Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Átírás

1 Pintér Miklós Ősz

2 Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza B-nek. Példa Legyen egy halmaz szimpatikus ha nem tartalmazza önmagát. Legyen S a szimpatikus halmazok összessége. Ekkor S szimpatikus?

3 Alapfogalmak Függvények Definíció Legyen A és B tetszőlegesen rögzített halmazok. Ekkor f : A B-t az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük, ha minden a A-ra f (a) a B halmaz pontosan egy eleme. Az A halmazt f értelmezés tartományának (jelölés: D f ), az f (A) halmazt az f értékkészletének (jelölés: R f ) nevezzük. Az f függvény injektív, ha (a b) (f (a) f (b)), szűrjektív, ha f (A) = B, bijektív, ha injektív és szűrjektív.

4 Alapfogalmak Halmazok számossága Definíció Az A halmazt végesnek (véges számosságúnak) nevezzük, ha elemeinek száma véges. Az A halmaz megszámlálhatóan végtelen számosságú, ha létezik f : A N bijekció. Az A halmaz kontinuum számosságú, ha létezik f : A R bijekció. Feladat A következő halmazok számossága megegyezik: N, Z, Q, páros természetes számok halmaza, 2 hatványainak halmaza. Feladat R nem megszámlálhatóan végtelen.

5 Valós számok Rendezett halmazok Definíció Legyen A tetszőleges halmaz. A rendezésén egy olyan < relációt értünk, amelyre 1. Ha x, y A, akkor x < y, x = y, x > y összefüggések közül pontosan egy teljesül. 2. Ha x, y, z A, x < y és y < z, akkor x < z. Az A halmazt rendezett halmaznak nevezzük, ha egy < rendezés van definiálva rajta (jelölés: (A, <)). Példa N a természetes számok halmaza a szokásos relációval rendezett halmaz.

6 Valós számok Felsőhatár-tulajdonság Definíció Legyen (A, <) rendezett halmaz. B A felülről (alulról) korlátos, ha van olyan k A, hogy minden x B-re x k (x k). k-t a B halmaz felső (alsó) korlátjának nevezzük. A B felülről (alulról) korlátos halmaz legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátját a B halmaz szuprémumának (infimumának) nevezzük, és sup B-vel (inf B-vel) jelöljük. Egy A rendezett halmaz felsőhatár-tulajdonságú, ha tetszőleges B A nemüres, felülről korlátos halmaz esetén sup B létezik.

7 Valós számok Tétel Tegyük fel, hogy A rendezett halmaz fh-tulajdonságú. Ekkor ha B A nemüres alulról korlátos halmaz, akkor inf B létezik. Bizonyítás. Legyen C A a B halmaz alsó korlátjainak halmaza. B alulról korlátos, tehát C. Ekkor mivel A fh-tulajdonságú, így sup C létezik. Azt állítjuk, hogy sup C = inf B. (1) sup C nem kisebb, mint B alsó korlátjai. (2) Tegyük fel, hogy sup C nem alsó korlátja B-nek. Ekkor létezik b B, hogy b < sup C. Mivel minden c C-re c b, így sup C nem a legkisebb felső korlátja C-nek, ami ellentmondás. Példa N fh-tulajdonságú rendezett halmaz.

8 Valós számok Testek Definíció Az F halmazt az összeadás és szorzás művelettekkel, mint struktúrát testnek nevezzük, ha teljesíti a következő, ún. testaxiómákat: tetszőleges x, y, z F esetén x + y F, x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z), létezik 0 F (x-től független), hogy x + 0 = x, létezik x F (x-től függő), hogy x + ( x) = 0, xy F,

9 Valós számok Definíció (folytatás) xy = yx, (xy)z = x(yz), létezik 1 F (x-től független) 1 0, hogy 1x = x, létezik 1/x F (x-től függő) x 0, hogy x(1/x) = 1, x(y + z) = xy + xz.

10 Valós számok Fh-tulajdonságú rendezett test Definíció Az F testet rendezett testnek nevezzük, ha F rendezett halmaz, x, y, z F és y < z, akkor x + y < x + z, x, y F, x > 0 és y > 0, akkor xy > 0. Példa Q, a racionális számok halmaza rendezett test. Tétel Létezik fh-tulajdonságú rendezett test, amely tartalmazza Q-t. Ezt a fh-tulajdonságú rendezett testet a valós számok halmazának nevezzük, és R-rel jelöljük.

11 Valós számok Távolság, környezet Definíció A d függvényt távolságfüggvénynek nevezzük, ha tetszőleges x, y, z R esetén d(x, x) = 0, és ha x y, akkor d(x, y) > 0 d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(y, z). Következmény A tetszőleges x, y R-hez x y -t rendelő függvény távolságfüggvény.

12 Valós számok Definíció Az (a, b) = {x R a < x < b} ([a, b] = {x R a x b} ) halmazt nyílt (zárt) intervallumnak nevezzük. Az (a, b] = {x R a < x b} ([a, b) = {x R a x < b} ) halmazt balról nyílt, jobbról zárt (balról zár, jobbról nyílt) intervallumnak nevezzük. Definíció Az (x ε, x + ε) = {y R x y < ε} nyílt intervallumot az x R pont ε > 0 környezetének nevezzük.

13 Sorozatok Sorozatok Definíció Az a : N R függvényt (valós) sorozatnak nevezzük, és elemeit a 1, a 2,...-vel jelöljük. Definíció Legyen f : N N egy monoton növő függvény. Ekkor a b n = a n f sorozatot az {a n} sorozat részsorozatának nevezzük. Példa a n = 1, a n = ( 1) n.

14 Sorozatok Határérték Definíció Az {a n} sorozat konvergens, ha létezik a 0 R, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan n N (ε-tól függő) szám, hogy minden n n -re a n (a 0 ε, a 0 + ε) (másképpen a n a 0 < ε). a 0 -t az {a n} sorozat határértékének nevezzük. Példa 1 0 (alternatív jelölés: n lim 1 n n = 0).

15 Sorozatok Állítás A határérték egyértelmű. Tehát, ha a n a és a n b, akkor a = b. Bizonyítás. a b Indirekt tegyük fel, hogy a b. Legyen ε =. Ekkor létezik n a, n b N, 2 hogy minden n n a-ra a n a < ε és minden n n b -re a n b < ε. Ekkor azonban minden n max{n a, n b }-re a n a < ε és a n b < ε, tehát a b < 2ε ami ellentmondás.

16 Sorozatok Sorozatok tulajdonságai Definíció Az {a n} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re a n a n+1 (a n a n+1 ). Az {a n} sorozat korlátos, ha értékkészlete korlátos halmaz. Példa Az 1 sorozat monoton és korlátos. n

17 Konvergens sorozatok A konvergens sorozatok tulajdonságai Állítás Legyenek a n a, b n b konvergens sorozatok. Ekkor a n + b n a + b, minden c R-re ca n ca, és c + a n c + a, a nb n ab, Ha minden n-re a n 0, és a 0, akkor 1/a n 1/a, Ha b n a n, akkor b a.

18 Konvergens sorozatok Bizonyítás. a n + b n a + b: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n a, n b, hogy minden n n a-ra a n a < ε/2 és minden n n b -re b n b < ε/2. Ekkor minden n max{n a, n b }-re (a n + b n) (a + b) = (a n a) + (b n b) a n a + b n b < ε. Minden c R-re ca n ca, és c + a n c + a: Házi feladat. a nb n ab: a n és b n sorozatok konvergensek, így a n és b n sorozatok is konvergensek tehát korlátosak is. Legyen k a és k b rendre a n és b n egy felső korlátja. Legyen továbbá k = max{k a, k b }. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n a, n b, hogy minden n n a-ra a n a < ε 2k n n b -re b n b < ε 2k. Ekkor minden n max{na, n b}-re a nb n ab = a n(b n b) + b(a n a) a n b n b + b a n a < ε. és minden

19 Konvergens sorozatok folytatás. Ha minden n-re a n 0 és a 0, akkor 1/a n 1/a: Legyen m olyan index, hogy minden n m-re a n a < 1 2 a. Ekkor minden n m-re an > 1 2 a. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik n > m, hogy minden n n -ra a n a < 1 2 a 2 ε. Tehát, minden n n -ra 1 1 a n a = a n a a na < 2 an a < ε. a 2 a b Ha b n a n, akkor b a: Indirekt tegyük fel, hogy b > a. Legyen ε =. 2 Ekkor létezik n a, n b N, hogy minden n n a-ra a n a < ε és minden n n b -re b n b < ε. Ekkor azonban miden n max{n a, n b }-re a n a < ε és b n b < ε, tehát b n a n > 0 ami ellentmondás.

20 Konvergens sorozatok Konvergens sorozatok tulajdonságai II Tétel Minden konvergens sorozat korlátos. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Példa a n = ( 1) n.

21 Konvergens sorozatok Bizonyítás. Minden konvergens sorozat korlátos: Legyen a 0 az {a n} sorozat határértéke, és legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. Ekkor létezik olyan n szám, hogy minden n n -ra a n (a 0 ε, a 0 + ε). Tehát az {a n} sorozatnak csak véges sok eleme (maximum n 1) van az (a 0 ε, a 0 + ε) intervallumon kívül. Legyen f a kivül maradó elemek közül a legnagyobb és a a legkisebb. Ekkor max{f, a 0 + ε} és min{a, a 0 ε} rendre felsó ill. alsó korlátja {a n}-nek. Minden monoton korlátos sorozat konvergens: Tegyük fel, hogy {a n} monoton növő sorozat és k felső korlátja {a n}-nek. Ekkor sup{a n} létezik, és a n sup{a n}, hiszen minden ε > 0-hoz létezik oylan n, hogy minden n n -ra a n sup{a n} < ε (legkisebb felső korlát és monoton növő sorozat). Az {a n} monoton fogyó eset belátása teljesen hasonlóan megy.

22 Konvergens sorozatok folytatás. Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata: Legyen a {c n} felső és alsó korlátja rendre f és a. Ekkor az [a, a+f a+f ] és [, f ] intervallumok 2 2 legalább egyikében végtelen sok eleme van {c n}-nek. Legyen [a 1, f 1 ] az egyik olyan intervallum, amiben {c n}-nek végtelen sok eleme van. Legyen b 1 egy tetszőleges eleme {c n}-nek [a 1, f 1 ]-ből. Ekkor az [a 1, a 1+f 1 ] és [ a 1+f 1, f ] intervallumok legalább egyikében végtelen sok eleme van {c n}-nek. Legyen [a 2, f 2 ] az egyik olyan intervallum, amiben {c n}-nek végtelen sok eleme van. Legyen b 2 egy olyan eleme {c n}-nek [a 2, f 2 ]-ből, hogy b 2 {c n}-beli indexe (sorszáma) nagyobb, mint b 1 {c n}-beli indexe. Folytatva a fenti eljárást, a kapott {b n} sorozat a {c n} sorozat részsorozata. {a n} monoton növő felülről korlátos, {f n} pedig monoton fogyó alulról korlátos sorozat, továbbá minden n-re f n a n < f a, tehát lim b n lim a n = lim f n. n n n n an = lim fn. Ekkor an bn fn, így n

23 Konvergens sorozatok Állítás Ha a > 0, akkor 1 n a 0, Ha a > 0, akkor n a 1, n n 1, Ha a > 0 és α R, akkor Ha x < 1, akkor x n 0. n α (1 + a) n 0,

24 Konvergens sorozatok Bizonyítás. Ha a > 0, akkor 1 0: Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített, és na N = (1/ε) (1/a). Ekkor minden n > N-re 1 n a < ε. Ha a > 0, akkor n a 1: Tegyük fel, hogy a > 1. Ekkor legyen x n = n a 1. x n > 0 és (Bernoulli-egyenlőtlenség) 1 + nx n (1 + x n) n = a, tehát 0 < x n a 1, így xn 0. Ha a = 1, akkor az állítás nyilvánvaló, ha 0 < a < 1, n akkor legyen x n = 1 1 és követhetjük az a > 1 esetet (Házi feladat). n a

25 Konvergens sorozatok folytatás. n n 1: Legyen xn = n n 1. Ekkor x n 0 és (binomiális tétel) n = (1 + x n) n n(n 1) xn 2, tehát 0 x n 2 2 (n 2), így xn 0. n 1 n α Ha a > 0 és α R, akkor 0: Legyen k > max{α, 0} tetszőlegesen (1 + a) n rögzített. Ha n > 2k, akkor (1 + a) n > ( ) n k a k = n(n 1) (n k+1) a k > nk a k k! Ekkor 0 < nα < 2k k! n α k (n > 2k), így (α k < 0) (1+a) n a k Ha x < 1, akkor x n 0: Házi feladat. n α (1+a) n 0. 2 k k!.

26 Az e szám Az e szám Állítás Az (1 + 1 n )n sorozat konvergens. Bizonyítás. (1) Az (1 + 1 n )n sorozat monoton: A számtani és mértani közepek közötti n+1 egyenlőtlenségből (1 + 1 n )n < 1+n(1+ n 1 ) = n+2 = Tehát n+1 n+1 n+1 (1 + 1 n )n < (1 + 1 n+1 )n+1.

27 Az e szám folytatás. (2) Az (1 + 1 n )n sorozat korlátos: Legyen m > 1 tetszőlegesen rögzített természetes szám. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből n+m (1 + 1 n )n (1 1 m )m < n(1+ n 1 )+m(1 m 1 ) n+m (1 + 1 n )n (1 1 m )m < 1, tehát (1 + 1 n )n < (1 + 1 = n+m = 1. Ekkor n+m m 1 )m. Mivel m > 1 rögzített, így minden n-re (1 + 1 n )n kisebb, mint egy rögzített érték. Definíció ( A lim n n ) n határértékét Euler-féle számnak nevezzük és e-vel jelöljük.

28 Függvények határértéke Határérték Definíció Legyen A R tetszőleges halmaz. Az x R torlódási pontja az A halmaznak, ha tetszőleges ε > 0 esetén (x ε, x + ε) (A \ {x}). Példa A = {1} torlódási pontjai:, A = (1, ] torlódási pontjai: [1, ]. Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény, és legyen x 0 torlódási pontja D f -nek. Ekkor p x 0 -beli határértéke f -nek (jelölés: lim f (x) = p), ha minden x n x 0, x 0 x n D f minden n-re, sorozatra lim n f (x n) = p.

29 Függvények határértéke Állítás Ha lim f (x) = a és lim f (x) = b, akkor a = b. x0 x 0 Bizonyítás. Lsd. a határérték egyértelműségére vonatkozó állítást. Példa lim 3 x 2 5x + 6 x 3.

30 Függvények határértéke Függvény határérték II. Állítás Legyen f és g olyan függvény, hogy x 0 torlódási pontja D f -nek és D g-nek, továbbá lim f (x) = p és lim g(x) = q. Ekkor x 0 x 0 lim x0 (f + g)(x) = p + q, lim x0 (fg)(x) = pq, ha q 0, akkor lim x 0 (f /g)(x) = p/q, ha f (x) g(x) minden x D f D g esetén, akkor p q. Bizonyítás. Lsd. a konvergens sorozatok tulajdonságaira vonatkozó állítást.

31 Függvények folytonossága Függvények folytonossága Definíció Az f függvény folytonos az x 0 D f pontban, ha x 0 izolált pontja D f -nek vagy x 0 torlódási pontja D f -nek és lim f (x) = f (x 0 ). Azt mondjuk, hogy az f x 0 függvény folytonos, ha f az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Állítás Legyenek f, g x 0 -ban folytonos függvények. Ekkor f + g folytonos x 0 -ban, fg folytonos x 0 -ban, ha g(x 0 ) 0, akkor f /g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Lsd. a függvények határértékére vonatkozó állítást.

32 Függvények folytonossága Állítás Ha g folytonos x 0 -ban és f folytonos g(x 0 )-ban, akkor f g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Legyen x n x 0, x n x 0, g(x n) D f, g(x n) g(x 0 ) (minden n-re) tetszőleges sorozat. g folytonos x 0 -ban, tehát g(x n) g(x 0 ) konvergens sorozat. f folytonos g(x 0 )-ban, tehát f g(x n) f g(x 0 ) szintén konvergens sorozat. Mivel x n tetszőlegesen rögzített volt, így lim x0 f g(x) = f g(x 0 ).

33 Folytonos függvények intervallumon Folytonos függvények korlátos zárt intervallumon Tétel (Bolzano-tétel) Ha f folytonos az [a, b] (korlátos, zárt) intervallumon, és f (a) < 0 < f (b), vagy f (a) > 0 > f (b), akkor létezik x 0 [a, b], hogy f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f (a) < 0 < f (b) (a fordított eset Házi feladat). Legyen A = {x [a, b] f (x) < 0} és ξ = sup A. Ekkor tetszőleges ε > 0-hoz létezik x A, hogy ξ x < ε. Magyarán, létezik x n A konvergens sorozat, hogy x n ξ, így f folytonossága miatt lim f (xn) = f (ξ) 0. Tehát ξ b. Ekkor n azonban tetszőleges y (ξ, b] pontra f (y) 0, hiszen ξ A legkisebb felső korlátja. Ekkor létezik y n (ξ, b], y n ξ konvergens sorozat, hogy f (y n) 0 n-re. f folytonos, tehát lim f (yn) = f (ξ) 0, így f (ξ) = 0. n

34 Folytonos függvények intervallumon Tétel (Weierstrass-tétel) Legyen f folytonos az [a, b], a < b (korlátos, zárt) intervallumon. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát [a, b]-n. Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy f felveszi maximumát [a, b]-n a minimum belátása Házi feladat. Indirekt tegyük fel, hogy f nem felülről korlátos [a, b]-n. Ekkor létezik x n [a, b] sorozat, hogy f (x n). Azonban, x n-nek van konvergens részsorozata y n y 0, y 0 [a, b], és lim f (y n) f (y 0 ), ami ellentmond f n folytonosságának. Tehát f felülről korlátos [a, b]. Ekkor létezik x n, x 0 [a, b], x n x 0 konvergens sorozat, hogy f (x n) sup f (x), tehát x [a,b] lim f (xn) = f (x 0) = sup n x [a,b] f (x), így f (x 0 ) maximuma f -nek [a, b]-n.

35 Folytonos függvények intervallumon Példák Példa x x = 0. Példa f (x) = { sin x, ha x [0, π] \ {π/2} 0, ha x = π/2. Példa f (x) = x 2, D f = (0, 2].

36 Folytonos függvények intervallumon Állítás Legyen f az I intervallumon invertálható folytonos függvény. Ekkor f 1 folytonos f (I)-n. Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy f szigorúan monoton függvény I-n. Legyen x, y I, x < y tetszőlegesen rögzített. Tegyük fel, hogy f (x) < f (y) (az f (x) > f (y) eset Házi feladat). Legyen továbbá z I \ {x, y} tetszőlegesen rögzített. (1) z < x: Indirekt tegyük fel, hogy f (z) > f (x), és legyen c = min{f (z), f (y)}. Ekkor létezik olyan v [z, x] és w [x, y], hogy f (v) = c = f (w), ami ellentmond f invertálhatóságának. A (2) és (3) eset Házi feladat.

37 Folytonos függvények intervallumon folytatás. Most megmutatjuk, hogy f 1 folytonos I-n. Legyen x n x 0, x n, x 0 f (I) tetszőleges monoton növő sorozat (az x n x 0, x n, x 0 f (I) monoton fogyó eset Házi feladat). Legyen továbbá, y 0 = f 1 (x 0 ), y n = f 1 (x n). Azt kell látnunk, hogy y n y 0. Feltehetjük, hogy f szigorúan monoton növő (lsd. előző pont, a szigorúan monoton fogyó eset Házi feladat), tehát y n < y n+1 < y 0 minden n-re. Ekkor y n monoton korlátos sorozat, tehát konvergens, és y n sup{y n}. Azt kell látnunk, hogy sup{y n} = y 0. f folytonos, tehát sup{y n} = f 1 f (sup{y n}) = f 1 ( lim f (yn)) = f 1 ( lim xn) = f 1 (x 0 ) = n n y 0.

38 Elemi függvények folytonossága Folytonos függvények Állítás A sin x és e x függvények folytonosak. Bizonyítás. sin x folytonos: Világos, hogy minden x R-re sin x x. Legyen x 0, x n x 0 sorozat tetszőlegesen rögzített. sin x n sin x 0 = 2 sin(xn x 0) cos(xn+x 0) x n x = xn x 0. Tehát lim sin(xn) = sin(x 0). x 0 és x n x 0 tetszőlegesen rögzített volt, így kész is n vagyunk.

39 Elemi függvények folytonossága folytatás. e x folytonos: Legyen x 0, x n x 0 sorozat tetszőlegesen rögzített. Könnyen látható, hogy minden x-re ( ) 1 + x n n 1 + x, tehát e x 1 + x, és szintén minden x-re e x 1 x, tehát a két egyenlőtlenségből következik, hogy minden x > 1-re 1 + x e x 1. Legyen 1 x xn x 0 0. Ekkor feltehetjük, hogy minden n-re 1 + (x n x 0 ) e xn x 0 lim n exn x 0 = lim e xn n e x 0 rögzített volt, így kész is vagyunk. 1 1 (x n x 0 ), tehát = 1, így lim n exn = e x 0. x 0 és x n x 0 tetszőlegesen

40 Elemi függvények folytonossága Következmény Az exponenciális függvények, a logaritmus függvények, a hatványfüggvények, a polinomok és a trigonometrikus függvények folytonosak. Bizonyítás. Lsd. a sin x és e x és az inverz függvény folytonosságát.

41 Elemi függvények folytonossága Állítás sin x lim 0 x = 1. Bizonyítás. sin x páratlan függvény, tehát sin x x x n (0, π 2 páros függvény, így elég ha az x n 0, ] tetszőlegesen rögzített sorozatot vizsgáljuk. Ekkor minden n-re sin x n < x n < tan x n és minden n-re 1 < xn sin x n < 1 cos x n, tehát 1 > sin x cos x folytonos függvény, így lim = 1. 0 x sin xn x n > cos x n.

42 Elemi függvények folytonossága Következmény 1 cos x lim = 0. 0 x Bizonyítás. lim cos x x = lim 0 1 sin(x+ π 2 ) x = lim 0 1 cos x sin π 2 cos π 2 sin x x = cos π 2 lim 0 sin x x =

43 Elemi függvények folytonossága Állítás lim 0 e x 1 x = 1. Bizonyítás. Az e x folytonosságának bizonyításakor már láttuk, hogy minden x-re 1 + x e x 1, tehát x 1 x ex 1 x. Legyen xn 0 tetszőlegesen 1 x 1 rögzített. Ekkor, ha 1 < x n < 0, akkor 1 x n exn 1 x n 1, ha pedig x n > 0, akkor 1 exn 1 x n 1 e 1 x n. Tehát lim xn 1 n x n = 1. x n 0 tetszőlegesen rögzített volt, így kész is vagyunk.

44 A derivált fogalma A derivált fogalma Definíció Legyen f olyan függvény, hogy [a, b] D f. Ekkor tetszőleges x 0 [a, b] esetén képezzük a következő függvényt (differencia hányados): és legyen Φ(x) = f (x) f (x 0) x x 0 (x (a, b), x x 0 ), (1) lim Φ(x) = f (x 0 ), (2) x 0 feltéve, hogy a (2) határérték létezik. Az ilyen módon kapott f függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon x 0 [a, b]-k halmaza, amelyekre a fenti határérték létezik; az f függvény deriváltjának nevezzük és f -vel jelöljük.

45 A derivált fogalma Definíció Példa Ha f értelmezve van x 0 [a, b]-ben, akkor azt mondjuk f differenciálható x 0 -ban. Ha f értelmezve van az A [a, b] halmazon, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az A halmazon. Ha f az értelmezési tartományának minden [a, b] intervallumán differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható. f (x) = x 2, f (x) = ln( x 2 ).

46 A derivált fogalma Tétel Ha f differenciálható függvény x 0 (a, b) D f -ben, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. f (x) f (x 0 ) lim f (x) f (x 0 ) = lim (x x 0 ) = f (x 0 )0 = 0. x 0 x 0 x x 0 Példa f (x) = x, { 0, ha x < 0 f (x) = 1 különben.

47 Differenciálási szabályok Differenciálási szabályok Tétel Legyen f és g differenciálható függvények x 0 [a, b] D f D g-ben. Ekkor cf (c R), f + g, fg, f /g (feltéve, hogy g(x 0 ) 0) függvények differenciálhatóak x 0 -ban, és (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ), (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ), (f /g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ). Bizonyítás. (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ) és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ): Lsd. a függvény határértékekre vonatozó állítást.

48 Differenciálási szabályok folytatás. (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ): Legyen h = fg, ekkor h(x) h(x 0 ) = f (x)(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f (x) f (x 0 )). Tehát h(x) h(x lim 0 ) x x x 0 0 f (x)(g(x) g(x = lim 0 )) x x x lim lim x 0 h(x) h(x 0 ) x x 0 = f (x 0 )g (x 0 ) + g(x 0 )f (x 0 ). g(x 0 )(f (x) f (x 0 )) x x x 0 0, így (f /g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) : Legyen h = f /g, ekkor ( g 2 (x 0 ) h(x) h(x 0 ) 1 x x 0 = g(x)g(x 0 ) g(x) f (x) f (x 0) x x 0 f (x) g(x) g(x 0) x x 0 ). Mindkét oldal x 0 -beli határértékét véve megkapjuk a bizonyítanadó állítást.

49 Differenciálási szabályok Tétel Legyen a g függvény folytonos [a, b] D g-n és deriválható x 0 [a, b]-ben, az f függvény pedig értelmezett egy g(x 0 )-t tartalmazó olyan zárt intervallumon I-n, hogy R g I, és differenciálható g(x 0 )-ban. Ekkor f g differenciálható x 0 -ban és (f g) (x 0 ) = f g(x 0 )g (x 0 ). Bizonyítás. Legyen y = g(x), y 0 = g(x 0 ). A differenciálás definíciójából g(x) g(x 0 ) = (x x 0 )(g (x 0 ) + u(x)), és f (y) f (y 0 ) = (y y 0 )(f (y 0 ) + v(y)), ahol x (a, b), y I, lim u(x) = 0, x 0 lim v(y) = 0. Ekkor f g(x) f g(x 0 ) = (g(x) g(x 0 ))(f (y 0 ) + v(y)) = y 0 (x x 0 )(g (x 0 ) + u(x))(f (y 0 ) + v(y)). x x 0 esetén: f g(x) f g(x 0 ) x x 0 = (g (x 0 ) + u(x))(f (y 0 ) + v(y)), így lim x 0 f g(x) f g(x 0 ) x x 0 = f (y 0 )g (x 0 ) = f g(x 0 )g (x 0 ).

50 Differenciálási szabályok Tétel Legyen f az x 0 [a, b] D f pontban differenciálható, invertálható folytonos függvény. Ha f (x 0 ) 0, akkor f 1 differenciálható f (x 0 )-ban, és (f 1 ) (f (x 0 )) = 1. f (x 0 ) Bizonyítás. Az f 1 f összetett függvényt vizsgáljuk. f differenciálható x 0 -ban, f 1 szigorúan monoton és folytonos egy f (x 0 )-t tartalmazó nyílt intervallumon. Ekkor f 1 f (x) f 1 f (x 0 ) f (x) f (x 0 = x x 0 = 1 ) f (x) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ). f (x 0 ) 0, így lim x 0 1 f f (x) f 1 f (x0 ) f (x) f (x 0 = 1. ) f (x 0 ) x x 0

51 Differenciálási szabályok Állítás (sin x) = cos x. Bizonyítás. Legyen x 0 R tetszőlegesen rögzített. Φ(x) = sin x sin x 0 Tehát, lim x 0 x x sin 0 2 x x 0 cos x+x 0 = lim cos x+x 0 = cos x 2 2 x x x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x+x 0 2 x x 0.

52 Differenciálási szabályok Állítás (e x ) = e x. Bizonyítás. Legyen x 0 R tetszőlegesen rögzített. Φ(x) = ex e x 0 e x 0 lim x0 x x e 0 1 x x 0 = e x 0. x x 0 = e x 0 e x x 0 1 x x 0. Tehát,

53 Differenciálási szabályok Következmény Az elemi függvények deriváltfüggvényei: f f c 0 x α αx α 1 cos x sin x 1 tan x cos 2 x cot x 1 a x ln x log a x arcsin x sin 2 x a x ln a 1 x 1 x ln a 1 1 x 2 arccos x x 2 1 x 2 arctan x arccot x 1 1+x 2

54 A derivált folytonossága Definíció Legyen f értelmezett az (a, b) intervallumon. f -nek az x 0 (a, b) pontban szakadása van, ha f nem folyotnos x 0 -ban. f -nek az x 0 (a, b) pontban elsőfajú (egyszerű) szakadása van, ha f -nek szakadása van x 0 -ban, és lim x 0+ f (x) valamint lim x 0 f (x) létezik. Egyébként a szakadást másodfajúnak nevezzük. Tétel (Darboux-tétel) Legyen f olyan az [a, b] intervallumon differenciálható függvény, hogy f (a) < f (b) (f (a) > f (b)). Ekkor, minden olyan λ-hoz, hogy f (a) < λ < f (b) (f (a) > λ > f (b)) létezik x 0 (a, b) amelyre f (x 0 ) = λ.

55 A derivált folytonossága Bizonyítás. Legyen g(x) = f (x) λx. Ekkor g (a) < 0 (g (b) < 0), és létezik olyan x 1 (a, b), hogy g(x 1 ) < g(a) (g(x 1 ) > g(b)); g (b) > 0 (g (a) > 0), és létezik olyan x 2 (a, b), hogy g(x 2 ) < g(b) (g(x 2 ) > g(a)). Tehát g felveszi minimumat (maximumát) [a, b]-n egy x 0 (a, b) pontban. Ekkor g (x 0 ) = 0, tehát f (x 0 ) = λ. Következmény Ha f differenciálható az [a, b] intervallumon, akkor f -nek nem lehet elsőfajú szakadása [a, b]-n.

56 A derivált folytonossága Példa { x 2 sin 1 Legyen f (x) =, ha x 0 x 0 különben. f differenciálható: Ha x 0 0, akkor f (x 0 ) = 2x 0 sin 1 x 0 cos 1 x 0. Ha x 0 = 0, akkor lim 0 x2 sin x 1 x = lim 0 x sin 1 x lim x = 0, így f (0) = 0. 0 Tehát f differenciálható, de f nem folytonos, f -nek másodfajú szakadása van a 0 pontban.

57 L Hosptial-szabály Tétel Legyen f és g differenciálható függvények az (a, b) intervallumon, és g (x) 0 f (x) minden x (a, b)-re ( a < b ). Legyen továbbá lim = c. Ha a g (x) vagy ha lim a f (x) = lim a g(x) = 0, (3) akkor lim g(x) =, (4) a lim a f (x) g(x) = c. (5)

58 L Hosptial-szabály Példa lim π2 tan 3x tan x lim 0 x cot x 1 x 2 lim π4 3 tan x 1 2 sin 2 x 1 lim 0 arcsin 2x 2 arcsin x x 3

59 Lokális szélsőérték Lokális szélsőérték Definíció Legyen f tetszőlegesen rögzített függvény. f -nek lokális maximuma (minimuma) van az x 0 D f pontban, ha létezik olyan δ > 0, hogy tetszőleges x (x 0 δ, x 0 + δ) D f -re f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)). Tétel Legyen f értelmezett az [a, b] intervallumon. Ha f -nek az x 0 (a, b) pontban lokális maximuma (minimuma) van és f (x 0 ) létezik, akkor f (x 0 ) = 0.

60 Lokális szélsőérték Bizonyítás. A lokális maximum esetet látjuk be, a lokális minimum esete hasonlóan bizonyíható. Legyen δ > 0 az a szám, hogy minden x (x 0 δ, x 0 + δ)-ra f (x) f (x 0 ). Ha x (x 0 δ, x 0 ), akkor Ha pedg x (x 0, x 0 + δ), akkor f (x) f (x 0 ) x x 0 0. f (x) f (x 0 ) x x 0 0. Tehát f (x 0 ) 0 és f (x 0 ) 0, így f (x 0 ) = 0.

61 Lokális szélsőérték Tétel (Középérték-tétel) Ha f olyan, az [a, b] intervallumon folytonos függvény, amely differenciálható az (a, b) intervallumon, akkor létezik x 0 (a, b), hogy f (b) f (a) = (b a)f (x 0 ).

62 Lokális szélsőérték Bizonyítás. Legyen h(x) = (f (b) f (a))x (b a)f (x) x [a, b]. Ekkor h folytonos [a, b]-n, differenciálható (a, b)-n és h(a) = f (b)a f (a)b = h(b). Azt mutatjuk meg, hogy létezik x 0 (a, b), hogy h (x 0 ) = 0. Ha h konstans függvény, akkor kész vagyunk. Ha létezik y (a, b), hogy h(y) > h(a), akkor legyen x 0 (a, b) az a pont, ahol h felveszi maximumát. Ekkor az előző tétel miatt h (x 0 ) = 0. Ha létezik y (a, b), hogy h(y) < h(a), akkor legyen x 0 (a, b) az a pont, ahol h felveszi minimumát. Ekkor az előző tétel miatt h (x 0 ) = 0.

63 Monotonitás Monotonitás Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. ha f (x) 0 (f (x) > 0) minden x (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. ha f (x) = 0 minden x (a, b)-re, akkor f konstans (a, b)-n, 3. ha f (x) 0 (f (x) < 0) minden x (a, b)-re, akkor f (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n, 4. ha f monoton növő (fogyó) (a, b)-n, akkor f (x) 0 (f (x) 0) minden x (a, b)-re.

64 Monotonitás Bizonyítás. Legyen x 1, x 2 (a, b) x 1 < x 2 tetszőlegesen rögzített. A Középérték-tétel miatt létezik x 0 (x 1, x 2 ), hogy Az állítások közvetlenül leolvashatóak (6)-ből. Példa x 3, sin x, 1 x. f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (x 0 ). (6)

65 Konvexitás Konvexitás Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konvex az I intervallumon, ha tetszőleges x 1, x 2 I-re és tetszőleges α (0, 1)-re, αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) f (αx 1 + (1 α)x 2 ) (αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) > f (αx 1 + (1 α)x 2 )). Definíció Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény. f (szigorúan) konkáv, ha f (szigorúan) konvex. Definíció f konvex (konkáv), ha D f intervallum, és azon f konvex (konkáv).

66 Konvexitás Konvexitás II. Tétel Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konvex függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n. Bizonyítás. Legyen x 0 (a, b) tetszőlegesen rögzített. Azt mutatjuk meg, hogy lim f (x) = f (x 0 ) (lim f (x) = f (x 0 ) belátása teljesen hasonlóan megy). x 0+ x 0 Legyen {x n} (x 0, b) tetszőleges olyan sorozat, hogy x n x 0 de f (x n) f (x 0 ). Feltehetjük, hogy f (x n) c, ahol c lehet ± is.

67 Konvexitás folytatás. f konvex, így minden α (0, 1)-re f (x) αf (x 0 ) + (1 α)f (b), ahol x = αx 0 + (1 α)b. Speciálisan, minden x n-hez létezik α n (0, 1), hogy x n = α nx 0 + (1 α n)b, és ahogy x n x 0, úgy α n 1. Tehát c f (x 0 ). f konvex, így minden α (0, 1)-re f (x) αf (a) + (1 α)f (x n), ahol x = αa + (1 α)x n. Speciálisan, minden x n-hez létezik α n (0, 1), hogy x 0 = α na + (1 α n)x n, és ahogy x n x 0, úgy α n 0. Tehát c f (x 0 ). Összegezve a fentieket: f (x 0 ) = c, ami ellentmond f (x n) f (x 0 )-nak. Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon értelmezett konkáv függvény. Ekkor f folytonos (a, b)-n.

68 Konvexitás Állítás Legyenek f, g konvex (konkáv) függvények az I intervallumon. Ekkor f + g is konvex (konkáv) függvény az I intervallumon. Bizonyítás. A konkáv esetet bizonyítjuk, a konvex eset belátása teljesen analóg módon megy. Legyen x 1, x 2 I tetszőlegesen rögzítettek. f és g konkávak I-n, tehát tetszőleges α (0, 1)-re f (αx 1 + (1 αx 2 )) αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ) g(αx 1 + (1 αx 2 )) αg(x 1 ) + (1 α)g(x 2 ).

69 Konvexitás folytatás. Tehát (f + g)(αx 1 + (1 αx 2 )) α(f + g)(x 1 ) + (1 α)(f + g)(x 2 ). Példa x 2, e x2.

70 Differenciálható konvex függvények Differenciálható konvex függvények Állítás Legyen f az (a, b) intervallumon differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor (szigorúan) konvex (a, b)-n, ha f (x) (szigorúan) monoton növő (a, b)-n, 2. f pontosan akkor (szigorúan) konkáv (a, b)-n, ha f (x) (szigorúan) monoton fogyó (a, b)-n.

71 Differenciálható konvex függvények Bizonyítás. A (szigorúan) konvex esetet bizonyítjuk, a (szigorúan) konkáv eset abból közvetlenül következik. Akkor: Legyen x 1, x 3 (a, b) x 1 < x 3, α (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x 2 = αx 1 + (1 α)x 3. Tekintsük a következő kifejezéseket f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1, f (x 3 ) f (x 2 ) x 3 x 2. A Középérték-tételből következik, hogy létezik y 1 (x 1, x 2 ) és y 2 (x 2, x 3 ), hogy f (y 1 ) = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1, f (y 2 ) = f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2.

72 Differenciálható konvex függvények folytatás. Mivel f (szigorúan) monoton növő, így f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 (<) f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2. A fenti kifejezésből könnyű számolással adódik, hogy f (αx 1 + (1 α)x 3 ) (<) αf (x 1 ) + (1 α)f (x 3 ). x 1, x 3 (a, b), α (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, tehát f (szigorúan) konvex.

73 Differenciálható konvex függvények folytatás. Csak akkor: Legyen x 1, x 3 (a, b) x 1 < x 3, α (0, 1) tetszőlegesen rögzített, és x 2 = αx 1 + (1 α)x 3. f (szigorúan) konvex, tehát f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 (<) f (x 3) f (x 1 ) x 3 x 1 (<) f (x 3) f (x 2 ) x 3 x 2. f differenciálható (a, b)-n, tehát f f (x) f (x 1 ) (x 1 ) = lim, f f (x 3 ) f (x) (x 3 ) = lim. x 1+ x x 1 x3 x 3 x

74 Differenciálható konvex függvények folytatás. Ekkor azonban és f f (x 3 ) f (x) (x 1 ) = lim (<) f (x 3) f (x 1 ), x 1+ x 3 x x 3 x 1 f (x 3 ) f (x 1 ) x 3 x 1 (<) lim x 3+ f (x) f (x 1 ) x x 1 = f (x 3 ). Tehát f (x 1 ) (<) f (x 3 ). Mivel x 1, x 3 (a, b), α (0, 1) tetszőlegesen rögzítettek voltak, így f (szigorúan) monoton növő.

75 Differenciálható konvex függvények Következmény Legyen f az (a, b) intervallumon kétszer differenciálható függvény. Ekkor 1. f pontosan akkor konvex (a, b)-n, ha f (x) 0 minden x (a, b)-re, 2. f pontosan akkor konkáv (a, b)-n, ha f (x) 0 minden x (a, b)-re. Példa f (x) = x 3, g(x) = sin x, h(x) = 1. x

76 Differenciálható konvex függvények Inflexiós pont Definíció x 0 inflexiós pontja f -nek, ha létezik olyan δ > 0, hogy az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon f differenciálható, és minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) > f (x) vagy minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) < f (x). Állítás Ha f kétszer differenciálható az (a, b) intervallumon és x 0 (a, b) inflexiós pontja f -nek, akkor f (x 0 ) = 0. Bizonyítás. x 0 f -nek lokális szélsőértékhelye, így f (x 0 ) = 0.

77 Lokális szélsőérték létezésének feltételei A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Definíció x 0 az f függvény stacionárius pontja, ha f (x 0 ) = 0. Következmény (A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele) Legyen f differenciálható (a, b)-n; ekkor, ha x 0 (a, b) f -nek lokális szélsőértékhelye, akkor x 0 stacionárius pontja f -nek. Példa f (x) = x 5, g(x) = x 2.

78 Lokális szélsőérték létezésének feltételei A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele Állítás (A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele) Legyen f az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon folytonos, az (x 0 δ, x 0 ) és (x 0, x 0 + δ) intervallumokon differenciálható függvény. Ha f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra (f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra), akkor f -nek lokális maximuma (minimuma) van x 0 -ban.

79 Lokális szélsőérték létezésének feltételei Bizonyítás. A lokális maximum esetet bizonyítjuk, a lokális minimum teljesen hasonló módon látható. Ha f (x) 0 minden x (x 0 δ, x 0 )-ra és f folytonos (x 0 δ, x 0 ]-n, akkor f monoton növő (x 0 δ, x 0 ]-n. Tehát minden x (x 0 δ, x 0 ]-ra f (x 0 ) f (x). Ha f (x) 0 minden x (x 0, x 0 + δ)-ra és f folytonos [x 0, x 0 + δ)-n, akkor f monoton fogyó [x 0, x 0 + δ)-n. Tehát minden x [x 0, x 0 + δ)-ra f (x 0 ) f (x). Összegezve a fentieket: x (x 0 δ, x 0 + δ)-ra f (x 0 ) f (x), tehát x 0 lokális maximumhelye f -nek. Példa f (x) = x, g(x) = 3 (x 3) 2, h(x) = { x, ha x 0 1 különben

80 Lokális szélsőérték létezésének feltételei Állítás Legyen f az (x 0 δ, x 0 + δ) intervallumon kétszer differenciálható, f (x 0 ) = 0, és f szigorúan monoton növő (fogyó) (x 0 δ, x 0 + δ)-on. Ekkor x 0 inflexiós pontja f -nek, f szigorúan konkáv (konvex) (x 0 δ, x 0 )-on és szigorúan konvex (konkáv) (x 0, x 0 + δ)-on. Bizonyítás. Ha f szigorúan monoton növő (fogyó) (x 0 δ, x 0 + δ)-on és f (x 0 ) = 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }-ra f (x 0 ) > f (x) (f (x 0 ) < f (x)), tehát x 0 inflexiós pontja f -nek. Továbbá, ha f szigorúan monoton növő (fogyó) az (x 0 δ, x 0 + δ)-on és f (x 0 ) = 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 )-ra f (x) < 0 (f (x) > 0), és minden x (x 0, x 0 + δ)-ra f (x) > 0 (f (x) < 0). Tehát f szigorúan konkváv (konvex) (x 0 δ, x 0 )-on, és szigorúan konvex (konkáv) (x 0, x 0 + δ)-on.

81 Példák Példák f (x) = x 3 + 2x 2 3x + 12, g(x) = x 2 e x, h(x) = sin x 2 + cos x, k(x) = 2 x x 4.

82 Kötelező anyag: Előadás anyaga Egyéb olvasnivaló érdeklődőknek: Laczkovich Miklós T. Sós Vera: I. megfelelő részei.