Mátrixok, mátrixműveletek

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Mátrixok, mátrixműveletek"

Piroska Mezei
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1

2 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap alakú táblázatba, amelynek n sora és m oszlopa van; az i-edik sor és a j-edik oszlop közös elemét jelöljük a ij -vel; a táblázat elemeit szögletes vagy kerek zárójellel foglaljuk egybe Az így szerkesztett táblázatot mátrixnak nevezzük, pontosabban n m típusú mátrixnak: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm = A n m Egy konkrét példa: = A Megjegyzés A mátrix egy elemét az indexével érhetjük el Például a 2 sor 3 oszlopában álló elem: a 23 = 4 Mátrixok, mátrixműveletek p 2/1

3 Speciális mátrixok 1 Kvadratikus vagy négyzetes mátrix: olyan mátrix, ahol a sorok és oszlopok száma megegyezik egymással, azaz n = m Jelölése: A n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Egy konkrét példa: A 3 3 = Definíció Egy n n típusú kvadratikus mátrix főátlóján az a ii elemeket (i = 1, 2,, n), míg mellékátlóján az a i(n+1 i) (i = 1, 2,,n) elemeket értjük A példában megadott mátrix főátlójában az 1, 2, 1, míg mellékátlójában a 2, 2, 3 elemek állnak Mátrixok, mátrixműveletek p 3/1

4 Speciális mátrixok 2 Diagonálmátrix vagy átlósmátrix: az olyan kvadratikus mátrix, amelynek csak a főátlójában van 0-tól különböző elem Azaz: A = a a a nn Egy konkrét példa: A 3 3 = Egységmátrix: az a diagonálmátrix, amelynek főátlójában minden elem 1 Jele: E n Egy konkrét példa: E n = E 3 = Mátrixok, mátrixműveletek p 4/1

5 Speciális mátrixok 4 Zérusmátrixnak nevezzük azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0 5 Oszlopmátrix (oszlopvektor): olyan mátrix, amelynek egyetlen oszlopa van Általánosan: A n 1 = a 11 a n1 Egy konkrét példa: A 3 1 = Sormátrix (sorvektor): olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van Általánosan: B 1 m = (b 11 b 1m ) Egy konkrét példa: B 1 3 = ( ) Mátrixok, mátrixműveletek p 5/1

6 Mátrixműveletek Definíció Két mátrix azonos típusú, ha mindkettő n m-es, azaz mindkettőben ugyanannyi sor és ugyanannyi oszlop van Definíció Két mátrix pontosan akkor egyenlő egymással, ha azonos típusúak és a megfelelő helyeken álló elemeik rendre megegyeznek A következő mátrixművelketeket tekintjük át: 1 Transzponálás 2 Mátrix skalárral való szorzása 3 Mátrixok összeadása 4 Mátrixok lineáris kombinációja 5 Mátrix szorzása mátrixszal 6 Mátrixok hatványozása Mátrixok, mátrixműveletek p 6/1

7 Transzponálás Transzponálás Ha az A mátrix sorait és oszlopait felcseréljük egymással, az A mátrix transzponáltját kapjuk, amit A T -vel jelölünk Példa A 3 4 = A T 4 3 = Az A kvadratikus mátrixot szimmetrikusnak mondjuk, ha A = A T Az A kvadratikus mátrix antiszimmetrikus, ha A = A T Mátrixok, mátrixműveletek p 7/1

8 Mátrix skalárral való szorzása Definíció Legyen az A n m = (a ij ) mátrix és λ R adott A λ A mátrixon azt a B n m = (b ij ) mátrixot értjük, amelynek bármely elemére b ij = λ a ij i = 1, 2,,n; j = 1, 2,, m Példa B 3 4 = 3 A 3 4 = = = = Mátrixok, mátrixműveletek p 8/1

9 Mátrixok összeadása A művelet csak az azonos típusú mátrixok halmazán értelmezett Definíció Az A n m = (a ij ) és B n m = (b ij ) mátrixok összegén azt a C n m = (c ij ) mátrixot értjük, amelynek minden elemére c ij = a ij + b ij i = 1, 2,, n; j = 1, 2,,m Példa A B 3 4 = = = = Mátrixok, mátrixműveletek p 9/1

10 Mátrixok lineáris kombinációja Definíció Ha az A 1, A 2,,A n azonos típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a k 1, k 2,,k n valós számokkal, és a szorzatokat összeadjuk, akkor az így kapott k 1 A 1 + k 2 A k n A n = L mátrixot az adott mátrixok lineáris kombinációjának nevezzük Példa ( 1) = = Mátrixok, mátrixműveletek p 10/1

11 Mátrix szorzása mátrixszal Definíció Az n m típusú A = (a ij ) és az m p típusú B = (b ij ) mátrixok A B szorzatán azt az n p típusú C mátrixot értjük, amelynek minden c ij elemére c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj = m a ik b kj, k=1 ahol i = 1, 2,,n és j = 1, 2,,p Megjegyzés Az A = (a ij ) mátrixnak a B = (b ij ) mátrixszal való A B szorzatát csak akkor értelmezzük, ha az A mátrixnak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a B mátrixnak Ekkor az eredménymátrix sorainak száma megegyezik az A mátrix sorainak a számával, oszlopainak száma pedig egyenlő a B mátrix oszlopainak a számával Azaz: C n p = A n m B m p Mátrixok, mátrixműveletek p 11/1

12 Mátrix szorzása mátrixszal Az eredménymátrix i-edik sorának k-adik elemét úgy kapjuk meg, hogy az első (A) mátrix i-edik sorát szorozzuk a második (B) mátrix k-adik oszlopával oly módon, hogy az első elemet az első elemmel, a másodikat a másodikkal stb, az m-ediket az m-edikkel szorozzuk össze, és ezeket a szorzatokat összegezzük Ezt a szorzást sor-oszlop kompozíciónak szokták nevezni Példa (Falk-módszer és oszlopösszegpróba) Mátrixok, mátrixműveletek p 12/1

13 Mátrixok hatványozása Definíció Az A kvadratikus mátrix n-edik hatványa: A n = A } A {{ A } n Kiszámítása kéttényezős szorzatokkal történik Mátrixok, mátrixműveletek p 13/1

Hasonló dokumentumok

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat