Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)"

Átírás

1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36

2 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

3 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

4 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

5 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

6 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

7 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

8 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

9 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

10 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számokon értelmezett szorzás kommutatív (a, b ) (c, d ) (ac bd, ad + bc ) (ca db, cb + da ) (c, d ) (a, b ) asszociatív (a, b ) (c, d ) (e, f ) (ac bd, ad + bc ) (e, f ) (ac bd )e (ad + bc )f, (ac bd )f + (ad + bc )e (ace bde adf bcf, acf bdf + ade + bce ) (ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf ) a (ce df ) b (cf + de ), a (cf + de ) + b (ce df ) (a, b ) ce df, cf + de (a, b ) (c, d ) (e, f ) 5 / 36

11 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

12 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

13 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

14 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következo disztributív szabály: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c + e, d + f ) a (c +e ) b (d +f ), a (d +f )+b (c +e ) (ac +ae bd bf, ad +af +bc +be ) és (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) (ac bd, ad + bc )+(ae bf, af + be ) (ac bd + ae bf, ad + bc + af + be ) (ac + ae bd bf, ad + af + bc + be ) 7 / 36

15 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

16 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

17 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

18 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

19 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Tekintsük a komplex számok halmazának S {z z C, Im(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a R. Mivel (a, 0)+(b, 0) (a + b, 0 + 0) (a + b, 0) és (a, 0) (b, 0) (ab 0 0, a b ) (ab, 0), ezért a ϕ : S R, (a, 0) 7 a függvény egy mu velettartó, kölcsönösen egyértelmu leképezés S és R között. A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeru en a-val jelöljük. 10 / 36

20 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

21 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

22 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

23 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

24 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak Az (a, b ) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az a + bj kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex szám képzetes része és j az imaginárius egység. Az algebrai alak elo nye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokott szabályoknak megfelelo en számolhatunk vele. 12 / 36

25 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

26 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

27 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

28 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

29 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

30 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

31 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

32 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

33 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

34 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

35 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

36 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

37 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

38 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

39 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt (a + bj )z az Az ábrán árnyalással jelzett két háromszög hasonló, mert mindegyiknek van egy derékszöge, z a + bj α a derékszögeket közrefogó oldalak aránya a két háromszögben megegyezik. A két háromszög hasonlósági aránya z. β α vt 18 / 36

40 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt Ezzel azt mutattuk meg, hogy (a + bj )z az két komplex szám szorzatának abszolút értéke megegyezik az eredeti komplex számok abszolút értékeinek szorzatával, két komplex szám szorzatának irányszöge megegyezik az eredeti komplex számok irányszögeinek összegével. z a + bj α β α vt Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nem hegyesszög, akkor a bizonyítás menete kis mértékben módosul. 18 / 36

41 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal Az elo bbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók: z1, z2 C : z1 z2 z1 z2, illetve z1, z2 C : arg(z1 z2 ) arg(z1 ) + arg(z2 ) (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 19 / 36

42 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

43 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

44 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

45 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

46 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

47 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

48 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

49 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Tétel: Binomiális tétel!!!! n n n n 1 n n 2 2 n n (a + b ) a + a b+ a b b n n ahol n k -t binomiális együtthatónak nevezzük. Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak? Kiszámítása pl. az! n! n k k!(n k )! összefüggés segítségével történhet, ahol n! : n 23 / 36

50 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

51 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

52 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

53 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

54 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

55 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

56 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

57 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

58 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

59 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

60 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

61 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z ϕ vt 1 27 / 36

62 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z Legyen z 1 + 4j Ekkor z abszolút értéke: z ϕ p q a2 + b2 ( 1) vt 1 27 / 36

63 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Az irányszög: kt 4 z tg(ϕ) Innen: ϕ vt ϕ 76 + k 180 ahol k Z 1 27 / 36

64 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Megjegyzés: A számológép a 76 alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelen sok megoldás van, hiszen a tangensfüggvény periodikus. kt 4 z ϕ vt 1 A 76 nem lehet a komplex számnak irányszöge, hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II. síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban a kapott 104 már helyes. 27 / 36

65 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z A trigonometrikus alak tehát: z 4.12 cos(104 ) + j sin(104 ) ϕ vt 1 27 / 36

66 A komplex számok trigonometrikus alakja Összeadás és kivonás Trigonometrikus alakban nem végezheto k el. Két ilyen szám összeadásához (kivonásához) elo ször át kell írni o ket algebrai alakba: Példa: z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ), z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ) 3 ( j ) j z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) 5 ( j ) j z1 + z2 ( ) + ( )j j z1 z2 ( ) ( )j j 28 / 36

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Juhász Tibor. Diszkrét matematika

Juhász Tibor. Diszkrét matematika Juhász Tibor Diszkrét matematika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Diszkrét matematika Eger, 2013 Bíráló:??? Készült a TÁMOP-412A/1-11/2011-0038 támogatásával

Részletesebben

Matematika 1 mintafeladatok

Matematika 1 mintafeladatok Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9 Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben