Szögfüggvények értékei megoldás

Átírás

1 Szögfüggvények értékei megoldás 1. Számítsd ki az alábbi szögfüggvények értékeit! (a) cos 585 (f) cos ( 00 ) (k) sin ( 50 ) (p) sin (u) cos 11 (b) cos 00 (g) cos 90 (l) sin 510 (q) sin 8 (v) cos 9 (c) cos 15 (h) sin 10 (m) sin ( 1755 ) (r) sin ( ) (w) cos ( 8 9 ) (d) cos ( 90 ) (e) cos 80 (i) sin ( 0 ) (j) sin 0 (n) sin 1 (o) sin 5 (s) sin 7 (t) sin ( 7) () cos ( 5 ) (y) cos 7 A megoldások során felhasználjuk, hogy a sin és a cos függvények periodikusak, azaz sin ( + k) sin, cos ( + k) cos, ahol k Z tetszőleges, továbbá azt, hogy a sin függvény páratlan, azaz sin ( ) sin, és a cos függvény páros: cos ( ) cos (a) cos 585 cos (5 + 0 ) cos 5 (b) cos 00 cos ( ) cos ( 0 ) cos 0 1 (c) cos 15 (d) cos ( 90 ) cos 90 0 (e) cos 80 cos ( ) cos 0 1 (f) cos ( 00 ) cos (10 0 ) cos 10 1 (g) cos 90 cos (0 + 0 ) cos 0 1 (h) sin 10 1 (i) sin ( 0 ) sin 0 (j) sin 0 (k) sin ( 50 ) sin 50 sin ( ) sin 90 1 (l) sin 510 sin ( ) sin (m) sin ( 1755 ) sin (5 5 0 ) sin 5 (n) sin 1 sin ( + ) sin 1 (o) sin 5 sin ( + ) sin 1 (p) sin sin ( + ) sin 0 (q) sin 8 sin ( + ) sin 0 (r) sin ( ) sin ( ) sin 1 (s) sin 7 sin ( + 1) sin (t) sin ( 7 ) sin ( 1) sin 1 (u) cos 11 cos ( + ) cos (v) cos 9 cos 1 cos ( + 1) cos 1 (w) cos ( 8) cos 1 cos ( + ) cos 1 9 () cos ( 5) cos 7 cos ( 1 + ) cos 1 (y) cos 7 cos ( + 1) cos

2 . Számítsd ki táblázat alkalmazása nélkül a következő szögek szögfüggvényeinek értékét! (a) ±10 (b) ±010 (c) ±10 (d) ± 7 (e) ± 1 (a) sin (±10 ) ± sin 10 ± cos (±10 ) cos 10 1 tg (±10) sin(±10 ) ± cos(±10 ) 1 ± 1 ctg (±10) 1 tg(±10) ± ± (g) ± 11 (f) ± 1 (h) ± 1 (b) sin (±010 ) ± sin 010 ± sin ( ) ± sin 10 1 cos (±010 ) cos 010 cos ( ) cos 10 tg (±010 ) sin(±010 ) 1 cos(±010 ) ± 1 ± ctg (±010 ) 1 tg(±010 ) 1 ± 1 ± (c) sin (±10 ) ± sin ( 0 ) ± sin 0 0 cos (±10 ) cos ( 0 ) cos 0 1 tg (±10 ) (±10 ) cos(±10 ) ctg (±10 ) nincs értelmezve. (d) sin ( ± 7) ± sin ( + ) ± sin ± 1 cos ( ± 7) cos ( + ) cos tg ( ± 7) 7 sin(± ) cos(± 7 ) ± 1 ctg ( ± 7) 1 tg(± 7 ) 1 ± ± 1 ± 1 ± (e) sin ( ± 1) ± sin ( + ) ± sin ± cos ( ± 1) cos ( + ) cos 1 1 sin(± ) tg ( ± 1 ) cos(± 1 ) ± 1 ± ctg ( ± 1) 1 tg(± 1 ) 1 ± ± (f) sin ( ± 1) ± sin ( + ) ± sin cos ( ± 1) cos ( + ) cos 1 1 sin(± ) tg ( ± 1 ) cos(± 1 ) 1 ± ctg ( ± 1) 1 tg(± 1 ) 1 ± ± (g) sin ( ± 11) ± sin ( + ) ± sin ± cos ( ± 11) cos ( + ) cos tg ( ± 11) 11 sin(± ) cos(± 11 ) ± 1 ctg ( ± 11) 1 tg(± 11 ) (h) sin ( ± 1) ± sin ( 5 + ) ± sin 5 cos ( ± 1) cos ( 5 + ) cos 5 tg ( ± 1) 1 sin(± ) cos(± 1 ) ±1 ctg ( ± 11) 1 tg(± 11 ) 1 ±1 ±1

3 . Milyen -re érvényesek az alábbi kifejezések? (a) sin 1 (b) sin (c) cos (d) sin (e) cos 1 (a) { sin k, 5 + k, ahol k Z tetszőleges, ahol k Z tetszőleges. (b) sin { 1 + k, + k, ahol k Z tetszőleges, ahol k Z tetszőleges. (c) cos M (d) sin { k, 7 + k, ahol k Z tetszőleges, ahol k Z tetszőleges. (e) { cos k, + k, ahol k Z tetszőleges, ahol k Z tetszőleges.. Hányadik negyedben van az szög, ha: (a) sin 0, 8 és cos < 0 (b) cos 0, és sin < 0 Az ábra segítségével könnyedén meg tudjuk oldani a feladatot: (a) Ebben az esetben sin > 0 és cos < 0. Ez azt jelenti, hogy az szög a második negyeben van. (b) Ekkor viszont cos < 0 és sin < 0. Vagyis az szög a harmadik negyedben van.

4 5. Milyen -re teljesül az alábbi kifejezés, ha 0; : (a) sin cos (b) sin cos (a) Ha sin cos, akkor a szög szárának és az egységsugarú kör metszéspontjának koordinátái megegyeznek. Ekkor két megoldás lehetséges (lásd az ábrát). (b) Ha sin cos, akkor a szög szárának és az egységsugarú kör metszéspontjának koordinátái csak előjelben különböznek. Ebben az esetben is két megoldás van (lásd az ábrát). sin cos ± { 1 5 sin cos ± { 1 7. Döntsd el, hogy az alábbi szorzatt pozitív-e vagy negatív? (a) sin 110 sin 10 (b) cos 00 sin 80 (c) sin 95 cos 70 (d) cos 0 sin 10 cos 5 (e) sin 80 sin 70 (f) sin 180 cos 50 (g) sin 15 cos ( 0 ) A. feladat ábráját felhasználva könnyen eltudjuk dönteni, hogy az adott szorzat negetív vagy pozitív-e: (a) sin 110 > 0 és sin 10 > 0, ezért sin 110 sin 10 > 0 (b) cos 00 < 0 és sin 80 < 0, ezért cos 00 sin 80 > 0 (c) cos 70 0, ekkor sin 95 cos 70 0 (d) cos 0 > 0, sin 10 > 0 és cos 5 > 0, ekkor cos 0 sin 10 cos 5 > 0 (e) sin 80 < 0 és sin 70 > 0, ezért sin 80 sin 70 < 0 (f) Mivel sin 180 0, ezért sin 180 cos 50 0 (g) sin 15 > 0 és cos ( 0 ) > 0, ekkor sin 15 cos ( 0 ) > 0 7. Számítsd ki a sin, cos, tg és ctg értékét, ha: (a) sin 0, és ; ) (b) cos 0, és ; ) A megoldás során az alábbi összefüggéseket fogjuk felhasználni: tg sin cos 1 ctg { sin + cos sin 1 cos 1 cos 1 sin

5 (a) sin 0, és ; ) Mivel ; ), ezért cos 0. Ekkor cos (b) cos 0, és ; ) Mivel ; ), ezért sin 0. Ekkor 1 sin 1 ( 0, ) 0, 8 tg sin cos 0, 0, 8 ctg 1 tg 1 sin 1 cos 1 ( 0, ) 0, 8 tg sin cos 0, 8 0, ctg 1 tg 1 8. Milyen valós számra értelmezhetők a következő kifejezések? (a) 1 + sin (b) 1 + tg (c) tg + ctg (d) cos 1 (a) 1 + sin A gyökjel alatti kifijezés pozitív vagy nulla lehet: 1 + sin 0, azaz sin 1. Az egyenlőtlenség minden valós -re teljesül, vagyis a kifejézés értelmezési tartománya R. (b) 1 + tg A gyökjel alatti kifejezés pozitív vagy nulla lehet: 1 + tg 0, azaz tg 1. A tangens függvény grafikonjából kiolvasható, hogy milyen -ekre teljesül a fenti egyenlőtlenség: Tehát az értelmezési tartomány: + k; ) + k k Z

6 (c) tg + ctg A gyökjel alatti kifejezés a következő alakra hozható: tg + ctg tg + 1 tg tg + 1. tg A számló csak pozitív lehet, így a nevezőnek is pozitívnak kell lenni: tg > 0. A tangens függvény grafikonja segítségével meghatározhatjuk a megoldást: Tehát az értelmezési tartomány: (k; ) + k (d) k Z cos 1 Ekkor cos 1 0, azaz cos 1. A grafikon segítségével meghatározhatjuk, hogy milyen -ekre teljesül az egyenlőtlenség: Ekkor az értelmezési tartomány: + k; ) + k k Z 9. Számítsd ki az alábbi kifejezés értékét! (a) cos sin + (cos sin ) (b) sin cos + (sin cos ) (c) tg ( ) ( ) ctg (d) sin 1 cos 11 tg ( 5) (e) sin cos 7 sin ( 7) cos 7 cos ( 7 ) sin 11 (a) cos sin + (cos sin ) + ( 1 1 ) 0 (b) sin cos + (sin cos ) 0 + (1 0) (c) tg ( ) ( ) ctg 1 ( 1) 1 (d) sin 1 cos 11 tg ( 5) sin ( + 8) cos ( + ) tg ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( cos tg 1 ) 1 (e) Mivel sin sin 0 0, ezért a szorzat: sin cos 7 sin ( 7) cos 7 ( cos 7 ) sin 11 0

7 Goniometriai egyenletek - I. Oldd meg az alábbi goniometriai egyenleteket a valós számok körében! 1. sin cos ( ) 1 1. sin cos 1. cos 1. tg ( + ). tg. cos ( + 1). tg. ctg 1 5. sin 0. ctg 7. cos 1 8. cos 0 9. sin 1 1. cos 1 1. sin ( ) sin 1. tg ctg tg cos 1. sin ( ). tg 1 5. cos ( 1) 1. sin ( + ) 1 7. tg 1 8. cos ( + ) 1 9. ctg 0. tg 1. tg ( 1) 5. sin ( ). ctg ( 1) 1 7. sin ( 1) 0 8. sin ( + 1) 10. sin ( ) 0 0. cos 1 0. sin ( + ) 9. cos ( ) Minden esetben az egységkört használjuk a gyökök meghatározására. 1. sin 1 + k, k Z. ctg 1 + k, k Z. cos + k, k Z 5. sin k, k Z + k, k Z. tg k, k Z. ctg

8 k, k Z + k k, k Z 11. cos ( ) 1 + k, k Z 7. cos 1 + k + k + k, k Z + k, k Z cos 0 + k / + + k 8 + k / : ( ) k, k Z 1. tg ( + ) + k / : + k, k Z 9. sin 1 sin k, k Z k / + k k, k Z / ( 1) 1. cos sin ( ) 0 + k, k Z 11 + k, k Z + k + k, k Z 1. sin ( ) 1 + k + k, k Z

9 + k k k + k, k Z 15. sin + k k k + k, k Z + k / + k, k Z0,+, mert a gyökjel alatti kifejezés nem lehet negatív cos 1 cos 1 + k + k, k Z 1. tg 1 + k + k, k Z + k + k, k Z 0. cos 1 cos 1 + k + k, k Z + k, k Z + k 7 + k + k, k Z 7 + k, k Z ctg 1 1. sin k / : 1 + k, k Z 18. tg k / : k 5, k Z. tg

10 + 7 + k k k 11 + k, k Z k k k 19 + k, k Z 7. tg 1 + k / : 9 + k, k Z. sin ( ) 5 + k / 5 + k, k Z 8. cos ( ) ( ) + 1 cos k + k + + k + k, k Z + k + + k 7 + k, k Z. tg k + + k + + k + k, k Z + + k + + k +8 + k 7 + k, k Z 9. ctg 0 + k / + k, k Z 5. cos ( 1) 1 cos ( 1) < 1, ami nem lehetséges. () A megoldáshalmaz: M. sin ( + ) ( 1 sin + ) 1 + k / + k, k Z 0. sin ( + )

11 + + k k k, k Z 1. cos k + k + k, k Z + k + + k + + k + k 9 + k, k Z + k + + k + + k 5 + k 15 + k, k Z. ctg ( 1) 1 + k / + 8k (k + 1), k Z. cos ( + 1) < 1, ami nem lehetséges. A megoldáshalmaz: M. tg k / k / : k, k Z 7. sin ( 1) 0 + k / + k, k Z. tg ( 1) 1 + k / k / : 9 + k, k Z 1 k / k / : 1 + k, k Z 8. sin ( + 1) > 1 A szinusz függvény maimális értéke 1 lehet. A megoldáshalmaz: M 9. cos ( ) 5. sin ( ) 5 + k + k (k + 1), k Z 7 + k + k 8 + k, k Z

12 0. Ábrázold közös koordinátarendszerben az alábbi függvényeket! (a) f () cos, g () cos (b) f () cos, g () cos() (c) f () tg, g () tg (d) f () ctg, g () ctg ( ) (e) f () sin, g () 1 sin (f) f () sin, g () sin ( ) (a) f () cos, g () cos cos 0 + k cos 1 k cos 1 + k, k Z 5 0 f () cos g () cos (b) f () cos, g () cos() cos 0 + k + k, k Z cos 1 k k, k Z cos 1 + k + k, k Z cos 0 + k cos 1 k cos 1 + k, k Z f () cos g () cos f () cos g () cos (c) f () tg, g () tg + k + k + k + k, k Z

13 tg 0 k k, k Z tg 0 k k, kinz f () tg g () tg f () tg g () tg 0 11 (d) f () ctg, g () ctg ( ) k k k k, k Z ctg 0 + k + k, k Z ctg ( ) 0 + k k, k Z 0 5 f () ctg 0 0 g () ctg ( ) (e) f () sin, g () 1 sin sin 0 k k, k Z sin 1 + k + k, k Z sin 1 + k + k, k Z f () sin g () 1 sin 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0 1/ 0

14 (f) f () sin, g () sin ( ) sin sin 0 k k, k Z sin 1 + k + k, k Z sin 1 + k + k, k Z 0 5 f () sin g () sin ( )