Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)"

Átírás

1 Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36

2 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

3 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

4 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

5 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két mu veletet: A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti mu veleteket más színnel jelöljük, mint az azonos nevu valós számok közötti mu veleteket. Összeadás: (a, b )+(c, d ) : (a + c, b + d ) Szorzás: (a, b ) (c, d ) : (ac bd, ad + bc ) Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknak nevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést. A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a második elemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük. Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valós és a képzetes részük is megegyezik. 2 / 36

6 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

7 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok halmaza mindkét mu veletre zárt, hiszen ha a, b, c, d valós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac bd és ad + bc is valós számok. A komplex számokon értelmezett összeadás kommutatív (a, b )+(c, d ) (a + c, b + d ) (c + a, d + b ) (c, d )+(a, b ) asszociatív (a, b )+(c, d ) +(e, f ) (a + c, b + d )+(e, f ) (a + c ) + e, (b + d ) + f a + (c + e ), b + (d + f ) (a, b )+(c + e, d + f ) (a, b )+ (c, d )+(e, f ) 3 / 36

8 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

9 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem), mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b )+(0, 0) (a + 0, b + 0) (a, b ) Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert a, b R esetén: (a, b )+( a, b ) a + ( a ), b + ( b ) (0, 0) 4 / 36

10 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számokon értelmezett szorzás kommutatív (a, b ) (c, d ) (ac bd, ad + bc ) (ca db, cb + da ) (c, d ) (a, b ) asszociatív (a, b ) (c, d ) (e, f ) (ac bd, ad + bc ) (e, f ) (ac bd )e (ad + bc )f, (ac bd )f + (ad + bc )e (ace bde adf bcf, acf bdf + ade + bce ) (ace adf bcf bde, acf + ade + bce bdf ) a (ce df ) b (cf + de ), a (cf + de ) + b (ce df ) (a, b ) ce df, cf + de (a, b ) (c, d ) (e, f ) 5 / 36

11 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

12 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

13 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem), mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen a, b R esetén: (a, b ) (1, 0) (a 1 b 0, a 0 + b 1) (a, b ) Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatív inverze, mert a, b R esetén: (a, b ) a a2 + b2,! b (1, 0) a2 + b2 Bizonyítás: (a, b ) a a2 + b, 2 a2 + b2 a2 a2! b + b2 + a b2 a2 + b2 a a2 + b2, b ab a2 + b2 + a2 + b2! ab a2! b + b2,a! b a2 + b2 +b a a2 + b2! a 2 + b 2 ab + ab, (1, 0) a2 + b2 a2 + b2! 6 / 36

14 Bevezetés Mu veleti tulajdonságok A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következo disztributív szabály: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert: (a, b ) (c, d )+(e, f ) (a, b ) (c + e, d + f ) a (c +e ) b (d +f ), a (d +f )+b (c +e ) (ac +ae bd bf, ad +af +bc +be ) és (a, b ) (c, d )+(a, b ) (e, f ) (ac bd, ad + bc )+(ae bf, af + be ) (ac bd + ae bf, ad + bc + af + be ) (ac + ae bd bf, ad + af + bc + be ) 7 / 36

15 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

16 Bevezetés Ábrázolás A valós számpároknak megfeleltethetjük a koordinátasík egy-egy pontját, illetve az ahhoz tartozó helyvektort. A komplex számot gyakran jelölik zvel. A komplex szám valós része egyenlo az ábrázoló vektor, illetve pont elso koordinátájával, képzetes része pedig azok második koordinátájával. képzetes tengely képzetes rész z (a, b ) b a valós tengely valós rész 8 / 36

17 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

18 Bevezetés A komplex szám abszolút értéke és irányszöge A komplex számot ábrázoló vektor hosszát a komplex szám abszolút értékének nevezzük. A z (a, b ) komplex szám abszolút értéke Pithagorasz tétele alapján: z képzetes tengely z (a, b ) b ϕ p a2 + b2 valós tengely a A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor által meghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének, (argumentumának) nevezzük. A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögek a teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól. 9 / 36

19 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Tekintsük a komplex számok halmazának S {z z C, Im(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a R. Mivel (a, 0)+(b, 0) (a + b, 0 + 0) (a + b, 0) és (a, 0) (b, 0) (ab 0 0, a b ) (ab, 0), ezért a ϕ : S R, (a, 0) 7 a függvény egy mu velettartó, kölcsönösen egyértelmu leképezés S és R között. A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeru en a-val jelöljük. 10 / 36

20 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

21 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

22 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

23 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak bevezetése Jelölés: Vezessük be a j (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes (imaginárius) egységnek nevezni. Könnyen elleno rizheto, hogy j 2 1. Valóban: (0, 1) (0, 1) ( , ) ( 1, 0) Tekintsük a komplex számok halmazának T {z z C, Re(z ) 0} részhalmazát! Ennek elemei (0, b ) alakúak, ahol b R. Mivel (b, 0) (0, 1) (b 0 0 1, b ) (0, b ), ezért (0, b ) helyett használhatjuk a bj jelölést. Figyeljük meg, hogy bj +dj (0, b )+(0, d ) (0, b + d ) (b + d )j és a +bj (a, 0)+(0, b ) (a, b ) 11 / 36

24 A komplex számok algebrai alakja Az algebrai alak Az (a, b ) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az a + bj kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex szám képzetes része és j az imaginárius egység. Az algebrai alak elo nye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokott szabályoknak megfelelo en számolhatunk vele. 12 / 36

25 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

26 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

27 A komplex számok algebrai alakja Összeadás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) + (c + dj ) (a + c ) + (b + d )j Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak. képzetes tengely A komplex számok összeadását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok összeadásával. z1 + z2 z2 Példa: z1 (3 + j ) + ( 2 + 3j ) 1 + 4j valós tengely 13 / 36

28 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

29 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

30 A komplex számok algebrai alakja Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal (a + bj ) (c + dj ) (a c ) + (b d )j A komplex számok kivonását szemléltethetjük az o ket ábrázoló vektorok kivonásával. képzetes tengely z2 z2 z1 Példa: z1 ( 2 + 3j ) (3 + j ) 5 + 2j valós tengely 14 / 36

31 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

32 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

33 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal ac bd (a + bj )(c + dj ) (ac bd ) + (ad + bc )j bcj adj Példa: (6 5j )( 1 + 3j ) j + 5j j Figyeljük meg, hogy: 6 5j 1 + 3j p j 15 / 36

34 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

35 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós (képzetes része 0): a (c + dj ) ac + adj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból a arányú középpontos hasonlósági transzformációval nyerjük. kt 2z 2d z d c c z 2c vt d 16 / 36

36 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

37 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

38 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j: j (c + dj ) cj + dj 2 d + cj A szorzatot ábrázoló vektort a z c + dj-t ábrázoló vektorból 90 -os forgatással nyerjük. kt c jz d d z c vt Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú (b R), akkor a szorzás asszociatív tulajdonsága miatt (bj )z b (jz ), tehát a szorzathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vektorból egy 90 -os elforgatás és egy b arányú középpontos hasonlóság egymásután alkalmazásával nyerjük. 17 / 36

39 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt (a + bj )z az Az ábrán árnyalással jelzett két háromszög hasonló, mert mindegyiknek van egy derékszöge, z a + bj α a derékszögeket közrefogó oldalak aránya a két háromszögben megegyezik. A két háromszög hasonlósági aránya z. β α vt 18 / 36

40 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal A szorzás szemléltetése: (a + bj ) z az + bjz bjz kt Ezzel azt mutattuk meg, hogy (a + bj )z az két komplex szám szorzatának abszolút értéke megegyezik az eredeti komplex számok abszolút értékeinek szorzatával, két komplex szám szorzatának irányszöge megegyezik az eredeti komplex számok irányszögeinek összegével. z a + bj α β α vt Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nem hegyesszög, akkor a bizonyítás menete kis mértékben módosul. 18 / 36

41 A komplex számok algebrai alakja Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal Az elo bbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók: z1, z2 C : z1 z2 z1 z2, illetve z1, z2 C : arg(z1 z2 ) arg(z1 ) + arg(z2 ) (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 19 / 36

42 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

43 A komplex számok algebrai alakja Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal Osztás: Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonként elvégezheto : a b a + bj + j c c c Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet elo ször alkalmas kifejezéssel bo vítjük, így visszavezetjük az elo zo esetre: a + bj a + bj c dj ac adj + bcj + bd c + dj c + dj c dj c 2 (dj )2 (ac + bd ) + (bc ad )j ac + bd c2 + d2 c2 + d2 + bc ad j c2 + d2 Példa: 4 + 3j 4 + 3j 2 5j 8 20j + 6j j j 2 + 5j 2 5j 29 4 (5j ) 20 / 36

44 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

45 A komplex számok algebrai alakja A komplex konjugált Definíció: Az a bj komplex számot a z a + bj komplex szám konjugáltjának nevezzük és z -vel jelöljük. Megjegyzések: kt z b ϕ ϕ b a vt z Az algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy a képzetes részét az ellentettjére változtatjuk. A komplex szám konjugáltjának abszolút értéke megegyezik az eredeti szám abszolút értékével: z z. A komplex szám konjugáltjának irányszöge az eredeti komplex szám irányszögének ellentettje (a teljesszög egész számú többszöröseito l eltekintve). 21 / 36

46 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

47 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

48 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Definíció: Ha n Z és n 1, akkor a z C szám n-edik hatványán a z z... z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezo t tartalmaz és minden tényezo je z-vel egyenlo. Jelölés: Az így értelmezett hatványt z n -nel jelöljük. Definíció: z 0 : 1 A j szám hatványai: j 0 1, j 3 j 2 j ( 1) j j, j 5 j 4 j 1 j j, j1 j, j 2 1 j 4 j 2 j 2 ( 1) ( 1) 1 j 6 j 4 j 2 1 ( 1) 1,... Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlo dnek: 1 j jn 1 j ha ha ha ha n n n n osztható 4-gyel, 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 4-gyel osztva 2 maradékot ad, 4-gyel osztva 3 maradékot ad. 22 / 36

49 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Tétel: Binomiális tétel!!!! n n n n 1 n n 2 2 n n (a + b ) a + a b+ a b b n n ahol n k -t binomiális együtthatónak nevezzük. Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak? Kiszámítása pl. az! n! n k k!(n k )! összefüggés segítségével történhet, ahol n! : n 23 / 36

50 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

51 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

52 A komplex számok algebrai alakja Hatványozás Példák: (2 + 3j ) j + (3j ) j j (3 2j ) j (2j )2 (2j ) j j 9 46j!!!!! (1 + j ) + j+ j + j j 0! 1! 2!!3!! ! 4! 6! 8! 10!! j 32j / 36

53 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

54 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

55 A komplex számok trigonometrikus alakja A trigonometrikus alak kt A szögfüggvények definíciója alapján a z a + bj komplex szám valós része a r cos(ϕ), képzetes része pedig b r sin(ϕ), ahol r z a komplex szám abszolút értéke, ϕ pedig az irányszöge. z a + bj b r ϕ a vt Tehát z r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz z r cos(ϕ) + j sin(ϕ) Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához a komplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség! 25 / 36

56 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

57 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

58 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

59 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

60 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között trigonometrikus algebrai A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha a szögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszeru bb alakra hozzuk. Példák: 2 cos(30 ) + j sin(30 ) j 3 + j j 13 cos(213 ) + j sin(213 ) 13( j ) j 7.5 cos π 5 π 7.5( ) j 2 cos(30) + j sin(30) 2( j ) j sin 5 26 / 36

61 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z ϕ vt 1 27 / 36

62 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z Legyen z 1 + 4j Ekkor z abszolút értéke: z ϕ p q a2 + b2 ( 1) vt 1 27 / 36

63 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Az irányszög: kt 4 z tg(ϕ) Innen: ϕ vt ϕ 76 + k 180 ahol k Z 1 27 / 36

64 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: Megjegyzés: A számológép a 76 alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelen sok megoldás van, hiszen a tangensfüggvény periodikus. kt 4 z ϕ vt 1 A 76 nem lehet a komplex számnak irányszöge, hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II. síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban a kapott 104 már helyes. 27 / 36

65 A komplex számok trigonometrikus alakja Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között algebrai trigonometrikus Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét és irányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot. Példa: kt 4 z A trigonometrikus alak tehát: z 4.12 cos(104 ) + j sin(104 ) ϕ vt 1 27 / 36

66 A komplex számok trigonometrikus alakja Összeadás és kivonás Trigonometrikus alakban nem végezheto k el. Két ilyen szám összeadásához (kivonásához) elo ször át kell írni o ket algebrai alakba: Példa: z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ), z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) z1 3 cos(40 ) + j sin(40 ) 3 ( j ) j z2 5 cos(154 ) + j sin(154 ) 5 ( j ) j z1 + z2 ( ) + ( )j j z1 z2 ( ) ( )j j 28 / 36

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Juhász Tibor. Diszkrét matematika

Juhász Tibor. Diszkrét matematika Juhász Tibor Diszkrét matematika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Diszkrét matematika Eger, 2013 Bíráló:??? Készült a TÁMOP-412A/1-11/2011-0038 támogatásával

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.

Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél. Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

MATEMATIKA. Szakközépiskola

MATEMATIKA. Szakközépiskola MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam

Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné

Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK. Példák és feladatok. Szerkesztette Láng Csabáné Bruder Györgyi és Láng Csabáné KOMPLEX SZÁMOK Példák és feladatok Szerkesztette Láng Csabáné Lektorálta Burcsi Péter c Bruder Györgyi és Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008--6 javított kiadás Ez a példatár

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Diszkrét matematika I. feladatok

Diszkrét matematika I. feladatok Diszkrét matematika I feladatok 1 Teljes indukció 11 Könnyebb Teljes indukcióval bizonyítsd be az alábbi összefüggéseket: 1 1 + + 3 + + n = 1 + + 3 + + n = n(n + 1) 3 1 + 3 + + n(n + 1) = n(n + 1)(n +

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat

NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat NT-17312 Az érthető matematika 11. Tanmenetjavaslat Idézet a 3.2.04. kerettantervből (11 12. évfolyam, bevezetés): Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Végeredmények, feladatok részletes megoldása

Végeredmények, feladatok részletes megoldása Végeredmények, feladatok részletes megoldása I. Kombinatorika, gráfok Sorba rendezési problémák (Ismétlés). Részhalmaz-kiválasztási problémák, vegyes összeszámlálási feladatok (Ismétlés). Binomiális együtthatók,

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra

9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra 9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások

Gonda János POLINOMOK. Példák és megoldások Gonda János POLINOMOK Példák és megoldások ELTE Budapest 007-11-30 IK Digitális Könyvtár 4. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Bui Minh Phong Láng Csabáné Szerkesztette: Láng Csabáné c

Részletesebben

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA 9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17202 Matematika 10. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 10. tankönyv A Heuréka-sorozat tagja, így folytatása a Matematika 9. tankönyvnek. Ez a kötet is elsősorban

Részletesebben

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból

Miért van az, hogy a legtöbben. a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak? Részletek a szövegértést fejleszt, kidolgozott feladatlapokból Elszó 0 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

OECD adatlap - Tanmenet

OECD adatlap - Tanmenet OECD adatlap - Tanmenet Iskola neve: IV. Béla Általános Iskola Iskola címe: 3664, Járdánháza IV. Béla út 131. Tantárgy: Matematika Tanár neve: Lévai Gyula Csoport életkor (év): 13 Kitöltés dátuma 2003.

Részletesebben

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam

MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Bácsó Sándor Diszkrét Matematika I. egyetemi jegyzet mobidiák

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben