Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás

1 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 017. ősz

2 Komplex számok ábrázolása Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz. A komplex számok a komplex számsíkon: Im(z) z = a + bi= r(cos ϕ + i sin ϕ) r ϕ Re(z) Ha z = a + bi C, ahol a, b R, akkor Re(z) = a, Im(z) = b. A (Re(z), Im(z)) vektor hossza: r = a + b = z. A z nemnulla szám argumentuma ϕ = arg(z) [0, π) A koordináták trigonometrikus függvényekkel kifejezve: Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ

3 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 3. Komplex számok trigonometrikus alakja Definíció z C nemnulla szám trigonometrikus alakja a z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r > 0 a szám abszolút értéke. Figyelem! A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját. A trigonometrikus alak nem egyértelmű: r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)). Definíció Egy nemnulla z C argumentuma az a ϕ = arg(z) [0, π), melyre z = z (cos ϕ + i sin ϕ). z = a + bi algebrai alak; z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trigonometrikus alak. Itt a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.

4 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 4. Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) a = r cos ϕ b = r sin ϕ Ha a 0, akkor tgϕ = b a, és így arctg b a, ha a > 0; ϕ = arctg b a + π, ha a < 0. }

5 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 5. Számolás trigonometrikus alakkal Legyenek z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ) A szorzatuk: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = addíciós képletek: cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) A szorzat abszolút értéke: zw = z w. A szorzat argumentuma: ha 0 arg(z) + arg(w) < π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w); ha π arg(z) + arg(w) < 4π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w) π. A sin, cos függvények π szerint periodikusak, az argumentum meghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.

6 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 6. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyenek z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.

7 Komplex számok gyökei Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 7. Példa ( ) 8-t: 1+i Számoljuk ki ( ) 8 ( ) 8 ( 1+i = i = cos π 4 + i sin ) π 8 4 = = cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) = cos π + i sin π = 1 További komplex számok, melyeknek a 8-adik hatványa 1: 1; 1; i : i 8 = (i ) 4 = ( 1) 4 = 1; i; 1+i ; 1+i ; sőt: ±i 1+i : ( i 1+i ) 8 = i 8 ( 1+i ) 8 = 1 1 = 1.

8 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 8. A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k π valamely k Z szám esetén. n-edik gyökvonás: Legyen z n = w: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) = w (cos ψ + i sin ψ). Ekkor z n = w z = n w nϕ = ψ + k π valamely k Z esetén, vagyis: ϕ = ψ n + k π n valamely k Z esetén. Ha k {0, 1,..., n 1}, akkor ezek mind különböző komplex számot adnak.

9 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 9. Tétel Legyen z = z (cos ϕ + i sin ϕ), n N. Ekkor a z n-edik gyökei azok a w-k, amikre w n = z: w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) n k = 0, 1,..., n 1.

10 Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 10. w = n ( ( ϕ z cos n + kπ ) ( ϕ + i sin n n + kπ )) : k = 0, 1,..., n 1. n Példa Számítsuk ki a 6 1 i 3+i értékét! 1 i = ( i ) = ( cos 7π 4 + i sin 7π 4 ( 3 ) 3 + i = + i 1 = ( cos π 6 + i sin ) π 6 Mivel 7π i π 6 = 19π 1, ezért: 3+i = 6 1 ( cos 19π 19π 1 + i sin 1 ( cos 19π+4kπ 7 + i sin 19π+4kπ 7 = 1 1 ) ) = ) : k = 0, 1,..., 5.

11 Komplex egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 11. Definíció Az ε n = 1 feltételnek eleget tevő komplex számok az n-edik egységgyökök: ( ε k = ε (n) k = cos kπ n + i sin kπ ) : k = 0, 1,..., n 1. n Nyolcadik komplex egységgyökök ε ε 3 ε 1 ε 4 ε 0 = 1 ε 5 ε 7 ε 6

12 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Gyökvonás Pozitív valós számok négyzetgyöke: legyen r > 0 valós szám, ekkor az x = r megoldásai: ± r. Tétel Legyen z C nemnulla komplex szám. n N és w C olyan, hogy w n = z. Ekkor z n-edik gyökei feĺırhatóak a következő alakban: wε k : k = 0, 1,... n 1. Bizonyítás A wε k számok mind n-edik gyökök: (wε k ) n = w n ε n k = z 1 = z. Ez n különböző szám, így az összes gyököt megkaptuk.

13 Rend Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 13. Bizonyos komplex számok hatványai periodikusan ismétlődnek: 1, 1, 1,... 1, 1, 1, 1,... i, 1, i, 1, i, 1,... 1+i, i, 1+i, 1, 1 i, i, 1 i, 1, 1+i, i,... Általában: cos( π n ) + i sin( π n )-nek n darab különböző hatványa van. Definíció Egy z komplex szám különböző (egész kitevős) hatványainak számát a z rendjének nevezzük és o(z)-vel jelöljük. Példa 1 rendje 1; rendje :, 4, 8, 16,... ; 1 rendje : 1, 1; i rendje 4: 1, i, 1, i.

14 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 14. Rend Tétel Egy z komplex számnak vagy bármely két egész kitevős hatványa különböző (ilyenkor a rendje végtelen), vagy pedig a hatványok a rend szerint periodikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb olyan pozitív d szám, melyre z d = 1. Továbbá z k = z l o(z) k l. Speciálisan z k = 1 o(z) k. Bizonyítás NB. Talán később...

15 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 15. Primitív gyökök Az n-edik egységgyökök rendje nem feltétlenül n: 4-edik egységgyökök: 1, i, 1, i. 1 rendje 1; 1 rendje ; i rendje 4. Definíció Az n-ed rendű n-edik egységgyökök a primitív n-edik egységgyökök. A tétel következményei: Következmény Egy primitív n-edik egységgyök hatványai pontosan az n-edik egységgyökök. Egy primitív n-edik egységgyök pontosan akkor k-adik egységgyök, ha n k.

16 Primitív egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 16. Példa Primitív 1. egységgyök: 1; Primitív. egységgyök: 1; Primitív 3. egységgyökök: 1±i 3 ; Primitív 4. egységgyökök: ±i; Primitív 5. egységgyökök:... (HF) Primitív 6. egységgyökök: 1±i 3. Álĺıtás(NB.) Egy cos ( ) ( kπ n + i sin kπ ) n n-edik egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha (n, k) = 1.

17 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 17. Matematikai logika A logika a helyes következtetés tudománya. Alkalmazási területek: matematika; informatika; mesterséges intelligencia;... Példa Minden bogár rovar. tagadás: Van olyan bogár, ami nem rovar. Esik az eső, de meleg van, bár a nap is elbújt, és az idő is későre jár. tagadás:?

18 Axiomatikus módszer Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 18. A tudományok a valóság egy részének modellezésével foglalkoznak. Axiomatikus módszer: közismert, nem definiált fogalmakból (alapfogalmakból) és bizonyos feltevésekből (axiómákból) a logika szabályai szerint milyen következtetéseket vonunk le (milyen tételeket bizonyítunk). Példa Euklidészi geometria Alapfogalmak Axiómák pont, egyenes, párhuzamossági axióma, sík. Az axiomatikus módszer előnye: elég ellenőrizni az axiómák teljesülését....

19 Predikátumok Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 19. Definíció Predikátum: olyan változóktól függő definiálatlan alapfogalom, amelyhez a változóik értékétől függően valamilyen igazságérték tartozik: igaz (I, ), hamis (H, ), és a kettő egyidejűleg nem teljesül. Példa M(): Minden jogász hazudik. 0-változós, értéke: I. Sz(x): x egy szám. 1-változós, értéke: Sz(1)=I, SZ(h)=H. E(x): x egy egyenes. 1-változós. P(x): x egy pont. 1-változós. I (x, y): x illeszkedik y-ra. -változós. F (x, y): x az y férje. -változós. Gy(x, y, z): x az y és z gyermeke. 3-változós.

20 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 0. A predikátumokat logikai jelekkel tudjuk összekötni: Tagadás, jele: A. És, jele: A B. Vagy, (megengedő), jele: A B. Ha..., akkor... (implikáció), jele: A B. Ekvivalencia, jele: A B. Igazságtáblázat A B A A B A B A B A B I I H I I I I I H H H I H H H I I H I I H H H I H H I I

21 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat: Megengedő vagy Átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,... A B I H I I I H I H Kizáró vagy: Vagy bolondok vagyunk és elveszünk egy szálig, vagy ez a mi hitünk valóságra válik. A B I H I H I H I H Összeférhetetlen vagy: Iszik vagy vezet! A B I H I H I H I I

22 Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz. Az implikáció (A B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit! A B I H I I H H I I Példa = 4 i = 1 = 4 kedd van Hamis álĺıtásból minden következik: Példa = 5 i = Adott logikai jel, más módon is kifejezhető: (A B) ( A B)

23 Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 3. A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Álĺıtás 1 (A (B C)) ((A B) C), (A (B C)) ((A B) C) (asszociativitás); (A B) (B A), (A B) (B A) (kommutativitás); 3 (A (B C)) ((A B) (A C)), (A (B C)) ((A B) (A C)) (disztributivitás); 4 ( (A B)) ( A B), ( (A B)) ( A B) (De Morgan); 5 (A B) ( B A) (a kontrapozíció tétele); 6 ((A B) A) B; 7 ((A B) (B C)) (A C) (szillogizmus); 8 ((A B) (B A)) (A B).