1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

Átírás

1 /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül. 3. Igazoljuk, hogy minden A és B halmazra A = B pontosan akkor teljesül, ha P(A) = P(B). ( ) 4. Legyen A halmaz és (A i ) i N halmazrendszer. Igazoljuk, hogy ekkor A \ A i = i N(A \ A i ). 5. Mutassuk meg, hogy minden n N \ {} esetén 6. Mutassuk meg, hogy minden n N, n esetén 7. Igazoljuk, hogy ha n N, 4 n akkor n n!. i N n (k 3k + ) = 3 n(n 3n ). k= n 4 k = 3n n. n(n + ) 8. Teljes indukcióval mutassuk meg, hogy minden n N természetes számra teljesül. n k,l= + k + l = k<l n k= n + k + l + + k k= Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

2 /. Házi feladat. Legyen A, B R felülről korlátos halmaz. Igazoljuk, hogy A B is felülről korlátos, valamint sup (A B) = max {sup A, sup B} teljesül.. Legyen A, B R alulról korlátos halmaz. Igazoljuk, hogy A + B is alulról korlátos, valamint inf A + inf B = inf(a + B) teljesül. 3. Legyen A, B R + felülről korlátos halmaz. Igazoljuk, hogy minden A, B R + esetén AB felülről korlátos, valamint (sup A) (sup B) = sup(ab) teljesül. 4. Legyen a, b, x, x R paraméter, és minden n N számra legyen x n+ = ax n + bx n+. Igazoljuk, hogy ha b + 4a = és b, akkor minden n N számra ( x n = x ( n) + n ) ( ) n b b x. 5. Tekintsük az { } A = ] 5, ] n N \ {} n [5, [ R halmazt. i.) Határozzuk meg az A halmaz belső, torlódási, határ- és izolált pontjait. ii.) Adjuk meg az Int A és az A halmaz elemeit. 6. Igazoljuk, hogy minden a, b, c R + számra b a + c b + a c a b + b c + c a. 7. Igazoljuk, hogy minden a, b, c R + számra 8abc (a + b)(b + c)(c + a). 8. Igazoljuk, hogy minden a, b, c R + számra (a + b c)(a b + c)( a + b + c) abc. Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

3 /3. Házi feladat. Legyen a =, és tekintsük az a n+ = 7a n + 8 rekurzióval meghatározott a sorozatot. Igazoljuk, hogy az a sorozat monoton növő és felülről korlátos. 5n 3 n. A definíció szerint igazoljuk a lim n n n = határértéket. 8n + 3. A definíció szerint igazoljuk a lim n n = 4 határértéket. adjunk meg egy jó N N küszöbindexet.) (Azaz minden ε R+ számhoz n 8 4. A definíció szerint igazoljuk a lim n 5n 6 + 3n 4 7 számhoz adjunk meg egy jó N N küszöbindexet.) = határértéket. (Azaz minden ε R+ 6n 4 3n 3 + n n + 5. Számoljuk ki a lim n n 4 + n határértéket. ( 6. Számoljuk ki a lim n 9n + 3n + 8 ) 9n + 3n + 6 határértéket. n 4n + 4n + 7. Számoljuk ki a lim határértéket. n 64n + 64n Adjunk példát olyan a, b : N R sorozatokra, melyek divergensek, azonban a + b és ab már konvergens! Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

4 /. Házi feladat. Tekintsük az a : N R, a n = cos ( ) nπ n + ( ) n n + n + 3n lim sup a n értékeit. n sorozatot. Adjuk meg lim inf n a n és. Keressünk olyan N N küszöbindexet az ε = értékhez és az a : N R, a n = n 3 n + sorozathoz, melyre minden n, m N számra N < n, m esetén teljesül. a n a m < ε 3. A Cauchy-sorozat definíciójával igazoljuk, hogy az a : N R, a n = n + n sorozat Cauchysorozat. ( ) n 3n Számoljuk ki a lim határértéket. n 3n 4 ( ) n 4n + 5. Számoljuk ki a lim határértéket. n 7n + 5 n+ n3 + 5n 6. Számoljuk ki a lim n 7n 4 n + 7 határértéket. n 7. Számoljuk ki a lim n 4n n n n 49 n n határértéket. 8. Konvergens-e az a = 4, a n+ = 8a n 7 (n N) rekurzióval adott sorozat, és ha igen, mi a határértéke? Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

5 /. Házi feladat. Igazoljuk, hogy a n= ( n n ) sor konvergens.. A sor konvergenciájának a definíciója alapján mutassuk meg, hogy a n ( ) n sor nem konvergens. 3. Igazoljuk, hogy a n 4. Igazoljuk, hogy a n n n + 7 n 3 + 4n 5n + n + 3n 8 n 4 n 3 + 4n n + 4 sor divergens. sor konvergens. 5. Számoljuk ki 6. Konvergens-e a n= 3 n n értékét. n= ( ) (n n + 5 ) n n sor? 7 8. Milyen valós x R paraméterek esetén lesz konvergens a vizsgáljuk meg az x >, x <, x = ± eseteket!) n= n n (n + ) xn sor? (Külön-külön Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

6 /3. Házi feladat. Konvergens, illetve abszolút konvergens-e a ( ) n n n + sor?. Határozzuk meg, hogy pontosan mely valós x értékek esetén konvergens a n= n= x n n hatványsor. ( ) n 3. Határozzuk meg az A = n= n 5 szám értékét 3 -nél kisebb hibával. 4. Legyen α R. Mutassuk meg, hogy a α >. n=3 sor pontosan akkor konvergens, ha n(log n)(log log n) α 5. Legyen q ], [ és a : N R, a n = q n. Mutassuk meg, hogy (a a) n = (n + )q n teljesül, és ennek segítségével igazoljuk a (n + )q n = ( q) formulát. n= 6. Legyen a, b : N R tetszőleges sorozat. Teljes indukcióval igazoljuk az Abel-átrendezést, azaz mutassuk meg, hogy minden n N \ {} esetén teljesül. ( n n a k b k = (a k a k+ ) k= k= ) k n b i + a n 7. A konvexitás definíciója alapján igazoljuk, hogy az f : R R, f(x) = x függvény konvex. 8. Legyen f : R R olyan függvény, mely az egész számegyenesen konvex és konkáv. Mutassuk meg, hogy ekkor léteznek olyan a, b R paraméterek, hogy minden x R esetén f(x) = ax + b. i= k= b n Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

7 3/. Házi feladat. A konkavitás definíciójával mutassuk meg, hogy az : R + R, x x függvény konkáv.. Az f : R R, f(x) = x + 3x + függvényhez, az a = 3 ponthoz és az ε = paraméterhez keressünk olyan δ R + értéket, melyre az teljesül, hogy minden x ]a δ, a + δ[ \ {a} esetén f(x) < ε. 3. A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy lim x 3 ( x x + ) = 6. ( 4. A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy lim x 4 x 3 + x ) =. x 5. Az f : R R, f(x) = 6x + függvényhez, az a = 4 ponthoz és az ε = paraméterhez keressünk olyan δ R + értéket, melyre az teljesül, hogy minden x R, x a < δ esetén f(x) f(a) < δ. x + x 5 6. lim x 3 x =? 9 7. lim x x( x + x 3) =? 8. lim x x3 (x x + x ) =? Határidő: 6... Kalkulus, Házi feladatok

8 3/. Házi feladat sin(x ). lim x tg ( ) x =?. lim x sin(5x) sh(4x) =? 3. lim x cos(x) e 4x 4x =? 4. Tekintsük az f : R + R, f(x) = 8 x függvényt. Az ε = számhoz adjunk meg olyan δ R + paramétert, melyre minden x, x R + számra x x < δ esetén f(x ) f(x ) < ε teljesül. 5. Adjunk meg olyan f, g : R R függvényt, melyre lim x f(x) = lim x g(x) =, de lim x f(g(x)) =. 6. Legyen f : ], [ R folytonos -ban és minden x < -re f(x 4 ) = f(x). Mutassuk meg, hogy az f függvény állandó. 7. Legyen f : [, ] R folytonos, x,..., x n [, ]. Mutassuk meg, hogy van olyan x [, ], melyre f(x) = n f(x k ). n k= 8. Legyen f : R R. Mutassuk meg, hogy ha minden a R esetén a lim x a f(x) határérték létezik és véges, akkor a g : R R, g(a) = lim x a f(x) függvény folytonos. Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

9 . Legyen f : értékét.. Legyen g : értékét. 3. Mutassuk meg, hogy az 3/3. Házi feladat ], [ R, f(x) = 3x. A derivált definíciója alapján számítsuk ki f ( 3) 3 ], [ R, g(x) = 5 x 3 tg(5x ). A derivált definíciója alapján számítsuk ki g () f : R R x { x sin ( x ), ha x ;, ha x = függvény mindenütt differenciálható. 4. Legyen a, b R +. Igazoljuk, hogy az f(x) = x a és a g(x) = b/x függvények grafikonjai merőlegesen metszik egymást, azaz a metszéspontban az érintők merőlegesek egymásra. 5. Legyen f : R R Milyen a, b esetén létezik f ()? x { (3x ), ha x ; ax + b, ha x <. 6. f : R R, f(x) = x x + 3x + 4. f (x) =? 7. f : R R, f(x) = 3 x + th ( + x). f (x) =? 8. f : R R, f(x) = 5 cos x sin x. f (x) =? Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

10 . Igazoljuk, hogy < a < b esetén b a b (. lim x x ) e x =? 3. Legyen a 4/. Házi feladat < log ( ) b < b a a a. ], π [ ( ) tg x tg(x a) tetszőleges. Számoljuk ki a lim x a tg a határértéket. 4. Igazoljuk, hogy az 3 : R R, x 3 x függvény egyenletesen folytonos. 5. Számoljuk ki arsh () () értékét. 6. Mutassuk meg, hogy minden x R esetén a k= ( ch x ) sor konvergens. k 7 8. Legyen f : R \ {} R, f(x) = (x + ) e /x. Végezzünk függvényvizsgálatot: a.) f(x) =? b.) lim x ± lim x ± f(x) =? c.) Mely intervallumo(ko)n monoton növő illetve csökkenő a függvény? d.) Mely intervallumo(ko)n konvex illetve konkáv a függvény? e.) Adjuk meg a függvény lokális illetve globális szélsőértékeit. f.) Vázlatosan ábrázoljuk a függvényt. Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

11 4/. Házi feladat. Igazoljuk, hogy ha f kétszer differenciálható az a pontban, akkor teljesül. f(a + h) f(a + h) + f(a) lim h h = f (a). Adjuk meg az r R + surgarú gömbbe írható maximális térfogatú egyenes körkúp alapkörének a sugarát. 3. Helyettesítéssel számoljuk ki az alábbi integrálokat. e x + d x e 3x x 6 x + d x 4. Számoljuk ki az g(f(x))f (x) d x típusú integrálokat. sin x sin x d x arsh x + x d x 5. Számoljuk ki a parciális integrálokat. (x ) ch(x + 3) d x log x dx x + x 6. Számoljuk ki az + x 3 d x integrált. 7. Számoljuk ki az 3x 3 + x + 3x + 7 (x + ) (x + ) d x integrált. 8. Legyen I R nyílt intervallum, f : I R szigorúan monoton és differenciálható függvény, legyen F a f egy primitív függvénye és legyen ϕ = f. Bizonyítsuk be, hogy ϕ(t) d t = tϕ(t) F (ϕ(t)) + C teljesül. Határidő: Kalkulus, Házi feladatok

12 4/3. Házi feladat. Igazoljuk az alábbi formulákat. 3x. d x = 5 (4x ) π e π π π x e x sin x d x = eπ (π ) (x + x + ) ln(3x) d x = e3 9 + e (sin 4 x)(cos x) d x = π 3 (sin 4 x)(cos 4 x) d x = 3π 8 (sin 3 x)(cos 3 x) d x = x (x + )(x + ) d x = π 4 log x (x + ) d x = 3 4 log. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat, ahol a, b R +, a < b paraméter e x d x 5. + x 4 d x 6. e bx sin(bx) d x 7. 3 x d x 8. b a log x x d x x + x + d x (x a)(b x) d x log x d x Határidő: Kalkulus, Házi feladatok