minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
|
|
- Ottó Fülöp
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. f(x) f(x 0 ) esetén minimumhelyről és minimumértékről beszélünk. x 0 -at f helyi minimumhelyének (maximumhelyének) mondjuk, ha van x 0 -nak olyan G környezete, hogy minden x G D esetén f(x) f(x 0 ) (illetve f(x) f(x 0 )). A f függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Szigorú monotonitásról beszélünk, ha az utóbbi egyenlőtlenségekben a szigorú egyenlőtlenség jele (<) áll.
2 Határérték Definíció. Tekintsük az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontját. Az f függvény x 0 - beli határértékének nevezünk egy a számot, ha bármely x 0 -hoz konvergáló x n D, x n x 0 sorozat esetében az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz. Álĺıtás. Legyen x 0 az f: D R R függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontja. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy f x 0 -beli határértéke a legyen, az, hogy a-nak bármely nyílt G(a, ε) környezetéhez létezzen x 0 -nak olyan nyílt G(x 0, δ) környezete, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0, akkor f(x) G(a, ε).
3 Bizonyítás. A mondott feltétel elégséges: Legyen x n D, x n x 0 olyan sorozat, hogy lim x n n = x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a. Tekintsük a-nak egy tetszőleges G(a, ε) nyílt környezetét, a feltétel miatt van olyan δ > 0 sugarú környezete x 0 -nak, hogy ha x G(x 0, δ) D, x x 0. akkor f(x) G(a, ε). x n x 0 miatt ezen δ > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy bármely n > n 0 -ra x n G(x 0, δ). Ekkor f(x n ) G(a, ε) minden n > n 0 esetén, azaz f(x n ) a. A feltétel szükséges: Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan ε > 0 sugarú G(a, ε) nyílt környezete a-nak, melyhez x 0 -nak egyetlen G(x 0, δ) nyílt környezete sem jó. Ekkor bármely n N esetén van olyan x n G(x 0, n 1 ) D, (x n x 0 ), hogy f(x n ) G(a, ε). Ez azt jelenti, hogy bár x n x 0, de f(x n ) nem konvergál a-hoz. Ez ellentmond annak, hogy f x 0 - beli határértéke a.
4 Határérték és műveletek Álĺıtás. Legyen lim f(x) = a és x x0 lim g(x) = b. Ekkor x x0 lim x x0 (f(x) + g(x)) = a + b lim x x0 (f(x) g(x)) = a b ha g(x) 0 és b 0, akkor f(x) lim x x0 g(x) = a b. ha f(x) g(x) minden x D-re, akkor lim x x0 f(x) lim x x0 g(x)
5 ha lim f(x) = x x0 x D-re, akkor lim g(x) = a és f(x) h(x) g(x) minden x x0 lim h(x) = a. x x0 Bizonyítás. Az összeg esetében, tekintsünk egy tetszőleges x n D, x n x 0, x 0 -hoz konvergáló sorozatot: x n x 0. Ilyenkor az f(x n ) sorozat konvergál a-hoz, a g(x n ) sorozat konvergál b- hez, ezért a sorozatok konvergenciájának megfelelő tulajdonsága miatt f(x n ) + g(x n ) konvergál a + b-hez. A többi álĺıtás is ezen séma alapján igazolható. Álĺıtás. Legyenek adottak az f: D 1 R R és g: D 2 R R függvények úgy, hogy f(d 1 ) D 2. Ha lim f(x) = a, a f(d x x0 1 ), és lim x a g(x) = b, akkor lim g(f(x)) = b. x x0
6 Bizonyítás. x n x 0 = f(x n ) a = g(f(x n )) b.
7 Folytonosság Definíció. Az f: D R R függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának x 0 torlódási pontjában, ha lim f(x) = f(x x x 0 ). 0 A definíciót közvetlenül, megadhattuk volna: a határtérték fogalma nélkül is f folytonos x 0 D-ben, ha bármely x n D, x n x 0 esetén f(x n ) f(x 0 ).
8 Ha ugyanis x 0 nem torlódási pontja D-nek, akkor f(x n ) f(x 0 ) mindig teljesül, hiszen ilyenkor x n x 0 csak úgy lehet, ha x n = x 0 minden n-re legfeljebb véges sok kivételével.
9 Környezetek segítségével a folytonosság így fogalmazható meg: f: D R R pontosan akkor folytonos x 0 -ban, ha f(x 0 ) bármely nyílt G(f(x 0 ), ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) nyílt környezete, hogy minden x G(x 0, δ)-ra f(x) G(f(x 0 ), ε). Az abszolút érték jelével ezt gyakran formálisan így fejezik ki: ε > 0 δ > 0 : x D : x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. A folytonosság fogalma ugyanígy definiálható akár komplex változós, akár komplex értékű függvények esetében is.
10 Folytonosság és műveletek A határérték és a műveletek kapcsolatát kifejező álĺıtások következményeként azonnal adódik, hogy ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f +g is folytonos x 0 -ban. ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f g is folytonos x 0 -ban. ha f és g folytonos x 0 -ban, g(x 0 ) 0, akkor f g x 0 -ban. is folytonos ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos f(x 0 )-ban, akkor a g f összetett függvény is folytonos x 0 -ban.
11 Egy f függvényt folytonosnak mondunk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Álĺıtás. Ha f: [a, b] R függvény folytonos, akkor korlátos is, és felveszi abszolút maximumát és minimumát. Bizonyítás. Indirekten tegyük fel, hogy f nem korlátos, pl. felülről nem korlátos. Akkor minden n N-hez van olyan x n [a, b], hogy f(x n ) > n. Világos, hogy lim n f(x n ). Mivel {x n n N} R korlátos végtelen halmaz, ezért Bolzano-Weierstraß tétele miatt van torlódási pontja, legyen ez x 0. Mivel [a, b] zárt, x 0 [a, b]. Az x n sorozatból kiválasztható olyan részsorozat, amely x 0 -hoz konvergál, jelölje ezt x k = x nk, k N. Ilyenkor tehát x k x 0, de f( x k ). Ez ellentmond f x 0 -beli folytonosságának.
12 A függvényértékek {f(x) x [a, b]} halmaza tehát korlátos, tekintsük pontos alsó, illetve pontos felső korlátját, K 1 és K 2. Belátjuk, hogy létezik x 1 [a, b] (és x 2 [a, b]), hogy f(x 1 ) = K 1 (és f(x 2 ) = K 2 ). Mivel K 1 pontos alsó korlát, bármely n N esetén van olyan x n [a, b], hogy K 1 f(x n ) < K n. x n-ből ismét kiválasztható egy x k x 0 [a, b] konvergens részsorozat. Ekkor viszont f( x k ) K 1 és f( x k ) f(x 0 ) is teljesül, ezért K 1 = f(x 0 ). Álĺıtás. Ha f: D R R függvény folytonos x 0 -ban és f(x 0 ) 0, akkor a függvény jeltartó x 0 -ban, azaz van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) nyílt környezete, hogy az e környezetből választott x-ekre f(x) állandó előjelű.
13 Álĺıtás. Ha f: [a, b] R folytonos függvény és f(a) < f(b), akkor bármely y 0 -hoz, melyre f(a) y 0 f(b), van olyan x 0 [a, b], hogy f(x 0 ) = y 0. Bizonyítás. Feltehetjük, hogy f(a) < y 0 < f(b). Legyen A = {x [a, b] f(x ) < y 0 }. A felülről korlátos, nem üres, ezért van pontos felső korlátja: x 0 = sup A. Ha f(x 0 ) > y 0, akkor f(x) y 0 jeltartó tulajdonsága miatt x 0 egy környezetében is f(x) y 0 > 0 teljesülne, de ekkor x 0 nem lehet felső korlát, csak ha x 0 = a. De ekkor f(a) > y 0 következne, ami ellentmondás. Ha f(x 0 ) < y 0 lenne, akkor f(x) < y 0 teljesülne szinén x 0 egy környezetében, s így nem lehet x 0 felső korlát, csak ha x 0 = b. De ekkor f(b) < y 0 következne, ami lehetetlen. Tehát csak f(x 0 ) = y 0 lehetséges.
14 Álĺıtás. Ha f: [a, b] [c, d] folytonos bijektív függvény, akkor szigorúan monoton és az inverz f 1 : [c, d] [a, b] függvény is folytonos.
15 Elemi függvények folytonossága Elemi függvénynek nevezzük a konstans 1, az x, az exponenciális a x, (a > 0), a sin x függvényekből a műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), az inverzképzéssel és az összetett függvény képzésével adódó függvényeket. Mindezek a lépések folytonos függvényekből kiindulva folytonos függvényt eredményeznek. 1, x, a x, sin x folytonosságát belátva kapjuk majd, hogy az elemi függvények mind folytonosak, speciálisan pl. az összes polinomfüggvény, a logaritmusfüggvény, a gyökvonás függvénye, a trigonometrikus függvény és inverzeik, stb. mind folytonosak.
16 Álĺıtás. a) f: R R, x c függvény folytonos (c konstans) b) f: R R, x x függvény folytonos c) f: R R, x a x függvény folytonos (a > 0 konstans) d) f: R R, x sin x függvény folytonos Bizonyítás. c)-hez előbb belátjuk azt, hogy ha a > 0, b n 0, akkor a b n 1. Ugyanis, ha speciálisan b n = 1, a > 1, akkor n an 1 = 1 + h n, h n 0 felbontással ( a = an) 1 n = (1 + hn ) n 1 + n h n
17 teljesül a Bernoulli egyenlőtlenség miatt. Ebből a 1 n h n következik, amiből h n 0, an 1 1 adódik. 0 < a < 1 esetében 1 a -ra alkalmazva a most bizonyítottat, azonnal adódik az a1 n 1 konvergencia. Tetszőleges b n > 0, b n 0 sorozat esetében feltehetjük, hogy b n < 1. Ekkor minden n N-hez van olyan k n N, hogy 1 k n + 1 b n < 1 k n Könnyen látható, hogy b n 0 miatt k n. Az egyenlőtlenségből a > 1 miatt akn+1 1 a bn < akn 1
18 A baloldalon és a jobboldalon szereplő sorozatok részsorozatai az an 1 sorozatnak, ezért 1-hez konvergálnak, s így a közrefogott a b n sorozat is. Vegyes előjelű b n sorozat esetében bontsuk fel egy pozítív tagú c n és egy negatív tagú d n részsorozatra az eredetit. A pozitív tagúra, illetve negatív tagú ( 1)-szeresére alkalmazva a most bizonyítottat: a c n 1 és a d 1 n 1. A másodikból a d 1, n s reciprokát véve a d n 1. E szerint a b n mindkét részsorozata 1-hez tart, ezért a b n 1. Az a x függvény x 0 -beli folytonosságának bizonyításához tekintsünk egy x n x 0 sorozatot. Ilyenkor x n x 0 0, ezért a x n x 0 1. Tetszőlegesen választott ε > 0-hoz van olyan n 0 N, hogy a x n x 0 1 < ε a x, ha n > n 0. Ilyen n-ekre 0 a xn a x 0 = a x 0 a x n x 0 1 < a x 0 ε a x 0 = ε
19 teljesül, ami a x n a x 0 konvergenciát jelenti.
20 c) A sin x függvény x 0 -beli folytonosságának igazolásához az ε δ-s bizonyítási módot alkalmazzuk. Ismert trigonometriai képletet alkalmazva, a geometriailag nyilvánvaló sin x < x egyenlőtlenség miatt sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges ε > 0-hoz a δ = ε választás jó: ha x x 0 < δ = ε, akkor sin x sin x 0 < ε.
21 Néhány függvény határértéke 1. lim x 0 (1 + x) 1 x = e. 2. lim x 0 a x 1 x = ln a. 3. lim x 0 sin x x = 1.
22 A határérték fogalom kiterjesztése A végtelen, mint határérték Definíció. Az f: D R R függvény értelmezési tartományának x 0 torlódási pontjában a határértéke végtelen, ha bármely x n x 0, x n D, x n x 0 sorozat esetén f(x n ). Jele: lim f(x) = x x0. Itt is megadható a környezetekkel történő definíció analógiája: f x 0 -beli határértéke végtelen, ha bármely K R számhoz van olyan G(x 0, δ) nyílt környezete x 0 -nak, hogy minden ebből vett, de x 0 -tól különböző x-re f(x) > K.
23 Hasonlatosan értelmezhető a mínusz végtelenhez való tartás is. E kibővített értelmű határértékről is egyszerű tulajdonságok fogalmazhatók meg. Pl.: ha lim f(x) = és lim g(x) =, x x0 x x0 akkor lim (f(x) + g(x)) = x x0 és lim (f(x) g(x)) = x x0 ha lim x x0 f(x) = és lim x x0 g(x) > 0, akkor lim x x0 (f(x) g(x)) =.
24 Például lim x 0 1 x 2 =
25 Végtelenben vett határérték Definíció. Legyen adott az olyan f: D R R függvény, melynek értelmezési tartománya felülről nem korlátos. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a végtelenben az a szám, ha bármely x n D, x n sorozat esetén f(x n ) a. Jele: lim f(x) = a. Alulról nem korlátos értelmezési x tartomány esetében értelmezhetjük a mínusz végtelenben a függvény határértékét: lim x f(x) = a, ha bármely x n D, x n esetén f(x n ) a. E definíciókat környezetek segítségével is megadhattuk volna, pl.: lim f(x) = a, ha ε > 0 K R, hogy x D, x > K-ra x f(x) a < ε.
26 A függvény határértéke a végtelenben (vagy a mínusz végtelenben) lehet akár végtelen, akár mínusz végtelen is: pl. lim f(x) = akkor teljesül, ha minden x x n esetén f(x n ). Példa: 1 lim x x = 0, lim x log 2 x =.
27 Bal-, és jobboldali határértékek Definíció. Legyen D = [a, b], s a < x 0 < b. Az f: D R függvény x 0 -beli jobboldali határértéke végtelen, ha bármely x n D, x n > x 0, x n x 0 sorozat esetén f(x n ). A jobboldali határérték jele: lim f(x), a baloldalié: lim x x 0 +0 f(x). x x 0 0 Az f: D R R függvény balról folytonos x 0 -ban, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ > 0, hogy ha x (x 0 δ, x 0 ), akkor f(x) f(x 0 ) < ε. Példa: lim x x =,
28 lim tg x =, x π/2 0 az f(x) = [x] egész-rész függvény 1-ben jobbról folytonos, de balról nem. Megjegyzés. Ha az f függvénynek x 0 -ban létezik baloldali és jobboldali (véges) határértéke, de ott nem folytonos, akkor x 0 -at elsőfajú szakadási pontnak nevezzük. Ha ott jobboldali és balodali határértékük megegyezik, akkor megszüntethető sin x szakadásnak mondjuk. Pl. 0-ban megszüntethető x szakadással rendelkezik. Az egyéb nem folytonossági helyeket másodfajú szakadási helynek mondjuk, pl. 1 x 0-ban. 0-ban, vagy sin 1 x
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága
Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenKozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004
Kozma László Matematikai alapok 2. kiegészített kiadás Debrecen, 2004 Egyetemi jegyzet, kézirat, 2004 2. kiegészített kiadás Kiadó: Studium 96 Bt., Debrecen Nyomda: Alföldi Nyomda Rt., Debrecen Az összeállítás
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben