Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Átírás

1 Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) f) ( ) g) 0, Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! a) b) 1 7 c) 9 d) 10 0, e) 9 0,7. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés? 10 a) 5 7 b) 5 c) 5 11 d) 5 8 e) 1 15 f) 5 7 g) Rendezzük növekvő sorrendbe a következő számokat! a) 5, 5, 8 b) 9 1 c) 5 1 8, 1, 8, 5 7, 7, 6, 81 7, 5 5, 5 5, 15 1, d) 7 1, 7, 9,, 7 5 5

2 5. A következő ábrákon az f(x) = x függvény transzformáltjainak grafikonjait láthatjuk. A grafikonok alapján adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát! a) b) c) d) e) f)

3 6. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x = b) x = 7 c) x 1 = 1 16 d) 5 x+ 5 = 5 x e) f) x = 1 x x 1 11x+1 = 11x 6 g) 5 5x+ = 5 1 h) 10 x 100 x 1 = 0 7. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 7 x 1 = 9 x b) ( 1 16 ) x = 56 c) 0,5 x +x 5 = 1 d) ( 5 )x+7 = ( 9 5 )x 8. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket, ahol az ismeretlen a valós számok halmazából való! a) x+ + x+1 = 10 b) 5 x+ 5 x+ = c) x+ 5 x x = 50 d) 10 x+1 10 x 10 x 1 = Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x x + = 0 b) 9 x 1 x + 7 = 0 c) 10 x + 00 = 0 10x d) 10 x + 10 x = e) 0, x = + 5 5x 10. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! a) x + y = 7 5 x y = 11 } 7 b) x + 5 y = x + y = 9 } c) x + y = 11 x y = 1 } d) x+ + y 1 = 17 x + y = }

4 11. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! a) x 5 < 7 x b) 16 x 1 1 c) ( 1 )5x+ 1 6 d) ( )x+ > 8 7 e) 5 x 1 5 x+ > 1 15 f) 7 x Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x 1 x+ = x 1 x b) 9 x x+ = 7x 1 c) 5 x x+ 15 x+1 = 5x 5 x 1 )x 1 d) (1 8 x 1 16x+ = x e) x+1 x f) 7 x+5 x = 9x+ = x x 1 g) x + x+ 70 = 0 h) 5 x +1 x = 0,01 x i) ( 5 )+x : 5 j) 1 = 7 (5 9 )x 1 8 x+1 x x+ = 5 k) ( 8 7 )x ( )x+ = Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! a) 7 x+ x+ > 9 b) x 1 1 x+ 8 c) x+ x 1 < d) x > Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) x 9x+1 = 1 b) 19 x x 1 = 19 c) 11 x 1 = 11 d) 5 x 5 = 15 e) 10 x = 100 f) 1 cosx = 1 g) 100 sinx = 0,1 h) (x) = i) 6 x 6 = 1 16

5 15. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletrendszereket! a) 5 x+ 7 y 1 = 17 x y = 17 } b) 9x 1 y = 1 9} 5 x+y 1 = 5 (5 x ) y = 15 c) x y x 1} = 8y 8 d) x y = x y } = e) 5 6x y = = 1 } 6 x 5 y 16. Adjuk meg az alábbi kifejezések értékét! a) log 16 b) log c) log 9 1 d) log 7 9 e) log 8 18 f) log g) log1 h) log1 81 i) log115 5 j) log 0, Számítsuk ki a következő hatványokat! a) log 10 b) log 57 c) log 1 d) log 7 e) 8 log f) 16 log 5 g) ( 1 )log 10 h) ( 1 )log 95 i) ( 1 9 )log 75 j) 0,1 lg17

6 18. Számítsuk ki x értékét! (x>0) a) log x = 6 b) log 5 x = c) log x = 1 d) log x = e) log 9 x = 1 f) log 15 x = 1 g) log 8 x = h) log 16 x = 1 i) log 1000 x = 5 j) log 6 x = Számítsuk ki az alábbi kifejezésekben a logaritmus alapjait! a) log x 8 = b) log x 16 = c) log x = 5 d) log x = 6 e) log x 16 = f) log x 6 = 1 g) log x 8 = 0,5 h) log x 5 = i) log x 1 = 0 j) log x = 0 0. Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a következő kifejezések értelmezhetők! a) lg(x x 8) x 1 b) log 5 x+ 5x c) log 7 7x+5 d) log 5 (x x 8) e) lg(x 9) + log 9 (1 x) f) lg( x 9) lg(x + ) 1. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! (A jellemzés fő szempontjai az első feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.) a) x log x + b) x log x 1 c) x log1(x + ) d) x log (x ) + 1 e) x log1(x + ) 1

7 . Az ábrán látható függvények alapfüggvénye f(x) = log x. Írjuk fel az egyes függvényábrázoláshoz tartozó hozzárendelési szabályt! Jellemezzük a függvényt! (A jellemzés fő szempontjai az első feladatsor függvényábrázolással kapcsolatos feladatainál megtalálhatóak.) a) b) c) d) e) f)

8 . Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékeit! a) log [log (log 16)] b) log 5 [log (log )] c) log 5 [log (log 6 6)] d) lg[lg(lg10 (1010) )]. Adjuk meg az a változó értékeit! a) log a = log 1 + log 10 log 15 b) log a = log 15 + log 1 log 6 c) log 6 a = log log 6 8 log 6 0 d) log 8 a = log 8 7 log 8 5 log log 8 5 e) lga = lg lg + 1 lg7 5. A logaritmus azonosságait felhasználva számítsuk ki a következő kifejezések értékét! a) log 9 + log 8 log 6 b) 5 log 6 1 log 6 9 log 6 log 6 c) log 8 00 log 8 55 log 8 0 log 8 10 d) log tg60 + log cos0 + log sin0 log e) log sin5 + log log sin60 log tg0 f) lgtg0 lgsin60 lgtg5 lg5 g) lgcos0 + lg lgsin60 + lgsin0 6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) log (7x 5) = b) log (10x ) = c) log (1x 10) = 0,5 d) log 8 (x x + 10) = 1 e) log x (x + ) = f) log x (6x 5) = g) log x (7x 10x) = 7. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) log (x + 1) + log = log b) log (x ) log 5 = log (x + ) c) lg(x ) lg(x + ) = lg d) log 7 (x 5) + log 7 = 1 + log 7 (x 1) 8. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) log (x+5) log (7x 1) = 1 b) log 7 (5x+11) log 7 (x 1) = 1 c) log 5 (x+7) d) lg(x 1000) lg5 e) lg lg(x+1) = = log 5 (x + 1) =

9 9. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) log x (x 0x + ) = 0 b) log x (x 19x + ) = 1 c) log x (x 7x 0) = 0. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! lg(x 1) 5 lg(y ) = 6 a) lg(x 1) + 7 lg(y ) = } x + log y 8 = 5 b) log x + 1 = log y 8 } x 10y = 90 c) lg x = + lg y } 1. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) lg(x + x 1) > lg(x 1) b) log (x 1) log (x + ) 0 c) log (x + x 6) > log (x + ). Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre α, β, és γ. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c α β γ I. 5 cm 5 6 II. 9 m 1 7 III. dm Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 6 cm hosszú. Mekkora lehet a háromszög harmadik oldala, illetve mekkorák lehetnek a szögei, ha a 6 cm-es oldallal szemben levő belső szög 0?. Egy háromszög szokásos jelöléseit alkalmazva a) a + b = 1 cm, α =,8, β = 7,5. b) a + b = 8 cm, α = 1, β = 91. Mekkorák a háromszög oldalai? 5. Egy háromszög szokásos jelöléseit alkalmazva a) a b = 5 cm, α = 6,5, β =,8. b) a b = 0 cm, α = 51, β = 1 8. Mekkorák a háromszög oldalai? 6. Egy háromszög szögeinek aránya ::, kerülete 50 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 7. Egy háromszög területe 10 cm. Mekkorák az oldalai, ha két szöge 50 és 8? 8. Egy paralelogramma két oldala 9 cm és 6 cm hosszú. Az általuk közbezárt szöge 7. Mekkorák a paralelogramma átlói?

10 9. Egy trapéz hosszabbik alapja dm, a szárai cm és 16 cm hosszúak. A hosszabbik alappal a 16 cm-es szár 7 -os szöget zár be. Mekkora a trapéz rövidebbik alapja, és mekkorák a trapéz szögei? 0. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre α, β, és γ. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c α β γ I. 9 cm 8 cm 70 II. 1, m 8, m 110 III. 18 dm 10 cm Egy toronyóra kis- és nagymutatójának a két végpontja 8 órakor 10 cm, 9 órakor 100 cm távolságra van egymástól. Adjuk meg a mutatók hosszát centiméterekben mérve egy tizedes jegy pontossággal!. Az ABC háromszög területe cm, és az A csúcsból húzott szögfelező a BC oldalt : arányban osztja. Mekkorák a háromszög oldalai, ha az A csúcsnál levő szög 70 -os?. Egy paralelogramma területe 169,71 cm, az átlók hossza 16 cm és 0 cm. Mekkorák a paralelogramma oldalai?. Egy háromszög egyik oldala 1 cm, a vele szemben levő szöge 60, a másik két oldalának különbsége 6 cm. Adjuk meg a háromszög többi oldalának és szögének nagyságát. 5. Egy háromszög területe 96 cm, egyik oldala 1 cm, egy másik oldalával szemben levő szöge 0. Mekkora a háromszög többi oldala és a többi szöge? 6. Egy háromszög oldalainak hossza a, b, c. A velük szemben lévő szögek rendre α, β, és γ. Töltsük ki a következő táblázatot! a b c α β γ I. 6 cm 9 cm 1 cm II. 1,5 dm 6, dm 9,8 dm III. 51 dm 0 cm m 7. Egy háromszög oldalai 1 cm, 1 cm és 17 cm hosszúak. Adjuk meg a háromszög súlyvonalainak hosszát! 8. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) sin (x + π ) = b) sin (x π ) = 0,5 c) cos ( π x) = d) tg ( x π ) = e) ctg (5x π ) = 1

11 9. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) sinx = sinx b) sin (x π ) = sin (x + π ) c) cos x = cosx d) tg5x = tgx e) ctg ( π x) = ctgx 50. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) sin x + sinx 6 = 0 b) cos x = 5 cosx + c) tg x tgx + = 0 d) sinx = cos x + sin x e) tgx ctgx = f) cosx = sin x cos x 51. Döntsük el, melyik állítás igaz, melyik hamis! a) Ha α ] π; 0[, akkor sinα < 0. b) Ha α ] π; 0[, akkor cosα 0. c) Ha α ] π; 0[, akkor sinα > cosα. d) Ha α, β ] π; 0[ és α < β akkor sinα < sinβ. e) Ha α, β ] π; 0[ és α < β akkor cosα > cosβ.