NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Átírás

1 5A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI Terem: Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki. A feladat szövege után öt lehetséges válasz található, amelyek közül pontosan egy a helyes. A helyes választ az előtte lévő üres négyzet besatírozásával kell megjelölni ( X nem elég!), a többi válaszmezőt pedig érintetlenül kell hagyni. Utólagos javításra nincs lehetőség! Egynél több válaszmező megjelölését a feladat kihagyásának értékeljük (0 pont). A válaszmezőn kívül tetszőleges jelölések (például aláhúzás, karikázás) alkalmazhatóak, de ezeket nem vesszük figyelembe. Az alábbi adatokat NYOMTATOTT NAGY betűvel töltse ki! Neptun kódja: Neve: Szakja: Az alábbi kérdésekre adott válaszok kódját írja a jobb oldali üres mezőkbe. Milyen szinten érettségizett matematikából? E: emelt szinten K: középszinten R: régi típusú érettségi N: nem érettségiztem Járt-e középiskolában matematika fakultációra? J: jártam N: nem jártam Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz - pont, üresen hagyott válaszmező 0 pont. Az elérhető maximális pontszám 60 pont. A dolgozatot sikeresnek tekintjük, ha legalább 4 pontot elér. A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben követik egymást. JÓ MUNKÁT KÍVÁNUNK!

2 Fejezze ki az a, b, c és d pozitív számok hatványainak a szortataként az alábbi kifejezést! ( a 4 b 5 ) : ( a b 7 ). c d c d 5. a 6 bc 0 d 4 a 6 bc 0 d 6 a 6 bc d 6 a bc 0 d 4 a 6 bc d 4. Számítsa ki az alábbi kifejezés értékét! ,5 Melyik gráfban 7 a csúcsok fokszámainak összege? számát értjük.) (Egy csúcs fokszámán a csúcsból kiinduló élek. G H J K. A G-ben. A H-ban. A J-ben. A K-ban. Egyikben sem. Hogy helyezkednek el egymáshoz képest az alábbi egyenletű körök? k : x + x + (y ) = 0 k : (x ) + (y ) = 6 Nincs közös pontjuk. Kívülről érintik egymást. Belülről érintik egymást. Két pontban metszik egymást. Koncentrikusak. Mennyi a cos α értéke, ha tg α = 5? Ezek egyike sem. Határozza meg a v( ; 4) és az u(; 5) vektorok közbezárt szögének koszinuszát! A kezdetben 60 fős védett sáskapopuláció nagysága gyomirtószer permetezése miatt naponta 5%-kal csökken. Három nappal a permetezés kezdete után mekkora lesz a populáció létszáma? Ezek egyike sem. Határozza meg a x 0 x egyenlőtlenség összes valós megoldását! < x 7 x 7 < x < 7 x 7 x < vagy x 7

3 9. Határozza meg a p valós paraméter összes olyan értékét, amelyre a p x = egyenletnek van valós megoldása! p = p 0 p = ± p 0 p R Az a valós paraméter mely értéke esetén lesznek a x + 4y = 8 és a x + ay = egyenletű egyenesek párhuzamosak? 0. a = 8 a = 4 a = 4 a = 7 a = 8. Oldja meg a log (x+)+log (x ) = log 6 egyenletet a valós számok halmazán és tekintse az oldalt látható kijelentéseket! Az alábbiak közül melyik állítás igaz? A: Az egyenletnek pontosan két megoldása van. B: Az egyenletnek csak pozitív megoldása van. C: Az egyenletnek prímszám a megoldása. A és C A vagy C A vagy B B és C A és B és C.. Oldja meg a x+ + x+ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x = x < x > 0 x x.. Az alábbiak közül melyikkel egyenlő a cos(x + 5π ) kifejezés? sin x sin x sin ( ) x π cos ( ) x 5π cos ( x + 5π ). Az ábrán látható egyenes hasáb alapja az ABCD derékszögű trapéz, amelyben a D-nél és a C-nél van derékszög, fedőlapja az EF HG trapéz. Milyen hosszú az EC testátló, ha AB = 46, BC =, DC = 0, CH = 7? E A G D F B H C 9 9,5 0 8,5 80 Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a (0; ] intervallumon? f(x) = sin x, g(x) = log x, h(x) = x 5 Az f és a h. Mindhárom. Csak a h. Az f és a g. Egyik sem.

4 5B NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI Terem: Munkaidő: 50 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki. A feladat szövege után öt lehetséges válasz található, amelyek közül pontosan egy a helyes. A helyes választ az előtte lévő üres négyzet besatírozásával kell megjelölni ( X nem elég!), a többi válaszmezőt pedig érintetlenül kell hagyni. Utólagos javításra nincs lehetőség! Egynél több válaszmező megjelölését a feladat kihagyásának értékeljük (0 pont). A válaszmezőn kívül tetszőleges jelölések (például aláhúzás, karikázás) alkalmazhatóak, de ezeket nem vesszük figyelembe. Az alábbi adatokat NYOMTATOTT NAGY betűvel töltse ki! Neptun kódja: Neve: Szakja: Az alábbi kérdésekre adott válaszok kódját írja a jobb oldali üres mezőkbe. Milyen szinten érettségizett matematikából? E: emelt szinten K: középszinten R: régi típusú érettségi N: nem érettségiztem Járt-e középiskolában matematika fakultációra? J: jártam N: nem jártam Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz - pont, üresen hagyott válaszmező 0 pont. Az elérhető maximális pontszám 60 pont. A dolgozatot sikeresnek tekintjük, ha legalább 4 pontot elér. A feladatok nem feltétlenül nehézségi sorrendben követik egymást. JÓ MUNKÁT KÍVÁNUNK!

5 Fejezze ki az a, b, c és d pozitív paraméterek hatványainak szorzataként az alábbi kifejezést!. ( a 7 b c 4 d ) ( a ) b c d 4. a 7 6 bc 0 d 9 ac d 9 abc d 9 a bc 0 d 4 Egyik sem.. Mi az x + y + x + 4y = 0 egyenletű kör K középpontja és r sugara? K(; ), r = 5 K( ; ), r = 5 K( ; ), r = 5 K( ; ), r = 0 K(; 4), r = 0.. Mennyi a sin α + cos α kifejezés értéke, ha sin α =? Ezek egyike sem. Számítsa ki az alábbi kifejezés értékét! , Az ábrán látható ABCDEF GH téglatest élei AB =, BC = 5, CG = 9. Mennyi az AC és a CH lapátlók által bezárt szög koszinusza? E A H D F B G C Egyik sem. Számítsa ki a v(; 7) és az u( 6; 4) vektorok hosszainak négyzetösszegét! Egy piaci kofa egyedül 6 perc alatt pakolja el az áruját a standról, a segédje egyedül 4 perc alatt. Együtt hány perc alatt pakolják el az árut? 9 perc 0 perc 9,8 perc 9,6 perc Ezek egyike sem. Az alábiak közül melyikkel egyenlő a cos (x π ) kifejezés? cos(x + π ) sin x + cos x cos ( x 5π ) sin x

6 Határozza meg az első 00 hárommal osztható pozitív egész szám összegét! Melyik gráfban a csúcsok fokszámainak összege? (Egy csúcs fokszámán a csúcsból kiinduló élek számát értjük.) 0. G H J K 0. A G-ben. A H-ban. A J-ben. A K-ban. Egyikben sem. Az alábbi valós számokon értelmezett függvények közül melyik korlátos?. f(x) = sin x, g(x) = log x, h(x) = x. Az f és a h. Mindhárom. Csak az f. Az f és a g. Csak a g.. Határozza meg a p valós paraméter összes olyan értékét, amelyre az x+ = p egyenletnek egyetlen x valós megoldása van!. p = p = p = ± p 0 p = ±. Az a valós paraméter mely értéke esetén lesznek az x + y = 7 és a x + ay = 4 egyenletű egyenesek merőlegesek egymásra? a = a = a = a = Ezek közül egyik sem. Oldja meg az (log 5 x) + log 5 x 8 = 0 egyenletet a valós számok halmazán és tekintse az oldalt látható kijelentéseket! Az alábbiak közül melyik állítás igaz? A: Az egyenletnek két megoldása van. B: Az egyenletnek csak egynél kisebb megoldása van. C: Az egyenletnek irracionális megoldása is van. A és C A vagy C B vagy C B és C A és B és C. Oldja meg a tg x egyenlőtlenséget a ( π/; +π/) intervallumban! 0 x π x π 6 π x π 4 π < x π x < π

8 . Számítsa ki az alábbi kifejezés értékét a változó lehetséges értékei mellett! ( x + x x 4 x x x + x + ) x + x. x x + x x(x ) x(x + ) x + Mennyi az alábbi kifejezés értéke?. ( ) 5 8 log Egyik sem.. Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x + függvény értékkészlete? [ ; + ) ( ; ] ( ; ] [; + ) ( ; ]. Oldja meg az x + 4x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 7 x 7 < x < x 7 x vagy x 7 x 7 lapos magyar kártyacsomagból kihúzunk először egy lapot, majd ennek visszarakása nélkül még egyet. Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét kihúzott lap ász lesz? (A magyar kártyában négy ász van.) Hol metszi az y tengelyt az A(0; ), B(; ), C(; 5) csúcspontokkal rendelkező háromszög B-ből induló súlyvonala? y = 4 y = 7 y =, y = 0 6 y = 9 9 Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 50 y = sin 5 z = tg ( 60 ) z < x < y x < y < z y < x < z z < y < x y < z < x

9 Egy könyvszekrény alsó polcán 8 könyv van, és fölötte minden polcon hárommal több, mint az alatta lévőn. Összesen hány polc van a könyvszekrényben, ha tudjuk, hogy a legfelső polcon 50-nél több, de 54-nél kevesebb könyv van. 9 0 Ezek egyike sem. Egyszerűsítse az alábbi kifejezést (α π 4 + kπ, k Z)! 9. sin 4 α cos 4 α sin α cos α 9. sin α cos α sin α+cos α sin α cos α sin α + cos α Ezek egyike sem. Fejezze ki az a paramétert az 5 + a = b egyenlőségből! (b > ) 0. a = b log 5 a = lg ( b 5) a = b log 5 a = log ( b 5) a = lg lg ( b 5) 0.. Legyen a n = n n minden n pozitív egész számra. Mivel egyenlő a n+? n n+ (n+)+ n+ n + n+ n + n (n + ) n... Milyen alakzatot határoz meg az x + y 6x 8y = 6 egyenlet a koordinátasíkon? Egy (; 4) középpontú kört. Egy ( ; 4) középpontú kört. Egy (; 4) középpontú kört. Egy ( ; 4) középpontú ellipszist. Üres halmazt. dl rostos üdítő szárazanyag tartalma 0% térfogatszázalékot tesz ki. Mennyi lesz a szárazanyag térfogatszázaléka, ha felöntjük 0,5 dl vízzel?,5% 8% 9% % Nem változik... Két gömb felszínének nagysága úgy aránylik egymáshoz, mint : Hogyan aránylanak egymáshoz a sugaraik? : : 9 : : 7 : 4 Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton csökkenő a [0; ] intervallumon? f(x) = x, g(x) = cos x, h(x) = x Az f és a g. Mindhárom. Csak a h. Az f és a h. Egyik sem.

10

12 Számítsa ki az alábbi kifejezés értékét a változó lehetséges értékei mellett!. x 9 x x : x + 6x + 9 x 4 9x. x(x ) x(x ) x(x + ) x + 6x + 9 x (x + ) Ezek egyike sem.. Mennyi az alábbi kifejezés értéke? ( ) 5 log ( 9 4 log ) Oldja meg az x + x 8 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!. x 4 vagy x x x 4 x vagy x 4 4 x. Egyszerűsítse az alábbi kifejezést (α ± π + kπ, k Z)! 4 sin α cos α sin 4 α cos 4 α sin α cos α sin α cos α sin α cos α Fejezze ki az a paramétert a log a = log 5 b egyenlőségből! a = b log 5 a = b log 5 a = b log 5 a = + b log 5 Ezek egyike sem. Legyen a n = n 5 n minden n pozitív egész számra. Mivel egyenlő a n+? n 5 n+ (n+)+5 n+ n + 5 n+ n + 5 n 5(n + ) 5 n Milyen alakzatot határoz meg az x + y + x 6y + 6 = 0 egyenlet a koordinátasíkon? Egy ( ; ) középpontú kört. Egy ( ; ) középpontú kört. Egy (; ) középpontú kört. Egy (; 6) középpontú kört. Üres halmazt. A zöldségesnél két rekeszben összesen 0 kg mangó van. Az első rekesz 0%-a ugyanannyit nyom, mint a második rekesz 0%-a. Hány kg mangó van az első rekeszben? 69 kg 70 kg 7 kg 7 kg Ezek egyike sem.

13 9. Két téglatest hasonló egymáshoz. A téglatestek térfogatának aránya : Hogyan aránylanak egymáshoz a megfelelő élek hosszai? : : 5 : 5 : 5 Nem lehet egyértelműen megmondani. 9. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a (0; ) intervallumon? 0. f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x 0. Az f és a g. Mindhárom. Csak a h. Az f és a h. Egyik sem... Anna, Bia és Csabi egy lapos magyar kártyacsomagból kihúznak egy-egy lapot. Mi annak a valószínűsége, hogy a három gyerek közül pontosan egynél van király? (A magyar kártyában négy király van.) ( ) ( ) ( 4 )( 8 ) ( ) Ezek egyike sem. Hol metszi az y tengelyt az A(; ), B( ; ), C( ; ) csúcspontokkal rendelkező háromszög B-ből induló magasságvonala? y = 5 y =,4 y = 7 5 y = 0 y = Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket!. x = sin 0, y = cos 0, z = tg 0. z < x < y x < y < z y < x < z z < y < x y < z < x Egy számtani sorozat első tagja 0, a nyolcadik tagja a sorozat differenciájával egyenlő. Mennyi a sorozat második tagja? Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x 5 függvény értékkészlete? [ ; ) ( ; ) (0; ) ( 5; ) Ezek egyike sem.

15 . Írja fel az a és b pozitív paraméterek hatványainak szorzataként az alábbi kifejezést! a 4 b 5 a 4 b 4. a b a b a b a b a 0 b 4. Mennyi a log 4 6 kifejezés értéke? 6 6 log 8. Hol metszi a x + ay = egyenletű egyenes az y-tengelyt, ha a nullától különböző valós paraméter?. y = a y = a y = a y = y =. Oldja meg a 4 x x = 0 egyenletet a valós számok halmazán és tekintse az oldalt látható kijelentéseket! Az alábbiak közül melyik állítás igaz? A: Az egyenletnek pontosan két megoldása van. B: Az egyenletnek csak pozitív megoldása van. C: Az egyenletnek prímszám a megoldása. A és C. A vagy C. A és B. se B, se C. B, de C nem. Oldja meg a sin x = egyenletet a valós számok halmazán! (Alább k tetszőleges egész szám.) x = ± π 9 +πk x = π 9 + πk x = π 6 + πk x = { π 9 + πk π 9 + πk x = { π 9 + πk π 9 + πk Egy zöldségesnél 5 kg ringlószilvát 50 Ft-ért vásároltunk. Legfeljebb mennyi kilogrammot vásárolhattunk volna ugyennyi összegért, ha 0%-kal drágább lett volna a ringlószilva? , 4,5 6 5 Mennyi az kifejezés értéke? Határozza meg az log (x ) log egyenlőtlenség összes megoldását a valós számok halmazán! 6 6 x > x vagy x < x x < vagy < x x < 0 vagy 0 < x

16 9. Határozza meg az m pozitív paraméter értékét úgy, hogy az f(x) = sin(mx) függvény legrövidebb periódusának hossza π/ legyen! m = 4 m = m = m = m = Mi a valószínűsége annak, hogy ha az ábrán látható gráf két csúcsát véletlenszerűen kiválasztjuk, akkor lesz közte él? Egyik sem. Hogy helyezkednek el egymáshoz képest az alábbi egyenletű alakzatok?. k : x + y 0y = 0 e : y = x. Nincs közös pontjuk. Párhuzamosak. Érintik egymást. Két pontban metszik egymást. Egyik sem.. Az ABCD tetraéder ABC alapja derékszögű háromszög, D amelyben a B-nél van a derékszög. Az AD él egyben a tetraéder magassága is. Mekkora az ABCD tetraéder térfogata, ha AB = 4, AC = 0 és AD =? A B C Az alábbiak közül melyikkel egyenlő a tg α kifejezés értéke (α π + kπ, k Z)?. + cos α + cos α + cos α + cos α + cos α. Határozza meg az f(x) = + x 4 x x + (x 4) függvény inverzének hozzárendelési utasítását! 4 + x 4 + x Ezek egyike sem. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a [0; ] intervallumon? f(x) = sin x, g(x) = x, h(x) = (x ) Az f és a h. Mindhárom. Csak a h. Az f és a g. Csak a g.

18 . Írja fel az a és b pozitív paraméterek hatványainak szorzataként az alábbi kifejezést! a 4 b 6 a b. a 6 b a b a b a b Ezek egyike sem.. Mennyi a log 5 5 kifejezés értéke? 5 9 log Mi a valószínűsége annak, hogy az, számot kapunk? 4 7 7,, 4 7,..., 7 törtek közül egyet véletlenül kiválasztva egész Hol metszi az x tengelyt az (x ) + (y + 4) = 5 egyenletű kör? Csak az origóban. Nincs közös pontjuk. A (0; 0) és a (6; 0) pontokban. Nem metszi, hanem érinti. A (0; 0) és a (0; 6) pontokban. Oldja meg a tg 5x = egyenletet a valós számok halmazán! (Alább k tetszőleges egész szám.) x = x = π ± π 0 + πk 6 + πk x = π 0 + kπ 5 x = π πk x = π 9 + π 5 k Egy áruházlánc egyik boltjában 5 db akciós mobiltelefont Ft-ért vettünk. Legfeljebb hány darab ugyanilyen mobiltelefont vásárolhattunk volna ugyanennyi összegből, ha az akciós ár -ed részével 7 olcsóbb lett volna egy mobil ára? Egy pozitív hányadosú mértani sorozat első tagja, a harmadik tagja Mennyi az első három tagjának összege? Ezek egyike sem. 9. Határozza meg a log x egyenlőtlenség pozitív megoldásait! x > x vagy x < x < x < x Határozza meg az m pozitív paraméter értékét úgy, hogy az f(x) = cos(mx) függvény legrövidebb periódusának hossza π legyen! m = 4 m = m = m = m = 4 9.

19 Hol metszi a bx + y = 7 egyenletű egyenes az x-tengelyt, ha b nullától különböző valós paraméter? 0. x = b x = 7 b x = 7 b x = 7 x = 0.. Oldja meg az (x ) (x ) 6 = 0 egyenletet a valós számok halmazán és tekintse az oldalt látható kijelentéseket! Az alábbiak közül melyik állítás igaz? A: Az egyenletnek pontosan két megoldása van. B: Az egyenletnek csak pozitív megoldása van. C: Az egyenletnek négy különböző megoldása van.. A és C. A vagy C. A és B. C, de B nem. B, de C nem.. Az alábbiak közül melyikkel egyenlő az + cos α sin α sin α + cos α 0 kifejezés értéke (α π + kπ, k Z)? cos α.. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett f(x) = x + függvény inverzének hozzárendelési utasítását! x x Nincs inverze. x x + x x,(x ) x x,(x 0). Számítsa ki annak a forgástestnek a térforgatát, amelyet úgy kapunk, hogy az y = x függvény grafikonjának 0 x 6 intervallumhoz tartozó részét az x-tengely körül térben körbeforgatjuk! 8 4π 6π π π 96π Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a (0; ) intervallumban? f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = (x ) Az f és a h. Mindhárom. Csak az f. Az f és a g. Csak a g.