Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka"

Átírás

1 Pintér Miklós Ősz

2 Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza B-nek. Példa Legyen egy halmaz szimpatikus ha nem tartalmazza önmagát. Legyen S a szimpatikus halmazok összessége. Ekkor S szimpatikus?

3 Alapfogalmak Függvények Definíció Legyen A és B tetszőlegesen rögzített halmazok. Ekkor f : A B-t az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük, ha minden a A-ra f (a) a B halmaz pontosan egy eleme. Az A halmazt f értelmezés tartományának (jelölés: D f ), az f (A) halmazt az f értékkészletének (jelölés: R f ) nevezzük. Az f függvény injektív, ha (a b) (f (a) f (b)), szűrjektív, ha f (A) = B, bijektív, ha injektív és szűrjektív.

4 Alapfogalmak Halmazok számossága Definíció Az A halmazt végesnek (véges számosságúnak) nevezzük, ha elemeinek száma véges. Az A halmaz megszámlálhatóan végtelen számosságú, ha létezik f : A N bijekció. Az A halmaz kontinuum számosságú, ha létezik f : A R bijekció. Feladat A következő halmazok számossága megegyezik: N, Z, Q, páros természetes számok halmaza, 2 hatványainak halmaza. Feladat R nem megszámlálhatóan végtelen.

5 Valós számok Rendezett halmazok Definíció Legyen A tetszőleges halmaz. A rendezésén egy olyan < relációt értünk, amelyre 1. Ha x, y A, akkor x < y, x = y, x > y összefüggések közül pontosan egy teljesül. 2. Ha x, y, z A, x < y és y < z, akkor x < z. Az A halmazt rendezett halmaznak nevezzük, ha egy < rendezés van definiálva rajta (jelölés: (A, <)). Példa N a természetes számok halmaza a szokásos relációval rendezett halmaz.

6 Valós számok Felsőhatár-tulajdonság Definíció Legyen (A, <) rendezett halmaz. B A felülről (alulról) korlátos, ha van olyan k A, hogy minden x B-re x k (x k). k-t a B halmaz felső (alsó) korlátjának nevezzük. A B felülről (alulról) korlátos halmaz legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátját a B halmaz szuprémumának (infimumának) nevezzük, és sup B-vel (inf B-vel) jelöljük. Egy A rendezett halmaz felsőhatár-tulajdonságú, ha tetszőleges B A nemüres, felülről korlátos halmaz esetén sup B létezik.

7 Valós számok Tétel Tegyük fel, hogy A rendezett halmaz fh-tulajdonságú. Ekkor ha B A nemüres alulról korlátos halmaz, akkor inf B létezik. Bizonyítás. Legyen C A a B halmaz alsó korlátjainak halmaza. B alulról korlátos, tehát C. Ekkor mivel A fh-tulajdonságú, így sup C létezik. Azt állítjuk, hogy sup C = inf B. (1) sup C nem kisebb, mint B alsó korlátjai. (2) Tegyük fel, hogy sup C nem alsó korlátja B-nek. Ekkor létezik b B, hogy b < sup C. Mivel minden c C-re c b, így sup C nem a legkisebb felső korlátja C-nek, ami ellentmondás. Példa N fh-tulajdonságú rendezett halmaz.

8 Valós számok Testek Definíció Az F halmazt az összeadás és szorzás művelettekkel, mint struktúrát testnek nevezzük, ha teljesíti a következő, ún. testaxiómákat: tetszőleges x, y, z F esetén x + y F, x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z), létezik 0 F (x-től független), hogy x + 0 = x, létezik x F (x-től függő), hogy x + ( x) = 0, xy F,

9 Valós számok Definíció (folytatás) xy = yx, (xy)z = x(yz), létezik 1 F (x-től független) 1 0, hogy 1x = x, létezik 1/x F (x-től függő) x 0, hogy x(1/x) = 1, x(y + z) = xy + xz.

10 Valós számok Fh-tulajdonságú rendezett test Definíció Az F testet rendezett testnek nevezzük, ha F rendezett halmaz, x, y, z F és y < z, akkor x + y < x + z, x, y F, x > 0 és y > 0, akkor xy > 0. Példa Q, a racionális számok halmaza rendezett test. Tétel Létezik fh-tulajdonságú rendezett test, amely tartalmazza Q-t. Ezt a fh-tulajdonságú rendezett testet a valós számok halmazának nevezzük, és R-rel jelöljük.

11 Valós számok Távolság, környezet Definíció A d függvényt távolságfüggvénynek nevezzük, ha tetszőleges x, y, z R esetén d(x, x) = 0, és ha x y, akkor d(x, y) > 0 d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(y, z). Következmény A tetszőleges x, y R-hez x y -t rendelő függvény távolságfüggvény.

12 Valós számok Definíció Az (a, b) = {x R a < x < b} ([a, b] = {x R a x b} ) halmazt nyílt (zárt) intervallumnak nevezzük. Az (a, b] = {x R a < x b} ([a, b) = {x R a x < b} ) halmazt balról nyílt, jobbról zárt (balról zár, jobbról nyílt) intervallumnak nevezzük. Definíció Az (x ε, x + ε) = {y R x y < ε} nyílt intervallumot az x R pont ε > 0 környezetének nevezzük.

13 Sorozatok Sorozatok Definíció Az a : N R függvényt (valós) sorozatnak nevezzük, és elemeit a 1, a 2,...-vel jelöljük. Definíció Legyen f : N N egy monoton növő függvény. Ekkor a b n = a n f sorozatot az {a n} sorozat részsorozatának nevezzük. Példa a n = 1, a n = ( 1) n.

14 Sorozatok Határérték Definíció Az {a n} sorozat konvergens, ha létezik a 0 R, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan n N (ε-tól függő) szám, hogy minden n n -re a n (a 0 ε, a 0 + ε) (másképpen a n a 0 < ε). a 0 -t az {a n} sorozat határértékének nevezzük. Példa 1 0 (alternatív jelölés: n lim 1 n n = 0).

15 Sorozatok Állítás A határérték egyértelmű. Tehát, ha a n a és a n b, akkor a = b. Bizonyítás. a b Indirekt tegyük fel, hogy a b. Legyen ε =. Ekkor létezik n a, n b N, 2 hogy minden n n a-ra a n a < ε és minden n n b -re a n b < ε. Ekkor azonban minden n max{n a, n b }-re a n a < ε és a n b < ε, tehát a b < 2ε ami ellentmondás.

16 Sorozatok Sorozatok tulajdonságai Definíció Az {a n} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re a n a n+1 (a n a n+1 ). Az {a n} sorozat korlátos, ha értékkészlete korlátos halmaz. Példa Az 1 sorozat monoton és korlátos. n

17 Konvergens sorozatok A konvergens sorozatok tulajdonságai Állítás Legyenek a n a, b n b konvergens sorozatok. Ekkor a n + b n a + b, minden c R-re ca n ca, és c + a n c + a, a nb n ab, Ha minden n-re a n 0, és a 0, akkor 1/a n 1/a, Ha b n a n, akkor b a.

18 Konvergens sorozatok Bizonyítás. a n + b n a + b: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n a, n b, hogy minden n n a-ra a n a < ε/2 és minden n n b -re b n b < ε/2. Ekkor minden n max{n a, n b }-re (a n + b n) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε. Minden c R-re ca n ca, és c + a n c + a: Házi feladat. a nb n ab: a n és b n sorozatok konvergensek, így a n és b n sorozatok is konvergensek tehát korlátosak is. Legyen k a és k b rendre a n és b n egy felső korlátja. Legyen továbbá k = max{k a, k b }. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n a, n b, hogy minden n n a-ra a n a < ε 2k n n b -re b n b < ε 2k. Ekkor minden n max{na, n b}-re a nb n ab = a n(b n b) + b(a n a) a n b n b + b a n a < ε. és minden

19 Konvergens sorozatok folytatás. Ha minden n-re a n 0 és a 0, akkor 1/a n 1/a: Legyen m olyan index, hogy minden n m-re a n a < 1 2 a. Ekkor minden n m-re an > 1 2 a. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n > m, hogy minden n n -ra a n a < 1 2 a 2 ε. Tehát, minden n n -ra 1 1 a n a = a n a a na < 2 an a < ε. a 2 a b Ha b n a n, akkor b a: Indirekt tegyük fel, hogy b > a. Legyen ε =. 2 Ekkor létezik n a, n b N, hogy minden n n a-ra a n a < ε és minden n n b -re b n b < ε. Ekkor azonban miden n max{n a, n b }-re a n a < ε és b n b < ε, tehát b n a n > 0 ami ellentmondás.

20 Konvergens sorozatok Konvergens sorozatok tulajdonságai II Tétel Minden konvergens sorozat korlátos. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Példa a n = ( 1) n.

21 Konvergens sorozatok Bizonyítás. Minden konvergens sorozat korlátos: Legyen a 0 az {a n} sorozat határértéke, és legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik olyan n szám, hogy minden n n -ra a n (a 0 ε, a 0 + ε). Tehát az {a n} sorozatnak csak véges sok eleme (maximum n 1) van az (a 0 ε, a 0 + ε) intervallumon kívül. Legyen f a kivül maradó elemek közül a legnagyobb és a a legkisebb. Ekkor max{f, a 0 + ε} és min{a, a 0 ε} rendre felsó ill. alsó korlátja {a n}-nek. Minden monoton korlátos sorozat konvergens: Tegyük fel, hogy {a n} monoton növő sorozat és k felső korlátja {a n}-nek. Ekkor sup{a n} létezik, és a n sup{a n}, hiszen minden ε > 0-hoz létezik oylan n, hogy minden n n -ra a n sup{a n} < ε (legkisebb felső korlát és monoton növő sorozat). Az {a n} monoton fogyó eset belátása teljesen hasonlóan megy.

22 Konvergens sorozatok folytatás. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata: Legyen a {c n} felső és alsó korlátja rendre f és a. Ekkor az [a, a+f a+f ] és [, f ] intervallumok 2 2 legalább egyikében végtelen sok eleme van {c n}-nek. Legyen [a 1, f 1 ] az egyik olyan intervallum, amiben {c n}-nek végtelen sok eleme van. Legyen b 1 egy tetszőleges eleme {c n}-nek [a 1, f 1 ]-ből. Ekkor az [a 1, a 1+f 1 ] és [ a 1+f 1, f ] intervallumok legalább egyikében végtelen sok eleme van {c n}-nek. Legyen [a 2, f 2 ] az egyik olyan intervallum, amiben {c n}-nek végtelen sok eleme van. Legyen b 2 egy olyan eleme {c n}-nek [a 2, f 2 ]-ből, hogy b 2 {c n}-beli indexe (sorszáma) nagyobb, mint b 1 {c n}-beli indexe. Folytatva a fenti eljárást, a kapott {b n} sorozat a {c n} sorozat részsorozata. {a n} monoton növő felülről korlátos, {f n} pedig monoton fogyó alulról korlátos sorozat, továbbá minden n-re f n a n < f a, tehát lim b n lim a n = lim f n. n n n n an = lim fn. Ekkor an bn fn, így n

23 Konvergens sorozatok Állítás Ha a > 0, akkor 1 n a 0, Ha a > 0, akkor n a 1, n n 1, Ha a > 0 és α R, akkor Ha x < 1, akkor x n 0. n α (1 + a) n 0,

24 Konvergens sorozatok Bizonyítás. Ha a > 0, akkor 1 0: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített, és na N = (1/ε) (1/a). Ekkor minden n > N-re 1 n a < ε. Ha a > 0, akkor n a 1: Tegyük fel, hogy a > 1. Ekkor legyen x n = n a 1. x n > 0 és (Bernoulli-egyenlőtlenség) 1 + nx n (1 + x n) n = a, tehát 0 < x n a 1, így xn 0. Ha a = 1, akkor az állítás nyilvánvaló, ha 0 < a < 1, n akkor legyen x n = 1 1 és követhetjük az a > 1 esetet (Házi feladat). n a

25 Konvergens sorozatok folytatás. n n 1: Legyen xn = n n 1. Ekkor x n 0 és (binomiális tétel) n = (1 + x n) n n(n 1) xn 2, tehát 0 x n 2 2 (n 2), így xn 0. n 1 n α Ha a > 0 és α R, akkor 0: Legyen k > max{α, 0} tetszőlegesen (1 + a) n rögzített. Ha n > 2k, akkor (1 + a) n > ( ) n k a k = n(n 1) (n k+1) a k > nk a k k! Ekkor 0 < nα < 2k k! n α k (n > 2k), így (α k < 0) (1+a) n a k Ha x < 1, akkor x n 0: Házi feladat. n α (1+a) n 0. 2 k k!.

26 Az e szám Az e szám Állítás Az (1 + 1 n )n sorozat konvergens. Bizonyítás. (1) Az (1 + 1 n )n sorozat monoton: A számtani és mértani közepek közötti n+1 egyenlőtlenségből (1 + 1 n )n < 1+n(1+ n 1 ) = n+2 = Tehát n+1 n+1 n+1 (1 + 1 n )n < (1 + 1 n+1 )n+1.

27 Az e szám folytatás. (2) Az (1 + 1 n )n sorozat korlátos: Legyen m > 1 tetszőlegesen rögzített természetes szám. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből n+m (1 + 1 n )n (1 1 m )m < n(1+ n 1 )+m(1 m 1 ) n+m (1 + 1 n )n (1 1 m )m < 1, tehát (1 + 1 n )n < (1 + 1 = n+m = 1. Ekkor n+m m 1 )m. Mivel m > 1 rögzített, így minden n-re (1 + 1 n )n kisebb, mint egy rögzített érték. Definíció ( A lim n n ) n határértékét Euler-féle számnak nevezzük és e-vel jelöljük.

28 Függvények határértéke Határérték Definíció Legyen A R tetszőleges halmaz. Az x R torlódási pontja az A halmaznak, ha tetszőleges ε > 0 esetén (x ε, x + ε) (A \ {x}). Példa A = {1} torlódási pontjai:, A = (1, ] torlódási pontjai: [1, ]. Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény, és legyen x 0 torlódási pontja D f -nek. Ekkor p x 0 -beli határértéke f -nek (jelölés: lim f (x) = p), ha minden x n x 0, x 0 x n D f minden n-re, sorozatra lim n f (x n) = p.

29 Függvények határértéke Állítás Ha lim f (x) = a és lim f (x) = b, akkor a = b. x0 x 0 Bizonyítás. Lsd. a határérték egyértelműségére vonatkozó állítást. Példa lim 3 x 2 5x + 6 x 3.

30 Függvények határértéke Függvény határérték II. Állítás Legyen f és g olyan függvény, hogy x 0 torlódási pontja D f -nek és D g-nek, továbbá lim f (x) = p és lim g(x) = q. Ekkor x 0 x 0 lim x0 (f + g)(x) = p + q, lim x0 (fg)(x) = pq, ha q 0, akkor lim x 0 (f /g)(x) = p/q, ha f (x) g(x) minden x D f D g esetén, akkor p q. Bizonyítás. Lsd. a konvergens sorozatok tulajdonságaira vonatkozó állítást.

31 Függvények folytonossága Függvények folytonossága Definíció Az f függvény folytonos az x 0 D f pontban, ha x 0 izolált pontja D f -nek vagy x 0 torlódási pontja D f -nek és lim f (x) = f (x 0 ). Azt mondjuk, hogy az f x 0 függvény folytonos, ha f az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Állítás Legyenek f, g x 0 -ban folytonos függvények. Ekkor f + g folytonos x 0 -ban, fg folytonos x 0 -ban, ha g(x 0 ) 0, akkor f /g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Lsd. a függvények határértékére vonatkozó állítást.

32 Függvények folytonossága Állítás Ha g folytonos x 0 -ban és f folytonos g(x 0 )-ban, akkor f g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Legyen x n x 0, x n x 0, g(x n) D f, g(x n) g(x 0 ) (minden n-re) tetszőleges sorozat. g folytonos x 0 -ban, tehát g(x n) g(x 0 ) konvergens sorozat. f folytonos g(x 0 )-ban, tehát f g(x n) f g(x 0 ) szintén konvergens sorozat. Mivel x n tetszőlegesen rögzített volt, így lim x0 f g(x) = f g(x 0 ).

33 Folytonos függvények intervallumon Folytonos függvények korlátos zárt intervallumon Tétel (Bolzano-tétel) Ha f folytonos az [a, b] (korlátos, zárt) intervallumon, és f (a) < 0 < f (b), vagy f (a) > 0 > f (b), akkor létezik x 0 [a, b], hogy f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f (a) < 0 < f (b) (a fordított eset Házi feladat). Legyen A = {x [a, b] f (x) < 0} és ξ = sup A. Ekkor tetszőleges ε > 0-hoz létezik x A, hogy ξ x < ε. Magyarán, létezik x n A konvergens sorozat, hogy x n ξ, így f folytonossága miatt lim f (xn) = f (ξ) 0. Tehát ξ b. Ekkor n azonban tetszőleges y (ξ, b] pontra f (y) 0, hiszen ξ A legkisebb felső korlátja. Ekkor létezik y n (ξ, b], y n ξ konvergens sorozat, hogy f (y n) 0 n-re. f folytonos, tehát lim f (yn) = f (ξ) 0, így f (ξ) = 0. n

34 Folytonos függvények intervallumon Tétel (Weierstrass-tétel) Legyen f folytonos az [a, b], a < b (korlátos, zárt) intervallumon. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát [a, b]-n. Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy f felveszi maximumát [a, b]-n a minimum belátása Házi feladat. Indirekt tegyük fel, hogy f nem felülről korlátos [a, b]-n. Ekkor létezik x n [a, b] sorozat, hogy f (x n). Azonban, x n-nek van konvergens részsorozata y n y 0, y 0 [a, b], és lim f (y n) f (y 0 ), ami ellentmond f n folytonosságának. Tehát f felülről korlátos [a, b]. Ekkor létezik x n, x 0 [a, b], x n x 0 konvergens sorozat, hogy f (x n) sup f (x), tehát x [a,b] lim f (xn) = f (x 0) = sup n x [a,b] f (x), így f (x 0 ) maximuma f -nek [a, b]-n.

35 Folytonos függvények intervallumon Példák Példa x x = 0. Példa f (x) = { sin x, ha x [0, π] \ {π/2} 0, ha x = π/2. Példa f (x) = x 2, D f = (0, 2].

36 Folytonos függvények intervallumon Állítás Legyen f az I intervallumon invertálható folytonos függvény. Ekkor f 1 folytonos f (I)-n. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy f szigorúan monoton függvény I-n. Legyen x, y I, x < y tetszőlegesen rögzített. Tegyük fel, hogy f (x) < f (y) (az f (x) > f (y) eset Házi feladat). Legyen továbbá z I \ {x, y} tetszőlegesen rögzített. (1) z < x: Indirekt tegyük fel, hogy f (z) > f (x), és legyen c = min{f (z), f (y)}. Ekkor létezik olyan v [z, x] és w [x, y], hogy f (v) = c = f (w), ami ellentmond f invertálhatóságának. A (2) és (3) eset Házi feladat.

37 Folytonos függvények intervallumon folytatás. Most megmutatjuk, hogy f 1 folytonos I-n. Legyen x n x 0, x n, x 0 f (I) tetszőleges monoton növő sorozat (az x n x 0, x n, x 0 f (I) monoton fogyó eset Házi feladat). Legyen továbbá, y 0 = f 1 (x 0 ), y n = f 1 (x n). Azt kell látnunk, hogy y n y 0. Feltehetjük, hogy f szigorúan monoton növő (lsd. előző pont, a szigorúan monoton fogyó eset Házi feladat), tehát y n < y n+1 < y 0 minden n-re. Ekkor y n monoton korlátos sorozat, tehát konvergens, és y n sup{y n}. Azt kell látnunk, hogy sup{y n} = y 0. f folytonos, tehát sup{y n} = f 1 f (sup{y n}) = f 1 ( lim f (yn)) = f 1 ( lim xn) = f 1 (x 0 ) = n n y 0.

38 Elemi függvények folytonossága Folytonos függvények Állítás A sin x és e x függvények folytonosak. Bizonyítás. sin x folytonos: Világos, hogy minden x R-re sin x x. Legyen x 0, x n x 0 sorozat tetszőlegesen rögzített. sin x n sin x 0 = 2 sin(xn x 0) cos(xn+x 0) x n x = xn x 0. Tehát lim sin(xn) = sin(x 0). x 0 és x n x 0 tetszőlegesen rögzített volt, így kész is n vagyunk.

39 Elemi függvények folytonossága folytatás. e x folytonos: Legyen x 0, x n x 0 sorozat tetszőlegesen rögzített. Könnyen látható, hogy minden x-re ( ) 1 + x n n 1 + x, tehát e x 1 + x, és szintén minden x-re e x 1 x, tehát a két egyenlőtlenségből következik, hogy minden x > 1-re 1 + x e x 1. Legyen 1 x xn x 0 0. Ekkor feltehetjük, hogy minden n-re 1 + (x n x 0 ) e xn x 0 lim n exn x 0 = lim e xn n e x 0 rögzített volt, így kész is vagyunk. 1 1 (x n x 0 ), tehát = 1, így lim n exn = e x 0. x 0 és x n x 0 tetszőlegesen

40 Elemi függvények folytonossága Következmény Az exponenciális függvények, a logaritmus függvények, a hatványfüggvények, a polinomok és a trigonometrikus függvények folytonosak. Bizonyítás. Lsd. a sin x és e x és az inverz függvény folytonosságát.

41 Elemi függvények folytonossága Állítás sin x lim 0 x = 1. Bizonyítás. sin x páratlan függvény, tehát sin x x x n (0, π 2 páros függvény, így elég ha az x n 0, ] tetszőlegesen rögzített sorozatot vizsgáljuk. Ekkor minden n-re sin x n < x n < tan x n és minden n-re 1 < xn sin x n < 1 cos x n, tehát 1 > sin x cos x folytonos függvény, így lim = 1. 0 x sin xn x n > cos x n.

42 Elemi függvények folytonossága Következmény 1 cos x lim = 0. 0 x Bizonyítás. lim cos x x = lim 0 1 sin(x+ π 2 ) x = lim 0 1 cos x sin π 2 cos π 2 sin x x = cos π 2 lim 0 sin x x =

43 Elemi függvények folytonossága Állítás lim 0 e x 1 x = 1. Bizonyítás. Az e x folytonosságának bizonyításakor már láttuk, hogy minden x-re 1 + x e x 1, tehát x 1 x ex 1 x. Legyen xn 0 tetszőlegesen 1 x 1 rögzített. Ekkor, ha 1 < x n < 0, akkor 1 x n exn 1 x n 1, ha pedig x n > 0, akkor 1 exn 1 x n 1 e 1 x n. Tehát lim xn 1 n x n = 1. x n 0 tetszőlegesen rögzített volt, így kész is vagyunk.

44 A derivált fogalma A derivált fogalma Definíció Legyen f olyan függvény, hogy [a, b] D f. Ekkor tetszőleges x 0 [a, b] esetén képezzük a következő függvényt (differencia hányados): és legyen Φ(x) = f (x) f (x 0) x x 0 (x (a, b), x x 0 ), (1) lim Φ(x) = f (x 0 ), (2) x 0 feltéve, hogy a (2) határérték létezik. Az ilyen módon kapott f függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon x 0 [a, b]-k halmaza, amelyekre a fenti határérték létezik; az f függvény deriváltjának nevezzük és f -vel jelöljük.

45 A derivált fogalma Definíció Példa Ha f értelmezve van x 0 [a, b]-ben, akkor azt mondjuk f differenciálható x 0 -ban. Ha f értelmezve van az A [a, b] halmazon, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az A halmazon. Ha f az értelmezési tartományának minden [a, b] intervallumán differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható. f (x) = x 2, f (x) = ln( x 2 ).

46 A derivált fogalma Tétel Ha f differenciálható függvény x 0 (a, b) D f -ben, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. f (x) f (x 0 ) lim f (x) f (x 0 ) = lim (x x 0 ) = f (x 0 )0 = 0. x 0 x 0 x x 0 Példa f (x) = x, { 0, ha x < 0 f (x) = 1 különben.

47 Differenciálási szabályok Differenciálási szabályok Tétel Legyen f és g differenciálható függvények x 0 [a, b] D f D g-ben. Ekkor cf (c R), f + g, fg, f /g (feltéve, hogy g(x 0 ) 0) függvények differenciálhatóak x 0 -ban, és (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ), (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ), (f /g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ). Bizonyítás. (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ) és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ): Lsd. a függvény határértékekre vonatozó állítást.

48 Differenciálási szabályok folytatás. (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ): Legyen h = fg, ekkor h(x) h(x 0 ) = f (x)(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f (x) f (x 0 )). Tehát h(x) h(x lim 0 ) x x x 0 0 f (x)(g(x) g(x = lim 0 )) x x x lim lim x 0 h(x) h(x 0 ) x x 0 = f (x 0 )g (x 0 ) + g(x 0 )f (x 0 ). g(x 0 )(f (x) f (x 0 )) x x x 0 0, így (f /g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) : Legyen h = f /g, ekkor ( g 2 (x 0 ) h(x) h(x 0 ) 1 x x 0 = g(x)g(x 0 ) g(x) f (x) f (x 0) x x 0 f (x) g(x) g(x 0) x x 0 ). Mindkét oldal x 0 -beli határértékét véve megkapjuk a bizonyítanadó állítást.

49 Differenciálási szabályok Tétel Legyen a g függvény folytonos [a, b] D g-n és deriválható x 0 [a, b]-ben, az f függvény pedig értelmezett egy g(x 0 )-t tartalmazó olyan zárt intervallumon I-n, hogy R g I, és differenciálható g(x 0 )-ban. Ekkor f g differenciálható x 0 -ban és (f g) (x 0 ) = f g(x 0 )g (x 0 ). Bizonyítás. Legyen y = g(x), y 0 = g(x 0 ). A differenciálás definíciójából g(x) g(x 0 ) = (x x 0 )(g (x 0 ) + u(x)), és f (y) f (y 0 ) = (y y 0 )(f (y 0 ) + v(y)), ahol x (a, b), y I, lim u(x) = 0, x 0 lim v(y) = 0. Ekkor f g(x) f g(x 0 ) = (g(x) g(x 0 ))(f (y 0 ) + v(y)) = y 0 (x x 0 )(g (x 0 ) + u(x))(f (y 0 ) + v(y)). x x 0 esetén: f g(x) f g(x 0 ) x x 0 = (g (x 0 ) + u(x))(f (y 0 ) + v(y)), így lim x 0 f g(x) f g(x 0 ) x x 0 = f (y 0 )g (x 0 ) = f g(x 0 )g (x 0 ).

50 Differenciálási szabályok Tétel Legyen f az x 0 [a, b] D f pontban differenciálható, invertálható folytonos függvény. Ha f (x 0 ) 0, akkor f 1 differenciálható f (x 0 )-ban, és (f 1 ) (f (x 0 )) = 1. f (x 0 ) Bizonyítás. Az f 1 f összetett függvényt vizsgáljuk. f differenciálható x 0 -ban, f 1 szigorúan monoton és folytonos egy f (x 0 )-t tartalmazó nyílt intervallumon. Ekkor f 1 f (x) f 1 f (x 0 ) f (x) f (x 0 = x x 0 = 1 ) f (x) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ). f (x 0 ) 0, így lim x 0 1 f f (x) f 1 f (x0 ) f (x) f (x 0 = 1. ) f (x 0 ) x x 0

51 Differenciálási szabályok Állítás (sin x) = cos x. Bizonyítás. Legyen x 0 R tetszőlegesen rögzített. Φ(x) = sin x sin x 0 Tehát, lim x 0 x x sin 0 2 x x 0 cos x+x 0 = lim cos x+x 0 = cos x 2 2 x x x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x+x 0 2 x x 0.

52 Differenciálási szabályok Állítás (e x ) = e x. Bizonyítás. Legyen x 0 R tetszőlegesen rögzített. Φ(x) = ex e x 0 e x 0 lim x0 x x e 0 1 x x 0 = e x 0. x x 0 = e x 0 e x x 0 1 x x 0. Tehát,

53 Differenciálási szabályok Következmény Az elemi függvények deriváltfüggvényei: f f c 0 x α αx α 1 cos x sin x 1 tan x cos 2 x cot x 1 a x ln x log a x arcsin x sin 2 x a x ln a 1 x 1 x ln a 1 1 x 2 arccos x x 2 1 x 2 arctan x arccot x 1 1+x 2

54 A derivált folytonossága Definíció Legyen f értelmezett az (a, b) intervallumon. f -nek az x 0 (a, b) pontban szakadása van, ha f nem folyotnos x 0 -ban. f -nek az x 0 (a, b) pontban elsőfajú (egyszerű) szakadása van, ha f -nek szakadása van x 0 -ban, és lim x 0+ f (x) valamint lim x 0 f (x) létezik. Egyébként a szakadást másodfajúnak nevezzük. Tétel (Darboux-tétel) Legyen f olyan az [a, b] intervallumon differenciálható függvény, hogy f (a) < f (b) (f (a) > f (b)). Ekkor, minden olyan λ-hoz, hogy f (a) < λ < f (b) (f (a) > λ > f (b)) létezik x 0 (a, b) amelyre f (x 0 ) = λ.

55 A derivált folytonossága Bizonyítás. Legyen g(x) = f (x) λx. Ekkor g (a) < 0 (g (b) < 0), és létezik olyan x 1 (a, b), hogy g(x 1 ) < g(a) (g(x 1 ) > g(b)); g (b) > 0 (g (a) > 0), és létezik olyan x 2 (a, b), hogy g(x 2 ) < g(b) (g(x 2 ) > g(a)). Tehát g felveszi minimumat (maximumát) [a, b]-n egy x 0 (a, b) pontban. Ekkor g (x 0 ) = 0, tehát f (x 0 ) = λ. Következmény Ha f differenciálható az [a, b] intervallumon, akkor f -nek nem lehet elsőfajú szakadása [a, b]-n.

56 A derivált folytonossága Példa { x 2 sin 1 Legyen f (x) =, ha x 0 x 0 különben. f differenciálható: Ha x 0 0, akkor f (x 0 ) = 2x 0 sin 1 x 0 cos 1 x 0. Ha x 0 = 0, akkor lim 0 x2 sin x 1 x = lim 0 x sin 1 x lim x = 0, így f (0) = 0. 0 Tehát f differenciálható, de f nem folytonos, f -nek másodfajú szakadása van a 0 pontban.

57 L Hosptial-szabály Tétel Legyen f és g differenciálható függvények az (a, b) intervallumon, és g (x) 0 f (x) minden x (a, b)-re ( a < b ). Legyen továbbá lim = c. Ha a g (x) vagy ha lim a f (x) = lim a g(x) = 0, (3) akkor lim g(x) =, (4) a lim a f (x) g(x) = c. (5)

58 L Hosptial-szabály Példa lim π2 tan 3x tan x lim 0 x cot x 1 x 2 lim π4 3 tan x 1 2 sin 2 x 1 lim 0 arcsin 2x 2 arcsin x x 3

59 Lokális szélsőérték Lokális szélsőérték Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény. f -nek lokális maximuma (minimuma) van az x 0 D f pontban, ha létezik olyan δ > 0, hogy tetszőleges x (x 0 δ, x 0 + δ) D f -re f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)). Tétel Legyen f értelmezett az [a, b] intervallumon. Ha f -nek az x 0 (a, b) pontban lokális maximuma (minimuma) van és f (x 0 ) létezik, akkor f (x 0 ) = 0.

60 Lokális szélsőérték Bizonyítás. A lokális maximum esetet látjuk be, a lokális minimum esete hasonlóan bizonyíható. Legyen δ > 0 az a szám, hogy minden x (x 0 δ, x 0 + δ)-ra f (x) f (x 0 ). Ha x (x 0 δ, x 0 ), akkor Ha pedg x (x 0, x 0 + δ), akkor f (x) f (x 0 ) x x 0 0. f (x) f (x 0 ) x x 0 0. Tehát f (x 0 ) 0 és f (x 0 ) 0, így f (x 0 ) = 0.

61 Lokális szélsőérték Tétel (Középérték-tétel) Ha f olyan, az [a, b] intervallumon folytonos függvény, amely differenciálható az (a, b) intervallumon, akkor létezik x 0 (a, b), hogy f (b) f (a) = (b a)f (x 0 ).

62 Lokális szélsőérték Bizonyítás. Legyen h(x) = (f (b) f (a))x (b a)f (x) x [a, b]. Ekkor h folytonos [a, b]-n, differenciálható (a, b)-n és h(a) = f (b)a f (a)b = h(b). Azt mutatjuk meg, hogy létezik x 0 (a, b), hogy h (x 0 ) = 0. Ha h konstans függvény, akkor kész vagyunk. Ha létezik y (a, b), hogy h(y) > h(a), akkor legyen x 0 (a, b) az a pont, ahol h felveszi maximumát. Ekkor az előző tétel miatt h (x 0 ) = 0. Ha létezik y (a, b), hogy h(y) < h(a), akkor legyen x 0 (a, b) az a pont, ahol h felveszi minimumát. Ekkor az előző tétel miatt h (x 0 ) = 0.

63 Monotonitás Monotonitás Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. ha f (x) 0 (f (x) > 0) minden x (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. ha f (x) = 0 minden x (a, b)-re, akkor f konstans (a, b)-n, 3. ha f (x) 0 (f (x) < 0) minden x (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n, 4. ha f monoton növő (fogyó) (a, b)-n, akkor f (x) 0 (f (x) 0) minden x (a, b)-re.

64 Monotonitás Bizonyítás. Legyen x 1, x 2 (a, b) x 1 < x 2 tetszőlegesen rögzített. A Középérték-tétel miatt létezik x 0 (x 1, x 2 ), hogy Az állítások közvetlenül leolvashatóak (6)-ből. Példa x 3, sin x, 1 x. f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (x 0 ). (6)

65 Konvexitás Konvexitás Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konvex az I intervallumon, ha tetszőleges x 1, x 2 I-re és tetszőleges α (0, 1)-re, αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) f (αx 1 + (1 α)x 2 ) (αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) > f (αx 1 + (1 α)x 2 )). Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konkáv, ha f (szigorúan) konvex. Definíció f konvex (konkáv), ha D f intervallum, és azon f konvex (konkáv).

66 Konvexitás Konvexitás II. Tétel Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konvex függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n. Bizonyítás. Legyen x 0 (a, b) tetszőlegesen rögzített. Azt mutatjuk meg, hogy lim f (x) = f (x 0 ) (lim f (x) = f (x 0 ) belátása teljesen hasonlóan megy). x 0+ x 0 Legyen {x n} (x 0, b) tetszőleges olyan sorozat, hogy x n x 0 de f (x n) f (x 0 ). Feltehetjük, hogy f (x n) c, ahol c lehet ± is.

67 Konvexitás folytatás. f konvex, így minden α (0, 1)-re f (x) αf (x 0 ) + (1 α)f (b), ahol x = αx 0 + (1 α)b. Speciálisan, minden x n-hez létezik α n (0, 1), hogy x n = α nx 0 + (1 α n)b, és ahogy x n x 0, úgy α n 1. Tehát c f (x 0 ). f konvex, így minden α (0, 1)-re f (x) αf (a) + (1 α)f (x n), ahol x = αa + (1 α)x n. Speciálisan, minden x n-hez létezik α n (0, 1), hogy x 0 = α na + (1 α n)x n, és ahogy x n x 0, úgy α n 0. Tehát c f (x 0 ). Összegezve a fentieket: f (x 0 ) = c, ami ellentmond f (x n) f (x 0 )-nak. Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konkáv függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n.

68 Konvexitás Állítás Legyenek f, g konvex (konkáv) függvények az I intervallumon. Ekkor f + g is konvex (konkáv) függvény az I intervallumon. Bizonyítás. A konkáv esetet bizonyítjuk, a konvex eset belátása teljesen analóg módon megy. Legyen x 1, x 2 I tetszőlegesen rögzítettek. f és g konkávak I-n, tehát tetszőleges α (0, 1)-re f (αx 1 + (1 αx 2 )) αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) g(αx 1 + (1 αx 2 )) αg(x 1 ) + (1 α)g(x 2 ).

69 Konvexitás folytatás. Tehát (f + g)(αx 1 + (1 αx 2 )) α(f + g)(x 1 ) + (1 α)(f + g)(x 2 ). Példa x 2, e x2.

70 Differenciálható konvex függvények Differenciálható konvex függvények Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor (szigorúan) konvex (a, b)-n, ha f (x) (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. f pontosan akkor (szigorúan) konkáv (a, b)-n, ha f (x) (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n.

71 Differenciálható konvex függvények Bizonyítás. A (szigorúan) konvex esetet bizonyítjuk, a (szigorúan) konkáv eset abból közvetlenül következik. Akkor: Legyen x 1, x 3 (a, b) x 1 < x 3, α (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x 2 = αx 1 + (1 α)x 3. Tekintsük a következő kifejezéseket f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1, f (x 3 ) f (x 2 ) x 3 x 2. A Középérték-tételből következik, hogy létezik y 1 (x 1, x 2 ) és y 2 (x 2, x 3 ), hogy f (y 1 ) = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1, f (y 2 ) = f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2.

72 Differenciálható konvex függvények folytatás. Mivel f (szigorúan) monoton növő, így f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 (<) f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2. A fenti kifejezésből könnyű számolással adódik, hogy f (αx 1 + (1 α)x 3 ) (<) αf (x 1 ) + (1 α)f (x 3 ). x 1, x 3 (a, b), α (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, tehát f (szigorúan) konvex.

73 Differenciálható konvex függvények folytatás. Csak akkor: Legyen x 1, x 3 (a, b) x 1 < x 3, α (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x 2 = αx 1 + (1 α)x 3. f (szigorúan) konvex, tehát f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 (<) f (x 3) f (x 1 ) x 3 x 1 (<) f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2. f differenciálható (a, b)-n, tehát f f (x) f (x 1 ) (x 1 ) = lim, f f (x 3 ) f (x) (x 3 ) = lim. x 1+ x x 1 x3 x 3 x

74 Differenciálható konvex függvények folytatás. Ekkor azonban és f f (x 3 ) f (x) (x 1 ) = lim (<) f (x 3) f (x 1 ), x 1+ x 3 x x 3 x 1 f (x 3 ) f (x 1 ) x 3 x 1 (<) lim x 3+ f (x) f (x 1 ) x x 1 = f (x 3 ). Tehát f (x 1 ) (<) f (x 3 ). Mivel x 1, x 3 (a, b), α (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, így f (szigorúan) monoton növő.

75 Differenciálható konvex függvények Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon kétszer differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor konvex (a, b)-n, ha f (x) 0 minden x (a, b)-re, 2. f pontosan akkor konkáv (a, b)-n, ha f (x) 0 minden x (a, b)-re. Példa f (x) = x 3, g(x) = sin x, h(x) = 1. x

76 Differenciálható konvex függvények Inflexiós pont Definíció x 0 inflexiós pontja f -nek, ha létezik olyan δ > 0, hogy az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon f differenciálható, és minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) > f (x) vagy minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) < f (x). Állítás Ha f kétszer differenciálható az (a, b) intervallumon és x 0 (a, b) inflexiós pontja f -nek, akkor f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. x 0 f -nek lokális szélsőértékhelye, így f (x 0 ) = 0.

77 Lokális szélsőérték létezésének feltételei A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Definíció x 0 az f függvény stacionárius pontja, ha f (x 0 ) = 0. Következmény (A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele) Legyen f differenciálható (a, b)-n; ekkor, ha x 0 (a, b) f -nek lokális szélsőértékhelye, akkor x 0 stacionárius pontja f -nek. Példa f (x) = x 5, g(x) = x 2.

78 Lokális szélsőérték létezésének feltételei A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele Állítás (A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele) Legyen f az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon folytonos, az (x 0 δ, x 0 ) és (x 0, x 0 + δ) intervallumokon differenciálható függvény. Ha f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra (f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra), akkor f -nek lokális maximuma (minimuma) van x 0 -ban.

79 Lokális szélsőérték létezésének feltételei Bizonyítás. A lokális maximum esetet bizonyítjuk, a lokális minimum teljesen hasonló módon látható. Ha f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f folytonos (x 0 δ, x 0 ]-n, akkor f monoton növő (x 0 δ, x 0 ]-n. Tehát minden x (x 0 δ, x 0 ]-ra f (x 0 ) f (x). Ha f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra és f folytonos [x 0, x 0 + δ)-n, akkor f monoton fogyó [x 0, x 0 + δ)-n. Tehát minden x [x 0, x 0 + δ)-ra f (x 0 ) f (x). Összegezve a fentieket: x (x 0 δ, x 0 + δ)-ra f (x 0 ) f (x), tehát x 0 lokális maximumhelye f -nek. Példa f (x) = x, g(x) = 3 (x 3) 2, h(x) = { x, ha x 0 1 különben

80 Lokális szélsőérték létezésének feltételei Állítás Legyen f az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon kétszer differenciálható, f (x 0 ) = 0, és f szigorúan monoton növő (fogyó) (x 0 δ, x 0 + δ)-on. Ekkor x 0 inflexiós pontja f -nek, f szigorúan konkáv (konvex) (x 0 δ, x 0 )-on és szigorúan konvex (konkáv) (x 0, x 0 + δ)-on. Bizonyítás. Ha f szigorúan monoton növő (fogyó) (x 0 δ, x 0 + δ)-on és f (x 0 ) = 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)), tehát x 0 inflexiós pontja f -nek. Továbbá, ha f szigorúan monoton növő (fogyó) az (x 0 δ, x 0 + δ)-on és f (x 0 ) = 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 )-ra f (x) < 0 (f (x) > 0), és minden x (x 0, x 0 + δ)-ra f (x) > 0 (f (x) < 0). Tehát f szigorúan konkváv (konvex) (x 0 δ, x 0 )-on, és szigorúan konvex (konkáv) (x 0, x 0 + δ)-on.

81 Példák Példák f (x) = x 3 + 2x 2 3x + 12, g(x) = x 2 e x, h(x) = sin x 2 + cos x, k(x) = 2 x x 4.

82 Kötelező anyag: Előadás anyaga Egyéb olvasnivaló érdeklődőknek: Laczkovich Miklós T. Sós Vera: I. megfelelő részei.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42

Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása

Részletesebben

harmadik, javított kiadás

harmadik, javított kiadás Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

ANALÍZIS TANÁROKNAK I.

ANALÍZIS TANÁROKNAK I. Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Gazdasági Matematika I.

Gazdasági Matematika I. Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK Dr. Lajkó Károly Gazdasági Matematika I. jegyzet az alapképzéshez NYÍREGYHÁZI FŐISKOLA GAZDASÁGMÓDSZERTANI TANSZÉK

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Bevezető analízis I. jegyzet

Bevezető analízis I. jegyzet Bevezető analízis I. jegyzet Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet 05. szeptember. Tartalomjegyzék Halmazok, logika, bizonyítási módszerek..

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon

Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Analízis tételek alkalmazása KöMaL és más versenyfeladatokon Lukács Imola Matematika BSc Szakdolgozat Témavezető: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57

GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57 Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 12 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 8 14 Helyzetvektor 10 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 12 16 Skaláris

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben