Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 016. ősz

2 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz. Harmadfokú egyenlet Harmadfokú egyenlet megoldása Keressük meg az ax 3 + bx + cx + d = 0 egyenlet megoldásait (a 0)! Végigosztva a-val kapjuk az x 3 + b x + c x + d = 0 egyszerűbb egyenletet. Emlékeztető: másodfokú egyenlet megoldása: x + px + q = 0. Az x = y p helyettesítéssel eltűnik az x-es tag: y + q = 0. Innen átrendezéssel és gyökvonással megkapjuk a lehetséges megoldásokat y-ra, ahonnan kiszámolhatóak az x 1, x megoldások. Hasonló helyettesítéssel a harmadfokú egyenlet y 3 + py + q = 0 alakra hozható.

3 Harmadfokú egyenlet Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 3. Keressük meg az y 3 + py + q = 0 egyenlet megoldásait! Ötlet: keressük a megoldásokat y = u + v alakban! Most (u + v) 3 = u 3 + 3u v + 3uv + v 3. A harmadfokú egyenlet: (u + v) 3 3uv(u + v) (u 3 + v 3 ) = 0 y 3 +py +q = 0 Célunk olyan u, v találása, melyekre 3uv = p, (u 3 + v 3 ) = q. Ekkor u + v megoldás lesz! u, v megtalálása: u 3 v 3 = ( p 3 )3, u 3 + v 3 = q, u 3, v 3 gyökei lesznek a z + qz + ( p 3 )3 = 0 másodfokú egyenletnek. A gyökökből u, v köbgyökvonással kijön: y = 3 q (q ) ( p ) q (q ) ( p )

4 Harmadfokú egyenlet Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 4. Keressük meg az x 3 1x + 0 = 0 egyenlet megoldásait! (Most x = y, és rögtön látszik, hogy az x = 1 gyök lesz.) p = 1, q = 0 helyettesítéssel a x = 3 q (q ) ( p ) q (q ) ( p ) képletbe azt kapjuk, hogy x = A négyzetgyök alatt negatív! Meg lehet-e menteni a megoldóképletet?

5 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 5. Harmadfokú egyenlet x = Formálisan számolva, a ( 3) = 3 feltétellel: = = ( 3) + ( 3) 3 = ( + 3) 3. Hasonlóan = ( 3) 3. Ezzel a megoldás: x = ( + 3) + ( 3) = 4. Felmerülő kérdések Számolhatunk-e 3-mal formálisan? Miért épp így kell számolni a értékét? Hova tűnt az x = 1 megoldás? Mi a harmadik gyöke az egyenletnek?

6 Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 6. Természetes számok: N = {0, 1,,... } Nincs olyan x N természetes szám, melyre x + = 1! N halmazon a kivonás nem értelmezett! Egész számok: Z = {...,, 1, 0, 1,,... } A kivonás elvégezhető: x = 1. Nincs olyan x Z egész szám, melyre x = 1! Z halmazon az osztás nem értelmezett! { } Racionális számok: Q = p q : p, q Z, q 0 Az osztás elvégezhető: x = 1. Nincs olyan x Q racionális szám, melyre x =! Q halmazon a négyzetgyökvonás nem (mindig) elvégezhető! Valós számok: R. Nincs olyan x R valós szám, melyre x = 1! U.i.: Ha x 0, akkor x 0. Ha x < 0, akkor x = ( x) > 0.

7 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 7. Számfogalom bővítése Komplex számok körében az x = 1 egyenlet megoldható! Komplex számok alkalmazása: egyenletek megoldása; geometria; fizika (áramlástan, kvantummechanika, relativitáselmélet); grafika, kvantumszámítógépek. Komplex számok bevezetése Legyen i az x = 1 egyenlet megoldása. A szokásos számolási szabályok szerint számoljunk az i szimbólummal formálisan, i = 1 helyettesítéssel: Általában: (1 + i) = 1 + i + i = 1 + i + ( 1) = i. (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i.

8 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 8. A komplex számok definíciója Definíció Az a + bi alakú kifejezéseket, ahol a, b R, komplex számoknak (C) hívjuk, az ilyen formában való feĺırásukat algebrai alaknak nevezzük. Összeadás: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i. Szorzás: (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám valós része: Re(z) = a. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám képzetes része: Im(z) = b. Figyelem! Im(z) bi Az a + 0 i alakú komplex számok a valós számok. A 0 + bi alakú komplex számok a tisztán képzetes számok. Az a + bi és a c + di algebrai alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: a + bi = c + di, ha a = c és b = d.

9 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 9. A komplex számok definíciója Megjegyzés A komplex számok alternatív definíciója: (a, b) R R párok halmaza, ahol az összeadás: (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b); a szorzás: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). A két definíció ekvivalens: i (0, 1). Az a + bi formátum kényelmesebb számoláshoz. Az (a, b) formátum kényelmesebb ábrázoláshoz (grafikusan, számítógépen). További formális számokra nincs szükség: Tétel(Algebra alaptétele, NB) Ha n > 0, a 0,..., a n C, a n 0, akkor minden a 0 + a 1 x + a x a n x n kifejezés esetén létezik olyan z C komplex szám, hogy a 0 + a 1 z + a z a n z n = 0.

10 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 10. Számolás komplex számokkal Definíció Egy x szám ellentettje az az ˆx szám, melyre x + ˆx = 0. Egy r R szám ellentettje: r. Álĺıtás (HF) Egy z = a + bi C komplex szám ellentettje a z = a bi komplex szám. Definíció Egy z = a + bi C algebrai alakban megadott komplex szám abszolút értéke: z = a + bi = a + b. Valós számok esetében ez a hagyományos abszolút érték: a = a. Álĺıtás(HF) z = a + bi 0, z = a + bi = 0 z = a + bi = 0.

11 Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 11. Definíció Egy x szám reciproka az az ˆx szám, melyre x ˆx = 1. 1 Egy r R \ {0} szám reciproka: r. Mi lesz 1 1+i? Ötlet: gyöktelenítés, konjugálttal való bővítés: = = 1 (1 + )(1 ) = 1 1 ( ) Hasonlóan: = 1 1 = i = 1 1 i 1 + i 1 i = 1 i (1 + i)(1 i) = 1 i 1 i = 1 i 1 ( 1) = 1 i = 1 1 i.

12 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Számolás komplex számokkal Definíció Egy z = a + bi algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltja a z = a + bi = a bi szám. Álĺıtás(HF) Egy z 0 komplex szám reciproka 1 z = z z z. A definíció értelmes, hiszen a nevező: z z = (a + bi)(a bi) = a (bi) = a + b = z. Nullosztómentesség: z w = 0 z = 0 vagy w = 0. Két komplex szám hányadosa: z w = z 1 w.

13 Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 13. Tétel (HF) 1 z = z; z + w = z + w; 3 z w = z w; 4 z + z = Re(z); 5 z z = Im(z) i; 6 z z = z ; 7 z 0 esetén z 1 = z z ; 8 0 = 0 és z 0 esetén z > 0; 9 z = z ; 10 z w = z w ; 11 z + w z + w (háromszög egyenlőtlenség).

14 Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 14. Tétel(HF). z w = z w ;. Bizonyítás z w = z w z w = z w z w = z z w w = z w = ( z w ).

15 Komplex számok ábrázolása Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 15. A komplex számok a komplex számsíkon: Im(z) z= r(cos ϕ + i sin ϕ) r ϕ Re(z) Ha z = a + bi C, akkor Re(z) = a, Im(z) = b. A (Re(z), Im(z)) vektor hossza: r = a + b = z. A z nemnulla szám argumentuma ϕ = arg(z) [0, π) A koordináták trigonometrikus függvényekkel kifejezve: Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ

16 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 16. Komplex számok trigonometrikus alakja Definíció z C nemnulla szám trigonometrikus alakja a z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r > 0 a szám abszolút értéke. Figyelem! A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját. A trigonometrikus alak nem egyértelmű: r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)). Definíció Egy nemnulla z C argumentuma az a ϕ = arg(z) [0, π), melyre z = z (cos ϕ + i sin ϕ). z = a + bi algebrai alak; z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trigonometrikus alak. Itt a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.

17 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 17. Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) a = r cos ϕ b = r sin ϕ Ha a 0, akkor tgϕ = b a, és így arctg b a, ha a > 0; ϕ = arctg b a + π, ha a < 0. }

18 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 18. Számolás trigonometrikus alakkal Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ) A szorzatuk: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = addíciós képletek: cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) A szorzat abszolút értéke: zw = z w. A szorzat argumentuma: ha 0 arg(z) + arg(w) π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w); ha π arg(z) + arg(w) < 4π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w) π. A sin, cos függvények π szerint periodikusak, az argumentum meghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.

19 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 19. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.

20 Komplex számok gyökei Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 0. Példa ( ) 8-t: 1+i Számoljuk ki ( ) 8 ( ) 8 ( 1+i = i = cos π 4 + i sin ) π 8 4 = = cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) = cos π + i sin π = 1 További komplex számok, melyeknek a 8-adik hatványa 1: 1; 1; i : i 8 = (i ) 4 = ( 1) 4 = 1; i; 1+i ; 1+i ; sőt: ±i 1+i : ( i 1+i ) 8 = i 8 ( 1+i ) 8 = 1 1 = 1.

21 Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Gyökvonás A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k π valamely k Z szám esetén.