Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak tanév 2. félév

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév"

Átírás

1 Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra és minden n N természetes számra (1 + h) n 1 + nh. Ezekre a h és n értékekre egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha h = 0 vagy n = Fogalmazza meg a számtani és a mértani közép közötti egyenl tlenséget. Mikor van egyenl ség? Válasz. Legyen n 2 tetsz leges természetes szám és a 1, a 2,..., a n tetszés szerinti nemnegatív valós szám. Ekkor n a1 a 2 a n a 1 + a a n. n Egyenl ség akkor és csak akkor áll fenn, ha a 1 = a 2 = = a n. 3. Írja le a valós számok közötti rendezés és a m veletek kapcsolatára vonatkozó axiómákat. Válasz. Ha x, y, z R, akkor (i) x y x + z y + z (ii) x y és 0 z x z y z. 4. Mit mond ki a teljességi axióma? Válasz. Ha A, B R, A, B és a A, b B esetén a b, akkor ξ R a A b B : a ξ b. 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet. Válasz. Ha H R, H és H felülr l korlátos, akkor H fels korlátai között van legkisebb. 6. Mit jelent az, hogy a H R halmaz induktív? Válasz. H R induktív, ha 0 H, továbbá, ha x H esetén x + 1 H. 7. Hogyan értelmezi a természetes számok halmazát? Válasz. N a legsz kebb induktív részhalmaza R-nek. 8. Fogalmazza meg a teljes indukció elvét! Válasz. Legyen A(n) egy állítás minden n N-re. Tegyük fel, hogy A(0) igaz és ha A(n) igaz akkor A(n + 1) is igaz (n N). Ekkor A(n) igaz minden n N-re. 9. Mikor van egy = A R halmaznak maximuma (minimuma)? Válasz. Ha létezik α A, minden x A-ra x α (x α). 1

2 Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmaznak nincs minimuma. Válasz. Minden α A-ra létezik x A, hogy x < α. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmaznak nincs maximuma. Válasz. Minden α A-ra létezik x A, hogy x > α. Mikor felülr l (alulról) korlátos egy A R halmaz? Válasz. Ha létezik K R, hogy minden a A-ra a K (a K). Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy = A R halmaz felülr l nem korlátos! Válasz. Minden K R-re létezik a A, hogy a > K. Legyen = A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy ξ = sup A? Válasz. Minden x A-ra x ξ és minden K < ξ-re x A, hogy x > K. Legyen = A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy ξ = inf A? Válasz. Minden x A-ra x ξ és minden K > ξ-re x A, hogy x < K. 16. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik az archimédeszi tulajdonsággal? Válasz. a > 0 b R n N : b < na. 17. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik a Cantor-tulajdonsággal? Válasz. Ha [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] ( n N, a n, b n R), akkor [a n, b n ]. n N Relációk és függvények 18. Deniálja a következ fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartománya és értékkészlete. Válasz. Legyen A és B nemüres halmaz. Az A B Descartes-szorzat nemüres r részhalmazait az A és a B halmaz elemei közötti relációnak hívjuk. Ha (a, b) r A B, akkor azt mondjuk, hogy az a elem az r relációban van b-vel. A D r := {a A b B úgy, hogy (a, b) r} halmazt az r reláció értelmezési tartományának, az R r := {b B a A úgy, hogy (a, b) r} halmazt az r reláció értékkészletének nevezzük. 2

3 19. Adja meg a függvény denícióját. Válasz. Legyenek A és B nemüres halmazok. A nemüres f A B reláció függvény, ha x D f -hez egyértelm en y B, hogy (x, y) f. 20. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített képét? Válasz. Legyen f : A B függvény. A C A halmaz f által létesített képe az halmaz. f[c] := {f(x) B x C} 21. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített sképét? Válasz. Legyen f : A B függvény. A D B halmaz f által létesített sképe az halmaz. f 1 [D] := {x A f(x) D} A 22. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? Válasz. Az f : A B függvény invertálható, ha különböz értelmezési tartománybeli elemekhez különböz helyettesítési értékeket rendel. 23. Deniálja az inverz függvényt. Válasz. Legyen f : A B invertálható függvény. f inverz függvénye az függvény. f 1 : R f y x, amelyre f(x) = y 24. Mi a bijekció deníciója? Válasz. Az f : A B függvény az A és a B halmaz közötti bijekció (vagy az A és B halmaz elemei közötti kölcsönösen egyértelm megfeleltetés), ha f invertálható és R f = B. 25. Írja le az összetett függvény fogalmát. Válasz. Legyen f : A B, g : C D és tegyük fel, hogy R g D f. Ekkor f és g összetett függvénye az függvény. f g : {x D g g(x) D f } B, ( f g ) (x) := f ( g(x) ). Sorozatok 26. Deniálja a következ fogalmakat: valós sorozat; sorozat n-edik tagja, index. Válasz. Egy a : N R függvényt (valós) sorozatnak nevezünk. Ennek a függvénynek az n N helyen felvett a(n) helyettesítési értékét az a sorozat n-edik tagjának mondjuk és az a n szimbólummal jelöljük. Az n szám az a n tag indexe. 27. Mit jelent az, hogy egy (a n ) : N R sorozat korlátos? Válasz. Létezik K R, hogy minden n N-re a n K. 3

4 28. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy az (a n ) sorozat nem korlátos. Válasz. L R-hez n N : a n > L. 29. Mit jelent az, hogy egy (a n ) számsorozat indexsorozat? Válasz. (a n ) : N N szigorúan monoton növeked. 30. Egy (a n ) sorozatról mikor mondjuk, hogy a (b n ) sorozat részsorozata? Válasz. Ha ν : N N indexsorozat, hogy (a n ) = (b n ) ν. 31. Mit ért egy sorozat részsorozatán? Válasz. Ha a : N R sorozat és ν : N N indexsorozat, akkor az a ν : N R sorozatot a részsorozatának nevezzük. 32. Mi a deníciója annak, hogy egy valós számsorozatnak van csúcsa? Válasz. n 0 N az (a n ) sorozat csúcsa, ha n > n 0 -ra a n < a n Deniálja az A R elem ε > 0 sugarú környezetét. Válasz. Az A R valós szám ε > 0 sugarú környezetén a k ε (A) := (A ε, A + ε) intervallumot értjük. Az A = + elem ε > 0 sugarú környezete a az A = elemé pedig a intervallum. k ε (+ ) := ( 1 ε, + ), k ε ( ) := (, 1 ε ) 34. Mikor nevezünk egy (a n ) valós sorozatot konvergensnek? Válasz. Ha A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n A < ε. 35. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozat divergens? Válasz. (a n ) divergens, ha nem konvergens, azaz A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n A ε. 36. Tegyük fel, hogy az (a n ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz-e az, hogy n 0 N, hogy ɛ > 0-ra és n n 0 -ra a n A < ɛ? (Válaszát indokolja!) Válasz. Nem igaz, hiszen a feltételb l az következik, hogy a n = A n n 0 -ra. 4

5 37. Tegyük fel, hogy az A R szám minden környezete az (a n ) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza. Következik-e ebb l az, hogy az (a n ) sorozat konvergens? Válasz. Nem. A ( ( 1) n) sorozat divergens, de pl. az A = 1 szám minden környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik. 38. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozat (+ )-hez tart? Válasz. lim(a n ) = + P R n 0 N n N, n > n 0 a n > P. 39. Mi a deníciója annak, hogy az (a n ) sorozatnak a határértéke? Válasz. lim(a n ) = P R n 0 N n N, n > n 0 a n < P. 40. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozatnak van határértéke? Válasz. Azt, hogy a sorozat konvergens, vagy plusz végtelenhez, vagy pedig mínusz végtelenhez tart. Ez azzal egyenérték, hogy A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n k ε (A). 41. Adott (a n ) : N R, A R esetén mi a deníciója a lim(a n ) = A egyenl ségnek? Válasz. ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n k ε (A). 42. Fogalmazza meg a sorozatok konvergáciájára vonatkozó szükséges feltételt. Válasz. Ha egy valós sorozat konvergens, akkor egyúttal korlátos is. Megfordítva nem igaz, lásd a (( 1) n ) sorozatot. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) és (c n ) valós sorozatokra teljesülnek a következ k: (a) N N : n > N-re a n b n c n ; (b) lim(a n ), lim(c n ) és lim(a n ) = lim(c n ) =: A R. Ekkor a közrefogott (b n ) sorozatnak is van határértéke és lim(b n ) = A. 44. Milyen állításokat ismer a határérték és a rendezés között? Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) sorozatoknak van határértékük és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R. 1 o Ha A > B, akkor N N : n > N, n N-re a n > b n. 2 o Ha N N : n > N, n N-re a n b n, akkor A B. 45. Igaz-e az, hogy ha az (a n ) és a (b n ) sorozatoknak van határértéke és a n > b n minden n-re, akkor lim(a n ) > lim(b n )? Válasz. Nem, pl. a n := 1 n > 0 =: b n (n N), de lim ( 1 n) = 0. 5

6 46. Mondja ki a monoton sorozatok konvergenciájára és határértékére vonatkozó állításokat. Válasz. 1 o Ha az (a n ) sorozat monoton növeked és felülr l korlátos [monoton csökken és alulról korlátos], akkor konvergens, és lim(a n ) = sup { a n n N } R [lim(a n ) = inf { a n n N } R]. 2 o Ha az (a n ) sorozat monoton növeked és felülr l nem korlátos [monoton csökken és alulról nem korlátos], akkor lim(a n ) = + [lim(a n ) = ]. 47. Milyen m veleti tételeket ismer konvergens sorozatokra? Válasz. Ha az (a n ) és a (b n ) sorozat konvergensek és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R, akkor 1 o az (a n + b n ) sorozat is konvergens és lim(a n + b n ) = A + B; 2 o az (a n b n ) sorozat is konvergens és lim(a n b n ) = A B; 3 o ha még b n 0 (n N) és B 0 is teljesül, akkor az ( a ) ( n b sorozat is konvergens és an ) lim = A. n b n B 48. Igaz-e az, hogy ha (a n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n + b n ) is divergens. Válasz. Igen, mert ha (a n +b n ) konvergens lenne, akkor (a n +b n a n ) = (b n ) is konvergens lenne. 49. Fogalmazza meg sorozatok összegének határértékére vonatkozó állítást. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ) és a (b n ) sorozatoknak van határértéke, és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R. Ekkor az (a n + b n ) sorozatnak is van határértéke, és lim(a n + b n ) = A + B, feltéve hogy A + B értelmezve van. 50. Táblázattal szemléltesse a sorozatok szorzatának a határértékére vonatkozó állítást. Válasz. szorzat A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 + B = 0 A B B < 0 + B = B = + + 6

7 51. Fogalmazza meg a BolzanoWeierstrass-féle kiválasztási tételt. Válasz. Minden korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata. 52. Deniálja a Cauchy-sorozatot. Válasz. Az (a n ) sorozatot Cauchy-sorozat, ha ε > 0 n 0 N m, n N, m, n n 0 : a n a m < ε. 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy (a n ) : N R sorozat nem Cauchy-sorozat! Válasz. Az (a n ) : N R sorozat nem Cauchy-sorozat, ha ɛ > 0, n 0 N, n, m n 0 : a n a m ɛ. 54. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz. Egy valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. 55. Hogyan értelmeztük az e számot? Válasz. Az a n := ( n) n (n N) sorozat monoton növeked és felülr l korlátos, tehát konvergens. e-vel jelöljük ennek a sorozatnak a határértékét: e := lim n + ( n) n. 56. Milyen állítást ismer a (q n ) mértani sorozat határértékével kapcsolatosan? Válasz. lim n + qn = 0, ha q < 1 = 1, ha q = 1 = +, ha q > 1 nem létezik, ha q Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt. Válasz. Ha m N, m 2, akkor A 0! α 0 : α m = A. 58. Legyen A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelynek határértéke m A? Válasz. x 0 > 0, x n+1 := 1 m ( ) A x m 1 + (m 1)x n n (n = 0, 1, 2,...). 7

8 Végtelen sorok 59. Mi a végtelen sor deníciója? Válasz. Az (a n ) : N R sorozatból képzett s n := a 1 + a a n (n N) sorozatot nevezzük az (a n ) által generált végtelen sornak. 60. Mit jelent az, hogy a a n végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét? Válasz. A a n sor konvergens, ha a részletösszegeinek az s n = a a n (n N) sorozata konvergens. A lim(s n ) számot nevezzük a sor összegének. 61. Milyen tételt ismer q R esetén a q n geometriai sor konvergenciájáról? Válasz. A q n sor akkor és csak akkor konvergens, ha q < 1 és ekkor 1 1 q az összege. 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Válasz. A 1 n(n+1) sor és az összege + n=1 1 n(n+1) = Fogalmazza meg a sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz. A a n sor akkor és csak akkor konvergens, ha ε > 0 n 0 N m, n N, m > n n 0 : a n a m < ε. 64. Ismer-e sorok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt? Válasz. Ha a a n sor konvergens, akkor lim(a n ) = Igaz-e az, hogy ha lim(a n ) = 0, akkor a a n sor konvergens? Válasz. Nem, a 1 n harmonikus sor divergens és lim( 1 n ) = Fogalmazza meg a nem-negatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tételt! Válasz. A a n nem-negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha az s n = a a n, n N részletösszegekb l álló sor felülr l korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) sorozatokra N N n N, n N : 0 a n b n. Ekkor, ha 1. a b n sor konvergens, akkor a n is konvergens; 2. a a n sor divergens, akkor b n is divergens. 8

9 68. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó gyökkritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy létezik az A := lim ( n a n ) R határérték. ekkor 1 o A < 1 esetén a a n sor abszolút konvergens; 2 o A > 1 esetén a a n sor divergens; 3 o A = 1 esetén a a n sor lehet konvergens is és divergens is. 69. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó hányadoskritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy a n 0 (n N) és létezik az A := lim ( a n+1 ) a n R határérték. ekkor 1 o A < 1 esetén a a n sor abszolút konvergens; 2 o A > 1 esetén a a n sor divergens; 3 o A = 1 esetén a a n sor lehet konvergens is és divergens is. 70. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban? Válasz. Ha 0 a n+1 a n (n N), akkor a ( 1) n+1 a n sort nevezzük Leibniz-típusú sornak. Ezek akkor és csak akkor konvergensek, ha lim(a n ) = 0. Ha A := + ( 1) n+1 a n, n=1 akkor A n ( 1) k+1 a k a n k=1 9 (n N). 71. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens. Válasz. ( 1) n+1 n. 72. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyiknek az összege az e szám. Válasz. + 1 n! = e. 73. Mondja ki a tizedestörtekr l a tételeket! Válasz. [0, 1]. 1 o Ha (a n ) : N {0, 1, 2,..., 9}, akkor a n=1 a n 10 sor konvergens és n n=1 2 o Ha x [0, 1] akkor létezik (a n ) : N {0, 1, 2,..., 9}, hogy x = n=1 74. Mit nevez egy számsor zárójelezett sorának? a n 10. n a n 10 n Válasz. Legyen (m n ) : N N szigorúan monoton növ. A a n sor (m n ) indexsorozat által meghatározott zárójelezésén a α n sort értjük, ahol α n := m n i=m n 1+1 a i, m 0 := Hogyan szólnak a végtelen sorok zárójelezésére vonatkozó tételek? Válasz. 1 o Ha a n konvergens, akkor α n is az minden zárójelezés mellett és a n = α n. 2 o Ha az (m n+1 m n ) sorozat korlátos, lim a n = 0 és α n konvergens, akkor a n is konvergens.

10 76. Mit nevez egy végtelen sor átrendezésének? Válasz. Ha p : N N bijekció, akkor a a n sor p által meghatározott átrendezésén a apn sort értjük. 77. Fogalmazza meg a feltételesen konvergens sorok átrendezésére vonatkozó Riemann-tételt. Válasz. Ha a n feltételesen konvergens, akkor 1 o A R esetén a p(n) átrendezés, hogy + a p(n) = A; 2 o a p(n) átrendezés, ami divergens. 78. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezésével kapcsolatban? Válasz. Ha a n abszolút konvergens, akkor minden (p n ) : N N bijekció esetén a a p(n) sor is konvergens és + a n = + a p(n). n=1 n=1 79. Deniálja a a n, b n sorok téglányszorzatát. Válasz. A t n, t n := max{i,j}=n a i b j (n N) sor. 10 n=1 80. Deniálja a a n, b n sorok Cauchy-szorzatát. Válasz. A c n, c n := i+j=n a i b j (n N) sor. 81. Adjon meg olyan végtelen sorokat, amelyek Cauchy-szorzata divergens. Válasz. A ( 1) n n konvergens sor önmagával vett Cauchy-szorzata divergens. 82. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzatára vonatkozó Cauchytételt. Válasz. Tegyük fel, hogy a a n és a b n sorok mindegyike abszolút konvergens. Ekkor (a) a t n téglányszorzatuk is abszolút konvergens, (b) a c n Cauchy-szorzatuk is abszolút konvergens, (c) az összes a i b j (i, j = 0, 1, 2,...) szorzatból tetszés szerinti sorrendben képzett d n végtelen sor is abszolút konvergens, és az összeg mindegyik esetben a tényez k összegének a szorzata: + t n = + c n = + ( + ) ( + ) d n = a n b n. 83. Fogalmazza meg a Mertens-tételt. Válasz. Ha a a n sor abszolút konvergens és b n konvergens, akkor a c n Cauchyszorzatuk konvergens és + ( + ) ( + ) c n = a n b n.

11 Hatványsorok, elemi függvények 84. Írja le a hatványsor denícióját. Válasz. Az (α n ) : N R sorozattal és az a R számmal képzett αn (x a) n (x R) függvénysort a középpontú, α n együtthatójú hatványsornak nevezzük. 85. Fogalmazza meg a hatványsorok konvergencia sugaráról az általánosított Cauchy Hadamard-tételt. Válasz. A α n (x a) n hatványsorra a következ három eset egyike fennáll: 1. Létezik 0< < -re, amire < - abszolút konvergens a hatványsor > - divergens a hatványsor 2. a hatványsor csak x=a esetén konvergens ( = 0) 3. R-re abszolút konvergens a hatványsor ( = ) Az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. 86. Fogalmazza meg a CauchyHadamard-tételt. Válasz: Tekintsük a ( ) hatványsort és tegyük fel, hogy lim. Legyen, h =0 0, h = 1, ü ö Ha < akkor a ( ) hatványsor abszolút konvergens, ha > akkor divergens. 87. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1, 1) intervallum. Válasz. x n. 88. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1, 1] intervallum. Válasz. ( 1) n n x n. 89. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1, 1) intervallum. Válasz. x n n. 90. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1, 1] intervallum. Válasz. x n n 2. 11

12 91. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a = 2 pontban konvergens. Válasz. n n (x 2) n. 92. Deniálja az exp függvényt. Válasz. exp(x) := + x n n! 93. Deniálja a sin függvényt. Válasz. sin x := + (x R). x2n+1 ( 1) n (2n + 1)! 94. Deniálja a cos függvényt. Válasz. cos x := + ( 1) n x2n (2n)! (x R). (x R). 95. Írja fel sin (x + y)-t sin x, cos x, sin y, cos y segítségével. Válasz. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y (x, y R). Függvény határértéke 96. Mit jelent az, hogy a R torlódási pontja a H R halmaznak? Válasz. Az a bármely környezetében végtelen sok H-beli elem van. 97. Mivel egyenl az R, a Q és az ({ 1 n n N}) halmaz? Válasz. R = R, Q = R és ({ 1 n n N}) = {0}. 98. Adott f R R, a D f, A R esetén mi a deníciója a lim a f = A egyenl ségnek? Válasz. ε > 0 δ > 0 x (k δ (a) \ {a}) D f : f(x) k ε (A). 99. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R, A R. Ekkor: lim a f = A ε > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R. Ekkor: lim a f = + P > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P. 12

13 101. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R. Ekkor: lim a f = P < 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f, A R. Ekkor: lim f = A ε > 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) A < ε Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f, A R. Ekkor: lim f = A ε > 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) A < ε Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f. Ekkor: lim f = + P > 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) > P Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f. Ekkor: lim f = P < 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) < P Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = + P > 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) > P Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = P < 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) < P Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet. Válasz. Legyen f R R, a D f és A R. Ekkor lim a f = A (x n ) : N D f \ {a}, lim(x n ) = a esetén lim(f(x n )) = A. 13

14 109. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékér l? Válasz. Ha f(x) = + α k (x a) k (R > 0, x a < R), akkor bármely b a < R esetén k=0 létezik a lim f b határérték és lim f = b f(b) Mit lehet mondani monoton növeked függvény határértékér l? Válasz. Legyen (α, β) tetsz leges intervallum, f : (α, β) R egy monoton növeked függvény. Ekkor f-nek minden a (α, β) pontban létezik a jobb oldali, illetve a bal oldali határértéke is és lim f = inf{ f(x) x D f, x > a }, a+0 lim f = sup{ f(x) x D f, x < a }. a Mit lehet mondani monoton csökken függvény határértékér l? Válasz. Legyen (α, β) tetsz leges intervallum, f : (α, β) R egy monoton csökken függvény. Ekkor f-nek minden a (α, β) pontban létezik a jobb oldali, illetve a bal oldali határértéke is és lim f = sup{ f(x) x D f, x > a }, a+0 lim f = inf{ f(x) x D f, x < a }. a 0 Függvények folytonossága 112. Deniálja egy f R R függvény pontbeli folytonosságát. Válasz: Egy R R az pontban folytonos, ha > 0 > 0, < : ( ) ( ) < Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között? Válasz: Ha, akkor ( ) lim és lim = ( ) Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról? Válasz: Hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciahalmaz belsejében (a konvergenciatartományon) Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: ( ) ( ):N,lim = :lim ( ) =lim ( ) Fogalmazza meg a hányadosfüggvény folytonosságára vonatkozó tételt. Válasz:, ( ), ekkor ha ( ) 0 akkor ( ) Milyen tételt ismer az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? Válasz: ( ), ( ) ( ) Deniálja a megszüntethet szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek megszüntethető szakadási helye van az -ben, ha lim és ez véges, és lim ( ). 14

15 119. Deniálja az els fajú szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek elsőfajú szakadási helye van -ben, ha lim, lim és ezek végesek, de lim lim 120. Mit tud mondani monoton függvény szakadási helyeir l? Válasz: Ha :(, ) R monoton. Ekkor f-nek legfeljebb elsőfajú szakadásai lehetnek, azaz f vagy folytonos egy pontban, vagy elsőfajú szakadása van Mit tud mondani a korlátos és zárt [a, b] R intervallumon folytonos függvény értékkészletér l? Válasz: A korlátos és zárt [a, b] R intervallumon folytonos függvény értékkészlete is korlátos Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: Ha : [, ] R folytonos akkor f-nek létezik abszolút minimuma és abszolút maximuma Mit mond ki a Bolzano-tétel? Válasz: Tegyük fel, hogy : [, ] R folytonos függvény. Ha ( ) ( )<0, akkor van olyan (, ), hogy ( ) = 0. 15

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

matematikai statisztika 2006. október 24.

matematikai statisztika 2006. október 24. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................

Részletesebben

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam

Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik

Részletesebben

Analízis lépésről - lépésre

Analízis lépésről - lépésre Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...

Részletesebben

e s gyakorlati alkalmaza sai

e s gyakorlati alkalmaza sai Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott

Részletesebben

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Kockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában

Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?

5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke? 5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam

Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................

Részletesebben

Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből

Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből Egzisztenciatételek a differenciálegyenletek elméletéből Bodó Ágnes Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012. Tartalomjegyzék

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Gáspár Csaba. Analízis

Gáspár Csaba. Analízis Gáspár Csaba Analízis Készült a HEFOP 3.3.-P.-004-09-00/.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Gáspár Csaba Szili László, egyetemi docens c Gáspár Csaba, 006. Tartalomjegyzék. Bevezetés 5. Alapvető

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.

Pénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8. Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál

Funkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5

Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5 1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ

MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

AUTOMATÁK ÉS FORMÁLIS NYELVEK PÉLDATÁR

AUTOMATÁK ÉS FORMÁLIS NYELVEK PÉLDATÁR Írta: ÉSIK ZOLTÁN GOMBÁS ÉVA IVÁN SZABOLCS AUTOMATÁK ÉS FORMÁLIS NYELVEK PÉLDATÁR Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Ésik Zoltán, Dr. Gombás Éva és Dr. Iván Szabolcs, Szegedi Tudományegyetem

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0

Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0 Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

2. Hatványozás, gyökvonás

2. Hatványozás, gyökvonás 2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője

Részletesebben

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ

ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Egyetemi matematika az iskolában

Egyetemi matematika az iskolában Matematikatanítási és Módszertani Központ Egyetemi matematika az iskolában Hegyvári Norbert 013 Tartalomjegyzék 1. Irracionális számok; 4. További irracionális számok 7 3. Végtelen tizedestörtek 7 4. Végtelen

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus Síktopológiák a Sorgenfrey-egyenes ötletével Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év Email cím: dsoukup123@gmail.com Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus 1. Bevezetés A Sorgenfrey-egyenes

Részletesebben

A kvantummechanika általános formalizmusa

A kvantummechanika általános formalizmusa A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.

Részletesebben

1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok

1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok 1. Halmazok, halmazműveletek, ponthalmazok A) Halmazok Halmaz, halmazhoz tartozás: alapfogalom (bizonyos tulajdonságok, pontok összessége) Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha minden dologról egyértelműen

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).

Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16). FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat

Részletesebben

Vass Balázs. Online algoritmusok árverési feladatokban

Vass Balázs. Online algoritmusok árverési feladatokban Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Vass Balázs Online algoritmusok árverési feladatokban BSc Szakdolgozat Témavezet k: Kovács Erika Renáta Long Tran-Thanh ELTE, Operációkutatási Tanszék

Részletesebben

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal

A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal A kompetitív piac közelítése sokszereplős Cournot-oligopóliumokkal Tasnádi Attila Kivonat Mikroökonómia tankönyvekből és példatárakból ismert, hogy egy homogén termékű Cournot-oligopol piacon a termelők

Részletesebben

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016

Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 Nemzetközi Magyar Matematikaverseny 2016 2016 Fazekas, Berzsenyi Budapest Berzsenyi Dániel Gimnázium Fazekas Mihály Gimnázium Budapest 2. javított kiadás 2016. március 1115. Technikai el készítés, tördelés:

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Tanmenetjavaslat 5. osztály

Tanmenetjavaslat 5. osztály Tanmenetjavaslat 5. osztály 1. A természetes számok A tanmenetjavaslatokban dőlt betűvel szedtük a tananyag legjellemzőbb részét (amelyet a naplóba írunk). Kisebb betűvel jelezzük a folyamatos ismétléssel

Részletesebben

Az analízis néhány alkalmazása

Az analízis néhány alkalmazása Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz : Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz Témavezet : Sikolya Eszter, adjunktus

Részletesebben

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1.

Tantárgyi útmutató. 1. A tantárgy helye a szaki hálóban. 2. A tantárgyi program általános célja. Statisztika 1. Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Hálók kongruenciahálója

Hálók kongruenciahálója Hálók kongruenciahálója Diplomamunka Írta: Skublics Benedek Témavezet : Pálfy Péter Pál Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet 2007 Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Hálók kongruenciái 3 1.1. A

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés

Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI. Pécsi Tudományegyetem, 2005. Bevezetés Matematikai logika 1 A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI Dr. Tóth László Pécsi Tudományegyetem, 2005 Bevezetés A logika a gondolkodás általános törvényszerűségeit, szabályait vizsgálja. A matematikai logika a

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben