkor 0 < y x, és x 2 y R nevezetes részhlmzi, bszolút érték, távolság Definíciók. Az N = {, 2, 3, 4... } hlmzt természetes számok hlmzánk nevezzük. Végiggondolv zt, hogy 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +,... dódik, hogy N R-nek z legsz kebb részhlmz, melyre teljesül, z, hogy N, h n N kkor n + N. Az, hogy N legsz kebb ilyen hlmz zt jelenti, hogy h egy M N-re is teljesülnek z M, és n M = n + M tuljdonságok, kkor M = N. A Z = {0, ±, ±2, ±3,... } hlmzt z egész számok hlmzánk nevezzük. A Q = { pq : p, q Z, q 0 } hlmzt rcionális számok hlmzánk nevezzük. Definíciók. Legyen < b (, b R). Az ], b[ := { x R : < x < b } [, b] := { x R : x b } ], b] := { x R : < x b } [, b[ := { x R : x < b } számhlmzokt rendre (véges) nyílt, zárt, blról nyílt jobbról zárt, blról zárt jobbról nyílt intervllumoknk nevezzük. [, ] := { x R : x } = {} elfjult (egyetlen pontból álló) zárt intervllum. Legyen, b R. Az ], [ := { x R : < x } [, [ := { x R : x } ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } ], [ := R számhlmzokt (végtelen) nyílt, blról zárt jobbról nyílt stb. intervllumoknk nevezzük. Definíció. Az { x h x 0 x := (x R) x h x < 0 számot z x vlós szám bszolút értékének nevezzük. Állítás. [z bszolút érték tuljdonsági] Bármely x, y R esetén x 0 és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y.
7 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 Az els tuljdonság nyilvánvló, többiek pl. esetszétválsztássl bizonyíthtók. További tuljdonságok: x y x y (x, y R), x x és hsonlón x < < x <. Definíció. Az x, y R számok távolságát d(x, y) := x y deniálj. Állítás. [ távolság tuljdonsági] Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0 és d(x, y) = 0 x = y, d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(z, y) nemnegtivitás szimmetri háromszög egyenl tlenség. E tuljdonságok egyszer en következnek z bszolút érték tuljdonságiból. 2.2 A teljességi xióm néhány következménye Tétel. Az R bármely nemüres lulról korlátos részhlmzánk vn pontos lsó korlátj. A bizonyításhoz legyen A R egy nemüres lulról korlátos hlmz, k lsó korláttl, és tekintsük B := { : A } hlmzt, kkor ( ) ( A = k )-ból következik, hogy k így B felülr l korlátos k fels korláttl, és fordítv. A teljességi xióm mitt létezik β := sup B. Könny belátni, hogy α := β = inf A z A-nk pontos lsó korlátj: ti. z el z ek lpján lsó korlát, és h α z A hlmz egy lsó korlátj, kkor α B-nek egy fels korlátj, így β α mib l α = β α. Tétel. A természetes számok hlmz felülr l nem korlátos. A bizonyításhoz tegyük fel, hogy N felülr l korlátos,így létezik z α := sup N szám, melyre ( n)(n N = n α). Mivel α < α így α nem lehet N fels korlátj, ezért vn olyn n 0 N melyre α < n 0 zz α < n 0 +. Mivel n 0 + N így α nem fels korlátj N-nek, mi ellentmondás. Indirekt bizonyítás t végeztünk: feltételeztük, hogy tétel állítás nem igz (ez z indirekt feltevés). Helyes következtetésekkel ellentmondást kptunk, ennek csk z lehet z ok, hogy indirekt feltevésünk nem igz, így nnk tgdás, zz tétel állítás igz. Következmény.[ vlós számok Archimedesi tuljdonság] Bármely x > 0 és y R számokhoz létezik olyn n N melyre y < nx. Ugynis y x nem fels korlátj N-nek, így vn olyn n N, hogy n > y x mib l nx > y. kkor Tétel. [Cntor féle metszettétel] H [ n, b n ] (n N) zárt egymásb sktulyázott intervllumok sorozt, zz [, b ] [ 2, b 2 ] [ 2, b 2 ]... [ n, b n ]. Röviden: zárt intervllumok egymásb sktulyázott soroztánk metszete nemüres. n=
8 8 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ A bizonyításhoz el ször jegyezzük meg, hogy n b n (n N) mivel [ n, b n ] intervllum, z egymásb sktulyázás pedig zt jelenti, hogy n n+ és b n+ b n E feltételekb l zonnl kpjuk, hogy bármely m, n N esetén n b m. (n N). Legyen A := { n : n N }, B := { b m : m N } kkor A felülr l korlátos (bármely b m (m N) fels korlátj, B pedig lulról korlátos (bármely n (n N) lsó korlátj. Így léteznek z α := sup A, β := inf B pontos korlátok. α deníciój mitt n α b m Ebb l láthtó, hogy α is lsó korlátj B-nek, ezért továbbá β deníciój mitt β b m Ezeket z egyenl tlenségeket összevetve kpjuk, hogy mi zt jelenti, hogy mint állítottuk. α β, (m, n N). (m N). n α β b n (n N) [α, β] Definíció. Az x R szám egész kitev s htványit [ n, b n ] n= x := x, x n+ := x n x (n N) továbbá x 0 :=, x n := (x 0, n N) xn -nel értelmezzük. A következ tétel szintén teljességi xióm segítségével igzolhtó ( bizonyítás megtlálhtó pl. W. Rudin, A mtemtiki nlízis lpji c. könyvében, M szki Könyvkidó, 975). Tétel. [n-edik gyök létezése] Bármely x 0 nemnegtív vlós számhoz és n N természetes számhoz pontosn egy olyn y 0 nemnegtív vlós szám létezik, melyre y n = x. Definíció. Az el z tétel állításábn szerepl y 0 számot z x 0 szám n-edik gyökének nevezzük, és n x vgy x n -nel jelöljük. H n páros, x 0 kkor n x z egyetlen olyn nempozitív szám melynek n-edik htvány x így ekkor y n = x y = n x y = n x. H n pártln, kkor negtív számokr is kiterjesztjük z n-edik gyök denícióját: n x := n x h x < 0. Ezek után lehet pozitív számok rcionális kitev s htványát értelmezni, z képlettel. x r := q x p hol x > 0, r = pq, p Z, q N
9 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 Igzolhtó hogy ez deníció korrekt (x r független r el állításától) és hogy htványozás szokásos tuljdonsági (rcionális kitev k esetén) teljes lnek. 2.3 Topológikus foglmk, Bolzno-Weierstrss tétel Definíció. Egy R pont ε > 0 sugrú (nyílt) környezetén K(, ε) := { x R : d(x, ) < ε } hlmzt értjük. Világos, hogy K(, ε) éppen z pontr nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ] ε, + ε[ nyílt intervllum. Definíciók. Legyen A R. Az R pontot z A hlmz bels pontjánk nevezzük, h -nk vn olyn környezete mely (teljesen) A-bn vn, zz ( ε > 0) (K(, ε) A). Az R pontot z A hlmz izolált pontjánk nevezzük, h A és -nk vn olyn környezete melyben nincs más A-beli pont, zz A (( ε > 0)(K(, ε) \ {}) A = ). Az R pontot z A hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn -tól különböz A-beli pont, zz ( ε > 0) (K(, ε) \ {}) A ). Az R pontot z A hlmz htárpontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn A-beli pont, és nem A-beli pont, zz ( ε > 0) ( K(, ε) A K(, ε) A ). A bels pont és z izolált pont mindig pontj hlmznk, torlódási és htárpont lehet hlmzpont, vgy nem hlmzpont. Definíciók. A R összes bels pontjink hlmzát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes htárpontjink hlmzát A htáránk nevezzük és A-rel jelöljük. Definíciók. Az A R hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj bels pont. Az A R hlmzt zártnk nevezzük, h komplementere nyílt. Péld. Legyen A := { : n N }. Htározzuk meg A bels, izolált, torlódási és htárpontjink n hlmzát. Továbbá htározzunk meg A belsejét, htárát, döntsük el, hogy nyílt vgy zárt hlmz-e! Megoldás. A-nk nincs bels pontj, minden pontj izolált, egyetlen torlódási pontj 0, htárpontji 0 és A pontji, A =, A = {0} A, z A hlmz sem nem nyílt, sem nem zárt. Állítás. Egy A R hlmz kkor és cskis kkor zárt, h trtlmzz összes torlódási pontját. Bizonyítás ld. gykorlt. Tétel. [Bolzno-Weierstrss tétel] Bármely korlátos végtelen számhlmznk vn torlódási pontj. Egy hlmzt végesnek mondunk, h üres, vgy h elemeinek szám egy természetes szám. Egy hlmzt végtelennek mondunk, h nem véges. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A R korlátos végtelen hlmz, kkor vn olyn [, b ] zárt intervllum, hogy A [, b ].
10 0 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Felezzük meg [, b ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 2, b 2 ]-vel jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz. Ezután felezzük meg [ 2, b 2 ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 3, b 3 ]-ml jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz, és így tovább. Az így kpott [ n, b n ] (n N) intervllumsorozt egymásb sktulyázott, ezért Cntor tétele mitt [ n, b n ]. n= Mivel z [ n, b n ] intervllum hossz b 2 tetsz leges kicsi, h n elég ngy, ezért z intervllumok metszete csk n egyetlen pontot trtlmzht, legyen ez z pont. Azt állítjuk, hogy torlódási pontj A-nk. Ugynis véve egy tetsz leges ε > 0 számot [ n, b n ] K(, ε) h n elég ngy. Ugynis válsszuk n-et olyn ngyr, hogy b n n < ε legyen, kkor [ n, b n ] mitt z [ n, b n ] intervllum minden pontjánk -tól vló távolság < ε így z intervllum pontji K(, ε)-bn vnnk. Mivel minden intervllumbn végtelen sok A-beli pont vn így K(, ε) trtlmz -tól különböz A-beli pontot. 3. SOROZATOK 3. Soroztok korlátosság, monotonitás, konvergenciáj Definíció. Egy f : N R függvényt (vlós szám)soroztnk nevezünk. H A egy dott hlmz és f : N A, kkor f-et A-beli (érték ) soroztnk nevezzük. Jelöléseink: f(n) = n sorozt n-edik eleme, f = ( n ) sorozt mg, { n : n N } sorozt értékkészlete. Sorozt megdás: képlettel pl. n = n (n N), rekurzív módon pl. =, és n+ = 2 + n szbállyl pl. n = n-edik prímszám. Definíciók. Az ( n ) soroztot felülr l korlátosnk lulról korlátosnk (n N), nevezzük, h értékészlete felülr l korlátos lulról korlátos. Azz, z ( n ) soroztot nevezzünk, hogy felülr l korlátosnk lulról korlátosnk k R fels korlátjánk nevezzük, h szám, melyet sorozt egy k R lsó korlátjánk ( n N) n k ( n N) n k. Az ( n ) soroztot korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos. Könny belátni, hogy egy n sorozt kkor és cskis kkor korlátos, h vn olyn K R hogy n K minden n N-re. Az ( n ) soroztot Az ( n ) soroztot monoton növekv nek monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ n ( n N) n+ n. szigorún monoton növekv nek szigorún monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ > n ( n N) n+ < n.
11 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Egy soroztot (szigorún) monotonnk mondunk, h (szigorún) monoton növekv vgy csökken. Péld. Legyen n := n (n N). Ez sorozt lulról korlátos (pl. k = 0 lsó korlát), és felülr l is korlátos (pl. k = fels korlát), így korlátos. Soroztunk szigorún monoton csökken. Az is igz, hogy n növekedésével n egyre közelebb kerül 0-hoz (jóllehet soh sem éri el 0-t). Pontosbbn, 0 kármilyen kis környezetét vesszük, zon belül vn soroztnk véges sok kivételével minden eleme. Definíciók. Az ( n ) soroztot konvergensnek nevezzük, h vn olyn R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn N(ε) R szám, hogy n < ε h n > N(ε). A számot sorozt htárérték ének (limeszének) nevezzük és z n (n ) vgy lim n n = jelölést hsználjuk. N(ε) z ε-hoz trtozó küszöbszám. Az ( n ) soroztot divergensnek nevezzük, h nem konvergens. Állítás. [ konvergenci környezetes átfoglmzás] Az ( n ) sorozt konvergens és htárértéke kkor és cskis kkor, h z pont bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Bizonyítás. H n (n ), kkor minden ε > 0 esetén vn olyn N(ε), hogy mi úgy is írhtó, hogy n < ε h n > N(ε), ε < n < + ε, zz n K(, ε) h n > N(ε). De ez zt jelenti, hogy K(, ε) környezeten belül vnnk z N(ε)-nél ngyobb index elemek, míg kívül csk z N(ε)-nél nem ngyobb index ek lehetnek, melyek szám éges. Fordítv, h minden ε > 0 esetén K(, ε) környezeten kívül csk véges sok elem vn, pl. p drb k, k2,..., kp elemek, kkor N(ε) := mx{k, k 2,..., k p } válsztássl n < ε h n > N(ε), zz soroztunk konvergens és htárértéke. Következmény. H egy soroztbn véges sok elemet tesz legesen megváltozttunk, soroztból véges sok elemet elhgyunk, sorozthoz véges sok elemet hozzáveszünk, kkor sem sorozt konvergenciáj (divergenciáj) sem htárértéke nem változik. Állítás. [ htárérték egyértelm sége] Konvergens soroztnk pontosn egy htárértéke vn. Indirekt bizonyítás. H z n (n ) soroztnk két htárértéke voln,, b( < b) kkor ε = b 3 válsztássl denícióból ellentmondásr jutunk. Példák. n = (n N) konvergens és htárértéke null. n n = ( ) n (n N) divergens. Tétel. [konvergenci és korlátosság kpcsolt] Konvergens sorozt korlátos. Vn olyn korlátos sorozt mely divergens (nem konvergens). Bizonyítás. ε = -gyel kpjuk, hogy n < h n > N(). Világos, hogy k := mx{ +, és K(, ) környezeten kívüli elemek }
12 2 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ sorozt fels korlátj, míg sorozt lsó korlátj. n = ( ) n (n N) korlátos de nem konverges. k := min{, és K(, ) környezeten kívüli elemek } Tétel. [konvergenci és monotonitás kpcsolt] Monoton növekv és felülr l csökken és lulról Bizonyítás. Tegyük fel pl. hogy ( n ) növekv felülr l korlátos, és legyen := sup{ n : n N }. korlátos sorozt konvergens. Véve egy ε > 0 számot ε nem fels korlátj soroztnk, így vn olyn n 0 N index, hogy n0 > ε. Legyen N(ε) := n 0, kkor n > N(ε) = n 0 esetén és ezt kellett bizonyítni. ε < n0 n < + ε zz n < ε 3.2 M veletek, rendezés és konvergenci kpcsolt Definíciók. H ( n ), (b n ) soroztok c R, kkor z ( n + b n ), ( n b n ), ( n b n ), (c n ), ( n ) soroztokt rendre z ( n ), (b n ) soroztok összegének, szorztánk, hánydosánk, z ( n ) c-szeresének, bszolút értékének nevezzük. A hánydos deníciójábn fel kell tennünk, hogy b n 0. Tétel. [konvergenci és m veletek kpcsolt] Konvergens soroztok összege, szorzt, hánydos (h értelmezve vn), konstnsszoros, bszolút értéke is konvergens, és e soroztok htárértékeinek összegéhez, szorztához, hánydosához, konstnsszorosához, bszolút értékéhez konvergál, zz h n, b n b (n ) kkor n + b n + b (n ), n b n b (n ), n b n b (n ), h b n, b 0, c n c (n ), n (n ). Bizonyítás. Itt csk z els állítást igzoljuk. Tetsz leges ε > 0 mellett n < ε 2 h n > N ( ε 2), és b n b < ε 2 h n > N 2 ( ε 2), mib l ( n + b n ) ( + b) < n + b n b < ε 2 + ε { ( ε ) ( ε )} 2 = ε h n > N(ε) := mx N, N 2 2 és ezt kellett igzolni. Tétel. [konvergenci és rendezés kpcsolt] () Konvergens sorozt jeltrtó, zz h n 0 (n ), kkor vn olyn n 0 R, hogy sg n = sg h n > n 0. (2) A konvergenci meg rzi monotonitást, zz h n b n (n N) és n, b n b (n ), kkor b. (3) Érvényes rend rtétel, zz h n, b n (n ) és n x n b n (n N), kkor (x n ) is konvergens és x n (n ).
13 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3 Az els állításbn sg signum (el jel) függvény t jelöli, melynek deníciój h x > 0 sg x := 0 h x = 0. h x < 0 Bizonyítás. Az els állítás igzolásához legyen ε = /2, kkor n < /2 h n > n 0 := N( /2). Innen /2 < n < + /2 h n > n 0 mib l > 0 ill. < 0 esetszétválsztássl dódik állításunk. A második állítást indirekt úton igzoljuk. H > b voln, kkor b > 0 így jeltrtóság mitt n b n > 0 voln elég ngy n-re, mi ellentmondás. A rend rtétel igzolás. Az n x n b n (n N) feltételb l n kivonásávl kpjuk, hogy 0 x n n b n n vgy x n n b n n < ε h n > N(ε) mi éppen zt jelenti, hogy x n n 0 (n ) mib l x n = (x n n ) + n 0 + = h n. 3.3 B vített vlós számok, végtelenhez trtó soroztok Definíció. Az R b := R {+ } { } hlmzt b vített vlós számok hlmzánk nevezzük (+ helyett gykrn csupán -t írunk). M veletek R b -ben: bármely x R-re legyen Nincsennek értelmezve z lábbik: x + (± ) = (± ) + x = ± (± ) + (± ) = ± x(± ) = (± )x = ± h x > 0 x(± ) = (± )x = h x < 0 (± )(± ) = + (± )( ) = x ± = 0. (± ) + ( ), 0(± ), (± )0, ± ±, x 0. Rendezés: minden x R esetén, ( korábbi rendezés megtrtás mellett) < x < +. Megjegyzés. R b nem test! A htárérték foglmánk kiterjesztése. Az n = ( ) n, n = ( ) n, n = n, n = n 2 (n N) vlmennyien divergens soroztok, de közülük z els kett másképpen viselkedik, mint z utolsó kett : zok ngy n esetén -hez ill. -hez közelednek.
14 4 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Definíció. Azt mondjuk, hogy z ( n ) soroztnk htárértéke + bármely K R számhoz vn olyn N(K) R, hogy n > K n < K h n > N(K). + (vgy sorozt trt -hez ) h Jelölése (z els esetben) n + (n ) vgy lim n n =. H n ( ) kkor sorozt divergens, de vn htárértéke. H + környezetein ]K, + [ intervllumokt, környezetein ], K[ intervllumokt értjük,hol K R tetsz leges, kkor egyszer belátni, hogy érvényes z lábbi Állítás. Egy sorozt htárértéke + (vgy ) kkor és cskis kkor, h + (vgy ) bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Példák. Az n = n (n N) sorozt htárértéke +. Az n = n 2 (n N) sorozt htárértéke. Definíció. H A R felülr l nem korlátos kkor sup A :=. H A R lulról nem korlátos kkor inf A :=. Ezzel kiegészítéssel minden A R hlmznk vn supremum és inmum, de lehet hogy ezek végtelenek zz inf A sup A +. Továbbá minden monoton soroztnk vn htárértéke (R b -ben): növekv nem korlátos sorozt trt + -hez, csökken nem korlátos sorozt trt -hez. A htárérték és m veletek kpcsolt is kiterjeszthet, z lábbi tétellel. Tétel. H n, b n b (n ) hol most, b R b, c R, kkor továbbá h n kkor n + b n + b (n ), h + b értelmezve vn, n b n b (n ), h b értelmezve vn, n b n b (n ), h b n 0, és értelmezve vn, b c n c (n ), h c értelmezve vn, n 0 (n ). 3.4 Nevezetes htárértékek Tétel. () (2) + h > 0, n h = 0, (n ) 0 h < 0. 0 h <, n h =, + h >, (n ) divergens h.
15 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 (3) H > 0, kkor n (n ). (4) H <, k R, kkor (5) n n (n ). n k n 0 (n ). (6) H R kkor n 0 (n ). n! (7) n n! + (n ). ( (8) Az n = + n) n (n N) sorozt szigorún monoton növekv és felülr l korlátos, n < 3, így konvergens. Htárértéke egy nevezetes szám, mit e-vel jelölünk, közelit értéke e = 2, 7... (9) H 0 c n 0, kkor ( + c n ) cn e (n ).
16 6 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Bizonyítások. () H = 0, kkor z állítás nyilvánvló, mert n 0 = minden n N-re. H > 0, kkor tetsz leges (pozitív) K-t véve n > K pontosn kkor, h n > K / így deníció lpján n +. H < 0, kkor n = n = 0, mivel most > 0. + (2) A Bernoulli egyenl tlenség szerint ( + x) n + nx, h n N, x és itt egyenl ség kkor, és cskis kkor teljesül, h n = vgy x = 0. H > kkor = + h, hol h > 0, így n = ( + h) n + nh, n +. Legyen most <. H = 0, kkor n = 0 n = 0 0. Így feltehetjük, hogy 0 < <, ezért n = ( ) n + = 0, mib l n 0. H =, kkor n =. H =, kkor n = ( ) n divergens. H <, kkor 2n = ( 2 ) n + mivel 2 >, és 2n = (2 ) n, így soroztunk divergens. (3) H, kkor b n := n 0, Bernoulli egyenl tlenség lpján kpjuk, hogy = ( + b n ) n + nb n, mib l 0 b n n. n Innen rend rtétellel dódik, hogy b n 0,. H 0 < <, kkor, z el z ek mitt n, n. (4) H k < 0, kkor sorozt els és második tényez je is zérushoz trt, így sorozt is. H k = 0 kkor 2. Állítás mitt n 0 n = n 0. H k > 0, kkor legyen k 0 egy k-nál ngyobb egész, és tegyük fel, hogy n > k 0. Vn olyn h > 0, hogy = + h, és 0 n k n nk0 ( + h) n < n ( k0 n ). h k 0+ A jobboldli kifejezést növelhetjük k 0+ n n... n h k0+ = (k 0 + )! (k 0 + )! n(n )... (n k h k0+ ( ) ( ) n... k 0 n (n k0 ) 0, 0) mivel jobboldli szorzt második tényez jének nevez jében z els k 0 db. tényez -hez trt, míg z utolsó + -hez. Ezért rend rtétel mitt n k n 0, és z bszolút érték elhgyásávl kpott sorozt is nullához trt. (5) Legyen ε > 0 dott, lklmzzuk z el z állítást =, k = -nél, kkor + ε n ( + ε) n 0, mib l n ( + ε) n <, h n > N() = N (ε). Innen átrendezéssel, mjd gyökvonássl kpjuk, hogy zz n < ( + ε) n, ε < n n < + ε n n < ε h n > N (ε)
17 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 bizonyítv állításunkt. (6) Legyen n 0 egy -nél ngyobb természetes szám, n > n 0, kkor 0 n n! = n n = n! n 0!(n 0 + )(n 0 + 2)... n n n 0!(n 0 + ) n n0 = (n 0 + ) n0 n 0! ( ) n. n 0 + A jobboldli sorozt 0-hoz trt, mivel zárójeles tört bszolút értéke kisebb mint, így rend rtétel mitt n n! 0 es n n! 0. (7) A soroztunk szigorún monoton növekv, mert z egyenl tlenség ekvivlens z < (n + )n n! n n! < n+ (n + )! = n + n +... n + 2 n egyenl tlenséggel, mi igz, mert jobboldlon lev szorzt minden tényez je -nél ngyobb. Másrészt soroztunk nem korlátos felülr l, ugynis h z voln, kkor n n! K, n! K n, Kn n! következne, mi nem lehet, mert Kn 0 6. Állítás szerint. n! (8) A monotonitás igzolás: h n > kkor ( + ) n ( ) n ( ) n n + n + n n n = ( n + ) n = ( ) n = n n ( ) n n n = n ( n 2 n n n 2 n n n = n ( ) n n n 2 > n ( ) n n n 2 = n ( ) =, n n hol Bernoulli egyenl tlenség szigorú változtát hsználtuk. A korlátosság igzolás: binomiális tételt hsználv kpjuk, hogy ( n = + n) n n ( ) n = k n k. k=0 Az l (l = 0,..., k ) egyenl tlenséget hsználv z el z összeg áltlános tgját felülr l n megbecsüljük: ( ) ( n n(n )... (n k + ) = k nk n k = ) ( 2 ) (... k ) n! n n n k! k! = 2... k = 2 k. Ezt felhsználv kpjuk, hogy n n = + (/2)n = + 2 ( /2 n ) < 3. /2 (9) Nem bizonyítjuk. ) n
18 Példák.. Geometrii sor. A q n = + q + q ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ 4. SOROK 4. Definíció, konvergenci, divergenci, összeg Definíció. Egy ( n ) (szám)sorozt elemeit z összedás jelével összekpcsolv kpott vgy n (röviden n ) n= összeget (szám)sornk (vgy numerikus sornk) nevezzük. n sor n-edik (vgy áltlános) tgj, pedig sor n-edik részletösszege. s n := n = n k (n N) A n sort konvergensnek nevezzük, h részletösszegeinek (s n ) sorozt konvergens, lim s n = s n htárértéket sor összegének nevezzük és zt irjuk, hogy n := lim n= n= k= k n= A n sort divergensnek nevezzük, h nem konvergens. n = s, zz k n. Megjegyzések.. Az összegezés kezd dhet n = 0-vl is. Kissé zvró, hogy sort és (konvergens sor esetén) z összegét is ugynzzl szimbólumml jelöltük. Ezt elkerülend sorokr inkább n (ill. h z összegzés n = 0-vl kezd dik n ) jelölést hsználjuk, sor összegét pedig inkább n -nel jelöljük mjd. 0 n= 2. H egy sorbn véges sok tgot megváltozttunk, sorból véges sok tgot elhgyunk, vgy véges sok tgot sorhoz hozzáveszünk, kkor sor konvergenciáj/divergenciáj nem változik, z összege viszont változht! Ez bból következik, hogy h z eredeti sor részletösszegeinek sorozt (s n ), kkor fenti változttások után kpott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h n > n 0 teljesül, vlmilyen A R és n 0 N mellett, hol A z új (megváltozttott) tgok és régiek különbsége. Innen láthtó, hogy (s n ) és (S n ) vgy mindketten konvergensek vgy divergensek, konvergenci esetén viszont zz z összegek eltérése A. lim S n = lim s n + A n n Divergens sornk természetesen nincs összege (bár, h s n ( ) kkor szokás zt mondni, hogy sor összege ( )). sort, hol 0, R, q R geometrii sor nk nevezzük. sor els tgj, q sor hánydos, vgy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozt s n = + q + + q n (n N)
19 mit q-vl megszorozv így kivonássl GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 s n q = q + + q n + q n, s n s n q = q n vgy s n ( q) = ( q n ), mib l ( q és q = eseteket szétválsztv kpjuk, hogy ( q n ), h q, s n = q n, h q =. Figyelembevéve (q n ) sorozt viselkedését kpjuk, hogy, h q <, q s n divergens, h q >, vgy q, divergens, h q =. Ezzel igzolást nyert következ Állítás. [geometrii sor konvergenciáj] A q n = + q + q , ( 0,, q R) geometii sor kkor és cskis kkor konvergens, h q < és kkor sor összege s = els tg = q kvociens. 2. Hrmónikus sor. A n = sort hrmónikus sornk nevezzük. 3 Állítás. [hrmónikus sor divergenciáj] A hrmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy sor s 2 n lkú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > = 4 2 s 2 3 = s ( ) 8 > = 5 2 s 2 4 = s ( ) 6 > = 6 2 áll fenn, és indukcióvl könnyen igzolhtó, hogy így s 2 n s 2 n > n + 2 (n = 2, 3,... ) 2 (n ) mib l (s n ) szigorú monoton növekedése mitt s n (n ), igzolv állításunkt. Tétel. [sor konvergenciájánk szükséges feltétele] Konvergens sor áltlános tgj nullához konvergál. Azz, h n sor konvergens, kkor lim n = 0. n Így, h ( n ) divergens, vgy h ( n ) konvergens, de htárértéke nem 0, kkor n sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy n = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s mitt n s s = 0 mint állítottuk. H n 0 kkor n sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbir péld hrmónikus sor. A továbbikbn sorokt tgjik el jele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.
20 20 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Definíciók. Egy sort lternáló sornk nevezzünk, h tgjink el jele váltkozik (pozitív tgot negtív tg követ vgy fordítv). Egy sort pozitív (negtív) tgú sornk nevezzünk, h tgji pozitívok (negtívok). Tetsz leges el jel tgok esetén sor tgjink z bszolút értékeib l lkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokr vontkozik Leibniz tétele. [elegend feltétel lternáló sorok konvergenciájár] A ( ) n+ n ( n 0, n N) lternáló sor konvergens, h ( n ) monoton csökken en trt nullához, és ekkor sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) soroztár érvényes z s s n n+ (n N) becslés. Bizonyítás. ( n ) monoton csökkenése mitt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ 2n + ( ) 2n+2 2n+ = s 2n + ( 2n + 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 2n+ + ( ) 2n+3 2n+2 = s 2n + ( 2n+ 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ 2n = s 2n 2n s 2n zz (s 2n ) monoton csökken, (s 2n ) monoton növekv, és s 2n s 2n, mib l egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervllumsktulyázást kpunk, hol z intervllumok (Cntor tétele szerint nemüres) metszete csk egy pontból állht, mert z intervllumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ 2n = 2n 0 (n ) hossz nullához trt. Legyen s fenti intervllumok egyetlen közös pontj, kkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igzolv konvergenciár vontkozó állítást. A becslés igzolás: s s n = ( ) n+2 n+ + ( ) n+3 n+2 + ( ) n+4 n+3 + ( ) n+5 n+4 + ( ) n+6 n+5... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = n+ [( n+2 n+3 ) + ( n+4 n+5 ) +... ] n+. Itt második sorbn z bszolút érték elhgyhtó, mivel tgok összege nemnegtív, z utolsó sorbn lev egyenl tlenség pedig zért igz, mert szögletes zárójelben lev összeg nemnegtív. Péld. A ( ) n+ n = sor konvergens, mert n = n 0 (n ) (csökken en). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln Pozitív tgú sorok A n sort kkor neveztük pozitív tgúnk, h n > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + n+ > s n (n N), zz részletösszegek sorozt monoton növekv, ezért (s n ) kkor és cskis kkor konvergens h felülr l korlátos. Ezért pozitív tgú sor kkor és cskis kkor konvergens h részletösszegeinek sorozt felülr l korlátos. Ez megállpítás z lpj konvergencikritériumok (vgy konvergencitesztek) bizonyításánk. Tétel. [mjoráns- minoráns teszt] H 0 < n b n (k N) és
21 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 2 bn sor konvergens, kkor n sor is konvergens, h n sor divergens, kkor b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy b n sor mjorálj n sort (vgy mi ugynz, n sor minorálj b n sort) h n b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n ()) n sor részletösszegeinek soroztát, (s n (b)) pedig b n sor részletösszegeinek soroztát, kkor s n () s n (b) (n N). Az els esetben b n sor konvergens, így (s n (b)) felülr l korlátos, részletösszegekre vontkozo el bbi egyenl tlenség mitt (s n ()) is felülr l korlátos, ezért n sor konvergens. A második esetben n sor divergens, így (s n ()) felülr l nem korlátos, részletösszegekre vontkozo egyenl tlenség mitt (s n (b)) sem korlátos felülr l, ezért b n sor divergens. Tétel. [hánydos vgy D'Alembert teszt] Legyen n pozitív tgú sor. H n+ n h n+ n q < (n N) kkor n sor konvergens, (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt egy másik lkbn (limeszes lk) is kimondjuk. Legyen n pozitív tgú sor és tegyük fel, hogy lim k (i) H L < kkor n sor konvergens, (ii) h L > kkor n sor divergens, n+ n = L (L R b ). (iii) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H z els feltétel teljesül, kkor z 2 q, 3 q, 4 n q,..., q 2 3 n egyenl ltlenségeket összeszorozv kpjuk, hogy n q n, mib l n q n (n N). Ez zt jelenti, hogy n sort q n konvergens (mert 0 q < mitt q < ) geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H második feltétel teljesül, kkor n+ n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (i) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete ( ) 2 n+ -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén kívül z soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n+ n q (:= L + r < ) h n n 0
22 22 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ vlmely n 0 mellett, így (4) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján következik állításunk. (ii) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (5) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (iii) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciáj pl. bból következik, hogy n (n ) n így részletösszegek sorozt korlátos, sor konvergens. Tétel. [gyök vgy Cuchy teszt] Tegyük fel, hogy n 0 (n N). Ezt tételt is kimondjuk limeszes lkbn. Legyen n 0 (n N), és tegyük fel, hogy (j) H L < kkor n sor konvergens, (jj) h L > kkor n sor divergens, ( = + ) ( ) ( n ) = 2 n n < 2 H n n q < (n N) kkor n sor konvergens, h n n (n N) kkor n sor divergens. lim n n = L (L R b ). n (jjj) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H tétel els feltétele teljesül, kkor z n q n, (n N) mi zt jelenti, hogy n sort q n konvergens geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H tétel második feltétele feltétele teljesül, kkor n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel, nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (j) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén ívül z ( n n ) soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n q (:= L + r < ) h n n 0 vlmely n 0 mellett, így (6) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján dódik állításunk. (jj) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (7) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (jjj) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Igzolhtó, hogy gyök teszt er sebb, mint hánydos teszt (zz, h hánydos teszt eldönti konvergenciát/divergenciát kkor ugynezt teszi gyök teszt is), hánydos teszt lklmzás viszont áltlábn egyszer bb.
23 Példák.. A 2n n! GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 23 sor konvergens, mert hánydos teszt limeszes lkját lklmzv n+ n = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A hol p R (hiperhrmonikus) sor divergens, h p 0, mert ekkor z áltlános tg nem trt 0-hoz. np p > 0 mellett mind hánydos, mind gyök teszt limeszes lkj L = -et d, segítségükkel konvergenci nem dönthet el. A Cuchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Ljkó jegyzet) kphtjuk, hogy A (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. np Ugyncsk ezzel teszttel dódik, hogy A (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. 2 n(ln n) p kezdenünk, mivel ln = 0. Itt z összegezést n = 2-nél kell 4.3 Abszolút konvergenci, m veletek sorokkl Definíciók. A n sort bszolút konvergensnek nevezzük, h n sor konvergens. A n sort feltételesen konvergensnek nevezzük, h sor konvergens de nem bszolút konvergens. Igzolhtó, hogy bszolút konvergens sor konvergens, fordított állítás viszont nem igz, mint ezt ( ) n+ sor muttj. Utóbbi sor feltételesen konvergens. n Az bszolút konvergenci eldöntésere lklmzhtók z el z szkszbn tárgylt tesztek. H n 0 (n N) és lim n+ n < kkor n sor bszolút konvergens, h lim n+ n n kkor n sor divergens. n H n lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n n h lim n kkor n sor divergens. n Legyen n egy dott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmgár, kkor ϕ(n) sort n sor (ϕ bijekcióhoz trtozó) átrendezésének nevezzük. Például sor egy átrendezése sor, hol két pozitív tgot egy negtív tg követ.
24 24 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ Az bszolút konvergens sorok fontos tuljdonság, z, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és z átrendezett sor összege megegyezik z eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokr ez nem igz, s t, feltételesen konvergens sornk vn olyn átrendezése, mely divergens, vgy melynek összege egy tetsz legesen el írt szám. Könny belátni, hogy konvergens sor tetsz legesen zárójelezhet, és zárójelezett sor összege egyenl z eredeti sor összegével. Továbbá ( soroztokr vontkozó m veleti tuljdonságok mitt) konvergens sorok összegsor ( tgok összedásávl keletkez sor) és konvergens sor számszoros is konvergens és összegük kiinduló sorok összege és számszoros, zz, h n, b n konvergensek, c R kkor ( n + b n ), (c n ) is konvergensek és ( n + b n ) = n + b n, (c n ) = c n. n= n= A sorok szorzás lényegesen komplikáltbb. Definíció. A n és b n sorok Cuchy-féle szorztsor c n sor, melynek tgji n= n= n= n c n := 0 b n + b n + + n b 0 = k b n k. k=0 Tétel. Abszolút konvergens sorok Cuchy-féle szorztsor is bszolút konvergens, és összege tényez sorok összegének szorzt. 4.4 Függvénysorok, htványsorok Definíciók. H egy sor tgji (zonos hlmzon értelmezett) függvények, kkor sort függvénysornk nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) vlós számok D részhlmzán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergencihlmzát/divergencihlmzát zon x D pontok lkotják melyekre sor konvergens/divergens. A konvergencihlmz pontjibn értelmezhet sor összegfüggvénye (mint részletösszegek htárértéke). Definíció. A n (x ) n lkú függvénysort htványsornk nevezzük. n z n-edik együtthtó, pedig 0 sorfejtés középpontj. Vizsgáljuk meg htványsor bszolút konvergenciáját gyökteszttel. H n n (x ) n = x n n n (x ) n 0 (n ) x L < htványsor bszolút konvergens, > htványsor divergens, hol feltételeztük, hogy z ( n n ) soroztnk létezik z L htárértéke, 0 L.. L = 0 esetén x L = 0(<,) így htványsor minden x R mellett bszolút ( konvergens. ) 2. 0 < L < esetén x L < (> ) kkor és cskis kkor, h x < L > L, ezért x < L esetén sor bszolút konvergens, míg x > L mellett sor divergens.
25 GAZDASÁGI MATEMATIKA I L = esetén x L = > h x, így ekkor sor divergens, míg x = esetén sor nyilván konvergens (ugynis nulldik tg kivételével z összes tg null). Definíció. Az b vített vlós számot 0 r := L = n n lim n ( ) 0 :=, := 0 n (x ) n htványsor konvergencisugránk nevezzük. Az el bbiek lpján állíthtjuk: H x < r, kkor htványsorunk bszolút konvergens, h x > r, kkor htványsorunk divergens. Péld. A geometrii sor esetén konvergencisugár r =. + x + x 2 + = x h x < 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5. Függvény htárértéke A torlódási pont foglmát már korábbn bevezettük. Ezt most kiterjesztjük rr z esetre mikor torlódási pont R b -beli. Azt mondjuk, hogy + ( ) torlódási pontj D hlmznk, h D nem korlátos felülr l (lulról). Egy D R hlmz R b -beli torlódási pontjink hlmzát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. [Soroztos deníció] Legyen f : D R R és legyen x 0 D. Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges, vgy végtelen) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R b b vített vlós szám, hogy bármely olyn D-beli (x n ) n N soroztr, melyre lim x n = x 0 és x n x 0, teljesül lim f(x n) = n n egyenl ség. -t z f függvény x 0 pontbeli htárértékének nevezzük, és lim f(x) = -vl, vgy f(x) (x x 0 )-ll x x 0 jelöljük. Másképpen megfoglmzv: z f függvény értelmezési trtományánk egy x 0 R b torlódási pontjábn kkor és cskis kkor lesz f htárértéke z R b b vített vlós szám, h z értelmezési trtományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) n N soroztot véve, melynek elemei x 0 -tól különböz ek, függvényértékek (f(x n )) n N sorozt -hoz trt. A denícióból következik z lábbi Állítás. Függvény htárértéke, h létezik, kkor egyértelm. Megjegyzés. Htárérték létezhet z x 0 pontbn kkor is, h függvény nincs értelmezve pontbn de torlódási pontj nnk (egy hlmz torlódási pontj ui. nem feltétlenül pontj hlmznk). Éppen emitt lényeges denícióbn x n x 0 feltétel, ez biztosítj zt, hogy f(x n ) (n N) kkor is deniálv vn, h z x 0 torlódási pont nincs D-ben. Definíció. [Függvény lesz kítése és b vítése] Legyen f : D R és legyen E D, kkor z f függvény E-re vló f E : E R lesz kítését f E (x) : f(x) h x E
26 26 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ -vel deniáljuk. Azt is mondjuk, hogy f b vítése f E -nek. Láthtjuk, hogy f E csk z E hlmzon vn deniálv és ott megegyezik f-fel. Definíció. [Jobb- és bloldli htárérték] Legyen f : D R R és legyen x 0 R b D + x 0 := D ]x 0, + [ (D x 0 := D ], x 0 [) hlmz torlódási pontj. Akkor mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek z R b b vített vlós szám jobboldli (bloldli) htárértéke z x 0 pontbn, h R b z x 0 pontbeli htárértéke z f D + x0 (f D x0 ) lesz kített függvénynek. Jobboldli (bloldli) htárérték jelölése: lim f(x) = ( lim f(x) = ) x x 0+0 x x 0 0 Világos, hogy + -ben csk bloldli, -ben csk jobboldli htárérték deniálhtó. Függvény htárértékére fentivel ekvivlens deníció dhtó, de ekkor véges és végtelenben vett véges és végtelen htárértékek deníciój kissé eltér. Definíció. [Függvény véges htárértéke véges pontbn, ε, δ-s deníció] Legyen f : D R R és legyen x 0 D véges torlódási pontj D-nek. Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R szám, hogy minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) < ε h 0 < < δ(ε) és x D. Tétel. [Átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D véges torlódási pont, kkor kétféle deníció (soroztos és ε, δ-s deníció) ekvivlens. Nem bizonyítjuk. A továbbikbn soroztos deníciót hsználjuk. Példák. ld. el dás. Definíció. [M veletek függvényekkel] Legyenek f, g : D R R, kkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorztukt, hánydosukt z képletekkel értelmezzük. (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) Tétel. [Htárérték, monotonitás és m veletek kpcsolt] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy lim f(x) = R b, lim g(x) = b R b. x x 0 x x 0 Akkor bármely c R mellett lim (f(x) + g(x)) = + b, x x 0 lim c f(x) = c, x x 0 lim f(x) g(x) = b, x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) = b, h b h + b értelmezve vn, h c értelmezve vn, h b értelmezve vn, értelmezve vn. H f(x) g(x) (x D, x x 0 ), kkor b.
27 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 27 H f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és =b, kkor lim x x 0 h(x) =. Bizonyítás. A soroztok megfelel tuljdonságiból következik. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, hol f : D R R, g : f(d) R, z f és g függvényekb l összetett függvénynek nevezzük, f bels, g küls függvény. h jelölésére hsználjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } z f függvény értékkészlete). Tétel. [Összetett függvény htárértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) H x 0 D, lim f(x) =, / f (D \ {x 0 }), és lim g(x) = b x x 0 y kkor lim h(x) = b. x x 0 (x D). Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) kkor y n := f(x n ) (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonosság Definíció. Az f : D R R függvényt folytonosnk nevezzük z x 0 D pontbn, h bármely D-beli x 0 -hoz konvergáló x n D (n N), x n x 0 (n ) sorozt esetén függvényértékek f(x n ) (n N) sorozt z x 0 pontbeli függvényértékhez trt lim f(x n) = f(x 0 ). n Röviden: z f függvény x 0 D pontbeli folytonosság zt jelenti, hogy h D x n x 0 (n ) kkor lim f(x n) = f( lim x n) = f(x 0 ). n n Definíció. Az f : D R R függvényt jobbról (blról) folytonosnk nevezzük z x 0 D pontbn, h bármely D-beli x 0 -hoz konvergáló x n D (n N), x n x 0 (x n x 0 ), x n x 0 (n ) sorozt esetén függvényértékek f(x n ) (n N) sorozt z x 0 pontbeli függvényértékhez trt lim f(x n) = f(x 0 ). n H x 0 D D, kkor f folytonos x 0 -bn kkor, és cskis kkor, h lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). H x 0 D, de x 0 / D, kkor x 0 D izolált pontj, izolált pontokbn f deníció lpján mindig folytonos. Definíció.[Függvény folytonosság,ε, δ-s ekivivlens deníció] Az f : D R R függvényt z x 0 D pontbn folytonosnk nevezzük, h bármely ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε h < δ(ε) és x D. Tétel. [Folytonosság és m veletek] H f, g : D R R folytonosk z x 0 D pontbn, kkor f + g, cf, fg, f/g (h g(x 0 ) 0) is folytonosk x 0 -bn. Továbbá, h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (hol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -bn, h f folytonos x 0 -bn és g folytonos z y 0 := f(x 0 ) pontbn. Bizonyítás. A soroztok megfelel tuljdonságiból következik.
28 28 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ 5.3 Folytonos függvények globális tuljdonsági Definíciók. Az f : D R R függvényt lulról felülr l korlátosnk nevezzük, h értékkészlete lulról felülr l korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) f(x 2 ) f(x ) f(x 2 ) teljesül. Az f : D R R függvényt szigorún monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) < f(x 2 ) f(x ) > f(x 2 ) teljesül. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy esetén. f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. f(x 0 ) f(x) Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén. Tétel. [Folytonos függvény jeltrtó] Folytonos függvény jeltrtó, zz h f : D R R folytonos z x 0 D pontbn, és f(x 0 ) 0 kkor vn olyn δ > 0 hogy hol sg szignum (el jel) függvényt jelöli. sg f(x) = sg f(x 0 ) h x K(x 0, δ) D, Bizonyítás. A htározottság kedvéért tegyük fel, hogy f(x 0 ) > 0, másik eset igzolás hsonló. Indirekt úton bizonyítunk. Tegyük fel, hogy f : D R R folytonos z x 0 D pontbn, és f(x 0 ) > 0 de nincs olyn δ > 0 hogy f(x) > 0 h x K(x 0, δ) D.
29 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 29 Ez zt jelenti, hogy kárhogyn is válsztunk egy pozitív számot, pl. δ = /n/, /, (n N)-et, kkor vn olyn x n K(x 0, /n) D, hogy f(x n ) 0. Mivel x n x 0 h n ezért z x 0 pontbeli folytonosság mitt f(x n ) f(x 0 ) > 0, másrészt f(x n ) 0 mitt lim f(x n) = f(x 0 ) 0 mi ellentmondás, igzolv állításunkt. n Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvény folytonos z A D hlmzon, h f z A hlmz minden pontjábn folytonos. Tétel. [Folytonos függvény korlátosság] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény korlátos. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, kkor vnnk olyn k, K R melyekre k f(x) K minden x [, b] mellett. Megjegyzés. Korlátos zárt intervllum helyett tetsz leges korlátos zárt hlmzt véve is igz z el z állítás. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkl ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülr l. Akkor minden n N-hez vn olyn x n [, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük z A := { x n : n N } hlmzt. H A véges hlmz, kkor vn olyn x k0 eleme A-nk, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, zz, x n = x k0 h n > n 0. H A végtelen hlmz, kkor Bolzno-Weierstrss tétel lpján A-nk vn (leglább egy) x 0 torlódási pontj. x n [, b] és [, b] zártság mitt x 0 [, b]. Vegyünk z x 0 pont K(x 0, ) környezetéb l egy x 0 -tól különböz A-beli x n pontot. Ezután z x 0 pont K(x 0, d ) környezetéb l, hol d = x n x 0, válsszunk egy olyn x 0 -tól különböz x n2 A pontot melyre n 2 > n legyen (ilyen biztosn vn, mert z x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot trtlmz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontj). Az x n3 pontot K(x 0, d 2 ) környezetb l válsztjuk, hol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hsonlón folyttv, egy olyn x nk A (k N) soroztot kpunk mely x 0 -hoz konvergál. (Az x nk (k N) soroztot z x n (n N) sorozt részsoroztánk nevezzük). Mivel véges A esetén x nk := x k (k N), x 0 := x k0 -t véve ugynez helyzet, így mondhtjuk, hogy z x n (n N) soroztból mind véges, mind végtelen A esetén kiválszthtó egy x 0 [, b]-hez konvergáló részsorozt. Mivel feltevésünk szerint f(x nk ) > n k (k N) így k -vel f x 0 -beli folytonosság mitt kpjuk, hogy f(x 0 ), mi ellentmondás, bizonyítv állításunkt. Tétel. [mximum, minimum létezése] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény felveszi függvényértékek szuprémumát és inmumát függvényértékként. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, és kkor vnnk olyn x m, x M [, b] melyekre m := inf{ f(x) : x [, b] }, M := sup{ f(x) : x [, b] } f(x m ) = m, f(x M ) = M. Azt is mondhtjuk, hogy korlátos zárt intervllumon folytonos függvénynek vn mximum és minimum ezen z intervllumon. Bizonyítás. Azt muttjuk meg, hogy vn olyn x M [, b] melyre f(x M ) = M, másik állítás igzolás hsonló.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
Részletesebben1. Halmazelméleti alapok
1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis
RészletesebbenMatematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică
András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
Részletesebben0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha
Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben3.1. Halmazok számossága
38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Hlmzok, relációk, függvények 1 1.1. Hlmzok,
RészletesebbenLajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1
Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn
RészletesebbenKIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ
KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenAnalízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére
Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenAnalízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.
Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények 3
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenA valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
Részletesebbenf függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenMérték- és integrálelmélet
Debreceni Egyetem Mérték- és integrálelmélet Jegyzet Készítette: Ngy Gergő Dr. Molnár Ljos elődási lpján Trtlomjegyzék Bevezetés 3 1. Mértékterek, mértékek 3 1.1. Alpfoglmk 3 1.2. Mértékek konstruálás,
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
RészletesebbenEls gyakorlat. vagy más jelöléssel
Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,
RészletesebbenBevezetés a funkcionálanalízisbe
Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenMatematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011
Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:
RészletesebbenPÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében
PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Részletesebben7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Részletesebben4. Absztrakt terek elmélete
56 MAM112M elődásjegyzet, 2008/2009 4. Absztrkt terek elmélete 4.1. Lineáris terek 4.1. Definíció. Az X hlmzt lineáris térnek vgy vektortérnek nevezzük vlós számtest (komplex számtest) felett, h bármely
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenMATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra
MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenMATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM
MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben