Függvények határértéke, folytonossága

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények határértéke, folytonossága"

Átírás

1 Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a határértéket. Nyilvánvaló, hogy a számláló is és a nevez is végetelenhez tart, így típusú a határérték. Úgyanúgy járhatunk el, mint a sorozatok esetében, tehát egyszer sítjük a törtet a nevez leggyorsabban végtelenhez tartó részével. Ez jelen esetben az = A 4 2 és a 9 véges mindegyike -hoz tart, hiszen 3 Ennek következtében az eredeti határérték: = = típusúak. Kérdés ezután, hogy mennyit változik a helyzet, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a határértéket. Ekkor a számláló és a nevez nyilván mínusz végtelenhez tartanak, hiszen a negatív, akkor 3 is negatív. A határérték tehát most típusú. Ez azonban a megoldás további lépésit nem befolyásolja. Ugyanazt az egyszer sítést hajthatjuk végre, mint az el bb, s utána ugyanazok a részek fognak -hoz tartani. Ennek következtében ugyanazt a határértéket kapjuk a mínusz végtelenben is = = = 2 5 3

2 Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben ugyanaz a szám a határértéke. 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét + 3 a végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha, akkor nyilván egyszer sítsünk 2 -tel = típusú a határérték. Most Most három részlet is -hoz tart, az 5, a 6 2 és a 3. Ebb l következ en a függvény határértéke: = 2 + = Ha mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor csak annyi a változás, hogy a határérték típusú. (A számlálóban mínusz végtelenhez tart, de mivel a nevez ben 2 áll, így az végtelenhez tart.) A megoldás egyébként ugyanúgy történik, tehát az alábbiakat írhatjuk: = = 2 + = Ennek a függvénynek is megegyezik a végtelenben és a mínusz végtelenben a határértéke. 3. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben! Megoldás: Ha végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor nyilván típusú a határérték. Most -szel célszer egyszer síteni = A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 a -hoz tart. A számlálóban a 3 végtelenhez tart. Ebb l következ en a függvény határértéke: 2

3 = = A függvénynek tehát nincs határértéke a végtelenben. A mínusz végtelenben vizsgálva a függvényt típusú a határérték. Ez a megoldás lépéseit nem befolyásolja, tehát egyszer sítünk -szel = A számlálóban álló 9, és nevez ben lev 7 most is a -hoz tart. Viszont a számlálóban a 3 most a mínusz végtelenhez tart. Ebb l következ en a határérték: = = A függvénynek tehát mínusz végtelenben sincs határértéke. Ennek a a függvénynek nincs határértéke sem a végtelenben, sem a mínusz végtelenben, és nem azonos módon divergens a két helyen. 4. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben. Megoldás: A határérték nyilvánvalóan típusú. Hasonló feladatokkal már találkoztunk a sorozatoknál. Járjunk el ugyanúgy, mint ott, azaz gyöktelenítsünk. ( ) = ( )( ) = = (2 + 3) (2 ) 4 = = A számlálóban már csak egy konstans áll, míg a nevez a végtelenhez tart, tehát véges típusú a határérték. Ennek következtében: 4 = Megjegyzés: Ennek a függvénynek a határértékér l nincs értelme beszélni a mínusz végtelenben, hiszen a függvény nincs értelmezve a mínusz végtelen 'környezetében'. 3

4 ( ) 2 5. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben. Megoldás: Vizsgáljuk el ször végtelenben a függvényt. Sorozatoknál találkoztunk hasonló feladattal, s ahogyan ott tettük, úgy most is belátható, hogy típusú a határérték. Alakítsuk át a hatvány alapjában lev törtet. Bontsuk két tört összegére, s az els törtet egyszer sítsük. ( ) 2 ( = 2 ) = ( 2 ) = ( + 2 ( + k ) = e k, ezért már készen is vagyunk, Mivel tudjuk, hogy hiszen most csak annyi a különbség, hogy k szerepét a 2 tölti be. Ennek következtében: ( ) = e A kérdés ezután, mi változik, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt. Ekkor a határérték típusa. Ez is kritikus, akárcsak az. Az átalakítás lépései azonasak azzal, amikor végtelenben vizsgáljuk a határértéket. = ( ) 2 ( = 2 ( + 2 ) Az is igaz, hogy ( + 2 ) = e 2 ) = ( 2 ) = ( + k ) = e k. Ennek következtében: Ennek a függvénynek tehát a végtelenben és a mínusz végtelenben azonos a határértéke. 6. Feladat: Határozzuk meg az f() = ( ) 2 függvény határértékét 2 és esetén! Megoldás: A függvénynek most nem valamelyik végtelenben kell meghatároznunk a határértékét, hanem véges helyen. Ilyenkor, ha az adott hely eleme az értelmezési tartománynak, és a függvényt folytonos függvényekb l állítottuk el m veletekkel, akkor egyszer en csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. Ennek következtében: ( ) 2 = (2 ) 2 = 5 = 5. Érdekesebb a helyzet, amikor. Az nem eleme a függvény értelmezési tartományának, hiszen a nevez ben ekor állna. Ez azt je- ) 4

5 lenti, hogy a nevez nek létezik határértéke ha, és az. Ugyanez másképp írva: ( )2 = ( ) 2 =. A számlálónak is létezik határértéke, és azt megint egyszer behelyettesítéssel kapjuk. ( ) = = 8 Olyan tört határértéke tehát a kérdés, amelynek számlálója egy nem zérus számhoz, nevez je pedig -hoz tart. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a határérték típusa véges. Gondoljunk bele, ha egy véges értéket, mely nem zérus, -hoz egyre közelebbi értékkel osztunk, akkor a tört abszolút értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy valamelyik végtelenhez tart ekkor a függvény. Fontos szerep jut ilyenkor az el jeleknek, mert azok döntik el, hogy melyik végtelenhez tart a függvény. A számláló pozitív értékhez tart, tehát annak el jele +. A nevez is biztosan pozitívan közeledik a - hoz, hiszen ott valaminek a négyzete áll. Ezt úgy is mondhatnánk, hogy ha közel van az -hez, akkor a nevez közel van a -hoz, és pozitív értéket vesz fel. Mivel mind a számláló, mind a nevez pozitív, így a tört is pozitív, ezért a határérték a + lesz. (A pozitív el jelet csak azért tettük ki, hogy jobban hangsúlyozzuk, melyik végtelenr l van szó.) Másképp ezt úgy is írhatjuk, hogy ( ) 2 =, mert a határérték +véges + azt, hogy a nevez pozitívan közeledik a -hoz. típusú. Itt a + jelöli 7. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény, mert ott a nevez zérus lenne. A nevez tehát itt -hoz tart. (2 ) = 2 = Így a határérték egyszer behelyettesítéssel nem kapható meg. A számláló határértéke a következ : ( ) = = 8. A határérték típusa tehát olyan, mint az el z feladatban, azaz véges. Abban van a különbség, hogy most a nevez el jele nem egyértelm en pozitív, mint az el bb. Ezért is kell külön vizsgálnunk balról és jobbról a függvényt. 5

6 Ha balról tart -hez, azaz <, akkor 2 <, tehát a nevez negatív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték lesz. Jelölésben: =. Ha jobbról tart -hez, azaz >, akkor 2 >, tehát a nevez pozitív. Ekkor a határérték +véges típusú, így a határérték + lesz. + Jelölésben: = +. Enek a függvénynek az = helyen balról és jobbról sincs határértéke, s a két oldalon nem ugyanúgy divergens. 8. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékét az = helyen balról és jobbról! Megoldás: Az = helyen nem értelmezhet a függvény. A nevez határértéke itt: (2 ) = 2 =. A számláló határértéke: ( ) = = Jelen esetben egy típusú határértékünk van. Ez kritikus típus. Át kell alakítanunk a törtet a határérték meghatározásához. Az eddigiekben kiderült, hogy a számlálóban és nevez ben álló polinomnak is zérushelye az. Ez azt jelenti, mindkett szorzattá bontható úgy, hogy a szorzat egyik tényez je. A szorzatok másik tényez je ezután már könnyen meghatározható. A számláló: = ( )( 3). A nevez : 2 = ( )( + ). Írjuk be ezeket a törtbe ( )( 3) 2 = ( )( + ) Egyszer sítsük a törtet. ( )( 3) ( )( + ) = 3 + Ebbe a törtbe már behelyettesíthet az, így megkapjuk a határértéket. 3 + = 3 + = 2 2 = 6

7 tg 3 9. Feladat: Határozzuk meg a 5 határértéket! Megoldás: Behelyettesítéssel vizsgáljuk meg, hova tart a számláló és a nevez. tg 3 = tg (3 ) = tg = 5 = 5 = Mindkett -hoz tart, így típusú a határérték. Alakítsuk át a függvényt. sin 3 tg 3 5 = cos 3 sin 3 = 5 cos 3 5 Mivel cos 3 = cos(3 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második tört ehhez hasonlóvá alakítható, csak azt kell elérnünk, hogy a nevez ben ne 5, hanem 3 álljon. Ezt könnyen elérhetjük, ha 3-mal b vítünk, majd átcsoportosítjuk a tényez ket. sin 3 cos 3 5 = sin 3 cos = sin 3 cos A 3 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k határértékeinek 5 szorzataként kapjuk. sin 3 cos = 3 5 cos 3 sin 3 3 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 3 = cos(3 ) = sin A második tényez lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 3 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 3 új változót. Ha, akkor nyilván t 3 =. sin 3 3 = sin t =. t t Ezek alapján az eredeti határérték: 3 5 cos 3 sin 3 3 = 3 5 = 3 5. Feladat: Határozzuk meg a e határértéket!

8 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = e = = 7 = 7 = A határérték tehát típusú. e Tudjuk, hogy =. Célszer lenne ehhez hasonlóvá alakítani a határértékünket. Az lenne jó, ha a nev ben nem 7 állna, hanem 4. Az el z feladat megoldásához hasonlóan, most is b vítsünk, majd csoportosítsuk át a tényez ket. e 4 e 4 = = A konstans szorzót emeljük ki. e = 4 7 e 4 4 e 4 4 e A határérték ezután lényegében megegyezik a határértékkel, csak szerepét a 4 vette át. Vezessük be a t = 4 új változót. Ha, akkor t 4 =. 4 7 e 4 = e t = 4 t t 7 = 4 7 {. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 + 3, ha 4, ha < Megoldás: A függvényt csak azon a helyen kell vizsgálni, ahol megváltozik a hozzárendelés szabálya, azaz a = -ben. Ezen kívül biztosan folytonos a függvény, mert folytonos függvények szerepelnek a hozzárendelési szabályban. Akkor lesz folytonos az a = helyen a függvény, ha itt létezik jobb és bal oldali határértéke, ezek megegyeznek, és egyenl k a függvény ezen helyen vett helyettesítési értékével. Határozzuk meg ezt a három értéket. Kezdjük a függvény helyettesítési értékével. f() = = 4 Határozzuk meg a bal oldali határértéket. Csak be kell helyettesítenünk a megfelel hozzárendelésbe. f() = (2 + 3) = = 4 Ezután nézzük a jobb oldali határértéket. Most is csak be kell helyettesítenünk, de természetesen a másik hozzárendelésbe. f() = = 4 = 4 Amint látható, megegyezik a három érték, így a függvény folytonos

9 2. Feladat: Folytonos-e az alábbi függvény? f() = 2 +, ha < 2 6, ha 2 Megoldás: Az el z feladathoz hasonlóan, csak azon a helyen kell vizsgálnunk a függvényt, ahol változik a hozzárendelés szabálya, tehát az a = 2 helyen. Határozzuk meg itt a függvény értékét, valamint bal és jobb oldali határértékét. A helyettesítési érték az a = 2 helyen: f(2) = 6 2 = 3. A bal oldali határérték: f() = 2 2 (2 + ) = = 5 Már ezen két érték nem egyezik meg, tehát a függvény nem folytonos az a = 2 helyen. Bár a kérdésre már válaszoltunk, mégis határozzuk meg a jobb oldali határértéket is. f() = = 6 2 = 3 Látható, hogy a helyettesítési érték és a jobb oldali határérték megegyezik. A függvény tehát jobbról folytonos az a = 2 helyen is, csak balról nem folytonos itt. 2. Összetett feladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = függvény határértékeit az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Határrozzuk meg el ször az értelmezési tartományt. Egyetlen kikötést kell tennünk, a nevez nem lehet zérus. Célszer átalakítani a tört nevez jét, mert felismerhet, hogy egy els fokú kifejezés négyete. f() = = f() = ( 3) 2 Ezután tegyük meg a kikötést. ( 3) D f = IR \ {3} = (, 3) (3, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a 3-nál. A 3-hoz azonban két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Ez összesen négy határérték lesz. Vizsgáljuk el ször a ± -ben a függvényt. A határérték típusa mindkét esetben, így 2 -tel célszer egy szer síteni, mert az n leggyorsabban. 9

10 ± = ± = + + = 2 A függvény tehát mind a plussz, mind a mínusz végtelenben -hez tart. Ezután vizsgáljuk 3-ban balról a függvényt. A számláló határértéke: A nevez határértéke: 3 ( ) = = 3 ( ) = = A határérték tehát típusú. Most a számlálót és a nevez t szorzattá kell bontanunk. Ez a nevez ben már meg is történt, amikor els fokú kifjezés négyzeteként írtuk fel. Mivel a számlálónak is zérushelye a 3, ezért a számlálóban is 3 lesz az egyik tényez. A másik tényez ezután már egyértelm = ( 3)( 5) Írjuk be a szorzattá bontott alakokat, és egyszer sítsünk = ( 3)( 5) 5 3 ( 3) 2 = 3 3 Most vizsgáljuk meg újra a határérték típusát. A számláló határértéke: ( 5) = 3 5 = 2 3 A nevez határértéke: ( 3) = (3 ) 3 = 3 A határérték tehát véges típusú. A függvény ilyen esetben valamelyik végtelenhez tart, a számláló és a nevez elejele dönti el, hogy melyik végtelenhez. Mivel most mindkett negatív, így a tört pozitív, azaz + -hez tart balról a függvény = + Ha jobbról vizsgáljuk a függvényt a 3-ban, akkor ugyanígy alakítjuk át = A számláló határértéke nyilván ekkor is 2. Abban van különbség, hogy más ekkor a nevez el jele. A nevez határértéke: ( 3) = (3 + ) 3 = + 3+ Mivel most negatívat pozitívval osztunk, így a tört negatív lesz, s ebb l következ en err l az oldalról a határérték =

11 A függvény tehát a 3 helyen egyik oldalról + -hez, másik oldalról pedig -hez tart, azaz nincs határértéke ezen a helyen. Még csak azt sem mondhatjuk, hogy + -hez, vagy -hez tart ezen a helyen, hiszen a két oldalon nem ugyanahhoz a végtelenehez tart 2. Feladat: Határozzuk meg az f() = e / függvény határértékeit az értelmezési tartomány 'szélein'! Megoldás: Kezdjük az értelmezési tartomány meghatározásával. Mivel a kitev ben egy tört áll, ki kell kötnünk, hogy a nevez nem zérus, azaz. D f = IR \ {} = (, ) (, ) Az értelmezési tartománynak tehát a plussz és mínusz végtelenben van széle, valamint a -nál. A -hoz két irányból is lehet közeledni, balról illetve jobbról, így itt két határértéket kell meghatároznunk. Összesen tehát ismét négy határérték a kérdés. Vizsgáljuk el ször a ± ben a függvényt. Mivel egy összetett függvény határértéke a kérdés, ezért úgy járhatunk el, hogy el ször meghatározzuk a bels függvény határértékét, majd a küls függvény határértékét azon a helyen, ahova a bels függvény tart. Nézzük tehát a bels függvény határértékét. ± = Ezután következhet a küls függvény. Vezessük be a t = új változót. Ha ±, akkor nyilván t. Ennek következtében: ± e/ = e t. t Ezt a határétéket pedig egyszer behelyettesítéssel kapjuk. t et = e = Ezután vizsgáljuk a függvényt -nál balról. A bels függvény határértéke, =, hiszen egy véges típusú határértékr l van szó, ahol a számláló pozitív, a nevez pedig negatív. Legyen ismét t =. Ha, akkor nyilván t. Ebb l következ en: e/ = t et =. Ez a határérték az eponánciális függvény grakonjáról leolvasható. Végül vizsgáljuk a függvényt -nál jobbról. véges A bels függvény határértéke, = +, hiszen egy + típusú határértékr l van szó, ahol a számláló is pozitív, és a nevez is pozitív.

12 . ábra. Az f() = e függvény Legyen most is t =. Ha +, akkor nyilván t +. Ebb l következ en: + e/ = t + et =. Ez a határérték is leolvasható az eponánciális függvény grakonjáról Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. 2 = 2 = ( ) = = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy típusú határértékkel van dolgunk. Mivel a nevez ben két gyökös kifejezés különbségét látjuk, ezért célszer gyöktelenítéssel próbálkozni = 2( ) = ( )( ) = 2( ) 2( ) = = (3 + 2) (3 2) 4 2

13 Ha most újra vizsgálnánk a határérték típusát, akkor az nyilván lenne. Látható, hogy 2-szel tudunk egyszer síteni. 2( ) = 4 2 Így a nev ben csak egy konstans maradt, tehát nem lehet már kritikus a tört, s ezért a határérték behelyettesítéssel megkapható = = 2 3 = tg 5 4. Feladat: Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 2 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. tg 5 = tg 5 = sin 2 = sin(2 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a Az alapfeladatok között találkoztunk már hasonlóval. Alakítsuk át a függvényt annak mintájára, mint akkor. tg 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 = sin 5 cos 5 sin 2 Mivel cos 5 = cos(5 ) = cos =, ezért az els tört határértéke behelyettesítéssel meghatározható. Ezután elég a második törttel foglalkoznunk. sin Tudjuk, hogy =. A második törtben a számláló is a nevez is ehhez hasonlóvá alakítható. Mindkét helyen b vítenünk kell, a számlálóban 5-szel, a nevez ben pedig 2-szel. sin 5 sin 5 cos 5 sin 2 = cos sin Bontsuk ezt tovább törtek szorzatára, és egyszer sítsünk. sin 5 cos = sin 2 2 = 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 3

14 = cos 5 sin 5 5 sin Az 5 kiemelhet, a szorzat határértékét pedig a tényez k, határértékeinek 2 szorzataként kapjuk. A második tényez ben lev tört esetében pedig külön határozzuk meg a számláló és a nevez határértékét. sin 5 sin 5 cos sin 2 2 = 5 2 cos 5 5 = sin = 5 2 cos 5 sin 5 5 sin 2 2 Amint korábban már említettük, az els tényez határértékét egyszer behelyettesítésel kapjuk. cos 5 = cos(5 ) = sin A másik két határérték lényegében megegyezik a határértékkel, csak az szerepét a 5, illetve 2 vette át. Mindez könnyen leírható, ha bevezetjük a t = 5 és u = 2 új változókat. Ha, akkor nyilván t 5 = és u 2 =. sin 5 5 = sin t =. t t sin 2 2 = sin u u u =. Ezek alapján az eredeti határérték: sin cos 5 5 = 5 2 = 5 2 sin 2 2 e 5. Feladat: 4 Határozzuk meg a határérétéket, ha létezik. sin 3 Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló, és külön a nevez határértékét. (e4 ) = e 4 = sin 3 = sin(3 ) = Amint látható, mindkett -hoz tart, tehát egy kérdés. típusú határérték a 4

15 Korábban már szerepelt két nevezetes határérték, melyekben hasonló részletek fordulnak el, mint a feladatunkban. Ezen határértékek az alábbiak. sin = e = Próbáljunk meg ezekhez hasonló részeket kialakítani, mert akkor azoknak ismert lesz a határéértéke. Nagyon jó lenne, ha az e 4 osztva lenne 4-szel, hiszen akkor lényegében a második nevezetes határéértéket kapnánk, csak szerepét a 4 venné át. Elérhetjü, hogy ez megjelenjen, ha a számlálóban osztunk is és szorzunk is 4-szel. Hasonlóan jó lenne, ha a nevez ben a sin 3 osztva lenne 3-szel, mert akkor egy olyan részletünk lenne, mely lényegében az els nevezetes határértékkel egyezne meg, csak szerepét a 3 töltené be. Ezt is elérhetjük, ha a nevez t osztjuk is és szorozzuk is 3-szel. e 4 e 4 4 sin 3 = 4 sin Bontsuk fel ezt két tört szorzatára, majd egyszer sítsük a második törtet. e 4 4 sin = e 4 4 sin = e 4 4 sin A 4 3 kiemelhet, és külön vehetjük a számláló és a nevez határértékét. e 4 4 sin = 4 3 e 4 4 sin 3 3 A számlálóban vezessük be t = 4 új változót, ekkor esetén t. Ebb l következ en: e 4 e t = = 4 t t Hasonlóan a nevez ben legyen u = 3. Ha, akkor u. Ezek után: sin 3 3 = sin u u u =. 5

16 Felhasználva a részeredményeket: 4 3 e 4 4 sin 3 3 = 4 3 = Feladat: Vizsgáljuk meg, hol nem folytonos az alábbi függvény! 2 9 3, ha IR \ {, ±3} 9 f() =, ha = 3 3, ha =, ha = 3 Megoldás: A függvény nyilván folytonos az IR \ {, ±3} halmazon, hiszen itt hozzárendelési szabálya olyan, hogy folytonos függvényekb l állítjuk el m veletekkel. Elég tehát a és ±3 helyeken vizsgálni a függvényt. Mindegyik helyen ki kell számolni a helyettesítési értéket, valamint vizsgálni a határértéket balról, illetve jobbról, s ahol nem egyezik meg ez a három érték, ott nem folytonos a függvény. A határértékek meghatározásához célszer egyszer síteni a függvény hozzárendelési szabályában szerepl törtet = 2 9 ( 2 9) = Vizsgáljuk a függvényt el ször az a = 3 helyen. Mivel az egyszer sítés utáni törtbe behelyettesíthet a 3, így itt nem kell külön balról és jobbról is határértéket meghatároznunk, mert a kett biztosan egyenl, s ez a függvény határértéke ezen a helyen. 2 9 f() = = 3 = 3 = 3 Ez megegyezik a függyvény értékével ezen a helyen, hisz a függvény meghatározása szerint f( 3) =. A függvény tehát folytonos az 3 a = 3 helyen. Nézzük ezután a b = 3 helyen a függvényt. Itt sem kell külön venni a két oldalról a határértéket, mert a 3-at is be lehet helyettesíteni az egyszer sítés után kapott törtbe. f() = = 3 = 3 Ez nem egyezik meg a függvény értékével ezen a helyen, hisz f(3) = a függvény meghatározása szerint. A 3 helyen tehát nem folytonos a függvény. Végül vizsgáljuk a c = helyen is a függvényt. A -t nem lehet behelyettesíteni az egyszer sítés utáni törtbe sem, így itt külön kell venni a bal oldali és jobb oldali határértéket. 6

17 2 9 f() = 3 9 = = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló pozitív a nevez pedig negatív. Mivel nincs balról határértéke ezen a helyen a függvénynek, így nem folytonos ezen a helyen. A kérdésre már válaszoltunk, de érdemes azért meghatározni a jobb oldali határértéket is. f() = = + = A határérték típusa ugyanis véges, s a számláló is és a nevez is pozitív. A függvény tehát két helyen nem folytonos, a és a 3 helyeken. Megjegyzés: A két szakadás között különbség van. A 3 helyen lehetne olyan értéket adni a függvénynek, hogy ott is folytonos legyen, így ezt megszüntethet szakadásnak nevezzük. A helyen azonban bármilyen értéke is lenne a függvénynek, nem lenne folytonos, így ez nem megszüntethet szakadás. 7

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. 5. Add meg az összeadásban szereplő Add meg a kivonásban szereplő Add meg a szorzásban szereplő Add meg az osztásban szereplő Hogyan függ két szám előjelétől a két szám szorzata, hányadosa?

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY MEGYEI FORDULÓ HETEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 1. Alfa tanár úr 5 tanulót vizsgáztatott matematikából. Az elért pontszámokat véletlen sorrendben írta

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21 NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.? FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =

Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A = Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

esetben, ahol mindkettő nulla a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.

esetben, ahol mindkettő nulla a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk. FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKÉNEK KISZÁMOLÁS? Véges helyen vett tárérték a Ilyenkor az első lépés hogy helyettesítsük be a üggvénybe az a -t. Ha amit így kapunk értelmezhető akkor kész is vagyunk az a szám a tárérték*.

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

Sorozatok, sorozatok konvergenciája Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK

5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Adatszerkezetek és algoritmusok

Adatszerkezetek és algoritmusok 2009. november 13. Ismétlés El z órai anyagok áttekintése Ismétlés Specikáció Típusok, kifejezések, m veletek, adatok ábrázolása, típusabsztakció Vezérlési szerkezetek Függvények, paraméterátadás, rekurziók

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben