Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:"

Átírás

1 Függvények 015. július Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független változó, azaz az x helyére írjuk be a bels függvényt. El ször legyen f a küls és g a bels függvény. g(x) = x f() = cos()+() f(g(x)) = cos x+( x) Fordított esetben a g független változója helyére írjuk be f hozzárendelését. f(x) = cos x + x g() = () g(f(x)) = cos x + x. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = Megoldás: f(x) = x 1 + x g(x) = tg x g(f(x)) =? g(g(x)) =? x 1 + x g() = tg () g(f(x)) = tg ( x ) 1 + x g(x) = tg x g() = tg () g(g(x)) = tg (tg x). Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = 1 x + x g(x) = e x f(g(x)) =? f(f(x)) =? Megoldás: g(x) = e x f(x) = 1 ()+() f(g(x)) = 1 e x +(e x ) = 1 e x +e x f(x) = 1 x+x f() = 1 ()+() f(f(x)) = 1 (1 x+x )+(1 x+x ) Rendezés után kapjuk, hogy: f(f(x)) = x x + x x + 1 1

2 . Feladat: Írja be a hiányzó függvényeket! (a) (b) (c) f(x) = sin(x + ) g(x) =? f(g(x)) = sin x Megoldás: Az a kérdés, hogy milyen bels függvényt írjunk sin(x+ ) -ben az x helyére, hogy az eredmény csak x legyen? Ez éppen x, így g(x) = x. f(x) =? g(x) = cos x f(g(x)) = cos x + cos x Megoldás: Mivel cos x-t a küls függvényben az x helyére írtuk, így ha az összetett függvényben cos x-t visszaírjuk x-re, megkapjuk a küls függvényt. Azaz Végeredmény: f(x) = x + x f(x) = x g(x) =? g(f(x)) = x 1 + x g(x) = x 1 + x 5. Feladat: Határozza meg a következ f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! x f(x) = x 5x + 6 Megoldás: f(x) = x x 5x + 6 Azt kell megvizsgálni, hogy milyen x-ek esetén tudunk helyettesítési értéket számolni.a hozzárendelésben szerepel négyzetgyök és osztás. Tudjuk, hogy négyzetgyököt csak nemnegatív számok halmazán értelmezhetjük. Másrészt az osztás miatt azt kell megnézni, hogy milyen x-re lesz a nevez nulla. Azaz x 5x + 6 = 0 x 1; = 5 ± 5 = 5 ± 1 Tehát az osztást két esetben nem tudjuk elvégezni, ha x 1 = és x =. Így a legb vebb értelmezési tartomány D f = [0; [\{; }

3 6. Feladat: Határozza meg a következ h : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! h(x) = ln( x x ) Megoldás: Ebben az esetben a logaritmus miatt csak olyan x értékekhez létezik helyettesítési érték, amelyekre x x pozitív értékeket vesz fel. Tehát vizsgáljuk meg x x > 0 egyenl tlenséget. Els ként oldjuk meg x x = 0 egyenl séget. x 1; = ± + 1 = ± Tehát x x = 0, ha x 1 = vagy x = 1. Most már vizsgálhatjuk az egyenl tlenséget. A gyökök ismeretében ábrázoljuk a y = x x egyenlet parabolát. Mivel x együtthatója negatív, a görbének maximuma van. Majd olvassuk le, hogy milyen x esetén lesz a helyettesítési érték pozitív. Tehát Dh =] ; 1[. Feladat: Határozza meg a következ g : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! x g(x) = x 9 Megoldás: A hozzárendelésben osztás és negyedikgyök szerepel. Így az alábbi kikötéseket kell tennünk. Negyedikgyök alatt csak nemnegatív szám állhat, így teljesülni kell, hogy x 9 0 x 9 x Megjegyzés:Ugyanezt a számhalmazt kapjuk, ha ábrázoljuk az y = x 9 egyenlet parabolát és az ábráról leolvassuk, hogy milyen x-ekre teljesül az egyenl tlenség. Mivel x 9 = 0 x = 9 x = ±

4 és x együtthatója pozitív így a görbe következ képpen néz ki: Tehát x 9 0 x vagy x Az osztás miatt pedig a következ egyenl séget kell vizsgálni: x 9 0 x 9 Tehát x 9 16 x 5 x 5 A két feltétel alapján, g értelmezési tartománya azon x pontok halmaza lesz, amelyekre mindkét feltétel egyidej leg teljesül, azaz x és x 5 Másképp x vagy x és x ±5 Dg =] ; ] [; [\{±5} 8. Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! f(x) = log (x) + 5 Megoldás: Négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám állhat, így log (x) log x 5 kell, hogy teljesüljön. Kezdjük az egyenl séggel: log x = 5 log x = log 5 x = 5

5 Felhasználva, hogy f(x) = log x függvény szigorúan monoton növekv, ezért log x 5 = log 5 x 5 Végeredmény: D i = [ [ 1 ; 9. Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! f(x) = ln(10 x) x 5 Megoldás: Logaritmus miatt az alábbi kikötést kell tenni: 10 x > 0 x < 5 Négyzetgyök miatt teljesülni kell, hogy x 5 0 x 5 Keressük meg azon pontokat, amelyek mindkét feltételnem megfelelnek. Tehát f legb vebb értelmezési tartománya: [ [ 5 D f = ; Feladatok: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! (1 ) x f(x) = 81 Megoldás: Négyzetgyök miatt az alábbi kikötést kell tennünk: ( ) 1 x 81 0 x 81 = Mivel 1-nél nagyobb alap esetén az exponenciális függvény szigorúan monoton n, ezért x x Tehát D f =] ; ] 5

6 11. Feladatok: Határozza meg a k vetkez h : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! h(x) = ln 5x + Megoldás: Logaritmus miatt az alábbi egyenl tleség kell, hogy teljesüljön: 5x > 0 x > 0 Az osztás miatt: ln 5x + 0 ln 5x = ln e 5x e Mindkét feltételt gyelembe véve az értelmezési tartomány: Másképp felírva: x > 0 és x 1 5e D f = ]0; [ \{ 1 5e } 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Megoldás: h(x) = 5 log (6 x) + A h függvény hozzárendelési utasítása számunkra azt mutatja meg, az értelmezési tartomány tetsz leges x értékéhez, a kijelölt m veleteket alkalmazva, milyen y érték tartozik. Az inverzfüggvény hozzárendelésénél azt keressük, hogy az értékkészletként kapott tetsz leges y-hoz milyen x tartozik. Tehát inverz meghatározásánál y = log (6 x) + egyenletb l fejezzük ki x-t. y = 5 log (6 x) + y 5 = log (6 x) Írjuk fel a jobboldalt -es alapú logarítmus alakjában. log y 5 = log (6 x) Azonos alapú logaritmusok egyenl ségénél argumentumaik is megegyeznek. y 5 = 6 x 6

7 Rendezzük x-re az egyenletet. x = 6 y 5 = 1 y 5 Tehát kifejeztük x-t y függvényeként, azaz meghatároztuk az inverzet. Mivel függvények megadásánál a megszokott jelölés az, hogy y-t adjuk meg x függvényként, így a kapott egyenletben cseréljük fel x-t y-nal. Tehát az inverzfüggvény hozzárendelési utasítása: f 1 : y = 6 x 5 = 1 x 5 Megjegyzés: Inverz meghatározásánál szokás már a kiindulási egyenletben felcserélni x-t y-nal, majd kifejezzük y-t. Mindkét lépéssorozat elfogadott. 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! f(x) = x 5 x Végeredmény: Fejezzük ki x-t y segítségével az egyenletb l. y = x 5 x Szorozzuk meg mindkét oldalt x-val és rendezzük x kifejezéseit a baloldalra. y( x) = x 5 Fejezzük ki x-t. y xy = x 5 x( y 1) = 5 y x = y 5 1 y Cseréljük ki x-t y-nal, majd egyszer sítsünk -1-gyel. y = x x Az inverzhozzárendelés: f 1 (x) = x x

8 1. Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Megoldás: g(x) = e x + 5 y = e x + 5 Fejezzük ki x-t. y 5 = e x Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. ln y 5 Rendezzük az egyenletet x-re. Cseréljük ki x-t y-nal. Tehát az inverz: x = 1 y = 1 g 1 (x) = 1 = ln e x = x ( ln y 5 ) + ( ln x 5 ) + ( ln x 5 ) Feladatok: Az alábbi f : R R függvénynek létezik inverze, határozza meg az inverzfüggvény hozzárendelési utasítását! Végeredmény: g(x) = 5 x 1 y = ( log 5 (x + 1)) 16. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényt, majd olvassa le a függvény legb vebb értelmezésitartományát és értékkészletét! f(x) = cos(x) Megoldás: Alkalmazzunk függvénytranszformációt. El ször ábrázoljuk f 1 (x) = cos x-t. Majd következik f (x) = cos(x). Az el z függvényt zsugorítsuk a felére x tengely mentén. Majd ábrozoljuk f (x) = cos(x) -t. Az el z függvényt két egységgel lefele eltoljuk y tengely mentén. Tehát D f = R R f = [ ; 1] 8

9 1. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényeket, majd olvassa le a függvények értékkészletét! f(x) = (x + ) g(x) = ln( x) + Megoldás: Függvénytranszformációt alkalmazva, ábrázoljuk az alábbi függvényeket: f1(x) = x f(x) = x f(x) = (x + ) El ször -szoros nyújtást alkalmazunk az y tengely mentén, majd eltoljuk a görbét két egységgel balra az x tengely mentén. Df = R Rf = [0; [ Ábrázoljuk az alábbi függvényeket: g1(x) = ln x g(x) = ln( x) g(x) = ln( x) g(x) = ln( x)+ A bels mínusz tükrözi a függvényt az y tengelyre. A küls mínusz tükrözi az x tengelyre, majd egységgel felfele toljuk az y tengely irányában. Dg = R Rg = R 9

10 18. Feladatok: Ábrázolja az alábbi f : R R függvényeket, majd olvassa le a függvények értékkészletét! { { x ha x 1 f(x) = x g(x) = x ha x > ha x < 1 1 x ha x 0 Megoldás: y { x hax 1 x + 1 hax < 1 x 10

11 y { x ha x > 0 1 x ha x 0 x 19. Vizsgafeladat: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát, értákkészletét, majd határozza meg az inverzét! (a) f(x) = 6 x + 1 Megoldás: Négyzetgyök miatt f csak olyan x pontokban van értelmezve, amelyekre 6 x 0, azaz x. Tehát D f =] ; ]. Az értékkészlet meghatározásához vizsgáljuk meg, hogy milyen értékeket vesz fel 6 x. Ha x, akkor 6 x minden nemnegatív értéket egyszer felveszi helyettesítési értékként, így 6 x is végig fut az összes nem negatív számokon, azaz 6 x 0 6 x 0 6 x Tehát R f = [1; [ Az inverzfüggvény hozzárendelésének meghatározásához y = 6 x + 1 egyenletb l fejezzük ki x-t. Emeljünk négyzetre y = 6 x + 1 y 1 = 6 x ( ) y 1 = 6 x Majd rendezzük az egyenletet x-ra ( ) y 1 x = 1 11

12 Cseréljük ki x-t y-nal és írjuk fel az inverzfüggvényt: ( x 1 ) D f 1 = [1; [ R f 1 =] ; ] és f 1 (x) = 1 (b) (c) x 15 f(x) = + x Megoldás: Az osztás miatt f csak olyan x pontokban lehet értelmezve, amelyekre + x 0, azaz x. Tehát D f = R\{ } Az értékkészlet meghatározásához rendezzük át a hozzárendelési utasítást: f(x) = x 15 + x = x x = (x + ) + x = + x Mivel +x nulla kivételével minden értéket felvesz, ezért f(x),azaz R f = R\{}. Az inverzfüggvény meghatározásához rendezzük x-re y = x 15 +x egyenletet. Tehát az inverzfüggvény: y = x 15 + x y( + x) = x 15 y + xy = x 15 xy x = 15 y x(y ) = 15 y 15 + y x = y D f 1 = R\{} R f 1 = R\{ } és f x (x) = x Megoldás: f(x) = x+5 Exponenciális függvény bármely lehetséges alap esetén minden valós számra értelmezve van. Így D f = R Egy exponenciális függvény (bármilyen is az alapja) csak pozitív értéket vesz fel, így x+5 > 0 x+5 < 0 1

13 Tehát R f =] ; [. Inverzfüggvény meghatározása: x+5 < y = x 5 x 5 = y Vegyük mindkét oldal -es alapú logaritmusát: Cseréljük fel x-t y-nal. Tehát az inverzfüggvény: log x 5 = log ( y) x 5 = log ( y) x = log ( y) + 5 y = log ( x) + 5 D f 1 =] ; [ R f 1 = R f 1 (x) = log ( x) + 5 (d) Megoldás: D f = R f = R f(x) = (x + ) x = (y + ) x 6 = (y + ) 5 5 x 6 = y + ( y = 1 ) 5 x 6 Tehát az inverzfüggvény: ( D f 1 = R f 1 = R f 1 (x) = 1 ) 5 x 6 1

14 (e) f(x) = log (x 1) + 11 Megoldás: Logaritmus miatt teljesülni kell, hogy x 1 > 0 x > D f = ]; [ R f = R x = log (y 1) + 11 x 11 = log (y 1) log x 11 = log (y 1) x 11 = y 1 y = x = 1 x

15 Innen x x > 0 ha x < 0 vagy x > 1 Oldjuk meg 15 x 0 egyenl tlenséget. Kezdjük egyenl séggel: x = 0 15 = x x = 15 x1 = 15 x = Ábrázoljuk az y = 15 x egyenlet parabolát és olvassuk le, hogy milyen x esetén teljesül az egyenl tlenség Vizsgafeladat: Határozza meg a k vetkez f : R R függvények legb vebb értelmezési tartományát! (a) f(x) = ln(x x) 16 x Megoldás: A négyzetgyököt és logartmust gyelembe véve, az alábbi egyenl tlenségeket kell vizsgálni: x x > 0 és 15 x 0 Oldjuk meg x x > 0 egyenl tlenséget. Kezdjük egyenl séggel: x x = 0 x(x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Ábrázoljuk az y = x x egyenlet parabolát és olvassuk le, hogy milyen x esetén teljesül az egyenl tlenség.

16 Innen (b) x 0 ha x Foglaljuk össze, hogy milyen x-ekre van értelmezve f függvény: és x < 0 vagy x > x Keressük meg a két számhalmaz metszetét: [ [ ] ] Df = ; 0 1; x g(x) = ln(x + x 1) Megoldás: A logaritmust és az osztást gyelembe véve az alábbi kikötéseket kell tennünk: x + x 1 > 0 és ln(x + x 1) 1 Vizsgáljuk el sz9r a x + x 1 > 0 egyenl tlenséget. x + x 1 = 0 x1; = 1 ± = 1 ± x1 = x = 16

17 Készítsünk egy ábrát y = x + x 1 egyenlet paraboláról és olvassuk le, hogy milyen x-ekre lesz pozitív. x + x 1 > 0 ha x < vagy x > Vizsgáljuk meg a x + x 1 1 feltételt. x + x 1 = 0 Így x1; = 1 ± = 1 ± 5 x1 = x = 1 5 x + x 1 1 ha (c) x Az értelmezési tartomány:, 1 vagy x 1 5, 1 x < vagy x > és x, 1 vagy x, 1 Másképp felírva: Df =] ; [ ]; [\{, 1;, 1} g(x) = x x + Megoldás: Négyzetgyök miatt az alábbi egyenl tlenséget kell vizsgálni: x x + 0 1

18 Egy tört akkor pozitív, ha számlálója és nevez je azonos el jel. Másrészt egy tört akkor nulla, ha számlálója nulla. Így két esetet kell vizsgálni. x 0 és x + > 0 vagy x 0 és x + < 0 Ha számláló és nevez pozitív: x 0 és x + > 0 x és x > Azaz x. Ha számláló és nevez negatív: x 0 és x + < 0 x és x < Azaz x < Tehát Így x x + 0 ha x vagy x < D f =] ; [\[ ; [ (d) x + 1 h(x) = x+ + Megoldás: Az értelmezési tartomány megadásához a két gyököt és az osztást gyelembe véve, az alábbi egyenl tlenségeket írhatjuk fel x-re: x és x és x+ + 0 Vizsgáljuk els ként a x egyenl tlenséget. x x 1 Oldjuk meg a x egyenl tlenséget. x x + 1 > 0 Két pozitív számra vonatkozó egyenl tlenséget kell megoldani, így mindkét oldalt négyzetre emelhetjünk. x + 1 x Mutassuk meg, hogy nincs olyan x, amelyre x+ + = 0 teljesül. x+ > 0 x+ + > minden x R esetén 18

19 Összefoglalva x-re az alábbi egyenl tlenségeket kaptuk: x 1 és x Így D f = [; [ (e) k(x) = ln (( ) 1 x ) Megoldás: Mivel bármely lehetséges alapú logaritmus függvény csak pozitív számok halmazán van értelmezve, így ( ) 1 x > 0 kell, hogy teljesüljön. Oldjuk meg el ször az egyenl séget. ( ) 1 x = 0 ( ) 1 x = ( ) 1 x = = ( ) 1 log 1 x = log 1 0, 1 Tehát az egyenl ség x 0, 1-re teljesül. Térjünk vissza az egyenl tlenségre. Használjuk fel, hogy 1 alapú exponenciális függvény szigorúan mooton csökken, így ( ) 1 x > = ( ) 1 log 1 x < log 1 0, 1 Végeredmény: D k =] ; 0, 1[ y x 19

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [ Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log 1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Hatvány gyök logaritmus

Hatvány gyök logaritmus Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

A dierenciálszámítás alapjai és az érint A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész Tigonometikus egyenetek II ész - cosx N cosx Alakítsuk át az egyenletet a következô alakúa: + + N p O O Ebbôl kapjuk, hogy cos x $ p- Ennek az egyenletnek akko és csak akko van valós megoldása, ha 0 #

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia

2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia 2014. október 8. és 10. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben