Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
|
|
- Laura Fazekas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42
2 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik, azonosságok az el adáson elhangzott kétváltozós logikai azonosságok bizonyítása igazságtáblával (implikáció ekvivalens alakja, implikáció tagadása, kontrapozíció, de Morgan azonosságok) szükségesség és elégségesség fogalma univerzális és egzisztenciális kvantor halmazm veletek és tulajdonságaik, azonosságok halmazok számossága, végtelen számhalmazok Vizsgatematika 2 / 42
3 Példa (Az implikáció ekvivalens alakja) A B A B Megoldás A B A B Vizsgatematika 3 / 42
4 Példa (Az implikáció tagadása) (A B) A B Megoldás (A B) A B Vizsgatematika 4 / 42
5 Példa (Kontrapozíció) A B B A Megoldás A B B A Vizsgatematika 5 / 42
6 Példa (de Morgan azonosságok) (A B) A B (A B) A B Megoldás (A B) A B (A B) A B Vizsgatematika 6 / 42
7 Vektorok: vektorok összeadása, skalárral szorzása és ezek m veleti tulajdonságai lineáris kombináció fogalma, a sík, illetve tér vektorainak el állítása lineáris kombinációként skaláris szorzás és tulajdonságai, hosszúság, szög, háromszög-egyenl tlenség vektor felbontása mer leges összetev kre vektoriális szorzás és tulajdonságai vegyesszorzat és tulajdonságai, parelelepipedon térfogata vektorm veletek (összeadás, skalárral szorzás, skaláris szorzás, vektoriális szorzás) koordinátás alakban skaláris szorzat koordinátás alakja két dimenzióban az n dimenziós tér, lineáris függetlenség fogalma és ekvivalens alakja skaláris szorzás, távolság, szög az n dimenziós térben, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenl tlenség Vizsgatematika 7 / 42
8 M veletek koordinátás alakban Tétel A síkbeli u = (u, u 2 ) és v = (v, v 2 ), illetve a térbeli a = (a, a 2, a 3 ) és b = (b, b 2, b 3 ) vektorok skaláris szorzata u v = u v + u 2 v 2, illetve a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. Bizonyítás Síkbeli esetre: i i = j j = és i j = 0, ezért u v = (u i + u 2 j) (v i + v 2 j) = u v i i + (u v 2 + u 2 v )i j + u 2 v 2 j j = u v + u 2 v 2 Vizsgatematika 8 / 42
9 Analitikus térgeometria: egyenes és sík paraméteres és paramétermentes egyenlete térelemek kölcsönös helyzete, két egyenes, sík és egyenes, valamint két sík metszetének meghatározása térelemek távolsága, pont és egyenes, pont és sík, valamint nem párhuzamos egyenesek távolsága Vizsgatematika 9 / 42
10 Komplex számok: komplex szám algebrai alakja, m veletek algebrai alakban komplex szám konjugáltjának és abszolút értékének tulajdonságai komplex szám trigonometrikus alakja, m veletek trigonometrikus alakban, hatványozás, gyökvonás, komplex egységgyökök algebra alaptétele Vizsgatematika 0 / 42
11 Függvények határértéke: függvény fogalma, függvény grakonja véges határérték a végtelenben és véges pontban végtelen határérték a végtelenben és véges pontban határértékek és algebrai m veletek, kib vített aritmetika rend relv sin x határértéke a 0-ban jobb- és baloldali határérték fogalma sin /x határértéke a 0-ban aszimptoták (vízszintes, függ leges, ferde) Vizsgatematika / 42
12 Példa (A rend relv további alkalmazásai) sin ϕ ϕ ϕ cos ϕ Radiánban írva: sin ϕ ϕ Vizsgatematika 2 / 42
13 ϕ sin ϕ ϕ, és lim ϕ 0 ( ϕ ) = lim ϕ 0 ( ϕ ) = 0, ezért lim sin ϕ = 0. ϕ 0 y x sin x x x Vizsgatematika 3 / 42
14 Folytonosság: pontbeli folytonosság fogalma, m veletek folytonos függvényekkel folytonos függvények kompozíciója folytonos szakadási helyek osztályozása egyoldali folytonosság fogalma és kapcsolata a pontbeli folytonossággal Bolzano-tétel Bolzano-Darboux-tétel, Weierstrass-tétel Vizsgatematika 4 / 42
15 Állítás Ha g folytonos a c pontban, és f folytonos az g(c) pontban, akkor f g folytonos a c pontban. (Jelölés: (f g)(x) := f (g(x)).) Bizonyítás Legyen ε > 0 tetsz leges. f folyt. g(c)-ben = δ > 0 [ u g(c) < δ = f (u) f (g(c)) < ε] g folyt. c-ben = δ 2 > 0 [ x c < δ 2 = g(x) g(c) < δ ] Ekkor δ 2 megfelel δ-érték ε-hoz az f g függvény esetében, ugyanis: x c < δ 2 = g(x) g(c) < δ = f (g(x)) f (g(c)) < ε Vizsgatematika 5 / 42
16 Tétel (Bolzano-tétel) Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon és f (a) és f (b) ellentétes el jel ek (f (a) f (b) < 0), akkor f -nek van zérushelye az intervallum belsejében, vagyis c (a, b) : f (c) = 0. Bizonyítás [a, b] = I 0 I I 2 zárt intervallumok: y f (x) 0 2 x I n+ az I n -nek az a fele, amelyiknek a két végpontján f különböz el jel (ha f valamelyik osztópontban 0, akkor leállunk) Vizsgatematika 6 / 42
17 Bizonyítás (folytatás) Cantor-axióma: Egymásba skatulyázott nem üres zárt intervallumok metszete nem üres R-ben. Legyen c J = I 0 I I I n hossza b a, ez akármilyen kis ε > 0-nál kisebb, ha n elég nagy. = 2 n J = {c}. f (c) = 0, mert ha pl. f (c) = K > 0 lenne, akkor f folytonossága miatt valamely ε > 0-ra x (c ε, c + ε) [a, b]-re f (x) K > 0. De 2 valamelyik I n intervallum beleesik a c-nek ebbe a környezetébe, és annak a végpontjain f pozitív és negatív értéket is felvesz. Vizsgatematika 7 / 42
18 Elemi függvények és inverzeik: trigonometrikus függvények tulajdonságai polinomok tulajdonságai, polinomok maradékos osztása, gyöktényez k, Horner-módszer racionális gyökteszt exponenciális és hiperbolikus függvények tulajdonságai ch 2 x sh 2 x = invertálhatóság és inverz függvény fogalma invertálhatóság és monotonitás kapcsolata inverz függvény tulajdonságai elemi függvények inverze: gyökfüggvények, arkusz függvények, area függvények, logaritmus függvények és tulajdonságaik Vizsgatematika 8 / 42
19 Állítás (Racionális gyökteszt) Legyen f (x) = a n x n + a n x n +... a x + a 0 egy egész együtthatós polinom (vagyis a i Z minden i-re), és tegyük fel, hogy a p Q tovább q már nem egyszer síthet racionális szám gyöke f -nek. Ekkor p osztója a 0 -nak és q osztója a n -nek. Bizonyítás (p, q) = (relatív prímek, nincs közös osztójuk) ( p ) p n 0 = f = a n q q + a p n n n q + + n a p q + a 0 / q n 0 = a n p n + a n p n q + + a pq n + a 0 q n Vizsgatematika 9 / 42
20 Bizonyítás (folytatás) 0 = a n p n + a n p n q + + a pq n + a 0 q n p 0 és p a n p n + a n p n q + + a pq n = p a 0 q n q 0 és q a n p n q + + a pq n + a 0 q n = q a n p n Mivel (p, q) =, ezért szükségképpen p a 0 és q a n. Állítás (Hiperbolikus azonosságok) ch 2 x sh 2 x = 2 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x 3 sh 2x = 2 sh x ch x Bizonyítás (Csak ()-et) ch 2 x sh 2 x = ( e x +e x ) 2 ( e x e x ) 2 = e2x +e 2x +2 e2x +e 2x 2 = 4 = Vizsgatematika 20 / 42
21 Dierenciálhatóság dierenciálhatóság fogalma, deriváltfüggvény, érint egyenlete folytonosság és dierenciálhatóság kapcsolata sin x függvény deriváltja dierenciálási szabályok szorzatfüggvény deriválja láncszabály inverz függvény deriváltja arcsin x függvény deriváltja Darboux-tétel elemi függvények és inverzeik deriváltja Vizsgatematika 2 / 42
22 Tétel (Dierenciálható függvény folytonos) Ha f dierenciálható c-ben, akkor ott folytonos is. Bizonyítás f (x) f (c) lim f (x) f (c) = lim (x c) = m 0 = 0, x c x c x c ha m az f dierenciálhányadosa c-ben.így lim f (x) = f (c). x c Vizsgatematika 22 / 42
23 Példa sin x = cos x, ugyanis c R esetén sin(c + h) sin(c) sin c cos h + cos c sin h sin(c) lim = lim = h 0 h h 0 h cos c sin h sin c( cos h) = lim = h 0 h = lim (cos c) sin h cos h (sin c) = (cos c) (sin c) 0 = cos c, h 0 h h ugyanis cos h ( cos h)( + cos h) cos 2 h lim = lim = lim h 0 h h 0 h( + cos h) h 0 h( + cos h) = lim h 0 sin 2 h h( + cos h) = lim sin h h 0 h (sin h) + cos h = 0 2 = 0 Vizsgatematika 23 / 42
24 Tétel Legyenek f és g c-ben dierenciálható függvények, a R konstans. Ekkor (fg) (c) = f (c)g(c) + f (c)g (c) Bizonyítás (fg) f (x)g(x) f (c)g(c) (c) = lim x c x c f (x)g(x) f (c)g(x) + f (c)g(x) f (c)g(c) = lim x c x c ( ) f (x) f (c) g(x) g(c) = lim g(x) + f (c) x c x c x c = f (c)g(c) + f (c)g (c) Vizsgatematika 24 / 42
25 Példa (arcsin x) =, x (, ) x 2 g(x) = arcsin x az f (x) = sin x [ π 2, π 2 ] függvény inverze, és f (x) = cos x, így (arcsin x) = g (x) = = sin 2 (arcsin x) f (g(x)) = cos(arcsin x) = x 2, mert cos(arcsin x) > 0 a ( π 2, π 2 )-n. Vizsgatematika 25 / 42
26 A derivált alkalmazásai: lokális és abszolút széls érték fogalma, kritikus pontok lokális széls érték szükséges feltétele Rolle-tétel Lagrange-tétel, Cauchy-tétel l'hospital-szabály logaritmus, hatvány és exponenciális függvények nagyságrendje Vizsgatematika 26 / 42
27 Tétel Ha f -nek c-ben lokális széls értéke van, és f diható c-ben = f (c) = 0. Bizonyítás Tegyük fel, hogy f -nek lokális maximuma van c-ben. Ekkor f (c) = f (c) = f (x) f (c) lim 0, x c+ x c f (x) f (c) lim x c x c 0. = f (c) csak 0 lehet. Minimumhelyre a bizonyítás ugyanígy m ködik. Vizsgatematika 27 / 42
28 Tétel (Rolle-tétel) Ha f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n és f (a) = f (b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. Bizonyítás f folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maximuma és minimuma. Mivel f diható (a, b)-n, ezért ezeket értékként vagy a végpontokban vagy olyan c bels pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maximum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor ott f (c) = 0. Ha a maximumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f (a) = f (b) miatt a függvény konstans, így mindenütt 0 a derivált. Vizsgatematika 28 / 42
29 Függvényvizsgálat: els derivált és monotonitás kapcsolata ha f 0, akkor f monoton növ els derivált és lokális széls értékek kapcsolata második derivált és konvexitás kapcsolata második derivált és inexiós pontok kapcsolata második derivált és lokális széls értékek kapcsolata Vizsgatematika 29 / 42
30 Tétel Legyen f egy valós függvény, mely folytonos [a, b]-n és diható (a, b)-n. f 0 az (a, b)-n pontosan akkor, ha f monoton növekv [a, b]-n. f 0 az (a, b)-n pontosan akkor, ha f monoton csökken [a, b]-n. Bizonyítás (az els állítás iránya) Tegyük fel, hogy f 0 az (a, b)-n és legyen a x < x 2 b. Alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt az [x, x 2 ] intervallumra. = Van olyan c (x, x 2 ), hogy f (x 2 ) f (x ) = f (c)(x 2 x ). x 2 x > 0 és f (c) 0 = f (x 2 ) f (x ), azaz f monoton növekv [a, b]-n. Vizsgatematika 30 / 42
31 Határozatlan integrál: primitív függvény és határozatlan integrál alapintegrálok általános integrálási szabályok, fordított láncszabály és speciális esetei, helyettesítéses itegrálás, parciális integrálás Vizsgatematika 3 / 42
32 Határozott integrál: felosztás, felosztás nomsága, reprezentáns rendszer, integrálközelít összeg, integrálhatóság véges sok pont kivételével folytonos függvény integrálhatósága, véges sok pontban megváltoztatott függvény integrálja határozott integrál m veleti tulajdonségai integrálegyenl tlenségek integrál-középértéktétel inetgrálfüggvény fogalma és tulajdonságai Newton-Leibniz-tétel helyettesítéses integrálás határozott integrálra Vizsgatematika 32 / 42
33 Tétel (Integrál-középértéktétel) Ha f folytonos [a, b]-n = c [a, b]: b a b azaz f átlaga el áll függvényértékként. a f (x) dx = f (c), y a c b x Vizsgatematika 33 / 42
34 Bizonyítás f folytonos = a Weierstrass-tétel szerint felveszi minimumát (m) és maximumát (M) az [a, b]-n. Az. integrálegyenl tlenség miatt: m(b a) b a f (x) dx M(b a) m b f (x) dx M. b a a m és M is függvényértékek [a, b]-n = a BolzanoDarboux-tétel szerint f b közöttük minden értéket fölvesz, így az f (x) dx értéket is. b a a Vizsgatematika 34 / 42
35 Integrálási technikák: racionális törtfüggvény integrálása - polinom + valódi törtfüggvény alakra hozás, nevez faktorizálása valós polinom felbontása els és másodfokú tényez k szorzatára, parciális törtekre bontás, elemi törtfüggvények integrálja fordított helyettesítés határozott és határozatlan integrál esetén, speciális helyettesítések: R(e x ), R( n x), R(sin x, cos x), R(x, ax 2 + bx + c) Vizsgatematika 35 / 42
36 Tétel Minden legalább els fokú valós polinom felbontható els és másodfokú valós polinomok szorzatára. Bizonyítás Legyen f (x) = c n x n c x + c 0 (c i R i) valós polinom. Az algebra alaptétele szerint f -nek van gyöke C-ben: α C, hogy f (α) = 0. Ekkor x α kiemelhet : f (x) = (x α)g(x). Ha α R, g(x) is valós polinom, és tovább faktorizálhatjuk. Vizsgatematika 36 / 42
37 Bizonyítás (folytatás) Ha α = a + bi nem valós, akkor 0 = f (α) = c n α n c α + c 0 = f (α) = c n α n +...+c α+c 0 = c n α n +...+c α+c 0 = f (α) = 0 = 0, tehát α is gyöke f -nek. De α α g(α) = 0 f (x) = (x α)(x α)h(x). Viszont (x α)(x α) = (x a bi)(x a + b i ) = x 2 2ax + a 2 + b 2 valós együtthatós, így h(x) is valós. Ekkor egy másodfokú (valós gyök nélküli) valós polinomot emeltünk ki, és h(x)-et tovább faktorizálhatjuk. Vizsgatematika 37 / 42
38 Improprius integrál és a határozott integrál alkalmazásai: improprius integrál fogalma: integrálás végtelen intervallumon és függ leges aszimptotájú függvény integrálása az /x p függvény integrálja az [, ) és (0, ] intervallumokon összehasonlító (minoráns és majoráns) konvergenciakritériumok, általános majoráns kritérium területszámítás, függvény grakonjának ívhossza, forgástest térfogata és felszíne Vizsgatematika 38 / 42
39 Az x p dx integrál Ha p =, akkor: dx = lim x b b integrál nem konvergens. Ha p, akkor: x p dx = lim b x b dx = lim b [ln x]b x p dx = lim b = lim ln b =, vagyis ekkor az b [ x p+ p + ] b b p = lim b p. p Ha p <, akkor a fenti határérték, így az integrál nem konvergens. Ha p >, akkor a fenti határérék, így az integrál konvergens, és p értéke a határérték, vagyis p. Vizsgatematika 39 / 42
40 Az 0 x p dx integrál Ha p =, akkor: x dx = 0 lim c 0 + integrál nem konvergens. Ha p, akkor: 0 x x dx = lim [ln x] = lim c 0 + c c 0 c p dx = lim c 0 + c x p dx = lim c 0 + [ ] x p+ p + + ln c =, vagyis ekkor az c = lim c 0 + c p p ( p). Ha p >, akkor a fenti határérték, így az integrál nem konvergens. Ha p <, akkor a fenti határérék, így az integrál konvergens, és p értéke a határérték, vagyis p. Vizsgatematika 40 / 42
41 Sorozatok: sorozat fogalma, sorozat jellemz i sorozat határértéke és a deníció ekvivalens alakja Átviteli elv Konvergencia és korlátosság kapcsolata, monoton korlátos sorozatok részsorozat fogalma, részsorozat határértéke minden sorozatnak van monoton részsorozata Bolzano-Weierstrass-tétel Cauchy-féle konvergenciakritérium Vizsgatematika 4 / 42
42 Tétel Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás Ha nincs monoton fogyó részsorozat, akkor véges monoton fogyó részsorozat véget ér (azaz a n... a nk -hoz nincs n k+ > n k, hogy a nk a nk+. De akkor a végtelen sok ilyen utolsó tag szigorúan monoton növ részsorozatot alkot. y x Vizsgatematika 42 / 42
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenA matematika írásbeli vizsga tematikája
A matematika írásbeli vizsga tematikája Megjegyzés. A tematika megegyezik az aktuális érettségi programjával (a X. osztályos gazdasági matematika tartalmának kivételével) IX. OSZTÁLY Halmazok és a matematikai
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
RészletesebbenANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA
ANALÍZIS SZIGORLATI TEMATIKA matematikatanár szakosok részére (2006/2007) Az els négy félév anyaga 1. Halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 2. A valós számok 3. Valós számsorozat határértéke
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenAz el adás anyagának törzsrésze
Az el adás anyagának törzsrésze 1. Halmazok, elemi logika, valós számok I. Halmazok. 1. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása:
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben
Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenTanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenAz osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben