Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)"

Átírás

1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36

2 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

3 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

4 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

5 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

6 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

7 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

8 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

9 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

10 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számokon értelmezett szorzás kommutatív (a, b ) (c, d ) (ac bd, ad + bc ) (ca db, cb + da ) (c, d ) (a, b ) asszociatív (a, b ) (c, d ) (e, f ) (ac bd, ad + bc ) (e, f ) (ac bd )e (ad + bc )f, (ac bd )f + (ad + bc )e (ace bde adf bcf, acf bdf + ade + bce ) (ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf ) a (ce df ) b (cf + de ), a (cf + de ) + b (ce df ) (a, b ) ce df, cf + de (a, b ) (c, d ) (e, f ) 5 / 36

11 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

12 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

13 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

14 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következo disztributív szabály: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c + e, d + f ) a (c +e ) b (d +f ), a (d +f )+b (c +e ) (ac +ae bd bf, ad +af +bc +be ) és (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) (ac bd, ad + bc )+(ae bf, af + be ) (ac bd + ae bf, ad + bc + af + be ) (ac + ae bd bf, ad + af + bc + be ) 7 / 36

15 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

16 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

17 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

18 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

19 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Tekintsük a komplex számok halmazának S {z z C, Im(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a R. Mivel (a, 0)+(b, 0) (a + b, 0 + 0) (a + b, 0) és (a, 0) (b, 0) (ab 0 0, a b ) (ab, 0), ezért a ϕ : S R, (a, 0) 7 a függvény egy mu velettartó, kölcsönösen egyértelmu leképezés S és R között. A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeru en a-val jelöljük. 10 / 36

20 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

21 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

22 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

23 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

24 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak Az (a, b ) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az a + bj kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex szám képzetes része és j az imaginárius egység. Az algebrai alak elo nye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokott szabályoknak megfelelo en számolhatunk vele. 12 / 36

25 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

26 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

27 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

28 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

29 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

30 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

31 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

32 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

33 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

34 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

35 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

36 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

37 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

38 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

39 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt (a + bj )z az Az ábrán árnyalással jelzett két háromszög hasonló, mert mindegyiknek van egy derékszöge, z a + bj α a derékszögeket közrefogó oldalak aránya a két háromszögben megegyezik. A két háromszög hasonlósági aránya z. β α vt 18 / 36

40 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt Ezzel azt mutattuk meg, hogy (a + bj )z az két komplex szám szorzatának abszolút értéke megegyezik az eredeti komplex számok abszolút értékeinek szorzatával, két komplex szám szorzatának irányszöge megegyezik az eredeti komplex számok irányszögeinek összegével. z a + bj α β α vt Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nem hegyesszög, akkor a bizonyítás menete kis mértékben módosul. 18 / 36

41 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal Az elo bbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók: z1, z2 C : z1 z2 z1 z2, illetve z1, z2 C : arg(z1 z2 ) arg(z1 ) + arg(z2 ) (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 19 / 36

42 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

43 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

44 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

45 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

46 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

47 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

48 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

49 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Tétel: Binomiális tétel!!!! n n n n 1 n n 2 2 n n (a + b ) a + a b+ a b b n n ahol n k -t binomiális együtthatónak nevezzük. Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak? Kiszámítása pl. az! n! n k k!(n k )! összefüggés segítségével történhet, ahol n! : n 23 / 36

50 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

51 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

52 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

53 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

54 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

55 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

56 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

57 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

58 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

59 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

60 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

61 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z ϕ vt 1 27 / 36

62 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z Legyen z 1 + 4j Ekkor z abszolút értéke: z ϕ p q a2 + b2 ( 1) vt 1 27 / 36

63 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Az irányszög: kt 4 z tg(ϕ) Innen: ϕ vt ϕ 76 + k 180 ahol k Z 1 27 / 36

64 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Megjegyzés: A számológép a 76 alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelen sok megoldás van, hiszen a tangensfüggvény periodikus. kt 4 z ϕ vt 1 A 76 nem lehet a komplex számnak irányszöge, hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II. síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban a kapott 104 már helyes. 27 / 36

65 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z A trigonometrikus alak tehát: z 4.12 cos(104 ) + j sin(104 ) ϕ vt 1 27 / 36

66 A komplex számok trigonometrikus alakja Összeadás és kivonás Trigonometrikus alakban nem végezheto k el. Két ilyen szám összeadásához (kivonásához) elo ször át kell írni o ket algebrai alakba: Példa: z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ), z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ) 3 ( j ) j z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) 5 ( j ) j z1 + z2 ( ) + ( )j j z1 z2 ( ) ( )j j 28 / 36

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.

A + B = B + A, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. 6. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK Számítógépekben, műszerekben, vezérlő automatákban alapvető szerep jut az olyan áramköröknek, melyek valamilyen logikai összefüggést fejeznek ki. Ezeknek a logikai áramköröknek az

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

MATEMATIKA 7. évfolyam

MATEMATIKA 7. évfolyam MATEMATIKA 7. évfolyam 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika Halmazba rendezés több szempont alapján a halmazműveletek alkalmazásával. Két véges halmaz uniója, különbsége,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése.

Célok, feladatok Fejlesztési terület Ismeretanyag. A kilencedik osztályos tananyagra támaszkodva egy nyílt végű feladat megoldása, megbeszélése. Matematika 10. első kötet Témák Az óra témája (tankönyvi 1. Bevezető óra (101. Ismerkedés a tankönyvvel 2. Nyílt végű feladat: Szálloda tervezése (102. 3. Matematikai logika: Igaz vagy hamis (103. 4. Matematikai

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 11.évfolyam éves óraszáma: 108 óra Témakörök Témakör óraszáma Ismeretanyag Kompetenciák, nevelési célok, kapcsolódások 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 12 óra Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok

MATEMATIKA. 9-10. évfolyam. Célok és feladatok MATEMATIKA 9-10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerő, alkalmazásra képes matematikai mőveltségét, biztosítsa a többi tantárgy

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása

Harmonikus rezgések összetevése és felbontása TÓTH.: Rezgésösszetevés (kibővített óravázlat) 30 005.06.09. Harmonikus rezgések összetevése és felbontása Gyakran előfordul hogy egy rezgésre képes rendszerben több közelítőleg harmonikus rezgés egyszerre

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II.

Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Könnyebb-a a középszintű érettségi a régi házi érettségi vizsgánál? II. Írta: dr. Majoros Mária Ebben a tanulmányban a jelenlegi érettségin kitűzött feladatokat olyan szempontból fogom összehasonlítani,

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA. Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura

MATEMATIKA. Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura Ljubljana 2011 MATEMATIKA Általános érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Splošna matura A tantárgyi vizsgakatalógus a 2013. évi tavaszi vizsgaidőszaktól érvényes az új megjelenéséig. A katalógus érvényességéről

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók 5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 A kiterjesztési elv 2 Nyelvi változók A kiterjesztési elv 237 A KITERJESZTÉSI ELV A

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok

Tanárverseny 2012. Megoldásvázlatok Tanárverseny 0 középiskolában tanító tanároknak vázlatok Kidolgozta: Csordásné Szécsi Jolán, Csordás Péter A verseny támogatói: Typotex Kiadó Maxim Kiadó MATEGYE Alapítvány . Mennyivel egyenlő a K E D

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Természeti jelenségek fizikája gyakorlat. Pogány Andrea andrea@titan.physx.u-szeged.hu

Természeti jelenségek fizikája gyakorlat. Pogány Andrea andrea@titan.physx.u-szeged.hu Terészeti jelenségek fizikája gyakorlat Pogány Andrea andrea@titan.physx.u-szeged.hu Vektorok vektor: a tér egy rendezett pontpárja által kijelölt, az első pontból a ásodikba utató irányított szakasz nagysággal

Részletesebben

A Baktay Ervin Gimnázium emelt szintű matematika tanterve a 11-12. évfolyamok számára

A Baktay Ervin Gimnázium emelt szintű matematika tanterve a 11-12. évfolyamok számára A Baktay Ervin Gimnázium emelt szintű matematika tanterve a 11-12. évfolyamok számára 11. 12. heti óraszám 6 6 éves óraszám 216 180 Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások

V. osztály. Matematikai tehetségnap 2013. október 12. Megoldások V. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az fele akkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödik alkalommal 10cm magasra pattant fel?

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben