A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS"

Átírás

1 A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

2 6 A valós számok halmaza

3 A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja a valós számokat A valós számok halmazát -rel (a reális = valós szó kezdőbetűjével) jelöljük és ismertnek tekintjük A valós számok halmazával azonban nem csupán mint halmazzal lesz dolgunk, hiszen elemei között ismét valós számokat eredményező műveleteket értelmezünk, rendezzük őket, stb Elöljáróban felhívjuk a figyelmet arra, hogy a valós számok halmaza a matematika eléggé bonyolult építménye, amely a tudomány sok évszázados fejlődése során jött létre Az igazi felépítése voltaképpen annak az útnak a következetes véghezvitele lenne, amelyet az iskolai tanulmányok során minden diák érint, és amely legalább részben követi a tudomány fejlődéstörténetét Előbb a természetes számok halmazában, intuitív módon értelmezünk két műveletet, az összeadást és a szorzást, valamint nagyságrendi viszonyokat (<, =,>) A természetes számok halmazának elégtelensége azonban hamar kiderült, a két említett művelet megfordítottja (inverze), a kivonás és az osztás nem volt mindig elvégezhető köztük, pedig ezekre már nagyon egyszerű mérések során is szükség mutatkozott A számoknak ezt a viszonylag egyszerű modelljét tehát bővíteni kellett Az egész számok és a racionális számok halmazának a bevezetése, a műveletek és a rendezés kiterjesztése megoldotta ugyan ezt a problémát, de továbbra is lényeges megválaszolatlan kérdések maradtak Vegyük például a távolságmérés feladatát Jelöljünk ki valamely egyenesen (tetszés szerint) két pontot: a 0-t és az -et Ezzel voltaképpen megadtunk egy távolság-mértékegységet és egy haladási (0-tól felé pozitív, fordítva pedig negatív ) irányt: 0 ábra Ha a szakasz osztásánál és összeadásánál úgy járunk el, ahogyan a geometriában szokás, akkor minden racionális számnak nyilvánvalóan megfelel egy szakasz Állapodjunk meg abban, hogy pozitív racionális szám esetében a megfelelő szakasz pozitív, negatív racionális szám esetében pedig negatív irányban mérjük fel a 0 pontból kiindulva, és a szóban forgó racionális számot a szakasz másik végpontjával szemléltetjük Például: ábra y Nyilvánvaló, hogy ilyen módon az egyenesen minden racionális számnak pontosan egy pont felel meg 3 ábra Fordítva a dolog nem áll: az egyenesnek végtelen sok olyan pontja van, amelynek a fent vázolt eljárás során 0 x nem felel meg racionális szám Könnyen belátható, hogy ilyen tulajdonságú az (egység) oldalhosszúságú négyzet átlójának megfelelő pont E négyzet átlójának mérőszáma Pitágorász tétele szerint olyan szám, amelynek a négyzete -vel egyenlő, ilyen pedig, ahogy azt

4 8 A valós számok halmaza korábbi tanulmányaitok során láthattátok, a racionális számok között nincs Ilyen és hasonló meggondolások tették szükségessé a racionális számok halmazának bővítését és a valós szám fogalmának megalkotását A bővítésben szereplő új számok az irracionális számok Az irracionális és racionális számok halmazának egyesítése adja a valós számok halmazát Ennek igazi felépítése tehát valami olyasfélét jelentene, hogy kiindulunk a természetes számok halmazának ismeretéből és néhány axiómából, majd ezek segítségével értelmeznénk az egész, a racionális és a valós számok halmazát, az említett műveleteket, a rendezést Sajnos, a valós számok fogalmának erre az igazi megalapozására annak hosszadalmas volta miatt nincs lehetőség a középiskolában Kénytelenek vagyunk megelégedni a következő félmegoldással: nem definiáljuk az halmazt, és így természetesen nem adjuk meg a szokásos műveletek és rendezés értelmezését sem, hanem axiómák segítségével pontosan megfogalmazzuk, hogy mi végezhető el, illetve érvényes a valós számok halmazában Nagyjából olyan helyzetben leszünk tehát, mintha lenne egy gépünk, amelynek a konstrukciójával nem lennénk teljesen tisztában, pontosan tudnánk viszont, hogy a gép mire használható, milyen műveletek elvégzésére képes A mindennapi életben sok ilyen géppel van dolgunk, és eredményesen használjuk őket Az összeadás és a szorzás axiómái (a test axiómái) A Minden a, b számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén -beli) a + b összege; A a + b = b + a, ab, (kommutativitás); A3 ( a + b) + c = a + ( b + c), abc,, (asszociativitás); A4 Létezik pontosan egy olyan -beli szám (jelöljük a 0 szimbólummal), hogy minden a esetén a + 0 = a; A5 Minden a -hoz létezik pontosan egy olyan x, amelyre a + x = 0 (x - et az a szám ellentettjének nevezzük és a -val jelöljük) A következő öt axióma hasonlít a felsoroltakhoz, de a szorzásra vonatkozik: M Minden a, b számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén -beli) a b szorzata; M a b = b a, ab, (kommutativitás); M3 ( ab) c = a ( bc), abc,, (asszociativitás); M4 Létezik pontosan egy olyan \{ 0} -beli szám (jelöljük az szimbólummal), hogy minden a -ra a = a ; M5 Minden 0-tól különböző a-hoz létezik egy olyan x, amelyre a x = ( x -et az a szám inverzének vagy reciprokának nevezzük és -val jelöljük) a Az alábbi axióma kapcsolatot teremt a fent értelmezett két művelet között: D ( a + b) c = a c + b c, abc,, (disztributivitás) Megjegyzés Az A,, A5, M,, M5, D axiómákat testaxiómáknak is nevezzük

5 A valós számok halmaza 9 Rendezési axiómák A következő négy axióma valós számok rendezésére vonatkozik: R Bármely két a, b számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes: a > b, a = b, b > a (trichotómia); R Ha a > b és b > c, akkor a > c (tranzitivitás); R3 Ha a > b, c, akkor a + c > b + c; R4 Ha a > b és c > 0, akkor ac > bc R5 Bármely két különböző valós szám között van racionális szám (ha ab,, a < b, akkor létezik r úgy, hogy a < r < b) Megjegyzés R5-ből következik, hogy bármely két különböző valós szám között végtelen sok racionális szám van Valóban, ha a, b, a< b és létezik r úgy, hogy a < r < b, akkor létezik r úgy, hogy a < r <, stb r Értelmezések Az a > b relációt szóban így fejezzük ki: a nagyobb b -nél (b kisebb a -nál), az a > b és b < a írásmód ugyanazt jelenti Az a b szimbólum jelentése: az a > b, a = b relációk közül fennáll az egyik Ha a > 0, akkor a -t pozitív, ha a < 0, akkor a -t negatív számnak nevezzük Ha a 0, akkor a -t nemnegatív, ha a 0, akkor a -t nempozitív számnak mondjuk Ha A és A, akkor A -t (valós) számhalmaznak nevezzük Értelmezés a) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem kisebb, akkor ezt az elemet az A halmaz legnagyobb elemének vagy maximumának nevezzük és max A -val jelöljük b) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem nagyobb, akkor ezt az elemet az A halmaz legkisebb elemének vagy minimumának nevezzük és min A-val jelöljük Tehát érvényesek a következő ekvivalenciák: M = max A a M, a A; m = min A m a, a A Nem minden halmaznak van legkisebb, illetve legnagyobb eleme Például az (, ) intervallumnak nincs sem legkisebb sem legnagyobb eleme, az [, ) intervallum legkisebb eleme az és nincs legnagyobb eleme, míg az (, ] intervallumnak a a legnagyobb elem és nincs legkisebb eleme 3 A felső határ axiómája Értelmezés Valamely A számhalmazt felülről (alulról) korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K () k valós szám, hogy minden x A esetén fennáll az x K ( x k) egyenlőtlenség Ekkor a K () k számot az A számhalmaz egy felső (alsó) korlátjának nevezzük Korlátos számhalmazon alulról is és felülről is korlátos számhalmazt értünk

6 0 A valós számok halmaza Felülről korlátos számhalmazokra vonatkozik a következő axióma: F Ha A felülről korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan H valós szám, hogy minden x A esetén x H ; ha K az A halmaz egy felső korlátja, akkor H K Először is vegyük észre, hogy az F axióma egyértelműen meghatározza a H számot Tegyük fel ugyanis, hogy a H és H számokra igaz az axiómában szereplő és tulajdonság Ekkor szerint mind H, mind pedig H felső korlátja az A számhalmaznak, amiből szerint következik egyrészt a H H, másrészt pedig a H H egyenlőtlenség, vagyis H = H Az F axióma biztosította H számot a felülről korlátos A halmaz legkisebb felső korlátjának, felső határának vagy szuprémumának nevezzük és a következőképpen jelöljük: sup A= H Az F axiómából közvetlenül adódik alulról korlátos számhalmazokra a következő állítás: Ha A alulról korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan h valós szám, hogy minden x A esetén x h ; ha k az A halmaz egy alsó korlátja, akkor k h Megjegyezzük, hogy az állításban szereplő h számot az alulról korlátos A halmaz legnagyobb alsó korlátjának, alsó határának vagy infimumának nevezzük és így jelöljük: inf A= h Térjünk rá most állításunk bizonyítására Ennek érdekében legyen { } B = x x A Nyilvánvaló, hogy ha k alsó korlátja az A halmaznak, akkor K = k felső korlátja a B halmaznak és fordítva Mivel A alulról korlátos, ezért B felülről korlátos számhalmaz Legyen H = sup B Ez azt jelenti, hogy minden y B esetén y H, amiből az A és B halmaz közti kapcsolat alapján a h = H jelölés mellett adódik, hogy minden x A esetén k x () Legyen most k az A tetszés szerint választott alsó korlátja Mivel ekkor K = k felső korlátja a B halmaznak, ezért F szerint H K, vagyis K H, ahonnan következik, hogy k h () Az () és a () egyenlőtlenség fennállása azt jelenti, hogy állításunkat igazoltuk Felülről korlátos A számhalmaz esetében F voltaképpen azt mondja ki, hogy a felső korlátok között van legkisebb, a felső határ Más szóval, ez azt jelenti, hogy felülről korlátos számhalmazok esetén létezik olyan szám (a felső határ), amelynél nagyobb nincs a számhalmazban, azonban bármely nála kisebb számnál nagyobb szám már van a számhalmazban Hasonló megállapítások tehetők alulról korlátos számhalmaz és annak alsó határa közti kapcsolatáról Korlátos számhalmaznak természetesen létezik mind alsó, mind felső határa A következő két jellemzés fontos az alkalmazásokban: a) Legyen az A számhalmaz felülről korlátos, és legyen H = sup A A H értelmezéséből következik, hogy H-nál nagyobb szám nincs az A halmazban Tetszés Lásd a X osztályos tankönyvben

7 A valós számok halmaza szerinti ε > 0 szám esetében viszont a H ε szám nem felső korlátja A-nak, tehát létezik olyan x A elem, amelyre x > H ε b) Az alulról korlátos B számhalmaz esetében nincs B-ben a h = inf B számnál kisebb elem, viszont tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan y B, amelyre fennáll az y < h +ε egyenlőtlenség Vezessük be a következő jelöléseket: = { x + x 0} { x + x 0} = { x x 0} = { x x < 0}, Az és számhalmazok felülről korlátosak Könnyen belátható, hogy mind a kettőnek 0 a szuprémuma: sup = sup = 0 Az halmaz tartalmazza a szuprémumát, míg az halmaz nem Példák ) Az A = (, ) halmaz alulról korlátos és felülről nem 0 x, x A, tehát a 0 egy alsó korlátja A -nak Az A alsó korlátjainak halmaza a (, ] intervallum, tehát a legnagyobb alsó korlát az Az A halmazban nincs sem legnagyobb, sem legkisebb elem ) A B = [5,00) halmaz alulról is és felülről is korlátos mert 5 x 00, x B Az alsó korlátok halmaza (,5] és a felső korlátok halmaza [ 00, ) Így a B halmaz szuprémuma 00 és infimuma 5, ugyanakkor a halmaz legkisebb eleme 5 és nincs legnagyobb eleme 3) Az halmaz alulról korlátos, felülről nem A halmaz legkisebb eleme a 0, ez egyben az alsó határa is 4 Az Arkhimédész féle axióma Sokszor alkalmazzuk majd a következő, úgynevezett Arkhimédész féle axiómát: A Minden a és b pozitív valós számhoz található olyan n természetes szám, amelyre n a > b Megjegyzés a = esetén következik, hogy bármely b valós számnál van nagyobb n természetes szám Az A és F axiómák következménye, hogy x esetén létezik egyetlen olyan n szám, amelyre teljesülnek az n x < n + egyenlőtlenségek Az így kapott n számot az x valós szám egészrészének nevezzük és [ x ]-szel jelöljük Tehát [ x] x < [ x] +, x A valós szám egészrészének segítségével értelmezhetjük a törtrészét is, mint a szám és az egészrészének különbsége Az x valós szám törtrészét { x} -szel jelöljük és értelmezés alapján: {} x = x [ x], x A fentiekből látható, hogy 0 { x} <, x

8 A valós számok halmaza Példák ) Az x =, 3 szám egészrésze [, 3] = és a törtrésze {,3} = 0,3 Pozitív számok esetén a tizedes reprezentáció vessző előtti rész a szám egészrésze és a tizedesvessző utáni rész a szám törtrésze ) Az x = 5, 8 szám egészrésze [ 5, 8] = 6, mert 6 5,8 < 5 Így a törtrésze { 5,8} = 5,8+ 6= 0, A következő pontokban az ismertetett axiómák néhány lényeges következményével, nevezetes részhalmazaival és néhány fontos, -rel kapcsolatos fogalommal ismerkedhetünk meg 5 A testaxiómák néhány következménye Műveletek valós számokkal Igaz a következő állítás: bármely a, b, c \ { 0 }, d esetén pontosan egy olyan x létezik, amelyre a + x = b (illetve c x = d ), mégpedig az x = b + ( a) (illetve az x = d ) c A fenti x számot a b és a számok különbségének (a második esetben pedig a d és c d számok hányadosának) nevezzük és b a -val ( -vel) jelöljük c Igazoljuk a különbség egyértelmű létezését Kiindulva az a és b valós számokból, legyen x = b + ( a) Ekkor, felhasználva az A és A5 axiómákat, a+ x = a+ ( b+ ( a) ) = a+ (( a) + b) Most felhasználjuk az A axiómát, és kapjuk, hogy a+ x = ( a+ ( a) ) + b= 0+ b=b Tehát a -hoz x-et hozzáadva tényleg b-t kapunk Tegyük fel, hogy valamely x esetében a + x = b Adjuk hozzá mind az a + x, mind a b számhoz a ( a ) számot: ( a + x) + ( a) = b + ( a) A és A alkalmazásával, a fenti egyenlőségből következik, hogy ( x+ a) + ( a) = b+ ( a), valamint x + ( a + ( a) ) = b + ( a) Rendre alkalmazva az A3, A5 és A4 axiómákat, kapjuk, hogy x + 0 = b + ( a ), x = b + ( a) Tehát valóban csak egy x létezik amelyre a + x = b, ez az x = b + ( a) szám Állításunknak az osztásra vonatkozó része hasonlóan igazolható Megjegyzések Az A,, A5, M,, M5, D axiómákból könnyen levezethetők a valós számokra vonatkozó, ismert és a középiskolában használt összefüggések Az A3 axióma szerint ( a + b) + c = a + ( b + c), a, b, c, vagyis mindegy, hogy hol állnak a tagok csoportosítását kijelző zárójelek Ezért el is hagyhatjuk őket, ha megállapodunk abban, hogy a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) () Az () alatti értelmezésből az A és A3 axióma szerint következik, hogy közömbös a bal oldalon szereplő tagok sorrendje is Például b + c + a = a + b + c

9 A valós számok halmaza 3 Valóban, b + c + a = ( b + c) + a = a + ( b + c) = a + b + c, ahol az axiómákat és az előbbi értelmezést használtuk Eredményünkre úgy is hivatkozhatunk, hogy három tag esetében az összeg független a tagok sorrendjétől Teljesen hasonlóan, az M3 axióma alapján, ab c = ( ab) c = a ( bc), és itt is igaz a megfelelő eredmény, vagyis három tényező esetében a szorzat független a tényezők sorrendjétől Megoldott feladat Határozzuk meg az n n A = halmaz + minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát Mivel 0 <, n, az A halmaz alulról is és felülről is korlátos, tehát n + létezik alsó és felső határa A halmaz legnagyobb eleme, ez tehát egyúttal a szuprémuma is Bizonyítjuk, hogy a halmaz alsó határa a 0 Az értelmezés alapján a következő két állítást kell igazolnunk: 0 <, n - ezt már beláttuk, hogy igaz; n + ε > 0 esetén n úgy, hogy < ε n + Az utóbbi egyenlőtlenség ekvivalens az < n egyenlőtlenséggel, tehát ε n > + De + = és mivel a keresett n szám nem lehet nulla, ε ε ε ezért az n = max, ε értékre biztosan teljesül a kért egyenlőtlenség Így a 0 teljesíti az infimum értelmezésében szereplő feltételeket, tehát inf A = 0 Mivel 0 A, a halmazban nincs legkisebb elem Gyakorlatok Határozd meg a következő halmazok alsó és felső határát, legnagyobb és legkisebb elemét (amikor ezek léteznek): a) A = ; b) A = ; c) A = (,5); d) A = (,0] ; e) A = (7, ); f) A = [000, ); g) A = ( 3,00) ; h) A = [ 8,3) ; i) ( 3,5] { } ; j) A = (,] (3, ) ; k) (,5] (6,03]; l) n = n n A ; m) A= n ; n + n + = x A= x x + 3 x ; n) A { x }; o) { } x 5x + 4 p) A= x > 0 ; r) = { x x > } x + 3 A x

10 4 A valós számok halmaza Határozd meg a következő számok egészrészét és törtrészét: 7 35 n 3n a) a = ; b) a = ; c) a =, n ; d) a =, n 5 3 n + 3 n + 3 Oldd meg a következő egyenleteket: x + a) = x ; b) x + = ; c) 4 x + 3 x = 3 3x 5 ; d) { x + 3 } = ; e) { x + } = [ x ] Feladatok Bizonyítsd be, hogy ha az alábbi egyenlőségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőségek igazak (A, B ): a) inf ( A B) inf A inf B, ahol A+ B = a + b a Ab, B ; + = + { } b) su p( A+ B) = sup A+ sup B ; c) inf ( λ A) λ inf A, ahol λ A= λ a a A és ; = { } λ + d) sup( λ A) = λ sup A, ahol λ + Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha az infimum és szuprémum helyett minimum illetve maximumot írunk Bizonyítsd be, hogy ha f, g : a, b és az alábbi egyenlőtlenségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőtlenségek igazak: a) max ( f ( x) + g( x) ) max f( x) + max g( x) ; x a, b x a, b x a, b b) min ( f ( x) + g( x) ) min f( x) + min g( x) ; x a, b x a, b x a, b c) max ( f ( x) g( x) ) max f( x) max g( x), ha f, g : a, b + x a, b x a, b x a, b Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha a minimum illetve maximum helyett infimumot és szuprémumot írunk 3 Bizonyítsd be, hogy ha a b, a A és b B esetén (A, B ), akkor sup A inf B 4 Számítsd ki a következő kifejezések egészrészét és törtrészét: 00 nn+ ( ) a) ( + 3) ; b) n + n, n ; c), n 6 5 Számítsd ki a következő összegeket: n a) k + k + ; b) 003 n kk ( + ) k= k= 6 ; c) { ( ) k 3+ } k= 6 Számítsd ki a min { max { x + y + z, y + z + x, z + x + y} } xyz,, kifejezés értékét!

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ KÉZI CSABA GÁBOR Date: today. 1 KÉZI CSABA GÁBOR 1. Logikai állítások, műveletek 1.1. Definíció. Matematikai értelemben állításnak nevezünk egy olyan kijelentést, melynek

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR

BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR BEVEZETÉS A MAGASABBSZINTŰ MATEMATIKÁBA ÉS ALKALMAZÁSAIBA KÉZI CSABA GÁBOR 1 KÉZI CSABA GÁBOR Előszó Ez a jegyzet egy többrészes sorozat első kötete, mely elsősorban a Debrecen Egyetem Műszaki Karának

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

harmadik, javított kiadás

harmadik, javított kiadás Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok?

Halmazelmélet. 1. Jelenítsük meg Venn-diagrammon az alábbi halmazokat: a) b) c) 2. Milyen halmazokat határoznak meg az alábbi Venn-diagrammok? Halmazelmélet Alapfogalmak Unió: ; metszet: ; különbség: ; komplementer: (itt U egy univerzum halmaz). Egyenlőség: két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Ezzel ekvivalens, hogy. Tartalmazás: ; valódi

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben