Analízis I. beugró vizsgakérdések

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis I. beugró vizsgakérdések"

Átírás

1 Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat definíciók 1., 2. Prog. Inf. Bsc ' /tavaszi félév előadásjegyzet

2 Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenlőtlenség? Mikor van egyenlőség? Válasz: Minden h -1 valós számra és minden n N + -ra (1+h) n 1+nh. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha n = 1 vagy h = Fogalmazza meg a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget. Mikor van egyenlőség? Válasz: Minden n N + -ra és a 1 a n 0 valós számokra: a a a Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a 1 = a 2 =.= a n. 3. Írja le a valós számok közötti rendezés és a műveletek kapcsolatára vonatkozó axiómákat. Válasz: Minden, R-re létezik lineáris rendezés. Ekkor: - ha és R, akkor ha és 0é R, akkor. 4. Mit mond ki a teljességi axióma? Válasz: Tegyük fel, hogy,,, R olyan halmazok, hogy minden és minden esetén. Ekkor létezik (í) R, hogy minden és -re. 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet. Válasz: Minden R felülről korlátos halmaz felső korlátai között van legkisebb. 6. Mit jelent az, hogy a R halmaz induktív? Válasz: R, induktív, ha 0, továbbá, ha esetén Hogyan értelmezi a természetes számok halmazát? Válasz: N a legszűkebb induktív részhalmaza R-nek. 8. Fogalmazza meg a teljes indukció elvét! Válasz: Legyen A(n) egy állítás minden N-re. Tegyük fel, hogy A(0) igaz és ha A(n) igaz akkor A(n + 1) is igaz ( N). Ekkor A(n) igaz minden N-re. 9. Mikor van egy Rhalmaznak maximuma (minimuma)? Válasz: Ha létezik, minden -ra ( ). 1

3 10. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a Rhalmaznak nincs minimuma. Válasz: Minden, létezik, hogy <. 11. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a Rhalmaznak nincs maximuma. Válasz: Minden, létezik, hogy >. 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy Rhalmaz? Válasz: Ha létezik R, hogy minden -ra ( ). 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy Rhalmaz felülről nem korlátos! Válasz: Minden R-re létezik, hogy >. 14. Legyen A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy =? Válasz: Minden -ra és minden <-re, hogy >. 15. Legyen A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy =? Válasz: Minden -ra és minden >-re, hogy <. 16. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik az Archimédeszi-tulajdonsággal? Válasz: Minden, R -hoz létezik N, hogy <. 17. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik a Cantor-tulajdonsággal? Válasz: [, ] R korlátos zárt intervallum úgy, hogy [, ] [, ] minden N-re, akkor [, ] N Relációk és függvények 18. Definiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartománya és értékkészlete. Válasz: Az halmazt relációnak nevezzük. A reláció elemei rendezett párok. Értelmezési tartomány: =(, :(,) ) Értékkészlet: R =(, :(,) ). 19. Adja meg a függvény definícióját. Válasz: Az relációt függvénynek nevezzük, ha minden és! R : (,). Jelölése: () =. 2

4 20. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített képét? Válasz: :,,[] = {() : }. 21. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített ősképét? Válasz: :,, [] = { :() }. 22. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? Válasz: Az : függvény pontosan akkor invertálható, ha R elemhez pontosan egy olyan elem van amelyre () =. 23. Definiálja az inverz függvényt. Válasz: Minden R!, hogy () =. Az : R, függvényt az f inverzének nevezzük. 24. Mi a bijekció definíciója? Válasz: : bijektív, ha injektív és =R. 25. Írja le az összetett függvény fogalmát. Válasz: :, :. Tegyük fel, hogy: {,() }. Ekkor: :,(). =(). 26. Definiálja a következő fogalmakat: valós sorozat; sorozat n-edik tagja, index. Válasz: Az : R függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat () helyettesítési értéke a sorozat n-edik tagja ( N),n az sorozat indexe. 27. Mit jelent az, hogy egy ( ): Rsorozat korlátos? Válasz: Létezik R, hogy minden N-re. 28. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy az ( ) sorozat nem korlátos. Válasz: Minden R-re létezik N, hogy >. 29. Mit jelent az, hogy egy ( ) számsorozat indexsorozat? Válasz: ( ): N N szigorúan monoton növekedő. 30. Egy ( ) sorozatról mikor mondjuk, hogy a ( ) sorozat részsorozata? Válasz: Ha : N N indexsorozat, hogy ( ) = ( ). 31. Mit ért egy sorozat részsorozatán? 3

5 Válasz: Ha a: N N sorozat és : N N indexsorozat, akkor az : N R sorozatot az a részsorozatának nevezzük. 32. Mi a definíciója annak, hogy egy valós számsorozatnak van csúcsa? Válasz: N az ( ) sorozat csúcsa, ha > -ra <. 33. Definiálja az Relem >0sugarú környezetét. Válasz: Az R valós szám >0 sugarú környezetén a () = (,+) intervallumot értjük. Az = + elem >0 sugarú környezete a (+ ) =, +, az = elemé pedig a ( ) =, intervallum. 34. Mikor nevezünk egy ( ) valós sorozatot konvergensnek? Válasz: Az ( ): N R sorozat konvergens, ha R, > 0, N, : <. 35. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat divergens? Válasz: Az ( ): N R sorozat divergens, ha R, > 0, N, :. 36. Tegyük fel, hogy az ( ): N Rsorozat határértéke az Rszám. Igaz-e hogy: N, hogy >0-ra és -ra <? Válasz: Nem igaz, hiszen a feltételből az következik, hogy = -ra. 37. Tegyük fel, hogy az Rszám minden környezete az ( ) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az ( ) sorozat konvergens? Válasz: Nem következik, hiszen a ((-1) n ) sorozat A = 1 vagy A =-1-gyel kielégíti a feltételt, mégsem konvergens. 38. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat (+ )-hez tart? Válasz: ( ) sorozat határértéke +, lim( )=, ha R, N, : > 39. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozat ( )-hez tart? Válasz: ( ) sorozat határértéke, lim( )=, ha R, N, : < 40. Mit jelent az, hogy az ( ) sorozatnak van határértéke? Válasz: ( ) sorozatnak létezik határértéke, ha: - konvergens vagy - lim = vagy - lim = azaz 4

6 R, > 0 N, : (). 41. Adott ( ): N R, Resetén mi a definíciója a lim =egyenlőségnek? Válasz: lim = akkor és csak akkor, ha > 0, N és -ra <. 42. Fogalmazza meg a sorozatok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt. Válasz: Ha ( ) konvergens, akkor ( ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet. Válasz: Tegyük fel, hogy N, : és az ( ) és ( ) sorozatok konvergensek. Ha lim = lim =akkor ( ) is konvergens és lim =. 44. Milyen állításokat ismer a határérték és a rendezés között? Válasz: Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens sorozatok. Ha lim > lim, akkor N, : >. Ha N, : akkor lim lim. 45. Igaz-e az, hogy ha az ( ) és ( ) sorozatoknak van határértéke és > minden n-re, akkor lim( )> lim ( )? Válasz: Nem igaz. Pl.: = és = 46. Mondja ki a monoton sorozatok konvergenciájára és határértékére vonatkozó állításokat. Válasz: 1. Ha az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos [monoton csökkenő és alulról korlátos], akkor konvergens, és lim = sup { N} R [lim = inf { N} R]. 2. Ha az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről nem korlátos [monoton csökkenő és alulról nem korlátos], akkor: lim = + [lim = ]. 47. Milyen műveleti tételeket ismer konvergens sorozatokra? Válasz: Ha ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim = R, lim = R, akkor: 1. Az( + ) sorozat is konvergens és lim( + )= +, 2. az ( ) sorozat is konvergens és lim( )=, 3. ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és lim =. 48. Igaz-e az, hogy ha ( ) konvergens és ( ) divergens, akkor ( + )is divergens. Válasz: Igen, hiszen ha ( + ) is konvergens lenne, akkor ( + ) ( )=( ) is konvergens lenne. 49. Fogalmazza meg sorozatok összegének határértékére vonatkozó állítást. 5

7 Válasz: Tegyük fel, hogy: lim( ) = R, lim( ) = R, ekkor: ha + értelmes, akkor ( + ) sorozatnak létezik határértéke, és lim( + ) = Táblázattal szemléltesse a sorozatok szorzatának a határértékére vonatkozó állítást. Válasz: Tegyük fel, hogy: lim( ) = R, lim( ) = R, ekkor: ha értelmes, akkor ( ) sorozatnak létezik határértéke, és lim( )=. >0 =0 <0 = = >0 =0 /////////// /////////// <0 = /////////// = /////////// 51. Fogalmazza meg a Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tételt. Válasz: Minden ( ) korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. 52. Definiálja a Cauchy-sorozatot. Válasz: Az ( ): R sorozat Cauchy-sorozat, ha > 0, N és, <. 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy ( ): Rsorozat nem Cauchysorozat! Válasz: Az ( ): R sorozat nem Cauchy-sorozat, ha > 0, N és,. 54. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz: Az ( ): R sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat. 55. Hogyan értelmeztük az e számot? Válasz: Az 1+ sorozat konvergens és =lim Milyen állítást ismer a ( ) mértani sorozat határértékével kapcsolatosan? 0, < 1 Válasz: lim( 1, = 1 ) =, > 1, Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt. Válasz: Legyen >1 természetes, a pozitív valós szám. Ekkor: 6

8 1. pontosan egy olyan pozitiv valós szám létezik, amelyre =, 2. ez az az: = + ( 1), N(x 0 >0 tetszőleges) rekurzióval értelmezett ( ) sorozat határértéke. 58. Legyen >0,1<. Melyik az a sorozat, amelynek határértéke? Válasz: Ha akkor lim = R, = 1 + ( 1), Végtelen sorok 59. Mi a végtelen sor definíciója? Válasz: Az (, N) sorozat által meghatározott = sorozatot (az által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés:. a sorozat n-edik részletösszege. 60. Mit jelent az, hogy a végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét? Válasz: sor konvergens, ha az sorozat konvergens. Ha -nek létezik határértéke, akkor a sor összege ez a határérték, azaz = lim. 61. Milyen tételt ismer Resetén a geometriai sor konvergenciájáról? Válasz: akkor és csak akkor konvergens, ha <1 és ekkor 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Válasz: A konvergens sort teleszkópikus sornak nevezzük. () () Összege: = 1. az összege. 63. Fogalmazza meg a sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz: akkor és csak akkor konvergens, ha > 0, N,,, > : <. 64. Ismer-e sorok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt? Válasz: Igen, ha konvergens, akkor lim = Igaz-e az, hogy ha lim ( ) = 0, akkor a konvergens? Válasz: Nem igaz. Pl.: divergens. 66. Fogalmazza meg a nem-negatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tételt! 7

9 Válasz: A nemnegatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha ( korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumot. ) N sorozat Válasz: Tegyük fel, hogy, nemnegatív tagú sorok és létezik N, hogy 0 minden -re. Ha konvergens, akkor is konvergens. Ha divergens, akkor is divergens. 68. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó gyökkritériumot. Válasz: Tegyük fel, hogy létezik lim. Ha lim <1, akkor a sor abszolút konvergens. Ha lim >1, akkor a sor divergens. 69. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó hányadoskritériumot. Válasz: Tegyük fel, hogy 0 ( N) és létezik lim. Ha lim <1, akkor a sor abszolút konvergens. Ha lim >1, akkor a sor divergens. 70. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergencia tételt ismer ezekkel kapcsolatban? Válasz: Ha 0 minden N-ra, akkor a ( 1) sort Leibniz-típusú sornak nevezzük. A ( 1) Leibniz-típusú sor akkor és csak akkor konvergens, ha lim = Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens. Válasz: A konvergens, mert Leibniz-típusú sor, de nem abszolút konvergens, ( 1) hiszen divergens. 72. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyiknek az összege az e szám. Válasz: =! 73. Mondja ki a tizedestörtekről a tételeket! Válasz: Ha ( ): N {0,1,2,,9}, akkor a sor konvergens és [0,1]. 8 Ha [0,1] akkor létezik ( ): N {0,1,2,,9}, hogy = 74. Mit nevez egy számsor zárójelezett sorának?. Válasz: Legyen ( ):N N szigorúan monoton növő. A sor ( ) indexsorozat által meghatározott zárójelezésén a sort értjük, ahol =, = Hogyan szólnak a végtelen sorok zárójelezésére vonatkozó tételek?

10 Válasz: Ha konvergens, akkor is az minden zárójelezés mellett és =. Ha az ( ) sorozat korlátos, lim =0 és konvergens, akkor is konvergens. 76. Mit nevez egy végtelen sor átrendezésének? Válasz: Ha :N N bijekció, akkor a sor által meghatározott átrendezésén a sort értjük. 77. Fogalmazza meg a feltételesen konvergens sorok átrendezésére vonatkozó Riemann-tételt. Válasz: Tegyük fel hogy feltételesen konvergens (konvergens, de nem abszolút konvergens). Ekkor: 1. R-hez ( ):N N bijekció, hogy = 2. ( ):N N bijekció, hogy divergens. 78. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezésével kapcsolatban? Válasz: Ha abszolút konvergens, akkor minden :N N bijekcióra a átrendezett sor is abszolút konvergens és =. 79. Definiálja a, sorok téglányszorzatát. Válasz: ( ) ( )= {,}. 80. Definiálja a, sorok Cauchy-szorzatát. Válasz: ( ) ( )=. 81. Adjon meg olyan végtelen sorokat, amelyek Cauchy-szorzata divergens. ) Válasz: ( ( 1) ) ( ( 1) divergens. 82. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzatára vonatkozó Cauchy-tételt. Válasz: Ha és abszolút konvergens sorok és =, =, akkor ezek Cauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata is abszolút konvergens és összegük AB. 83. Fogalmazza meg a Mertens-tételt. Válasz: Tegyük fel, hogy abszolút konvergens és konvergens sorok és =, =. Ekkor a ( ) ( ) Cauchy szorzat konvergens és összege AB. Hatványsorok, elemi függvények 9

11 84. Írja le a hatványsor definícióját. Válasz: Legyen =, ( ): N és adottak. Tekintsük N-re az () = ( ) ( )hatványfüggvényeket. Ekkor az ( ) függvénysorozatból képzett függvénysort, azaz a ( ) függvénysort az középpontú és együtthatójú hatványsornak nevezzük. 85. Fogalmazza meg a hatványsorok konvergenciasugaráról az általánosított Cauchy- Hadamard-tételt. Válasz: A ( ) hatványsorra a következő 3 eset egyike fennáll: 1. Létezik 0<< -re, amire < abszolút konvergens a hatványsor > divergens a hatványsor 2. a hatvány sor csak x=a esetén konvergens ( = 0) 3. R-re abszolút konvergens a hatványsor ( = ) Az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt. Válasz: Tekintsük a ( ) hatványsort és tegyük fel, hogy lim. Legyen, h =0 0, h = 1, üö Ha < akkor a ( ) hatványsor abszolút konvergens, ha > akkor divergens. 87. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1,1) intervallum. Válasz: Például: R, ( )=( 1,1), = 1, ( =, = 0) 88. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1,1] intervallum. Válasz: Például: R, ( () )=( 1,1], =1 89. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1,1) intervallum. Válasz: Például: R, ( ) = [ 1,1), = Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1,1] intervallum. =1

12 Válasz: Például: R, ( ) = [ 1,1], =1 91. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a = 2 pontban konvergens. Válasz: ( 2) 92. Definiálja az exp függvényt. Válasz: = ( )! 93. Definiálja a sin függvényt. ()! Válasz: = ( 1) ( ) 94. Definiálja a cos függvényt. Válasz: = ( 1) ( ) ()! 95. Írja fel ( +),,, segítségével. Válasz: (+)= + cos sin (, ) Függvény határértéke 96. Mit jelent az, hogy R torlódási pontja a Rhalmaznak? Válasz: Minden () környezetre a () végtelen halmaz. 97. Mivel egyenlő az R, a Q és az ( N}) halmaz? Válasz: R =R,Q =Q, N} = {0} 98. Adott R R,, Resetén mi a definíciója a lim a =egyenlőségnek? Válasz: Az f függvénynek az pontban van határértéke, ha R, hogy > 0, >0, ( ()\{}): () (). 99. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R, R. Ekkor: lim a = > 0 > 0,0< < : () < Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R. Ekkor: lim a =+ R >0,0< <:() >. 11

13 101. Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen :R R, R. Ekkor: lim a = R >0,0< <:() < Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +, R. Ekkor: lim = > 0 R, > : () < Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R,, R. Ekkor: lim = > 0 R, < : () < Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +. Ekkor: lim = + R R, >:()> Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: Legyen : R R, +. Ekkor: lim = R R, >:()< Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték definícióját. Válasz: : R R,. Ekkor: lim =+ R R,< :() > Adja meg egyenlőtlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték definícióját. Válasz: : R R,. Ekkor: lim = R R,< :() < Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet. Válasz: lim = ( ):N \{}, lim = esetén: lim( ) = Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékéről? Válasz: Ha () = ( ) ( ()), akkor bármely () esetén létezik a lim határérték és lim = (). 12

14 110. Mit lehet mondani monoton növekedő függvény határértékéről? Válasz: Ha :(,) R, akkor lim = sup():,<, (,] és lim = inf():,>, [,) Mit lehet mondani monoton csökkenő függvény határértékéről? Válasz: Ha :(,) R, akkor lim = inf():,<, (,] és lim = sup():,>, [,). Függvények folytonossága 112. Definiálja egy R Rfüggvény pontbeli folytonosságát. Válasz: Egy R R az pontban folytonos, ha > 0 > 0, < : () () < Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között? Válasz: Ha, akkor () lim és lim = () Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról? Válasz: Hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciahalmaz belsejében (a konvergenciatartományon) Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: () ( ):N,lim =:lim( ) =lim() Fogalmazza meg a hányados függvény folytonosságára vonatkozó tételt. Válasz:, (), ekkor ha () 0 akkor () Milyen tételt ismer az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? Válasz: (), () () Definiálja a megszüntethető szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek megszüntethető szakadási helye van az -ben, ha lim és ez véges, és lim () Definiálja az elsőfajú szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek elsőfajú szakadási helye van -ben, ha lim, lim és ezek végesek, de lim lim 120. Mit tud mondani monoton függvény szakadási helyeiről? 13

15 Válasz: Ha :(,) R monoton. Ekkor f-nek legfeljebb elsőfajú szakadásai lehetnek, azaz f vagy folytonos egy pontban, vagy elsőfajú szakadása van Mit tud mondani a korlátos és zárt [,] Rintervallumon folytonos függvény értékkészletéről? Válasz: A korlátos és zárt [,] R intervallumon folytonos függvény értékkészlete is korlátos Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: Ha : [,] R folytonos akkor f-nek létezik abszolút minimuma és abszolút maximuma Mit mond ki a Bolzano-tétel? Válasz: Tegyük fel, hogy : [,] R folytonos függvény. Ha () ()<0, akkor van olyan (,), hogy () = 0. 14

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Hatványsorok, elemi függvények

Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Kozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004

Kozma L aszl o Matematikai alapok 2. kieg esz ıtett kiad as Debrecen, 2004 Kozma László Matematikai alapok 2. kiegészített kiadás Debrecen, 2004 Egyetemi jegyzet, kézirat, 2004 2. kiegészített kiadás Kiadó: Studium 96 Bt., Debrecen Nyomda: Alföldi Nyomda Rt., Debrecen Az összeállítás

Részletesebben

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK

Kalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék

Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK

MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA. GYAKORLATOK 0. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz

Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK

Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben