Boros Zoltán február

Átírás

1 Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n nyílt... Differenciálhatóság fogalma.. Definíció. Azt mondjuk, hogy f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, R {}} m n { ha létezik A L(R n, R m ) úgy, hogy f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m lim x x 0 x x 0 R n 0. () Ekkor az f (x 0 ) A lineáris leképezést (avagy mátrixot) az f függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük..2. TÉTEL. [Lineáris approximálhatóság]: Ha f : D R m és x 0 D, akkor az alábbi feltételek ekvivalensek: (a) f differenciálható x 0 -ban; (b) A L(R n, R m ) és r : D R m úgy, hogy lim x x 0 r(x) x x 0 0 és f(x) f(x 0) A(x x 0 ) + r(x) (x D); (c) A L(R n, R m ) és ω : D R m úgy, hogy lim ω(x) ω(x 0 ) 0 és f(x) f(x 0 ) A(x x 0 )+ x x 0 ω(x) (x D). x x 0 Továbbá (a) (b)-ben és (c)-ben A f (x 0 ).

2 Bizonyítás. A definíció (és a következő megjegyzés) alapján nyilvánvaló..3. Megjegyzés. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m, x 0 D és az A R m n mátrix j-edik sorvektora A j (j, 2,..., m), akkor f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m lim x x 0 x x 0 R n 0 R [ ] lim f(x) f(x0 ) A(x x ) x x 0 x x 0 0 R m j {, 2,..., m} : lim x x0 x x 0 [f j(x) f j (x 0 ) A j (x x 0 )] 0 R Tehát f differenciálható x 0 -ban j {, 2,..., m} : f j differenciálható x 0 -ban és f (x 0 ) f f 2(x 0 ) (x 0 ).. f m(x 0 ).4. TÉTEL. Ha f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Mivel f lineárisan approximálható, a (c)-beli A és ω választásával f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) + x x 0 ω(x) A(x x 0 ) + x x 0 ω(x) A x x 0 + x x 0 ω(x) ezért lim x x0 f(x) f(x 0 ) Irány menti és parciális derivált.5. Definíció. Legyen f : D R m, x 0 D és e R m ( e ). A D e f(x 0 ) lim t 0 t (f(x 0 + te) f(x 0 )) határértéket, ha létezik, az f függvény x 0 -beli e irány menti deriváltjának nevezzük..6. Megjegyzés. Ha I R intervallum úgy, hogy 0 I és t I : x 0 + te D, valamint ϕ(t) x 0 + te (t I), akkor D e f(x 0 ) ϕ (0). 2

3 .7. TÉTEL. Ha f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor minden e R n esetén létezik D e f(x 0 ) és D e f(x 0 ) f (x 0 ) e. Bizonyítás. A lineáris approximálhatóság (c) alakja szerint t (f(x 0 + te) f(x 0 )) t [A(te) + te ω(x 0 + te)] A(e) + tehát D e f(x 0 ) A e f (x 0 ) e. t e ω(x 0 + te), }{{} t }{{} ω(x 0 )0 sgn(t) {,}.8. Definíció. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m, x 0 D és e i (0,..., 0,, 0,..., 0) R n, ahol az, az i-edik pozícióban van, akkor a D i f j (x 0 ) D ei f j (x 0 ) valós számot, ha létezik az f függvény j-edik koordináta-függvénye x 0 pontbeli i-edik (változó szerinti) parciális deriváltjának nevezzük (i, 2,..., n; j, 2,..., m)..9. Megjegyzés. Ha I R nyílt intervallum úgy, hogy x 0,i I és t I : (x 0,,..., x 0,i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) D, valamint akkor D i f j (x 0 ) ϕ (x 0,i ). ϕ(t) f j (x 0,,..., x 0,i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) (t I), A(z).9. megjegyzés szerint a parciális deriváltak egyváltozós, valós értékű függvények deriváltjaként számolhatók. A(z).8. definíció és a(z).7. tétel alábbi következménye azt mutatja, hogy az előbbiek szerint az egyváltozós kalkulus eszközeivel számítható parciális deriváltak megadják a vektorváltozós, vektorértékű függvény adott pontbeli deriváltjának mátrix reprezentációját a természetes bázisokra nézve. Ez egyébként igazolja a derivált egyértelműségét is..0. TÉTEL. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor j {, 2,..., m} : i {, 2,..., n} : létezik D i f j (x 0 ) R és f (x 0 ) D f (x 0 ) D 2 f (x 0 )... D n f (x 0 ) D f 2 (x 0 ) D 2 f 2 (x 0 )... D n f 2 (x 0 )... D f m (x 0 ) D 2 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) Rm n. 3

4 .3. A differenciálhatóság elegendő feltétele.. TÉTEL. Legyen x 0 R n, δ > 0. Ha f : K(x 0, δ) R úgy, hogy x K(x 0, δ) : i {, 2,..., n} : D i f(x), akkor h R n, h < δ esetén c, c 2,..., c n K(x 0, δ) : f(x 0 + h) f(x 0 ) D i f(c i )h i (2) i (ahol h (h, h 2,..., h n )). Bizonyítás. Legyen i {, 2,..., n} és K i { (x 0, + h,..., x 0,i + h i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) : t I i }, ahol I i [x 0,i, x 0,i + h i ], ha h i > 0, illetve I i [x 0,i + h i, x 0,i ], ha h i < 0, valamint ϕ i (t) f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) (t I i ). A Lagrange-féle középérték-tétel szerint t i Ii és : ϕ i (x 0,i + h i ) ϕ i (x 0,i ) ϕ i(t i )h i ϕ i(t i ) D i f (x 0, + h,..., x 0,i + h i, t i, x 0,i+,..., x 0,n ) D }{{} i f(c i ) c i (i, 2,..., n), tehát f(x 0 + h) f(x 0 ) ( f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, x 0,i + h i, x 0,i+,..., x 0,n ) i ) f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, x 0,i, x 0,i+,..., x 0,n ) (ϕ i (x 0,i + h i ) ϕ i (x 0,i )) i D i f(c i )h i. i.2. TÉTEL. Legyen D R n nyílt. Tegyük fel, hogy az f : D R m függvény minden koordináta függvényének minden parciális deriváltja létezik az x 0 D pont egy környezetében. (a) Ha a parciális deriváltak korlátosak x 0 x 0 -ban. egy környezetében, akkor f folytonos (b) Ha a parciális deriváltak folytonosak x 0 -ban, akkor f differenciálható x 0 -ban. 4

5 Bizonyítás. Mindkét állítást elengedő m esetre igazolni, mert f f 2 ( ) ( folytonos f x. differenciálható 0 ban j {,..., m} : f j f n folytonos differenciálható x 0 ban. Legyen r > 0 úgy, hogy K(x 0, r) D és f : D R minden parciális deriváltja létezik K(x 0, r) pontjaiban. (a) Tegyük fel, hogy i {,..., n} : x K(x 0, r) : D i f(x) M R. Ekkor h R n, h < r esetén az előző tétel szerint c i K(x 0, r) (i,..., n) úgy, hogy ) f(x 0 + h) f(x 0 ) D i f(c i )h i i D i f(c i ) h i M h i (b) Ugyancsak az előző tétel és bizonyítást felhasználva h R n, h < r esetén c i K(x 0, r) : c i x 0 h (i,..., n) és f(x 0 +h) f(x 0 ) D i f(c i )h i i D i f(x 0 )h i + (D i f(c i ) D i f(x 0 )) h i i i A h + ω(x 0 + h) h, ahol A (D f(x 0 ) D 2 f(x 0 )... D n f(x 0 )) R n (L(R n, R)) és ω(x 0 + h) { n h i (D if(c i ) D i f(x 0 )) h i, ha h 0 [ R n ], 0, ha h 0. Mivel D i f folytonos x 0 -ban, ε > 0 : δ ]0, r] : x R n, x x 0 < δ esetén D i f(x) léteik és D i f(x) D i f(x 0 ) < ε, ezért h < δ esetén ω(x 0 + h) < ε h h < nε, tehát lim h 0 ω(x 0 + h) Megjegyzés. f a D minden pontjában létezik és f : D R m n folytonos j {,..., m} : i {,..., n} : D i f j (x) és D i f j : D R n folytonos. A továbbiakban ezen ekvivalens tulajdonságokra úgy fogunk hivatkozni, hogy f : D R m folytonosan differenciálható. 5

6 2. Differenciálási szabályok 2.. TÉTEL. [Összetett függvény differenciálhatósága]: Legyen k, n, m N, D R k nyílt, E R n nyílt, g : D E differenciálható az x 0 D pontban, f : E R m differenciálható az y 0 g(x 0 ) pontban és F (x) (f g)(x) f(g(x)) (x D). Ekkor F differenciálható az x 0 pontban és F (x 0 ) f (g(x 0 )) g (x 0 ). (3) Bizonyítás. A feltevés szerint A f (y 0 ) R m n, B g (x 0 ) R n k [tehát A B létezik és A B R m k ], továbbá léteznek ω f : E R m, ω g : D R n úgy, hogy Ezért lim ω f (y) ω f (y 0 ) 0, y y 0 lim ω g (x) ω g (x 0 ) 0, továbbá x x0 y E : f(y) f(y 0 ) A(y y 0 ) + y y 0 ω f (y) és x D : g(x) g(x 0 ) B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x). y 0 {}}{ F (x) F (x 0 ) f(g(x)) f( g(x 0 )) A(g(x) g(x 0 )) + g(x) g(x 0 ) ω f (g(x)) A [B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x)] + B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x) ω f (g(x)) A B(x x 0 ) + x x 0 ω(x) (x D), ahol ω : D R m úgy, hogy ω(x 0 ) 0 és x D \ {x 0 } : ω(x) A ω g (x) + x x 0 B(x x 0) + ω g (x) ω f(g(x)), valamint lim A ω g (x) A ω g (x 0 ) A 0 0, x x0 x x 0 B(x x 0) x x 0 B x x 0 B és lim x x0 ω g (x) 0, ezért δ > 0 : x x 0 δ esetén x x 0 B(x x 0) + ω g (x) B + ω g(x) B +, illetve g folytonos x 0 -ban, mert differenciálható x 0 -ban és ω f folytonos y 0 g(x 0 )-ban, így ω f g folytonos x 0 -ban, ezért lim ω f (g(x)) ω f (g(x 0 )) 0, tehát lim ω(x) 0 ( R m ). x x 0 x x0 6

7 2.2. Következmény. (lánc-szabály) Az előző tétel feltétele és jelölései mellett D i F j (x 0, x 02,... x 0,k ) D l f j (g (x 0,..., x 0,k ), g 2 (x 0,..., x 0,k ),... g n (x 0,..., x 0,k )) D i g l (x 0,..., x 0,k ) l (i,..., k ; j,..., m). Speciális eset: k m esetén F (x 0 ) D l f(g (x 0 ), g 2 (x 0 ),..., g n (x 0 )) g l(x 0 ). l 2.3. TÉTEL. Ha D R n nyílt és az f, g : D R m, λ : D R függvények differenciálhatóak az x 0 D pontban, akkor f+g, f, g, λf, illetve λ(x) 0 (x D) esetén λ f is differenciálható x 0-ban, továbbá (f + g) (x 0 ) f (x 0 ) + g (x 0 ) ; (λf) (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 ) + λ(x 0 ) f (x 0 ) ; ) (x 0 ) ( λ f [λ(x 0 )] 2 [λ(x 0)f (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 )] ; f, g (x 0 ) [g(x 0 )] T f (x 0 ) + [f(x 0 )] T g (x 0 ), azaz ( m ) m [ f j g j (x 0 ) gj (x 0 )f j(x 0 ) + f j (x 0 )g j(x 0 ) ]. j j Bizonyítás. A szabályok igazolhatók közvetlenül a definíció (illetve a lineáris approximálhatóság) alapján, vagy visszavezethetők az előző tételre. Ez, utóbbi módszer céljából legyen Φ : R 2m R m R m R m úgy, hogy ϕ : R m+ R m úgy, hogy Φ(x, y) x + y ((x, y) R m R m ), ϕ(x, λ) λx ((x, λ) R m R), ψ : R m (R \ {0}) R m úgy, hogy ψ(x, λ) λ x ((x, λ) Rm (R \ {0})), illetve Ω : R 2m R m R m R úgy, hogy Ω(x, y) x, y ((x, y) R m R m ). 7

8 Ekkor Φ (x, y) ( ) (f + g) (x 0 ) [Φ (f, g)] f (x 0 ) Φ (f(x 0 ), g(x 0 )) (x 0 ) g f (x (x 0 ) 0 ) + g (x 0 ) ; λ x ϕ 0 λ... 0 x 2 (x, λ) λ x m ( λ f (λf) (x 0 ) (ϕ (f, λ)) (x 0 ) ϕ (f(x 0 ), λ(x 0 )) λ(x 0 ) E m m f (x 0 ) + f(x 0 ) λ (x 0 ) ; λ x ψ (x, λ) 0 λ... 0 x 2 λ λ x m ) (x 0 ) (ψ (f, λ)) (x 0 ) ψ (f(x 0 ), λ(x 0 )) ( f (x 0 ) λ (x 0 ) ( f (x 0 ) λ (x 0 ) (λ(x 0 )) 2 [λ(x 0) E m m f (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 )] ; ) ) Ω (x, y) (y T, x T ) ( ) f f, g (x 0 ) Ω (f(x 0 ), g(x 0 )) (x 0 ) g [g(x (x 0 ) 0 )] T f (x 0 ) + [f(x 0 )] T g (x 0 ). 3. Középérték-tétel és következménye 3.. TÉTEL. (Lagrange): Ha D R n nyílt halmaz és x, y D úgy, hogy x y, valamint D tartalmazza az x és y pontokat összekötő I(x, y) szakaszt, továbbá az f : D R differenciálható, akkor u I(x, y) \ {x, y} : f(y) f(x) f (u)(y x). I(x,y) Bizonyítás. {}}{ Legyen ϕ(t) f[ ( t)x + ty] (t [0, ]). Ekkor ϕ : [0, ] R differenciálható és ϕ (t) f [( t)x + ty] (y x) (t [0, ]. 8

9 Az egyváltozós Lagrange-féle középérték- tételből következik, hogy ξ ]0, [ úgy, hogy f(y) f(x) ϕ() ϕ(0) ϕ (ξ)( 0) ϕ (ξ) f [( ξ)x+ξy](y x) f (u)(y x), ahol u ( ξ)x + ξy I(x, y) \ {x, y} Következmény. Ha D R n nyílt és f : D R m folytonosan differenciálható, akkor minden K D kompakt, konvex halmazhoz L K R úgy, hogy x, y K : [,,f lokálisan Lipschitz. ] f(y) f(x) L K x y. Bizonyítás. Legyen j {,..., m}. Mivel K kompakt és f j : D R n folytonos, ezért f j korlátos a K halmazon, azaz létezik M j R úgy, hogy u K : f j(u) M j, tehát x, y K : f j (y) f j (x) f j(u j )(y x) f j(u j ) y x M j y x, tehát illetve f(y) f(x) max{m,..., M m } y x, f(y) f(x) m max{m,..., M m } y x L }{{} K y x. L K 9