Nemlineáris programozás 2.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Nemlineáris programozás 2."

Átírás

1 Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: , 8-10 Winston: 10.7,8 Csató László BCE Operációkutatás és Aktuáriustudományok Tanszék március 25.

2 18.1: Két változó, egy egyenlőségi feltétel max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c Optimum esetén a g(x, y) görbe (x, y)-beli érintőjének meredeksége megegyezik az f (x, y) e pontbeli szintvonalát érintő egyenes meredekségével. Vagyis: f 1 (x, y) f 2 (x, y) = g 1 (x, y) g 2 (x, y) Feladat 615. o.: 18.1 Keresse meg az alábbi feladat egyetlen lehetséges megoldását: max f.h. xy 2x + y = m Megjegyzés: behelyettesítés után egyváltozós függvényt kapunk

3 18.2: A Lagrange-szorzók módszere max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c Legyen a Lagrange-függvény a következő: L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Ezt x és y szerint differenciálva a következő egyenleteket kapjuk: f 1(x, y) λg 1(x, y) = 0 és f 2(x, y) λg 2(x, y) = 0. A g(x, y) = c feltétellel együtt 3 egyenletünk lesz 3 ismeretlenre... Figyelmeztetés A Lagrange-módszer a feladat megoldására szükséges, de nem elégséges feltételeket ad!

4 18.2: A Lagrange-szorzók módszere Ezek alapján a max(min) z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c optimalizálási feladat megoldásának menete: 1. Képezzük az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvényt, ahol λ egy paraméter. 2. Differenciáljuk a Lagrange-függvényt x és y szerint, a parciális deriváltakat tegyük egyenlővé 0-val. 3. Az előző pontból kapott két egyenlet és a korlátozó feltétel az alábbi egyenletrendszert adja: f 1(x, y) = λg 1(x, y) f 2(x, y) = λg 2(x, y) g(x, y) = c 4. Oldjuk meg az egyenletrendszert az x, y és λ ismeretlenekre.

5 18.2: A Lagrange-szorzók módszere Feladat 618. o.: 18.3 Használja a Lagrange-módszert a max f.h. xy 2x + y = m feladat megoldására! Feladat 618. o.: 18.4 Oldja meg az alábbi feladatot! max(min) x 2 + y 2 f.h. x 2 + xy + y 2 = 3 Honnan lehet tudni, hogy létezik maximum és minimum is? Megoldás A Weierstarss-tétel következtében létezik maximum és minimum is. A Lagrange-szorzók módszerével kapott megoldások: (1, 1), ( 1, 1), ( 3, 3), ( 3, 3).

6 18.2: A Lagrange-szorzó közgazdasági értelmezése Ha f * (c) jelöli az f függvény optimumértékét a c konstans függvényében, akkor (bizonyos feltételek teljesülése esetén) df * (c) dc = λ(c), vagyis λ Lagrange-szorzó az a szám, amellyel a célfüggvény optimumértéke változik a c konstans változásának hatására (árnyékár!). Feladat 618. o.: 18.5 Tekintse a max f.h. xy 2x + y = m feladatot. Vegye az m = 100 értéket, és határozza meg, mi történik az értékfüggvénnyel, ha a konstans eggyel növekszik. Közeĺıtse a Lagrange-szorzó segítségével!

7 18.3: A Lagrange-módszer igazolása Lagrange tétele Tegyük fel, hogy f (x, y) és g(x, y) függvényeknek léteznek a folytonos parciális deriváltjai az xy-sík egy A tartományában, továbbá azt, hogy (x 0, y 0 ) az A belső pontja és az f (x, y)-nak a g(x, y) = c feltétel melletti lokális szélsőértéke. Tegyük fel, hogy a g 1 (x 0, y 0 ) és g 2 (x 0, y 0 ) közül legalább az egyik nem 0. Ekkor létezik pontosan egy olyan λ szám, hogy az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange függvénynek az (x 0, y 0 ) pontban stacionárius pontja van. Feladat 626. o.: 18.3/3 Definiáljuk az f és a g függvényeket a következőképpen: f (x, y) = (x + 2) 2 + y 2 és g(x, y) = y 2 x(x + 1) 2. Határozza meg az f (x, y) függvény g(x, y) = 0 feltétel melletti minimumát (rajzoljon ábrát)!

8 18.4: Elégséges feltételek Globális elégségesség Tegyük fel, hogy f (x, y) és g(x, y) folytonos differenciálhatók az R 2 egy nyílt, konvex A halmazán. Legyen (x 0, y 0 ) az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvény stacionárius pontja, és g(x 0, y 0 ) = c. Ekkor L(x, y) konkáv (x 0, y 0 ) optimális megoldása a maximum feladatnak L(x, y) konvex (x 0, y 0 ) optimális megoldása a minimum feladatnak Megjegyzés L(x, y) konkáv, ha f (x, y) konkáv és g(x, y) konvex.

9 18.4: Globális elégségesség Feladat Winston, 585. o.: 22 Egy cég dollárt akar reklámra költeni. Percenként 3000 dollárba kerül a hirdetés a televízióban, míg percenként 1000 dollárba a rádióban. Ha a cég x perc televíziós és y perc rádiós reklámidőt vesz, akkor f (x, y) = 2x 2 y 2 + xy + 8x + 3y bevétele lesz (ezer dollárban). Hogyan tudja a cég maximalizálni a bevételét? Megoldás 1. Lagrange-függvény feĺırása 2. Egyenletrendszer megoldása: x = 73 28, y = 69 28, λ = Elégségesség ellenőrzése: f konkáv (a Hesse-mátrixból) 4. Általánosan: ha a dollár áll rendelkezésre hirdetésre, akkor újabb egy dollár reklámra költése közeĺıtőleg 11 a 4 dollárral növeli a bevételt

10 18.4: Lokális elégséges feltételek d 2 z dx 2 = f 11+f 12y (f 21+f max z = f (x, y) f.h. g(x, y) = c dz dx = f 1(x, y) f 2(x, y) g 1 (x, y) (x, y) 22y ) g 1 g 2 g 2 f 2 (g 11 + g 12 y )g 2 (g 21 + g 22 y )g 1 (g 2, )2 ahol f 12 = f 21 és g 12 = g 21 a Young-tétel miatt, továbbá y = g 1 /g 2, és az elsőrendű feltétel szerint f 1 = λg 1 és f 2 = λg 2. Így d 2 z dx 2 = 1 (g 2 [(f 11 λg 11)(g 2) 2 2(f 12 λg 12)g 1g 2+(f 22 λg 22)(g 1) 2 ]. )2

11 18.4: Lokális elégséges feltételek Ha D(x, y) = g 1 g 2 0 g 1 (x, y) g 2 (x, y) (x, y) f 11 λg 11 (x, y) f 12 λg 12 (x, y) (x, y) f 21 λg 21 (x, y) f 22 λg 22 (x, y), akkor d 2 z dx 2 = 1 D(x, y). (x, y)]2 [g 2 Theorem Ha egy (x 0, y 0 ) kielégíti az elsőrendű feltételeket, valamint D(x 0, y 0 ) > 0 (lokális másodrendű feltétel), akkor (x 0, y 0 ) megoldása a fenti feladatnak. Megjegyzés Minimumfeladatnál a lokális másodrendű feltétel D(x 0, y 0 ) < 0.

12 18.4: Lokális elégséges feltételek Feladat 629. o.: 18.9 Tekintse a következő feladatot: max(min) x 2 + y 2 f.h. x 2 + xy + y 2 = 3 Az elsőrendű feltételekből kapott pontok: (1, 1), ( 1, 1), ( 3, 3), ( 3, 3). Ellenőrizze a másodrendű feltételeket! Teljesül-e a globális elégségességi feltétel? Miért nem? Feladat 629. o.: 18.4/2 Tekintse a következő feladatot: min x 2 + y 2 f.h. x + 2y = a Oldja meg a feladatot úgy, hogy a korlátozó feltétel felhasználásával kiküszöböli y-t! Igazolja, hogy a kapott szélsőérték valóban minimum. Oldja meg a feladatot a Lagrange-módszerrel is! Ellenőrizze a lokális elégségességi feltételeket.

13 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok A Lagrange-függvény: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g(x 1, x 2..., x n ) = c L(x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ) λ(g(x 1,..., x n ) c) Ekkor az elsőrendű feltételek a következők: f 1(x 1,..., x n ) λg 1(x 1,... x n ) = 0. f n(x 1,..., x n ) λg n(x 1,... x n ) = 0, ami n + 1 egyenletet ad az n + 1 ismeretlen meghatározásához...

14 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok Feladat 630. o.: Határozza meg a következő feladat egyetlen lehetséges megoldását: max x 2 y 3 z f.h. x + y + z = 12 Megoldás Az egyetlen lehetséges megoldás: (x, y, z) = (4, 6, 2). Feladat 630. o.: 18.5/1 Határozza meg a következő feladat egyetlen lehetséges megoldását: min x 2 + y 2 + z 2 f.h. x + y + z = 1 Bizonyítsa be, hogy a kapott megoldás globális minimum. Megoldás Az egyetlen lehetséges megoldás: (x, y, z) = (1/3, 1/3, 1/3). A Lagrange-függvény konvex, tehát ez globális minimumhely.

15 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok A Lagrange-függvény: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) = c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) = c 2 L(x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ). g m (x 1, x 2..., x n ) = c m m λ j (g j (x 1,..., x n ) c j ) Az elsőrendű feltételek az x i szerinti parciális deriváltak alapján: L f (x) m g j (x) = λ j = 0 (i = 1,..., n), x i x i x i j=1 ami az m egyenlőségi feltétel mellett n egyenletet ad az n + m ismeretlen meghatározásához... j=1

16 18.5: Általánosabb Lagrange-feladatok Feladat 632. o.: Oldja meg a következő feladatot: max(min) x 2 + y 2 + z 2 f.h. x + 2y + z = 1 2x y 3z = 4 Mutassa meg, hogy teljesül a globális elégségesség feltétele is. Maximumot vagy minimumot kapott? Feladat 634. o.: 18.5/9 Oldja meg a következő feladatot: min (y + z 3) 2 f.h. x 2 + y + z = 2 x + y 2 + 2z = 2 A lehetséges szélsőértékhelyek: (1, 1, 0) és ( 1/2, 1, 3/4). A kettő közül az egyik a feladat megoldása. Melyik? Lássa be, hogy a másik nem a maximum feladat megoldása. Mi következik ebből?

17 18.8: Két változó, egy egyenlőtlenségi feltétel max f (x, y) f.h. g(x, y) c Az optimalizálási feladat megoldásának menete: 1. Rendeljünk hozzá egy konstans λ Lagrange-szorzót a g(x, y) c feltételhez és definiáljuk az L(x, y) = f (x, y) λ(g(x, y) c) Lagrange-függvényt. 2. Differenciáljuk a Lagrange-függvényt x és y szerint, a parciális deriváltakat tegyük egyenlővé 0-val: L 1(x, y) = f 1(x, y) λg 1(x, y) = 0 L 2(x, y) = f 2(x, y) λg 2(x, y) = 0 3. Vezessük be a komplementaritási feltételt: 4. Írjuk elő a korlátozó feltételt: λ 0 és λ = 0, ha g(x, y) < c g(x, y) c.

18 18.8: Két változó, egy egyenlőtlenségi feltétel Feladat 643. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max x 2 + y 2 + y 1 f.h. x 2 + y 2 1 Megoldás Három lehetséges optimumhely van: (0, 1) és λ = 3/2. Itt f (0, 1) = 1. (0, 1) és λ = 1/2. Itt f (0, 1) = 1. (0, 1/2) és λ = 0. Itt f (0, 1/2) = 5/4. Egy folytonos függvényt maximalizálunk korlátos és zárt halmazon, ezért a Weierstrass-tétel értelmében létezik megoldás, ami csak a (0, 1) lehet. Egyben megkaptuk a minimumfeladat megoldását is: (0, 1).

19 18.8: Általános nemlineáris programozási feladat 1. Írjuk fel a Lagrange-függvényt: max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m L(x 1, x 2,..., x n) = f (x 1, x 2,..., x n) m λ j g j (x 1, x 2,..., x n) 2. Az L(x 1, x 2,..., x n) függvény parciális deriváltjait tegyük egyenlővé 0-val: L(x 1, x 2,..., x n) f (x1, x2,..., xn) m g j (x 1, x 2,..., x n) = λ j = 0 x i x i x i 3. Komplementaritási feltételek: (i = 1, 2,..., n) λ j 0 és λ j = 0, ha g j (x 1, x 2,..., x n) < c j (j = 1, 2,..., m) 4. Korlátozó feltételek: j=1 j=1 g j (x 1, x 2,..., x n) c j (j = 1, 2,..., m)

20 Kuhn-Tucker feltételek: maximumfeladat max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m feltételnek, és léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

21 18.8: Általános nemlineáris programozási feladat Feladat 648. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max 4z x 2 y 2 z 2 f.h. z xy x 2 + y 2 + z 2 3 Megoldás Három lehetséges optimumhely van: (0, 0, 0) és λ = 4, μ = 0. Itt f (0, 0, 0) = 0. (1, 1, 1) és λ = 2, μ = 0. Itt f (1, 1, 1) = 1. ( 1, 1, 1) és λ = 2, μ = 0. Itt f ( 1, 1, 1) = 1. Egy folytonos függvényt maximalizálunk korlátos és zárt halmazon, ezért a Weierstrass-tétel értelmében létezik megoldás, ami csak az (1, 1, 1) és a ( 1, 1, 1) lehet.

22 Kuhn-Tucker feltételek: minimumfeladat min z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m feltételnek, és léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i + m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g i (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

23 Kuhn-Tucker feltételek: nemnegatív változók max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m x 1 0,..., x n 0 Theorem Ha x a feladat optimális megoldása, akkor x eleget tesz a feladatban szereplő m + n feltételnek, és léteznek olyan λ j, μ i szorzók, melyekre: f (x) x i j=1 m j=1 λ j g j (x) x i + μ i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) [ ] f (x) m g j (x) λ j x i = μ i x i = 0 (i = 1, 2,..., n) x i x i λ j 0 (j = 1, 2,..., m) és μ i 0 (i = 1, 2,..., n)

24 18.9.: Nemnegativitási feltételek a változókra Feladat 573. o.: 17.6; 655. o.: 18.9/2 Egy tanulmányban az Európába Norvégiába és Szibériából importált gáz mennyiségét vizsgálták, jelölje ezeket rendre x és y. Feltették, hogy az elért hasznosságot az f (x, y) = 9x + 8y 6(x + y) 2 függvény írja le (a gáz világpiaci ára emelkedik, ha növekszik a teljes import). Mivel a kapacitás korlátos, x-nek és y-nak ki kell elégítenie a 0 x 5 és 0 y 3 feltételeket. Végül politikai okokból úgy érezték, hogy a norvég import nem lehet túl kicsi hányada a teljes behozatalnak, ezért feltették, hogy x 2(y 1). Rajzolja le a korlátozó feltételeknek eleget tevő pontok halmazát, majd oldja a feladatot, ha a cél a hasznosság maximalizálása! Megoldás A függvény maximuma f (3/4, 0) = 27/8.

25 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha f (x) konkáv és minden g j (x) konvex, akkor minden olyan x pont, amely eleget tesz a szükséges feltételeknek, a feladat optimális megoldása.

26 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat 650. o.: 18.8/5 Oldja meg az alábbi feladatot: max ln x + (y + z) f.h. x + y + z 1 x 1 x 2 + y 2 2 Megoldás A szükséges feltételeket teljesítő pontok halmaza: x = 1, y + z = 0, y 2 1 és λ = (1, 0, 0). Az előző tétel alapján teljesülnek az elégségesség feltételei is, ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van.

27 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat Winston, 595. o.: 25 Egy monopolhelyzetben levő cég dekagramm mennyiségig vásárolhat egy kémiai anyagból 10 dolláros egységáron. Dekánként 3 dollár költséggel a kémiai anyag egy dekája egy deka 1. termékké, 5 dollár költséggel pedig egy deka 2. termékké dolgozható fel. Ha x dekát álĺıtunk elő az 1. termékből, azt 30 x egységáron lehet értékesíteni. Ha y dekát álĺıtunk elő az 2. termékből, azt 50 2y egységáron lehet értékesíteni. Miként tudja a cég maximalizálni a profitját? Megoldás A célfüggvény konkáv, a feltételek konvexek. x = 8.5, y = 8.75, z = 17.25, λ 1 = 10 és λ 2 = 0 eleget tesz a Kuhn-Tucker feltételeknek. Mi a λ szorzók közgazdasági jelentése? Milyen összefüggés érvényes közöttük?

28 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség max z = f (x 1, x 2,..., x n ) f.h. g 1 (x 1, x 2..., x n ) c 1 g 2 (x 1, x 2..., x n ) c 2. g m (x 1, x 2..., x n ) c m Theorem Ha f (x) kvázikonkáv és minden g j (x) kvázikonvex, x 0 teljesíti a Kuhn-Tucker szükséges feltételeket, valamint f (x 0 ) 0, akkor x 0 a feladat optimális megoldása. Megjegyzés A f (x 0 ) 0 kiegészítő feltétel lényeges, mert egy kvázikonkáv függvény stacionárius pontja nem feltétlenül lokális maximum.

29 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, elégségesség Feladat 661. o.: 18.10/5 Oldja meg az alábbi feladatot: max (x 1) 3 f.h. x 0 x 2 Megoldás (x 1) 3 kvázikonkáv, x és x is kvázikonvex (de kvázikonkáv is!), ezért fennállnak az előző tétel alkalmazásának feltételei. A szükséges feltételeket teljesítő pontok halmaza: x = 1, λ 1 = 0, λ 2 = 0 és x = 2, λ 1 = 0, λ 2 = 3. Az első azonban stacionárius pontja f -nek.

30 18.10: Kuhn-Tucker feltételek, szükségesség Figyelmeztetés A feladat megoldása nem feltétlenül teljesíti a Kuhn-Tucker feltételeket, ehhez további (regularitási) feltevések szükségesek. Egy regularitási feltétel A g j (j = 1, 2,..., m) függvények közül az x 0 pontban aktívak x 0 -beli gradiensei lineárisan függetlenek. Ha x 0 a feladat optimális megoldása, f és g 1, g 2,..., g m folytonosan differenciálható függvények, valamint x 0 -ban teljesül a regularitási feltétel, akkor léteznek olyan λ j szorzók, melyekre: f (x) x i m j=1 λ j g j (x) x i = 0 (i = 1, 2,..., n) λ j [c j g j (x)] = 0 (j = 1, 2,..., m) λ j 0 (j = 1, 2,..., m)

31 18.10: regularitási feltétel Feladat 659. o.: Oldja meg az alábbi feladatot: max xy f.h. (x + y 2) 2 0 Megoldás Az optimális megoldás (1, 1), ez azonban nem teljesíti a Kuhn-Tucker feltételeket. Feladat 660. o.: 18.10/1 Oldja meg az alábbi feladatot: ahol a egy pozitív konstans. max 2 (x 1)2 e y 2 f.h. x 2 + y 2 a

32 18.10: regularitási feltétel Feladat Winston, 596. o.: 26 Oldja meg az alábbi feladatot: max x f.h. y (1 x) 3 0 x, y 0 Megoldás Az optimális megoldás (1, 0), mert lehetséges és x > 1 esetén y < 0 a feltételből. A Kuhn-Tucker feltételek: 1 + 3λ( 1x) 2 = μ 1 μ 1 0 Ez nem teljesül az (1, 0) pontban. Ugyanakkor az y (1 x) 3 0 és y 0 aktív feltételek gradiensei sem lineárisan függetlenek.

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar

Losonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Nem-lineáris programozási feladatok

Nem-lineáris programozási feladatok Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/ Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/ Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Függvények szélsőérték vizsgálata

Függvények szélsőérték vizsgálata Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények szélsőérték vizsgálata BSc Szakdolgozat Készítette: Sághy Enikő Kata Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2. Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).

P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ). Paláncz Béla - Numerikus Módszerek - 211-4. Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik.

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2.

Óravázlatok: Matematika 2. Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha

Részletesebben

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév

Részletesebben

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás

További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy

Részletesebben

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor

Részletesebben

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

Követelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Konjugált gradiens módszer

Konjugált gradiens módszer Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Hiperbolikus programozási feladat megoldása. Pécsi Tudományegyetem PTI 1/12 Operációkutatás 5. gyakorlat Hiperbolikus programozási feladat megoldása Pécsi Tudományegyetem PTI 2/12 Ha az Hiperbolikus programozási feladat feltételek teljesülése mellett a A x b x 0 z(x) = c

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

11. gyakorlat megoldásai

11. gyakorlat megoldásai 11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények 6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16 Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba 11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

4. Előadás: Erős dualitás

4. Előadás: Erős dualitás Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d

Részletesebben

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS

KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS Bodó Beáta 1 KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS 1. B Az f(x) függvény értelmezési tartománya. Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x) = (x + 6) 5 (4x 12) 8 (x + 2)? f (x) zérushelyei: 6; 2; 3 D

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben