Függvények határértéke, folytonossága

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények határértéke, folytonossága"

Átírás

1 Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a határértéket. Nyilvánvaló, hogy a számláló is és a nevez is végetelenhez tart, így típusú a határérték. Úgyanúgy járhatunk el, mint a sorozatok esetében, tehát egyszer sítjük a törtet a nevez leggyorsabban végtelenhez tartó részével. Ez jelen esetben az = A 4 2 és a 9 véges mindegyike -hoz tart, hiszen 3 Ennek következtében az eredeti határérték: = = típusúak. Kérdés ezután, hogy mennyit változik a helyzet, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a határértéket. Ekkor a számláló és a nevez nyilván mínusz végtelenhez tartanak, hiszen a negatív, akkor 3 is negatív. A határérték tehát most típusú. Ez azonban a megoldás további lépésit nem befolyásolja. Ugyanazt az egyszer sítést hajthatjuk végre, mint az el bb, s utána ugyanazok a részek fognak -hoz tartani. Ennek következtében ugyanazt a határértéket kapjuk a mínusz végtelenben is = = = 2 5 3

2 Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben ugyanaz a szám a határértéke. 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét + 3 a végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha, akkor nyilván egyszer sítsünk 2 -tel = típusú a határérték. Most Most három részlet is -hoz tart, az 5, a 6 2 és a 3. Ebb l következ en a függvény határértéke: = 2 + = Ha mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor csak annyi a változás, hogy a határérték típusú. (A számlálóban mínusz végtelenhez tart, de mivel a nevez ben 2 áll, így az végtelenhez tart.) A megoldás egyébként ugyanúgy történik, tehát az alábbiakat írhatjuk: = = 2 + = Ennek a függvénynek is megegyezik a végtelenben és a mínusz végtelenben a határértéke. 3. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor nyilván típusú a határérték. Most -szel célszer egyszer síteni = A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 a -hoz tart. A számlálóban a 3 végtelenhez tart. Ebb l következ en a függvény határértéke: 2

3 = = A függvénynek tehát nincs határértéke a végtelenben. A mínusz végtelenben vizsgálva a függvényt típusú a határérték. Ez a megoldás lépéseit nem befolyásolja, tehát egyszer sítünk -szel = A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 most is a -hoz tart. Viszont a számlálóban a 3 most a mínusz végtelenhez tart. Ebb l következ en a határérték: = = A függvénynek tehát mínusz végtelenben sincs határértéke. Ennek a a függvénynek nincs határértéke sem a végtelenben, sem a mínusz végtelenben, és nem azonos módon divergens a két helyen. 4. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben. Megoldás: A határérték nyilvánvalóan típusú. Hasonló feladatokkal már találkoztunk a sorozatoknál. Járjunk el ugyanúgy, mint ott, azaz gyöktelenítsünk. ( ) = ( )( ) = = (2 + 3) (2 ) 4 = = A számlálóban már csak egy konstans áll, míg a nevez a végtelenhez tart, tehát véges típusú a határérték. Ennek következtében: 4 = Megjegyzés: Ennek a függvénynek a határértékér l nincs értelme beszélni a mínusz végtelenben, hiszen a függvény nincs értelmezve a mínusz végtelen 'környezetében'. 3

4 ( ) 2 5. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben. Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a függvényt. Sorozatoknál találkoztunk hasonló feladattal, s ahogyan ott tettük, úgy most is belátható, hogy típusú a határérték. Alakítsuk át a hatvány alapjában lev törtet. Bontsuk két tört összegére, s az els törtet egyszer sítsük. ( ) 2 ( = 2 ) = ( 2 ) = ( + 2 ( + k ) = e k, ezért már készen is vagyunk, Mivel tudjuk, hogy hiszen most csak annyi a különbség, hogy k szerepét a 2 tölti be. Ennek következtében: ( ) = e A kérdés ezután, mi változik, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt. Ekkor a határérték típusa. Ez is kritikus, akárcsak az. Az átalakítás lépései azonasak azzal, amikor végtelenben vizsgáljuk a határértéket. = ( ) 2 ( = 2 ( + 2 ) Az is igaz, hogy ( + 2 ) = e 2 ) = ( 2 ) = ( + k ) = e k. Ennek következtében: Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben azonos a határértéke. 6. Feladat: Határozzuk meg az f() = ( ) 2 függvény határértékét 2 és esetén! Megoldás: A függvénynek most nem valamelyik végtelenben kell meghatároznunk a határértékét, hanem véges helyen. Ilyenkor, ha az adott hely eleme az értelmezési tartománynak, és a függvényt folytonos függvényekb l állítottuk el m veletekkel, akkor egyszer en csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. Ennek következtében: ( ) 2 = (2 ) 2 = 5 = 5. Érdekesebb a helyzet, amikor. Az nem eleme a függvény értelmezési tartományának, hiszen a nevez ben ekor állna. Ez azt je- ) 4

5 lenti, hogy a nevez nek létezik határértéke ha, és az. Ugyanez másképp írva: ( )2 = ( ) 2 =. A számlálónak is létezik határértéke, és azt megint egyszer behelyettesítéssel kapjuk. ( ) = = 8 Olyan tört határértéke tehát a kérdés, amelynek számlálója egy nem zérus számhoz, nevez je pedig -hoz tart. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a határérték típusa véges. Gondoljunk bele, ha egy véges értéket, mely nem zérus, -hoz egyre közelebbi értékkel osztunk, akkor a tört abszolút értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy valamelyik végtelenhez tart ekkor a függvény. Fontos szerep jut ilyenkor az el jeleknek, mert azok döntik el, hogy melyik végtelenhez tart a függvény. A számláló pozitív értékhez tart, tehát annak el jele +. A nevez is biztosan pozitívan közeledik a - hoz, hiszen ott valaminek a négyzete áll. Ezt úgy is mondhatnánk, hogy ha közel van az -hez, akkor a nevez közel van a -hoz, és pozitív értéket vesz fel. Mivel mind a számláló, mind a nevez pozitív, így a tört is pozitív, ezért a határérték a + lesz. (A pozitív el jelet csak azért tettük ki, hogy jobban hangsúlyozzuk, melyik végtelenr l van szó.) Másképp ezt úgy is írhatjuk, hogy ( ) 2 =, mert a határérték +véges + azt, hogy a nevez pozitívan közeledik a -hoz. típusú. Itt a + jelöli 7. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény, mert ott a nevez zérus lenne. A nevez tehát itt -hoz tart. (2 ) = 2 = Így a határérték egyszer behelyettesítéssel nem kapható meg. A számláló határértéke a következ : ( ) = = 8. A határérték típusa tehát olyan, mint az el z feladatban, azaz véges. Abban van a különbség, hogy most a nevez el jele nem egyértelm en pozitív, mint az el bb. Ezért is kell külön vizsgálnunk balról és jobbról a függvényt. 5

6 Ha balról tart -hez, azaz <, akkor 2 <, tehát a nevez negatív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték lesz. Jelölésben: =. Ha jobbról tart -hez, azaz >, akkor 2 >, tehát a nevez pozitív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték + lesz. + Jelölésben: = +. Enek a függvénynek az = helyen balról és jobbról sincs határértéke, s a két oldalon nem ugyanúgy divergens. 8. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény. A nevez határértéke itt: (2 ) = 2 =. A számláló határértéke: ( ) = = Jelen esetben egy típusú határértékünk van. Ez kritikus típus. Át kell alakítanunk a törtet a határérték meghatározásához. Az eddigiekben kiderült, hogy a számlálóban és nevez ben álló polinomnak is zérushelye az. Ez azt jelenti, mindkett szorzattá bontható úgy, hogy a szorzat egyik tényez je. A szorzatok másik tényez je ezután már könnyen meghatározható. A számláló: = ( )( 3). A nevez : 2 = ( )( + ). Írjuk be ezeket a törtbe ( )( 3) 2 = ( )( + ) Egyszer sítsük a törtet. ( )( 3) ( )( + ) = 3 + Ebbe a törtbe már behelyettesíthet az, így megkapjuk a határértéket. 3 + = 3 + = 2 2 = 6

7 tg 3 9. Feladat: Határozzuk meg a 5 határértéket! Megoldás: Behelyettesítéssel vizsgáljuk meg, hova tart a számláló és a nevez. tg 3 = tg (3 ) = tg = 5 = 5 = Mindkett -hoz tart, így típusú a határérték. Alakítsuk át a függvényt. sin 3 tg 3 5 = cos 3 sin 3 = 5 cos 3 5 Mivel cos 3 = cos(3 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második tört ehhez hasonlóvá alakítható, csak azt kell elérnünk, hogy a nevez ben ne 5, hanem 3 álljon. Ezt könnyen elérhetjük, ha 3-mal b vítünk, majd átcsoportosítjuk a tényez ket. sin 3 cos 3 5 = sin 3 cos = sin 3 cos A 3 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k határértékeinek 5 szorzataként kapjuk. sin 3 cos = 3 5 cos 3 sin 3 3 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 3 = cos(3 ) = sin A második tényez lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 3 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 3 új változót. Ha, akkor nyilván t 3 =. sin 3 3 = sin t =. t t Ezek alapján az eredeti határérték: 3 5 cos 3 sin 3 3 = 3 5 = 3 5. Feladat: Határozzuk meg a e határértéket!

8 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = e = = 7 = 7 = A határérték tehát típusú. e Tudjuk, hogy =. Célszer lenne ehhez hasonlóvá alakítani a határértékünket. Az lenne jó, ha a nev ben nem 7 állna, hanem 4. Az el z feladat megoldásához hasonlóan, most is b vítsünk, majd csoportosítsuk át a tényez ket. e 4 e 4 = = A konstans szorzót emeljük ki. e = 4 7 e 4 4 e 4 4 e A határérték ezután lényegében megegyezik a határértékkel, csak szerepét a 4 vette át. Vezessük be a t = 4 új változót. Ha, akkor t 4 =. 4 7 e 4 = e t = 4 t t 7 = 4 7 {. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 + 3, ha 4, ha < Megoldás: A függvényt csak azon a helyen kell vizsgálni, ahol megváltozik a hozzárendelés szabálya, azaz a = -ben. Ezen kívül biztosan folytonos a függvény, mert folytonos függvények szerepelnek a hozzárendelési szabályban. Akkor lesz folytonos az a = helyen a függvény, ha itt létezik jobb és bal oldali határértéke, ezek megegyeznek, és egyenl k a függvény ezen helyen vett helyettesítési értékével. Határozzuk meg ezt a három értéket. Kezdjük a függvény helyettesítési értékével. f() = = 4 Határozzuk meg a bal oldali határértéket. Csak be kell helyettesítenünk a megfelel hozzárendelésbe. f() = (2 + 3) = = 4 Ezután nézzük a jobb oldali határértéket. Most is csak be kell helyettesítenünk, de természetesen a másik hozzárendelésbe. f() = = 4 = 4 Amint látható, megegyezik a három érték, így a függvény folytonos

9 2. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 +, ha < 2 6, ha 2 Megoldás: Az el z feladathoz hasonlóan, csak azon a helyen kell vizsgálnunk a függvényt, ahol változik a hozzárendelés szabálya, tehát az a = 2 helyen. Határozzuk meg itt a függvény értékét, valamint bal és jobb oldali határértékét. A helyettesítési érték az a = 2 helyen: f(2) = 6 2 = 3. A bal oldali határérték: f() = 2 2 (2 + ) = = 5 Már ezen két érték nem egyezik meg, tehát a függvény nem folytonos az a = 2 helyen. Bár a kérdésre már válaszoltunk, mégis határozzuk meg a jobb oldali határértéket is. f() = = 6 2 = 3 Látható, hogy a helyettesítési érték és a jobb oldali határérték megegyezik. A függvény tehát jobbról folytonos az a = 2 helyen is, csak balról nem folytonos itt. 2. Összetett feladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékeit az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Határrozzuk meg el ször az értelmezési tartományt. Egyetlen kikötést kell tennünk, a nevez nem lehet zérus. Célszer átalakítani a tört nevez jét, mert felismerhet, hogy egy els fokú kifejezés négyete. f() = = f() = ( 3) 2 Ezután tegyük meg a kikötést. ( 3) D f = IR \ {3} = (, 3) (3, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a 3-nál. A 3-hoz azonban két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Ez összesen négy határérték lesz. Vizsgáljuk el ször a ± -ben a függvényt. A határérték típusa mindkét esetben, így 2 -tel célszer egy szer síteni, mert az n leggyorsabban. 9

10 ± = ± = + + = 2 A függvény tehát mind a plussz, mind a mínusz végtelenben -hez tart. Ezután vizsgáljuk 3-ban balról a függvényt. A számláló határértéke: A nevez határértéke: 3 ( ) = = 3 ( ) = = A határérték tehát típusú. Most a számlálót és a nevez t szorzattá kell bontanunk. Ez a nevez ben már meg is történt, amikor els fokú kifjezés négyzeteként írtuk fel. Mivel a számlálónak is zérushelye a 3, ezért a számlálóban is 3 lesz az egyik tényez. A másik tényez ezután már egyértelm = ( 3)( 5) Írjuk be a szorzattá bontott alakokat, és egyszer sítsünk = ( 3)( 5) 5 3 ( 3) 2 = 3 3 Most vizsgáljuk meg újra a határérték típusát. A számláló határértéke: ( 5) = 3 5 = 2 3 A nevez határértéke: ( 3) = (3 ) 3 = 3 A határérték tehát véges típusú. A függvény ilyen esetben valamelyik végtelenhez tart, a számláló és a nevez elejele dönti el, hogy melyik végtelenhez. Mivel most mindkett negatív, így a tört pozitív, azaz + -hez tart balról a függvény = + Ha jobbról vizsgáljuk a függvényt a 3-ban, akkor ugyanígy alakítjuk át = A számláló határértéke nyilván ekkor is 2. Abban van különbség, hogy más ekkor a nevez el jele. A nevez határértéke: ( 3) = (3 + ) 3 = + 3+ Mivel most negatívat pozitívval osztunk, így a tört negatív lesz, s ebb l következ en err l az oldalról a határérték =

11 A függvény tehát a 3 helyen egyik oldalról + -hez, másik oldalról pedig -hez tart, azaz nincs határértéke ezen a helyen. Még csak azt sem mondhatjuk, hogy + -hez, vagy -hez tart ezen a helyen, hiszen a két oldalon nem ugyanahhoz a végtelenehez tart 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = e / függvény határértékeit az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Kezdjük az értelmezési tartomány meghatározásával. Mivel a kitev ben egy tört áll, ki kell kötnünk, hogy a nevez nem zérus, azaz. D f = IR \ {} = (, ) (, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a -nál. A -hoz két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Összesen tehát ismét négy határérték a kérdés. Vizsgáljuk el ször a ± ben a függvényt. Mivel egy összetett függvény határértéke a kérdés, ezért úgy járhatunk el, hogy el ször meghatározzuk a bels függvény határértékét, majd a küls függvény határértékét azon a helyen, ahova a bels függvény tart. Nézzük tehát a bels függvény határértékét. ± = Ezután következhet a küls függvény. Vezessük be a t = új változót. Ha ±, akkor nyilván t. Ennek következtében: ± e/ = e t. t Ezt a határétéket pedig egyszer behelyettesítéssel kapjuk. t et = e = Ezután vizsgáljuk a függvényt -nál balról. A bels függvény határértéke, =, hiszen egy véges típusú határértékr l van szó, ahol a számláló pozitív, a nevez pedig negatív. Legyen ismét t =. Ha, akkor nyilván t. Ebb l következ en: e/ = t et =. Ez a határérték az eponánciális függvény grakonjáról leolvasható. Végül vizsgáljuk a függvényt -nál jobbról. véges A bels függvény határértéke, = +, hiszen egy + típusú határértékr l van szó, ahol a számláló is pozitív, és a nevez is pozitív.

12 . ábra. Az f() = e függvény Legyen most is t =. Ha +, akkor nyilván t +. Ebb l következ en: + e/ = t + et =. Ez a határérték is leolvasható az eponánciális függvény grakonjáról Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. 2 = 2 = ( ) = = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy típusú határértékkel van dolgunk. Mivel a nevez ben két gyökös kifejezés különbségét látjuk, ezért célszer gyöktelenítéssel próbálkozni = 2( ) = ( )( ) = 2( ) 2( ) = = (3 + 2) (3 2) 4 2

13 Ha most újra vizsgálnánk a határérték típusát, akkor az nyilván lenne. Látható, hogy 2-szel tudunk egyszer síteni. 2( ) = 4 2 Így a nev ben csak egy konstans maradt, tehát nem lehet már kritikus a tört, s ezért a határérték behelyettesítéssel megkapható = = 2 3 = tg 5 4. Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 2 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. tg 5 = tg 5 = sin 2 = sin(2 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a Az alapfeladatok között találkoztunk már hasonlóval. Alakítsuk át a függvényt annak mintájára, mint akkor. tg 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 Mivel cos 5 = cos(5 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második törtben a számláló is a nevez is ehhez hasonlóvá alakítható. Mindkét helyen b vítenünk kell, a számlálóban 5-szel, a nevez ben pedig 2-szel. sin 5 sin 5 cos 5 sin 2 = cos sin Bontsuk ezt tovább törtek szorzatára, és egyszer sítsünk. sin 5 cos = sin 2 2 = 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 3

14 = cos 5 sin 5 5 sin Az 5 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k, határértékeinek 2 szorzataként kapjuk. A második tényez ben lev tört esetében pedig külön határozzuk meg a számláló és a nevez határértékét. sin 5 sin 5 cos sin 2 2 = 5 2 cos 5 5 = sin = 5 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 5 = cos(5 ) = sin A másik két határérték lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 5, illetve 2 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 5 és u = 2 új változókat. Ha, akkor nyilván t 5 = és u 2 =. sin 5 5 = sin t =. t t sin 2 2 = sin u u u =. Ezek alapján az eredeti határérték: sin cos 5 5 = 5 2 = 5 2 sin 2 2 e 5. Feladat: 4 Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 3 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = sin 3 = sin(3 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a 4

15 Korábban már szerepelt két nevezetes határérték, melyekben hasonló részletek fordulnak el, mint a feladatunkban. Ezen határértékek az alábbiak. sin = e = Próbáljunk meg ezekhez hasonló részeket kialakítani, mert akkor azoknak ismert lesz a határéértéke. Nagyon jó lenne, ha az e 4 osztva lenne 4-szel, hiszen akkor lényegében a második nevezetes határéértéket kapnánk, csak szerepét a 4 venné át. Elérhetjü, hogy ez megjelenjen, ha a számlálóban osztunk is és szorzunk is 4-szel. Hasonlóan jó lenne, ha a nevez ben a sin 3 osztva lenne 3-szel, mert akkor egy olyan részletünk lenne, mely lényegében az els nevezetes határértékkel egyezne meg, csak szerepét a 3 töltené be. Ezt is elérhetjük, ha a nevez t osztjuk is és szorozzuk is 3-szel. e 4 e 4 4 sin 3 = 4 sin Bontsuk fel ezt két tört szorzatára, majd egyszer sítsük a második törtet. e 4 4 sin = e 4 4 sin = e 4 4 sin A 4 3 kiemelhet, és külön vehetjük a számláló és a nevez határértékét. e 4 4 sin = 4 3 e 4 4 sin 3 3 A számlálóban vezessük be t = 4 új változót, ekkor esetén t. Ebb l következ en: e 4 e t = = 4 t t Hasonlóan a nevez ben legyen u = 3. Ha, akkor u. Ezek után: sin 3 3 = sin u u u =. 5

16 Felhasználva a részeredményeket: 4 3 e 4 4 sin 3 3 = 4 3 = Feladat: Vizsgáljuk meg, hol nem folytonos az alábbi függvény! 2 9 3, ha IR \ {, ±3} 9 f() =, ha = 3 3, ha =, ha = 3 Megoldás: A függvény nyilván folytonos az IR \ {, ±3} halmazon, hiszen itt hozzárendelési szabálya olyan, hogy folytonos függvényekb l állítjuk el m veletekkel. Elég tehát a és ±3 helyeken vizsgálni a függvényt. Mindegyik helyen ki kell számolni a helyettesítési értéket, valamint vizsgálni a határértéket balról, illetve jobbról, s ahol nem egyezik meg ez a három érték, ott nem folytonos a függvény. A határértékek meghatározásához célszer egyszer síteni a függvény hozzárendelési szabályában szerepl törtet = 2 9 ( 2 9) = Vizsgáljuk a függvényt el ször az a = 3 helyen. Mivel az egyszer sítés utáni törtbe behelyettesíthet a 3, így itt nem kell külön balról és jobbról is határértéket meghatároznunk, mert a kett biztosan egyenl, s ez a függvény határértéke ezen a helyen. 2 9 f() = = 3 = 3 = 3 Ez megegyezik a függyvény értékével ezen a helyen, hisz a függvény meghatározása szerint f( 3) =. A függvény tehát folytonos az 3 a = 3 helyen. Nézzük ezután a b = 3 helyen a függvényt. Itt sem kell külön venni a két oldalról a határértéket, mert a 3-at is be lehet helyettesíteni az egyszer sítés után kapott törtbe. f() = = 3 = 3 Ez nem egyezik meg a függvény értékével ezen a helyen, hisz f(3) = a függvény meghatározása szerint. A 3 helyen tehát nem folytonos a függvény. Végül vizsgáljuk a c = helyen is a függvényt. A -t nem lehet behelyettesíteni az egyszer sítés utáni törtbe sem, így itt külön kell venni a bal oldali és jobb oldali határértéket. 6

17 2 9 f() = 3 9 = = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló pozitív a nevez pedig negatív. Mivel nincs balról határértéke ezen a helyen a függvénynek, így nem folytonos ezen a helyen. A kérdésre már válaszoltunk, de érdemes azért meghatározni a jobb oldali határértéket is. f() = = + = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló is és a nevez is pozitív. A függvény tehát két helyen nem folytonos, a és a 3 helyeken. Megjegyzés: A két szakadás között különbség van. A 3 helyen lehetne olyan értéket adni a függvénynek, hogy ott is folytonos legyen, így ezt megszüntethet szakadásnak nevezzük. A helyen azonban bármilyen értéke is lenne a függvénynek, nem lenne folytonos, így ez nem megszüntethet szakadás. 7

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik. Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el

Részletesebben

Konvexitás, elaszticitás

Konvexitás, elaszticitás DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat

Teljes függvényvizsgálat Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor

Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Általános és Középiskolai alapismeretek

Általános és Középiskolai alapismeretek Általános és Középiskolai alapismeretek Balázs István Bogya Norbert Csányi János Dudás János Fülöp Vanda Szíjjártó András Zarnócz Tamás https://www.youtube.com/playlist?list=plm_pndtn9bap8udvkotuuxovynnsul.

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben