Függvények határértéke és folytonossága

Átírás

1 Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. /

2 Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f : D R adott függvény és x 0 a D halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x 0 -ban A, ha minden x n D (x n x 0 ), x n = x 0 sorozat esetén az (f(x n )) sorozat konvergens és f(x n)=a. Jele: x x 0 f(x) =A, és ezt úgy olvassuk, hogy esz x tart x 0 esetén f(x) egyenlő A-val. Megjegyzés.Véges x 0 helyen a határérték nemcsak véges lehet, hanem ± is. Függvények határértéke p. 2/

3 A jobb- és bal oldali határérték Definíció. Legyen D R, f : D R, x 0 R torlódási pontja az ]x 0, + [ D-nek. Az f függvénynek x 0 -ban létezik a jobb oldali határértéke, haazf függvény [x 0, + [ D-re való leszűkítésének létezik a határértéke. Jele: f(x) =y 0. x x 0 +0 Definíció. Legyen D R, f : D R, x 0 R torlódási pontja az ],x 0 [ D-nek. Az f függvénynek x 0 -ban létezik a bal oldali határértéke, ha az f függvény ],x 0 ] D-re való leszűkítésének létezik a határértéke. Jele: f(x) =y 0. x x 0 0 Tétel. Az f függvénynek pontosan akkor létezik a határértéke az x 0 -ban, ha itt létezik a bal- ill. jobb oldali határértéke, és ezek egyenlőek. Ez a közös határérték lesz az f függvény x 0 -beli határértéke. Függvények határértéke p. 3/

4 A jobb- és bal oldali határérték szemléltetése f(x n ) f(x 5 ) f(x 4 ) f(x 3 ) Y n x n = + n f(x n ) f(x 2 ) f(x ) x 5 x 4 x 3 x 2 x n = + n x X Függvények határértéke p. 4/

5 A jobb- és bal oldali határérték kiszámítása Jobb oldali határérték: áttérünk az x n = + n sorozatra. x +0 x + + = + n = n +=. ++ = Bal oldali határérték: áttérünk az x n = n sorozatra. n += x 0 x + + = n = n +=. ++ = n += A jobb- és a bal oldali határérték nem egyenlő, így a függvénynek az x 0 = helyen nincs határértéke. Függvények határértéke p. 5/

6 Határérték a végtelenben Definíció. Legyen D R felülről nem korlátos halmaz, f : D R adott függvény, továbbá x n D olyan sorozat, amelyre x n =. Haaz (f(x n )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (x n ) sorozat esetén konvergens és f(x n)=a (A R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek létezik a határértéke a végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele: f(x) =A. x Definíció. Legyen D R alulról nem korlátos halmaz, f : D R adott függvény, továbbá x n D olyan sorozat, amelyre x n =. Haaz (f(x n )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (x n ) sorozat esetén konvergens és f(x n)=a (A R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek létezik a határértéke a mínusz végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele: x f(x) =A. Függvények határértéke p. 6/

7 A végtelenben vett határérték kiszámítása x x + + = x = x = x +(x +) = x + x +2 x + = x ( + 2 x ) x ( + x ) = x + 2 x + x =. x x + + = x = x = x +(x +) x + x +2 x + = = x ( + 2 x ) x ( + x ) = x + 2 x + x =. Függvények határértéke p. 7/

8 Függvény ábrázolása a határérték ismeretében Összefoglalva: A jobb oldali határérték a szakadási helyen:. A bal oldali határérték a szakadási helyen:. A határérték a -ben és a -ben:. Ennek alapján a függvény képe: x 0 0 y Függvények határértéke p. 8/

9 Egy gyakorlati alkalmazás Egy üzem termelési volumenének alakulásában általában három jellegzetes szakasz figyelhető meg. A termelés megindulása utáni szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Később a növekedés gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése rendszerint újra lassul (pl. a kereslet lanyhulása, vagy a piac telítettsége miatt). Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az idő függvényében az f(t) = a, a>0, λ>0. +b e λ t ún. logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt időt, f(t) pedig a termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg. Függvények határértéke p. 9/

10 Egy gyakorlati alkalmazás A konkrét logisztikus függvény: f(t) = e t evek Az állandó termelt mennyiség: f(t) = t t = 5+56 e t 5 =39. A harmadik szakaszban a termelt mennyiség 39 ezer termék. Függvények határértéke p. 0/

11 Függvény folytonossága Definíció. Legyen D R, f : D R adott függvény és x 0 D. Az f függvény folytonos az x 0 -ban, haf-nek létezik a határértéke x 0 -ban és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz x x 0 f(x) =f(x 0 ). Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f folytonos az értelmezési tartományán, vagy röviden: f folytonos függvény. Megjegyzés. Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely pontjában nem folytonos, akkor a függvénynek ott szakadási helye van. Függvények határértéke p. /

12 Szakadási helyek típusai Y Y Y x 0 x 0 X X Az f függvénynek x 0 -ban elsőfajú szakadása van, ha x 0 -ban létezik a jobb-, illetve bal oldali véges határértéke. Ha még az is teljesül, hogy a jobb-, illetve bal oldali véges határérték megegyezik, akkor ez a szakadás megszüntethető. A függvény szakadási helye másodfajú, ha nem elsőfajú. x 0 X Függvények határértéke p. 2/